专题04 二次函数（11大考点）（全国通用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦二次函数11大核心考点，精选2026年多地区二模真题，涵盖基础性质、图像变换、实际应用及几何综合，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约50题|图像与性质、最值、平移、与方程/不等式关系|结合“和谐点”“旋转函数”等新定义，考查抽象思维| |解答题|约20题|实际问题（高尔夫球飞行、喷泉设计）、几何综合（特殊三角形/四边形）|跨知识融合，如二次函数与相似三角形、动态面积问题，贴近中考命题趋势|

专题04 二次函数 11大考点概览 考点01二次函数的图像与性质 考点02二次函数图像与系数的关系 考点03二次函数的最值 考点04二次函数图像的平移 考点05二次函数与一元二次方程 考点06二次函数与不等式 考点07实际问题与二次函数 考点08线段、周长、角度及面积问题 考点09特殊三角形问题 考点10特殊四边形问题 考点11相似三角形问题 二次函数的图像与性质 考点01 1．（2026·浙江台州·二模）已知二次函数，当时，有，则下列说法：①当时，有最大值；②当时，有最大值．正确的判断是（    ） A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误 【答案】B 【分析】是开口向上，对称轴为轴，最小值为的二次函数，根据区间位置分类讨论，分别判断两个说法的正误即可． 【详解】解：开口向上，对称轴为，时随增大而减小，时随增大而增大． ①当， 若包含原点， 则的最小值， 得， 对应范围为， 此时． 若不包含原点，全在侧， 则，， 可得， 即， 得． 全在侧，同理可得． 因此最大值为，存在最大值， 故①正确. ②当，即， 若全在侧， 则. 可取任意大的正数， 随增大无限增大，不存在最大值， 故没有最大值， ②错误． 综上，①正确②错误． 2．（2026·山东德州·二模）已知点，在抛物线上，且当时，，则不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先根据抛物线的增减性判断的符号，再对不等式因式分解，分情况讨论求出不等式解集． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线， ∵当时，， ∴当时，随增大而减小， ∴抛物线开口向下， ∴， ∴ ∴或 解得或． 3．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）抛物线与轴的交点坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与y轴交点坐标的求解，y轴上所有点的横坐标为0，因此只需令，计算出对应的y值，即可得到交点坐标． 【详解】解：∵抛物线与y轴交点的横坐标为0， ∴令，代入抛物线解析式， 得， ∴抛物线与y轴的交点坐标是， 4．（2026·陕西宝鸡·二模）对于二次函数（、、为常数，），定义其图象上点的“点值”．已知二次函数（为常数，且）图象的顶点的“点值”为，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次函数顶点式得到顶点坐标，再根据题目给出的“点值”定义列一元一次方程，即可求解出的值． 【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式 ， ∴该二次函数图象的顶点坐标为 ， ∵顶点的“点值”为 ， 且点值定义为 ， ∴代入顶点坐标得 ， 整理得 ， 解得 . 5．（2026·安徽阜阳·二模）已知反比例函数（）的图象在第一、三象限，则二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由反比例函数图象与性质确定参数范围，再由二次函数图象与性质判断选项中的图象即可． 【详解】解：反比例函数（）的图象在第一、三象限， ， 则对于二次函数，由知图象开口向上、对称轴为轴、且与轴交点在负半轴上， 观察四个选项中的图象，只有B选项符合要求． 6．（2026·广东深圳·二模）定义：如果二次函数与满足，，则称它们互为“旋转函数”．已知二次函数与互为“旋转函数”，则这两个函数的顶点距离为（    ） A． B．10 C． D． 【答案】A 【分析】先根据“旋转函数”的定义求出未知二次函数的系数，再分别求出两个二次函数的顶点坐标，最后利用两点间距离公式计算顶点距离即可． 【详解】解：∵二次函数与互为“旋转函数”， 根据定义得，，， 解得，，， 即另一个函数为． 对配方得：， ∴该函数顶点坐标为， 对配方得：， ∴该函数顶点坐标为， 根据两点间距离公式，两个顶点的距离为：． 7．（2026·山东济南·二模）定义：若一个点的横、纵坐标之和为，则称这个点为“和谐点”．若二次函数（为常数）在的图象上存在两个“和谐点”，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得“和谐点”所在直线为， 将代入得， 将代入得， 设，，如图， 联立与，得方程， 即， 抛物线与直线有两个交点， ， 解得 当直线和直线与抛物线交点在点，上方时，抛物线与线段有两个交点， 把代入，得， 把代入得， ， 解得， ， 故选：． 8．（2026·山东青岛·二模）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，经过点，下列结论：，，对任意实数，都有，若点，在函数图象上，且满足，，则．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】由抛物线开口方向、对称轴及与轴交点坐标，结合二次函数性质逐一判断．由对称轴及一个交点可得另一个交点，从而判断时的函数值符号；利用时的等式及对称轴公式推导与的关系；利用最大值性质判断不等式；利用对称性及增减性比较函数值大小． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，，对称轴为直线，经过点， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，，即，故结论正确； ∵抛物线经过点， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，即，故结论正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值，对任意实数，都有， ∴，故结论正确； ∵， ∴，即关于直线对称，对称轴为直线，且抛物线开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴， 若，则， 若，则， ∵， ∴， ∵，，即点离对称轴更远， ∴，故结论正确， 综上所述，正确的结论有个． 9．（2026·浙江温州·二模）二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表： 的值 … 0 1 2 … 的值 … 2 5 2 … 当时，函数的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，先利用表格中相等函数值对应的自变量求出对称轴，判断开口方向，再根据对称性得到端点的函数值，最后结合增减性确定给定取值范围内的取值范围． 【详解】解：∵由表格可知，和时的函数值相等，均为， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵时的函数值，大于和的函数值， ∴二次函数开口向下，顶点为，即函数在处取得最大值， 根据二次函数对称性，与关于直线对称， ∵时， ∴时， 在区间中，开口向下的二次函数，离对称轴越远函数值越小，离对称轴最远，函数值最小为， 因此当时，的取值范围是． 10．（2026·陕西渭南·二模）在平面直角坐标系中，将二次函数（为常数，且）的图象沿轴向下平移2个单位长度，得到的新二次函数图象经过点，则关于二次函数的说法不正确的是（     ） A．图象的开口向下 B．当时，的最小值为 C．当时， D．当时，的值随值的增大而减小 【答案】C 【分析】先根据平移规则得到新函数解析式，代入已知点求出参数的值，再结合二次函数的性质逐一判断选项，找出错误说法． 【详解】解：∵原二次函数沿y轴向下平移2个单位， ∴新二次函数解析式为， ∵新函数经过点， 代入得， 解得， ∴原二次函数解析式为， ∴原二次函数对称轴为； A、∵， ∴图象开口向下，该选项正确； B、∵开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x增大而减小， ∴时y取最小值，代入得，， ∴该选项正确； C、当时，代入解析式得，该选项错误； D、∵开口向下，对称轴， ∴时，y随x增大而减小， 又∵， ∴时，y随x增大而减小，该选项正确． 二次函数图像与系数的关系 考点02 1．（2026·贵州六盘水·二模）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（     ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出、、，由此即可得出：二次函数的图象开口向上，对称轴，与轴的交点在轴正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论． 【详解】解：观察一次函数和反比例函数的图象可知：、、， 二次函数的图象开口向上，对称轴，与轴的交点在轴正半轴， 因此四个选项中只有C选项符合题意． 2．（2026·安徽马鞍山·二模）已知三个实数，，，满足，，则下列结论不正确的是(    ) A． B．若，则 C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质结合二次函数的性质对各选项逐一判断即可. 【详解】解：由，得 ，代入中，得 ， ∴， ∴A选项正确． ， ，结合，不能判定， 例如，，，符合题意，显然， ∴B选项不正确． 由，得 ①， 由，得②， ①②，得， C选项正确． 对于函数，根据题意可知，函数图象经过点，点 ． ， 点在第三象限． 若，则已知的两式变为 ， ∴ ， 解得， 成立， 若，则抛物线一定与x轴有两个不同的交点，且 ∴即成立， ∴D选项正确． 3．（2026·湖北·二模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】观察图象得：抛物线开口向上，且对称轴在y轴的右侧，可得，即可求解． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，且对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴一次函数的图象一定不经过第二象限． 4．（2026·四川成都·二模）已知一次函数与反比例函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的图象和反比例函数的图象经过的象限，判断出a、b、c的符号，进而确定二次函数的开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点的位置，再结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴二次函数的图象与y轴交于负半轴， ∴四个函数图象中，只有A选项中的函数图象符合题意． 5．（2026·安徽滁州·二模）已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【详解】解：设， ， 由图象知，， ， y的图像开口向上，与y轴负半轴相交，选项D，不符合题意； 由图象知： 时，，，，选项C，不符合题意； 时，与相交，即， ∴时，，即与x轴交点是，选项B，不符合题意； 所以选A． 6．（2026·青海西宁·二模）下表给出了二次函数的部分与的对应值，并得到了以下结论： ①这个二次函数图象的对称轴是直线；②；③；④有最小值是；⑤当时，有最小值为．其中正确的结论有（     ） … … … … A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】利用二次函数的对称性先确定对称轴，再依次根据开口方向、系数符号、函数增减性判断每个结论． 【详解】解：①∵ 当和时，均为， ∴ 二次函数对称轴为直线，故①正确； ②由对称轴公式，得， 将代入，得， 整理得， ∵， ∴，得，即二次函数开口向下， ∵， ∴，又， ∴，故②正确； ③∵到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， 抛物线开口向下时，距离对称轴越远函数值越小， ∴，故③错误； ④∵，二次函数开口向下，有最大值，顶点横坐标为，代入得最大值为，故④错误； ⑤∵对称轴，开口向下， ∴时，随增大而减小， ∵与关于对称， ∴， 当时，随增大而减小，故时取最小值，故⑤正确； 综上，正确结论共3个． 7．（2026·山东青岛·二模）已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③对于任意实数t，；④．其中，正确结论有（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据二次函数图象的对称轴、与坐标轴交点、顶点性质等知识点，逐一判断各结论即可． 【详解】解：∵二次函数图象的对称轴为直线，与x轴交于， ∴二次函数图象与x轴另一个交点为，且，得， 把代入，得， 将代入得， ∵与y轴交点B在和之间， ∴，即，解得，故④正确； 判断①：当时，， ∵，且，得，开口向上，二次函数图象与x轴的两个交点之间的函数值小于0， ∴，故①正确； 判断②：当时，函数取得最小值，即顶点纵坐标为， 将，代入，得顶点纵坐标为， ∵， ∴，即， 两边同乘（，不等号方向不变），得，故②正确； 判断③：整理得， ∴的最小值为， 又∵， ∴当时，，不满足，故③错误， 综上所述，正确结论为①②④． 8．（2026·安徽阜阳·二模）已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的个数为（    ） ①；②；③；④若点在函数图像上，且满足，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】依据题意，由抛物线开口向下，从而，又抛物线对称轴为，故，即；再结合抛物线与y轴交于正半轴，可得，进而可以判断①；因为对称轴，当时，，则当时，，即可判断②；由对称轴为直线，则，即可判断③； 由，即，由抛物线的对称轴是直线，即点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，所以，故可以判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为，， ∴，即； ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，即①错误； ∵对称轴，当时，，则 ∴当时，，即可②正确； ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴，即③错误． ∵抛物线对称轴为，， ∴当时的函数值大于当时的函数值． ∵， ∴， ∴当点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，即，故④正确． 综上，正确的结论是②④，共2个． 9．（2026·广东广州·二模）抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程有实数根．其中正确结论的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系．首先根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点位置判断、、的符号及代数式的值，然后利用二次函数的增减性及最值判断其余结论即可． 【详解】 解：①抛物线开口向上， ． 对称轴为直线， ，即． 抛物线与轴交点在轴下方， ， ，故①符合题意； ②抛物线与轴的一个交点为，对称轴为， 抛物线与轴的另一个交点为， 当时，， 当时，， ， 即， ，故②符合题意； ③， ， 即点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离． 抛物线开口向上， ，故③不符合题意； ④抛物线的顶点坐标为，且开口向上， 函数的最小值为，即， ， 方程无实数根，故④不符合题意． 综上所述，正确的结论有①②，共个． 10．（2026·山东青岛·二模）函数与的图象如图所示，结合图象分析下列结论： ①；②；③当时，两个函数的函数值都随的增大而增大；④当时，． 其中正确结论是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】①利用抛物线与轴交点和判别式的关系判断；②利用抛物线的对称性和对称轴公式求解参数；③分别分析两个函数的单调性，结合自变量范围判断；④先利用函数图象的上下位置得出不等式，再对不等式进行变形即可． 【详解】解：据图可知，的图象与轴没有交点， 则，即，故①错误； 据图可知，抛物线过点，， 两点纵坐标相同，则关于对称轴对称， 则抛物线的对称轴， 解得，故②正确； 抛物线的图象开口向下，且对称轴为， 则当时，的函数值随的增大而增大， 的函数值在实数范围内，始终随的增大而增大， 故③正确； 当，， 可得， ，即， 故④错误， 综上，正确的说法有②③． 二次函数的最值 考点03 1．（2026·陕西渭南·二模）二次函数（b为常数）的图象经过点，且对称轴在y轴左侧，则该二次函数的最小值为（     ） A．4 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】先将已知点代入函数解析式求出b的可能值，再根据对称轴位置筛选出符合条件的b，求出函数解析式，即可求解最值． 【详解】解：因为二次函数的图象经过点 所以 解得或 因为对称轴在y轴左侧，二次函数对称轴公式为，本题中 所以 所以舍去，得 所以解析式为 配方得 因为 所以该二次函数的最小值为4． 2．（2026·浙江台州·二模）如图，在中，，相交于点，，，分别是线段上的点，，，设为，为，则有（   ）． A．最大值0.8 B．最小值0.8 C．最大值0.6 D．最小值0.6 【答案】B 【分析】先利用平行四边形性质得，结合、得到为等腰直角三角形，再证明，得到，在中由勾股定理建立与的二次函数，根据二次函数性质求最值． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， 为等腰直角三角形，， ，， ， 又，， ， ， ， 设，则 ，， 在中，，， ， 由，则有最小值， 对称轴，代入得， 的最小值为． 3．（2026·陕西咸阳·二模）已知抛物线，当时，函数有最小值，则的值为（   ） A．0或1 B．0或 C．1或 D．0或2 【答案】A 【分析】先确定抛物线的开口方向，求出时对应的x值，根据开口向下抛物线的性质，在上的最小值在端点处取得，分情况计算并验证得到m的值． 【详解】解：∵， ∴该抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， 令，得，解得， ∵开口向下的抛物线在上的最小值一定在端点处取得，且函数y有最小值0，所以分两种情况讨论： ①最小值在左端点处取得： ∴若，解得，此时，符合要求； 若，解得，此时，当时，，最小值小于0，不符合，舍去； ②最小值在右端点处取得： 若，解得，此时，符合要求； 若，解得，此时，处，最小值小于0，不符合，舍去； 综上，m的值为0或1． 4．（2026·河南三门峡·二模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得出，利用二次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∴顶点坐标为． ∴的最小值为． 5．（2026·江苏扬州·二模）若，则的值可能是（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【分析】由得，代入，得到关于x的一元二次函数，化为顶点式，求出最值，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 的值可能是2． 6．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在中，，，为的中点，延长至点，使得，P、Q分别为、上的动点，，连接，作于点，连接，，，，，则下列结论错误的是（    ） A．的最小值为 B．面积的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】设，在中利用勾股定理表示出，再配方即可求出极值来判断A项；设，表示出的面积，再配方即可求出极值来判断B项；过点作于，连接，结合三角形中两边之和大于第三边，可得出不等式，再根据的面积得，可求出，随即可判断D项；过点作的垂线，在这条垂线上取一点，使得，先证明，根据，可得的最小值为，利用相似可得，进而求出、，进而可得、，可判断C项． 【详解】解：∵，为的中点，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 当时，取最小值为，故A正确； 设，则，， 当时，面积的最大值为，故B正确； 如图1，过点作于，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴，即， 又∵， ∴ 的最小值为， ， ， 由的面积得， ， 的最小值为，故D正确； 如图2，过点作的垂线，在这条垂线上取一点，使得， ， ， ， 连接交于， ， 即的最小值为， 即的最小值为， ， ，即， ，， ，， ，，， 的最小值为，故C错误．故选C． 7．（2026·陕西渭南·二模）已知二次函数（为常数，且），当时，的最大值为24，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先对二次函数整理得到对称轴，根据a的正负判断当时，函数图象的增减性，确定最大值位置，列方程求解． 【详解】解：∵ ， ∴ 二次函数对称轴为直线， 分两种情况讨论： 当时，抛物线开口向上，在上随增大而增大，最大值在处取得， 将代入函数得：， 解得； 当时，抛物线开口向下，在上随增大而减小，最大值在处取得. 将 代入函数得：， 化简得，等式不成立，此情况无解． 综上，． 8．（2026·安徽阜阳·二模）抛物线的对称轴为直线，若直线与抛物线在的范围内有交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据对称轴求出抛物线解析式，再找出的范围内的最高点和最低点，从而求出m的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 在的范围内， 当时，有最小值， 当时，有最大值6， ∵直线与抛物线在的范围内有交点， ∴． 9．（2026·安徽宿州·二模）已知实数满足，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】利用换元法将代数式变形，把转化为关于新元的二次函数，利用平方的非负性得到新元的取值范围，再根据二次函数的性质求最大值． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴，代入得：， 整理得， ∵任意实数的平方非负，， 代入得， 化简得， 解得， 将和 代入：， ∵， ∴该二次函数开口向下， ∵该二次函数图象的对称轴为直线， ∴当时，取得最大值， 代入计算得：． 10．（2026·四川宜宾·二模）若时，二次函数的最小值为，则的值是（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】先判断二次函数开口方向，求出对称轴，根据对称轴与给定区间的位置关系分三种情况讨论，舍去不符合条件的解，即可得到正确结果． 【详解】∵二次函数的二次项系数为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 此时分三种情况讨论： ①当，即时， 在范围内，y随x的增大而增大，当时，y取得最小值， ∴， 解得， ∵，不符合条件，舍去； ②当，即时， 二次函数最小值在对称轴处取得，将代入得： ， 解得，均不在范围内，舍去； ③ 当，即时， 在范围内，y随x的增大而减小，当时，y取得最小值， ， 解得，符合的条件， ∴． 二次函数图像的平移 考点04 1．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”，对原抛物线解析式进行变换即可． 【详解】解：∵抛物线平移遵循规律：左右平移改变自变量，左加右减，上下平移改变常数项，上加下减 原抛物线解析式为， 向左平移个单位长度，自变量加，得：， 再向下平移个单位长度，常数项减，得：． 2．（2026·河北·二模）对于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．可由抛物线向左平移2个单位长度得到 B．当时，y随x的增大而增大 C．与y轴无交点 D．顶点坐标是 【答案】B 【分析】根据二次函数顶点式的特点，结合平移规律、顶点坐标、增减性、与坐标轴交点的判断方法，逐一分析选项即可． 【详解】解：根据抛物线平移规律“左加右减”，向左平移个单位长度，得到，故选项A错误，不符合题意； ∵抛物线为， ∴顶点坐标为，对称轴为直线， 又∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，随的增大而增大，故选项B正确，符合题意； 令，得， ∴该抛物线与轴交于，与y轴存在交点，故选项C错误，不符合题意； 抛物线顶点坐标为，不是，故选项D错误，不符合题意． 3．（2026·福建泉州·二模）已知二次函数的图象经过点两点，若关于的方程有两个不相等的实数根，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用二次函数纵坐标相等的两点求出原函数对称轴，再根据函数平移规律得到目标方程对应函数的对称轴，最后利用二次函数交点关于对称轴对称的性质推导两根之和． 【详解】解：∵二次函数经过纵坐标相等的两点， ∴原二次函数的对称轴为直线， ∵令 ，它是原二次函数向右平移3个单位得到的函数， ∴的对称轴为直线， ∵方程的两个根是图象与图象的两个交点的横坐标，这两点关于二次函数的对称轴对称， ∴，整理得； 而的值不确定，因此只有B选项正确． 4．（2026·广东东莞·二模）将抛物线向左平移4个单位，抛物线与y轴交于点，在平移过程中c的值会（   ） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】D 【分析】分别求出原抛物线与y轴的交点，向左平移3个单位后与y轴的交点，向左平移4个单位后与y轴的交点，比较后即可得到答案． 【详解】解：抛物线， 当时，， ∴抛物线与y轴交于点， 将抛物线向左平移3个单位得到，即， 当时，， ∴抛物线与y轴交于点， 将抛物线向左平移4个单位后所得抛物线表达式为，即， 当时，， ∴抛物线与y轴交于点， ∴抛物线与y轴交于点，在平移过程中c的值会先减小后增大． 5．（2026·陕西西安·二模）抛物线的图象经过，，若将抛物线的图象沿轴向下平移个单位后，与直线只有一个交点，则的值为（   ） A．3 B．13 C． D． 【答案】B 【分析】根据原抛物线与x轴的交点坐标可用含s的式子表示出b、c，进而可求出原抛物线的顶点的坐标，根据平移方式可得平移后的抛物线的解析式和顶点坐标，根据平移后的抛物线的图象开口向下可推出平移后的抛物线的顶点在直线上，据此建立方程求解即可． 【详解】解：∵抛物线的图象经过，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴， ∴， 在中，当时， ， ∴抛物线的顶点坐标为； 将抛物线的图象沿轴向下平移个单位后的抛物线解析式为，平移后的抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴抛物线的图象开口向下， ∵抛物线与直线只有一个交点， ∴抛物线的顶点在直线上， ∴， ∴． 6．（2026·湖北襄阳·二模）将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了将二次函数化为顶点式，二次函数的平移规律． 将原抛物线解析式化为顶点式，然后根据上加下减，左加右减的规律作答即可． 【详解】解： ， 向左平移1个单位，得到， 向下平移2个单位，得到． 故选：A． 二次函数与一元二次方程 考点05 1．（2026·安徽芜湖·二模）已知抛物线经过第一、第二、第三、第四象限，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】开口向上的抛物线要经过四个象限，需与轴有两个不同交点且交点分别位于原点两侧，据此列不等式求解即可． 【详解】解：抛物线的二次项系数为，，开口向上， ∵抛物线经过第一、第二、第三、第四象限， ∴抛物线与轴有两个不同交点，且交点分别在原点两侧，且当时，抛物线与轴交点的纵坐标小于， ∵当时，， ∴， 解得， ∵两根之积为，说明两根异号，一定存在两个不相等的实数根，满足条件， ∴的取值范围是． 2．（2026·陕西西安·二模）已知，抛物线（m为常数），下列判断正确的是（   ） A．该抛物线的开口方向向下 B．该抛物线与y轴交点可能在y轴负半轴上 C．该抛物线与x轴一定有交点 D．点、点在该函数图象上，则 【答案】D 【分析】先将抛物线配方整理，再根据二次函数的开口方向，交点坐标的求法，二次函数的对称性逐一判断各选项． 【详解】解：∵，二次项系数， ∴抛物线开口向上，A选项错误． ∵当时，， ∴抛物线与轴交点在轴正半轴，B选项错误． ∵判别式， ∴抛物线与轴没有交点，C选项错误． ∵抛物线对称轴为直线，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∴两点到对称轴距离相等，对应的函数值相等，即，D选项正确． 3．（2026·山东滨州·二模）如图，已知抛物线，直线，下列判断中：①当或时，；②当或时，；③当时随x的增大而增大；④使的x的值有2个．其中正确的个数有（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据图象可得，当或时，；把和，分别代入，求值即可；计算，根据二次函数的性质，即可判断；根据，列出关于x的一元二次方程，根据根的判别式判断根的情况，即可判断． 【详解】解：①由图可知，两函数图象的交点是和，当或时，一次函数图象在二次函数图象的上方，则，即，故①正确； ②抛物线，直线， ， 当，； 当，； 当或时，，故②正确； ③抛物线，直线， ， ， 开口向下，对称轴是， 当时随x的增大而增大，故③正确； ④， 或， 当时，即， ， 此方程无解； 当时，即， ， 此方程有两个不相等的实数根； 使的x的值有2个，故④正确； 综上所述：正确的个数有4个． 4．（2026·福建南平·二模）已知抛物线与x轴交于，两点，且点，都在抛物线上，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．无论a为何值， D．无论a为何值， 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质判断即可 【详解】解：∵已知抛物线与x轴交于，两点， 根据抛物线与x轴交点的横坐标，得出抛物线的对称轴， ∴抛物线对称轴是直线， ∴点D是抛物线的顶点， ∵不确定a大于还是小于0，根据点D横坐标与抛物线的对称轴，判断点D为顶点；a的大小不确定，需分类讨论． ∴抛物线开口方向不确定，是这个二次函数的最值，但不确定是最大值还是最小值， ∴和的大小关系不能确定，故C，D选项错误； 由于是这个二次函数的最值，只要C不是顶点，即， ，都有， 当时，开口方向仍有两种可能， ∴和的大小关系不能确定，故A选项错误； 当时，抛物线开口向下，是这个二次函数的最大值，故，B选项正确． 5．（2026·山东聊城·二模）已知二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点的坐标为，其图象如图所示，下列结论：①；②一元二次方程的两个根分别是和1；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤若点为对称轴上的任一点，则的最小值为．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】由对称轴可得出即可判断①，由对称轴直线和与轴的一个交点的坐标即可得判断②③，结合函数图象可判断④，求出，作点C关于对称的点，，当点B，P，C共线时，最小，此时，求出即可判断⑤． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误， ∵对称轴为直线，与轴的一个交点的坐标为， ∴与轴的一个交点的坐标为， ∴一元二次方程的两个根分别是和3；故②错误， ∴当时，，故③错误， 结合函数图象可知，当时，随的增大而增大；故④正确； 当时，则， ∴， 作点C关于对称的点， ∴， 当点B，P，C共线时，最小，此时， ∴， ∴的最小值为．故⑤正确． 综上：④⑤正确． 6．（2026·四川绵阳·二模）若抛物线与直线有两交点A，B，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先联立抛物线与直线得到，然后设点，根据一元二次方程根与系数的关系得到，再由求解即可． 【详解】解：∵抛物线与直线有两交点A，B， 设点 ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 解得． 7．（2026·安徽蚌埠·二模）已知二次函数的图象如图所示，下列结论中：①该二次函数的关系式为；②若直线与二次函数的图象交于点A，B（点A在点B左侧），则线段；③关于x的方程的解是或；④当时，自变量x的取值范围是或．其中正确的结论有（　　） A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】代入点和到，求出的值可判断①；令，分别求出点A，B的坐标，可判断②；利用因式分解法解方程可判断③；结合图象可判断④． 【详解】解：代入点和到， 则， 解得， ∴二次函数的关系式为，故①正确； 令，则， 解得，， ∴，， ∴，故②正确； 关于x的方程，即， 整理得：， 解得，， ∴关于x的方程的解是或，故③正确； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴由图象得，当或时，， ∴当时，自变量x的取值范围是或，故④正确； 综上，正确的结论有①②③④． 8．（2026·辽宁本溪·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，与轴交于点，若点在第二象限的抛物线上，则的面积为_____． 【答案】 【分析】先求出，对称轴为直线，从而可得点和点关于对称轴对称，轴，求出，即可得出，最后由三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：在中，当时，，即， ∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， ∵点在第二象限的抛物线上，， ∴点和点关于对称轴对称，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 9．（2026·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，抛物线． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)若将该抛物线向左平移个单位，或向右平移个单位，都经过平面内一个点，求的值； (3)若该抛物线与轴两个交点之间的距离为，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，且点与点不重合，当点在轴上运动的过程中，的长随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（1）将一般式转化为顶点式即可； （2）分别写出两次平移后的解析式，联立求出交点，即为点； （3）由对称性可知，抛物线过点，从而求出，根据题意，点，点，则．分三类讨论，，和，表示出与的关系式，并结合二次函数的增减性，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：将抛物线向左平移个单位，得， 将抛物线向右平移个单位，得， 联立抛物线与抛物线，得， ， 解得， ∴交点坐标为， ∴； （3）解：∵抛物线与轴两个交点之间的距离为， 又∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线过点， 将点代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， 由题意可知，点的坐标为，点的坐标为， ∴， ①当时，， ∴， 在上，随的增大而减小，不符合题意； ②当时，， ∴， 在上，随的增大而增大； ③当时，， ∴， 在上，随的增大而增大，符合题意； 综上所述，的取值范围为或． 10．（2026·青海西宁·二模）如图，抛物线与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B，且． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)求抛物线的函数表达式； (3)连接，点是线段上一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，且四边形为平行四边形．请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)，，； (2) (3)P点坐标为，． 【分析】（1）令，求出点坐标，根据，求出点坐标即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）求出直线的解析式，根据平行四边形的性质，得到，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 观察可知：； （2）解：∵，， ∴设抛物线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴； （3）解：设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 设，则， ∵点是线段上一个动点， ∴点在点的上方， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得或， ∴P点坐标为或． 二次函数与不等式 考点06 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；⑤关于的不等式的解集为．其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据抛物线开口，对称轴，以及与轴的交点，确定的符号，即可判断①，根据二次函数的图象过，得出，进而判断对称轴，得出，进而判断②和③，根据函数图象判断④，将一般式写成交点式得出 ，化简不等式为，求得解集，即可求解． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确， ∵二次函数的图象过， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于两点，，且． ∴对称轴，即， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴ ， ∴，故③错误； ④如图， 关于的一元二次方程的两个根，即函数与的交点的横坐标， ∵， ∴若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；故④正确； ⑤∵二次函数的图象与轴交于两点，， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴可化为， 即， ∵， ∴， 解得：或， ∴关于的不等式的解集为或不是故⑤错误 故正确的有①②④，共3个， 故选：B 2．（2026·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数，将其图象在直线左侧部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形，，是图形上两点，若对于，，都有，则的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】先求出翻折后图形G的分段解析式，计算对应的，再根据所在区间的位置分情况讨论，求出区间内的最大值，当时，一定成立；当时，不一定成立；当时，可使一定成立；当时，一定成立；综合四种情况即可得出结果． 【详解】解：∵二次函数，将其图象在直线左侧部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形， ∴当时，图形的解析式为；当时，图形的解析式为，即图形的解析式为，其图像如图1所示： ∵二次函数， ∴二次函数关于直线对称， 下面我们来结合图象对的范围进行分类讨论： ∵， ∴当，即时，此时，都在二次函数的图象上，如图1所示， ∴将代入，得：， ∵当时，；当时，； ∴当时，，一定小于与中的较大值， ∵当时，；， 即当时，；， ∴当时，，即符合题意； 当，即时，此时，，点在二次函数的图象上，如图2所示， 此时，当时，取最大值为， 而当，，即此时对于，，不都有， ∴不符合题意； 当，即时，此时点在图象上， ∵， ∴点在二次函数的图象上，如图3所示， 此时，， 若对于，，都有，即， ∴，解得：或（舍去）， ∵， ∴符合题意； 当，即时，此时点，都在图象上，如图4所示： 此时在图象上随着的增大而增大， ∵， ∴， ∴符合题意； 综上：或． 3．（2026·湖北恩施·二模）如图，抛物线与直线交于B，C两点，与轴交于点，已知点C的坐标为，点B的横坐标为3，轴．下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．当时， 【答案】D 【分析】求出点坐标，待定系数法求出函数解析式，结合函数图象，逐一进行判断即可. 【详解】解：∵点在直线上，且B的横坐标为3， ∴点的纵坐标为3， ∴， ∵轴， ∴， 把，，代入，得 ，解得， ∴， ∴，； 由图象可知，当时，抛物线在直线的下方，故； 即； 综上：只有选项D错误. 4．（2026·山东日照·二模）给出下列命题及函数与和的图象： ①如果，那么； ②如果，那么或； ③如果，那么； ④如果，那么.则（     ） A．正确的命题有①② B．正确的命题有①②④ C．错误的命题有②③ D．错误的命题有②④ 【答案】A 【分析】先确定出三个函数图象的交点坐标为，再结合图象分析函数与不等式关系求解即可． 【详解】解：∵当时，三个函数的函数值都是1， ∴三个函数图象的交点坐标为， ∴由对称性可知，和在第三象限的交点坐标为， ∴如果，那么，命题①正确； 如果，那么或，命题②正确； 如果，那么a无解，命题③错误； 如果，那么，命题④错误． 5．（2026·四川成都·二模）定义：平面直角坐标系中有点，若点满足且，则称为中心点，点是的“界密点”．例如：对于中心点，满足且的点，都是点的“界密点”，这些环绕点组成的图形是一个边长为的正方形，中心点是正方形的中心，关于的二次函数（是常数）．将它的图象绕原点逆时针旋转得曲线，若上存在的“界密点”，则的取值范围是___． 【答案】 【分析】根据新定义得到的“界密点”的坐标范围，推导原二次函数绕原点逆时针旋转后曲线的方程，转化为存在满足范围的点，进而得到的取值范围. 【详解】解：根据“界密点”的定义，的“界密点”满足： 且， 整理得：，， 设原二次函数图象上任意一点为，满足， 将绕原点逆时针旋转得到上的点，根据坐标旋转变换得： ，， 即，， 将，代入原方程得： ， 整理得， 若上存在的“界密点”，即，， 当，时，取得最小值为； 当，时，取得最大值为； 故的取值范围是. 6．（2026·河北邢台·二模）在平面直角坐标系中，点，是抛物线上任意两点，当，时，都有，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先判断抛物线开口方向，明确二次函数y值与点到对称轴距离的关系，再结合题目对任意，都有的条件，推导得到p需满足的不等式，进而求出p的取值范围． 【详解】解：抛物线中，， 因此抛物线开口向下，开口向下的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应y值越小， 该抛物线的对称轴为直线， 根据题意，对任意，，都有， 因此任意满足条件的，到对称轴的距离大于到对称轴的距离， 即两边平方得， 展开整理得，移项因式分解得， 因为，所以， 可得，即对任意，恒成立， 由，，可得， 因此． 7．（2026·安徽阜阳·二模）已知抛物线，点在抛物线上，其中，． （1）若的最小值是－2，则的最大值是______； （2）若对于，，都有，则t的取值范围是______． 【答案】 2 或 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了配方法，函数极值的确定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）先确定出当时，的最小值为，进而求出，再判断出当时，取最大值，即可求出答案； （2）先由得出，最后分两种情况，利用，，即可求出答案． 【详解】解：（1）， 抛物线的对称轴为， ， 抛物线开口向上， ， 当时，的最小值为， 的最小值是， ， ，， 当时，， 即的最大值为2； （2）点在抛物线上， ，， 对于，，都有， ， 或， Ⅰ、当时， 由①知，， ，， ， ， 由②知，， ，， ， ， ， 即； Ⅱ、当时， 由得：， ，， ， ， 由知，， ，， ， ， ， 即； 即满足条件的的取值范围为或． 8．（2026·浙江台州·二模）已知抛物线（a为常数）． (1)若抛物线经过点． ①求a的值； ②将抛物线向右平移b()个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于点A，若点A的横坐标为4，求b的值； (2)若点，都在抛物线上，，求a的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①将代入，待定系数法求解析式，即可求解； ②由①可得，对称轴为直线，根据对称性即可求解； （2）将，分别代入，根据，列出不等式组，解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：①将代入， 得． 解得． ②因为， 所以． 所以抛物线的对称轴为直线 因为点A的横坐标为4， 所以抛物线上与点A对称的点的横坐标为0． 所以． （2）将代入， 得． 将代入， 得． 因为， 所以 解得． 9．（2026·山东泰安·二模）平面直角坐标系中，抛物线（a为实数）． (1)当时，求此抛物线的顶点坐标； (2)已知点，是抛物线上两点，若对于，，都有，求a的取值范围； (3)在该平面直角坐标系中有一直线，当时，总有，求m的最大值． 【答案】(1)顶点坐标为 (2)或 (3)m最大值为9 【分析】（1）先把代入函数解析式，然后再化成顶点式即可解答； （2）先求得抛物线的对称轴为，易得点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为；然后分对称轴的左侧、对称轴的右侧、对称轴的之间三种情况，分别求得点到对称轴的距离的最小距离，再根据二次函数抛物线开口向上，到对称轴距离越大的函数值越大列不等式求解即可； （3）对已知条件变形可得，设函数，即开口向上的抛物线，要使时，，即和是方程 的两个根；把代入方程a的值，进而求得m的值，最后确定m的最大值即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴顶点坐标为． （2）解：∵， ∴的对称轴为， ∴点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ①当对称轴在的左侧，即时，点到对称轴的最小距离为，要满足，解得：； ②当对称轴在的右侧，即时，点到对称轴的最小距离为，要满足，解得：； ③当对称轴在的内，即时，点到对称轴的最小距离为0，要不可能大于2，不符合题意； 综上，a的取值范围为 或． （3）解：当时，总有，即，整理得：， ∴， 设函数，即开口向上的抛物线，要使时，， 为了使m取的最大值，应有和是方程 的两个根． 将代入方程：，解得或． 当时，方程为，解得：和， ∴． 当时，方程为，解得：，此时． ∴m的最大值为9． 10．（2026·河南驻马店·二模）抛物线与直线交于A，B两点，已知点A的横坐标为1． (1)求m的值及抛物线的顶点坐标． (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差小于4，求t的取值范围． (3)当时，将抛物线沿y轴翻折，得到如图所示的复合图象，记为W．若直线向左平移n个单位长度后与图象W有三个交点，请直接写出n的值． 【答案】(1)， (2) (3)2或3 【分析】（1）根据点A的横坐标为1，代入，得，可得A点坐标；再将A点坐标代入，可得m的值，进而得出抛物线的解析式，再将抛物线的解析式变形为顶点式即可得出抛物线的顶点坐标； （2）首先，根据题意得二次函数的最小值为，当时，在抛物线对称轴的左侧，最大值与最小值的差小于4，然后，判断在对称轴右侧的部分的最大值为，令，解得(舍去)或，再结合函数图象即可得出结论； （3）当直线平移后与图象W有三个交点时，有两种情况并画出函数图象，再得到抛物线沿y轴翻折后所得新抛物线的解析式为，直线平移后的函数解析式为，情况①：联立沿y轴翻折后的抛物线及平移后的函数的解析式，当时，直线与图象W有三个交点，此时，情况②：当直线过点时，直线与图象W有三个交点，此时，，解得． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴点A的坐标为． 将代入， 得，解得． ∴抛物线的函数解析式为． ， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵抛物线的开口向上，顶点坐标为， ∴二次函数的最小值为． 当时， 将代入，得，而， 当时，， 令， 解得(舍去)或． 结合函数图象，可得t的取值范围是； （3）解：当直线平移后与图象W有三个交点时，有两种情况，如图所示． 抛物线沿y轴翻折后所得新抛物线的解析式为， ∵直线向左平移n个单位长度， ∴直线平移后的函数解析式为． 情况①：令，整理，得． 当时，直线与图象W有三个交点，此时． 情况②：∵将代入，得， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 当直线过点时，直线与图象W有三个交点，此时，，解得． 综上所述，n的值为2或3． 实际问题与二次函数 考点07 1．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在中，，，斜边在轴上，将直线从轴出发向右平移，若在该直线左侧的阴影部分的面积记为，则与之间的函数关系的图象为（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题需分两个阶段分析直线平移过程中阴影面积与的函数关系：当时：直线位于点左侧，此时阴影部分为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和三角形面积公式，推导出与的二次函数关系（开口向上）．当时：直线位于点右侧，此时阴影部分面积等于的面积减去右侧等腰直角三角形的面积，推导出与的二次函数关系（开口向下），再结合函数的增减性判断图像形状． 【详解】解：如图，过点作轴，垂足为点，设直线交轴于点， ； ，， ，，； 当直线在点的左侧时，如图，设直线交于点， 是等腰直角三角形，此时， ， ； 当直线在点的右侧时，如图，设直线交于点， 是等腰直角三角形，此时， ，． 综上，当时，图象为开口向上的抛物线；当时，图象为开口向下的抛物线． 故与之间的函数关系的图象为选项． 2．（2026·天津滨海新区·二模）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向终点以的速度移动，动点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为．有下列结论：①当时，；②的面积的最大值为；③时的四边形的面积大于时的四边形的面积．其中，正确结论的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】根据题意表示出和，对于①，使用勾股定理进行计算即可；对于②，容易得到，根据二次函数的性质计算最值即可；对于③，在②的基础上，写出四边形的面积的表达式，代入求值并比较大小即可． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， 对于①，当时，，， 由勾股定理可得，，故①错误； 对于②，， ∵， ∴当时，取得最大值，故②正确； 对于③，由②可知，， ∴， 当时，；当时，， ∵， ∴③正确； 综上，正确的结论有2个． 3．（2026·甘肃武威·二模）某校计划举办九年级毕业典礼，想在现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“毕”“业”“典”“礼”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，如图2所示，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再由题意得出点的横坐标为2，代入抛物线计算即可得解． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系． 由题意可得点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为， 故设抛物线的解析式为， 将点的坐标代入上式，得， 解得：， 抛物线的解析式为． 点的横坐标为2， 点的纵坐标为， 点到的距离为． 4．（2026·天津河北·二模）某商店销售一种产品，成本为每件40元，原售价为每件60元，每日销量为50件，经过市场调查，若每件售价每涨价1元，则每日销量减少2件．设售价为每件元，为正整数．有下列结论： ①若，则销售该商品当日利润为900元； ②若要取得最大利润，又尽量让利消费者，则； ③有两种定价方式可以使利润为1008元 其中，正确结论的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】先根据题意得到利润关于售价的函数表达式，再依次验证三个结论即可． 【详解】解：设每日销售利润为元，根据题意，每件利润为元， 每日销量为 ， 因此得 ； ①当时， ，故①正确。 ②二次函数 开口向下，对称轴为 ， ∵为正整数，且要求利润最大同时尽量让利消费者（即售价更低）， ∴满足要求，结论②错误； ③令 ，得方程： ， 整理得 ，解得 ，，两个根均为正整数， ∴有两种定价，③正确． 综上，正确的结论共2个． 5．（2026·湖北襄阳·二模）如图，小明在一次高尔夫球训练中，球的飞行路线是抛物线的一部分，若不考虑空气阻力，球的飞行高度与飞行距离之间的关系式为，则球能达到的最大高度为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，利用二次函数的性质求出y的最大值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴时，y有最大值，最大值为， ∴球能达到的最大高度为， 故答案为：． 6．（2026·甘肃白银·二模）儿童公园的广场上有一个喷泉设施（如图1）．以出水点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图2所示．喷出的水的竖直高度y（单位：米）与距出水口的水平距离x（单位：米）近似满足函数关系．为增加儿童游玩趣味性，在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形透明隧道，其截面图如图3所示，为保证隧道不被水流影响，要求隧道顶部到水柱的竖直距离均不小于1.5米，隧道宽为1米．则隧道顶端到地面的最大高度为________米． 【答案】 【分析】由题意易得该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，然后可得，当隧道顶部到水柱的竖直距离均等于1.5米时，隧道顶端到地面有最大高度，进而问题可求解． 【详解】解：∵喷出水的竖直高度y（单位：米）与距出水口的水平距离x（单位：米）近似满足函数关系， ∴该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， ∵在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形透明隧道， ∴矩形关于抛物线的对称轴对称， ∵隧道宽为1米， ∴，即， ∵隧道顶部到水柱的竖直距离均不小于1.5米， ∴，即， 即当隧道顶部到水柱的竖直距离均等于1.5米时，隧道顶端到地面有最大高度， 当时，则有， ∴隧道顶端到地面的最大高度为（米）． 7．（2026·河南平顶山·二模）综合与实践 消防员不仅是灭火英雄，更是集救援、调查、救护于一体的全能守护者，他们需要具备超强的体能、专业的技能与稳定的心理素质，在各类灾害中保护人民生命和财产安全． 问题背景：为增强消防员专业技能和实战经验，消防员会进行不定期的实战演习．如图，某消防支队对小区楼层失火抢救进行了演习． 收集数据：经无人机在离地面某处探测后，确定是距离地面的大楼A处发生火灾，此时消防员需要在无人机正下方离地面，且距该楼水平距离处的升降梯B处喷水灭火． 数学建模：已知水柱近似呈抛物线形状，且在距离喷水点水平距离处达到最高，此时距离地面．以水平地面为x轴，无人机与消防员所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系． 问题解决： (1)求抛物线的表达式． (2)此时水柱是否能喷射到点A处灭火． (3)由于火势较猛，为保证安全，消防员需要后退，为确保水柱恰好能喷射到着火点A处，消防员所在的升降梯需要升高多少米（喷水时水压和出水口角度保持不变）？ 【答案】(1) (2)水柱能喷射到点A处灭火 (3)升高3米 【分析】（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的表达式为，将点代入抛物线表达式求解即可； （2）求出当时y的值即可判断； （3）根据二次函数的平移可设新抛物线的表达式为：，将代入求出，令，求出y的值，进而可知需要升高的距离． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为，将点代入抛物线表达式，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：由题意得，， 当时，， ∴此时水柱能喷射到点A处灭火； （3）解：消防员后退后，可设新抛物线的表达式为：． 又∵新抛物线过点， ，解得， ∴新抛物线的表达式为． 令，则． 又， ∴消防员所在的升降梯需要升高3米． 8．（2026·山东青岛·二模）某水上浮动舞台的横截面轮廓可近似看作抛物线的一部分．初始水面为轴，以水面与舞台左边缘的交点为原点，建立平面直角坐标系．已知舞台的吃水宽度米，最大吃水深度为4米，舞台前缘高出初始水面5米．在舞台正前方距离点40米处，有一根垂直于初始水面的固定灯塔，灯塔高度是10米（初始时为灯塔与水面交点，为塔顶）．灯塔在整个过程中保持绝对位置不变．    (1)求舞台轮廓线所在抛物线的解析式及点的坐标； (2)在点处发射一枚礼花弹，礼花弹的飞行路线是抛物线的一部分．求的值，并判断礼花弹能否碰到灯塔； (3)若水面上升2米，舞台也随之整体上浮，灯塔固定不变．将舞台向右平移米（平移后舞台尚未到达灯塔位置），然后再按照（2）中的方式发射礼花弹．若礼花弹落水时未碰到灯塔，直接写出的取值范围． 【答案】(1)舞台轮廓线所在抛物线的解析式为，点的坐标为 (2)，礼花弹不能碰到灯塔 (3)或 【分析】（1）设出二次函数的顶点式，代入原点坐标，可得二次项系数，从而可得舞台轮廓线所在抛物线的解析式，代入点的纵坐标，可得点的横坐标； （2）把点的坐标代入礼花弹所走路线的抛物线解析式，解得的值，从而可得礼花弹所走路线的抛物线的解析式，代入点的横坐标，通过计算判断抛物线与是否有交点即可； （3）根据二次函数图象的平移，可得在题设条件下礼花弹所走路线抛物线的解析式，代入点的坐标点和，求出礼花弹经过灯塔顶端对应的的值，即可确定满足题意的的取值范围． 【详解】（1）解：∵舞台的吃水宽度米，最大吃水深度为4米， ∴根据题意，设舞台轮廓线所在抛物线的解析式为， 将的坐标代入，得，解得． ∴， 把代入抛物线解析式，得， 解得：（负值舍去）， ∴点的坐标为， 答：舞台轮廓线所在抛物线的解析式为，点的坐标为． （2）解：礼花弹不能碰到灯塔． 将点的坐标代入，得， 解得：， ， 当时，， 说明礼花弹在处已经落在水面下，不在灯塔高度范围内， ∴礼花弹不能碰到灯塔． （3）解：水面上升2 米，舞台向右平移米， ∴新的礼花弹所走路线抛物线的解析式为 若拋物线经过点，则， 解得：． ， 若拋物线经过点，则， 解得：（不合题意，舍去）， ， 答：若礼花弹落水时未碰到灯塔，的取值范围是或． 线段、周长、角度及面积问题 考点08 1．（2026·河北石家庄·二模）如图，抛物线（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．有以下结论：①m的取值范围是；②若点、点、点在该抛物线上，则；③将该抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式为；④若，在x轴上找一点D，使的值最小，最小值为．其中正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①由题意，得当时，，即； 当时，，即， m的取值范围是， 故①正确； ②抛物线的对称轴为直线，且， 抛物线上的点离对称轴越远，对应y的值越小． ∵，，，， ， 故②错误； ③抛物线， 平移后抛物线的解析式为， 故③正确； ④时，抛物线，点A关于x轴的对称点，点， 连接交x轴于点D，此时的值最小，    最小值为的长度，即， 故④正确． 综上所述，正确的结论是①③④． 2．（2026·天津·二模）在中，，，．动点P从点A出发，以的速度沿折线运动，同时点Q从点A出发，以的速度沿向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为，有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③t有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】首先根据题意确定点的运动时间及位置分段点； 对于①，当时，判断点在上，利用三角形三边关系比较与的大小，进而与比较； 对于②，当时，点在上，点在上，利用平行线间距离处处相等求出的高，列出面积关于的函数关系式，利用一次函数性质求最大值； 对于③，分和两种情况，分别列出面积方程求解，判断解的个数． 【详解】解：由题意得，点到达点的时间为，到达点的时间为； 点到达点的时间为， 运动时间为． 对于①，当时，点在上， 此时，． 在中，， ，故①错误． 对于②，当时，点在上，点在上， 四边形是平行四边形， ， 点到的距离等于点到的距离． 如图，过点作于点， 在中，，， ， 的高为， ， ， ，随的增大而减小． 当时，最大，最大值为，故②正确． 对于③，当时，点在上，点在上，， 如图，过点作于点， 在中，， ， ， 令，整理得， 解得， ， （舍去）， 此时有一个解． 当时，点在上，点在上， 由（2）知，令，解得， ， 此时有一个解． 综上，有两个不同的值满足的面积为，故③正确． 综上所述，正确的结论有②③，共2个． 3．（2026·山东济南·二模）图形的旋转是初中数学中一种常见的几何变换，已知抛物线的解析式为，顶点为点且与轴交于点，若将抛物线绕原点旋转得到新抛物线，新抛物线的顶点为点且与轴交于点，若四边形的面积不小于6，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．且 D．或 【答案】B 【分析】先对原抛物线配方得到顶点A和与y轴交点B的坐标，再根据绕原点旋转的坐标变换规律得到新抛物线顶点C和交点D的坐标，利用在y轴的特点，将四边形面积拆分为两个三角形面积和，列出不等式求解a的取值范围． 【详解】解：∵ ∴顶点 ， 令，得， ∴ ， ∵图形绕原点旋转时，点旋转后对应点为， ∴旋转后新抛物线顶点 ，与y轴交点 ， ∵都在y轴上， ∴ ， ∵ ， ， ∴四边形的面积， ∵四边形的面积不小于6， ∴ ， ∴或． 4．（2026·河北唐山·二模）在平面直角坐标系中．已知二次函数图象与轴交于点和点．与轴交于点．点是抛物线上的动点（不与点、重合），连、、．若与的面积相等，则满足条件的点的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．5个 【答案】C 【分析】先根据二次函数与轴交点设出解析式，利用三角形面积公式建立等式，化简后求解方程，排除与、重合的解，得到满足条件的点的个数． 【详解】解：∵二次函数过和 ∴可设抛物线解析式为 ， 可得，直线的解析式为 设动点 ，由题意且 ∴ 过作轴垂线交于点，则 令，可得： ∵，， ∴两边约去 得： 分情况去绝对值求解： 1 当时， ，解得，符合条件，是有效点； 2 当时， ，解得，符合条件，是有效点； 3 当时， ，解得，不符合条件，舍去； 综上，共有2个满足条件的点． 5．（2026·河南信阳·二模）如图1，在菱形中，，点P从点B出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点C，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点D．在此过程中的面积y与运动时间t的函数图象如图2，则图象中最低点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，过点Q作，交的延长线于点E，证明，可得，从而得到，进而得到y关于t的函数解析式，即可． 【详解】解：连接，过点Q作，交的延长线于点E， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴， 根据图2得：， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，y最小，为， 即图象中最低点的坐标是． 6．（2026·北京·二模）在平面直角坐标系中，点为抛物线上一点，点坐标为，点与点不重合． (1)求此抛物线的顶点坐标和对称轴（用含的代数式表示）； (2)连接． ①当线段与抛物线有且只有1个公共点时，直接写出的取值范围； ②在①的条件下，过点作轴的垂线交抛物线于点，若线段的长随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为；对称轴为直线， (2)①且或．② 【分析】（1）根据二次函数对称轴的求解方法和顶点坐标求解即可． （2）①由点A和点B的坐标结合线段，得出，，求出点点关于抛物线的对称点，再结合线段与抛物线有且只有1个公共点，列出不等式求解即可． ②求出点C的坐标，再得出，最后由二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴顶点坐标为． （2）解：①∵点，点坐标为， ∴，，即， ∵点为抛物线上一点， ∴点关于抛物线的对称点为， ∵线段与抛物线有且只有1个公共点， ∴或， 解得或， 综上：且或． ②把点代入抛物线得出， ∴， ∴， ∵过点作轴的垂线交抛物线于点， ∴点C的横坐标为， 把代入，得：， ∴， ∴， ，该函数与x轴的交点坐标为和， 对称轴为直线， 画出函数图象如下： 当时和时，线段的长随的增大而减小． ∵在①的条件下，则且或． ∴时，线段的长随的增大而减小． 7．（2026·江苏苏州·二模）已知二次函数经过点，，点，横坐标分别为，，的三点D、E、F在这条抛物线图像上，连接点和点的抛物线“片段”始终经过点． (1)该二次函数解析式为__________； (2)求的范围，并求线段的最小值； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)；2 (3)1 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据 D横坐标为，F横坐标为，在D、F之间的抛物线段上，得出，即可得；先求出点D、F的纵坐标，由两点距离公式求出，当时，最小为，此时； （3） E点横坐标为，纵坐标； 过点E作轴交于点G，求出直线的解析式，得出，再根据铅垂线法解答即可； 【详解】（1）解：∵二次函数与x轴交于、， 设二次函数解析式为：， 将代入得：， 解得：， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵ D横坐标为，F横坐标为，在D、F之间的抛物线段上， ∴， 解得：， 将点D、F横坐标代入抛物线得： ，， 横坐标差为，纵坐标差为， 由两点距离公式得：， 当时，最小为， 此时； （3）解： E点横坐标为，纵坐标； 过点E作轴交于点G， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 的水平宽为， ∴． 8．（2026·山东济南·二模）如图，二次函数的图象经过点和点，与轴交于另一点． (1)求二次函数的表达式； (2)在轴上方的二次函数图象上有一动点． ①如图，作射线，当平分时，求点的坐标； ②如图，连接，，设点的横坐标为，当为锐角三角形时，求出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②时为锐角三角形 【分析】（1）把、代入，解方程组求出、的值即可得出答案； （2）①连接，交于，根据二次函数解析式求出，进而求出，根据平分，结合等腰三角形“三线合一”的性质求出，利用待定系数法求出直线的解析式为，联立直线与二次函数的解析式求出点坐标即可； ②设的中点为，连接，当时，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出，利用两点间距离公式列方程求出的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：将、代入， ∴， 解得：， ∴． （2）解：①如图，连接，交于， 由（1）可知，， ∴当时，， 解得：或， ∴， ∵，， ∴，， ∴，是等腰三角形， ∵平分， ∴，即为的中点， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式得，， 解得：，（与点重合，舍去）， ∴． ②设的中点为，连接， ∵，， ∴， ∵点C的横坐标为， ∴， 当时，， ∴， 解得：或， ∴时，为锐角三角形． 9．（2026·宁夏固原·二模）如图，抛物线交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在对称轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标． (3)点D为y轴上一点，如果直线与直线的夹角为，求线段的长度． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将点，点坐标代入解析式可求解； （2）连接，，，设于抛物线对称轴交于 由于A、B关于抛物线对称轴对称，即关于直线对称，即可得到，要使最小，即最小，故当B、P、C三点共线时，最小，即此时P点在的位置，求出直线的解析式，即可得到答案； （3）先求出点坐标，可得，可得，再分点在点 C上方或下方两种情况讨论，由锐角三角函数可求解． 【详解】（1）解：抛物线交轴于点 ，与轴交于点， ， 解得：， 抛物线解析式为：； （2）解：令，即，解得或， ， 如图所示，连接，，，设于抛物线对称轴交于， ∵、分别是抛物线与x轴的两个交点， ∴A、B关于抛物线对称轴对称，即关于直线对称， ∴， ∴， ∴要使最小，即最小， ∴当B、P、C三点共线时，最小，即此时P点在的位置， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴P点坐标为； （3）解：抛物线与轴交于，两点， ， ，， ， ， 如图2，当点在点上方时， ， ， ， ， ； 若点在点下方时， ， ， ， ， ． 综上所述：线段CD的长度为或． 10．（2026·河北张家口·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于A，B两点，交轴于点，，点在抛物线上，且点的横坐标，连接，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)设的面积为，求与之间的函数关系式． (3)如图2，过点作于点，过点作轴，交的延长线于点，延长，交抛物线于点，交直线于点，过点作，交抛物线于点，连接，交于点，，点在的延长线上，连接，．若，请直接写出的面积的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线解析式，确定的坐标为，，继而得到点的坐标为，代入解析式求解即可． （2）过点作轴于点M，故，，根据，得到，利用比例求解即可； （3）利用待定系数法，三角函数的应用，三角形外角性质等解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于点， ∴点的坐标为， ， ， ∴点的坐标为． 将点代入， 得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：在中，令， 则， 解得， ∴点的坐标为． ∴． ∵点在抛物线上， ∴点的坐标为． 过点作轴于点M， 故，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故， ， ． （3）解：解：设D的横坐标为t，则，且， 根据题意，得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 故， ， 根据题意，得， 解得（与点C重合，舍去）或， 故， 设直线的表达式为， 将代入直线的表达式得： ， 解得， ∴直线的表达式为：， 令，得， 解得， 故点， ，， ， 即， 作线段的垂直平分线，交于点R，连接，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理，得， 解得，负的舍去， 故． ． 特殊三角形问题 考点09 1．（2026·山东东营·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右侧），与轴交于点，直线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为，的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)（）； (3)存在．点N的坐标为或或或． 【分析】（1）对于，令，求出值，令，求出的值，进而得到、的坐标，待定系数法求出抛物线的函数表达式； （2）求出点坐标，根据两点间的距离求出的解析式，根据点在第二象限，写出m的取值范围即可； （3）分别以为直角顶点，为直角顶点和为直角顶点三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得：， ∴、， ∵抛物线经过点A，B ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵点P的横坐标为， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P是第二象限内抛物线上的一个动点， ∴； ∴； （3）解：存在，设点， ∵， ∴， ∵， ∴； ①当点为直角顶点时：，解得：， ∴； ②当点为直角顶点时，，解得：， ∴； ③当点为直角顶点时：，解得：或， ∴或； 综上：或或或． 2．（2026·海南省直辖县级单位·二模）如图，二次函数的图象经过点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)点在直线下方的抛物线上运动，当时，求点的坐标； (4)动点在抛物线的对称轴上运动，作射线，若射线绕点逆时针旋转与抛物线交于点，是否存在点使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)6 (3)点 (4)存在，的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据三角形面积公式直接求解； （3）过作轴，交轴于，设，由可得，再列方程即可求解； （4）分当点Q在x轴下方时，当点Q在x轴上方时，两种情况求出对称轴，设出点Q坐标，根据“一线三垂直”模型构造全等三角形，用点Q的坐标表示出点D的坐标，再根据点D在抛物线上构造方程求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过三点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：，边上的高为， ； （3）解：过作轴，交轴于，设， 则， 又， 为等腰直角三角形， ，即， 整理得， 解得或（舍去）， 时，， 则点的坐标为； （4）解：如图3-1所示，当点Q在x轴下方时，设抛物线对称轴交x轴于H， 过点D作交直线于G， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴； ∵， ∴； 设点Q的坐标为，则； 由旋转的性质可得， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点D在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴此时点的坐标为； 如图3-2所示，当点Q在x轴上方时，过点Q作轴， 分别过点A，点D作直线的垂线，垂足分别为R、S，设点Q的坐标为， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点D在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴此时点的坐标为； 综上所述，存在点Q使，此时点Q的坐标为或． 3．（2026·四川泸州·二模）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点． (1)求二次函数的表达式； (2)动点在抛物线的对称轴上，且在轴下方，作射线，将射线绕点逆时针旋转后与抛物线交于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请求出的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴为直线，设，根据旋转的性质并结合为等腰直角三角形可得出，，过Q作垂直直线于H，证明，得出，，则，把Q的坐标代入抛物线表达式可求出m的值，即可求解； （3）分三种情况讨论：；；，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交轴于点，交轴于点， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， 设， ∵旋转， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， 过Q作垂直直线于H， 则， ， ∴， ∴，， ∴， ∵Q在抛物线上， ∴， 解得或（舍去）， ∴； （3）解：平移后的抛物线表达式为， ∴其对称轴为直线， 当，即时，如图， 当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值为， 当时，y有最大值为， ∴， 解得（不符题意，舍去）； 当，即时， 此时当时，y有最小值为， 若当时，y有最大值为， 则， 解得或（不符题意，舍去）； 若当时，y有最大值为， 则， 解得或（不符题意，舍去）； 当，即时，如图， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值为， 当时，y有最小值为， ∴， 解得（不符题意，舍去）； 综上，或． 4．（2026·四川宜宾·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、两点；与轴交于点，，点为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为该抛物线上一动点，过点且与轴垂直的直线交线段于，交轴于点．若，求点的横坐标； (3)点是轴上一动点，将顶点绕点旋转后刚好落在抛物线上的点处，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或． 【分析】（1）先求出，解直角三角形得到，则；再利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的表达式为；设，则，则，，根据t的取值范围和，建立方程求解即可； （3）求出，设，由旋转得，当时，过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点，证明，表示出，将点代入，得，解方程即可；当时，作出同样的辅助线，同理可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴； ∵抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：设直线的表达式为， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； 设，则， ∴，， 当时，， ∵， ∴， 解得或（舍去）； ∴点M的横坐标为； （3）解：∵， ∴； 设， 由旋转得， 当时， 过点作轴的平行线，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点代入得， 整理得， 解得， ∴或； 当时，过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点代入， 得， 整理得， 解得， ∴或， 综上所述：所有符合条件的点P的坐标为或或或． 相似三角形问题 考点10 1．（2026·湖北武汉·二模）抛物线：交轴于，两点（在的左边），交轴于点，连接，． (1)直接写出，，的坐标； (2)如图（1），点是抛物线第三象限上的一点，点是线段的中点，点是线段上一点．若四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)如图（2），将抛物线平移，使其顶点在原点，得到抛物线，直线：与抛物线交于，两点（在的左边）．点是第三象限内的一点，设直线的解析式是，直线的解析式是，是否存在定点，使得是定值？若存在，请求出的值与这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)或 (3)存在，当时，是定值 【分析】（1）分别令，，即可求解，，的坐标； （2）可得直线的解析式是，设，，直线的解析式为，从而得到，将代入抛物线，求解一元二次方程即可得到答案； （3）分别写出点，的坐标，联立直线与抛物线，整理得，把，的坐标代入其中，得到，再将，的坐标代入直线中，得，同理可得，整理化简得到一个关于的一元四次方程，要使是定值，则这个式子与的取值无关，从而解得与的值． 【详解】（1）解：令，即，解得，， 在的左边， ，， 令，可得， ． （2）解：点是线段的中点，由（1）知，，，， ． 设直线的解析式为， 把，代入得，， 解得， 直线的解析式为． ∵点是线段上一点， ∴设，． 同理可得，直线的解析式为． 四边形是平行四边形， ∴，， ∵，． 点的横坐标为，纵坐标为， ， 将代入抛物线中，得， 解得，， 或； （3）解：存在． 平移抛物线后得到：． 设点，的坐标分别是，． 联立直线与抛物线，整理得， 则，，， 将，代入，可得， 将，代入直线中，得 两式相减后整理得，， 同理，将，的坐标代入直线中，得． ∵， ∴， 将代入， 是定值， 设， 整理得． 该式子与的取值无关，是一个定点， ， 解得， 当，即存在定点，使得是定值，为． 2．（2026·吉林延边·二模）如图①，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过、两点且与轴交于另一点．点是抛物线上的动点，其横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求线段的长度； (3)当点在轴下方时，抛物线在点、点之间的部分（包括端点）记为图象，图象上最高点和最低点的纵坐标之差为5时，求点的坐标； (4)以为对角线构造矩形，边平行于轴．当直线将矩形的面积分成两部分的比为时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)4； (3)点的坐标为或者； (4)或． 【分析】（1）先由直线解析式求出点、点坐标，再用待定系数法求抛物线解析式． （2）由知点与点纵坐标相同，代入抛物线求出点坐标，即可求长． （3）抛物线开口向下，顶点为，点，分点在点左侧和右侧两种情况讨论图象的最高点与最低点，根据纵坐标之差为列方程求解． （4）由矩形构造可知其四个顶点为、、、，直线经过点，分与讨论它与矩形边的交点位置，利用面积比为1:3列方程求． 【详解】（1）解：对于直线， 令，得， 令，得， ，． 抛物线经过、两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：在轴上，， 点与点的纵坐标相同，均为． 令，得， 即， 解得：，． ． ． （3）解：令，得， 即， ． ， 抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线． 点在轴下方， 或． ①当时，图象对应自变量取值范围是， 抛物线在上y随x增大而增大， 最高点为，最低点为． 由题意：， 即， 解得：． ， ． 此时． ②当时，图象对应自变量取值范围是，包含顶点， 最高点为顶点，纵坐标为． 点在轴下方，点在轴上， 最低点为，纵坐标为． 由题意：， 即， 解得：． ， ． 此时． 综上，点的坐标为或． （4）解：四边形为矩形，为对角线，且轴， ，． 矩形面积． 当时，直线与边交于点， ． 由，得， 解得：． 当时，直线与边交于点， ，， ． 由，得， 解得：． 当时，直线不经过矩形内部，不符合题意． 综上，的值为或． 3．（2026·湖南怀化·二模）已知一次函数的图象分别交轴，轴于点，过两点的二次函数的图象与轴交于另一点． (1)求的值及点的坐标； (2)如图1，，为上方抛物线上两动点，分别过点作轴的垂线，与线段交于点．若，探究线段与能否互相垂直且平分？若能互相垂直且平分，求出符合条件的点的坐标；若不能，请说明理由； (3)如图2，点在轴正半轴上，连接，当时，在二次函数图象上存在点使得，求点到轴的距离． 【答案】(1)，，B (2)不能，理由见解析 (3)或 【分析】本题是考查二次函数、一次函数和几何图形结合的综合题． （1）根据一次函数和坐标轴的交点得到点，，得到，根据待定系数法得到二次函数的表达式，进而得到点的坐标. （2）根据点在二次函数的图象上，点在一次函数的图象上，得到用表示的线段的代数式，根据线段与互相垂直且平分得到四边形为菱形，即，得到此时点，的坐标，因为，得到四边形不是菱形，所以线段与不能互相垂直且平分． （3）过点作轴于点，根据点在轴左侧和右侧，分两种情况讨论，通过证明，得到对应线段成比例，设点的坐标为，得到关于的一元二次方程，解得的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴点的坐标为， 当时，，解得， ∴点的坐标为， ∵二次函数的图象过点，， ∴， 将代入中，得，解得， ∴二次函数的表达式为， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∵为二次函数图象与轴的交点， ∴点与点关于直线对称， ∴点的坐标为； （2）解：与不能互相垂直且平分， 理由如下：由（1）得，二次函数的表达式为， ∵，均与轴垂直，， ∴，， ， ， ∴，， ∵， ∴当线段与互相垂直且平分时，四边形为菱形， 则，即，解得， 此时，点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， ∴四边形不是菱形， ∴线段与不能互相垂直且平分； （3）解：如图，过点作轴于点，则， 当时，． ∵， ∴， ∴． 设点的坐标为， ∴， 则， 如解图1，当点在轴右侧时，， ∵， ∴， ∴，解得， ∵点在轴右侧， ∴， ∴点到轴的距离为， 如解图2，当点在轴左侧时，， ∴，解得， ∵点在轴左侧， ∴， ∴点到轴的距离为， 综上所述，当时，点到轴的距离为或． 4．（2026·湖北黄冈·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中b、c为常数）的图象经过和两点，点P在该抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)如果点P是抛物线的顶点，求的面积； (3)点P在该抛物线上，其横坐标为，点A在x轴上，其横坐标为m，以点A为对称中心构造矩形，轴． ①当时，如果该抛物线的顶点在矩形的边上时，求m的值； ②记矩形的周长为l，当时，直接写出l关于m的函数解析式． 【答案】(1) (2)3 (3)①；② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得点P的坐标，再利用割补法即可求解； （3）①先可得，，则可得，即可求解； ②先由时，可得，再分，两种情况即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过和， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线，顶点为， ∵，， ∴． （3）解：①∵点P在该抛物线上，其横坐标为， 当时，，即， ∵点A在x轴上，其横坐标为m， ∴． ∵点A为对称中心构造矩形PQMN， ∴， ∴， 当该抛物线的顶点在矩形的边上时，如图1，， 解得，， ∵， ∴， ∴当该抛物线的顶点在矩形的边上时，． ②当时，点M和点N重合， 化简得，解得：，， ∵， ∴， 当时，如图2所示， ∵，， ∴； 当时，如图3所示， ∵，， ∴； 综上所述，．     相似三角形问题 考点11 1．（2026·辽宁丹东·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（，为常数）的图像记为，二次函数（，为常数）的图像记为，图像和图像组成新图像． (1)若点在图像上． ①的值为________； ②求函数表达式； (2)若，如图，求时图像的最高点与最低点对应的纵坐标的差； (3)当时，若点，点，点为图像上的3个点，设点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，在图像上，两点之间的部分任取一点，在，两点之间的部分任取一点（点，点均不与端点重合），若点的纵坐标总小于点的纵坐标，求的取值范围； (4)当时，图像与轴交于点，与轴交于点，连接，过点作的垂线交直线于点，直线与轴交于点，与图像交于点，若，直接写出的值． 【答案】(1)①；② (2) (3) (4)或或 【分析】（1）①将点代入即可求出；②将代入即可求出的解析式； （2）先将当时，与的解析式求出，结合图象找到当时图像的最高点与最低点即可； （3）先将当时，的解析式求出，因为图像开口朝下，所以横坐标越靠近直线，对应的纵坐标就越大，当点也在直线左侧时，全部符合题意，当点在直线右侧时，此时只需要让点到直线的距离小于等于点到直线的距离即可； （4）先根据题意求出，，，，，过点作轴，可证明，得出，从而求出，当点在轴下方时，，；当点在轴上方时，，，两种情况都利用，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵点在图像上， 将点代入得：， ∴； ②当时，， ∴． （2）解：当时，， ， ∴关于直线对称， 关于直线对称， 又∵， ∴当时图像的最高点与最低点，如图所示： 当时，，即为图像的最高点， 当时，，即为图像的最低点， ∴图像的最高点与最低点对应的纵坐标的差为． （3）解：当时，， ∴关于直线对称， ∵点，点，点为图像上的3个点，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为， ∴，即， ∴， ∴点，点在直线的左侧， ∵图像开口朝下， ∴横坐标越靠近直线，对应的纵坐标就越大， 当点也在直线左侧时，即，解得：，如图所示： 此时在，两点之间的部分离直线更近，可以使得点的纵坐标总小于点的纵坐标， ∴符合题意， 当点在直线右侧时，即，解得：， 此时只需要让点到直线的距离小于等于点到直线的距离即可，如图所示： ∴，解得：， 综上：． （4）解：∵， ∴令，得：，解得：或， ∵， ∴， ∴， 令，得：， ∴， ∵直线与轴交于点，与图像交于点， ∴，， 过点作轴， ∵点在直线上， ∴点横坐标为，即， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，解得：， 当点在轴下方时，如图所示： ∴，， ∵， ∴，整理得：，解得：或， 当点在轴上方时，如图所示： ∴，， ∵， ∴，整理得：，解得：（舍去）或， 综上：的值为或或． 2．（2026·上海徐汇·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，顶点为．直线经过点，且． (1)求直线的表达式； (2)已知抛物线也经过、两点，且开口向下，顶点为．设为抛物线与直线的交点，连接、、，当四边形是梯形时，求抛物线的表达式． 【答案】(1)直线的表达式 (2)抛物线或 【分析】本题主要考查二次函数与几何的结合，涉及待定系数法求解析式，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，两点之间的距离，以及梯形的性质，解题的关键是应用分类讨论思想． （1）根据待定系数法求得抛物线，即可知点，过点M作轴，交x轴于点C，交直线l于点N，可证明，有，结合两点之间距离求得，利用待定系数法即可求得直线的表达式； （2）根据题意的，利用待定系数法求得抛物线，则点，联立方程求得点，结合梯形的性质若，过点N作轴于点C，过点M作平行于x轴的直线与过点D作轴于点C，线段与x轴交于点F，则点，且，有，两点之间距离公式求得a（当a值接近0时不满足题干要求的梯形字母顺序，故舍去）；若，过点M作轴于点G，过点D作平行于x轴的直线与过点N作轴于点H，同理可得，点，求得a即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴， 解得， 则抛物线， ∴点， 如图，过点M作轴，交x轴于点C，交直线l于点N， 则，， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， ∵点和点， ∴，， 则，解得， ∴点 ∴设直线l的解析式为， ∵直线经过点和点N， ∴， 解得 则直线的表达式； （2）解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线经过、两点， ∴， 解得， 则抛物线， ∵抛物线顶点为， ∴， 联立， 解得，， 则点， ∵四边形是梯形， ∴，或， ①如图，若，过点N作轴于点C，过点M作平行于x轴的直线与过点D作轴于点C，线段与x轴交于点F， 则，，点，点， ∴， ∴， ∵点，点，点，点，点， ∴，，，， 则， 解得，（构不成梯形，舍去）， 那么，抛物线； ②若，过点M作轴于点G，过点D作平行于x轴的直线与过点N作轴于点H， 同理可得，点，点， ∴，，，，， 则， 解得，（构不成梯形，舍去）， 那么，抛物线． 3．（2026·四川绵阳·二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线上一点，平分，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求点坐标； (3)在直线上取两点（在点上方），连接，使得，求坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为： (2) (3) 或 ． 【分析】（）根据，两点，利用待定系数法求解即可得； （）先由抛物线解析式求出与轴交点的坐标，再在中用勾股定理求出的长度；根据角平分线定理得到与的比例关系，结合的长度求出，从而确定的坐标；接着求出直线的解析式，联立直线与抛物线的方程，舍去点对应的解，得到点的坐标； （）先求出直线的解析式，再利用角平分线的性质得到点到直线的距离等于的长度；结合，根据相似三角形对应高的比等于相似比，求出与的长度；设出点的坐标，由的长度列方程求解得到的坐标，再根据的长度和直线的斜率求出对应点的坐标，最终得到两组符合条件的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴代入两点坐标得方程组：， 解得 ， ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵抛物线解析式； 令，得， 即：抛物线与轴交点， 在中，，， 由勾股定理得， ∵平分， 根据角平分线定理：，且， 即： 解得：，即， 设直线解析式为， 代入、得：， 联立直线与抛物线方程：， 整理得：， 解得：（对应点，舍去），，代入直线得 ， ∴点坐标为：； （3）解：设直线的解析式为， 代入、得， 解得：， ∴直线的解析式为， 作，垂足为， ∵平分，， ∴ ∵点在直线上， ∴在直线上，点到直线的距离为定值：， 即：中，边上的高为， 在中，在轴上，边上的高为， ∵， ∴，，即 由，，得，， 设，由得：， 整理解得或， ① 当时，， ，，，计算得； ② 当时，， ，，，计算得； 因此坐标为： 或 ． 4．（2026·陕西延安·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数，且）与轴交于、两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标； (2)点为第四象限内抛物线上的动点，过点作轴于点，交线段于点，当以、、为顶点的三角形与相似时，求所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为， (2)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出抛物线的表达式，再令，求出的值，即可得出点的坐标； （2）求出直线的解析式为，设，则，，分两种情况：当时；当时，分别计算即可得出结果 【详解】（1）解：∵抛物线（、为常数，且）与轴交于、两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为， 在中，当时，， ∴； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∵以、、为顶点的三角形与相似，且， ∴如图，当时， ， 此时， ∴，即点和点的纵坐标相同， 在中，当时，， 解得：，， ∴此时； 如图，当时， ， 此时，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 解得：，， 此时，即点的坐标为； 综上所述，当以、、为顶点的三角形与相似时，点的坐标为或． 5．（2026·湖北孝感·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．直线经过A，C两点． (1)求a的值； (2)判断的形状，并说明理由； (3)定义：如果一个矩形的两个顶点位于三角形的一条边上，另外两个顶点分别位于三角形的另外两条边上，那么这个矩形就是这个三角形的内接矩形．若点E在上，点F在上，四边形是的内接矩形，设，矩形的面积记为S． ①求S关于m的函数关系式； ②直接写出矩形的面积最大时，矩形在边上的顶点的坐标． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 (3)①有两个顶点G，H落在上时，；只有一个顶点H落在上时，；当点E与点C重合时，点G在上，；②，或 【分析】（1）求出点A的坐标，即可； （2）求出点B，C的坐标，再利用勾股定理逆定理解答即可； （3）①分三种情况：当顶点G，H都在边上时，只有一个顶点H落在上时，当点E与点C重合时，结合相似三角形的判定和性质解答即可；②结合①，利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，， ∴， ∴点， 把点代入得： ，解得：； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）得：抛物线解析式为， 当时，， 解得：， ∴点， ∴， 对于， 当时，， ∴点， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：①当顶点G，H都在边上时，如图，设与交于点K， ∵四边形为矩形，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ， ∴．， ∴， ∴，即， ∴； 当顶点G在边上，顶点H在边上时，如图， 此时点F与点C重合， ∵四边形为矩形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点E与点C重合时，如图， ∵四边形为矩形， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴， 综上所述，有两个顶点G，H落在上时，；只有一个顶点H落在上时，；当点E与点C重合时，点G在上，； ②有两个顶点G，H落在上时，， 只有一个顶点H落在上时，； 当点E与点C重合时，点G在上，， ∴当或或时，矩形的面积最大， 当时，，，即点E的纵坐标为1， 当时，，解得：， ∴矩形在边上的顶点的坐标分别为，； 当时，， ∴，即， ∵， ∴，即点H为的中点， ∴点H的坐标为； 当时，， ∴，即， ∵， ∴，即点G为的中点， ∴点G的坐标为； 综上所述，矩形的面积最大时，矩形在边上的顶点的坐标为，或． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数 11大考点概览 考点01二次函数的图像与性质 考点02二次函数图像与系数的关系 考点03二次函数的最值 考点04二次函数图像的平移 考点05二次函数与一元二次方程 考点06二次函数与不等式 考点07实际问题与二次函数 考点08线段、周长、角度及面积问题 考点09特殊三角形问题 考点10特殊四边形问题 考点11相似三角形问题 二次函数的图像与性质 考点01 1．（2026·浙江台州·二模）已知二次函数，当时，有，则下列说法：①当时，有最大值；②当时，有最大值．正确的判断是（    ） A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误 2．（2026·山东德州·二模）已知点，在抛物线上，且当时，，则不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D．或 3．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）抛物线与轴的交点坐标是(   ) A． B． C． D． 4．（2026·陕西宝鸡·二模）对于二次函数（、、为常数，），定义其图象上点的“点值”．已知二次函数（为常数，且）图象的顶点的“点值”为，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 5．（2026·安徽阜阳·二模）已知反比例函数（）的图象在第一、三象限，则二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·广东深圳·二模）定义：如果二次函数与满足，，则称它们互为“旋转函数”．已知二次函数与互为“旋转函数”，则这两个函数的顶点距离为（    ） A． B．10 C． D． 7．（2026·山东济南·二模）定义：若一个点的横、纵坐标之和为，则称这个点为“和谐点”．若二次函数（为常数）在的图象上存在两个“和谐点”，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．（2026·山东青岛·二模）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，经过点，下列结论：，，对任意实数，都有，若点，在函数图象上，且满足，，则．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．（2026·浙江温州·二模）二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表： 的值 … 0 1 2 … 的值 … 2 5 2 … 当时，函数的取值范围是（） A． B． C． D． 10．（2026·陕西渭南·二模）在平面直角坐标系中，将二次函数（为常数，且）的图象沿轴向下平移2个单位长度，得到的新二次函数图象经过点，则关于二次函数的说法不正确的是（     ） A．图象的开口向下 B．当时，的最小值为 C．当时， D．当时，的值随值的增大而减小 二次函数图像与系数的关系 考点02 1．（2026·贵州六盘水·二模）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（     ） A．B． C． D． 2．（2026·安徽马鞍山·二模）已知三个实数，，，满足，，则下列结论不正确的是(    ) A． B．若，则 C． D． 3．（2026·湖北·二模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2026·四川成都·二模）已知一次函数与反比例函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A．B． C． D． 5．（2026·安徽滁州·二模）已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A．B．C．D． 6．（2026·青海西宁·二模）下表给出了二次函数的部分与的对应值，并得到了以下结论： ①这个二次函数图象的对称轴是直线；②；③；④有最小值是；⑤当时，有最小值为．其中正确的结论有（     ） … … … … A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．（2026·山东青岛·二模）已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③对于任意实数t，；④．其中，正确结论有（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 8．（2026·安徽阜阳·二模）已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的个数为（    ） ①；②；③；④若点在函数图像上，且满足，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2026·广东广州·二模）抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程有实数根．其中正确结论的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 10．（2026·山东青岛·二模）函数与的图象如图所示，结合图象分析下列结论： ①；②；③当时，两个函数的函数值都随的增大而增大；④当时，． 其中正确结论是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 二次函数的最值 考点03 1．（2026·陕西渭南·二模）二次函数（b为常数）的图象经过点，且对称轴在y轴左侧，则该二次函数的最小值为（     ） A．4 B． C．7 D． 2．（2026·浙江台州·二模）如图，在中，，相交于点，，，分别是线段上的点，，，设为，为，则有（   ）． A．最大值0.8 B．最小值0.8 C．最大值0.6 D．最小值0.6 3．（2026·陕西咸阳·二模）已知抛物线，当时，函数有最小值，则的值为（   ） A．0或1 B．0或 C．1或 D．0或2 4．（2026·河南三门峡·二模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏扬州·二模）若，则的值可能是（    ） A． B．3 C． D．2 6．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在中，，，为的中点，延长至点，使得，P、Q分别为、上的动点，，连接，作于点，连接，，，，，则下列结论错误的是（    ） A．的最小值为 B．面积的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 7．（2026·陕西渭南·二模）已知二次函数（为常数，且），当时，的最大值为24，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 8．（2026·安徽阜阳·二模）抛物线的对称轴为直线，若直线与抛物线在的范围内有交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（2026·安徽宿州·二模）已知实数满足，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D．4 10．（2026·四川宜宾·二模）若时，二次函数的最小值为，则的值是（    ） A． B． C． D．5 二次函数图像的平移 考点04 1．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河北·二模）对于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．可由抛物线向左平移2个单位长度得到 B．当时，y随x的增大而增大 C．与y轴无交点 D．顶点坐标是 3．（2026·福建泉州·二模）已知二次函数的图象经过点两点，若关于的方程有两个不相等的实数根，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·广东东莞·二模）将抛物线向左平移4个单位，抛物线与y轴交于点，在平移过程中c的值会（   ） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 5．（2026·陕西西安·二模）抛物线的图象经过，，若将抛物线的图象沿轴向下平移个单位后，与直线只有一个交点，则的值为（   ） A．3 B．13 C． D． 6．（2026·湖北襄阳·二模）将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 二次函数与一元二次方程 考点05 1．（2026·安徽芜湖·二模）已知抛物线经过第一、第二、第三、第四象限，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西西安·二模）已知，抛物线（m为常数），下列判断正确的是（   ） A．该抛物线的开口方向向下 B．该抛物线与y轴交点可能在y轴负半轴上 C．该抛物线与x轴一定有交点 D．点、点在该函数图象上，则 3．（2026·山东滨州·二模）如图，已知抛物线，直线，下列判断中：①当或时，；②当或时，；③当时随x的增大而增大；④使的x的值有2个．其中正确的个数有（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026·福建南平·二模）已知抛物线与x轴交于，两点，且点，都在抛物线上，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．无论a为何值， D．无论a为何值， 5．（2026·山东聊城·二模）已知二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点的坐标为，其图象如图所示，下列结论：①；②一元二次方程的两个根分别是和1；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤若点为对称轴上的任一点，则的最小值为．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（2026·四川绵阳·二模）若抛物线与直线有两交点A，B，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·安徽蚌埠·二模）已知二次函数的图象如图所示，下列结论中：①该二次函数的关系式为；②若直线与二次函数的图象交于点A，B（点A在点B左侧），则线段；③关于x的方程的解是或；④当时，自变量x的取值范围是或．其中正确的结论有（　　） A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 8．（2026·辽宁本溪·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，与轴交于点，若点在第二象限的抛物线上，则的面积为_____． 9．（2026·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，抛物线． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)若将该抛物线向左平移个单位，或向右平移个单位，都经过平面内一个点，求的值； (3)若该抛物线与轴两个交点之间的距离为，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，且点与点不重合，当点在轴上运动的过程中，的长随的增大而增大，求的取值范围． 10．（2026·青海西宁·二模）如图，抛物线与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B，且． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)求抛物线的函数表达式； (3)连接，点是线段上一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，且四边形为平行四边形．请直接写出所有符合条件的点的坐标． 二次函数与不等式 考点06 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；⑤关于的不等式的解集为．其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2026·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数，将其图象在直线左侧部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形，，是图形上两点，若对于，，都有，则的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 3．（2026·湖北恩施·二模）如图，抛物线与直线交于B，C两点，与轴交于点，已知点C的坐标为，点B的横坐标为3，轴．下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．当时， 4．（2026·山东日照·二模）给出下列命题及函数与和的图象： ①如果，那么； ②如果，那么或； ③如果，那么； ④如果，那么.则（     ） A．正确的命题有①② B．正确的命题有①②④ C．错误的命题有②③ D．错误的命题有②④ 5．（2026·四川成都·二模）定义：平面直角坐标系中有点，若点满足且，则称为中心点，点是的“界密点”．例如：对于中心点，满足且的点，都是点的“界密点”，这些环绕点组成的图形是一个边长为的正方形，中心点是正方形的中心，关于的二次函数（是常数）．将它的图象绕原点逆时针旋转得曲线，若上存在的“界密点”，则的取值范围是___． 6．（2026·河北邢台·二模）在平面直角坐标系中，点，是抛物线上任意两点，当，时，都有，则的取值范围是_____． 7．（2026·安徽阜阳·二模）已知抛物线，点在抛物线上，其中，． （1）若的最小值是－2，则的最大值是______； （2）若对于，，都有，则t的取值范围是______． 8．（2026·浙江台州·二模）已知抛物线（a为常数）． (1)若抛物线经过点． ①求a的值； ②将抛物线向右平移b()个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于点A，若点A的横坐标为4，求b的值； (2)若点，都在抛物线上，，求a的取值范围． 9．（2026·山东泰安·二模）平面直角坐标系中，抛物线（a为实数）． (1)当时，求此抛物线的顶点坐标； (2)已知点，是抛物线上两点，若对于，，都有，求a的取值范围； (3)在该平面直角坐标系中有一直线，当时，总有，求m的最大值． 10．（2026·河南驻马店·二模）抛物线与直线交于A，B两点，已知点A的横坐标为1． (1)求m的值及抛物线的顶点坐标． (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差小于4，求t的取值范围． (3)当时，将抛物线沿y轴翻折，得到如图所示的复合图象，记为W．若直线向左平移n个单位长度后与图象W有三个交点，请直接写出n的值． 实际问题与二次函数 考点07 1．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在中，，，斜边在轴上，将直线从轴出发向右平移，若在该直线左侧的阴影部分的面积记为，则与之间的函数关系的图象为（   ） A．B．C． D． 2．（2026·天津滨海新区·二模）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向终点以的速度移动，动点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为．有下列结论：①当时，；②的面积的最大值为；③时的四边形的面积大于时的四边形的面积．其中，正确结论的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．（2026·甘肃武威·二模）某校计划举办九年级毕业典礼，想在现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“毕”“业”“典”“礼”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，如图2所示，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·天津河北·二模）某商店销售一种产品，成本为每件40元，原售价为每件60元，每日销量为50件，经过市场调查，若每件售价每涨价1元，则每日销量减少2件．设售价为每件元，为正整数．有下列结论： ①若，则销售该商品当日利润为900元； ②若要取得最大利润，又尽量让利消费者，则； ③有两种定价方式可以使利润为1008元 其中，正确结论的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 5．（2026·湖北襄阳·二模）如图，小明在一次高尔夫球训练中，球的飞行路线是抛物线的一部分，若不考虑空气阻力，球的飞行高度与飞行距离之间的关系式为，则球能达到的最大高度为________． 6．（2026·甘肃白银·二模）儿童公园的广场上有一个喷泉设施（如图1）．以出水点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图2所示．喷出的水的竖直高度y（单位：米）与距出水口的水平距离x（单位：米）近似满足函数关系．为增加儿童游玩趣味性，在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形透明隧道，其截面图如图3所示，为保证隧道不被水流影响，要求隧道顶部到水柱的竖直距离均不小于1.5米，隧道宽为1米．则隧道顶端到地面的最大高度为________米． 7．（2026·河南平顶山·二模）综合与实践 消防员不仅是灭火英雄，更是集救援、调查、救护于一体的全能守护者，他们需要具备超强的体能、专业的技能与稳定的心理素质，在各类灾害中保护人民生命和财产安全． 问题背景：为增强消防员专业技能和实战经验，消防员会进行不定期的实战演习．如图，某消防支队对小区楼层失火抢救进行了演习． 收集数据：经无人机在离地面某处探测后，确定是距离地面的大楼A处发生火灾，此时消防员需要在无人机正下方离地面，且距该楼水平距离处的升降梯B处喷水灭火． 数学建模：已知水柱近似呈抛物线形状，且在距离喷水点水平距离处达到最高，此时距离地面．以水平地面为x轴，无人机与消防员所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系． 问题解决： (1)求抛物线的表达式． (2)此时水柱是否能喷射到点A处灭火． (3)由于火势较猛，为保证安全，消防员需要后退，为确保水柱恰好能喷射到着火点A处，消防员所在的升降梯需要升高多少米（喷水时水压和出水口角度保持不变）？ 8．（2026·山东青岛·二模）某水上浮动舞台的横截面轮廓可近似看作抛物线的一部分．初始水面为轴，以水面与舞台左边缘的交点为原点，建立平面直角坐标系．已知舞台的吃水宽度米，最大吃水深度为4米，舞台前缘高出初始水面5米．在舞台正前方距离点40米处，有一根垂直于初始水面的固定灯塔，灯塔高度是10米（初始时为灯塔与水面交点，为塔顶）．灯塔在整个过程中保持绝对位置不变．    (1)求舞台轮廓线所在抛物线的解析式及点的坐标； (2)在点处发射一枚礼花弹，礼花弹的飞行路线是抛物线的一部分．求的值，并判断礼花弹能否碰到灯塔； (3)若水面上升2米，舞台也随之整体上浮，灯塔固定不变．将舞台向右平移米（平移后舞台尚未到达灯塔位置），然后再按照（2）中的方式发射礼花弹．若礼花弹落水时未碰到灯塔，直接写出的取值范围． 线段、周长、角度及面积问题 考点08 1．（2026·河北石家庄·二模）如图，抛物线（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．有以下结论：①m的取值范围是；②若点、点、点在该抛物线上，则；③将该抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式为；④若，在x轴上找一点D，使的值最小，最小值为．其中正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2026·天津·二模）在中，，，．动点P从点A出发，以的速度沿折线运动，同时点Q从点A出发，以的速度沿向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为，有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③t有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2026·山东济南·二模）图形的旋转是初中数学中一种常见的几何变换，已知抛物线的解析式为，顶点为点且与轴交于点，若将抛物线绕原点旋转得到新抛物线，新抛物线的顶点为点且与轴交于点，若四边形的面积不小于6，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．且 D．或 4．（2026·河北唐山·二模）在平面直角坐标系中．已知二次函数图象与轴交于点和点．与轴交于点．点是抛物线上的动点（不与点、重合），连、、．若与的面积相等，则满足条件的点的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．5个 5．（2026·河南信阳·二模）如图1，在菱形中，，点P从点B出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点C，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点D．在此过程中的面积y与运动时间t的函数图象如图2，则图象中最低点的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·北京·二模）在平面直角坐标系中，点为抛物线上一点，点坐标为，点与点不重合． (1)求此抛物线的顶点坐标和对称轴（用含的代数式表示）； (2)连接． ①当线段与抛物线有且只有1个公共点时，直接写出的取值范围； ②在①的条件下，过点作轴的垂线交抛物线于点，若线段的长随的增大而减小，求的取值范围． 7．（2026·江苏苏州·二模）已知二次函数经过点，，点，横坐标分别为，，的三点D、E、F在这条抛物线图像上，连接点和点的抛物线“片段”始终经过点． (1)该二次函数解析式为__________； (2)求的范围，并求线段的最小值； (3)求的面积． 8．（2026·山东济南·二模）如图，二次函数的图象经过点和点，与轴交于另一点． (1)求二次函数的表达式； (2)在轴上方的二次函数图象上有一动点． ①如图，作射线，当平分时，求点的坐标； ②如图，连接，，设点的横坐标为，当为锐角三角形时，求出的取值范围． 9．（2026·宁夏固原·二模）如图，抛物线交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在对称轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标． (3)点D为y轴上一点，如果直线与直线的夹角为，求线段的长度． 10．（2026·河北张家口·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于A，B两点，交轴于点，，点在抛物线上，且点的横坐标，连接，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)设的面积为，求与之间的函数关系式． (3)如图2，过点作于点，过点作轴，交的延长线于点，延长，交抛物线于点，交直线于点，过点作，交抛物线于点，连接，交于点，，点在的延长线上，连接，．若，请直接写出的面积的值． 特殊三角形问题 考点09 1．（2026·山东东营·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右侧），与轴交于点，直线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为，的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2026·海南省直辖县级单位·二模）如图，二次函数的图象经过点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)点在直线下方的抛物线上运动，当时，求点的坐标； (4)动点在抛物线的对称轴上运动，作射线，若射线绕点逆时针旋转与抛物线交于点，是否存在点使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2026·四川泸州·二模）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点． (1)求二次函数的表达式； (2)动点在抛物线的对称轴上，且在轴下方，作射线，将射线绕点逆时针旋转后与抛物线交于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请求出的值． 4．（2026·四川宜宾·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、两点；与轴交于点，，点为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为该抛物线上一动点，过点且与轴垂直的直线交线段于，交轴于点．若，求点的横坐标； (3)点是轴上一动点，将顶点绕点旋转后刚好落在抛物线上的点处，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 相似三角形问题 考点10 1．（2026·湖北武汉·二模）抛物线：交轴于，两点（在的左边），交轴于点，连接，． (1)直接写出，，的坐标； (2)如图（1），点是抛物线第三象限上的一点，点是线段的中点，点是线段上一点．若四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)如图（2），将抛物线平移，使其顶点在原点，得到抛物线，直线：与抛物线交于，两点（在的左边）．点是第三象限内的一点，设直线的解析式是，直线的解析式是，是否存在定点，使得是定值？若存在，请求出的值与这个定值；若不存在，请说明理由． 2．（2026·吉林延边·二模）如图①，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过、两点且与轴交于另一点．点是抛物线上的动点，其横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求线段的长度； (3)当点在轴下方时，抛物线在点、点之间的部分（包括端点）记为图象，图象上最高点和最低点的纵坐标之差为5时，求点的坐标； (4)以为对角线构造矩形，边平行于轴．当直线将矩形的面积分成两部分的比为时，直接写出的值． 3．（2026·湖南怀化·二模）已知一次函数的图象分别交轴，轴于点，过两点的二次函数的图象与轴交于另一点． (1)求的值及点的坐标； (2)如图1，，为上方抛物线上两动点，分别过点作轴的垂线，与线段交于点．若，探究线段与能否互相垂直且平分？若能互相垂直且平分，求出符合条件的点的坐标；若不能，请说明理由； (3)如图2，点在轴正半轴上，连接，当时，在二次函数图象上存在点使得，求点到轴的距离． 4．（2026·湖北黄冈·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中b、c为常数）的图象经过和两点，点P在该抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)如果点P是抛物线的顶点，求的面积； (3)点P在该抛物线上，其横坐标为，点A在x轴上，其横坐标为m，以点A为对称中心构造矩形，轴． ①当时，如果该抛物线的顶点在矩形的边上时，求m的值； ②记矩形的周长为l，当时，直接写出l关于m的函数解析式． 相似三角形问题 考点11 1．（2026·辽宁丹东·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（，为常数）的图像记为，二次函数（，为常数）的图像记为，图像和图像组成新图像． (1)若点在图像上． ①的值为________； ②求函数表达式； (2)若，如图，求时图像的最高点与最低点对应的纵坐标的差； (3)当时，若点，点，点为图像上的3个点，设点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，在图像上，两点之间的部分任取一点，在，两点之间的部分任取一点（点，点均不与端点重合），若点的纵坐标总小于点的纵坐标，求的取值范围； (4)当时，图像与轴交于点，与轴交于点，连接，过点作的垂线交直线于点，直线与轴交于点，与图像交于点，若，直接写出的值． 2．（2026·上海徐汇·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，顶点为．直线经过点，且． (1)求直线的表达式； (2)已知抛物线也经过、两点，且开口向下，顶点为．设为抛物线与直线的交点，连接、、，当四边形是梯形时，求抛物线的表达式． 3．（2026·四川绵阳·二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线上一点，平分，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求点坐标； (3)在直线上取两点（在点上方），连接，使得，求坐标． 4．（2026·陕西延安·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数，且）与轴交于、两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标； (2)点为第四象限内抛物线上的动点，过点作轴于点，交线段于点，当以、、为顶点的三角形与相似时，求所有满足条件的点的坐标． 5．（2026·湖北孝感·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．直线经过A，C两点． (1)求a的值； (2)判断的形状，并说明理由； (3)定义：如果一个矩形的两个顶点位于三角形的一条边上，另外两个顶点分别位于三角形的另外两条边上，那么这个矩形就是这个三角形的内接矩形．若点E在上，点F在上，四边形是的内接矩形，设，矩形的面积记为S． ①求S关于m的函数关系式； ②直接写出矩形的面积最大时，矩形在边上的顶点的坐标． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $