专题02 方程与不等式（9大考点）（全国通用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 初中数学方程与不等式专题汇编，覆盖9大核心考点，精选2026年多地二模试题，融合幻方、《九章算术》等传统文化及人工智能、航天等现实情境，设置基础巩固到创新应用的梯度题目。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|约20题|解一元一次方程、二元一次方程组等|新定义运算（如“⊕”运算）、幻方数字规律（九宫图）| |填空|约10题|分式方程、不等式组解集|“3和方程”定义、实际问题中的参数求解| |解答|约20题|方程与不等式的实际应用|航天纪念品销售（增长率问题）、《九章算术》浮箭漏计时（函数建模）|

专题02 方程与不等式 9大考点概览 考点01解一元一次方程 考点02实际问题与一元一次方程 考点03解二元一次方程组 考点04实际问题与二元一次方程组 考点05解一元二次方程 考点06实际问题与一元二次方程 考点07分式方程 考点08解一元一次不等式及应用 考点09解一元一次不等式组及应用 解一元一次方程 考点01 1．（2026·广西梧州·二模）现定义一种新运算：对任意实数，，规定，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南邵阳·二模）已知是关于的方程的解，则的值为（    ） A． B．3 C．6 D． 3．（2026·安徽宣城·二模）若是关于的方程的解，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 4．（2026·山东济宁·二模）数学课上，两位同学讨论关于x的方程（m，n为整数）的解的情况，对话如下： 甲同学：“这个方程有唯一解，且解为．” 乙同学．“我发现，当正整数m取最大值时，；当正整数m取最小值时，．” 给出下列三个结论：①；②m的最小值是1；③满足条件的正整数m共有4个．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．（2026·江苏苏州·二模）定义：若两个一元一次方程的解之和为3，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”：__________． 6．（2026·重庆·二模）若，且，则关于x的一元一次方程的解是______． 7．（2026·广东广州·二模）解方程：． 8．（2026·广西南宁·二模）计算、解方程： (1)； (2)． 9．（2026·江苏南京·二模）． 10．（2026·河北邯郸·二模）如图，某数学课外活动小组的同学做了一个数学风车，风车的每片叶片上标有一个实数． (1)若，求这四个实数的和； (2)若相对的两个叶片上实数的积相等，求a的值． 科学记数法 考点02 1．（2026·山西吕梁·二模）茶在中国文化中占有重要地位，在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、色泽有显著影响．已知某茶具厂共有160个工人，每个工人一天能做200个茶杯或30个茶壶，该茶具厂的一套茶具为4个茶杯和1个茶壶．若要使每天生产的茶具配套，则应安排生产茶杯的工人人数为（   ） A．60 B．65 C．70 D．75 2．（2026·河北石家庄·二模）现有一个水池，若单独打开甲进水管，1个小时可以注满水池；若单独打开乙进水管，个小时可以注满水池．若甲、乙两管同时打开，几个小时可以注满水池？设若甲、乙两管同时打开，个小时可以注满水池，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江台州·二模）“九宫图”传说源于远古时代洛河中的神龟背甲图案，故又称“龟背图”．数学中的“九宫图”指一个的方格，要求其每行、每列及每条对角线上的三个数字之和均相等．如图所示为一个不完整的“九宫图”，则的值为（     ） A． B． C． D．6 4．（2026·安徽·二模）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由漏壶（供水壶）和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭尺随箭壶中的水位匀速上浮，通过读取箭尺读数可指示时间，观察、记录数据如下表（未记录完整）： 箭尺读数（） 1 3.5 6 13.5 21 31 指示时间 ？ 则箭尺读数为时，指示时间应为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·安徽合肥·二模）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2是一个未完成的幻方，则与的和是（   ） A．22 B．23 C．24 D．26 6．（2026·黑龙江佳木斯·二模）在一条笔直的公路上依次有A，B，C三地．甲车从A地出发匀速行驶到B地，休息1小时后，原速行驶到C地，同时乙车从C地出发匀速行驶到B地后，立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速返回到C地，甲车比乙车早1小时到达C地．甲，乙两车距B地的路程y（单位：千米）与甲车出发时间x（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象解决下列问题： (1)乙车的速度为 千米/时，A地与C地之间的距离为 千米； (2)求甲车从B地到C地的过程中y与x的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (3)在两车行驶过程中，出发多少小时后，甲，乙两车相距30千米？请直接写出答案． 7．（2026·上海徐汇·二模）上海市居民自来水水费由供水费和污水处理费两部分组成，污水处理量由于损耗按照用水量的核定计算，污水处理费统一单价为2元/m3．小户型家庭供水费按年用水量分三档计费，收费标准如下表，每户每年应缴自来水水费（元）与用水量关系如图所示． 分类 第1档 第2档 第3档 用水量（m3） 不超过220 超过220不超过300的部分 超过300的部分 供水费单价（元/m3） 2.25 6.99 污水处理费（元/m3） 2.00 根据上述信息，解答下列问题： (1)第1档的自来水水费1m3的单价为_______元；图中点的纵坐标为________； (2)小华家去年的年用水量为250m3，共缴纳水费1065元．通过计算推出的值为________元； (3)已知小明家去年共缴水费2234元，求小明家去年的年用水量． 8．（2026·北京昌平·二模）端午，是我国四大传统节日之一，佩戴香囊是流传千年的端午民俗．古人常在香囊内装入艾草、丁香、薰衣草等中草药，寓意祈福安康，承载着中华民族独特的养生智慧与民俗文化．制作端午香囊所选用的原始长方形布料的长与宽之比一般为，制作时，先距离布料上下两端为原始长方形布料的长的处进行画线，再分别距离左右两边为原始长方形布料的宽的处进行画线（如图1），然后沿中线对折（如图2），最后经过一系列折边定型、缝边、翻面等操作，得到成品香囊（如图3）．某人制作端午香囊时，要求成品香囊的长比宽多，求制作端午香囊所用的原始长方形布料的长和宽各是多少厘米？ 9．（2026·辽宁朝阳·二模）在篮球联赛中，辽宁男篮已经在赛场连续九胜，保持本赛季不败记录，这也激起了辽宁男篮球迷购买球队相关物品的热情．某网店直接从工厂购进辽宁队A、B两款公仔玩偶，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价进货价） 类别价格 A款公仔玩偶 B款公仔玩偶 进货价（元/件） 44 55 销售价（元/件） 59 67 (1)网店用1430元购进A、B两款公仔玩偶共30件，求两款公仔玩偶分别购进多少件； (2)为了回报球迷，网店打算把B款公仔玩偶调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售12件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售6件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元？ 因式分解 考点03 1．（2026·安徽阜阳·二模）已知实数a，b，c满足，，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·青海西宁·二模）若，则的平方根是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·广东广州·二模）已知非负实数x，y满足和，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·四川南充·二模）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的值可以是（    ） A．4 B．3 C．0 D．－4 5．（2026·安徽·二模）已知实数，，满足． （1）若且，则的范围是______； （2）若，则的值为______． 6．（2026·浙江温州·二模）若，则______． 7．（2026·浙江温州·二模）解方程组：． 8．（2026·新疆昌吉·二模）求解如下问题： (1)解方程组． (2)习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校开展师生阅读活动，打造书香校园，据统计，九年级师生第一周参与阅读400人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到676人次．求九年级师生阅读人次的周平均增长率． 9．（2026·广西贵港·二模）计算 (1)计算：； (2)解方程组：． 10．（2026·上海黄浦·二模）解方程组： 实数的运算 考点04 1．（2026·浙江温州·二模）某校举办人工智能知识竞答，共25道题，答对1题得4分，答错1题扣2分，不答得0分．小明答完全部题目，得70分．设答对道，答错道，可列正确的二元一次方程组是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·黑龙江佳木斯·二模）我校运动会购买奖品，商店有A，B两种笔记本可供选择，A笔记本每本5元，B笔记本每本3元，现有50元钱全部用完，购买A笔记本和B笔记本作为奖品，请问有几种购买方案（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 3．（2026·广西梧州·二模）已知：词牌《浣溪沙》每阕含6句，每句7个字；词牌《采桑子》每阕含8句，每句6个字．在某古代词集中，《浣溪沙》的篇目数量相较于《采桑子》多6阕，然而《浣溪沙》全篇总字数却比《采桑子》少12字．请问词集中《浣溪沙》和《采桑子》各收录了多少阕？（注：此处采用特定变体格律，以题目给定句数、字数为准）（     ） A．44，38 B．50，44 C．60，54 D．66，60 4．（2026·四川绵阳·二模）人民公园的人工湖有大小两种游船供游客选用，已知租借3艘大船和4艘小船共需240元，租借2艘大船和2艘小船共需要140元，根据规定，大船每次最多可坐8人，小船每次最多可坐5人，若某班有52名同学都参加游船项目活动，则租船费用至少应是____元． 5．（2026·陕西西安·二模）已知某段旋律由若干四分音符和八分音符构成，其中四分音符的时值为1拍，八分音符的时值为拍，若这段旋律的总拍数为12拍，其中四分音符的个数比八分音符多3个．设这段旋律中四分音符的个数为x，八分音符的个数为y，则可列方程组为______． 6．（2026·安徽滁州·二模）某公司生产甲、乙两款学习机，每天生产的甲款学习机的数量比生产的乙款学习机的数量多80台，3天生产的甲款学习机数量比4天生产的乙款学习机的数量多140台，该公司每天生产甲、乙两款学习机分别是多少台？ 7．（2026·山东济南·二模）国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份A或B食品的核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：） 蛋白质（单位：） 脂肪（单位：） 碳水化合物（单位：） A 240 12 7.5 29.8 B 280 13 9 27.6 (1)若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用A、B两种食品各多少份？ (2)若每份午餐选用这两种食品共6份，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？ 8．（2026·安徽阜阳·二模）某公司使用甲、乙两种文字生成软件，同时使用每秒钟可以生成400个字符的文章内容，升级后同时使用每秒钟可以生成450个字符的文章内容，其中甲软件生成字符效率比升级前增加，乙软件生成字符效率比升级前增加，求该公司使用的甲、乙两种文字生成软件在升级前每秒钟分别可以生成字符的个数． 9．（2026·山西太原·二模）三晋黄土与千度窑火的千年契阔，淬炼出国家级非物质文化遗产——山西琉璃这门东方古法技艺．某文创店主从厂家购买了个“琉璃小马”摆件和个“琉璃笔架”摆件共花费元；他的同伴购买了个“琉璃小马”摆件和个“琉璃笔架”摆件共花费元． (1)求“琉璃小马”摆件与“琉璃笔架”摆件的单价； (2)该店主发现这两种摆件都很畅销，他准备用元购入“琉璃小马”摆件与“琉璃笔架”摆件共个销售，他最多可以购入“琉璃小马”摆件多少个？ 10．（2026·安徽六安·二模）【项目主题】 某校数学社团开展“探索幻方”实践活动，旨在探究幻方的数式规律，并尝试将幻方制作应用于社团活动中． 【项目准备】 （）幻方：是一种将连续自然数（或特定规则的数）填入正方形方格中的数学结构，满足以下数学条件：每行数的和、每列数的和两条对角线上的数的和都相等，这个方格表就叫做幻方，相等的和叫做幻和． （）如图是由这个数构造的一个三阶幻方（方格）． 【规律探究】 (1)观察图，中心数是，该三阶幻方的幻和（即幻和等于中心数的倍）． 若将图中每个数修改为，，，…，得到一个新的三阶幻方，则新幻方的幻和 ① （用含的代数式表示）． (2)若用，，，…，这个连续正整数构造一个三阶幻方，则幻和 ② （用含的代数式表示）． (3)如图是由 这个自然数构造的五阶幻方（方格），幻和． 若将每个数修改为，，，…，，得到一个新的五阶幻方，则新幻方的幻和 ③（用含的代数式表示）． 【项目分析】 为了更好地开展活动，吸引更多同学参加，数学社团需要制作一些幻方展板，具体要求如下： ①展板为或的方形塑料板各10个，②每个展板上贴一些写有数字的塑料片，要求整个展板构成一个三阶或五阶幻方，③展板上的数必须是从某一起始数开始的满足特定条件的自然数． (4)现有两种备选方案： 方案一：用 这个连续奇数构造三阶幻方共制作套． 方案二：用，，，，…，这个自然数构造五阶幻方共制作套． 当，时，方案二的幻和： ④ ． 每个展板的制作成本为元，数贴纸费用为每个数字元（即按数字的位数收费，如贴纸数字是一位数收费元，贴纸数字是二位数收费元，贴纸数字是位数收费元），计算方案一总成本为 ⑤ 元． 【项目实施】 (5)根据以上分析，若社团要求方案二的幻和为，且最大数为，则方案一和方案二的展板各块的总成本为 ⑥ 元． 代数式的化简求值 考点05 1．（2026·广东江门·二模）下列一元二次方程中，没有实数解的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江西吉安·二模）如图1，将边长为2的正方形剪成四块图形，这四块图形恰好拼成如图2所示的图形（E，F，G，H在同一直线上），则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁大连·二模）一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 4．（2026·浙江温州·二模）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（   ） A． B．64 C． D．16 5．（2026·河北唐山·二模）已知方程，则该方程根的情况判断正确的是（   ） A．两实数根之和为 B．两实数根之和为2 C．两实数根之积为3 D．没有实数根 6．（2026·浙江台州·二模）以下是小明在解方程时的解答过程． 解：原方程可化为， 两边同除以，得： 解得：． 小明的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 7．（2026·江苏无锡·二模）计算： (1)解方程：； (2)解不等式组：． 8．（2026·广东深圳·二模）在数学课上，老师展示两道习题的解答过程： 习题1：计算：． 解：原式    第一步         第二步         第三步 习题2：解方程： 解：        第一步         第二步             第三步                 第四步 (1)解答过程中，习题1从第______步开始出现错误，习题2从第______步开始出现错误； (2)任选其中一个习题写出正确的解答过程（若两个题都作答，则只按习题1给分）． 9．（2026·安徽阜阳·二模）【观察思考】如图，“五一”劳动节期间，政府广场上用盆景（用“☆”表示）和花卉（用“☐”表示）组成图案． 【规律发现】 (1)第7个图案中盆景的盆数为____________； (2)第个图案中花卉的盆数可表示为____________（用含的式子表示）； 【规律应用】 (3)若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共121盆，求该图案中盆景和花卉各有多少盆． 10．（2026·广东中山·二模）【阅读与探索】 弗朗索瓦·韦达（，）是16世纪法国数学家，他是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进，被誉为“代数学之父”．他深入研究了一元二次方程的根与系数之间的关系．对于一般形式的一元二次方程，如果方程的两根为、，则，．特别地，当二次项系数时，方程可化为，此时根与系数的关系式变得更加简洁：，．这种关系以他的姓氏命名为“韦达定理”也被称为“根与系数的关系”． 根据以上材料回答以下问题： (1)两个数的和为8，积为9.75，求这两个数．在解决这个问题时，可以这样思考： 设这两个数为、，则，．由此可根据韦达定理，构造一个以、为根的一元二次方程，此方程（一般式）为___________． (2)解（1）中所列方程； (3)设实数、、满足，求的取值范围． 解一元二次方程 考点06 1．（2026·重庆·二模）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（    ）个人患流感． A．8 B．9 C．648 D．729 2．（2026·安徽阜阳·二模）某高科技公司今年1月份的销售额是2000万元，3月份的销售额是4500万元，如果按照2，3两个月的平均增长率增长，月销售额首次突破1亿元的月份是（   ） A．5月份 B．4月份 C．7月份 D．6月份 3．（2026·辽宁本溪·二模）南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为平方步，它的宽比长少步，问宽和长各多少步？设这块田地的宽为步，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·河南周口·二模）如图是小丽与的对话截屏，在深度思考后，给出的正确答案是（   ） A．1 B． C．1或 D．不存在 5．（2026·天津宁河·二模）如图，正方形的边长为，动点从点出发，以的速度沿边向终点运动，动点从点同时出发，以的速度沿边，向终点运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有以下结论： ①当时，； ②当时，的最大面积是； ③的面积可以是．其中，正确结论的个数是（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 6．（2026·广东东莞·二模）在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请个球队参加比赛，则可列的方程为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·辽宁营口·二模）为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱． (1)该纪念品今年1月份的销售量为600件，3月份的销售量为864件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率． (2)该纪念品的进价为每件50元，据市场调查发现，若售价为每件90元，每天能销售30件；售价每降价1元，每天可多售出2件．为推广航天知识，基地决定降价促销，同时尽快减少库存．若使销售该纪念品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 8．（2026·安徽蚌埠·二模）【观察思考】如图所示，是用图形“”和“●”按一定规律设计的图案． (1)【规律发现】第⑥个图案中“●”的个数为 ，第个图案中“●”的个数为 （用含的代数式表示）； (2)【规律发现】第①个图案中“”的个数可表示为，第②个图案中“”的个数可表示为，第③个图案中“”的个数可表示为，第④个图案中“”的个数可表示为，…，第⑥个图案中“”的个数为 ，第个图案中“”的个数为 （用含的代数式表示）； (3)【规律应用】按照此规律继续摆下去，第个图案中的“”的个数是“●”个数的倍，求的值． 9．（2026·安徽合肥·二模）综合实践： 【问题背景】在生活中经常看到一些拼合图案如图1，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． 【问题情境】如图2是某广场用正十二边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正十二边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖，第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，…，依此类推． 【问题探究】 (1)①第4层中分别含有________块正方形和________块正三角形地板砖； ②第n层中含有___________________块正三角形地板砖（用含n的代数式表示）． (2)观察下列算式，并完成填空： ； ； ； ； … ________________． 【问题拓展】 (3)现打算在此广场中央，采用如图2样式的图案铺设地面，现有1块正十二边形、120块正方形和630块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，从里向外最多能铺多少层？请说明理由． 10．（2026·河南周口·二模）某工厂改进生产线后，某零件日产量从第一周的500件增加到第三周的605件．若第二周、第三周相对于前一周的增长率相同． (1)求每周平均增长率； (2)按此增长率，第四周日产量预计为多少件？ 分式方程值 考点07 1．（2026·新疆喀什·二模）某商店按批发价购进一批新疆薄皮核桃，第一次用1200元购进若干斤，第二次进价上浮，已知用1500元购进的核桃比第一次多10斤．设第一次进价为x元/斤，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江温州·二模）将方程两边同乘后，可变形为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·山西吕梁·二模）下面解分式方程的步骤中，错误的是（   ） A．将方程两边同时乘可转化为整式方程 B．去分母后的一元一次方程为 C．原分式方程的解为 D．原分式方程无解 4．（2026·上海青浦·二模）将分式方程化为整式方程，下列答案正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·上海金山·二模）在分式方程中，设，可得到关于的整式方程为（ ） A． B． C． D． 6．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 7．（2026·黑龙江佳木斯·二模）关于的分式方程无解，则的值为（） A．或 B．或 C．或 D． 8．（2026·广东东莞·二模）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的1.5倍．若两种机器人分别同时装载货物6吨，普通机器人比智能机器人多用20分钟，求智能机器人每小时可以装载多少吨货物？ 解一元一次不等式及应用 考点08 1．（2026·云南临沧·二模）在中，是模型用来表示自然语言文本的基本单位．已知通过官方，模型每分钟输出生成速度是模型每分钟输出生成速度的3倍，模型输出生成 的时间比模型输出生成 的时间多用分钟．请问模型每分钟输出生成速度是多少？ 2．（2026·浙江温州·二模）小鹿从家出发，先步行，再跑步去离家路程米的图书馆参加阅读节活动，已知步行速度为米/分，跑步速度为米/分，问：若要在分钟内（含分钟）到达图书馆，他至少要跑步多少分钟？设跑步的时间为分钟，则可列不等式为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西渭南·二模）不等式的最小整数解是（     ） A． B． C． D．3 4．（2026·云南曲靖·二模）函数有意义，则的值可以是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 5．（2026·陕西宝鸡·二模）不等式的正整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2026·河北唐山·二模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为、，且满足，则m的取值范围是（） A． B． C． D．或 7．（2026·陕西渭南·二模）科技赋能乡村振兴，中国迎来智慧农田时代，在农田里使用太阳能风吸式杀虫灯来诱杀害虫，可以大幅减少农药使用，实现绿色种植．某种植户计划购入一批太阳能风吸式杀虫灯，有两家专卖店的同一款太阳能风吸式杀虫灯的报价均为600元／台，并分别给出以下优惠方案： 专卖店 优惠方案 A专卖店 每台杀虫灯打八折出售 B专卖店 第一台按原价出售，其余每台打七折出售 该种植户计划购买杀虫灯（）台，设去A专卖店购买应付元，去B专卖店购买应付元．根据以上信息，解答下列问题： (1)分别求出、与x之间的函数关系式； (2)若该种植户只在一个专卖店购买，请通过计算说明在哪个专卖店购买更便宜？ 8．（2026·天津东丽·二模）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得___________； (2)解不等式②，得___________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为___________． 9．（2026·山东济南·二模）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 10．（2026·广东东莞·二模）不等式组的解集是（     ） A． B． C． D． 解一元一次不等式组及应用 考点09 1．（2026·安徽滁州·二模）已知实数，满足：，，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河南·二模）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江温州·二模）不等式组的解集是________． ． 4．（2026·河南平顶山·二模）不等式组的解集是_______． 5．（2026·安徽合肥·二模）“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在数学活动课上，小华和小明同学探究类似填幻方的数字游戏，将数字1，2，3，4，5，6填入如图所示的“□”中，使每个圆圈上的三个数字之和都相等． ①如图1所示，每个圆圈上的三个数字之和为_____． ②如图2所示，三个“□”中的数字分别记为：，，，请根据以下的对话内容，则的值为______． 小彬：由填数规则得；所以 小华：我发现，若记每个圆圈上的三个数字之和为，则的值可以用含的式子表示． 小彬：对！根据你的发现，可以求出的值． 6．（2026·山东青岛·二模）按要求完成下列计算： (1)化简：； (2)解不等式组： 7．（2026·甘肃陇南·二模）解不等式组：． 8．（2026·江苏苏州·二模）解不等式组：． 9．（2026·贵州六盘水·二模）为落实中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求，某校九年级（1）班计划开展花样跳绳活动，需购买A，B两种跳绳．已知购买A，B两种跳绳的数量与总费用信息如下表： A种跳绳（根） B种跳绳（根） 总费用（元） 2 1 18 3 2 31 (1)求A，B两种跳绳的单价； (2)若九年级（1）班计划购买A，B两种跳绳共40根，且A种跳绳的数量不超过B种跳绳数量的7倍，不少于B种跳绳数量的4倍，应如何购买才能使总费用最低，最低费用是多少？ 10．（2026·河南平顶山·二模）某复印店购进一批复印纸和墨盒．购进箱复印纸和箱墨盒共需元；购进箱复印纸和箱墨盒共需元． (1)求复印纸和墨盒每箱的价格． (2)若复印店计划采购复印纸和墨盒共箱，且复印纸的箱数不多于墨盒的倍，复印纸和墨盒的采购总费用不超过元，该复印店共有几种采购方案？（不需要写出具体方案） 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 方程与不等式 9大考点概览 考点01解一元一次方程 考点02实际问题与一元一次方程 考点03解二元一次方程组 考点04实际问题与二元一次方程组 考点05解一元二次方程 考点06实际问题与一元二次方程 考点07分式方程 考点08解一元一次不等式及应用 考点09解一元一次不等式组及应用 解一元一次方程 考点01 1．（2026·广西梧州·二模）现定义一种新运算：对任意实数，，规定，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， 解得． 2．（2026·湖南邵阳·二模）已知是关于的方程的解，则的值为（    ） A． B．3 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据方程的解的定义，将已知解代入原方程，得到关于m的一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入原方程，得， 解得． 3．（2026·安徽宣城·二模）若是关于的方程的解，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】将代入求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， 解得：． 4．（2026·山东济宁·二模）数学课上，两位同学讨论关于x的方程（m，n为整数）的解的情况，对话如下： 甲同学：“这个方程有唯一解，且解为．” 乙同学．“我发现，当正整数m取最大值时，；当正整数m取最小值时，．” 给出下列三个结论：①；②m的最小值是1；③满足条件的正整数m共有4个．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【详解】解：方程化简得： ， 由方程有唯一解可知：，即， 将唯一解：，代入化简后的方程，得：， 若，则，与矛盾； ，结论①正确； 根据乙同学的对话可知： 当正整数m取得最大值时：，代入，得：； 当正整数m取得最小值时：，代入，得：； 的最小值是3，不是1， 结论②错误； ，包含四个正整数： 结论③正确． 5．（2026·江苏苏州·二模）定义：若两个一元一次方程的解之和为3，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”：__________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】先求解已知方程，再根据“方程”的定义得到所求方程的解，即可构造出符合要求的方程． 【详解】解：解方程得， 互为“方程”的两个一元一次方程的解之和为， 方程的“方程”的解为， 满足条件的一个“方程”为（答案不唯一）． 6．（2026·重庆·二模）若，且，则关于x的一元一次方程的解是______． 【答案】 【分析】先根据，判断异号，求出的值，再将代入给定的一元一次方程求解即可． 【详解】解：， 异号， 分两种情况讨论， 当时， ， 当时， ， 综上可得， 将代入原方程得，， 移项，合并同类项得，， 系数化为得，． 7．（2026·广东广州·二模）解方程：． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的解法，先去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为，进而求出方程的解． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 8．（2026·广西南宁·二模）计算、解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： 解得 9．（2026·江苏南京·二模）． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的求解，解题的关键是将分式方程化为整式方程，再求解整式方程，最后对所得的解进行检验，看是否会使原方程的分母为零． 【详解】解： 化简表达式得： 等式两边同时乘得： 化简得： 解得： 经检验，是原分式方程的解， 所以． 10．（2026·河北邯郸·二模）如图，某数学课外活动小组的同学做了一个数学风车，风车的每片叶片上标有一个实数． (1)若，求这四个实数的和； (2)若相对的两个叶片上实数的积相等，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接将4个数相加即可求解； （2）列出关于的方程求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意得，解得． 科学记数法 考点02 1．（2026·山西吕梁·二模）茶在中国文化中占有重要地位，在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、色泽有显著影响．已知某茶具厂共有160个工人，每个工人一天能做200个茶杯或30个茶壶，该茶具厂的一套茶具为4个茶杯和1个茶壶．若要使每天生产的茶具配套，则应安排生产茶杯的工人人数为（   ） A．60 B．65 C．70 D．75 【答案】A 【分析】根据等量关系“每天生产的茶杯总数量是茶壶总数量的4倍”列方程求解即可． 【详解】解：设应安排生产茶杯的工人人数为人，则安排生产茶壶的工人人数为人． ∵一套茶具需要个茶杯配个茶壶， ∴生产出的茶杯总数量应为茶壶总数量的倍． 由此列方程，得 化简，得 解得． ∴应安排生产茶杯的工人人数为60人． 2．（2026·河北石家庄·二模）现有一个水池，若单独打开甲进水管，1个小时可以注满水池；若单独打开乙进水管，个小时可以注满水池．若甲、乙两管同时打开，几个小时可以注满水池？设若甲、乙两管同时打开，个小时可以注满水池，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用工作效率=工作总量工作时间，将水池总量看作单位“1”，求出甲、乙的进水效率，再根据合作效率列方程求解． 