高二数学下学期5月学情自测卷（人教B版选择性必修第三册，高效培优）

2025-2026学年高二数学下学期5月学情自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第三册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数在区间 上的平均变化率为（   ） A． B． C．1 D． 2．已知函数则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知正项数列是公比不为1的等比数列，，则（   ） A．8 B． C． D． 4．已知分别是等差数列和等比数列，其前项和分别是和，且，，则（    ） A．5或11 B．7或13 C．9或18 D．12或21 5．设函数在处有极大值，则c值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．12 6．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．数列的前n项和，且，，则（   ） A．52 B．53 C．54 D．55 8．已知定义在上的函数，其导函数为，不等式恒成立．若对，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列满足，则下列结论正确的有（   ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C．的通项公式为 D．数列是递增数列 10．已知数列满足，则（   ） A． B．的前项和为 C．的前100项和为100 D．的前9项和为 11．关于的方程，下列说法正确的是（    ） A．当时，方程有两个根 B．当方程有两个根时， C．当时，方程有三个根 D．当方程在区间上有三个根时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则+ =______． 13．已知正项等差数列的公差为，为的前项和，若是首项为3的等差数列，则______． 14．已知数列满足，其中为函数在上的极值点，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列的前n项和为，，当时，． (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前n项和． 16．（15分）已知函数 (1)函数在处取极值，求的值： (2)求函数在区间上的最小值． 17．（15分）设数列的前项积为，满足． (1)设，求证：数列是等比数列； (2)设数列满足，求数列的前项和． 18．（17分）已知函数． (1)设． ①求曲线在点处的切线方程； ②求在上的最小值． (2)若在上单调递减，求的取值范围． 19．（17分）已知函数为实常数）. (1)若，求证：在上是增函数； (2)讨论函数的单调性； (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期5月学情自测卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第三册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数在区间 上的平均变化率为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】， 平均变化率为：． 2．已知函数则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】函数的定义域为， ，所以. 所以， 所以. 3．已知正项数列是公比不为1的等比数列，，则（   ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【详解】已知正项数列是公比不为1的等比数列，设的公比为，则， 由，得，则，即， ，解得． 4．已知分别是等差数列和等比数列，其前项和分别是和，且，，则（    ） A．5或11 B．7或13 C．9或18 D．12或21 【答案】D 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为， 所以，，，， ，即，化简可得， 因为，即， 代入可得， 化简可得， 解得或， ， 代入可得或. 5．设函数在处有极大值，则c值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】C 【详解】由，得， 因为函数在处有极大值，所以， 所以，解得或， 若，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以函数在处取得极小值，不符合题意， 若，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以函数在处取得极大值，符合题意， 综上所述：c值为6. 6．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数求导得， 已知在区间上单调递减，则在上恒成立， 即在上恒成立， 令，，求导得，令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 则是极小值点， ，， 在的上确界为3， ． 7．数列的前n项和，且，，则（   ） A．52 B．53 C．54 D．55 【答案】C 【详解】数列的前n项和，且， 令时，，所以， 所以当，， 所以，即得， 即，所以是以1为首项以2为公比的等比数列， 所以，所以 ， 则 . 8．已知定义在上的函数，其导函数为，不等式恒成立．若对，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，依题意，． 函数在上单调递增． 对，不等式恒成立， , 即， ． 当时，， 则， 则；； 故在单调递减，在单调递增； 可得时，函数取得极小值即最小值， ． 当时，，此时，在上单调递减， 又时，，且，则 则的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列满足，则下列结论正确的有（   ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C．的通项公式为 D．数列是递增数列 【答案】AC 【详解】由，得，则， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，故A正确，B错误； 则，即，即数列是递减数列，故C正确，D错误. 10．已知数列满足，则（   ） A． B．的前项和为 C．的前100项和为100 D．的前9项和为 【答案】ACD 【详解】对于选项A：因为， 当时，； 当时，则， 两式相减可得，即； 且符合上式，所以，故A正确； 对于选项B：因为，可知数列为等差数列， 所以的前项和为，故B错误； 对于选项C：因为， 所以的前100项和为，故C正确； 对于选项D：因为， 所以的前9项和为，故D正确. 11．关于的方程，下列说法正确的是（    ） A．当时，方程有两个根 B．当方程有两个根时， C．当时，方程有三个根 D．当方程在区间上有三个根时， 【答案】ACD 【详解】对于A，当时，方程为，则，即或，故A正确； 对于B，由于函数为过定点的直线， 当时，设，如图， 设与相切于点， 当时，，则，则，即， 则时，函数与有两个交点，则方程有两个根，故B错误； 对于C，由B知，当时，函数与有3个交点， 则方程有三个根，故C正确； 对于D，要使方程在区间上有三个根，则， 且，即，则，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则+ =______． 【答案】 【详解】点处的切线方程是，则， 切线斜率为，则， ． 13．已知正项等差数列的公差为，为的前项和，若是首项为3的等差数列，则______． 【答案】2或50/50或2 【详解】由题可知，所以， 又因等差数列的公差为，则， 则． 因为是等差数列，可设， 则得，即 因，故有， 则由，解得或． 14．已知数列满足，其中为函数在上的极值点，则__________. 【答案】 【详解】由函数，可得， 因为为的极值点，可得， 又因为且，所以， 令函数，可得，所以在上单调递增， 所以，则， 又因为，所以， 所以， 因为，所以 代入可得. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列的前n项和为，，当时，． (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前n项和． 【详解】（1）数列的前n项和为，当时，，而， 则， 1分 依题意，因此， 3分 所以数列是等差数列. 5分 （2）数列是以为首项，为公差的等差数列，则，， 7分 则， 因此， 9分 两式相减得 11分 所以． 13分 16．（15分）已知函数 (1)函数在处取极值，求的值： (2)求函数在区间上的最小值． 【详解】（1）的定义域为，求导得， 1分 已知在处取极值，则，解得． 3分 当时，， 当时，，当时,，故在处极值，符合题意. 5分 （2）函数的导数为， 已知，，则， 6分 当时，在上恒成立，单调递减， 最小值为； 8分 当时，在上恒成立，单调递增， 最小值为； 10分 当时，令，解得，则， 时，，单调递减； 时，，单调递增； 最小值在极值点处取得： ； 13分 综上可得： ． 15分 17．（15分）设数列的前项积为，满足． (1)设，求证：数列是等比数列； (2)设数列满足，求数列的前项和． 【详解】（1）当时，由且可得，所以，， 1分 当时，由得， 所以当时结合，， 可得当时，，故， 所以， 代入已知条件，得， 3分 两边同除以，得，即， 由，得， 所以数列是等比数列. 6分 又， 故数列是首项为，公比为的等比数列. 7分 （2）因为数列是首项为，公比为的等比数列.所以 9分 因为，所以， 从而，则， 11分 所以， 故， 13分 所以， 解得. 15分 18．（17分）已知函数． (1)设． ①求曲线在点处的切线方程； ②求在上的最小值． (2)若在上单调递减，求的取值范围． 【详解】（1）当时，，． 1分 ①因为，， 所以曲线在点处的切线方程为． 3分 ②令，则． 4分 当时，，，且两个等号不能同时成立， 所以，在上单调递减． 又，，所以存在，使得． 6分 当时，；当时，． 在上单调递增，在上单调递减． 又，，， 所以在上的最小值为． 9分 （2）． 令，则， ． 若，即，则存在，使得当时，， 所以在上单调递增． 因为，所以当时，，即在上单调递增，不符合题意． 12分 若，即，则当时，，，两个等号不能同时成立， 所以当时，． 当时，，， 所以，在上单调递减． 15分 因为，所以当时，， 所以当时，，在上单调递减，符合题意． 综上，的取值范围为． 17分 19．（17分）已知函数为实常数）. (1)若，求证：在上是增函数； (2)讨论函数的单调性； (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）由题可知函数的定义域， 因为，所以，所以， 令解得， 所以在上是增函数； 2分 （2）函数的定义域为， 所以， 3分 当时，，即恒成立，所以在上单调递增； 4分 当时，由得或（舍去）， 当时，，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增； 7分 综上所述：当时在是增函数； 当时在上单调递减，在上是增函数； 9分 （3）由，得，即， 因为，所以，所以， 且当时，所以在恒成立，所以， 即存在时，， 12分 令，， 令， 令，解得， 令，解得， 所以在单调递减，单调递增， 所以， 15分 所以时，恒成立， 所以， 所以实数的取值范围是. 17分 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期5月学情自测卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D A A D C D C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC ACD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．2或50/50或2 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【详解】（1）数列的前n项和为，当时，，而， 则， 1分 依题意，因此， 3分 所以数列是等差数列. 5分 （2）数列是以为首项，为公差的等差数列，则，， 7分 则， 因此， 9分 两式相减得 11分 所以． 13分 16．【详解】（1）的定义域为，求导得， 1分 已知在处取极值，则，解得． 3分 当时，， 当时，，当时,，故在处极值，符合题意. 5分 （2）函数的导数为， 已知，，则， 6分 当时，在上恒成立，单调递减， 最小值为； 8分 当时，在上恒成立，单调递增， 最小值为； 10分 当时，令，解得，则， 时，，单调递减； 时，，单调递增； 最小值在极值点处取得： ； 13分 综上可得： ． 15分 17．【详解】（1）当时，由且可得，所以，， 1分 当时，由得， 所以当时结合，， 可得当时，，故， 所以， 代入已知条件，得， 3分 两边同除以，得，即， 由，得， 所以数列是等比数列. 6分 又， 故数列是首项为，公比为的等比数列. 7分 （2）因为数列是首项为，公比为的等比数列.所以 9分 因为，所以， 从而，则， 11分 所以， 故， 13分 所以， 解得. 15分 18．【详解】（1）当时，，． 1分 ①因为，， 所以曲线在点处的切线方程为． 3分 ②令，则． 4分 当时，，，且两个等号不能同时成立， 所以，在上单调递减． 又，，所以存在，使得． 6分 当时，；当时，． 在上单调递增，在上单调递减． 又，，， 所以在上的最小值为． 9分 （2）． 令，则， ． 若，即，则存在，使得当时，， 所以在上单调递增． 因为，所以当时，，即在上单调递增，不符合题意． 12分 若，即，则当时，，，两个等号不能同时成立， 所以当时，． 当时，，， 所以，在上单调递减． 15分 因为，所以当时，， 所以当时，，在上单调递减，符合题意． 综上，的取值范围为． 17分 19．【详解】（1）由题可知函数的定义域， 因为，所以，所以， 令解得， 所以在上是增函数； 2分 （2）函数的定义域为， 所以， 3分 当时，，即恒成立，所以在上单调递增； 4分 当时，由得或（舍去）， 当时，，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增； 7分 综上所述：当时在是增函数； 当时在上单调递减，在上是增函数； 9分 （3）由，得，即， 因为，所以，所以， 且当时，所以在恒成立，所以， 即存在时，， 12分 令，， 令， 令，解得， 令，解得， 所以在单调递减，单调递增， 所以， 15分 所以时，恒成立， 所以， 所以实数的取值范围是. 17分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $