01 山东省济南市历下区七年级下学期期末真题卷-【期末考前示范卷】2025-2026学年七年级下册数学(北师大版·新教材)济南专版

参考答案及解析 (部分答案不唯一) 历下区七年级第二学期期末真题卷 在Rt△ABC中，由勾股定理， 1.A2.D3.B4.A5.A6.B7.B8.D 得AC=√32+42=5。 9.C 1 10.D【解析】如图，作点D关于BC的对称点 所以。AB·BC=2AB·BM+2AC·MW 2 D',作，点G关于AB的对称，点G,连接D'F, 即3×4=3BM+5BM。 EG,D'G,BD',BG,则DF=D'F,EG=EG'。 所以BM=1.5。 所以DF+EF+EG= 综上所述，当△MNC为直角三角形时，BM D'F+EF+EG'。 的长为3或1.5。 当G,E,F,D在同一直 线上时，DF+EF+EG的值 16解：(1)原式=6,1⑧ =√5+√9=√3+3。 √2√2 最小，最小值为D'G'。 根据对称的性质可知， D (2)原式=√3+25-√5=√3+√5。 17.解：AB=DE。理由如下： BD'=BD=5,∠D'BF=∠ABC=30°，EG'= 因为AE∥BC,所以∠DAE=∠BCA。 EG,BG'=BG=12,∠ABG'=∠ABC=30°。 (AE=CA. 所以∠G'BG=60°，∠GBD'=90°。 在△ADE和△CBA中，{∠DAE=∠BCA, 所以△BGD'是直角三角形。 AD=CB, 所以D'G'=√BG2+BD2=√122+52=13。 所以△ADE≌△CBA(SAS). 所以DF+EF+EG的最小值为13。 所以DE=BA,即AB=DE。 11.-312.55°13.√2-1 18.解：(1)因为a=1+3,b=1-√3， 14.S=-5x+75(0≤x≤15) 所以ab=(1+3)(1-√3)=1-3=-2。 15.1.5或3【解析】如图1， (2)因为a+b=2, 因为∠NMC=90°， 所以a2+b2=(a+b)2-2ab=22-2×(-2)=8。 所以∠BMN=90°。 19.解：(1)观察轮盘可知，轮盘上一共有10个 由翻折的性质可知，∠BMA 数字，其中大于6的数字有3个，故她下 =∠NMA=45°。 在△ABM中，∠B=90°， 图1 次转出的数字大于6的凝率P=高。 ∠BMA=45°，所以∠BAM=45°。 (2)十位【解析】由第一问可知，她下一次 所以∠BAM=∠BMA。所以MB=AB=3; 如图2，连接AC,作AM平分∠BAC,交BC于 转出的数字大于6的概率为3 的10概率比较 点M,过点M作MW⊥AC,垂足为N。 小，且在十位上应该填入一个较大的数，故 因为AM平分∠CAB,BM⊥AB,MN⊥AC, 数字6应该放在十位上的方格中。 所以BM=NM。 A 20.解：因为BE=AE,所以∠BAD=∠ABE=25°。 在Rt△ABM和Rt△ANM 因为AB=AC,D为边BC的中点， (BM=NM, 中，AM=AM, B 所以AD平分∠BAC。 M 所以∠BAC=2∠BAD=50°。 所以Rt△ABM≌Rt△ANM 图2 21.解：(1)如图，点A'即为所求。 (HL)。 (2)如图，连接A'B交直线1于点P,连 所以Rt△ABM与Rt△ANM关于AM对称。 接PA。 此时PA+PB=PA'+PB=A'B,为最小值， 所以v= 点P即为所求。 2400=300(m/min),即小明从小石 8 潭到花圃的速度为300m/min。 当x=32时，小明达到石塔，所以32-1600 400 28(min),28-8=20(min), 即小明在花圃游玩了20min。 B --1-1-3--- 1Q: (3)4009:26【解析】由题图3可知，游览 车往返花了20min, (3)5【解析】作线段AB的垂直平分线，交 所以v= 4000+4000 直线l于点Q。由题意知，直线l为线段AA =400(m/min)。 20 的垂直平分线，所以此时点Q到点A'、点A、 点B这三个，点的距离均相等。所以QB的长 图为2400 400 6(min),所以20+6=26(min)。 为5。 小红在早上9：26从花圃上车前往石塔。 22.解：(1)y=0.2x+0.8【解析】根据表格，增 加1辆购物车，车身总长增加0.2米， 25解：()45+宁【解折1量乙4PC=。 则y=1+0.2(x-1)=0.2x+0.8, 因为点A关于射线CM的对称点为点P, 所以车身总长y与购物车数量x之间的关系 所以AC=CP。所以∠PAC=∠APC=x。 式为y=0.2x+0.8。 所以∠PAB=∠PAC-∠BAC=x-a。 (2)该超市员工不能通过一次转运就将全部 因为AB=AC,∠BAC=a, 的购物车转运完毕。理由如下： 在Rt△ABC中，利用勾股定理，得AB= 所以LABC=LACB=90°-2。 √JAC2+BC=√3.52+122=12.5（米）。 由LAPC+LPAB=LABC,得xtx-a=90°- 2, 当x=70时，y=0.2×70+0.8=14.8。 因为14.8>12.5 所以x=45+。所以LAC=4S+8 所以该超市员工不能通过一次转运就将全 (2)PQ=BQ。理由如下： 部的购物车转运完毕。 23.解：EK=180-120=60(cm),GK=160-135= 由(1)知，∠ABC=90°- 2, 25(cm), 由勾股定理，得EG=√EK+GK=√60+25= 所以LPAB=LABC-LAQC=90°-3 。 65(cm)。 所以∠APC=∠PAC=∠BAC+∠PAB=a+90° 因为扫地机器人的底面是直径为36cm的 圆形，扫地机器人的边缘距离点E和点G的 2a=900.1 3 。 安全距离均至少为10cm, 所以∠ABC=∠APC。 所以36+10+10=56(cm)。 所以180°-∠ABC=180°-∠APC。 因为65>56， 所以∠ABQ=∠CPQ。 所以该型号的扫地机器人能顺利地从入口 因为∠AEP=∠CEB,所以∠BAQ=∠PCQ。 处进入活动区。 因为AB=AC=CP, 24.解：(1)小明的出发时间小明到小石潭的 所以△ABQ≌△CPQ(ASA)。 距离 所以PQ=BQ。 (2)30020【解析】由题图2可知，当x= (3)√29【解析】如图，在CH上截取CF= 8时，小明到达花圃， AP,连接AF。 -2 因为点A关于射线CM的 因为∠BAE=2∠CAD, 对称点为点P, 所以∠DAG=∠BAE。 所以∠AHD=90°，∠ACF= 所以∠DAG+∠BAD=∠BAE+∠BAD. ∠PCH,AC=CP,CF=AP= 所以∠GAB=∠DAE。 2AH=4。 (AG=AD, 因为CP⊥AB,所以∠DEC=90°。 在△GAB与△DAE中 ∠GAB=∠DAE, 所以∠AHD=∠DEC。 AB=AE, 因为∠ADH=∠CDE,所以∠BAP=∠PCH。 所以△GAB≌△DAE(SAS)。所以BG=DE。 所以∠BAP=∠ACF。 所以BG=BD+DG=BD+2CD。 因为AC=AB,所以△ACF≌△BAP(SAS)。 因为CD=1,BD=4,所以DE=4+2=6。 所以AF=BP=√5。 2 16解：(02025-m)-付 +1-21 所以FH=√AF2-A㎡=√/(5)2-22=1。 所以CH=CF+FH=4+1=5。 =1-9+2 =-6。 所以AC=√CH+A=√52+22=√29。 (2)3a3b·(-462)÷(2ab)2 市中区七年级第二学期期末真题卷 =-12a3b3÷4a2b2 1.A2.C3.C4.D5.A6.D7.C8.A =-3ab。 9.B 17.解：[(2x+y)(2x-y）+y(y-2x)]÷x 10.C【解析】观察“和谐数列”可知，设下标为 =(4x2-y2+y2-2xy）÷x n,则被减数的底数为2n+1,减数的底数为 2n-1,即an=(2n+1)2-(2n-1)2,所以a2= =(4x2-2xy）÷x (2×12+1)2-(2×12-1)2=96。故①正确；根 =4x-2y。 据①找出的规律，得an=(2n+1)2-(2n-1)2= 当x=1,y=-2时， 原式=4×1-2×(-2)=8。 8n,所以a1+a2+…+ag=8×1+8×2+…+8×8= 8×(1+2+…+8)=8×36,所以a,+a2+…+ag是8 18.解：因为ABDF,所以∠B=∠F。 因为BE=CF,所以BE+CE=CF+CE,即 的倍数。故②正确；(m+7)(m-7)+n2-2mn= m2-49+n2-2mn=(m-n)2-7子，由“和谐数”的 BC=FE。 定义，得m-n的值为9。故③错误；因为9- ∠B=∠F, 在△ABC和△DFE中 (m-n)2是“和谐数”，所以m-n=7。因为 BC=FE, ∠ACB=∠DEF, m+n-1是“和谐数”，所以m+n-1=8k,即 m+n=8k+1。所以m=4k+4,n=4k-3。所以 所以△ABC≌△DFE(ASA)。 所以AC=DE。 7m-5n-3=28k+28-20k+15-3=8k+40是 “和谐数”。故④正确。 19.解：BC同旁内角互补，两直线平行AD 内错角相等，两直线平行平行于同一条直 17+-22.5513写143 线的两条直线平行两直线平行，同位角相等 15.6【解析】如图，延长BC至点G,使CG= 两直线平行，内错角相等∠CAD CD,设AB与DE交于点M。 20.解：(1)如图，△A'B'C即为所求。 因为∠ACB=90°，所以AC⊥BG。 (2)5【解析】△AC的面积为宁(1+3)× 所以AC垂直平分DG。 所以AG=AD, 1 >3×1，×1×3=8-3一3 4- ∠CAG=∠CAD。 23 所以∠DAG=2∠CAD。 (3)如图，连接BM交直线1于点N,连接 BN。此时BN+MN=B'N+MN=B'M,为最小数学 历下区七年级第二学期期末真题卷 (时间：120分钟满分：150分) % 、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1.8的立方根为 A.2 B.-2 C.±2 D.4 2.下列中国传统纹样的图案中，是轴对称图形的是 3.2025年我国人工智能模型DeepSeek凭借开源模式和成本优势火爆全球。在单词“DeepSeek”中随 毁 机选择一个字母，选到字母“e”的概率是 ( 1 >.3 B c. 4.在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺(CD⊥DE)按如图方式摆放，若AB∥CD,则 ∠1的大小为 A.30 B.45° C.60° D.75° B 器 D 第4题图 第5题图 第7题图 5.如图，在四边形ABCD中，连接AC,AC平分∠BAD,添加一个条件后，不能证明△ABC≌△ADC的是 A.BC=CD B.∠BCA=∠DCA C.∠B=∠D D.AB=AD 6宽与长之比为5-的长方形称为“黄金长方形”，估算， 的取值范围在 亲 A0到之间 B.2到1之间 1到2之间 D到2之洞 7.如图，某学校为开展劳动教育在校园农场中开垦了一块四边形菜地ABCD,测得∠ABC=90°，AB= 9m,BC=12m,CD=8m,AD=17m,则这块菜地的面积是 A.104m2 B.114m2 C.118m2 D.122m2 8.涨潮时，潮水高度不断上升，海水淹没滩涂。退潮时，潮水高度不断下降，露出滩涂，若此时潮水高 度小于当日潮水最大高度的一半，则适合赶海。如图呈现了某地一天内潮水高度的变化情况，下 列说法错误的是 ◆潮水高度/m 02:004:006:008:0010:0012:0014:0016:0018:0020:0022:0024:00时间 A.该地当日10：00时潮水高度最大，高度为4mB.该地当日8：00时和12：00时潮水高度相同 C.该地当日15：00到19：00适合赶海 D.该地当日0：00到4：00适合赶海 9.如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧交AB于点D,再分别以点C,D为圆心，大于 2CD的长为半径作弧，两弧交于点P,作射线AP交BC于点E,作EF1AC,垂足为F。若AE= BE=6,EF=4,则AB的长为 A.25 B.43 C.45 D.9 第9题图 第10题图 10.如图，∠ABC=30°，BD=5,BG=12,E,F分别是射线BA,BC上的动点，则DF+EF+EG的最小值为 A.8 B.9 C.10 D.13 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11.正数a的两个平方根分别是3和m,则m的值为 12.在等腰三角形ABC中，AB=AC,∠A=70°，则∠B的度数为 13.如图，0为数轴的原点，数轴上点A表示的数为-1，作OB⊥OA于点0，且OB=OA,以点A为圆 心，AB的长为半径作弧，交数轴于点C,则数轴上点C表示的数为 07 B D P C B-- 第13题图 第14题图 第15题图 14.如图，线段AD是△ABC底边BC上的高，BC=15,AD=10,动点P从点B出发，沿BC的方向运动至点C 处停止。设BP的长为x,△APC的面积为S,则S与x之间的关系式为 15.如图，在长方形纸片ABCD中，AB=3,BC=4,M是边BC上的任意一点，连接AM,将△ABM沿AM 翻折，使点B落在点N处，连接CN。当△MNC为直角三角形时，BM的长为 三、解答题（本大题共10个小题，共90分。请写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(7分)计算： (1)6+/18 (2)712+v20-5 1 17.(8分)如图，在△ABC中，D为AC上一点，且AD=BC,E为△ABC外一点，且AE=AC,连接DE。 当AE∥BC时，判断AB与DE的数量关系，并说明理由。 18.(8分)已知a=1+√3，b=1-√3。 (1)求代数式ab的值； (2)求代数式a2+b2的值。 19.(7分)如图是一个可以自由转动的转盘，且转盘被分成面积相等的十个扇形。小颖和同伴利用 这个转盘做下面的游戏： ①自由转动转盘，每人分别将转出的数填人两个方格中的任意一个十位个位 ②继续转动转盘，每人再将转出的数字填入剩下的方格中； ③转动两次转盘后，每人得到一个“两位数”； ④比较两人得到的“两位数”大小，谁的大谁就获胜。 通过游戏经验的积累，小颖发现： 在转盘中如果转出较大的数就填入 十位 个位 “☐”，转出较小的数就填入“☐” 这样更容易获胜。 6 (1)在一次游戏中，小颖第一次转出的数字是6，求她下一次转出的数字大于6的概率； (2)为了更有可能得到一个较大的两位数，你认为小颖应当把第一次转出的数字6放在 (填“十位”或“个位”)的方格中。 —1 20.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC,D为边BC的中点，连接AD,E为AD上一点，连接BE。若 ∠ABE=25°，BE=AE,求∠BAC的度数。 B 21.(9分)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A与点B均在格点上，1为网格线所 在的直线。 (1)标出点A关于直线1的对称点A'; (2)在直线I上找一点P,使得PA+PB的值最小（保留作图痕迹）； (3)若在网格中有一点Q,点Q到点A'、点A、点B这三个点的距离均相等，则QB的长为 22.（9分)综合与实践 【问题背景】 某超市员工现需利用扶梯将70辆购物车从一层转运到负一层。 【相关素材】 素材1：如图，假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加1辆，购物车列的车身总长变 化情况相同。下表中探究了整齐叠放的购物车列的车身总长y(单位：米)与购物车数量x(单位： 辆)的关系： 购物车数量x/辆 1 3 4 5 车身总长y/米 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 —2 素材2：如图，该超市的扶梯竖直高度AC=3.5米，水平宽度BC=12米。为了安全起见，该超市员 工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶 梯承载区域AB内。 【问题解决】 (1)根据表格可知，购物车列的车身总长y与购物车数量x之间的关系式为 (2)在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完 毕，并通过计算说明理由。 23.（10分)在小轩房间中有一个长方体衣柜和书柜，现需要购买一款扫地机器人，使其能顺利从入 口处进人活动区进行清扫。请根据以下信息解决问题： 相关尺寸说明： 房间示意图及 房间的平面图为长方形ABCD,其中AD=250cm,AB=200cm; 相关尺寸说明 衣柜底面为长方形BFEL,其中BF=120cm,BI=40cm; 书柜底面为长方形GHDM,其中DH=135cm,DM=70cm。 扫地机器人 某型号扫地机器人的底面是直径为36cm的圆形，当扫地机器人从入口进入活动区 相关信息 域时，扫地机器人的边缘距离点E和点G的安全距离均至少为l0cm。 请通过计算说明，该型号的扫地机器人能否顺利地从人口处进入活动区。 180 70D 活动区 160 © 书柜 135 扫地机器人 G 单位：cm K 40T 衣柜 入口 B 120 F 门口 24.（12分)某景区内有小石潭、花圃、石塔三个景点（且三个景点在同一直线上），图1为三个景点之 间的路线图。小明与小红均从石潭出发，依次游览小石潭、花圃、石塔，最后原路返回至小石潭。 小明骑共享单车出发游览，小明到小石潭的距离y,(单位：m)与其出发时间x(单位：min)之间的 关系如图2所示。景区内有一班游览车于从小石潭发车，在小石潭与石塔之间匀速往返行驶（上 下车时间忽略不计)。小红乘坐游览车出发，小红和游览车到小石潭的距离y,(单位：)与其出 发时间x之间的关系如图3所示。 (1)图2中的自变量是 ,因变量是 (2)小明从小石潭出发匀速骑行到花圃，在该路段小明的速度为 m/min,在花圃游玩后， 小明以400m/min的速度骑行至石塔，则小明在花圃游玩了 min; (3)游览车的平均速度是 m/min。若小红和游览车的出发时刻均为早上9：00，则小红在 早上 (填时刻)从花圃上车前往石塔。 一小红 y/m 游览车 石塔ym 4000 1600m 4000-- 圃 2400 2400m 2400m 小石潭 0832 72 x/min 02040x/min 图1 图2 图3 25.(12分)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=ax(0°<a<60),射线CM交线段AB于点D,作点A关于 射线CM的对称点P。直线AP与直线BC交于点Q,与射线CM交于点H,连接CP交AB于点E。 (1)如图1，当点P位于直线BC上时，∠APC的度数为 (用含α的代数式表示)； (2)如图2，当∠AQC=时，判断PQ与BQ的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当CP⊥AB时，连接BP,若AH=2,BP=√5，则AC的长为 义 A M M HX/D D (Q/ PB(E) 图1 图2 图3