【详解】解：将注满水池的总工作量看作单位1， 甲进水管1小时注满水池，因此甲的进水效率为1； 乙进水管b小时注满水池，因此乙的进水效率为； 甲、乙两管同时打开，小时注满水池，根据“工作效率工作时间=工作总量”，可得方程： ， 对式子化简求解： ， ． 3．（2026·浙江台州·二模）“九宫图”传说源于远古时代洛河中的神龟背甲图案，故又称“龟背图”．数学中的“九宫图”指一个的方格，要求其每行、每列及每条对角线上的三个数字之和均相等．如图所示为一个不完整的“九宫图”，则的值为（     ） A． B． C． D．6 【答案】D 【详解】解：由两条对角线上的数字之和相等，可得， ∴. 4．（2026·安徽·二模）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由漏壶（供水壶）和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭尺随箭壶中的水位匀速上浮，通过读取箭尺读数可指示时间，观察、记录数据如下表（未记录完整）： 箭尺读数（） 1 3.5 6 13.5 21 31 指示时间 ？ 则箭尺读数为时，指示时间应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断出箭尺每小时匀速上升，以为时间起点，设经过小时后，箭尺读数为，进而进行计算即可求解． 【详解】解：由表格可得至，读数从变成了，至，读数变成了，水匀速地从供水壶流到箭壶， ∴箭尺每小时匀速上升， ∴以为时间起点，设经过小时后，箭尺读数为， ∴当箭尺读数为时，即， 解得． ∴经过8小时后，指示时间为． 5．（2026·安徽合肥·二模）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2是一个未完成的幻方，则与的和是（   ） A．22 B．23 C．24 D．26 【答案】C 【分析】设正中间的数为，左下角的数为，右下角的数为，根据题意：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，先求出，再求出，进而求出即可得出结果． 【详解】解：如图，设正中间的数为，左下角的数为，右下角的数为， 由题意得：，则， ，则， ，即，则， ，即，则， ∴． 6．（2026·黑龙江佳木斯·二模）在一条笔直的公路上依次有A，B，C三地．甲车从A地出发匀速行驶到B地，休息1小时后，原速行驶到C地，同时乙车从C地出发匀速行驶到B地后，立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速返回到C地，甲车比乙车早1小时到达C地．甲，乙两车距B地的路程y（单位：千米）与甲车出发时间x（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象解决下列问题： (1)乙车的速度为 千米/时，A地与C地之间的距离为 千米； (2)求甲车从B地到C地的过程中y与x的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (3)在两车行驶过程中，出发多少小时后，甲，乙两车相距30千米？请直接写出答案． 【答案】(1)60，720 (2) (3)出发小时或4.5小时或小时或小时或小时后，甲，乙两车相距30千米． 【分析】（1）根据图象可知乙车4小时行驶240千米，求出乙车的速度，求出甲车从B地到达C地所用时间，进而求出甲车的速度，用速度乘以甲车行驶的总时间，进行求解即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）分5种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：乙车的速度为（千米/小时）； ∵乙车从C地出发匀速行驶到B地后，立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速返回到C地， ∴乙车返回时间也为4小时，共用时8小时， ∵甲车从A地出发匀速行驶到B地，休息1小时后，原速行驶到C地，且甲车比乙车早1小时到达C地， ∴甲车从B地行驶到C地所用时间为小时，从地到地行驶时间为小时， ∴甲车的速度为（千米/小时）；地到地的距离为（千米）； （2）解：由（1）可知， 甲车从B地行驶到C地的图象过点， 设函数解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴； （3）解：当时，，解得； 当时，； 当时，甲追上乙之前， ，解得； 甲追上乙之后， ，解得； 当时，； 综上：出发小时或4.5小时或小时或小时或小时后，甲，乙两车相距30千米． 7．（2026·上海徐汇·二模）上海市居民自来水水费由供水费和污水处理费两部分组成，污水处理量由于损耗按照用水量的核定计算，污水处理费统一单价为2元/m3．小户型家庭供水费按年用水量分三档计费，收费标准如下表，每户每年应缴自来水水费（元）与用水量关系如图所示． 分类 第1档 第2档 第3档 用水量（m3） 不超过220 超过220不超过300的部分 超过300的部分 供水费单价（元/m3） 2.25 6.99 污水处理费（元/m3） 2.00 根据上述信息，解答下列问题： (1)第1档的自来水水费1m3的单价为_______元；图中点的纵坐标为________； (2)小华家去年的年用水量为250m3，共缴纳水费1065元．通过计算推出的值为________元； (3)已知小明家去年共缴水费2234元，求小明家去年的年用水量． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据水费的单价=供水费单价+污水处理费单价求解即可；求出用水量为的水费即可； （2）根据共缴水费元列出方程求解即可； （3）先判断，然后根据共缴水费元列出方程求解即可. 【详解】（1）解：第1档的自来水水费1m3的单价为元， ∵， ∴图中点的纵坐标为； （2）解：根据题意，得， 解得； （3）解：当时，， ∵， ∴， ∴， 解得， 答：小明家去年的年用水量. 8．（2026·北京昌平·二模）端午，是我国四大传统节日之一，佩戴香囊是流传千年的端午民俗．古人常在香囊内装入艾草、丁香、薰衣草等中草药，寓意祈福安康，承载着中华民族独特的养生智慧与民俗文化．制作端午香囊所选用的原始长方形布料的长与宽之比一般为，制作时，先距离布料上下两端为原始长方形布料的长的处进行画线，再分别距离左右两边为原始长方形布料的宽的处进行画线（如图1），然后沿中线对折（如图2），最后经过一系列折边定型、缝边、翻面等操作，得到成品香囊（如图3）．某人制作端午香囊时，要求成品香囊的长比宽多，求制作端午香囊所用的原始长方形布料的长和宽各是多少厘米？ 【答案】原始长方形布料的长和宽各是厘米和厘米 【分析】通过设未知数，根据成品香囊长和宽的关系列出方程，进而求解原始长方形布料的长和宽． 【详解】原始长方形布料的长与宽之比一般为， 可设原始长方形布料的长为，则宽为， 由题意可得，成品香囊的长为，宽为， 成品香囊的长比宽多， ，解得， ， 答：制作端午香囊所用的原始长方形布料的长和宽各是厘米和厘米． 9．（2026·辽宁朝阳·二模）在篮球联赛中，辽宁男篮已经在赛场连续九胜，保持本赛季不败记录，这也激起了辽宁男篮球迷购买球队相关物品的热情．某网店直接从工厂购进辽宁队A、B两款公仔玩偶，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价进货价） 类别价格 A款公仔玩偶 B款公仔玩偶 进货价（元/件） 44 55 销售价（元/件） 59 67 (1)网店用1430元购进A、B两款公仔玩偶共30件，求两款公仔玩偶分别购进多少件； (2)为了回报球迷，网店打算把B款公仔玩偶调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售12件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售6件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元？ 【答案】(1)购进A款公仔玩偶20件，购进B款公仔玩偶件． (2)将B款公仔玩偶销售价定为每件60元或64元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元． 【分析】（1）设购进A款公仔玩偶x件，购进B款公仔玩偶件，根据等量关系：两款公仔玩偶共花费1430元，建立一元一次方程即可求解； （2）设将B款公仔玩偶销售价定为每件y元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元；由题意列出关于y的一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设购进A款公仔玩偶x件，购进B款公仔玩偶件， 由题意得：， 解得：， 则（件）； 答：购进A款公仔玩偶20件，购进B款公仔玩偶件． （2）解：设将B款公仔玩偶销售价定为每件y元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：将B款公仔玩偶销售价定为每件60元或64元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元． 因式分解 考点03 1．（2026·安徽阜阳·二模）已知实数a，b，c满足，，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用消元法，通过已知等式将变量用其他变量表示，代入不等式得到基础关系，再化简各选项判断正误. 【详解】解：∵ ， ∴ ，， 将代入 得： ， 化简得 ，即 ，选项A正确； 将代入 得： ， 化简得，选项B正确； 化简选项C： ， ∵ ， ∴ ，即 ，选项C错误； 化简选项D： ， ∵ ， ∴ ，选项D正确. 2．（2026·青海西宁·二模）若，则的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用平方数和绝对值的非负性构造二元一次方程组，通过整体计算求出的值，再计算其平方根即可得到结果． 【详解】解：∵任何数的平方是非负数，任何数的绝对值也是非负数，且 ∴几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，可得 ， 将得 ， 等式两边同除以3得 ， ∵的平方根为， ∴的平方根是． 3．（2026·广东广州·二模）已知非负实数x，y满足和，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意将和变形即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵x，y为非负实数， ∴，解得， ∴， 已知， 将代入，得， 化简，得． 逐一验证选项： 选项A，，把代入，得，解得， 并非对所有满足条件的x都成立，因此A错误； 选项B，， ∵， ∴选项B错误； 选项C，， 把，代入左边， 得 ， 与右边相等，因此C正确； 选项D，，当时， ，因此D错误． 4．（2026·四川南充·二模）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的值可以是（    ） A．4 B．3 C．0 D．－4 【答案】A 【分析】先通过加减消元法解出关于m的表达式，再根据得到m的取值范围，最后判断选项． 【详解】解：解方程组 ∵ 将 得 ，整理得 将 代入，得 整理得 ∵ 方程组的解满足 ∴ 移项得 解得 选项中只有， 故选项A符合题意． 5．（2026·安徽·二模）已知实数，，满足． （1）若且，则的范围是______； （2）若，则的值为______． 【答案】 【分析】（）由得，再结合，则，所以，又，从而求出的范围； （）由，，则，为方程的两实根，然后通过根的判别式即可求解． 【详解】解：（）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （）由，， ∴，为方程的两实根， ∴， ∴，，， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 6．（2026·浙江温州·二模）若，则______． 【答案】3 【详解】解：， ①+②，得 ， ∴． 7．（2026·浙江温州·二模）解方程组：． 【答案】 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 则原方程组的解为． 8．（2026·新疆昌吉·二模）求解如下问题： (1)解方程组． (2)习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校开展师生阅读活动，打造书香校园，据统计，九年级师生第一周参与阅读400人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到676人次．求九年级师生阅读人次的周平均增长率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法求解即可； （2）设周平均增长率为x，根据题意列出方程即可求解 【详解】（1）解：由第一个方程得， 代入第二个方程： 将代入，得． ∴； （2）解：设周平均增长率为x，第一周为400人次，第三周为人次， 由题意得： 两边除以400： 开平方： 解得（负值舍去）． 9．（2026·广西贵港·二模）计算 (1)计算：； (2)解方程组：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数运算法则进行计算即可； （2）用加减消元法进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：得：， 解得， 将代入①，解得， ． 10．（2026·上海黄浦·二模）解方程组： 【答案】， 【分析】整理后得出，解一元二次方程，再代入①解答即可； 【详解】解： ，由分式分母不为0，得， ②可化为： ， 将①代入，得 ，解得：③， 由①得，代入③得：， 整理得：， 因式分解得， 解得或， 代入①求并检验，时，；时，，两组解都满足原方程， 因此，是原方程组的解． 实数的运算 考点04 1．（2026·浙江温州·二模）某校举办人工智能知识竞答，共25道题，答对1题得4分，答错1题扣2分，不答得0分．小明答完全部题目，得70分．设答对道，答错道，可列正确的二元一次方程组是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据题意找出两个等量关系，即可列出正确的二元一次方程组，第一个等量关系为总题数关系，第二个等量关系为总得分关系． 【详解】∵总题量共25道，小明答完全部题目，答对道，答错道 ， ∴答对题目数与答错题目数的和为总题数，可得， ∵答对1题得4分，答错1题扣2分，总得分是70分， ∴总得分为答对得分减去答错扣分，可得 联立得方程组 ． 2．（2026·黑龙江佳木斯·二模）我校运动会购买奖品，商店有A，B两种笔记本可供选择，A笔记本每本5元，B笔记本每本3元，现有50元钱全部用完，购买A笔记本和B笔记本作为奖品，请问有几种购买方案（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】设两种笔记本的购买数量为未知数，根据总花费列出二元一次方程，求方程的非负整数解的个数即可得到购买方案数． 【详解】解：设购买A种笔记本本，B种笔记本本，均为非负整数， 根据题意得：， ∴， ∵为非负整数，5与3互质， ∴能被3整除，且， ∴可取， ∴有4种购买方案． 3．（2026·广西梧州·二模）已知：词牌《浣溪沙》每阕含6句，每句7个字；词牌《采桑子》每阕含8句，每句6个字．在某古代词集中，《浣溪沙》的篇目数量相较于《采桑子》多6阕，然而《浣溪沙》全篇总字数却比《采桑子》少12字．请问词集中《浣溪沙》和《采桑子》各收录了多少阕？（注：此处采用特定变体格律，以题目给定句数、字数为准）（     ） A．44，38 B．50，44 C．60，54 D．66，60 【答案】B 【分析】先计算出两种词牌每阕的总字数，再根据数量差、总字数差的关系列方程组求解即可． 【详解】解：∵《浣溪沙》每阕6句，每句7字， ∴每阕字数为， ∵《采桑子》每阕8句，每句6字， ∴每阕字数为， 设《浣溪沙》收录阕，《采桑子》收录阕，根据题意列方程组： ， 解得：． 4．（2026·四川绵阳·二模）人民公园的人工湖有大小两种游船供游客选用，已知租借3艘大船和4艘小船共需240元，租借2艘大船和2艘小船共需要140元，根据规定，大船每次最多可坐8人，小船每次最多可坐5人，若某班有52名同学都参加游船项目活动，则租船费用至少应是____元． 【答案】270 【分析】本题先通过列二元一次方程组求解出单艘大船和小船的租金，再根据人均租金判断优先多租大船更划算，列举所有满足载客要求的租船方案，对比各方案费用得到最小值． 【详解】解：设租借艘大船需要元，租借艘小船需要元， 根据题意列方程组得 解得，. 因此单艘大船租金为元，单艘小船租金为元， 设租大船艘，小船艘，总费用为元，根据题意得，其中为非负整数，总费用， 计算得大船人均租金为元，小船人均租金为元，因此优先多租大船可降低总费用，列举可行方案计算费用： 当时，，元； 当时，，剩余人需租艘小船，满足载客要求，此时元； 当时，，剩余人需租艘小船，此时元； 当时，，剩余人需租艘小船，此时元； 当时，计算可得总费用均大于元. 因此租船费用的最小值为． 5．（2026·陕西西安·二模）已知某段旋律由若干四分音符和八分音符构成，其中四分音符的时值为1拍，八分音符的时值为拍，若这段旋律的总拍数为12拍，其中四分音符的个数比八分音符多3个．设这段旋律中四分音符的个数为x，八分音符的个数为y，则可列方程组为______． 【答案】 【分析】根据题意提取两个等量关系，一是总拍数为12拍，二是四分音符个数比八分音符多3个，根据等量关系列方程组即可． 【详解】解：设该段旋律中四分音符的个数为，八分音符的个数为， 根据总拍数为12拍，可得， 根据四分音符的个数比八分音符多3个，可得， 联立得方程组． 6．（2026·安徽滁州·二模）某公司生产甲、乙两款学习机，每天生产的甲款学习机的数量比生产的乙款学习机的数量多80台，3天生产的甲款学习机数量比4天生产的乙款学习机的数量多140台，该公司每天生产甲、乙两款学习机分别是多少台？ 【答案】该公司每天生产甲款学习机180台，生产乙款学习机100台 【分析】设甲为台，乙为台，每天生产的甲款学习机的数量比生产的乙款学习机的数量多80台，则，3天生产的甲款学习机数量比4天生产的乙款学习机的数量多140台，则，据此解答即可． 【详解】解：设该公司每天生产甲款学习机台，生产乙款学习机台． 由题意，得，   解这个方程组，得， 答：该公司每天生产甲款学习机180台，生产乙款学习机100台． 7．（2026·山东济南·二模）国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份A或B食品的核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：） 蛋白质（单位：） 脂肪（单位：） 碳水化合物（单位：） A 240 12 7.5 29.8 B 280 13 9 27.6 (1)若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用A、B两种食品各多少份？ (2)若每份午餐选用这两种食品共6份，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？ 【答案】(1)应选用A种食品3份，B种食品2份 (2)应选用A种食品2份，B种食品4份 【分析】（1）设应选用A种食品x份，B种食品y份，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可． （2）设应选用A种食品m份，则选用B种食品份，根据题意列出关于m的一元一次不等式，求出m的取值范围，设每份午餐的能量为，根据题意列出w关于m的一次函数关系式，结合一次函数的性质求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设应选用A种食品x份，B种食品y份， 根据题意得：， 解得：， 答：应选用A种食品3份，B种食品2份； （2）解：设应选用A种食品m份，则选用B种食品份， 根据题意得：， 解得：， 设每份午餐的能量为， 则， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最小值，此时． 答：应选用A种食品2份，B种食品4份． 8．（2026·安徽阜阳·二模）某公司使用甲、乙两种文字生成软件，同时使用每秒钟可以生成400个字符的文章内容，升级后同时使用每秒钟可以生成450个字符的文章内容，其中甲软件生成字符效率比升级前增加，乙软件生成字符效率比升级前增加，求该公司使用的甲、乙两种文字生成软件在升级前每秒钟分别可以生成字符的个数． 【答案】该公司使用的甲、乙两种文字生成软件在升级前每秒钟分别可以生成字符100个，300个 【分析】设该公司使用的甲、乙两种文字生成软件在升级前每秒钟分别可以生成字符的个数为个，然后根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设该公司使用的甲、乙两种文字生成软件在升级前每秒钟分别可以生成字符的个数为个 根据题意得， 解得. 答：该公司使用的甲、乙两种AI文字生成软件在升级前每秒钟分别可以生成字符100个，300个． 9．（2026·山西太原·二模）三晋黄土与千度窑火的千年契阔，淬炼出国家级非物质文化遗产——山西琉璃这门东方古法技艺．某文创店主从厂家购买了个“琉璃小马”摆件和个“琉璃笔架”摆件共花费元；他的同伴购买了个“琉璃小马”摆件和个“琉璃笔架”摆件共花费元． (1)求“琉璃小马”摆件与“琉璃笔架”摆件的单价； (2)该店主发现这两种摆件都很畅销，他准备用元购入“琉璃小马”摆件与“琉璃笔架”摆件共个销售，他最多可以购入“琉璃小马”摆件多少个？ 【答案】(1)琉璃小马摆件的单价为元，琉璃笔架摆件的单价为元 (2)个 【分析】（1）设琉璃小马摆件的单价为元，琉璃笔架摆件的单价为元，根据购买了个“琉璃小马”摆件和个“琉璃笔架”摆件共花费元；购买了个“琉璃小马”摆件和个“琉璃笔架”摆件共花费元列方程组求解即可； （2）设他可以购买琉璃小马摆件个，根据元购入“琉璃小马”摆件与“琉璃笔架”摆件共个销售列不等式求解即可. 【详解】（1）解：设琉璃小马摆件的单价为元，琉璃笔架摆件的单价为元， 根据题意，得 解得：， 答：琉璃小马摆件的单价为元，琉璃笔架摆件的单价为元． （2）解：设他可以购买琉璃小马摆件个， 根据题意，得 ， 解得， 为正整数， ∴的最大值为， 答：他最多可以购买琉璃小马摆件个． 10．（2026·安徽六安·二模）【项目主题】 某校数学社团开展“探索幻方”实践活动，旨在探究幻方的数式规律，并尝试将幻方制作应用于社团活动中． 【项目准备】 （）幻方：是一种将连续自然数（或特定规则的数）填入正方形方格中的数学结构，满足以下数学条件：每行数的和、每列数的和两条对角线上的数的和都相等，这个方格表就叫做幻方，相等的和叫做幻和． （）如图是由这个数构造的一个三阶幻方（方格）． 【规律探究】 (1)观察图，中心数是，该三阶幻方的幻和（即幻和等于中心数的倍）． 若将图中每个数修改为，，，…，得到一个新的三阶幻方，则新幻方的幻和 ① （用含的代数式表示）． (2)若用，，，…，这个连续正整数构造一个三阶幻方，则幻和 ② （用含的代数式表示）． (3)如图是由 这个自然数构造的五阶幻方（方格），幻和． 若将每个数修改为，，，…，，得到一个新的五阶幻方，则新幻方的幻和 ③（用含的代数式表示）． 【项目分析】 为了更好地开展活动，吸引更多同学参加，数学社团需要制作一些幻方展板，具体要求如下： ①展板为或的方形塑料板各10个，②每个展板上贴一些写有数字的塑料片，要求整个展板构成一个三阶或五阶幻方，③展板上的数必须是从某一起始数开始的满足特定条件的自然数． (4)现有两种备选方案： 方案一：用 这个连续奇数构造三阶幻方共制作套． 方案二：用，，，，…，这个自然数构造五阶幻方共制作套． 当，时，方案二的幻和： ④ ． 每个展板的制作成本为元，数贴纸费用为每个数字元（即按数字的位数收费，如贴纸数字是一位数收费元，贴纸数字是二位数收费元，贴纸数字是位数收费元），计算方案一总成本为 ⑤ 元． 【项目实施】 (5)根据以上分析，若社团要求方案二的幻和为，且最大数为，则方案一和方案二的展板各块的总成本为 ⑥ 元． 【答案】(1) (2) (3) (4)； (5) 【分析】（）求出新幻方的中心数，进而即可求解； （）求出新幻方的中心数，进而即可求解； （）求出新幻方的中心数，进而即可求解； （）求出方案二数列，进而求出五阶幻方的中心数，即可求出幻和；再根据题意求出方案一总成本即可； （）根据题意列出关于的二元一次方程组，求出的值，即得到方案二数列，再求出方案二总成本，最后和方案一总成本相加即可求解； 本题考查了整式加减的应用，二元一次方程组的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：新幻方的中心数为， ∴新幻方的幻和； （2）解：新幻方的中心数为， ∴新幻方的幻和； （3）解：新幻方的中心数为， ∴新幻方的幻和； （4）解：当，时，方案二数列为， ∴五阶幻方的中心数为， ∴五阶幻方的幻和； ∵方案一数列为， ∴方案一总成本为（元）； （5）解：由题意得，， 整理得，， 解得， ∴方案二数列为， ∴方案二总成本为（元）， ∴方案一和方案二的展板各块的总成本为（元）． 代数式的化简求值 考点05 1．（2026·广东江门·二模）下列一元二次方程中，没有实数解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：、方程整理为一般式为， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，该选项不符合题意； 、方程 的解为，有两个相等的实数根，该选项不符合题意； 、∵， ∴方程没有实数根，该选项符合题意； 、由 得或， 解得， ∴方程有两个不相等的实数根，该选项不符合题意． 2．（2026·江西吉安·二模）如图1，将边长为2的正方形剪成四块图形，这四块图形恰好拼成如图2所示的图形（E，F，G，H在同一直线上），则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先结合图1和图2，设，则，得出，再证明，故，求出 ，即可得出答案． 【详解】解：设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴ 即， ∴， 整理得， ∴， 解得：（舍去），， ∴． 3．（2026·辽宁大连·二模）一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可判断方程根的情况． 【详解】解：， ， ∴， ∴方程无实数根． 4．（2026·浙江温州·二模）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（   ） A． B．64 C． D．16 【答案】D 【分析】根据一元二次方程有两个相等实数根时根的判别式，列出关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 5．（2026·河北唐山·二模）已知方程，则该方程根的情况判断正确的是（   ） A．两实数根之和为 B．两实数根之和为2 C．两实数根之积为3 D．没有实数根 【答案】B 【分析】利用因式分解法求出方程的根，再计算两根的和与积即可判断选项． 【详解】解： ， 解得，， 可知方程有两个不相等的实数根，两根之和为，两根之积为， 对照选项，只有B正确． 6．（2026·浙江台州·二模）以下是小明在解方程时的解答过程． 解：原方程可化为， 两边同除以，得： 解得：． 小明的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 【答案】小明解答有错误，正确的解答过程见解析． 【分析】小明错误地将方程两边同时除以，忽略了的可能；先移项，再用因式分解法求解即可得到正确结果． 【详解】解：小明的解答有错误，正确解答过程如下： 原方程可化为， 移项得， 提取公因式得， 因此或， 解得，． 7．（2026·江苏无锡·二模）计算： (1)解方程：； (2)解不等式组：． 【答案】(1)， (2)－1≤x<2 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ； （2）解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：． 8．（2026·广东深圳·二模）在数学课上，老师展示两道习题的解答过程： 习题1：计算：． 解：原式    第一步         第二步         第三步 习题2：解方程： 解：        第一步         第二步             第三步                 第四步 (1)解答过程中，习题1从第______步开始出现错误，习题2从第______步开始出现错误； (2)任选其中一个习题写出正确的解答过程（若两个题都作答，则只按习题1给分）． 【答案】(1)二，三； (2)见解析. 【分析】（1）根据分式的通分和平方根解题即可； （2）根据分式的通分可解答习题，根据配方法可解答习题． 【详解】（1）解：习题中第二步在合并分子时，对分子去括号时出错，应为； 习题中第三步应为； （2）解：习题1：原式 ； 习题2：∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴，． 9．（2026·安徽阜阳·二模）【观察思考】如图，“五一”劳动节期间，政府广场上用盆景（用“☆”表示）和花卉（用“☐”表示）组成图案． 【规律发现】 (1)第7个图案中盆景的盆数为____________； (2)第个图案中花卉的盆数可表示为____________（用含的式子表示）； 【规律应用】 (3)若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共121盆，求该图案中盆景和花卉各有多少盆． 【答案】(1)8 (2) (3)盆景和花卉的盆数分别为11盆，110盆． 【分析】（1）根据盆景的盆数比序号数多1解答； （2）先写出前4个图案花卉的盆数，再得出数字变化规律，即可得出答案； （3）先表示出第n个图案有盆景的盆数，再根据题意得出方程，然后整理成完全平方公式的形式，开方可得方程的解． 【详解】（1）解：第1个图案有盆景的盆数为2； 第2个图案有盆景的盆数为3； 第3个图案有盆景的盆数为4； 第4个图案有盆景的盆数为5； 第7个图案有盆景的盆数为8； （2）解：第1个图案有花卉的盆数为； 第2个图案有花卉的盆数为； 第3个图案有花卉的盆数为； 第4个图案有花卉的盆数为； 第n个图案有花卉的盆数为； （3）解：由（1）可知第n个图案有盆景的盆数为，则根据题意，得， 即， 解得或（不合题意，舍去）， 则，， 答：该图案中盆景和花卉的盆数分别为11盆，110盆． 10．（2026·广东中山·二模）【阅读与探索】 弗朗索瓦·韦达（，）是16世纪法国数学家，他是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进，被誉为“代数学之父”．他深入研究了一元二次方程的根与系数之间的关系．对于一般形式的一元二次方程，如果方程的两根为、，则，．特别地，当二次项系数时，方程可化为，此时根与系数的关系式变得更加简洁：，．这种关系以他的姓氏命名为“韦达定理”也被称为“根与系数的关系”． 根据以上材料回答以下问题： (1)两个数的和为8，积为9.75，求这两个数．在解决这个问题时，可以这样思考： 设这两个数为、，则，．由此可根据韦达定理，构造一个以、为根的一元二次方程，此方程（一般式）为___________． (2)解（1）中所列方程； (3)设实数、、满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据根与系数的关系即可写出方程； （2）利用因式分解法即可求解； （3）由条件可得，可看作是一元二次方程的两个根，再根据一元二次方程的判别式即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，一元二次方程的根与系数的关系式为：，， ∵，， ∴，， ∴一元二次方程为． （2）解：， ∴， ∴， ∴，． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，可看作一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 令， 当时，， ∴， 解得，， ∴的解集为，即的取值范围． 解一元二次方程 考点06 1．（2026·重庆·二模）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（    ）个人患流感． A．8 B．9 C．648 D．729 【答案】D 【分析】先列方程求出每轮平均传染人数，那么第一轮后患病总人数为，第二轮新增患病人数为，根据“经过两轮传染后共有81个人患流感”，列出方程解得后再计算第三轮传染后的总患病人数． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染个人， ， 整理得， 解得或， ∵传染人数不能为负数， ∴不符合题意，舍去， 则第三轮传染后总患病人数为（人）． 2．（2026·安徽阜阳·二模）某高科技公司今年1月份的销售额是2000万元，3月份的销售额是4500万元，如果按照2，3两个月的平均增长率增长，月销售额首次突破1亿元的月份是（   ） A．5月份 B．4月份 C．7月份 D．6月份 【答案】A 【分析】先根据1月和3月的销售额求出月平均增长率，再依次计算后续月份的销售额，对比1亿元得到首次突破的月份． 【详解】解：设2，3两个月的月平均增长率为， 1月份销售额为2000万元，3月份销售额为4500万元 可得方程， 整理得， 增长率为正数 ，解得 依次计算后续月份销售额： 4月份销售额：万元，，未突破1亿元 5月份销售额：万元，，首次突破1亿元 因此月销售额首次突破1亿元的月份是5月份． 3．（2026·辽宁本溪·二模）南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为平方步，它的宽比长少步，问宽和长各多少步？设这块田地的宽为步，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据宽与长的关系表示出长，再利用矩形面积公式列出方程． 【详解】解：∵设这块田地的宽为步，宽比长少步， ∴长为步， ∵矩形面积等于长乘宽，该矩形面积为平方步， ∴可列方程为． 4．（2026·河南周口·二模）如图是小丽与的对话截屏，在深度思考后，给出的正确答案是（   ） A．1 B． C．1或 D．不存在 【答案】A 【详解】解：依题意， ∴ 即 解得： 5．（2026·天津宁河·二模）如图，正方形的边长为，动点从点出发，以的速度沿边向终点运动，动点从点同时出发，以的速度沿边，向终点运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有以下结论： ①当时，； ②当时，的最大面积是； ③的面积可以是．其中，正确结论的个数是（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】对于①，分别计算出和即可；对于②，表示出和，用正方形的面积减去三个直角三角形的面积求出，，由二次函数的性质可得，当时，取得最大值；分段讨论，当时，，解得，当时，，解得． 【详解】解：对于①：∵， ∴点的运动路程为，， ∵， ∴点在边上， ∴， ∴，故①正确； 对于②：当时，点在边上，如图， 由题意可知，，， ∴，， ∴， ， ， ， ， ∵该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值，故②错误； 对于③：当时，由②可知，， ∴， 整理，得， 解得或（与题设矛盾，舍去）； 当时，如图， 根据题意，， ∴， ∴， 解得，符合题意， ∴当或时，的面积是，故③正确； 综上，正确的结论有2个． 6．（2026·广东东莞·二模）在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请个球队参加比赛，则可列的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】理清总比赛场数的计算方法，再根据已知总场数列出方程． 【详解】解：设邀请个球队参加比赛， ∵每个球队需要与除自身外的个球队各比赛一场，且甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛， ∴总比赛场数为， 已知计划安排28场比赛， 因此可列方程． 7．（2026·辽宁营口·二模）为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱． (1)该纪念品今年1月份的销售量为600件，3月份的销售量为864件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率． (2)该纪念品的进价为每件50元，据市场调查发现，若售价为每件90元，每天能销售30件；售价每降价1元，每天可多售出2件．为推广航天知识，基地决定降价促销，同时尽快减少库存．若使销售该纪念品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)售价应降低20元 【分析】（1）设月平均增长率为，因为1月销售量为600件，月平均增长率相同，所以3月销售量满足，直接求解该一元二次方程即可。 （2）设售价应降低元，因为每降价1元多售2件，所以降价后每天销售量为件，每件利润为元，根据总利润=单件利润×销售量，列方程，求解后结合“尽快减少库存”的条件选取符合要求的解。 【详解】（1）解：设月平均增长率为x 根据题意得：， 解得（不符合题意，舍去） 答：月平均增长率为． （2）解：设售价应降价y元． 根据题意可得： 整理可得： 解得： 为了尽快减少库存，应降价20元 答：售价应降低20元． 8．（2026·安徽蚌埠·二模）【观察思考】如图所示，是用图形“”和“●”按一定规律设计的图案． (1)【规律发现】第⑥个图案中“●”的个数为 ，第个图案中“●”的个数为 （用含的代数式表示）； (2)【规律发现】第①个图案中“”的个数可表示为，第②个图案中“”的个数可表示为，第③个图案中“”的个数可表示为，第④个图案中“”的个数可表示为，…，第⑥个图案中“”的个数为 ，第个图案中“”的个数为 （用含的代数式表示）； (3)【规律应用】按照此规律继续摆下去，第个图案中的“”的个数是“●”个数的倍，求的值． 【答案】(1)14， (2)21， (3)的值为10 【分析】1）根据图形找出规律为第n个图案中“●”的个数为个，再把代入求解即可； （2）根据题干的列举信息，直接得出结论； （3）根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：由题知，第①个图案“●”的个数为：； 第②个图案中“●”的个数为：； 第③个图案中“●”的个数为：； .... 所以第n个图案中“●”的个数为个， 当时，， 即第⑥个图案中“●”的个数为14个，第个图案中“●”的个数为个； （2）解：第①个图案中“”的个数可表示为， 第②个图案中“”的个数可表示为， 第③个图案中“”的个数可表示为， 第④个图案中“”的个数可表示为， …， ∴第个图案中“”的个数可表示为， 即第⑥个图案中“”的个数为个，第个图案中“”的个数可表示为； （3）解：由题意得，， 整理得：， 解得：或（舍）． 9．（2026·安徽合肥·二模）综合实践： 【问题背景】在生活中经常看到一些拼合图案如图1，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． 【问题情境】如图2是某广场用正十二边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正十二边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖，第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，…，依此类推． 【问题探究】 (1)①第4层中分别含有________块正方形和________块正三角形地板砖； ②第n层中含有___________________块正三角形地板砖（用含n的代数式表示）． (2)观察下列算式，并完成填空： ； ； ； ； … ________________． 【问题拓展】 (3)现打算在此广场中央，采用如图2样式的图案铺设地面，现有1块正十二边形、120块正方形和630块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，从里向外最多能铺多少层？请说明理由． 【答案】(1)①6，54；② (2) (3)铺设这样的图案，最多能铺9层；见解析 【分析】（1）列出前面几层正方形和三角形个数，找出规律，利用规律求解； （2）观察前面几个式子，找出规律，利用规律求解； （3）先计算出正方形地板可以铺多少层，由（1）（2）知，铺设层需要正三角形地板砖的数量为：，令，即可求解． 【详解】（1）解：①第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖， 第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，， 第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，， …… 以此类推，第4层包括正方形地板砖6块，正三角形地板砖：（块）； ②由①可知，第层含有正三角形地板砖的数量为 （2）解：由题意知，； （3）解：铺设这样的图案，最多能铺9层．理由如下： （层）， 块正方形地板砖可以铺设这样的图案20层； 由（1）（2）知，铺设层需要正三角形地板砖的数量为：， 令， 解得． 又， ，即， 630块正三角形地板砖最多可以铺设这样的图案9层． 铺设这样的图案，最多能铺9层． 10．（2026·河南周口·二模）某工厂改进生产线后，某零件日产量从第一周的500件增加到第三周的605件．若第二周、第三周相对于前一周的增长率相同． (1)求每周平均增长率； (2)按此增长率，第四周日产量预计为多少件？ 【答案】(1) (2)666件 【分析】（1）设该厂每周平均增长率为，根据题意列出，即可得到答案； （2）根据增长率列出计算式即可． 【详解】（1）解：设该厂每周平均增长率为， ， 解得，（舍去）， 故增长率为； （2）解：件， 答：第四周日产量预计为件． 分式方程值 考点07 1．（2026·新疆喀什·二模）某商店按批发价购进一批新疆薄皮核桃，第一次用1200元购进若干斤，第二次进价上浮，已知用1500元购进的核桃比第一次多10斤．设第一次进价为x元/斤，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】第一次进价为x元/斤，则第一次购进的核桃重量为斤，第二次进价上浮，即进价为元/斤，则第二次购进的核桃重量为斤，根据第二次购进的重量第一次购进的重量列方程即可． 【详解】解：第一次进价为x元/斤，则第一次购进的核桃重量为斤， 由题意得，， 整理得，． 2．（2026·浙江温州·二模）将方程两边同乘后，可变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照要求给原方程每一项同乘，注意，化简后即可得到结果． 【详解】解： 将方程两边同乘，得 ， 化简得即变形后为． 3．（2026·山西吕梁·二模）下面解分式方程的步骤中，错误的是（   ） A．将方程两边同时乘可转化为整式方程 B．去分母后的一元一次方程为 C．原分式方程的解为 D．原分式方程无解 【答案】C 【分析】根据解分式方程的步骤逐步分析即可解答． 【详解】解： 原方程为，且 ， A．去分母时，方程两边同时乘即可化为整式方程，因此选项A正确； B．去分母后整理得 ，因此选项B正确； C．解整式方程 ，得；将代入原方程分母，得 ，分母为零，分式无意义，因此是增根，原分式方程无解；即选项C错误，选项D正确． 4．（2026·上海青浦·二模）将分式方程化为整式方程，下列答案正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将分式方程两边同乘最简公分母去掉分母，再整理得到标准整式方程即可． 【详解】∵原方程为，且， 方程两边同乘最简公分母，得：， 移项整理得：． 5．（2026·上海金山·二模）在分式方程中，设，可得到关于的整式方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题使用换元法，将换元后的式子代入原分式方程，去分母化简即可得到关于的整式方程． 【详解】解：， ， 将其代入原分式方程可得， 方程两边同乘（），得， 整理得：． 6．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于m的表达式，再结合解为负数，且分式方程分母不为0，确定m的取值范围． 【详解】解：∵原方程为 ，且 ∴方程变形为 两边同乘得 整理得 解得 ∵方程的解为负数 ∴ ∵，∴ ， 解得 又∵分式方程分母不为0，即 ∴，解得 ∵，恒成立 ∴m的取值范围是 7．（2026·黑龙江佳木斯·二模）关于的分式方程无解，则的值为（） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，据此分情况计算的值即可． 【详解】解： ， 分两种情况讨论： 当整式方程无解时，， 解得：； 当整式方程的解为原分式方程的增根时，即， 代入得：， 解得， 综上，的值为或． 8．（2026·广东东莞·二模）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的1.5倍．若两种机器人分别同时装载货物6吨，普通机器人比智能机器人多用20分钟，求智能机器人每小时可以装载多少吨货物？ 【答案】智能机器人每小时可以装载货物9吨 【分析】建立分式方程，求解后得到智能机器人每小时可以装载多少吨货物． 【详解】解：设普通机器人每小时可以装载货物吨，则智能机器人每小时可以装载货物吨，得： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （吨）， 答：智能机器人每小时可以装载货物9吨． 解一元一次不等式及应用 考点08 1．（2026·云南临沧·二模）在中，是模型用来表示自然语言文本的基本单位．已知通过官方，模型每分钟输出生成速度是模型每分钟输出生成速度的3倍，模型输出生成 的时间比模型输出生成 的时间多用分钟．请问模型每分钟输出生成速度是多少？ 【答案】模型每分钟输出生成速度是分钟 【分析】利用时间 = 总量 ÷ 速度 的关系，结合两种模型的时间差建立方程求解； 【详解】解：设模型每分钟输出生成速度是 ，则模型每分钟输出生成速度是 ，根据题意列方程得， ， 解得，， 经检验是原分式方程的解且符合实际． 则分钟， 答：模型每分钟输出生成速度是分钟． 2．（2026·浙江温州·二模）小鹿从家出发，先步行，再跑步去离家路程米的图书馆参加阅读节活动，已知步行速度为米/分，跑步速度为米/分，问：若要在分钟内（含分钟）到达图书馆，他至少要跑步多少分钟？设跑步的时间为分钟，则可列不等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据路程速度时间，分别表示出跑步路程和步行路程，结合总路程要求列出不等式即可． 【详解】解：设跑步的时间为分钟， 根据题意，要在分钟内（含分钟）到达图书馆， 则在分钟内走过的总路程应不小于米， 当总用时为分钟，跑步时间为分钟时，步行时间为分钟，跑步路程为米，步行路程为米， 故可列不等式为． 故选D． 3．（2026·陕西渭南·二模）不等式的最小整数解是（     ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】先解不等式得到解集，再在解集中找出最小整数即可得到答案． 【详解】解： 解得， ∴解集中的最小整数为． 4．（2026·云南曲靖·二模）函数有意义，则的值可以是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，求出的取值范围，再对应选项判断即可． 【详解】解：∵函数有意义， ∴二次根式的被开方数需满足非负要求，即， 解得， 观察选项，只有D选项的满足． 5．（2026·陕西宝鸡·二模）不等式的正整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】解一元一次不等式，再找出范围内的正整数即可． 【详解】解： ， 解得 ， ∴ 满足条件的正整数为 、、、，共4个． 6．（2026·河北唐山·二模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为、，且满足，则m的取值范围是（） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】先根据方程有两个实根得判别式，结合韦达定理，根据两根之和为正，分两根均非负和一正一负两类讨论；分别化简，结合不等式求解m的范围；合并两类结果，得到最终取值范围． 【详解】方程有两个实数根 是方程的两根 两根不可能同为负数 只有两根均为非负数和一正一负两种情况 情况一：两根均为非负数 ， ， ， ， ， 恒成立， 又， ， 情况二：两根一正一负 ， ， ， 两根一正一负， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 或， ， ∴m的取值范围是． 7．（2026·陕西渭南·二模）科技赋能乡村振兴，中国迎来智慧农田时代，在农田里使用太阳能风吸式杀虫灯来诱杀害虫，可以大幅减少农药使用，实现绿色种植．某种植户计划购入一批太阳能风吸式杀虫灯，有两家专卖店的同一款太阳能风吸式杀虫灯的报价均为600元／台，并分别给出以下优惠方案： 专卖店 优惠方案 A专卖店 每台杀虫灯打八折出售 B专卖店 第一台按原价出售，其余每台打七折出售 该种植户计划购买杀虫灯（）台，设去A专卖店购买应付元，去B专卖店购买应付元．根据以上信息，解答下列问题： (1)分别求出、与x之间的函数关系式； (2)若该种植户只在一个专卖店购买，请通过计算说明在哪个专卖店购买更便宜？ 【答案】(1)， (2)当购买台时，在A专卖店购买更便宜；当购买台时，两家专卖店费用相同；当购买台数大于台时，在B专卖店购买更便宜． 【分析】（1）根据两家专卖店的优惠方案，分别计算总费用得到函数关系式； （2）通过比较两个函数值的大小，结合一元一次方程、一元一次不等式求解，分情况得到不同购买数量下更优惠的方案． 【详解】（1）解：根据题意，A专卖店每台打八折，每台价格为元 购买台的总费用为； B专卖店第一台按原价出售，剩余台打七折，每台折后价格为元 因此总费用； （2）解：分三种情况讨论： 当时，可得 解得 且为正整数 ，此时在A专卖店购买更便宜； 当时，可得 解得， 此时两家专卖店费用相同； 当时，可得 解得， 此时在B专卖店购买更便宜． 答：当购买2台时，在A专卖店购买更便宜；当购买3台时，两家费用相同；当购买台数大于3台时，在B专卖店购买更便宜． 8．（2026·天津东丽·二模）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得___________； (2)解不等式②，得___________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为___________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据移项，合并同类项的步骤求解即可； （2）根据移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （3）根据“小于向左，大于向右”且“边界点属于解集为实心点，不属于解集即为空心圆”在数轴上表示（写出解集）即可； （4）根据数轴找出两个不等式解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴解不等式①，得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴解不等式②，得； （3）解：如图， （4）解：由数轴可知，原不等式组的解集为． 9．（2026·山东济南·二模）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为，0，1，2 【详解】解：解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集 原不等式组的解集是． 整数解为，0，1，2． 10．（2026·广东东莞·二模）不等式组的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定法则得到两个解集的公共部分，即可选出正确答案． 【详解】 解不等式①得： 解不等式②得： ∵两个解集的公共部分为 ∴不等式组的解集为． 解一元一次不等式组及应用 考点09 1．（2026·安徽滁州·二模）已知实数，满足：，，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将代入已知不等式求出的范围，再结合关系式推导各选项结论，找出错误选项. 【详解】解：∵，代入得：， 化简得， 解得，故A选项正确，不符合题意； ，， ，可得，即，故B选项正确，不符合题意； ，又， ，可得，即，故D选项正确，不符合题意； 对于C选项，将代入得，当时，例如取，原式得，不等式不成立，故C选项错误，符合题意． 2．（2026·河南·二模）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解第一个不等式得到解集，再根据一元一次不等式组“同大取大”的解集确定规则，结合已知的不等式组解集，推导出a的取值范围． 【详解】解不等式组 ， 解不等式①，移项得 ，即 ， ∵ 该不等式组的解集为 ，符合“同大取大”的解集规律 ∴ ． 3．（2026·浙江温州·二模）不等式组的解集是________． ． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式组的解法，分别求解两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：． 因此不等式组的解集为． 4．（2026·河南平顶山·二模）不等式组的解集是_______． 【答案】 【分析】分别解出两个一元一次不等式的解集，再取它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解：解不等式， ， ； 解不等式， ， ； 求两个解集的公共部分: 由且， 可得不等式组的解集为: ． 5．（2026·安徽合肥·二模）“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在数学活动课上，小华和小明同学探究类似填幻方的数字游戏，将数字1，2，3，4，5，6填入如图所示的“□”中，使每个圆圈上的三个数字之和都相等． ①如图1所示，每个圆圈上的三个数字之和为_____． ②如图2所示，三个“□”中的数字分别记为：，，，请根据以下的对话内容，则的值为______． 小彬：由填数规则得；所以 小华：我发现，若记每个圆圈上的三个数字之和为，则的值可以用含的式子表示． 小彬：对！根据你的发现，可以求出的值． 【答案】 12 6或9 【分析】①根据每个圆圈上的三个数字之和相等，建立方程，解方程即可； ②根据每个圆圈上的三个数字之和相等，建立方程，再根据所有填入的数字之和建立等量关系，从而求得，最后由S为整数，以及，求出的值． 【详解】解：①设两个空白“□”中，左边空白“□”应填的数为x，右边空白“□”应填的数为y，根据每个圆圈上的三个数字之和相等，可得：， 解得：， 每个圆圈上的三个数字之和为：； ②设上方的圆圈上空白“□”应填的数为m，左侧的圆圈上空白“□”应填的数为x，右侧的圆圈上空白“□”应填的数为y， 每个圆圈上的三个数字之和为S， ， ， 所有填入的数字之和为：， ， ， ， ，S为整数， 或9． 6．（2026·山东青岛·二模）按要求完成下列计算： (1)化简：； (2)解不等式组： 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：， 解不等式得， 解不等式得， 所以原不等式组的解集为． 7．（2026·甘肃陇南·二模）解不等式组：． 【答案】 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为． 8．（2026·江苏苏州·二模）解不等式组：． 【答案】 【分析】根据解一元一次不等式组的方法即可得出不等式组的解集． 【详解】解：∵ ∴解不等式①，得，解不等式②，得， ∴不等式组的解集为； 9．（2026·贵州六盘水·二模）为落实中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求，某校九年级（1）班计划开展花样跳绳活动，需购买A，B两种跳绳．已知购买A，B两种跳绳的数量与总费用信息如下表： A种跳绳（根） B种跳绳（根） 总费用（元） 2 1 18 3 2 31 (1)求A，B两种跳绳的单价； (2)若九年级（1）班计划购买A，B两种跳绳共40根，且A种跳绳的数量不超过B种跳绳数量的7倍，不少于B种跳绳数量的4倍，应如何购买才能使总费用最低，最低费用是多少？ 【答案】(1)A种跳绳单价为元，B种跳绳单价为元 (2)购买A种跳绳根，B种跳绳根时总费用最低，最低费用为元 【分析】（1）设A种跳绳单价为x元，B种跳绳单价为y元，根据表格中数据列出方程组，解方程组即可； （2）设购买A种跳绳m根，则购买B种跳绳根，根据A种跳绳的数量不超过B种跳绳数量的7倍，不少于B种跳绳数量的4倍，列出不等式组，求出m的取值范围，设两种跳绳总花费为w元，根据两种跳绳的单价得出，再根据一次函数增减性，进行求解即可． 【详解】（1）解：设A种跳绳单价为x元，B种跳绳单价为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：A种跳绳单价为元，B种跳绳单价为元； （2）解：设购买A种跳绳m根，则购买B种跳绳根，根据题意得： ， 解得：， 设两种跳绳总花费为w元，则： ， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w最小， 即购买A种跳绳根，B种跳绳根时总费用最低，且最低费用为元． 10．（2026·河南平顶山·二模）某复印店购进一批复印纸和墨盒．购进箱复印纸和箱墨盒共需元；购进箱复印纸和箱墨盒共需元． (1)求复印纸和墨盒每箱的价格． (2)若复印店计划采购复印纸和墨盒共箱，且复印纸的箱数不多于墨盒的倍，复印纸和墨盒的采购总费用不超过元，该复印店共有几种采购方案？（不需要写出具体方案） 【答案】(1)复印纸元；墨盒元； (2)种． 【分析】（）设复印纸每箱元，墨盒每箱元，由题意得，然后解方程组即可； （）设购进墨盒箱，则购进复印纸箱，由题意得，然后解不等式组即可． 【详解】（1）解：设复印纸每箱元，墨盒每箱元， 由题意，得， 解得， 答：复印纸每箱元，墨盒每箱元； （2）解：设购进墨盒箱，则购进复印纸箱， 由题意，得， 解得， ∵为整数， ∴（种）， ∴该复印店共有种采购方案． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $