重难点02 不等式与不等式组 4大高频考点（期末真题汇编，山西专用）七年级数学下学期

**基本信息** 聚焦不等式与不等式组4大高频考点，精选山西多地期末联考真题，注重真实情境应用与分层能力考查 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|解不等式、整数解等|结合数轴表示解集，如第二象限点坐标取值| |填空题|7|参数求解、新运算|定义新运算“⊗”考查不等式解法，关联数轴表示| |解答题|15|实际应用、纠错任务|垃圾分类处理利润计算等真实情境问题；设置解题步骤纠错任务，强化推理能力|

重难点02 不等式与不等式组 4大高频考点概览 考点01解一元一次不等式 考点02用一元一次不等式解决实际问题 考点03求一元一次不等式组的整数解 考点04由一元一次不等式组的解集求参数 地 城 考点01 解一元一次不等式 一、选择题 1．(24-25七下·山西临汾两校联考·期末)数轴上的点表示的数分别是，且点位于点的左侧，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．(24-25七下·山西大同·期末)若点在第二象限，则a的取值范围在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 3．(24-25七下·山西长治部分学校·期末)在实数范围内规定新运算“”，其规则是．已知不等式的解集在数轴上如图表示，则k的值是________． 3、 解答题 4．(24-25七下·山西长治襄垣县古韩中学·期末)解决下列问题： (1)下面是课堂上某同学的解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 问题：解不等式 过程如下： 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项得，．第四步 两边都除以，得．第五步 任务一：填空： ①以上求解过程中，去分母的依据是______； ②以上求解过程中，从第______步开始处出现错误； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集：______； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议； (2)解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 5．(24-25七下·山西临汾尧都区·期末)已知关于的方程组． (1)用含的式子分别表示和； (2)若方程组的解满足，求的取值范围． 6．(24-25七下·山西临汾尧都区·期末)下面是小茗同学解不等式的过程，请认真阅读，完成相应任务． 解：去括号，得：，第一步 即，第二步 移项得：，第三步 计算得到：，第四步 系数化为1，两边同时除以，得：．第五步 任务一：（1）小茗同学的解答过程中，从第 步开始出现错误．他的错误原因是 ； （2）第五步的解题依据是 ； 任务二：（3）直接写出这个不等式的解集： ； 任务三：（4）除小茗同学的错误外，在解不等式的过程中，还需要注意什么呢？（写出一条注意事项即可） 7．(24-25七下·山西大同第三中学校·期末)（1）计算 （2）解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 8．(24-25七下·山西大同部分学校联考·期末)（1）计算：． （2）解不等式组，并将不等式组的解集表示在下面数轴上． 9．(24-25七下·山西吕梁交口县·期末)按题目要求解不等式或不等式组 (1)解不等式：，并把解集表示在数轴上． (2)解不等式组． 10．(24-25七下·山西阳泉盂县多校联考·期末)（1）解不等式，并把它的解集表示在数轴上：． （2）解二元一次方程组． 地 城 考点02 用一元一次不等式解决实际问题 1、 选择题 1．(24-25七下·山西长治部分学校·期末)一次智力测验，有20道选择题．评分标准为：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分．李明有2道题未答，若他的总分不低于60分，则他至少要答对______道题（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 2．(24-25七下·山西大同·期末)甲、乙两超市以相同价格出售相同的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按八五折收费．王师傅购物预计超过250元，他应该去的超市是（   ） A．甲超市 B．乙超市 C．甲、乙两超市任选 D．根据计划购买物品的金额选择超市 2、 填空题 3．(24-25七下·山西吕梁交口县·期末)端午节是中国四大传统节日之一（与春节、清明节、中秋节并列），距今已有2000多年历史，于2009年被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产名录，有赛龙舟、吃粽子等风俗活动．某商店购进蛋黄肉粽跟碱水粽共100盒，已知蛋黄肉粽每盒利润为10元，碱水粽每盒利润为20元．若购进的粽子销售完毕，所得总利润不低于1600元，则最多能购进蛋黄肉粽____________盒． 4．(24-25七下·山西大同·期末)用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入铁钉所受的阻力也越来越大．当未进入木块的钉子长度足够时，每次钉入木块的钉子长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是，若铁钉总长度为，则的取值范围是________． 3、 解答题 5．(24-25七下·山西阳泉矿区阳泉第十五中学校·期末)某垃圾处理站需要处理可回收物和有害垃圾，处理可回收物需要消耗0.2元成本，处理后能获得1.5元收益；处理有害垃圾需要消耗0.5元成本，处理后无收益（属于环保义务）．已知某日该垃圾处理站共处理了垃圾（可回收物+有害垃圾），若该日的总利润不低于170元，求该日垃圾处理站至少处理了可回收物多少千克． 6．(24-25七下·山西大同第三中学校·期末)某学校要成立无人机兴趣小组，该学校决定购买型配件和型配件共30个，其中购买1个A型配件需要支付230元，购买1个型配件需要支付100元，若学校购买两种配件的总费用不超过4180元，则最多可以购买多少个A型配件？ 7．(24-25七下·山西大同部分学校联考·期末)低碳生活是一种健康、自然的生活态度，博学小组对节约用电进行了研究． 信息收集：信息1，2025年3月份和4月份小宇家和小文家用电情况的相关数据． 小宇家：两个月共用电350度，缴纳电费158元； 小文家：两个月共用电470度，缴纳电费218元． 信息2，某地电力公司对一户一表不分时居民用电按双月执行阶梯式递增收费，即同一用户用电量的单价按档位分阶收取，收费档位共分三档：第一档为0至340度；第二档为341至520度，第三档为521度以上．（不满1度，按1度计算） 信息3，家庭用电碳排放量（单位：）用电度数． 问题解决： (1)结合上述信息，求第一档和第二档用电的价格分别是每度多少元． (2)如果小文家3月份至6月份家庭用电的碳排放量不超过，那么他家5月份和6月份用电量合计不超过多少度？ 8．(24-25七下·山西阳泉盂县多校联考·期末)某城市义务绿化小队决定在植树节当天进行义务植树活动，现决定采购“女贞”和“小叶黄杨”两种类型的树苗共1000棵，已知一棵“女贞”树苗比一棵“小叶黄杨”树苗贵4元，100元可以购买5棵“女贞“和35棵“小叶黄杨”树苗． (1)求“女贞”树苗和“小叶黄杨”树苗的单价； (2)若要求购买“女贞”树苗的数量不少于“小叶黄杨”树苗数量的，则至少购买“女贞”树苗多少棵？ (3)在（2）的条件下，若购买树苗的预算不超过3010元，则一共有几种购买方案？哪一种最省钱？ 9．(24-25七下·山西吕梁交城县·期末)现打算将一批生活物资用、两种型号的货车，分两批运往外地．具体运输情况如下（备注：第一批、第二批每辆货车均满载）： 第一批 第二批 A型货车的辆数（单位：辆） 1 2 B型货车的辆数（单位：辆） 3 5 累计运输物资的吨数（单位：吨） 28 50 (1)求、两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？ (2)后续又有62.4吨生活物资需运送同一地点，现已联系了3辆种型号货车．试问至少还需联系多少辆种型号货车才能一次性将这62.4吨生活物资运往目的地？ 地 城 考点03 求一元一次不等式组的整数解 1、 选择题 1．(24-25七下·山西长治襄垣县古韩中学·期末)不等式组的最小整数解是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25七下·山西吕梁交城县·期末)不等式组所有整数解的和为（    ） A．1 B．－1 C．0 D．2 2、 填空题 3．(24-25七下·山西临汾尧都区部分学校·期末)不等式组的最小整数解为_____________． 三、解答题 4．(24-25七下·山西阳泉盂县多校联考·期末)定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． 【概念应用】 (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______________．（填序号）． (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值． 5．(24-25七下·山西阳泉盂县多校联考·期末)根据下列计算过程，回答问题： 解不等式组并写出其中的正整数解． 解：解不等式①，得．            第一步 解不等式②，得．                第二步 不等式组的解集为．        第三步 不等式组的正整数解是和．        第四步 (1)以上过程中是从第___________步开始出错的； (2)写出这个不等式组的正确解答过程． 6．(24-25七下·山西大同·期末)（1）计算：； （2）解不等式组，并直接写出该不等式组的整数解． 7．（1）计算：． （2）解不等式组，并写出不等式组的整数解． 地 城 考点04 由一元一次不等式组的解集求参数 1、 选择题 1．(24-25七下·山西阳泉盂县多校联考·期末)已知关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25七下·山西大同·期末)已知关于x的不等式组只有2个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25七下·山西吕梁交城县·期末)如果不等式组只有一个整数解，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25七下·山西长治部分学校·期末)如果不等式组的解集是，那么的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 2、 填空题 5．(24-25七下·山西大同第三中学校·期末)若不等式组无解，则的取值范围为___________ 6．(24-25七下·山西忻州·期末)若关于的不等式组无解，则的取值范围是________． 7．(24-25七下·山西吕梁离石区·期末)阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，并完成相应的任务． “容纳”不等式（组） 若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）②为不等式（组）①的“容纳”不等式（组），其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解． 例：不等式组①中，解，得（依据1）；解，得（依据2）， ∴不等式组①的解集为，同理，解不等式组②，得． 由两个不等式组的解集，可知不等式组②为不等式组①的“容纳”不等式组． 任务： (1)填空：材料中的依据1是 ，依据2是 ． (2)不等式是下列不等式（组） 的“容纳”不等式． A．                B．                C．                D． (3)若是关于x的不等式的“容纳”不等式，求m的最大值． 1 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点02 不等式与不等式组 4大高频考点概览 考点01解一元一次不等式 考点02用一元一次不等式解决实际问题 考点03求一元一次不等式组的整数解 考点04由一元一次不等式组的解集求参数 地 城 考点01 解一元一次不等式 一、选择题 1．(24-25七下·山西临汾两校联考·期末)数轴上的点表示的数分别是，且点位于点的左侧，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上点的位置关系，解不等式． 根据数轴上点的位置关系，点M在点N左侧，即M表示的数小于N表示的数，建立不等式求解即可． 【详解】解：∵数轴上的点表示的数分别是，且点位于点的左侧， ∴． 解得：， 故选：D． 2．(24-25七下·山西大同·期末)若点在第二象限，则a的取值范围在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是象限内点的坐标特征，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先根据第二象限内点的坐标特征列出不等式组，再分别求出每一个不等式的解集，根据确定不等式组的解集的原则确定出不等式组的解集，然后用数轴表示出解集即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴ 解得：， 解得， ∴不等式组无解， 在数轴上表示为： 故选：D． 2、 填空题 3．(24-25七下·山西长治部分学校·期末)在实数范围内规定新运算“”，其规则是．已知不等式的解集在数轴上如图表示，则k的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．根据新运算法则得到不等式，通过解不等式即可求的取值范围，结合图象可以求得的值． 【详解】解：根据图示知，已知不等式的解集是． ∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 3、 解答题 4．(24-25七下·山西长治襄垣县古韩中学·期末)解决下列问题： (1)下面是课堂上某同学的解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 问题：解不等式 过程如下： 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项得，．第四步 两边都除以，得．第五步 任务一：填空： ①以上求解过程中，去分母的依据是______； ②以上求解过程中，从第______步开始处出现错误； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集：______； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议； (2)解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)任务一：①不等式的性质2∶不等式的两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；②一；任务二：；任务三：在解一元一次不等式时，不等式两边乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变（答案不唯一）； (2)；数轴见解析． 【分析】（1）任务一根据不等式的性质即可得出答案； 根据题干中的解题步骤进行判断即可； 任务二：将错误之处改正并解不等式即可； 任务三：根据解不等式需要注意的细节写出一条即可； （2）解各不等式得出对应的解集后再求得它们的公共部分，然后在数轴上表示出其解集即可． 【详解】（1）解：任务一由解题过程可得去分母的依据是不等式的性质2：不等式的两边乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变， 故答案为：不等式的性质2：不等式的两边乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变； 由解题步骤可得从第一步开始出错； 任务二：原不等式去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 两边都除以得； 任务三：在解一元一次不等式时，不等式两边乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变； （2）解不等式得， 解不等式得， 故原不等式组的解集为， 在数轴上表示其解集如下图所示： ． 5．(24-25七下·山西临汾尧都区·期末)已知关于的方程组． (1)用含的式子分别表示和； (2)若方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，已知二元一次方程组的解满足的条件求参数，涉及了加减消元法，解一元一次不等式等知识，正确把握相关知识以及解题方法是解题的关键． （1）利用加减消元法进行求解即可； （2）由题意可得关于m的不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解： 由得到：； 即：③， 将③代入①得：， 即：． （2）解：， 将，代入可得：， 解得：． 6．(24-25七下·山西临汾尧都区·期末)下面是小茗同学解不等式的过程，请认真阅读，完成相应任务． 解：去括号，得：，第一步 即，第二步 移项得：，第三步 计算得到：，第四步 系数化为1，两边同时除以，得：．第五步 任务一：（1）小茗同学的解答过程中，从第 步开始出现错误．他的错误原因是 ； （2）第五步的解题依据是 ； 任务二：（3）直接写出这个不等式的解集： ； 任务三：（4）除小茗同学的错误外，在解不等式的过程中，还需要注意什么呢？（写出一条注意事项即可） 【答案】（1）一；括号前是“－”号，去括号后第二项没有变号；（2）不等式的基本性质3；（3）；（4）移项时，不等号的方向不变 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤． 任务一：（1）观察解答过程，按照解一元一次不等式的容易出现的问题进行解答即可； （2）观察第五步的解答过程，利用不等式的性质进行解答即可； 任务二：（3）按照解一元一次不等式的一般步骤，求出不等式的解集即可； 任务三：（4）按照解一元一次不等式容易出现的问题进行解答即可． 【详解】解：任务一：（1）小茗同学的解答过程中，从第一步开始出现错误，他的错误原因是：括号前是“－”号，去括号后第二项没有变号， 故答案为：一；括号前是“－”号，去括号后第二项没有变号； （2）第五步的解题依据是：不等式的基本性质3， 故答案为：不等式的基本性质3； 任务二：（3）， ， ， ， ， ， 故答案为： 任务三：（4）移项时，不等号的方向不变（答案不唯一）． 7．(24-25七下·山西大同第三中学校·期末)（1）计算 （2）解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）；（2），见解析 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组： （1）先根据算术平方根，绝对值，立方根的性质化简，再计算，即可； （2）分别求出两个不等式的解集，即可求解． 【详解】（1）解： （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， 把解集在数轴上表示出来，如图： 8．(24-25七下·山西大同部分学校联考·期末)（1）计算：． （2）解不等式组，并将不等式组的解集表示在下面数轴上． 【答案】（1）；（2）．数轴见解析 【分析】本题考查实数的混合运算，求不等式组的解集： （1）先化简各数，再进行加减运算即可； （2）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：（1）原式． （2） 解不等式①，得． 解不等式②，得． 原不等式组的解集为． 该不等式组的解集在数轴上表示如下： 9．(24-25七下·山西吕梁交口县·期末)按题目要求解不等式或不等式组 (1)解不等式：，并把解集表示在数轴上． (2)解不等式组． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式和解一元一次不等式组的方法是解题的关键． （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 10．(24-25七下·山西阳泉盂县多校联考·期末)（1）解不等式，并把它的解集表示在数轴上：． （2）解二元一次方程组． 【答案】（1）；图见解析；（2）． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解二元一次方程组，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据解一元一次不等式的方法求解，并在数轴上表示出解集即可； （2）根据加减消元法求解即可． 【详解】解：（1）， ∴， ∴， ∴， 解得：， 数轴表示解集如图： （2）， 得：， 解得：，                     将代入①得， ∴方程组的解为． 地 城 考点02 用一元一次不等式解决实际问题 1、 选择题 1．(24-25七下·山西长治部分学校·期末)一次智力测验，有20道选择题．评分标准为：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分．李明有2道题未答，若他的总分不低于60分，则他至少要答对______道题（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，设李明答对x道题，则答错道题，根据总分不低于60分列不等式，求出不等式的最小整数解即可． 【详解】解：设李明答对x道题， 根据题意可得：， 解得， 因为x是整数，所以x所取最小值为14， 即他至少要答对14道题， 故选B． 2．(24-25七下·山西大同·期末)甲、乙两超市以相同价格出售相同的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按八五折收费．王师傅购物预计超过250元，他应该去的超市是（   ） A．甲超市 B．乙超市 C．甲、乙两超市任选 D．根据计划购买物品的金额选择超市 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，不等式的应用，比较甲、乙两超市在购物金额超过250元时的实际支付费用，确定更优惠的方案． 【详解】解：设购物金额为元（）： 甲超市费用：当时，费用为， 乙超市费用：当时，费用为， 比较两者费用差： ， 当时，即，乙超市更优惠， 由于王师傅预计购物金额超过250元（），此时乙超市费用更低，因此，选择乙超市， 故选：B． 2、 填空题 3．(24-25七下·山西吕梁交口县·期末)端午节是中国四大传统节日之一（与春节、清明节、中秋节并列），距今已有2000多年历史，于2009年被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产名录，有赛龙舟、吃粽子等风俗活动．某商店购进蛋黄肉粽跟碱水粽共100盒，已知蛋黄肉粽每盒利润为10元，碱水粽每盒利润为20元．若购进的粽子销售完毕，所得总利润不低于1600元，则最多能购进蛋黄肉粽____________盒． 【答案】40 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设购进盒蛋黄肉粽，则购进盒碱水粽，利用总利润每盒蛋黄肉粽的销售利润购进蛋黄肉粽的数量每盒碱水粽的销售利润购进碱水粽的数量，结合总利润不低于1600元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：设购进盒蛋黄肉粽，则购进盒碱水粽， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为40， 最多能购进蛋黄肉粽40盒． 故答案为：40． 4．(24-25七下·山西大同·期末)用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入铁钉所受的阻力也越来越大．当未进入木块的钉子长度足够时，每次钉入木块的钉子长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是，若铁钉总长度为，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】由题意可得出a的最大长度为2+1+0.5=3.5cm，以及敲击2次后铁钉进入木块的长度是2+1=3cm，得出最小长度，即可得出答案． 【详解】解：∵每次钉入木块的钉子长度是前一次的．已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是2cm， 根据题意得：敲击2次后铁钉进入木块的长度是2+1=3cm， 而此时还要敲击1次故长度要大于3cm， 第三次敲击进去最大长度是前一次的二分之一，也就是第二次的一半=0.5cm 所以a的最大长度为2+1+0.5=cm， 故a的取值范围是：3＜a≤． 故答案为：3＜a≤． 3、 解答题 5．(24-25七下·山西阳泉矿区阳泉第十五中学校·期末)某垃圾处理站需要处理可回收物和有害垃圾，处理可回收物需要消耗0.2元成本，处理后能获得1.5元收益；处理有害垃圾需要消耗0.5元成本，处理后无收益（属于环保义务）．已知某日该垃圾处理站共处理了垃圾（可回收物+有害垃圾），若该日的总利润不低于170元，求该日垃圾处理站至少处理了可回收物多少千克． 【答案】该日垃圾处理站至少处理了可回收物千克． 【分析】此题考查了一元一次不等式的应用，正确找到不等关系列出不等式是关键．设该日垃圾处理站至少处理了可回收物千克，则处理了有害垃圾千克，该日的总利润不低于170元，据此列出不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：设该日垃圾处理站至少处理了可回收物千克，则处理了有害垃圾千克， 根据题意得到，， 解得， 答；该日垃圾处理站至少处理了可回收物千克． 6．(24-25七下·山西大同第三中学校·期末)某学校要成立无人机兴趣小组，该学校决定购买型配件和型配件共30个，其中购买1个A型配件需要支付230元，购买1个型配件需要支付100元，若学校购买两种配件的总费用不超过4180元，则最多可以购买多少个A型配件？ 【答案】9个A型配件 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．设最多购买个A型配件，则购买个B型配件，根据“总费用不超过4180元”，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出答案． 【详解】解：设购买个A型配件，则购买个B型配件， 根据题意得：， 解得：， ∵m为正整数， 故最多购买9个A型配件． 7．(24-25七下·山西大同部分学校联考·期末)低碳生活是一种健康、自然的生活态度，博学小组对节约用电进行了研究． 信息收集：信息1，2025年3月份和4月份小宇家和小文家用电情况的相关数据． 小宇家：两个月共用电350度，缴纳电费158元； 小文家：两个月共用电470度，缴纳电费218元． 信息2，某地电力公司对一户一表不分时居民用电按双月执行阶梯式递增收费，即同一用户用电量的单价按档位分阶收取，收费档位共分三档：第一档为0至340度；第二档为341至520度，第三档为521度以上．（不满1度，按1度计算） 信息3，家庭用电碳排放量（单位：）用电度数． 问题解决： (1)结合上述信息，求第一档和第二档用电的价格分别是每度多少元． (2)如果小文家3月份至6月份家庭用电的碳排放量不超过，那么他家5月份和6月份用电量合计不超过多少度？ 【答案】(1)第一档用电的价格是每度元，第二档用电的价格是每度元 (2)度 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组或不等式是解题的关键； （1）设第一档用电的价格是每度元，第二档用电的价格是每度元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设小文家5月份和6月份用电量合计为度，根据题意列出不等式，进而求得最小整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设第一档用电的价格是每度元，第二档用电的价格是每度元． 根据题意，列方程组 解得 答：第一档用电的价格是每度元，第二档用电的价格是每度元． （2）设小文家5月份和6月份用电量合计为度． 根据题意，得． 解得． 答：小文家5月份和6月份用电量合计不超过380度． 8．(24-25七下·山西阳泉盂县多校联考·期末)某城市义务绿化小队决定在植树节当天进行义务植树活动，现决定采购“女贞”和“小叶黄杨”两种类型的树苗共1000棵，已知一棵“女贞”树苗比一棵“小叶黄杨”树苗贵4元，100元可以购买5棵“女贞“和35棵“小叶黄杨”树苗． (1)求“女贞”树苗和“小叶黄杨”树苗的单价； (2)若要求购买“女贞”树苗的数量不少于“小叶黄杨”树苗数量的，则至少购买“女贞”树苗多少棵？ (3)在（2）的条件下，若购买树苗的预算不超过3010元，则一共有几种购买方案？哪一种最省钱？ 【答案】(1)女贞树苗的单价为6元，小叶黄杨树苗的单价为2元 (2)250棵 (3)一共有三种购买方案，最省钱的方案是购买女贞树苗250棵，购买“小叶黄杨”树苗750棵 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，审清题意、正确列出二元一次方程组和不等式是解题的关键． （1）设“女贞”树苗的单价为元，“小叶黄杨”树苗的单价为元，然后根据题意二元一次方程组求解即可； （2）设购买“女贞”树苗棵，则购买“小叶黄杨”树苗棵．然后根据题意列不等式求解即可； （3）由题意列不等式可得，再结合（2）的结论可得，即的取值可以是250、251、252，据此确定方案即可． 【详解】（1）解：设“女贞”树苗的单价为元，“小叶黄杨”树苗的单价为元， 根据题意，得，解得： 答：“女贞”树苗的单价为6元，“小叶黄杨”树苗的单价为2元． （2）解：设购买“女贞”树苗棵，则购买“小叶黄杨”树苗棵． 由题意可得：，解得． 答：至少购买“女贞”树苗250棵． （3）解：由题意：可列不等式，解得：． 由（2）可知， ． 为整数， 的取值可以是250，251，252， 有三种购买方案， 方案一：购买“女贞”树苗250棵，“小叶黄杨”树苗750棵，费用为（元）； 方案二：购买“女贞”树苗251棵，“小叶黄杨”树苗749棵，费用为（元）； 方案三：购买“女贞”树苗252棵，“小叶黄杨”树苗748棵，费用为（元）． ， 方案一最省钱． 答：一共有三种购买方案，最省钱的方案是购买“女贞”树苗250棵，购买“小叶黄杨”树苗750棵． 9．(24-25七下·山西吕梁交城县·期末)现打算将一批生活物资用、两种型号的货车，分两批运往外地．具体运输情况如下（备注：第一批、第二批每辆货车均满载）： 第一批 第二批 A型货车的辆数（单位：辆） 1 2 B型货车的辆数（单位：辆） 3 5 累计运输物资的吨数（单位：吨） 28 50 (1)求、两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？ (2)后续又有62.4吨生活物资需运送同一地点，现已联系了3辆种型号货车．试问至少还需联系多少辆种型号货车才能一次性将这62.4吨生活物资运往目的地？ 【答案】(1)、两种型号货车每辆满载分别能运吨、吨生活物资 (2)至少还需联系辆型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地 【分析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，一元一次不等式的运用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系． （1）设、两种型号货车每辆满载分别能运，吨生活物资，根据条件建立方程组求出其解即可； （2）设还需联系辆型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，根据题中的不等关系列出不等式解答即可． 【详解】（1）解：设、两种型号货车每辆满载分别能运，吨生活物资， 由题意得：， 解得：， ∴、两种型号货车每辆满载分别能运吨、吨生活物资． （2）设还需联系辆型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地， 依题意得， 解得：， ∵为整数， ∴最小取， ∴至少还需联系辆型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地． 地 城 考点03 求一元一次不等式组的整数解 1、 选择题 1．(24-25七下·山西长治襄垣县古韩中学·期末)不等式组的最小整数解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照解一元一次不等式组的一般步骤，求出各个不等式的解集，然后按照判断不等式组解集的口诀求出不等式组的解集，从而求出其最小整数解即可． 【详解】解：， 由得，解得， 由得，解得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的最小整数解为． 2．(24-25七下·山西吕梁交城县·期末)不等式组所有整数解的和为（    ） A．1 B．－1 C．0 D．2 【答案】C 【分析】先求出不等式组的解集，再找出其中的整数相加即可． 【详解】解：， 解①得x≥-1， 解②得x<2， ∴-1≤x<2， ∴整数解有：-1，0，1， ∴-1+0+1=0， 故选：C． 2、 填空题 3．(24-25七下·山西临汾尧都区部分学校·期末)不等式组的最小整数解为_____________． 【答案】2 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和求不等式组的整数解．分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，然后求出最小整数解即可． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 所以不等式组的解集为， 所以不等式组的最小整数解为2， 故答案为：2． 三、解答题 4．(24-25七下·山西阳泉盂县多校联考·期末)定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． 【概念应用】 (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______________．（填序号）． (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值． 【答案】(1)③ (2) 【分析】（1）解各不等式得出对应的解集后求得它们的公共部分，解各方程求得对应的解，然后根据定义进行判断即可； （2）解各不等式得出对应的解集后求得它们的公共部分，然后求得其整数解，将其代入中解得m的值即可． 【详解】（1）解：， 解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， ∴原不等式组的解集为， ①， 解得：， ∵，故①不符合题意； ②， 解得：， ∵，故②不符合题意； ③， 解得：， ∵，故③符合题意； 综上所述，不等式组的关联方程是③， 故答案为：③； （2） 解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， ∴原不等式组的解集为， ∴其整数解为， ∵不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是， ∴， 解得：， ∴常数的值为． 5．(24-25七下·山西阳泉盂县多校联考·期末)根据下列计算过程，回答问题： 解不等式组并写出其中的正整数解． 解：解不等式①，得．            第一步 解不等式②，得．                第二步 不等式组的解集为．        第三步 不等式组的正整数解是和．        第四步 (1)以上过程中是从第___________步开始出错的； (2)写出这个不等式组的正确解答过程． 【答案】(1)一 (2)见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）根据不等式的性质即可判断； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并写出正整数解即可． 【详解】（1）解：从第一步开始出错的， ， ， ， 而题目解得是，故从第一步开始出错的， 故答案为：一； （2）解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， 不等式组的正整数解是和． 6．(24-25七下·山西大同·期末)（1）计算：； （2）解不等式组，并直接写出该不等式组的整数解． 【答案】（1）；（2），整数解为：，0，1，2，3 【分析】本题考查实数的运算，解一元一次不等式组． （1）先计算绝对值，算术平方根、立方根，再进行加减运算； （2）分别求出两个不等式的解集，再求出公共解集，最后写出整数解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 解不等式，得：， 解不等式，得：， 该不等式组的解集为：， 整数解为：，0，1，2，3． 7．（1）计算：． （2）解不等式组，并写出不等式组的整数解． 【答案】（1）；（2），该不等式组的所有整数解为3，4 【分析】此题考查了实数的混合运算，求一元一次不等式组的解集及整数解，正确掌握运算法则及运算顺序是解题的关键． （1）先同时计算立方根，绝对值，算术平方根及去括号，再计算加减法； （2）先解不等式组中的每个不等式，再确定不等式组的解集，进一步即可求得这个不等式组的所有整数解． 【详解】解：（1）； （2）， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 该不等式组的解集为， 则该不等式组的所有整数解为3，4． 地 城 考点04 由一元一次不等式组的解集求参数 1、 选择题 1．(24-25七下·山西阳泉盂县多校联考·期末)已知关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式组的整数解问题，根据不等式组的整数解的个数得出关于的不等式组是解题的关键．解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出，解之可得． 【详解】解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组有4个整数解，则整数解为， ， 解得：． 故选：A． 2．(24-25七下·山西大同·期末)已知关于x的不等式组只有2个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据一元一次不等式组解集情况求参，求出不等式组解集是解题的关键． 先求出不等式组的解集为，再根据不等式组只有2个整数解，则整数解为3， 4，从而得出关于a的不等式组，解之即可． 【详解】解：解不等式组： 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为 ∵不等式组只有2个整数解， ∴整数解为3， 4， ∴， 解得：， 故选：D． 3．(24-25七下·山西吕梁交城县·期末)如果不等式组只有一个整数解，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，首先解不等式组，求得不等式组的解集，然后根据不等式组只有一个整数解即可确定a的值． 【详解】解：， 解不等式①：， 解不等式②得：． 则不等式组的解集是：． ∵不等式组只有一个整数解，则． 故选：A． 4．(24-25七下·山西长治部分学校·期末)如果不等式组的解集是，那么的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】求得不等式组的解集为，比较解集，利用等量代换思想建立等式求得a，b，计算即可． 【详解】∵， 解①得x≥4-2a，解②得, ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的解集是， ∴4-2a=0，， 解得a=2，b=-1， ∴a+b=2-1=1， 故选C． 2、 填空题 5．(24-25七下·山西大同第三中学校·期末)若不等式组无解，则的取值范围为___________ 【答案】 【分析】先求得不等式组的每个不等式的解集，根据不等式组无解，建立起新的不等式，解之即可． 本题考查了一元一次不等式组的解法，能根据不等式组无解建立新不等式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴解①得，，解②得，， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 故答案为：． 6．(24-25七下·山西忻州·期末)若关于的不等式组无解，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组及其解集，先解的两个不等式，再根据求不等式组的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”得出关于a的不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于的不等式组无解， ∴， 故答案为：． 7．(24-25七下·山西吕梁离石区·期末)阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，并完成相应的任务． “容纳”不等式（组） 若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）②为不等式（组）①的“容纳”不等式（组），其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解． 例：不等式组①中，解，得（依据1）；解，得（依据2）， ∴不等式组①的解集为，同理，解不等式组②，得． 由两个不等式组的解集，可知不等式组②为不等式组①的“容纳”不等式组． 任务： (1)填空：材料中的依据1是 ，依据2是 ． (2)不等式是下列不等式（组） 的“容纳”不等式． A．                B．                C．                D． (3)若是关于x的不等式的“容纳”不等式，求m的最大值． 【答案】(1)不等式性质1；不等式性质2； (2)C (3)m的最大值为1． 【分析】本题考查不等式参数解问题及解不等式，解题的关键是注意参数不等式的分类讨论． （1）分别解出不等式比较即可得到答案； （2）解出不等式列不等式即可得到答案； （3）解出不等式根据是关于x的不等式的“容纳”不等式，列式得到，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：解，得，依据是不等式性质1； 故答案为：不等式性质1； 解，得．依据是不等式性质2； 故答案为：不等式性质2； （2）解： 不等式的解集为：， A不符合题意； 不等式的解集为：， ∴B不符合题意； 不等式的解集为：， ∴C符合题意； 不等式组的解集为：， ∴D不符合题意； 故选：C； （3）解：解不等式得， ∵是关于x的不等式的“容纳”不等式， ∴， 解得， ∴m的最大值为1． 1 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $