【天壹试题】2025-2026学年高二阶段检测 数学

高二阶段检测 数学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹 签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将答题卡上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.若直线经过两点A(1,1十√3)，B(2,2十√3)，则此直线的倾斜角为 A.309 B.45° C.90° D.135° 2.计算3C十A号的值为 A.198 B.99 C.142 D.114 3.下图是函数f(x)的导函数f(x)的图象，则函数y=f(x)的图象可能为 y 4.已知双曲线C:苏=一1，则双曲线C的虚轴长与实轴长之比为 A B. c D.4 5.正项等比数列(a的前n项和为S,者a:·a,=aS,=,则a, A.9 B C.18 D.9或 6.由0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数中，偶数的个数是 A.300 B.360 C.420 D.480 【高二数学第1页（共4页）】 7.已知等差数列{am}的前n项和为Sn,若S3=9,S。=3,则S16= A.-134 B.400 C.-44 D. 136 3 8.在四棱锥S-ABCD中，AB=(2,-1,0),AD=(0,1,-1),A5=(-2,1,-3),则三棱锥 S-ABD的体积为 A司 C.1 D.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知二项式x一 ,则其展开式中 A.x5y2的系数为84 B.各项系数之和为一1 C.二项式系数之和为一1 D.二项式系数最大项是第4或5项 10.在等比数列{am}中，已知a3=4,a6=32,其前n项和为Sm,则下列说法中正确的是 A.a1=2 B.an=2-1 C.a;Fas=4 D.Sn=2m十1 a5十a6 11.已知抛物线C:x2=2y,过其焦点F的直线l与抛物线C交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点， 抛物线C在点A,B处的切线交于点P,点M为线段AB的中点，点A在抛物线C的准 线上的投影为A1,则 A=子 B.PM⊥x轴 C.PA·PB=AB·PF D.∠FPA=∠APA 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.二项式 2x 的展开式中的常数项为 13.已知圆C1:x2十y2=2和圆C2:x2十y2+4x一4y+m=0有3条公切线，则m= 14.直线y=一2.x十b分别与曲线y=e和直线y=x相交于A,B两点，则|AB的最小值为 【高二数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤， 15.(本小题满分13分) 已知数列(a,的前n项和为S,5.=多r+ 2n(n∈N,n≥1). (1)求{an}的通项公式； (2)若b,=1,求数列{6，}的前n项和T. 16.(本小题满分15分) 已知f(x)=3x+受x-6x(a∈K)在x=2处取得极值. (1)求实数a的值； (2)求f(x)在[一4,3]上的最值， 17.(本小题满分15分) 为庆祝3.8妇女节，某中学准备举行教职工排球比赛，赛制要求每个年级派出10名老 师分为两支队伍，每支队伍5人，并要求每支队伍至少有2名女老师，现高二年级共有4 名男老师，6名女老师报名参加比赛 (1)高二年级一共有多少种不同的分组方案？ (2)若甲，乙两位男老师和丙，丁，戊三位女老师组成的队伍顺利夺得冠军，在领奖合影 时从左到右站成一排，丙不宜站最右端，丁和戊要站在相邻的位置，则一共有多少种 排列方式？ 【高二数学第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分) 已知函数fr)=血x+l,g(x)=xlnx-ar2+a(a∈R). (1)求函数f(x)的最大值； (2)若函数g(x)在(0，十∞)上单调递减，求实数a的取值范围； (3)若函数g(x)≤0在x∈[1，十∞)上恒成立，求实数a的取值范围. 19.(本小题满分17分) 设椭圆C:后+芳=1(a>6>0)的左，右焦点分别为严，A,点P为C上异于长箱顶点 的动点，且△PF1F2面积的最大值为√3，直线PF1,PF2分别交C于点Q(x1,y1),R(x2, y2),△PQF2的周长为8. (1)求C的方程； (2)证明：以Q,R为焦点且经过点F,的双曲线也经过点F2; (3)设c=√a2一b,当b>c时，求|y1-y2|的最大值. 【高二数学第4页（共4页）】高二阶段检测 数学 答题卡 淮考 证号 姓 名 0I0000I000□0I0 口DDD口口1口D1■ 班 级 2I2]22四2I22I2四22 33I3]333]3]33]3 4I4D444I44I4口44■ 考 场 5555555555 6666666666 7I707刀707I7I7I7I7I7□ 座位号 8888888888 9]9]999I9]9I9]99 1.答题前，考生务必清楚地将自己的姓名、准考证号填写在规 注 定的位置，核准条形码上的准考证号、姓名与本人相符并完 全正确及考试科目也相符后，将条形码粘贴在规定的位置。 意 2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑 事 色墨水签字笔作答，字体工整、笔迹清楚。 贴条形码区域 3.考生必须在答题卡各题目的规定答题区域内答题，超出答题 项 区域范围书写的答案无效：在草稿纸，试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁，不准折叠、不得弄破。 填涂样例 正确填涂： 错误填涂：中Xp口 缺考标记：☐ 单选题（每小题5分，共40分） 1 A]B][C]D] 5 [ABC D 2 [A B][C]D 6ABI☑D 3A□BICD 7A□BD 4A]B]CD] 8A▣B☐D 多选题（每小题6分，共18分） 9ABCD 10[A]B [C]D 11AB☐CD 填空题（每小题5分，共15分） 12 13 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高二数学第1页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高二数学第2页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！高二阶段检测·数学 参考答案、提示及评分细则 1,B因为直线经过两点A1,1十5)，B(2,2十5)，则=2+51一5=1，设直线的倾斜角为a,即 2-1 tana=1,因为0°≤a<180°，所以a=45°，故选B. 2.D3+A=3C+N=3×+6X5=1.故选D 3.A导函数的正负决定原函数的增减，由导数图象知，原函数的单调性是递减、递增、递减，符合此规律 的只有A. A因为双面线方程为后茶=一1，所以双曲线C的标准方程为茶若1，侧虚轴长为2V店-8。 实轴长为2√25=10，所以其虚轴长与实轴长之比为生，故选A. 5.D设正项等比数列a.的公比为4g>0.由a·a,=a,可得a=9,所以a=1,a=号所以S,-a十 a十a)十1十g号解得g言或g=3.所以a,=ag=可或9.故远D 6.C最后一位数是0，偶数的个数是A=120;最后一位不是0，偶数的个数是3×5A?=300,所以一共 有120+300=420种.故选C. 3 1 7.B由S,=3(a1十a)=3a,=9,5=9〔a+a2=9a,=3,有ag=3,a6= 2 2 3d=a54= 3 3 可得516aa-8(aa)=8a:+a)=8(3+a+10d)=8×3+写智）=智故 2 选B. 8.C设平面ABD的法向量为m=(x,y,x), AB·m=2.x-y=0 则 A市.m=y-x=0 令x=1,则m=(1,2,2), 则点S到平面ABD的距离为d=AS:m-一6=2， m 3 又AB.AD=-1,|AD|=√2， 则点B到直纹AD的距离为√应一需平-√一（月是 则S△ABD= √22， 故三棱锥S-ABD的体积为号5am·d=号×号×2=1.故选C 9.ABD (红-)的展开式的通项为T=C(号）广=(-2)rCy, 对于A,取7-r=5,则r=2,故x5y2的系数为（一2）2C号=84，故A正确； 对于B.因为-号)-三(-2)CGxy,令=y=1,则各项系数之和为1-)=-1：故B 正确； 对于C,二项式系数之和为2m=2=128,故C错误； 对于D选项，二项式系数C,当r=3或4时C?最大，故第4项或第5项二项式系数最大，D正确；故选 ABD. 10BCg-告-号-89=2a-号-青1，放A错误a=a1-1·2-2故B正确：受十8 'a5+a6 【高二数学参考答案第1页（共4页）】 =a+a)g=g=4,放C正确：S=ag）=-=2-1,放D错误，故选BC a5十a6 1-g1-2 1.BCD对A,因为点F(O,,直线1的斜率一定存在，则设直线1的方程为：y=kx十？，与抛物线C: x2=2y联立得：x2-2k.x-1=0,所以x1x2=-1,所以A错误； 对B因为A,B(),则M(白，”吉”），因为2=2y.所以y=2,则y=,n 号y-号，所以曲线C在点A(,哥）)处的切线为：y一号=（一），即y=- xi 同理，面线 联立 y=xI- 2 x=十2 C在点B(号)处的切线为：y=x- 2 解得 ,因为x1x2=1,所 y=zx- y=1.E2 2 以P(卢专，），点P与点M的横坐标相同，所以PM⊥x轴，所以选项B正确： 对C.a·m==-1,所以PA1PB.因为P(5专2，）当a十≠0时，m= _T1十x2 2 ri xi 2 ，kAB 22 x1十x2 x一x2 =十2，所以kr·kB=-1,即PFLAB;当十x=0时，点A,B关于 2 x轴对称，即直线AB的斜率为0，此时P(0,一)，所以直线PF的斜率不存在，所以PF⊥AB,综 上，PFLAB..所以Sar=PA·PB=AB·PF,即PA·PB=AB·PF,所以 选项C正确； 对D,由C知，AF⊥PF,又因为AA1⊥PA1,由抛物线定义知，AF|=|AA|,即点A到直线PF的距离 等于到直线PA1的距离，所以点A在∠FPA1的角平分线上，即PA是∠FPA1的角平分线，所以∠FPA =∠APA1,所以选项D正确.综上，故选BCD. 12.60 展开式的通项为T+1=(-1)yC%(2x)·( 0得，则(2：2)》 的常数项为C·(-1)·22=60. 13.6因为圆C1:x2+y2=2,所以C1(0,0),r1=√2；圆C2:x2+y2十4x一4y十m=0,则其标准方程为：(x +2)2+(y-2)2=8-m,则C,(-2,2),r2=√8-m(m<8),因为圆C和圆C2有3条公切线，所以 圆C和圆C外切，则CC2|=n1十r2,即2√2=√2十√8-m,解得m=6. :如图所示，过点A作AC垂直于直线y=x,垂足为C,因为直线y= x与y=一2x十b的斜率均为定值，所以∠ABC为定值，设∠ABC=a,则 A=C当面线y=e在点A处的切线平行于直线)=x时， =-2x+b |AC取得最小值，所以当AC取最小值时，|AB取得最小值，令A(x, e6),fx)=e,则f(x)=e,所以f(xo)=e=1,解得xo=0,即 A(0,1),所以当直线y=一2x十b过点A时，AB取得最小值，此时b -1,联立，2x+1,得B(合，》此时1AB1- V兮)+（合-可=号所以AB的最小值为号 15.解：D:n≥1且neN,有5.=r+ 当n∈N,m≥2时，有S.1=号(n-1D2+号(n-10…3分 【高二数学参考答案第2页（共4页）】 两式相减得a.=多+-[(-1+号m-1]=3-1, ………………4分 当n=1时由5=子+ n今a1=2,适合an=3n-1, 所以an=3n-1;……………………… 6分 (2)由(1)知，b,=1 1/ amam+1(3n-1)(3n+2)33n-13n+2/ ………8分 所以T。=b十b2十…十bn= 专(x13x2)+(x3x3)+…十 1/ 1 3()(日 12 …13分 16.解：1)因为f)=了2+号r-6x,所以了（)）=十ax-6,…2分 因为f(x)在x=2处取得极值，所以f(2)=0,即4十2a-6=0,解得a=1.…4分 当a=1时，f(x)=x2十x-6,令f(x)=0,解得x=-3或x=2,当x<-3或x>2时，f'(x)>0: 当一3<x<2时，f(x)<0,所以函数f(x)在x=一3处取得极大值，在x=2处取得极小值，所以a= 1符合题意；…………………………………………………………………………6分 (2)由1)可知，x)=号+2-6x,且x)在[-4，一3]上单调递增，在[-3,2]上单调递减，在 [2,3]上单调递增，………9分 且-=号f-3)-号2)=-号3)=号 13分 所以函数K)的最小值为一号技大值为号。 15分 17.解：D两组都是3女2男的情况有SC60(种；…………3分 一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有C·C=60(种)，…6分 所以总情况数为60十60=120（种），故一共有120种不同的分组方案；……7分 (2)丙站在左1位，共有CXA号XA号=12（种）不同的排列方式；… 8分 丙站在左2位，共有CXA号XA=8(种)不同的排列方式；… 10分 丙站在左3位，共有CXA号XA=8(种)不同的排列方式；…12分 丙站在左4位，共有C×A×A=8(种)不同的排列方式.…14分 综上所述，共有36种排列方式.… 15分 18.解：1)f)=n+中，定义域为：(0，十o),f()=二n2, x2, ……1分 令f(x)=0,得x=1,当0<x<1时，f(x)>0;当x>1时，f'(x)<0, 所以函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单调递减，…3分 所以当x=1时，f(x)取得最大值，且最大值为f(1)=1;…4分 (2)因为函数g(x)在(0，十∞)上单调递减，所以g'(x)=lnx十1-2ax≤0在(0，十∞)上恒成立，… …5分 即2a≥n+1在(0，十∞)上恒成立，即2a≥ 6分 由1)可知，f(x)=血+1的最大值为1，所以2a≥1，即a≥7， 所以实数a的取值范围为[宁，十小： 8分 (3)若函数g(x)≤0在x∈[1，十∞)上恒成立，即g(x)=xlnx-a.x2十a≤0在x∈[1，+o∞)上恒 成立， 所以lnx一ax十0在xE[1,十∞)上恒成立，………严 9分 令h(x)=lnx-ax+a(x≥1)， 则W()=1-a-8=二a2+x-e, ………10分 【高二数学参考答案第3页（共4页）】 因为x≥1，所以当a≤0时，h'(x)≥0在x∈[1，+o∞)上恒成立， 所以函数h(x)在x∈[1，十o∞)上单调递增，所以h(x)≥h(I)=0,所以a≤0时不符合题意；… ……………………11分 当a>0时，令t(x)=-a.x2十x-a, ①当△=1-4a2<0时，即a>2时，则z(x)=-ar+x一a≤0恒成立， 即h'(x)≤0在x∈[1，十o∞)上恒成立，所以函数h(x)在x∈[1，十o∞)上单调递减， 所以h()≤h()=0,所以a>时符合题意；…13分 ②当△=1-4a2>0时，即0<a<2时，令(x)=-ax2+x-a=0, 则0=1-=a,,=1+=a 2a 2a 因为0路=1，十=>0，所以0<<1<2，… 14分 a 所以当x∈(1，x2)时，t(x)>0,所以h'(x)>0在x∈(1，x2)上恒成立， 即函数h(x)在x∈(1，x2)上单调递增，所以当x∈(1，x2)时，h(x)>h(1)=0, 所以0<a<2时，不符合题意.… 16分 综上，实数a的取值范围为[2，+∞} 17分 19.(1)解：设P.则△PFF的面积S=3×2cX 当yo=士b时，S取最大值bc,所以bc=√5.…2分 △PQF2的周长C=PF2+PF1+FQ十|QF2|=4a=8,故a=2.…4分 因此b=√5，c=1或b=1,0=√5，…5分 所以C的方程为十苦-1或号十少=1：… 6分 (2)证明：由椭圆的定义知QF1|+QF2|=RF1+|RF2|=2a=4. 所以||F1R|-|F1Q|=|F2Q-F2R.…………8分 由双曲线的定义知，以Q,R为焦点且经过点F,的双曲线也经过点F2；…9分 (3)解：由1D,当6>c时，C的方程为号+苦=1，F(-1,0.F,(1,0)设点P( 记m,=十1，则直线PF,的方程为x=m1y一1. x=m1y-1, 9 +芳 得(m+专)p2-2my3=0,故=m ………11分 同理，记m=0 ,可得y2= 9 ………+…………。………。…。… (3m+4)yo 13分 yo 9 所以|y1-y2 9 9y0 9yo (3m+4)yw (3m号+4)yo 3(x+1)2+4y%3(x0-1)2+4喝 ………14分 = 3yo 3y% 12xoyo 5十2x0 5-2x0 25-4.x8 ………15分 12.xo yo + 9 4v3 16分 故当 语即P(士一士3平)时m为取到最大值5 …17分 17 34 【高二数学参考答案第4页（共4页）】