专题03 一次函数与反比例函数（9大考点）（全国通用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦一次函数与反比例函数9大核心考点，精选2026年多省市二模真题，涵盖定义、图像性质、综合应用等，通过物理电路分析、无人机巡查等真实情境，实现基础巩固与能力提升的有机统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约30题|正比例函数定义、反比例函数k的几何意义等|结合物理实验（电路电阻分析）、生活实际（购买跳绳费用）设计问题| |解答题|约15题|函数与几何综合、实际应用建模|设置跨学科情境（无人机航线与洋流交汇），注重分类讨论（如等腰三角形存在性问题）|

专题03 一次函数与反比例函数 9大考点概览 考点01正比例函数的定义、图像与性质 考点02一次函数的定义、图像与性质 考点03函数解析式、自变量与函数值 考点04反比例函数的定义、图像与性质 考点05反比例函数K的几何意义 考点06反比例函数与一次函数的综合 考点07一次函数与方程、不等式结合 考点08一次函数、反比例函数的实际应用 考点09一次函数、反比例函数与几何综合 正比例函数的定义、图像与性质 考点01 1．（2026·广西玉林·二模）若点，，在正比例函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽芜湖·二模）当自变量时，下列函数随的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西铜川·二模）一个正比例函数的图象经过点和点，若点与点关于原点对称，则过原点和点的直线所对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽宣城·二模）物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象，根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（2026·上海普陀·二模）已知正比例函数的图像经过第二、四象限，点、在该正比例函数的图像上，如果，那么________、（填“”、“”或“”） 6．（2026·山西阳泉·二模）在密闭实验装置内充一定质量的气体，在容积不变的情况下，该装置内部气体压强是气体热力学温度的正比例函数，其部分图象如图所示．已知热力学温度与摄氏温度之间的关系近似为，由此可估计该装置内的气体温度为时，该气体压强为_____． 7．（2026·河南周口·二模）若函数是正比例函数，则常数m的值为________． 8．（2026·四川广元·二模）某文具店举行抽奖活动，盒子中装有5支完全相同的中性笔，笔杆上分别刻有数字：．顾客随机抽取一支，记笔上的数字为a，求使得：以x为自变量的正比例函数经过第一、三象限，且关于x的一元二次方程有实数解的概率是_______． 一次函数的定义、图像与性质 考点02 1．（2026·甘肃白银·二模）一次函数（）的函数值y随x的增大而减小，当时，y的值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 2．（2026·陕西宝鸡·二模）在平面直角坐标系中，直线与直线（为常数）交于点，则的值为（     ） A． B．2 C． D．4 3．（2026·安徽池州·二模）已知两个非负实数a、b满足，则的最小值是（    ） A． B． C．0 D．1 4．（2026·湖南怀化·二模）关于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过第二、四象限 B．函数值y随自变量x的增大而减小 C．当时，函数值 D．图象与y轴交于点 5．（2026·陕西榆林·二模）已知点和点在一次函数（k为常数，且）的图象上，若，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2026·青海西宁·二模）一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．当时， D．不等式解集是 7．（2026·山东青岛·二模）如图，直线与轴、轴分别交于，两点，一动点从点出发，沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，…如此运动下去，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·陕西榆林·二模）将一次函数（k、b为常数，）的图象向下平移2个单位后，其图象经过点和点，且点A与点B关于原点对称，则k、b的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 9．（2026·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，直线（、为常数，且）与直线关于轴对称，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·江苏徐州·二模）已知一次函数，将其图像绕轴上的点旋转，所得的图像经过，则的值为__________． 函数解析式、自变量与函数值解 考点03 1．（2026·湖北武汉·二模）如图，在四边形中，，，，，点从点出发，沿匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的面积为，则关于的函数图象是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西汉中·二模）某蓄水池进水管的进水速度为，7h可将蓄水池灌满．设进水速度为Q（），进水时间为，则与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·云南昆明·二模）函数的自变量x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽阜阳·二模）在实数范围内，函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 5．（2026·云南普洱·二模）函数的自变量的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·云南大理·二模）函数中的自变量的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·安徽阜阳·二模）在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过点的是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·云南保山·二模）函数的自变量的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·上海静安·二模）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 10．（2026·云南昆明·二模）函数的自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D． 反比例函数的定义、图像与性质 考点04 1．（2026·广西柳州·二模）对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 2．（2026·重庆·二模）下列各点在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南长沙·二模）著名数学家华罗庚曾说过“数形结合百般好，隔离分家万事休”．小明同学判断方程实根的情况时，构造了一次函数和反比例函数，然后在同一平面直角坐标系中画出它们的图象，发现在第一象限和第三象限各有一个交点，从而确定方程有一个正实数根和一个负实数根．请用类似的方法判断方程实根的情况，你的结论是（    ） A．只有一个正实数根 B．有一个正实数根，两个负实数根 C．有两个正实数根，一个负实数根 D．有三个正实数根 4．（2026·云南昆明·二模）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·浙江温州·二模）已知反比例函数，下列选项正确的是（     ） A．点在函数图象上 B．若点在函数图象上，则点也在图象上 C．当时， D．y随x的增大而减小 6．（2026·云南曲靖·二模）反比例函数的图象位于（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 7．（2026·重庆武隆·二模）已知反比例函数，在每一象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．（2026·安徽合肥·二模）设函数，（），当时，函数的最大值是，函数的最小值是． (1)求和的值； (2)直线与函数，的图象交于两点，求的面积． 9．（2026·河南周口·二模）如图，矩形在平面直角坐标系中，点，，反比例函数图象对应的函数表达式为（），反比例函数图象对应的函数表达式为（，）．把矩形内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为优点． (1)若，则和之间（不含边界）有 个优点； (2)若和之间（不含边界）有个优点，求的取值范围． 10．（2026·江西九江·二模）如图，在平面直角坐标系中，的边经过原点，，平行于轴，反比例函数的图象经过点和点，且点在边上，已知点的坐标为，． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 反比例函数K的几何意义 考点05 1．（2026·广西梧州·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上，则k的值是（     ） A． B． C．2 D．4 2．（2026·湖南邵阳·二模）如图，已知第一象限内的点在反比例函数的图象上，第二象限内的点在反比例函数的图象上，且，，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·广东中山·二模）如图，轴，为垂足，双曲线与的两条边，分别相交于、两点，，的面积为9，则等于（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 4．（2026·安徽亳州·二模）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 5．（2026·安徽滁州·二模）如图，，是双曲线上的两点，过点作轴于点，交于点，若的面积为，，则的值为（     ） A． B．4 C． D．6 6．（2026·广西南宁·二模）反比例函数的图象如图所示，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，连接，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．5 D．6 7．（2026·山西阳泉·二模）如图，已知反比例函数的图象经过点A，连接．将线段绕点A逆时针旋转，当点O的对应点落在x轴上时，的面积是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 8．（2026·吉林长春·二模）如图，在中，轴，点B，D在反比例函数的图象上，若的面积是16，则k的值是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 9．（2026·福建莆田·二模）如图，点A在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，平行x轴，连接，若，则的面积可以是（   ） A．1 B． C． D． 10．（2026·江苏无锡·二模）如图，点B、点C在反比例函数的图象上，点A在x轴上，连结交y轴于点E，延长交x轴于点D．已知点，，．若的面积为10，则k的值为（    ） A． B． C． D． 反比例函数与一次函数的综合 考点06 1．（2026·河北保定·二模）已知点和在反比例函数（）的图象上，直线（）与该反比例函数的图象交于A，C两点，则下列结论正确的是（    ） A．点A在点B的下方 B．点C在点A的上方 C．点B在点C的上方 D．点A，B均在x轴的下方 2．（2026·河北邯郸·二模）如图，已知反比例函数：，与关于直线对称，直线与交于A，B两点（点A，B在直线两侧），当A为中点时，的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽马鞍山·二模）已知函数的图象与直线相交于点，，其中．若点也在函数的图象上，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·广西南宁·二模）如图，O是坐标原点，反比例函数（）与直线交于点A，点B在（）的图象上，直线与y轴交于点C，连接，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·安徽阜阳·二模）直线与双曲线交于两点，则的值为（   ） A． B． C．4 D．8 6．（2026·新疆喀什·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，与x轴交于点C，连接，则的面积为________． 7．（2026·青海西宁·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，点在坐标轴上，且是以为底的等腰三角形，则点的坐标是________． 8．（2026·辽宁大连·二模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象分别相交于点和点，将点B向右平移4个单位长度后得到点C，线段与y轴相交于点D，连接，． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)请直接写出不等式的解集； (3)求证：． 9．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的表达式． (2)如图1，将直线向上平移个单位，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接，，如果的面积为，求的值． (3)在（2）的条件下，过点作的平分线的垂线，垂足为，求点的坐标． 10．（2026·江苏苏州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数图象于点N，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积． 一次函数与方程、不等式结合 考点07 1．（2026·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于函数的值，直接写出的取值范围． 2．（2026·河北邯郸·二模）如图，直线过点，，直线与x轴交于点C，两直线交于点B． (1)求直线的解析式，并直接写出点B的坐标； (2)求的面积； (3)若当时，直线始终在直线的上方，直接写出m的取值范围． 3．（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）甲、乙两名快递员分别从同一个配送站出发，向不同的小区配送包裹．他们各自配送的包裹总数量（单位：件）与工作时间（单位：）之间的关系如图所示，已知甲快递员在时段内配送包裹总数量与工作时间之间的关系式为． (1)求出乙快递员在时段内，关于的函数解析式； (2)当乙快递员所配送的包裹总数量不超过甲快递员所配送的包裹总数量时，求的取值范围？ 4．（2026·河南开封·二模）如图，函数和的图象相交于A，B两点． (1)点的坐标为________，点的坐标为________； (2)观察图象，不等式的解集为_______； (3)连接，，求的面积． 5．（2026·河北邢台·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，直线与直线交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点是直线上一点，若，求点坐标． 6．（2026·辽宁锦州·二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象过点，与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求k的值； (2)若直线与直线的交点在x轴的上方，求t的取值范围． 7．（2026·江苏扬州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．与y轴交于点，的面积为6． (1)求反比例函数、一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出当不等式成立时，的取值范围． 8．（2026·山东济南·二模）一次函数的图象与反比例函数的图象交于、与轴交于点，与轴交于点． (1)求，的值及点坐标； (2)点在轴上且在点左侧，若是以为底边的等腰三角形，求点坐标； (3)点在轴上，当以点、、、为顶点的四边形面积为5时，求点的坐标． 一次函数、反比例函数的实际应用 考点08 1．（2026·山东济宁·二模）在测浮力的实验中，将一长方体物体由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数与物体下降的高度之间的关系如图所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)当物体下降的高度为时，求此刻该物体所受浮力的大小． 2．（2026·贵州六盘水·二模）为落实中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求，某校九年级（1）班计划开展花样跳绳活动，需购买A，B两种跳绳．已知购买A，B两种跳绳的数量与总费用信息如下表： A种跳绳（根） B种跳绳（根） 总费用（元） 2 1 18 3 2 31 (1)求A，B两种跳绳的单价； (2)若九年级（1）班计划购买A，B两种跳绳共40根，且A种跳绳的数量不超过B种跳绳数量的7倍，不少于B种跳绳数量的4倍，应如何购买才能使总费用最低，最低费用是多少？ 3．（2026·天津·二模）已知学生宿舍、书店、体育场依次在同一条直线上，书店离宿舍，体育场离宿舍，李明从宿舍出发，匀速骑行到书店买书，在书店停留了后，又匀速步行到体育场，在体育场锻炼了后，用了匀速步行返回宿舍．下图中表示时间，表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中李明离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 离开宿舍的时间 2 10 16 35 离宿舍的距离 1.2 ②填空：李明从体育场返回宿舍的速度为________； ③当时，请直接写出李明离宿舍的距离y关于x的函数解析式． (2)同宿舍的张华与李明同时从宿舍出发，张华以的速度步行直接到体育场，在从宿舍到体育场的过程中，对于同一个x的值，李明离宿舍的距离为，张华离宿舍的距离为，当时，求x的取值范围(直接写出结果即可)． 4．（2026·天津滨海新区·二模）已知刘伟家、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离刘伟家，体育场离刘伟家，刘伟从家匀速跑步到体育场，在体育场锻炼了，之后又匀速步行到文具店，在文具店停留了后，再用匀速散步返回家．下图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中刘伟离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 刘伟离开家的时间 3 15 30 50 刘伟离开家的距离 2.5 ②填空：刘伟从文具店匀速散步回家的速度为________； ③当时，请直接写出刘伟离家的距离y关于时间x的函数解析式． (2)刘伟离开家30分钟时，刘伟的哥哥也从体育场出发，以速度匀速步行直接回家，在从体育场到家的过程中，对于同一个x的值，刘伟离家的距离为，刘伟的哥哥离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 5．（2026·吉林长春·二模）清明假期期间，小刚从家出发，自驾匀速前往某景区游玩，途中经过服务区休息一段时间后，继续以另一速度匀速行驶前往目的地，小刚离家的距离（千米）与离开家的时间（小时）之间的函数关系如图所示． (1)小刚在服务区休息了_____小时； (2)求所在直线对应的函数表达式； (3)当小刚离家的距离恰好为200千米时，小刚离开家_____小时． 6．（2026·广东广州·二模）某海洋保护区使用监测无人机巡查生态环境，以海岸线为x轴，垂直海岸线方向为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，无人机主巡航航线是直线，需与一条洋流边界线交汇以采集水样．无人机与洋流边界在交汇点相遇． (1)求无人机航线参数b和洋流边界参数k； (2)一架无人机在A处采集水样后，转向沿西北方向航行，到达洋流边界上的点P投放浮标，求点P的坐标． 7．（2026·贵州遵义·二模）研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系．验光师测得几组关于近视眼镜的度数与镜片焦距的对应数据如下表： 镜片焦距x（米） 近视眼镜的度数（度） (1)根据表格数据，求与的函数关系式； (2)小红原来佩戴度的近视眼镜，经过视力矫正和健康用眼，视力改善后，镜片焦距变为米，求小红的近视眼镜度数降低了多少度？ 8．（2026·上海金山·二模）如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图．其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接，滑杆可以绕固定轴转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数．因此电流表上一定的示数对应着油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流（单位：A）与总电阻（单位：Ω）成反比例，其中，已知．可变电阻（单位：）与油量体积（单位：）之间的关系如图2所示，．当油箱内油量体积为时，电流表显示为． (1)当油箱内油量体积为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数解析式： (3)当油箱中油量体积满足时，求电流表显示电流的取值范围． 一次函数、反比例函数与几何综合 考点09 1．（2026·广东深圳·二模）定义：若一个函数图象存在横坐标与纵坐标互为相反数的点，则称该点为函数图象的“反点”．例如，求函数图象的“反点”．可以看成是函数图象与函数图像的交点坐标，联立方程组即可求解． (1)若一次函数的图像上“反点”坐标为，则b的值为______． (2)设反比例函数的图象上的“反点”分别为A，B，线段的长度，求k的值． (3)若二次函数的图象上有且只有一个“反点”． ①求c的值． ②若，是二次函数的图象上的两点，求的最小值． 2．（2026·贵州六盘水·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点在反比例函数的图象上，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长． 3．（2026·湖北恩施·二模）如图，点A在反比例函数 图象上，过点A作垂直于x轴于点B．已知，． (1)求k的值． (2)点C是反比例函数 的图象上一点，点 D，E在x 轴上，，．若，求点C的坐标． 4．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线分别交反比例函数和反比例函数的图象于，两点，轴于，已知的面积． (1)求的值； (2)以为一条边作，其中顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的正半轴上，求的面积． 5．（2026·山东济南·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数y的图象的一个交点为，与x轴的交点为． (1)求反比例函数表达式； (2)直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若，求直线的函数表达式； (3)P为x轴上一点，直线交反比例函数的图象于点E（异于A），连接，若的面积为2，请直接写出点E的坐标． 6．（2026·河北保定·二模）如图，直线：交x轴于点A，交y轴于点B，已知点． (1)如图，过点C作直线：． ①用含k的代数式表示b； ②若直线与线段有交点（不包含A，B两点），求k的取值范围； (2)平行于x轴的直线分别交，于D，E两点，点E在点D的右侧，点E的横坐标为m，若，且k，m均为整数，求m的值． 7．（2026·重庆武隆·二模）如图，在中，于点．为边上一点，为射线上的点，且满足，连接．用表示线段的长度，的面积为的面积与的面积之比为． (1)请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图像，并分别写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的值(近似值保留小数点后一位，误差不超过)． 8．（2026·山东济南·二模）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，一次函数的图象经过点，交轴于点，交轴于点．为反比例函数图象上点右侧一动点，连接，将沿着的方向平移，的对应点为，的对应点为，连接． (1)求，的值； (2)如图1，若四边形的面积为6，求坐标； (3)如图2，连接，若，求的坐标． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一次函数与反比例函数 9大考点概览 考点01正比例函数的定义、图像与性质 考点02一次函数的定义、图像与性质 考点03函数解析式、自变量与函数值 考点04反比例函数的定义、图像与性质 考点05反比例函数K的几何意义 考点06反比例函数与一次函数的综合 考点07一次函数与方程、不等式结合 考点08一次函数、反比例函数的实际应用 考点09一次函数、反比例函数与几何综合 正比例函数的定义、图像与性质 考点01 1．（2026·广西玉林·二模）若点，，在正比例函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴随着的增大而增大， ∵， ∴ 2．（2026·安徽芜湖·二模）当自变量时，下列函数随的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数性质、反比例函数性质、正比例函数性质、二次函数性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，，当时，函数随的增大而增大； B、，，当时，函数随的增大而减小； C、，，当时，函数随的增大而减小； D、，，对称轴为直线，当时，函数随的增大而减小． 3．（2026·陕西铜川·二模）一个正比例函数的图象经过点和点，若点与点关于原点对称，则过原点和点的直线所对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，求出a、b的值，进而利用待定系数法求出函数表达式即可． 【详解】解： ∵和关于原点对称， ∴ ，， 即点为． 设过原点的直线的表达式为， 将代入，得 ， 解得． ∴所求直线的函数表达式为． 4．（2026·安徽宣城·二模）物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象，根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】根据得，结合图象解答即可． 【详解】解：根据图象得，，， 又， 故． 5．（2026·上海普陀·二模）已知正比例函数的图像经过第二、四象限，点、在该正比例函数的图像上，如果，那么________、（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】先根据正比例函数图象经过的象限判断比例系数的符号，再结合正比例函数的增减性，比较与的大小． 【详解】解：设该正比例函数的解析式为， 因为正比例函数的图像经过第二、四象限， 所以可得， 根据正比例函数的性质，当时，随的增大而减小. 又因为， 所以． 6．（2026·山西阳泉·二模）在密闭实验装置内充一定质量的气体，在容积不变的情况下，该装置内部气体压强是气体热力学温度的正比例函数，其部分图象如图所示．已知热力学温度与摄氏温度之间的关系近似为，由此可估计该装置内的气体温度为时，该气体压强为_____． 【答案】2 【分析】先求出该装置内部气体压强是气体热力学温度的函数关系式为，再求出该装置内的气体温度为时，，即可得出结果． 【详解】解：设该装置内部气体压强是气体热力学温度的函数关系式为， 将代入可得， 解得：， ∴该装置内部气体压强是气体热力学温度的函数关系式为， ∵热力学温度与摄氏温度之间的关系近似为， ∴该装置内的气体温度为时，， ∴此时该气体压强为． 7．（2026·河南周口·二模）若函数是正比例函数，则常数m的值为________． 【答案】0 【分析】根据正比例函数的定义可得常数项为0，一次项系数不为0，即可求解； 【详解】解：函数是正比例函数， 常数项，且一次项系数， ． 8．（2026·四川广元·二模）某文具店举行抽奖活动，盒子中装有5支完全相同的中性笔，笔杆上分别刻有数字：．顾客随机抽取一支，记笔上的数字为a，求使得：以x为自变量的正比例函数经过第一、三象限，且关于x的一元二次方程有实数解的概率是_______． 【答案】 【分析】先根据正比例函数经过第一、三象限求出a的取值范围，再根据一元二次方程有实数解求出a的取值范围，找出同时满足两个条件的a值，最后利用概率公式求解． 【详解】解： 正比例函数经过第一、三象限， ， ， 一元二次方程有实数解， 且， ， ， 且， 笔上的数字为， 符合条件的a值只有， 所求概率为． 一次函数的定义、图像与性质 考点02 1．（2026·甘肃白银·二模）一次函数（）的函数值y随x的增大而减小，当时，y的值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】先根据一次函数增减性得到的取值范围，再代入得到的取值范围，即可选出符合的选项． 【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴， 当时，， ∵， ∴， 即， 选项中只有，符合要求． 2．（2026·陕西宝鸡·二模）在平面直角坐标系中，直线与直线（为常数）交于点，则的值为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据两直线交点坐标同时满足两个直线的解析式，先将交点横坐标代入已知解析式求出m，再代入第二条直线解析式即可求出a的值． 【详解】解：∵点是直线与直线的交点， ∴点在直线上， 将代入，得， ∴交点坐标为， 又∵点在直线上， 将代入，得， 解得． 3．（2026·安徽池州·二模）已知两个非负实数a、b满足，则的最小值是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据已知条件用表示，结合非负的条件得到的取值范围，再利用一次函数的性质求解最小值． 【详解】解：∵ 是非负实数，且， ∴， 又， ∴， 将代入得：， ∵， ∴的值随的减小而减小， ∴当取最小值时，取得最小值， 把代入得，最小值为． 4．（2026·湖南怀化·二模）关于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过第二、四象限 B．函数值y随自变量x的增大而减小 C．当时，函数值 D．图象与y轴交于点 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数，时，经过一三象限，时，经过二四象限；时，交y轴与正半轴，时，交y轴于负半轴，逐个判断即可． 【详解】解：根据题意，得，， ∴图象经过第一、三、四象限，函数值y随自变量x的增大而增大， ∴A，B选项错误，不符合题意； 当时，， ∴C选项正确，符合题意； 当时，，∴图象与y轴交于点， ∴D选项错误，不符合题意． 5．（2026·陕西榆林·二模）已知点和点在一次函数（k为常数，且）的图象上，若，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先根据一次函数的增减性判断的符号，再结合一次函数与轴的交点位置，判断函数图象经过的象限，从而得到答案． 【详解】解：∵点，在一次函数的图象上，且时，，即随的增大而增大， ∴， 又∵一次函数中，常数项，说明函数图象与轴交于负半轴， ∴该一次函数的图象经过第一，三，四象限，不经过第二象限． 6．（2026·青海西宁·二模）一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．当时， D．不等式解集是 【答案】D 【分析】直接根据图象，逐一进行判断即可. 【详解】解：由图象可知，，故选项A，B错误； 当时，，故选项C错误； 不等式解集是，故选项D正确. 7．（2026·山东青岛·二模）如图，直线与轴、轴分别交于，两点，一动点从点出发，沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，…如此运动下去，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意依次求出点的坐标，发现点与点重合，从而得出动点运动的循环周期为，再根据的余数确定点的位置即可求解. 【详解】解：对于直线， ∵当时，， ∴， 当时，， 解得，则， ∵点，且， ∴点的纵坐标为， 把代入得， 解得， ， ， ∴， ， ∴设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 令，得， ∴， 同理可得，， 设直线的解析式为， 将代入得，解得， ∴直线的解析式为， 令，得， ，此时点与点重合， ∴动点的运动每次为一个循环， ， ∴点与点重合， ∴点的坐标为 8．（2026·陕西榆林·二模）将一次函数（k、b为常数，）的图象向下平移2个单位后，其图象经过点和点，且点A与点B关于原点对称，则k、b的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先根据关于原点对称的点的坐标特征求出点、点的坐标，再根据一次函数平移规律得到平移后的函数解析式，最后代入坐标解方程组即可得到和的值． 【详解】解：∵ 点与点关于原点对称，关于原点对称的点横纵坐标互为相反数， ∴，即 ， 一次函数向下平移个单位，根据平移规律“上加下减”，得平移后解析式为， ∵平移后图象过、两点，将两点坐标代入得 ， 解得：， 将代入，得， 解得， ∴ ． 9．（2026·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，直线（、为常数，且）与直线关于轴对称，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用关于轴对称的点的坐标特征，先求出已知直线与坐标轴的交点，再得到对应对称点坐标，代入求出的值，即可计算出的结果. 【详解】解： 对于直线， 令得，得交点； 令得，得交点， ，关于轴对称的点分别为，， 直线经过上述两个对称点， ∴将代入得， 将和代入得： ，解得， . 10．（2026·江苏徐州·二模）已知一次函数，将其图像绕轴上的点旋转，所得的图像经过，则的值为__________． 【答案】1 【分析】根据题意先求出原一次函数与轴的交点坐标，再结合旋转的性质，得到两个交点关于旋转中心对称，利用对称性质计算的值即可． 【详解】解：在一次函数中， 令，则， 即一次函数与轴交点为， ∵旋转后所得的图像经过点 ， ∴旋转后的函数与轴交点为， ∵一次函数的图像绕轴上一点旋转， ∴和关于点对称， ∴． 函数解析式、自变量与函数值解 考点03 1．（2026·湖北武汉·二模）如图，在四边形中，，，，，点从点出发，沿匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的面积为，则关于的函数图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，再分情况讨论：当点在边上运动时和当点在边上运动时，求出函数解析式，结合排除法求解即可； 【详解】， ， ，， ， 分情况讨论： 当点在边上运动时，，则，排除B，D； 当点在边上运动时，，排除A， ∴只有C选项符合题意． 2．（2026·陕西汉中·二模）某蓄水池进水管的进水速度为，7h可将蓄水池灌满．设进水速度为Q（），进水时间为，则与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，灵活运用“工作总量工作效率工作时间”是解题的关键。根据已知条件先求出蓄水池的固定容积（工作总量），再结合“进水速度容积进水时间”，进而得出与之间的函数关系式． 【详解】解：蓄水池的体积， ， 故答案为：． 3．（2026·云南昆明·二模）函数的自变量x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是分式，分式有意义的条件是分母不为0， ∴， 解得． 4．（2026·安徽阜阳·二模）在实数范围内，函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】A 【详解】解：要使函数有意义，需满足两个条件：二次根式的被开方数为非负数，分式分母不为零． ，解得． 5．（2026·云南普洱·二模）函数的自变量的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，灵活运用被开方数的非负性是解题的关键．根据二次根式的性质，被开方数必须是非负数，得到，进而求出函数自变量的取值范围． 【详解】解：要使函数有意义， 二次根式有意义的条件是被开方数是非负数， ， 解不等式得， 故选：． 6．（2026·云南大理·二模）函数中的自变量的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式中被开方数必须是非负数，函数才有意义， ∴， 解得． 7．（2026·安徽阜阳·二模）在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将点的横坐标代入各选项的函数解析式，计算得到的值若等于，则该函数图象经过该点，据此判断即可． 【详解】解：把分别代入各选项计算： A. 不符合题意； B. 不符合题意； C. 不符合题意； D. 符合题意； 故选：D． 8．（2026·云南保山·二模）函数的自变量的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数非负，列出不等式求解自变量的取值范围． 【详解】解：若有意义，则，即． 9．（2026·上海静安·二模）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的性质，分母不能为0，据此计算得到的取值范围即可选出正确答案． 【详解】解：∵函数 中是分式，分式的分母不能为0， ∴ ， 解得 ， 因此函数的定义域为 ． 10．（2026·云南昆明·二模）函数的自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：该函数的分母为， 解得． 反比例函数的定义、图像与性质 考点04 1．（2026·广西柳州·二模）对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，结合点的坐标验证、图象象限分布、函数增减性逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 当时，， ∴A错误； ∵ ， ∴ 反比例函数图象位于第一、三象限， ∴B错误； ∵ ，当 时，函数图象在第三象限， ∴ 随的增大而减小， ∴正确； ∵ ，当时，函数图象在第一象限， ∴ 随的增大而减小，不是增大， ∴错误． 2．（2026·重庆·二模）下列各点在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查判断点是否在反比例函数图象上，能够正确计算是解题的关键． 反比例函数图象上的点满足，只需计算各选项点横纵坐标的乘积，判断是否等于即可求解． 【详解】解：由得， A.，故不符合题意； B.，故不符合题意； C.，故符合题意； D.，故不符合题意． 3．（2026·湖南长沙·二模）著名数学家华罗庚曾说过“数形结合百般好，隔离分家万事休”．小明同学判断方程实根的情况时，构造了一次函数和反比例函数，然后在同一平面直角坐标系中画出它们的图象，发现在第一象限和第三象限各有一个交点，从而确定方程有一个正实数根和一个负实数根．请用类似的方法判断方程实根的情况，你的结论是（    ） A．只有一个正实数根 B．有一个正实数根，两个负实数根 C．有两个正实数根，一个负实数根 D．有三个正实数根 【答案】B 【分析】先推导出，再化简方程，得到，在同一平面直角坐标系中画出与的大致图象，由两函数图象在第一象限有一个交点，在第三象限有两个交点，得到方程有一个正实数根，两个负实数根，即可解答． 【详解】解：当时，原方程不成立， ∴， 将方程的常数项移到等式右边，得 ， 变形整理得， 在同一平面直角坐标系中画出与的大致图象如解图， ∵两函数图象在第一象限有一个交点，在第三象限有两个交点， ∴方程有一个正实数根，两个负实数根． 4．（2026·云南昆明·二模）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反比例函数中，当系数时，图象分布在第二、四象限，据此列不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∴， 解得． 5．（2026·浙江温州·二模）已知反比例函数，下列选项正确的是（     ） A．点在函数图象上 B．若点在函数图象上，则点也在图象上 C．当时， D．y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】根据反比例函数点的坐标特征和性质，逐一判断各选项即可． 【详解】解：已知反比例函数，可得，比例系数： 对于选项A：将点代入验证，得， ∴点不在函数图象上， ∴A错误，该选项不符合题意； 对于选项B：∵点在函数图象上， ∴， 对于点，，满足函数关系式， ∴点也在函数图象上， ∴B正确，该选项符合题意； 对于选项C：当时，， ∴C错误，该选项不符合题意； 对于选项D：∵， ∴反比例函数图象在第二、四象限，只有在每个象限内随的增大而增大，并非对所有，随增大而减小， ∴D错误，该选项不符合题意． 6．（2026·云南曲靖·二模）反比例函数的图象位于（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】B 【详解】图像位于第二、四象限． 7．（2026·重庆武隆·二模）已知反比例函数，在每一象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质可得，解一元一次不等式即可得． 【详解】解：∵反比例函数，在每一象限内，随的增大而减小， ∴， 解得． 8．（2026·安徽合肥·二模）设函数，（），当时，函数的最大值是，函数的最小值是． (1)求和的值； (2)直线与函数，的图象交于两点，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）利用反比例函数的性质解答即可求解； （）求出点的坐标，即得到线段的长，再根据三角形的面积公式计算即可求解； 本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的几何应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴在每个象限内，随着的增大而减小，随着的增大而增大， ∵当时，函数的最大值是，函数的最小值是， ∴，， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：如图， 由（）可得，，， 当时， ，， ∴，， ∴， ∴． 9．（2026·河南周口·二模）如图，矩形在平面直角坐标系中，点，，反比例函数图象对应的函数表达式为（），反比例函数图象对应的函数表达式为（，）．把矩形内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为优点． (1)若，则和之间（不含边界）有 个优点； (2)若和之间（不含边界）有个优点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）当时，先画出的图象，通过对比与的位置，数出两图象之间的优点个数． （2）先列出矩形内部（不含边界）的所有整数点，根据个优点的条件，分情况讨论这些点在两函数之间的位置，结合反比例函数的性质，列出不等式求解的取值范围． 【详解】（1）解：当时，经过点，，， 如图，画出的图象， 由图可知：和之间（不含边界）有4个优点． （2）解：矩形内部（不含边界）的整数点为： ， ， ， ． ， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 情况一：当优点为时， 此时需满足： 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， ∴． 情况二：当优点为时， 此时需满足： 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， ∴． 综上，的取值范围为或． 10．（2026·江西九江·二模）如图，在平面直角坐标系中，的边经过原点，，平行于轴，反比例函数的图象经过点和点，且点在边上，已知点的坐标为，． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2)16 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质． （1）根据，可得，则根据点的坐标可以得出点的坐标，问题随之得解； （2）根据反比例函数的图象关于原点对称，即可由点的坐标推出点的坐标，结合点的坐标，进而可得、长度，问题得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 把代入，得， ∴反比例函数的表达式为． （2）∵反比例函数的图象关于原点对称， ∴点的坐标为， ∵，平行于轴，点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴，， ∴的面积为． 反比例函数K的几何意义 考点05 1．（2026·广西梧州·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上，则k的值是（     ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义，解答即可． 【详解】解：矩形的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上， ∴， ∵反比例函数的图象位于第二象限， ∴， ∴． 2．（2026·湖南邵阳·二模）如图，已知第一象限内的点在反比例函数的图象上，第二象限内的点在反比例函数的图象上，且，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作轴，作轴，先证明，利用相似比得到，继而求出值即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为，作轴，垂足为， ， ， 又， ， ， ， ， ∵反比例函数图象在第二象限， ． 3．（2026·广东中山·二模）如图，轴，为垂足，双曲线与的两条边，分别相交于、两点，，的面积为9，则等于（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】连接，根据等底同高三角形面积相等得出，从而求出，设点坐标，利用中点性质及反比例函数性质表示出和的面积，建立方程求解. 【详解】解：连接， ， ， ， 设点坐标为，则， 为中点， 点坐标为， 轴， 点坐标为，点横坐标为， 在双曲线上， 点纵坐标为， ， ， ， ， ， . 4．（2026·安徽亳州·二模）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】延长交y轴于D，则四边形为矩形．根据反比例函数系数k的几何意义，得出，，则四边形的面积． 【详解】解：如图，延长交y轴于D，则四边形为矩形． ∵点在双曲线上，点在双曲线上， ∴，， ∴四边形的面积． 5．（2026·安徽滁州·二模）如图，，是双曲线上的两点，过点作轴于点，交于点，若的面积为，，则的值为（     ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】根据反比例函数系数的几何意义及相似三角形的性质得，进而得出，求出的面积，再根据反比例函数系数的几何意义求出答案． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵，是双曲线上的两点，轴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，的面积为2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（2026·广西南宁·二模）反比例函数的图象如图所示，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，连接，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．5 D．6 【答案】B 【分析】直接根据值的几何意义，即可得出结果. 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点，轴于点， ∴的面积是. 7．（2026·山西阳泉·二模）如图，已知反比例函数的图象经过点A，连接．将线段绕点A逆时针旋转，当点O的对应点落在x轴上时，的面积是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】由旋转的性质可得，作轴于点，则，由反比例函数的几何意义得出，由此即可得出结果． 【详解】解：由旋转的性质可得， 如图：作轴于点， 则， ∵反比例函数的图象经过点A， ∴， ∴． 8．（2026·吉林长春·二模）如图，在中，轴，点B，D在反比例函数的图象上，若的面积是16，则k的值是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例的性质，平行四边形的判定与性质，反比例函数的几何意义，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 设，分别交轴于两点，根据题意可得，分别为，的中点，且四边形为平行四边形，面积为的一半，根据的几何意义即可求解． 【详解】解：设，分别交轴于两点，连接，过作轴，如图， 由题意可得，四边形为矩形， 由对称性可得，过原点，则为线段和的中点， 根据题意可得，，， ∴，，即分别为，的中点， ∴四边形为平行四边形，且， ∴矩形的面积， 由反比例函数的几何意义可得， 由图象可得，图象过一、三象限，， ∴， D选项符合题意． 9．（2026·福建莆田·二模）如图，点A在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，平行x轴，连接，若，则的面积可以是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】，，将 的面积表示出来，建立面积与的函数关系，结合的取值范围即可求解． 【详解】∵ 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ∴设， ∵平行 轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ，只有符合题意． 10．（2026·江苏无锡·二模）如图，点B、点C在反比例函数的图象上，点A在x轴上，连结交y轴于点E，延长交x轴于点D．已知点，，．若的面积为10，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了运用面积关系求反比例函数的k值，以及平行线分线段成比例定理．过点B作轴，过点C作轴．先证，得到，从而求得点B的横坐标为2，设，同理由，求得点C坐标，最后运用，建立关于k的方程，解方程即可． 【详解】解：过点B作轴，过点C作轴． ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴点B的横坐标为2， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴点B的纵坐标为， 即． ∵轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ ∵， ∴，即， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， 即， ∴， ∴ ∴． 反比例函数与一次函数的综合 考点06 1．（2026·河北保定·二模）已知点和在反比例函数（）的图象上，直线（）与该反比例函数的图象交于A，C两点，则下列结论正确的是（    ） A．点A在点B的下方 B．点C在点A的上方 C．点B在点C的上方 D．点A，B均在x轴的下方 【答案】C 【分析】正比例函数的图象与反比例函数的图象的交点关于原点中心对称，根据题意画出对应图象，结合图象判断选项即可． 【详解】解：根据题意，画出大致图象如图，由图可得C选项正确． 2．（2026·河北邯郸·二模）如图，已知反比例函数：，与关于直线对称，直线与交于A，B两点（点A，B在直线两侧），当A为中点时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则，根据对称性得出，，代入反比例函数解析式即可解答． 【详解】解：设， ∵A为中点， ∴， ∴A，B关于直线的对称点，在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴． 3．（2026·安徽马鞍山·二模）已知函数的图象与直线相交于点，，其中．若点也在函数的图象上，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据反比例函数与直线的交点位置判断反比例函数图象所在象限，再利用反比例函数的增减性比较与的大小． 【详解】解：∵函数与交于两点，，且， ∵直线经过第二，四象限 ∴函数在第二，四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大 ∴点在第二象限 ∵点也在函数的图象上， ∴点也在第二象限，且 ∴． 4．（2026·广西南宁·二模）如图，O是坐标原点，反比例函数（）与直线交于点A，点B在（）的图象上，直线与y轴交于点C，连接，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出A点坐标，根据可以求出，再根据，，可求出与的关系，进而可求出B点坐标，问题得解． 【详解】解：联立：，且， 解得：，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·安徽阜阳·二模）直线与双曲线交于两点，则的值为（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】利用反比例函数和正比例函数的中心对称性，得到交点关于原点对称，再结合反比例函数上点的横纵坐标乘积为定值，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵反比例函数和正比例函数都关于原点中心对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∴， ∵点在双曲线上， ∴， ∴． 6．（2026·新疆喀什·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，与x轴交于点C，连接，则的面积为________． 【答案】 【分析】先求出反比例函数解析式为，与一次函数解析式联立，求出，然后根据求解即可． 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴，则， ∵直线与双曲线交于A，B两点， ∴， 解得，， 当时，， ∴． ∵点C为直线与x轴的交点， ∴当时，， ∴， ∴， ∴． 7．（2026·青海西宁·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，点在坐标轴上，且是以为底的等腰三角形，则点的坐标是________． 【答案】或 【分析】求出点坐标，进而求出直线的解析式，求出点坐标，再分2种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， 把，，代入，得 ，解得， ∴， ∴当时，， ∴， 当是以为底的等腰三角形时，则， 当点在轴上时，设， ∴， ∴，解得； ∴； 当点在轴上时，设， ∴， ∴，解得； ∴； 综上：或. 8．（2026·辽宁大连·二模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象分别相交于点和点，将点B向右平移4个单位长度后得到点C，线段与y轴相交于点D，连接，． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)请直接写出不等式的解集； (3)求证：． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）将点代入，得，故反比例函数为；再代入得，即．将、代入一次函数，列方程组解得，，得表达式； （2）不等式的解集，对应反比例函数图象在一次函数上方的范围．结合交点、，得解集为或； （3）点右移4个单位得，由轴得，再求出和即可． 【详解】（1）解：将点代入中，得， 解得， ∴反比例函数的表达式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴点的坐标为， 将点和点代入中， 得， 解得， ∴一次函数的表达式为， ∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）解：由图象可知，当或时，反比例函数的图象在一次函数图象上方， ∴不等式的解集为或； （3）解：∵将点向右平移个单位长度后得到点，且点， ∴点的坐标为，即， ∵线段与轴相交于点，且点，点， ∴平行于轴， ∴点的纵坐标与、的纵坐标相同，为，横坐标为，即， ∴；， ∴． 9．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的表达式． (2)如图1，将直线向上平移个单位，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接，，如果的面积为，求的值． (3)在（2）的条件下，过点作的平分线的垂线，垂足为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先把点代入直线方程，求出得到点的坐标，再将点代入反比例函数，求出系数，得到表达式； （2）先联立直线与反比例函数，求出点的坐标，再利用“平行线间的三角形面积相等”，将的面积转化为的面积，拆分为两个三角形面积之和列方程，解出； （3）先通过“角平分线+垂线”构造全等三角形，证明是的中点，再联立平移后的直线与反比例函数，求出点，进而得到直线的解析式，然后利用求出点的坐标，最后用中点坐标公式，算出的坐标． 【详解】（1）解：根据题意可知，点位于上， 将代入可得， 解得， 则点的坐标为， 将代入， 解得， 故反比例函数的表达式为． （2）解：如图，直线向上平移个单位后与轴交于点， 直线向上平移个单位后的直线解析式为， 令可得， 点的坐标为， ， 将与联立， 可得， 解得或，则或， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 解得． （3）解：如图，过点作的平分线的垂线并延长交的延长线于点， 在和中， ， ， ，， 根据（2）可知直线向上平移单位后的直线解析式为， 将与联立， 可得， 解得或， 点在第一象限， ，则， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入， 可得， 解得， 直线的解析式为， 设点的坐标为， ， ， ， 解得或（不合题意，舍去）， 点的坐标为， 点为的中点， 点的坐标为，即． 10．（2026·江苏苏州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数图象于点N，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）先求出一次函数的解析式，然后可得点B坐标，进而问题可求解； （2）设点M坐标为，则点N坐标为，过点B作于点H，然后可得，进而问题可求解； 【详解】（1）解：将代入，得， 把点代入一次函数得：， ， ； （2）解：设点M坐标为，则点N坐标为， 过点B作于点H， ， ， 由（1）可知， ， 解得：，（舍）， ∴点、， . 一次函数与方程、不等式结合 考点07 1．（2026·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)且 【分析】（1）根据平移的性质可知，把点的坐标代入，即可求出； （2）由（1）可知函数的解析式为，由当时，可得：；当时，可得：，所以的取值范围为. 【详解】（1）解：函数的图象是由函数的图象平移得到， ， 一次函数的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：； （2）解：由（1）可知函数的解析式为， ， ， 当时，， 可得：， 时，函数的值小于函数的值恒成立， 当时，函数的关系式为， 当时，恒成立， 当时，， 可得：， 不成立， 函数的值小于函数时，； 当时， 整理可得：， 当，即时， 可得：， ， ， 解得：， 当，即时， 可得：， 时，成立， 当时， 可得：， 不成立； 综上所述，且． 2．（2026·河北邯郸·二模）如图，直线过点，，直线与x轴交于点C，两直线交于点B． (1)求直线的解析式，并直接写出点B的坐标； (2)求的面积； (3)若当时，直线始终在直线的上方，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2)10 (3) 【分析】（1）设出直线的解析式，再利用待定系数法可求出直线的解析式；再联立两直线解析式求出点的坐标即可； （2）先求出点坐标，进而得到的长，再根据列式求解即可； （3）根据题意得当时，关于的不等式恒成立，分若，，两种情况分别求解，即可得到答案． 【详解】（1）解；设直线的解析式为， ∵直线过点、点， ， ， ∴直线的解析式为； 联立，解得， ． （2）解：在中，当时，， ， ， ． （3）解：∵当时，直线始终在直线的上方， ∴当时，关于的不等式恒成立， 解得， 若，即，不等式不可能对所有恒成立； 若，即，不等式变形为，要对所有恒成立，需满足， 解得，满足； 因此的取值范围是． 3．（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）甲、乙两名快递员分别从同一个配送站出发，向不同的小区配送包裹．他们各自配送的包裹总数量（单位：件）与工作时间（单位：）之间的关系如图所示，已知甲快递员在时段内配送包裹总数量与工作时间之间的关系式为． (1)求出乙快递员在时段内，关于的函数解析式； (2)当乙快递员所配送的包裹总数量不超过甲快递员所配送的包裹总数量时，求的取值范围？ 【答案】(1)，见详解 (2)，见详解 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，准确识别函数图象与实际意义的对应关系是解题的关键． （1）结合函数图象，用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据条件列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设乙快递员在时段内，关于的函数解析式为, 它的图象经过，，把这两个点的坐标代入解析式，得 解得 所以乙快递员在时段内，关于的函数解析式为； （2）解：乙快递员所配送的包裹总数量不超过甲快递员所配送的包裹总数量时，根据题意，得 ， 解得． ， 的取值范围为． 4．（2026·河南开封·二模）如图，函数和的图象相交于A，B两点． (1)点的坐标为________，点的坐标为________； (2)观察图象，不等式的解集为_______； (3)连接，，求的面积． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)或 (3)8 【分析】（1）联立解析式求出交点坐标； （2）根据图象交点得出不等式的解集； （3）求出相关点的坐标，然后利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：联立， 解得或， ∵点位于第一象限，点位于第三象限， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）解：由图象可知，交点左侧的图象，直线位于双曲线的下方； 交点左侧原点右侧的图象，直线位于双曲线的下方； ∴不等式的解集为或； （3）解：当时，， ∴， ∴， ∴的面积为． 5．（2026·河北邢台·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，直线与直线交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点是直线上一点，若，求点坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用待定系数法求函数表达式即可； （2）分在直线右侧和在直线左侧两种情况进行求解． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式， ，解得， 则直线的函数表达式； （2）解：当在直线右侧时， ， ，又， 所以点的横坐标为， 时，， 此时； 当在直线左侧时，设直线与轴交于点， ， ，设， 又，， ，则， 在中，， 即，解得，则， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， ，解得， 则； 综上，或． 6．（2026·辽宁锦州·二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象过点，与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求k的值； (2)若直线与直线的交点在x轴的上方，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一次函数的图象过点，直接将点P坐标代入即可求解； （2）由（1）可知直线的函数表达式，联立直线与直线的函数表达式解出交点坐标，再根据交点在x轴的上方即可求解出t的取值范围． 【详解】（1）解：一次函数的图象过点， ， 解得：； （2）由（1）可知：直线的表达式为：， 联立， 解得：， 直线与直线的交点坐标为， 直线与直线的交点在x轴的上方， ， , 则t的取值范围为． 7．（2026·江苏扬州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．与y轴交于点，的面积为6． (1)求反比例函数、一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出当不等式成立时，的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）先利用三角形的面积求出点的坐标，然后利用待定系数法求函数表达式； （2）结合函数图象交点横坐标，得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的面积为6，且点，， ∴， 解得， ∴，代入得， ， ∴反比例函数的表达式为， 将点代入得， ， ∴， 将和代入得， 解得 ∴一次函数的表达式为； （2）解：∵一次函数和反比例函数的交点坐标为和， ∴由图象可得，当或时，直线位于双曲线的下方， ∴不等式的解集为或． 8．（2026·山东济南·二模）一次函数的图象与反比例函数的图象交于、与轴交于点，与轴交于点． (1)求，的值及点坐标； (2)点在轴上且在点左侧，若是以为底边的等腰三角形，求点坐标； (3)点在轴上，当以点、、、为顶点的四边形面积为5时，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)点坐标为或 【分析】本题考查一次函数图象和反比例函数图象的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）先求出点坐标，然后利用待定系数法求出反比例函数的表达式，联立比例函数和一次函数解析式即可求出点坐标； （2）设，根据利用坐标系中两点距离公式列方程求解即可； （3）分点在轴正半轴上和负半轴上两种情况，根据利用割补法表示四边形面积，即可列方程求解． 【详解】（1）解：将代入，得，即 将代入，得，即， 令，解得（舍），即 （2）解：设，由（1）知，， 则，， 是以为底边的等腰三角形 ，（舍） （3）解：在中，当时，，当时，， 即，设 如图，点在轴正半轴上， ，即． 如图，点在轴负半轴上， ，即 综上所述，点坐标为或 一次函数、反比例函数的实际应用 考点08 1．（2026·山东济宁·二模）在测浮力的实验中，将一长方体物体由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数与物体下降的高度之间的关系如图所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)当物体下降的高度为时，求此刻该物体所受浮力的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设所在直线的函数表达式为，利用待定系数法求解即可； （2）由图可知，物体未浸入水中时，弹簧测力计拉力等于物体重力，即，将代入直线的函数表达式求出此时拉力大小，利用求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，直线为一次函数图象，则设所在直线的函数表达式为， 将点、代入得： ， 解得：， 因此，所在直线的函数表达式为：； （2）解：由图可知，物体未浸入水中时，弹簧测力计拉力等于物体重力，即， 由（1）知，直线的函数表达式为：， 将代入表达式得：， 则， 答：当物体下降的高度为时，此刻该物体所受浮力的大小为． 2．（2026·贵州六盘水·二模）为落实中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求，某校九年级（1）班计划开展花样跳绳活动，需购买A，B两种跳绳．已知购买A，B两种跳绳的数量与总费用信息如下表： A种跳绳（根） B种跳绳（根） 总费用（元） 2 1 18 3 2 31 (1)求A，B两种跳绳的单价； (2)若九年级（1）班计划购买A，B两种跳绳共40根，且A种跳绳的数量不超过B种跳绳数量的7倍，不少于B种跳绳数量的4倍，应如何购买才能使总费用最低，最低费用是多少？ 【答案】(1)A种跳绳单价为元，B种跳绳单价为元 (2)购买A种跳绳根，B种跳绳根时总费用最低，最低费用为元 【分析】（1）设A种跳绳单价为x元，B种跳绳单价为y元，根据表格中数据列出方程组，解方程组即可； （2）设购买A种跳绳m根，则购买B种跳绳根，根据A种跳绳的数量不超过B种跳绳数量的7倍，不少于B种跳绳数量的4倍，列出不等式组，求出m的取值范围，设两种跳绳总花费为w元，根据两种跳绳的单价得出，再根据一次函数增减性，进行求解即可． 【详解】（1）解：设A种跳绳单价为x元，B种跳绳单价为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：A种跳绳单价为元，B种跳绳单价为元； （2）解：设购买A种跳绳m根，则购买B种跳绳根，根据题意得： ， 解得：， 设两种跳绳总花费为w元，则： ， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w最小， 即购买A种跳绳根，B种跳绳根时总费用最低，且最低费用为元． 3．（2026·天津·二模）已知学生宿舍、书店、体育场依次在同一条直线上，书店离宿舍，体育场离宿舍，李明从宿舍出发，匀速骑行到书店买书，在书店停留了后，又匀速步行到体育场，在体育场锻炼了后，用了匀速步行返回宿舍．下图中表示时间，表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中李明离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 离开宿舍的时间 2 10 16 35 离宿舍的距离 1.2 ②填空：李明从体育场返回宿舍的速度为________； ③当时，请直接写出李明离宿舍的距离y关于x的函数解析式． (2)同宿舍的张华与李明同时从宿舍出发，张华以的速度步行直接到体育场，在从宿舍到体育场的过程中，对于同一个x的值，李明离宿舍的距离为，张华离宿舍的距离为，当时，求x的取值范围(直接写出结果即可)． 【答案】(1)①；；；②；③ (2) 【分析】（1）①先计算到分钟的骑行速度，再根据不同时间段的运动状态，分别求出对应时间点离宿舍的距离，完成表格填写；②用体育场到宿舍的路程除以返回所用的时间，即可求出李明从体育场返回宿舍的速度；③先确定时函数分为三段，分别设出每段的函数解析式，代入对应已知点的坐标求解系数，最后写出完整的分段函数解析式即可； （2）先写出张华离宿舍的距离关于时间的函数解析式，再分李明运动的三个时间段，分别列出的不等式并求解，结合每个时间段的取值范围舍去不符合实际的解，最后合并所有符合条件的的取值，即可得到最终的的取值范围． 【详解】（1）解：①：骑行速度为，故当时，； ：在书店停留，距离不变，故当时，； ：在体育场锻炼，距离不变，故当时，； 填表： 离开宿舍的时间 2 10 16 35 离宿舍的距离 0.6 1.2 1.2 2 ②体育场到宿舍距离为，返回用时，故速度为； ③由图像可知，当时，函数分为三段： ：函数图像为直线，经过原点和点， 设函数解析式为，代入点得 ，解得， ∴函数解析式为； ：停留阶段，； ：函数图像为直线，经过点和点， 设函数解析式为，代入点和点得 ，解得， ∴函数解析式为； 综上，当时，李明离宿舍的距离y关于x的函数解析式为； （2）解：的取值范围为； 张华离宿舍的距离， 李明离宿舍的距离， 当时，分三段讨论： ：，解得，不符合题意； ：，解得； ：，解得； 综上，的取值范围为． 4．（2026·天津滨海新区·二模）已知刘伟家、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离刘伟家，体育场离刘伟家，刘伟从家匀速跑步到体育场，在体育场锻炼了，之后又匀速步行到文具店，在文具店停留了后，再用匀速散步返回家．下图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中刘伟离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 刘伟离开家的时间 3 15 30 50 刘伟离开家的距离 2.5 ②填空：刘伟从文具店匀速散步回家的速度为________； ③当时，请直接写出刘伟离家的距离y关于时间x的函数解析式． (2)刘伟离开家30分钟时，刘伟的哥哥也从体育场出发，以速度匀速步行直接回家，在从体育场到家的过程中，对于同一个x的值，刘伟离家的距离为，刘伟的哥哥离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①0.5，2.5，1.5；②0.05；③ (2) 【分析】（1）①②结合函数图象分析即可；②根据函数图象结合待定系数法进行分段求解函数关系式； （2）分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：①时的速度为：， 故当时，刘伟离开家的距离为：； 由图象可得，当时，刘伟离开家的距离为：； 当时，刘伟离开家的距离为：； ②由图象可得，刘伟从文具店匀速散步回家的速度为：； ③由①可得，当时，； 由图象可得，当时，； 当时，设，代入，， 则 解得 ∴ ∴ （2）解：由题意得，， 当，，解得， ∴ 当时，，解得，不符合题意，舍去； 当，，解得，符合题意； 当时，设，代入， 则 解得 ∴， ∴， ∴中任意实数均符合题意， 综上：x的取值范围是． 5．（2026·吉林长春·二模）清明假期期间，小刚从家出发，自驾匀速前往某景区游玩，途中经过服务区休息一段时间后，继续以另一速度匀速行驶前往目的地，小刚离家的距离（千米）与离开家的时间（小时）之间的函数关系如图所示． (1)小刚在服务区休息了_____小时； (2)求所在直线对应的函数表达式； (3)当小刚离家的距离恰好为200千米时，小刚离开家_____小时． 【答案】(1)1 (2) (3)3.2 【分析】（1）根据函数图象，可得两点之间的函数值无变化，即可求解； （2）待定系数法求解析式，即可求解； （3）将代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解： 根据函数图象可得小刚在服务区休息了1小时； （2）解：设所在直线对应的函数表达式为， 把代入， 得， 解得， 所以线段所在直线对应的函数表达式为． （3）解：当时， 解得：， ∴小刚离开家3.2小时． 6．（2026·广东广州·二模）某海洋保护区使用监测无人机巡查生态环境，以海岸线为x轴，垂直海岸线方向为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，无人机主巡航航线是直线，需与一条洋流边界线交汇以采集水样．无人机与洋流边界在交汇点相遇． (1)求无人机航线参数b和洋流边界参数k； (2)一架无人机在A处采集水样后，转向沿西北方向航行，到达洋流边界上的点P投放浮标，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将分别代入和求解即可； （2）过点P，A分别作x轴，y轴的垂线，两垂线交于点B，连接，则为等腰直角三角形，，设，则，解方程即可． 【详解】（1）解：将分别代入和， 得，， 解得，； （2）解：如图，过点P，A分别作x轴，y轴的垂线，两垂线交于点B，连接，则， ∵一架无人机在A处采集水样后，转向沿西北方向航行， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 7．（2026·贵州遵义·二模）研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系．验光师测得几组关于近视眼镜的度数与镜片焦距的对应数据如下表： 镜片焦距x（米） 近视眼镜的度数（度） (1)根据表格数据，求与的函数关系式； (2)小红原来佩戴度的近视眼镜，经过视力矫正和健康用眼，视力改善后，镜片焦距变为米，求小红的近视眼镜度数降低了多少度？ 【答案】(1) (2)小红的近视眼镜度数降低了度 【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数解析式； （2）把代入，求得（度），再作差即可求解 【详解】（1）解：设与的函数关系式为 当时，，代入： 与的函数关系式为 （2）解：由（1）得与的函数关系式为 当时，（度） （度） 小红的近视眼镜度数降低了度． 8．（2026·上海金山·二模）如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图．其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接，滑杆可以绕固定轴转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数．因此电流表上一定的示数对应着油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流（单位：A）与总电阻（单位：Ω）成反比例，其中，已知．可变电阻（单位：）与油量体积（单位：）之间的关系如图2所示，．当油箱内油量体积为时，电流表显示为． (1)当油箱内油量体积为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数解析式： (3)当油箱中油量体积满足时，求电流表显示电流的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】结合图像求出与的函数关系式，以及利用反比例函数的性质求解电流的取值范围． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 由图2可知，图像经过点和， 代入得：， 解得：， ． 当时，（）， ，且， （）． （2）解：电流与总电阻成反比例， 设， 由（1）可知，当时，，此时， 代入得：， 解得：， 关于电阻的函数解析式为． （3）解：由（1）可知，， 当时，（）， 当时，（）， 当时，， ，且， 随的增大而减小， 当时，取最大值，（）， 当时，取最小值，（）， 电流表显示电流的取值范围． 一次函数、反比例函数与几何综合 考点09 1．（2026·广东深圳·二模）定义：若一个函数图象存在横坐标与纵坐标互为相反数的点，则称该点为函数图象的“反点”．例如，求函数图象的“反点”．可以看成是函数图象与函数图像的交点坐标，联立方程组即可求解． (1)若一次函数的图像上“反点”坐标为，则b的值为______． (2)设反比例函数的图象上的“反点”分别为A，B，线段的长度，求k的值． (3)若二次函数的图象上有且只有一个“反点”． ①求c的值． ②若，是二次函数的图象上的两点，求的最小值． 【答案】(1) (2)； (3)①；②的最小值是 【分析】（1）将点代入一次函数中即可求出b的值． （2）由反比例函数的中心对称性质可知，由“反点”的定义设，，则，求出点A的坐标进而可求出k值． （3）①根据题意联立方程组得出关于x的一元二次方程，然后根据根的判别式为0即可求出c的值． ②表示出和，，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，∵一次函数的图象上“反点”坐标为， ∴， ； （2）解：由反比例函数的中心对称性质可知， ∵反比例函数的图象上的“反点”分别为A，B， ∴设，， 则， ∴（正值舍去）， ∴A的坐标是， ∴． （3）解：①∵函数的图象存在唯一的一个“反点”， ∴联立，可得：， 方程整理，得， 两个相等的实数根，则， ∴，解得． ②由①可知该二次函数的表达式为． ，， ∴， ∴当时，的最小值是． 2．（2026·贵州六盘水·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点在反比例函数的图象上，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一次函数的表达式求出，然后利用待定系数法求解； （2）利用反比例函数表达式求出点坐标，根据坐标特征利用一次函数表达式求出点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：将代入一次函数得， ， ∴，代入反比例函数得， ， 解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：将代入，得， 解得， ∴， ∵轴， ∴当时，， ∴， ∴． 3．（2026·湖北恩施·二模）如图，点A在反比例函数 图象上，过点A作垂直于x轴于点B．已知，． (1)求k的值． (2)点C是反比例函数 的图象上一点，点 D，E在x 轴上，，．若，求点C的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出点A的坐标，再根据待定系数法求解即可； （2）先根据平行线的性质求出，，进一步可得，根据相似三角形的性质得出，即可得出的长，即点C的纵坐标，最后根据点C在反比例函数的图象上即可求解． 【详解】（1）解：∵垂直于x轴，，， ∴点A的坐标为， ∵点A在反比例函数 图象上， ∴， 解得． （2）解：∵点 D，E在x 轴上，，，垂直于x轴， ∴，， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴，即点C的纵坐标为2， ∵点C是反比例函数 的图象上一点， ∴点C的横坐标为， ∴． 4．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线分别交反比例函数和反比例函数的图象于，两点，轴于，已知的面积． (1)求的值； (2)以为一条边作，其中顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的正半轴上，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，得到，再根据即可得到答案； （2）设直线的解析式为，求出，再根据平行四边形的性质以及得到，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：设， ， ， ； （2）解：设直线的解析式为， 联立， 解得，故， ， ， ， ∴设， 由（1）得， 将代入， 解得， ， ， ． 5．（2026·山东济南·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数y的图象的一个交点为，与x轴的交点为． (1)求反比例函数表达式； (2)直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若，求直线的函数表达式； (3)P为x轴上一点，直线交反比例函数的图象于点E（异于A），连接，若的面积为2，请直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点E的坐标为或 【分析】（1）把代入，可求出一次函数的解析式，从而得到点A的坐标，即可求解； （2）连接，求出点C的坐标为，可得，设点D的坐标为，可得到，再由勾股定理求出m的值，即可求解； （3）设点E的坐标为，求出直线的解析式，可用t表示点E的坐标，再由三角形的面积公式解答，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与x轴的交点为， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 把代入得： ，解得：， ∴点， 把点代入得：； ∴． （2）解：如图，连接， 由（1）得：反比例函数的解析式为， ∵直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点， ∴点C的坐标为， ∴， 设点D的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点D的坐标为， 设直线的函数表达式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为； （3）解：设点E的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点P的坐标为， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴， 解得：或， ∴点E的坐标为或． 6．（2026·河北保定·二模）如图，直线：交x轴于点A，交y轴于点B，已知点． (1)如图，过点C作直线：． ①用含k的代数式表示b； ②若直线与线段有交点（不包含A，B两点），求k的取值范围； (2)平行于x轴的直线分别交，于D，E两点，点E在点D的右侧，点E的横坐标为m，若，且k，m均为整数，求m的值． 【答案】(1)①；②； (2)2或4或16或 【分析】（1）①代入点C的坐标，即可得到k与b的关系； ②先根据函数解析得到点A和点B的坐标，观察题目图象，可知当直线经过点A和点B时，k分别取得最大值和最小值，代入坐标求解即可； （2）由轴，可知的横坐标为，代入D和E的横坐标到对应的直线解析式，得到对应的纵坐标，令纵坐标相等求出m与k的关系，再根据k和m都为整数的条件，求整数解即可． 【详解】（1）解：①∵点在直线：上， ∴， ∴； ②∵直线：交x轴于点A，交y轴于点B， ∴，， 由①得， ∴直线：， 当直线：经过点时，，解得， 当直线：经过点时，，解得， ∴直线与线段有交点（不包含A，B两点）时，k的取值范围为； （2）解：∵平行于x轴的直线分别交，于D，E两点，点E在点D的右侧，点E的横坐标为m，， ∴设，， 又∵点D在直线上，点E在直线上， ∴，， ∴， ∴， ∵k，m均为整数， ∴， ∴m的值为2或4或16或． 7．（2026·重庆武隆·二模）如图，在中，于点．为边上一点，为射线上的点，且满足，连接．用表示线段的长度，的面积为的面积与的面积之比为． (1)请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图像，并分别写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的值(近似值保留小数点后一位，误差不超过)． 【答案】(1)， (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及勾股定理得到，，根据当和时，分情况讨论，通过计算三角形的面积得到关于的表达式，过作于点，根据等面积法得到，进而通过计算的面积得到关于的表达式． （2）根据函数表达式绘制函数图象，并根据函数图象得到函数的性质． （3）当时，根据当和时，分情况讨论，解得此时的值即为答案． 【详解】（1）解：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点到点的距离为， ∴， ∵点不与点重合， ∴，且， ∴， 如图，过作于点， 则，即，解得：， ∴， ∵点不与点重合， ∴， ∴； （2）解：根据函数表达式，，画出函数图像如图所示， 根据函数图象可得， 的性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一）； 的性质：当时，随的增大而减小（答案不唯一）； （3）解：当时， 当时，即， 整理得：， ∵判别式， ∴无实根， 当时，， 整理得：，解得：， ∵， ∴取， ∴当时，． 8．（2026·山东济南·二模）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，一次函数的图象经过点，交轴于点，交轴于点．为反比例函数图象上点右侧一动点，连接，将沿着的方向平移，的对应点为，的对应点为，连接． (1)求，的值； (2)如图1，若四边形的面积为6，求坐标； (3)如图2，连接，若，求的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先将点A坐标代入正比例函数求出a，得到A点坐标；再将A点坐标分别代入反比例函数和一次函数，即可求解k和m的值； （2）由平移性质可知四边形是平行四边形，所以其面积等于以为底、对应高为参数的平行四边形面积，或者用坐标割补法表示面积；结合P在反比例函数上的坐标关系，联立方程求解P点坐标； （3）根据平移的坐标变换规律，用P点坐标表示出Q点坐标；先求出C点坐标，结合直线的斜率，构造所在的直角三角形，利用建立斜率关系或边长比例方程，联立Q点坐标满足的平移关系求解Q点坐标． 【详解】（1）解：（1）∵正比例函数经过点， ∴， ∴点， ∵反比例函数经过点， ∴， ∵一次函数经过点， ∴， ∴． （2）∵沿方向平移得到， ∴且， ∴四边形为平行四边形， 连接， ∵平行四边形为面积为6， ∴的面积为3， ∴， ∵一次函数， ∴， 设， 则 ， 解得， ∴． （3）过点作，交的延长线于点， 过点作轴的平行线，过点和点，分别作，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵一次函数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴解析式：， 设， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵在反比例函数上， ∴， 解得，（舍去） ∴． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $