2026年中考数学题型专练04：解答题专项（全国通用）

**基本信息** 聚焦中考解答题七大类核心题型，以考情分析为引领，构建"基础-中档-压轴"三级突破体系，强化数学建模、逻辑推理与数据分析素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |反比例函数与几何综合|5题|数形结合求交点、面积关系|函数图象性质与几何图形性质融合| |统计与概率|5题|图表分析、统计量计算、概率求解|数据收集-整理-分析的完整流程| |分式方程的应用|5题|建模列方程、验根取舍|实际问题数量关系转化为分式方程| |二元一次方程组应用|5题|关键量设元、等量关系列方程组|实际问题中的双变量关系建模| |解直角三角形应用|5题|构造直角三角形、三角函数求值|直角三角形边角关系的实际迁移| |二次函数应用|5题|建立坐标系、求解析式、解决最值|实际问题的二次函数模型构建| |几何综合压轴|5题|图形变换、模型应用、分类讨论|几何图形性质与动态问题探究|

中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 中考数学题型专练04 解答题 中考全国考情分析 A B C LOREM LOREM LOREM 1、 考察方向与分值占比： 解答题是中考数学主体题型，题量多、分值占比最大，难度梯度清晰，涵盖基础、中档、压轴三类。题型包含几何证明、统计概率应用、函数综合、实际应用题、几何探究等，层层递进。基础解答题侧重公式套用、简单推理与列式计算，以送分为主；中档题融合多个知识点，考查知识综合运用；压轴解答题常结合动点、图形变换、几何模型、存在性问题，区分度较高。阅卷按步骤给分，书写格式、推理过程、逻辑完整性直接影响得分。命题全面考查数形结合、分类讨论、建模思想，注重理论联系实际。备考需规范解题步骤，熟练各类题型解题思路，强化综合分析与探究能力，做到基础题不失分、中档题稳拿分、压轴题分步抢分。 2、核心考查内容： 中考解答题考点覆盖全知识模块，按题型划分各有侧重。实际应用题常考方程、不等式、函数、统计类实际问题，考查数学建模与列式求解能力。统计与概率侧重图表分析、统计量计算、概率求解，要求解读数据、规范作答。几何证明与计算围绕三角形、四边形、圆展开，结合全等、相似、勾股定理、三角函数，考查逻辑推理与几何运算。函数综合题以一次函数、反比例函数、二次函数为主，融合图象性质、交点、面积、最值问题，侧重数形结合。几何探究压轴题多结合平移、旋转、折叠及各类几何模型，搭配动点、存在性、分类讨论，综合考查知识迁移与探究思维。题型均按步骤计分，对推理过程、格式规范要求严格。 题型专练 A B C LOREM LOREM LOREM 【题型一】反比例函数与几何综合 1．（2026·湖北鄂州·模拟预测）如图，反比例函数（）的图象与正比例函数（）的图象交于点，点B是线段上异于端点的一点，过点B作y轴的垂线，交反比例函数的图象于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)若，求点D的坐标； (3)反比例函数（）的图象关于y轴对称的图象为，直接写出射线绕点O逆时针旋转后与的交点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求得点坐标，再利用待定系数法即可解答； （2）设，再表示出点坐标，根据，列方程即可解答； （3）可得，证明，即可解答． 【详解】（1）解：（）的图象经过点， ， 的图象经过点， ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：设， ， 可得， ， 则， 解得，（舍去）， 经检验，是原方程的解， ； （3）解：如图，设射线绕点O逆时针旋转后与的交点为，过点作轴于点，过点作轴于点， 反比例函数（）的图象关于y轴对称的图象为（）， ， ， 绕点O逆时针旋转， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得（负值舍去）， ， 即射线绕点O逆时针旋转后与的交点坐标为． 2．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，一次函数（为常数）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于，两点，且点的坐标为．  (1)分别求出反比例函数及一次函数的表达式； (2)求点的坐标； (3)直接写出时的取值范围． 【答案】(1)； (2)点的坐标为 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）联立，计算即可得出结果； （3） 函数图象即可得出结果． 【详解】（1）解：∵两函数图象相交于点，  代入得： ，，  解得，，  反比例函数的表达式为， 一次函数的表达式为； （2）解：联立，  解得：或，  ∵，  点的坐标为； （3）解：由函数图象可得：时的取值范围或． 3．（2026·河南安阳·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式． (2)已知点在第一象限，过点作平行于轴的直线交直线于点，过点作平行于轴的直线交反比例函数的图象于点． ①当时，线段与有何数量关系，通过计算说明理由． ②若，结合函数图象，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①解：，理由如下： 当时，则， 由过点作平行于轴的直线交直线于点，过点作平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，可知：把代入一次函数得：，把代入反比例函数解析式得， ∴， ∴根据两点间距离公式可得：， ∴； ②或 【分析】（1）根据一次函数得出点，然后利用待定系数法求解即可； （2）①由题意易得，然后可得，进而根据两点间距离公式可进行求解； ②根据函数图象可知当或时，有，然后根据函数图象可进行求解． 【详解】（1）解：把点代入一次函数得：， ∴， 把代入反比例函数得：， ∴反比例函数解析式为； （2）解：①略； ②由图象可知：当或时，有，由此可得函数图象如下： ∴根据函数图象可知：当或时，则． 4．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)当反比例函数大于一次函数时，直接写出自变量x的取值范围； (3)若点C为线段上一点，且，连接，求． 【答案】(1)一次函数的解析式为：，反比例函数的解析式为 (2)自变量x的取值范围为或 (3) 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）根据函数图象即可求解； （3）先求出点，再由求解，再根据共高三角形面积比等于底之比求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 则反比例函数的解析式为：， 将点B的坐标代入上式得：， 即点， 将点，代入 则， 解得 ∴一次函数的解析式为：； （2）解：一次函数与反比例函数的图象相交于、， 反比例函数大于一次函数时，自变量x的取值范围为或； （3）解：连接， 对于，当时，则， 解得 ∴点， ∴， ， ∴ 则． 5．（2026·江苏盐城·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点、点，与轴相交于点． (1)求直线与双曲线的表达式； (2)点为双曲线的任一点，若，求点坐标； (3)若点，则当时，的取值范围是_________． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）将点代入直线得，，解得，，故直线表达式为，将点代入双曲线得，，解得，，故双曲线的表达式为； （2）由（1）得，当时，，故点C的坐标为，又，故，从而，设点的坐标为，则，解得，，故点的坐标为或； （3）因为当时，的图像在的图像下方，所以当时，或． 【详解】（1）解：将点代入直线得，， 解得，， 直线表达式为， 将点代入双曲线得，， 解得，， 双曲线的表达式为； （2）解：由（1）得，当时，， 点C的坐标为， 又， ， ， 点为双曲线的任一点， 设点的坐标为，则， 化简得，，则， 解得，， 点的坐标为或； （3）解：点和点，当时，的图像在的图像下方， 当时，或． 【题型二】统计与概率 6．（2026·陕西西安·模拟预测）青少年不仅要学习好，还要关注时事热点，关心国家的现状和未来．某校为了解九年级学生对时事热点的掌握程度，特举办了一场“中国事，我知道”的调研．随机抽取60名九年级学生，将其分为3组，每组20人，把学生掌握情况分为5类：其中“完全不理解”记为0分，“了解”记为1分，“理解”记为2分，“掌握”记为3分，“应用”记为4分，现把3个小组的得分进行统计分析，过程如下： 【数据整理】 【数据分析】 平均数 众数 中位数 第1小组 4 3 第2小组 1.65 1 第3小组 2.25 2 (1)请补全第1小组得分条形统计图． (2)根据上述图表填空：______，______，______． (3)若该校九年级有1200名学生参加此次调研，请估算九年级学生掌握情况是“应用”的人数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用“部分人数总人数其他部分的人数”求出“3分”的人数，补全条形统计图； （2）根据平均数、中位数与众数的定义求出平均数； （3）根据“部分人数总人数该部分在样本中的占比”求出答案． 【详解】（1）解：，条形统计图如下： ． （2）解：， 众数就是最多的数，第2小组的众数是0分， ∴， 中位数是数列从小到大排列最中间的数，20个人最中间的两个数是第10个人和第11个人的平均数，0分1人，1分3人，2分8人， ∴第10个人和第11人均为2分， ∴； （3）解：由扇形统计图知：第二组“4分”的人数：（人）， 由统计图知，样本中得“4分”的人数：（人）， （人）． 九年级学生掌握情况是“应用”的人数为280人． 7．（2026·山东济南·二模）人工智能是把“金钥匙”，不仅影响未来的教育，也影响教育的未来．为培养学生创新思维，提升科学素养，某学校举行人工智能知识竞赛，并对测试成绩（单位：分）进行了统计分析： (1)【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本．下列抽取学生竞赛成绩的方法最合适的是：_____．（请填写序号） ①随机抽取该校一个班级学生的竞赛成绩； ②随机抽取该校一个年级学生的竞赛成绩； ③随机抽取该校一部分女生的竞赛成绩； ④分别从该校各年级的每个班中随机抽取学生的竞赛成绩． 【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成，，，四组进行整理如表： 组别 成绩（分） 【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如图两幅不完整的统计图． (2)【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： ①抽取学生竞赛成绩的样本容量为_____；请补全频数分布直方图； ②抽取的样本数据中位数所在组别是_____组； (3)扇形统计图中，组对应的圆心角的度数是_____度； (4)若竞赛成绩分以上（含分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数． 【答案】(1)④； (2)①总样本容量为，补全频数分布直方图见解析；②； (3)； (4)估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数是人． 【分析】本题考查了频数分布直方图和扇形统计图，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键． （1）根据样本具代表性，避免偏差，即可得出答案； （2）根据频数分布直方图可知样本容量，完成统计图即可；因为样本容量为，那么中位数为第，人成绩的平均数，由于组人数人，组人数人，中位数就在组； （3）用组对应的圆心角的度数是； （4）根据样本估计总体可知，用乘分以上（含分）的人数占比，即可求解． 【详解】（1）分别从该校各年级的每个班中随机抽取学生的竞赛成绩，覆盖全校不同层次，避免因单一班级或年级的特殊性导致偏差，其他选项均存在局限性（如仅抽取一个班级、年级或性别）； 故答案为：④； （2）①总样本容量为， 因此组的人数， 补全频数分布直方图如下： ， 故答案为：； ②样本容量，那么中位数为第，人成绩的平均数，由于组人数人，组人数人， 抽取的样本数据中位数所在组别是组； 故答案为：； （3）扇形统计图中，组对应的圆心角的度数是； 故答案为：； （4）（人）， 答：估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数是人． 8．（2026·广西南宁·二模）某校为了解学生一分钟跳绳成绩，随机抽取部分学生进行测试，将成绩按从高到低依次划分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，并绘制成尚不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）： 根据以上信息，回答下列问题： (1)补全条形统计图； (2)图2中圆心角_________；本次测试成绩的中位数所在的等级为_________（填写“优秀”、“良好”、“合格”或“不合格”）； (3)若该校九年级共有500名学生，根据测试结果估计该校九年级跳绳成绩达到合格及以上的学生人数． 【答案】(1)见解析 (2)72，良好 (3)460名 【分析】（1）用优秀等级的人数乘以其人数占比可求出参与调查的人数，再求出良好等级的人数，接着补全统计图即可； （2）用360度乘以合格等级的人数占比即可得到第一空的答案，根据中位数的定义可得第二空的答案； （3）用500乘以样本中该校九年级跳绳成绩达到合格及以上的学生人数占比即可得到答案． 【详解】（1）解：（名）， ∴本次一共抽取了50名学生， ∴成绩为良好的学生人数为（名）， 补全统计图如下： （2）解：由（1）得； 把这50名学生的成绩按照从低到高的顺序排列，中位数为第25个数据和第26个数据的平均数， ∵， ∴第25个数据和第26个数据都落在良好等级中， ∴中位数落在良好等级中； （3）解：（名）， 答：估计该校九年级跳绳成绩达到合格及以上的学生人数为460名． 9．（2026·陕西西安·模拟预测）为了提高学生的防溺水意识，我校举行了“珍爱生命，远离溺水”安全知识竞赛，并对收集到的数据进行了整理、描述和分析．现随机抽取部分学生的竞赛成绩（满分分，所有成绩均不低于分）组成一个样本，将学生竞赛成绩的样本数据分成四组进行整理，如下表． 组别 成绩分 人数 【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图． 其中组具体成绩的样本数据分别为 ． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题． (1)填空：______，______，补全条形统计图． (2)本次所抽取学生的竞赛成绩的中位数是______分． (3)若竞赛成绩分以上（含分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数． 【答案】(1)，，补图见解析 (2) (3)名 【分析】（）用组人数除以其百分比求出抽取的学生人数，即可求出的值，再补全条形统计图即可； （）根据中位数的定义解答即可求解； （）用乘以优秀的人数占比即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴共抽取了名学生， ∴组人数， ∴组人数， ∴补全条形统计图如下： 故答案为：，； （2）解：∵共抽取了名学生的竞赛成绩， ∴成绩由低到高排列，中位数为第和个数据的平均数， ∵组人，组人，组人， ∴第、个数据分别是和， ∴中位数是； （3）解：（名）， 答：估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数为名． 10．（2026·广西柳州·二模）为增强学生安全意识，某校举行了一次全校2000名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（D：；C：；B：；A：），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 安全知识竞赛成绩频数分布直方图安全知识竞赛成绩扇形统计图 请根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：__________，__________； (2)请补全频数分布直方图； (3)扇形统计图中D等级所在扇形的圆心角度数为_________度； (4)若把A等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的2000名学生中达到“优秀”等级的学生人数． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) (4)320人 【分析】（1）用B：的频数除以占比，求得的值，进而用C：的人数除以总人数求得的值； （2）根据总人数求得D等级的人数，进而补全统计图； （3）根据D等级的占比乘以，即可求解． （4）用样本估计总体，用乘以等级的占比，即可求解． 【详解】（1）解： ． ∵， ∴． （2）解：等级学生有（人）， 补全频数分布直方图如下： 安全知识竞赛成绩频数分布直方图 （3）解：扇形统计图中等级所在扇形的圆心角度数为． （4）解：（人）． 答：估计该校参加竞赛的2000名学生中达到“优秀”等级的学生人数有320人． 【题型三】分式方程的应用 11．（2026·山东济南·二模）【问题背景】 央视马年春晚播出后，晚会中的机器人备受大家喜爱．为满足儿童对机器人玩具的需求，某玩具店决定购进A，B两种机器人玩具． 素材一：已知一个B种机器人玩具比一个A种机器人玩具价格贵10元． 素材二：玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍． 【问题解决】 (1)求购进A，B两种机器人玩具的单价； (2)因销售良好，该玩具店决定再次购进A，B两种机器人玩具共40个，且A种机器人玩具的数量不超过B种机器人玩具数量的3倍，那么购进A种机器人玩具和B种机器人玩具各多少个时花费最少？最少花费为多少元？ 【答案】(1)购买一个A种机器人玩具价格为50元，一个B种机器人玩具价格为60元 (2)购进A种30个、B种10个花费最少，最少花费2100元 【分析】（1）根据 “数量总价单价”列出代数式，再根据“玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍”列出等量关系式解出答案； （2）将其中一种机器人的数量设出来，另一个由“两种机器人玩具共40个”列出代数式，再根据题意列出不等式求出设的值的取值范围，再列出一次函数，根据一次函数的增减性求出答案． 【详解】（1）解：设购买一个A种机器人玩具价格为x元，则购买一个B种机器人玩具价格为元， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元）， 答：购买一个A种机器人玩具价格为50元，一个B种机器人玩具价格为60元 （2）解:设购进A种个，则B种个， 由题意： ， 解得， 且， ， ∴，m为整数， 设总花费为w元： ， ，w随m增大而减小， 取最大值30时，花费最少，， 此时：A种30个，B种（个）， 最少花费： 元； 答：购进A种30个、B种10个花费最少，最少花费2100元． 12．（2026·山东青岛·二模）某商店销售A，B两种款式的水杯．已知每只A款水杯比每只B款水杯贵12元，今年三月份A款水杯的销售额为3840元，B款水杯的销售额为2000元，且A款水杯的销量是B款水杯的1.2倍． (1)求A，B两款水杯的售价分别是多少元？ (2)四月份，商店对A款水杯进行涨价销售，但A，B款水杯的销量均与三月份相同．已知每只A款水杯的进价是16元，每只B款水杯的进价8元．若A款水杯每只涨价元，商店规定A款水杯的售价不超过40元，则销售完两款水杯的总利润的最大值为多少元． 【答案】(1)A款水杯售价为32元，B款水杯售价为20元． (2)总利润p的最大值为4080元． 【分析】（1）设B款水杯售价为未知数，根据“A款水杯销量是B款水杯的1.2倍”的等量关系列分式方程求解，检验后得到结果； （2）先根据第一问结果求出两款水杯的销量，再根据利润公式得到总利润与涨价的一次函数关系，结合A款售价的限制得到的取值范围，根据一次函数的增减性求出最大利润． 【详解】（1）解：设每只B款水杯的售价为元，则每只A款水杯的售价为元． 根据题意得： 交叉相乘得 整理得 解得 经检验是原分式方程的解，且符合题意． 则． 答：A款水杯售价为32元，B款水杯售价为20元． （2）解：由（1）可知，三月份B款水杯销量为（只），A款水杯销量为（只）． 根据题意，A款水杯每只涨价元后，售价为， 由售价不超过40元得：， 即． ∴ 总利润 整理得 ， 随的增大而增大． 当时，取得最大值，最大值为（元）． 答：销售完两款水杯的总利润的最大值为4080元． 13．（2026·广东清远·二模）第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届全运会吉祥物A型号“喜洋洋”和B型号“乐融融”纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价少28元，用240元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍，求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ 【答案】A型号纪念品的单价为元，B型号纪念品的单价为元 【分析】设A型号纪念品的单价为元，表示出B型号的单价后，根据题意列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：设A型号纪念品的单价为元，则B型号纪念品的单价为元， 根据题意，可列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴（元）． 答：A型号纪念品的单价为元，B型号纪念品的单价为元． 14．（2026·河南安阳·二模）中国文字博物馆是我国首座以文字为主题的博物馆．小明跟团参观中国文字博物馆时，在文创商店购买青铜小摆件和甲骨文书签，已知每个青铜小摆件比每个甲骨文书签贵5元，若分别用200元购买青铜小摆件，用160元购买甲骨文书签，得到的青铜小摆件与甲骨文书签的数量相同． (1)求青铜小摆件与甲骨文书签的单价． (2)若该旅行团游客团购青铜小摆件和甲骨文书签共30个（其中青铜小摆件不超过15个），可以享受团购优惠价，优惠方案如下： 方案一：青铜小摆件打八折，甲骨文书签半价； 方案二：购买一个青铜小摆件送一个甲骨文书签． 请根据以上方案，说明选择哪种方案购买文创产品更合算． 【答案】(1)青铜小摆件单价为25元，甲骨文书签单价为20元 (2)当购买青铜小摆件数量少于12个时，选择方案一更合算；当购买青铜小摆件数量为12个时，两种方案一样合算；当购买青铜小摆件数量多于12个且不超过15个时，选择方案二更合算 【分析】（1）设青铜小摆件的单价为元，则甲骨文书签单价为元，由题意得到分式方程，然后进行求解即可； （2）设购买青铜小摆件个，则购买甲骨文书签个，其中，根据题意分别得出方案一和方案二的价格，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设青铜小摆件的单价为元，则甲骨文书签单价为元， 由题意得， 解得， 经检验是方程的解， ∴； 答：青铜小摆件单价为25元，甲骨文书签单价为20元． （2）解：设购买青铜小摆件个，则购买甲骨文书签个，其中， 由题意得： 方案一所需金额元； 方案二所需金额元； ∴当方案一和方案二相等时，则有， 解得， 答：当购买青铜小摆件数量少于12个时，选择方案一更合算；当购买青铜小摆件数量为12个时，两种方案一样合算；当购买青铜小摆件数量多于12个且不超过15个时，选择方案二更合算． 15．（2026·广西梧州·二模）某校的研学活动计划租用大容量巴士和舒适型客车两种新能源车辆，两种车型共需18辆，用于接送全校900名师生及若干后勤设备． (1)已知每辆大容量巴士的载客量比每辆舒适型客车多15人；在每辆车均恰好满载的情况下，用大容量巴士运送900名师生，比用舒适型客车运送同样数量的师生少用5辆车．求每辆大容量巴士与每辆舒适型客车的载客量分别为多少人？ (2)已知：大容量巴士的单日租金为3000元/辆；舒适型客车的单日租金为2000元/辆．本次研学活动所租用的大容量巴士的数量不少于舒适型客车数量的2倍．请计算租车的单日最低总费用． 【答案】(1)每辆大容量巴士的载客量为60人，每辆舒适型客车的载客量为45人 (2)最低费用为48000元 【分析】（1）可设每辆舒适型客车载客量为人，每辆大容量巴士载客量为人，根据等量关系：租用大容量巴士运送900名师生，比用舒适型客车运送同样数量的师生少用5辆车，列出方程组求解即可； （2）设租设舒适型客车辆，则大容量巴士为，单日总租赁费用为元，根据题意列出不等式，求出的取值范围，进而列出关于的函数关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每辆舒适型客车载客量为人，每辆大容量巴士载客量为人， 依题意得： 解得：，（不合题意，舍去） 经检验，是原方程的解且符合题意， 则每辆大容量巴士载客量为： 答：每辆大容量巴士的载客量为60人，每辆舒适型客车的载客量为45人 （2）解：设舒适型客车辆，则大容量巴士为，单日总租赁费用为元，则： 解得： 又有： 随的增大而减小， 当时， （元） 答：当租用舒适型客车6辆，大容量巴士12辆时，租车单日费用最低，最低费用为48000元 【题型四】实际问题与二元一次方程组 16．（2026·山东聊城·模拟预测）有A、B两种型号呼吸机，若购买台A种型号呼吸机和台B种型号呼吸机共需万元．若购买台A种型号呼吸机和台B种型号呼吸机共需万元． (1)求A、B两种型号呼吸机每台分别多少万元？ (2)采购员想采购A、B两种型号呼吸机共台，预计总费用低于万元，请问A种型号呼吸机最多购买几台？ 【答案】(1)A种型号呼吸机每台1.6万元，B种型号呼吸机每台1.2万元 (2)A种型号呼吸机最多购买9台 【分析】（1）设A种型号呼吸机每台x万元，B种型号呼吸机每台y万元，根据“若购买台A种型号呼吸机和台B种型号呼吸机共需万元．若购买台A种型号呼吸机和台B种型号呼吸机共需万元”列方程组求解即可； （2）设购进A种型号呼吸机m台，则购进B种型号呼吸机台，根据题意列不等式求出的取值范围，即可得到最多购买的台数． 【详解】（1）解：设A种型号呼吸机每台x万元，B种型号呼吸机每台y万元， 依题意得：， 解得：． 答：A种型号呼吸机每台1.6万元，B种型号呼吸机每台1.2万元； （2）解：设购进A种型号呼吸机m台，则购进B种型号呼吸机台， 依题意得： ， 解得：． ∵m为整数， ∴m最大为9． ∴A种型号呼吸机最多购买9台． 17．（2026·湖北鄂州·模拟预测）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某超市销售我市东港社区出产的甲、乙两种梨子．已知2箱甲种梨子和3箱乙种梨子的售价之和为440元；4箱甲种梨子和5箱乙种梨子的售价之和为800元． (1)求甲、乙两种梨子每箱的售价； (2)某单位计划从该超市购买甲、乙两种梨子共12箱，且乙种梨子的箱数不超过甲种梨子的箱数．求该单位最少需花费多少元； (3)该单位计划再从超市购买甲、乙两种梨子共12箱，发现该超市正在进行优惠活动：甲种梨子打八五折，乙种梨子打九折．（注：“打八五折”批按标价的85%出售．）若该单位两种梨子都要购买，且购买总花费不超过910元，求该单位的所有购买方案． 【答案】(1)甲种梨子每箱售价100元，乙种梨子每箱售价80元； (2)最少需花费1080元； (3)所有购买方案为：①购买甲1箱，乙11箱；②购买甲2箱，乙10箱；③购买甲3箱，乙9箱． 【分析】（1）设甲种梨子每箱售价x元，乙种梨子每箱售价y元，根据题干给出的两个总价条件，列出二元一次方程组求解即可得到甲乙每箱的售价； （2）设购买甲种梨子m箱，总花费为W元，则购买乙种梨子箱，根据乙的箱数不超过甲得到自变量的取值范围，再结合一次函数的增减性求出最小花费； （3）设购买甲种梨子a箱，则购买乙种梨子箱，根据优惠规则列出一元一次不等式，结合两种梨子都要买的条件，求出所有符合要求的整数购买方案． 【详解】（1）解：设甲种梨子每箱售价x元，乙种梨子每箱售价y元． 根据题意，得 ， 解得， 答：甲种梨子每箱售价100元，乙种梨子每箱售价80元． （2）解：设购买甲种梨子m箱，总花费为W元，则购买乙种梨子箱． 根据题意，得 ， 解得，其中m为非负整数． 总花费， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当时，W取得最小值，为（元）． 答：该单位最少需花费1080元． （3）解：设购买甲种梨子a箱，则购买乙种梨子箱， ∵两种梨子都要购买， ∴，且a为整数， 根据题意，得 ， 解得， ∵，且a为整数， ∴a的值为1，2，3， 当时，； 当时，； 当时，； 答：该单位的所有购买方案为：方案1：购买甲种梨子1箱，乙种梨子11箱；方案2：购买甲种梨子2箱，乙种梨子10箱；方案3：购买甲种梨子3箱，乙种梨子9箱． 18．（2026·河南周口·模拟预测）中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清时期达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米． (1)编织这两个型号的中国结恰好用绳30米，则大号、小号各编织多少个？ (2)计划用不超过1200米的绳子编织350个这样的中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为10元．当大号编织多少个时总利润最大？最大总利润是多少元？ 【答案】(1)大号编织3个，小号编织6个，或大号编织6个，小号编织2个． (2)当大号编织150个时总利润最大，最大总利润是3800元． 【分析】（1）根据编织大号所用绳子加上编织小号所用绳子等于30米建立二元一次方程，再求方程的正整数解； （2）根据编织大号所得利润加上编织小号所得利润等于总利润建立一次函数，再利用绳长的限制建立不等式组求出自变量的取值范围，最后根据一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设编织大号个，编织小号个，根据题意，得 ， ∵、都是正整数， ∴方程的解为或， 答：大号编织3个，小号编织6个，或大号编织6个，小号编织2个． （2）解：设编织大号个，编织小号个，设总利润为元， 则， ∵， ∴（为整数）， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，最大，最大利润为． 答：当大号编织150个时总利润最大，最大总利润是3800元． 19．（2026·黑龙江绥化·三模）今年年初，某种玩偶以其独特的外观爆火，广受年轻人的喜爱．因市场需要，厂家需要加大生产力度．已知这种产品需要，B两种主要原材料．该厂购进了这两种原料A，B，其中购进千克A材料和千克材料的总价为89元．购进千克A材料和千克B材料的总价为96元（单位：元/千克）． (1)A、B两种原材料每千克的价格分别是多少元； (2)若该工厂计划购进两种原材料共2700千克，其中购进A材料的重量不少于B材料重量的2倍，且B材料购进不少于300千克．当购进A材料多少千克时所需资金最少，最少资金是多少． (3)为满足市场需求，厂家派遣甲、乙两辆配送车从仓库出发，前往货运站配送货物．甲配送车提前出发，他们的配送距离s（千米）关于配送时间t（分钟）的函数图象如图所示： ①乙配送车从出发到追上甲配送车需要 分钟． ②乙车出发 分钟，甲乙两车相距1.62千米． 【答案】(1)A材料每千克5元，B材料每千克6元 (2)购进A材料2400千克，最少资金为13800元 (3)20；2或38 【分析】（1）根据两种购买方案的总价列二元一次方程组，求解A、B两种原材料的单价． （2）根据题意列一元一次不等式组确定自变量的取值范围，建立所需资金关于购进A材料重量的一次函数关系式，根据一次函数的增减性求最值． （3）①根据图象即可求解；②根据函数图象上的点的坐标求出甲、乙两车的速度，分乙车追上甲车之前和之后两种情况列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设A材料每千克元，B材料每千克元， 根据题意，得， 解得， ∴A材料每千克5元，B材料每千克6元； （2）解：设购进A材料千克，则购进B材料千克， 购进A材料的重量不少于B材料重量的倍， ， ， B材料购进不少于300千克， ， ， ， 设所需资金为元， ， ， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值， ． 答：当购进A材料2400千克时所需资金最少，最少资金是13800元； （3）解：①由图象可知，乙车追上甲车所需时间为分钟； ②由图象可知，甲车速度为千米/分钟， 乙车速度为千米/分钟， 乙车出发时，甲车已行驶12分钟， 甲车领先距离为千米， 设乙车出发后分钟，甲乙两车相距1.62千米， 当乙车追上甲车前，甲车在乙车前， ， 解得， 当乙车追上甲车后，乙车在甲车前， ， 解得． 故乙车出发2或38分钟，甲乙两车相距1.62千米． 20．（2026·山西太原·二模）三晋黄土与千度窑火的千年契阔，淬炼出国家级非物质文化遗产——山西琉璃这门东方古法技艺．某文创店主从厂家购买了个“琉璃小马”摆件和个“琉璃笔架”摆件共花费元；他的同伴购买了个“琉璃小马”摆件和个“琉璃笔架”摆件共花费元． (1)求“琉璃小马”摆件与“琉璃笔架”摆件的单价； (2)该店主发现这两种摆件都很畅销，他准备用元购入“琉璃小马”摆件与“琉璃笔架”摆件共个销售，他最多可以购入“琉璃小马”摆件多少个？ 【答案】(1)琉璃小马摆件的单价为元，琉璃笔架摆件的单价为元 (2)个 【分析】（1）设琉璃小马摆件的单价为元，琉璃笔架摆件的单价为元，根据购买了个“琉璃小马”摆件和个“琉璃笔架”摆件共花费元；购买了个“琉璃小马”摆件和个“琉璃笔架”摆件共花费元列方程组求解即可； （2）设他可以购买琉璃小马摆件个，根据元购入“琉璃小马”摆件与“琉璃笔架”摆件共个销售列不等式求解即可. 【详解】（1）解：设琉璃小马摆件的单价为元，琉璃笔架摆件的单价为元， 根据题意，得 解得：， 答：琉璃小马摆件的单价为元，琉璃笔架摆件的单价为元． （2）解：设他可以购买琉璃小马摆件个， 根据题意，得 ， 解得， 为正整数， ∴的最大值为， 答：他最多可以购买琉璃小马摆件个． 【题型五】解直角三角形及其应用 21．（2026·河北石家庄·模拟预测）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉淇周末到赵州桥游览，如图11，她想估算圆弧形主桥拱（即）的高度（即的中点到弦的距离），在，两处观察桥洞的同一点的仰角分别为和（即，），已知主桥拱的跨度（即弦的长）为． (1)尺规作图：在图中，作出弦的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中所作的垂直平分线分别与，弦交于，两点，求的度数及点到的距离．（参考数据：取0．38） 【答案】(1)如图所示，即为所求； (2)点D到的距离是 【分析】（1）分别以点A，B为圆心，以为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线，则即为所求； （2）先根据三角形内角和定理求出，再根据圆周角定理求出，然后根据线段垂直平分线的性质得，进而得，接下来根据可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示， ∵， ∴， ∴． ∵是的垂直平分线，， ∴，， ∴． 在中，， 即， 解得， 所以点D到的距离是． 22．（2026·陕西西安·模拟预测）某数学实践活动小组测量某电视塔的高度，如图，是长为的斜坡，坡度为，坡底到塔底的距离为．是垂直地面的测角仪，从点测得塔顶的仰角为，已知测角仪的高为，试求电视塔的高度．（已知图上所有的点都在同一平面，参考数据：，，） 【答案】 【分析】过作于，过作于，可得四边形为矩形，根据坡度先计算出，的长，从而得到的长，再根据得到的长，从而利用求解即可． 【详解】解：过作于，过作于， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵斜坡坡度为， ∴， ∴设，， 在中，由勾股定理得，且， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴，， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 23．（2026·山东济南·二模）如图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头P的仰角、俯角都为，摄像头高度，识别的最远水平距离． (1)小玲站在离摄像头水平距离点M处，恰好能被识别（头的顶部恰好在仰角线处），请问小玲的身高约为多少厘米？ (2)身高的小婷，头部高度为，当她直立站在离摄像头最远处点Q时，小婷能被摄像头识别吗？请说明理由．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】(1)小玲的身高约是厘米 (2)小婷能被摄像头识别，理由见解析 【分析】（1）过作的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点，在中，根据三角函数求出即可求出，进而可求出小玲的身高； （2）过Q作的垂线分别交仰角线，俯角线于点C，G，交水平线于点H，在中，根据三角函数求出，，即可求出，进而可确定小婷头部以下的高度，进而即可判断． 【详解】（1）解：如图，过M作的垂线分别交仰角线，俯角线于点E，D，交水平线于点F， 由题意得，， 四边形是矩形， ，， 在中，，， ， ， 答：小玲的身高约是厘米； （2）解：小婷能被摄像头识别，理由如下： 如图，过Q作的垂线分别交仰角线，俯角线于点C，G，交水平线于点H， 由（1）可知，四边形是矩形， ，， 在中，，， ， 同理， ，， 小婷头部以下的高度为：， ，且小婷身高， 小婷整个头部都在摄像头视角范围内， 小婷能被摄像头识别． 24．（2026·河南安阳·二模）“红旗渠就是纪念碑”．某数学兴趣小组开展了以“测量丰碑高度，弘扬红旗渠精神”为主题的实践活动．如图，小红在水平地面上点处放置一个平面镜，然后沿方向行至点处，此时从镜子中正好看到纪念碑的顶端（），经测量得到小红眼睛与地面的距离，小红与镜子的水平距离，用高度为的测角仪在点处测得纪念碑顶端点的仰角为．已知点，，在同一直线上，求纪念碑的高度（结果精确到．参考数据：，，）． 【答案】纪念碑的高度约米 【分析】过点作于点，根据，得到，通过证明四边形是矩形，得到米，，设米，根据，建立关于的分式方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴在中，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴米，， 设米，则米，米，米， ∴在中，， 即， 解得， 检验，当时，，即是原方程的解， ∵结果精确到，取， ∴纪念碑的高度约米． 25．（2026·广西梧州·二模）综合与实践． 素材：2026年央视春晚的武术节目《武》中，机器人表演了“长棍劈扫”与“双节棍轮转”两个精彩动作（如图1、图2所示）．某校数学兴趣小组的同学根据录像测量了部分数据，并尝试建立数学模型．请你结合所学知识，解决下列问题． 任务一：如图3，机器人肩膀固定点离地面高度米．长棍长米，初始时水平（与地面平行），端与点重合．机器人让长棍绕点匀速向下转动，当长棍与水平方向的夹角为时，长棍的位置为． (1)求此时长棍的端到地面的高度； 任务二：如图4，双节棍由两段等长的棍子和通过链条连接而成，每段长米．机器人手握端，使保持竖直向上，同时让绕点在竖直平面内匀速旋转（链条长度忽略不计）．在某一时刻，与竖直方向的夹角为（为锐角），测得．已知点离地面高度为米． (2)求此时点离地面的高度． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）过点A作于点H，过点C作，并反向延长交地面于点D，则四边形为矩形，在中，利用锐角三角函数求出的长，即可求解； （2）过点Q作于点F，过点R作 于点K，过点作 于点，则四边形为矩形，求出Q点离地高度，在 中，设为，为，则，然后在 中，求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点H，过点C作，并反向延长交地面于点D，则四边形为矩形， 米， 在中，， 米，， ， （米） ∴C端到地面高度： （米） 答：长棍的C端到地面高度为0．4米． （2）解：如图，过点Q作于点F，过点R作 于点K，过点作 于点，则四边形为矩形， 米，点离地高度为米，且竖直向上， （米） 点离地高度（米） ，为锐角， ∴在 中，设为，为， 由勾股定理，得， ∴在 中，， （米） （米） 点离地高度（米） 答：此时R离地面的高度为米． 【题型六】实际问题与二次函数 26．（2026·河南安阳·二模）投篮时，篮球的运动路线直接影响篮球能否入筐．如图1，某同学在练习投篮动作，并尝试运用数学知识探究如何实现精准投篮． 数学抽象 理想状态下可以将篮球的运动路线抽象成抛物线，如图2，出手点为，其顶点为，球架底端记为，以正下方地面上的点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． 数据收集 该同学某次投篮时，篮球出手点距地面2.15米，篮球在空中的最高点距离地面3.75米，最高点到出手点的水平距离为4米，篮筐中心距地面3.05米，出手点与篮筐中心的水平距离为7米． 问题解决 (1)求这条抛物线的表达式． (2)判断这次投篮能否入筐？若能，请说明理由；若不能，在篮球出手高度和抛物线形状不变的情况下（忽略其他因素），他应向前或向后移动多少米可使篮球入筐?（不考虑篮球碰到篮板情况） 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)不能，他应向前移动米可使篮球入筐 【分析】（1）由题意易得，则可设该抛物线的解析式为，然后根据待定系数法可进行求解； （2）由题意可把代入（1）中抛物线解析式得： ，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：，则可设该抛物线的解析式为， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：由题意可把代入（1）中抛物线解析式得： ， 解得：（不符合题意，舍去）， ∵， ∴， ∴这次投篮不能入筐， ∴（米）； 答：在篮球出手高度和抛物线形状不变的情况下（忽略其他因素），他应向前移动米可使篮球入筐． 27．（2026·新疆喀什·二模）如图①为某公园的景观桥，它的拱形桥洞轮廓可近似看作抛物线的一部分，为营造节日气氛，工作人员计划在桥拱悬挂红灯笼．已知桥拱与水面的交界点A，B之间的距离为6米，桥拱最高点C到水面的距离为米，以水面为x轴，的垂直平分线为y轴，建立如图②所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)当水位上涨后，桥拱下水面宽为5米，工作人员计划在桥拱悬挂红灯笼增加节日气氛．已知灯笼自身高度为米，且灯笼底部距离水面的距离为米，工作人员可以挂几盏这样的灯笼？并计算出所挂的灯笼与桥拱最高点C的水平距离． 【答案】(1) (2)工作人员可以悬挂2盏这样的灯笼，所挂的2盏灯笼与桥拱最高点C的水平距离均为米 【分析】（1）设抛物线的解析式为，用待定系数法求解即可． （2）求灯笼与桥拱最高点C的水平距离，即要求出所挂灯笼对应的x值，因此需求出灯笼的高度（y值），代入抛物线函数解析式中求解即可． 【详解】（1）∵y轴垂直平分，， ∴，， 由题意得， 设该抛物线的函数解析式为， 将代入，解得， ∴该抛物线的函数解析式为； （2）∵米，由抛物线的对称性得， ∴当时，， ∴灯笼的悬挂点到的距离为（米）， 求出灯笼悬挂点到的距离，实际是抛物线上一点（悬挂点）对应的y值． 令，解得，， 将y值代入解析式中．求出对应的x值，有几个满足要求，就有几个悬挂点． ∴工作人员可以悬挂2盏这样的灯笼，所挂的2盏灯笼与桥拱最高点C的水平距离均为米． 28．（2026·陕西渭南·二模）某活动场地入口安装了一座充气拱门，拱门外边界线呈抛物线状．拱门底部宽度为10米，最高点到水平地面的距离为4米，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在拱门上悬挂一条横幅，轴，米，其中点M、N均在抛物线上，且位于对称轴两侧，求横幅（宽度忽略不计）到地面的距离． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）由题意可知：抛物线的顶点坐标为，且过，然后运用待定系数法求解即可； （2）由二次函数的性质可得对称轴为，进而求得点M的横坐标为3，然后求得点M的纵坐标即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知：抛物线的顶点坐标为，且过， 设抛物线的表达式为， 则，解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵抛物线的表达式为， ∴对称轴为， ∵轴，米， ∴点M的横坐标为， ∴点M的纵坐标为米， ∴横幅（宽度忽略不计）到地面的距离米． 29．（2026·广东肇庆·二模）舞狮是中国优秀的传统民间艺术，每逢佳节或隆重庆典，民间常以舞狮来助兴．如图，舞狮团进行舞狮表演，演员从木桩顶部A处弹跳到另一木桩顶部B处，以O点为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，已知木桩顶部A处的高度为1米，另一木桩顶部B处的高度为米，两个木桩的水平距离为米．（不考虑木桩横截面积） (1)求该抛物线的表达式； (2)若在木桩右侧设置一个与高度相同的木桩，演员从B处按如图所示方式跳出，跳跃轨迹形状不变（即抛物线形状不变，演员跳起的最高点距起跳点水平距离与从A点起跳时一致），要保证演员可落在新设置的木桩顶部D处，求新设置的木桩与间的水平距离． 【答案】(1) (2)新设置的木桩与间的水平距离为2米 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）根据平移，先向右平移1.6个单位长度，再向上平移（个）单位长度后得到新的抛物线，将代入即可求解． 【详解】（1）解：由题可知，， 将A，B两点的坐标代入， 得 解得 ∴该抛物线的表达式为； （2）解：根据题意，演员从B处跳到新设置的木桩顶部D处的轨迹是将（1）中抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移（个）单位长度后的抛物线， ∴新抛物线的表达式为， 令，则， 解得（舍去），， （米）， ∴新设置的木桩与间的水平距离为2米． 30．（2026·陕西西安·模拟预测）如图①，是某海底世界时空隧道的截面图，上半部分可近似看作一条抛物线，下半部分可近似看作矩形．如图②所示，以点O为坐标原点，地面所在直线为x轴建立平面直角坐标系．已知矩形长，宽，隧道最高点距离地面． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)为清洁隧道玻璃，工人师傅设计了一个清洁设备，是一条滑轨（点G在抛物线对称轴右侧的抛物线上），是高度为3米的竖直支撑杆，为竖直的伸缩清洁臂，当点P在上滑动时，伸缩清洁臂可清洁隧道玻璃．若，请问：伸缩清洁臂能否彻底清洁上方的玻璃？请说明理由． 【答案】(1) (2)伸缩清洁臂不能彻底清洁上方的玻璃；理由见解析 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出点G的坐标为，再求出直线的解析式为：，利用二次函数求出隧道玻璃与滑轨间的最大距离为，根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵矩形长，宽, ∴点坐标为，B点坐标为， ∵隧道最高点距离地面， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为： ； （2）解：伸缩清洁臂不能彻底清洁上方的玻璃；理由如下： 把代入得：， 解得：，， ∵点G在抛物线对称轴右侧的抛物线上， ∴点G的坐标为， 设直线的解析式为：，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点M的坐标为，则点P的坐标为， ， ∵当时，取最大值， ∴隧道玻璃与滑轨间的最大距离为， ∵，， ∴， ∴伸缩清洁臂不能彻底清洁上方的玻璃． 【题型七】几何综合压轴 31．（2026·广东深圳·二模）我们把对角互补且存在一组对边相等的四边形称为对等补四边形，此时该四边形的另一组对边平行． 例如图1所示，若，，则称四边形为对等补四边形，且有． (1)以下图形属于对等补四边形的有__________（填序号） ①平行四边形    ②矩形    ③菱形    ④正方形 (2)如图2，四边形为对等补四边形（），小明发现当时，四边形恰好为矩形，请你帮他证明这一结论； (3)如图3，四边形为对等补四边形，，，对角线平分角，求线段AC的长度 (4)在问题（3）的条件下，平面内存在点E使得四边形为对等补四边形，线段与线段交于点Q，请直接写出线段的长． 【答案】(1)②④ (2)见解析 (3) (4)或 【分析】（1）根据对等补四边形的定义进行求解即可； （2）根据有三个角为直角的四边形是矩形进行证明即可； （3）延长至点E，使，连接，根据等腰三角形的性质和判定求出，证明，得出，过点A作于点H，根据等腰三角形的性质得出，先根据勾股定理求出， 再求出； （4）分两种情况当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：①平行四边形的对角相等，但不一定互补，所以平行四边形不是对等补四边形； ②矩形符合对等补四边形的定义，是对等补四边形； ③菱形的对角相等，但不一定互补，所以菱形不是对等补四边形； ④正方形符合对等补四边形的定义，是对等补四边形； 综上，是对等补四边形的是②④； （2）证明：∵四边形是对等补四边形，且， ∴，且， ∵， ∴， 又， ∴， ∴四边形是矩形； （3）解：延长至点E，使，连接， ∵四边形是对等补四边形，且， ∴，． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 过点A作于点H， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． （4）解：①当时，如图所示： 根据解析（3）可得：，， ∴此时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 即，， ∴， ∴， ∴； ②当时，连接，过点A作于点H，过点B作于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 根据解析（3）可知：，， ∴， ∵， ∴A、B、E、C四点共圆， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴A、B、C、D四点共圆， 即A、B、C、D四点在的外接圆上， ∵A、B、E、C四点共圆，即A、B、E、C四点在的外接圆上， ∴A、B、E、C、D五个点都在的外接圆上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，或． 32．（2026·上海静安·二模）菱形中，点E在线段上，连接、． (1)如图1，连接交于点F，若，求证：； (2)如图2，，，点P在线段上，且满足，设，， ①求y关于x的函数解析式，并写出定义域； ②当时，以为半径的和以为半径的是否相交？如果相交，求出它们的公共弦长；如果不相交，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②相交， 【分析】（1）由等边对等角可得，由菱形的性质可得，，再证明点、、、四点共圆，得出，即可得证； （2）①作，交的延长线于点，由菱形的性质可得，，求出，，可得，由勾股定理可得，再证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果；②当时，，则，，结合，得出以为半径的和以为半径的相交，设两圆相交于，连接、、、，连接交于点，则，，由垂径定理可得，，设，则，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴点、、、四点共圆， ∴， ∴； （2）解：①如图，作，交的延长线于点， ， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，， ∴，， ∵，且， ∴以为半径的和以为半径的相交， 如图，设两圆相交于，连接、、、，连接交于点， ， 则，， 由垂径定理可得：，， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 33．（2026·江苏南通·模拟预测）“鹿鸣•博约”数学兴趣小组开展了《再探矩形的折叠》这一课题研究．已知矩形，点E、F分别是边上的动点． (1)若四边形是正方形，如图①，将四边形沿翻折，点B，C的对应点分别为M、N．点M恰好是的中点． ①若，求的长度； ②若与的交点为G，连接，试说明； (2)若，如图②，且，将四边形沿翻折，点B、C的对应点分别为．当点E从点A运动至点B的过程中，点的运动路径长为 ； (3)若四边形是正方形，，如图③，连接交于点M，以为直径作圆，该圆与交于点A和点N，将沿翻折，若点M的对应点刚好落在边上，求此时的长度． 【答案】(1)①3；②见解析 (2) (3) 【分析】（1）①设，则，在中根据勾股定理列出方程，进而求得结果； ②取的中点Q，连接，可推出是梯形的中位线，从而得出，在中，根据直角三角形的性质得出，从而得出； （2）连接，交于O，连接，作点B关于的对称点，可证得，从而，进而证得是等边三角形，从而，从而得出点在以O为圆心，2为半径的上运动，根据弧长公式求得结果； （3）连接，作于X，作，交的延长线于V，设，可证得，从而，进而表示出，可证得，从而得出，进而表示出，在中，由勾股定理列出方程求得a的值，进一步得出结果． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴， ∵M是的中点， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； ②证明：如图1， 取的中点Q，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵M是的中点， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴； （2）解：如图2， 连接，交于O，连接，作点B关于的对称点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴点在以O为圆心，2为半径的上运动， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：如图3， 连接，作于X，作，交的延长线于V， 设， ∵四边形是的内接四边形，是的直径， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 由折叠得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴（舍去）， ∴， ∴． 34．（2026·重庆·模拟预测）在中，，垂足为E，，垂足为D，与相交于点F． (1)如图1，，，用含m的代数式表示． (2)如图2，N为线段上一点，M在的延长线上，连接，，，，将绕点D逆时针旋转得到，连接，用等式表示线段与的数量关系并证明． (3)如图3，，，，垂足为H，点K，Q分别为线段，上的动点，且，连接，，当取得最小值时，在内部取一点P，连接、、，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3) 【分析】（1）根据已知条件证得点A，D，F，E四点共圆，从而得到，利用解含30度直角三角形的性质得到，，从而得出结果； （2）过点C作交延长线于点H，连接，，，，与交点K，证明，结合已知条件推出，得出点A，D，C，G四点共圆，证得垂直平分，继而再得出点B，C，E，D四点共圆，证明出，从而证得结论； （3）通过作辅助线证明，得出，当且仅当B，Q，D三点共线时取等号，确定出点Q和点K的位置，再将进行转化，通过加权费马点模型结合勾股定理即可求得最终结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴点A，D，F，E四点共圆， ∴， 在和中，，， ∴． （2）解：， 证明：如图，过点C作交延长线于点H，连接，，，，与交点K， ∵，且， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即点N是中点， 在中，， ∵，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴点A，D，C，G四点共圆， ∴，， 即平分， ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴点B，C，E，D四点共圆， ∴， 又∵和都是等腰三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即． （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 如图，过点C作，使得，连接， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点K，Q分别为线段，上的动点， ∴， 当且仅当B，Q，D三点共线时取等号， 此时是等腰直角三角形，，此时点K与点H重合， ∵， 如图，在中任取一点P，连接，，，将绕点C顺时针旋转至的位置，使得， ∴，， ∴ ， 当且仅当B，P，，四点共线时取等号， 此时， ∴， 过点C作于点M，过点作延长线于点N， 在中，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴． 35．（2022·辽宁丹东·二模）如图，在中，，以为一边向外作正方形，点为直线上的一点，连接，作交直线于点． (1)如图，若，点在线段上，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图，若，点在线段上，试探究线段，，三者之间的数量关系，并证明你的结论； (3)若，，，请直接写出的长． 【答案】(1)相等 (2)，见解析 (3)或 【分析】（1）由正方形的性质及垂直的性质可知，，所以、、、四点共圆，所以，由等腰三角形的性质可知，，所以是以点为直角顶点的等腰直角三角形，由此可得结论； （2）连接，过点作，垂足为点，由正切函数的定义可知，，，由，可得、、、四点共圆，所以，即，因为，所以，由、、、四点共圆，可知，所以，可得，在中，由，代入化简可得结论； （3）根据题意可知，需要分两种情况：当点在线段上时，当点在点的左侧时，分别求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 是等腰三角形， ， 是等腰直角三角形， ，即， ， ， ， 、、、四点共圆， ， ， ， 是以点为直角顶点的等腰直角三形， ； （2）解：连接，过点作，垂足为点，如图， ∵，， ， ，， ， ， ， 、、、四点共圆， ，即， ， ， ， 、、、四点共圆， ， ， ，， ， ， ， 在中， ， ， ， ； 线段、、三者之间的关系式：； （3）解：，， ， ， ， 点在直线上， 点在点的左侧， 过点作，垂足为点， 当点在线段上时，如图， 、、、四点共圆， ，即， ， ， ， ， ， ， ； 当点在点的左侧时，如图， ， ， ， ， 、、、四点共圆， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，的长为或． 链接中考 A B C LOREM LOREM LOREM 1．（2025·山东东营·中考真题）东营市各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解城乡教育质量发展情况，从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，数据分析如下． （一）收集与整理 农村学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 64，74，78，82，84，86，86，92，96，98； 城区学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 62，70，79，83，85，87，87，90，97，100． （二）描述与分析 城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 农村 84 a 86 c 城区 84 86 b 118.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出表格中a、b、c的值， ________， __________， ________； （三）迁移与应用 （2）若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率； （3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议． 【答案】（1）85，87，95.2；（2）；（3）建议见解析 【分析】本题主要考查了中位数，众数，方差的定义，用列表法或画树状图的方法求概率，利用平均数、中位数、众数、方差作决策等知识． （1）根据中位数，众数，方差的定义求解即可． （2）农村学校95分以上学生有2人，分别记为，，城区学校95分以上学生有2人，分别记为，，画出树状图，根据概率公式求解即可． （3）答案不唯一，只要能对平均数、中位数、众数、方差任一统计量进行比较，数据大小比较，进而提出合理建议即可． 【详解】解：（1）， 城区学校10名学生的艺术成绩中出现次数最多的是87， 故， （2）农村学校95分以上学生有2人，分别记为，，城区学校95分以上学生有2人，分别记为，，画树状图如下： 总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好都是城区学生的结果有2种， ∴P（所选两名学生恰好都是城区学生）． （3）例：从平均数看，城区学校和农村学校的艺术成绩水平相同，建议继续保持城乡优质均衡发展； 从中位数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议加强农村学校艺术教学； 从众数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议提高农村学校艺术教学水平； 从方差看，城区学校艺术成绩的方差大于农村学校艺术成绩的方差，城区学校艺术成绩波动较大，建议减小两极分化． 2．（2024·江苏淮安·中考真题）如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查的是切线的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形． （1）连接，根据圆周角定理得到，推出，根据等腰三角形三线合一得，根据三角形的中位线可得，所以得，从而根据切线的判定可得结论； （2）证明，求出，再证明，求出，利用正弦的定义即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ，即点D为中点， ，即点O为中点， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （2）解：由（1）知， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵， ， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∴． 3．（2025·山东滨州·中考真题）如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作一个角等于已知角，是解题的关键： （1）根据作图可知，结合，即可得证； （2）等边对等角求出的度数，根据，推出，根据，得到，进而得到，设，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）证明：由作图可知，． 又∵， ∴． （2）解：∵，， ∴． 由（1）得． ∴． ∴， ∴， ∴． 由（1）知， ∴． ∵且， ∴． ∴． ∵，设，则，即． 解得或（舍去）． ∴的长为． 4．（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查坐标与图形，勾股定理解三角形，翻折的性质，确定一次函数解析式及一次函数的性质，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）根据题意得出，再由勾股定理及折叠的性质求解即可； （2）设，根据折叠的性质，得，，根据勾股定理确定点M的坐标，再利用待定系数法计算解析式即可． （3）根据题意作出相应草图，结合图象得出，代入一次函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵将沿直线折叠，点B恰好落在点处， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）设， 根据折叠的性质，得，， 由（1）得， ∵， ∴， 解得， 故， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为． （3）由（1）得：， ∴直线与直线的交点在直线的左侧， 如图所示： 当时，， ∴， ∵直线与直线的交点在直线的左侧， ∴直线经过点N时恰好是临界点， ∴， 解得：， ∴t的取值范围为． 5．（2025·陕西·中考真题）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设所在直线的函数表达式为，再代入进行计算，得，然后求出点坐标为，再运用待定系数法进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，则当时，解得，故，即可作答． 【详解】（1）解：设所在直线的函数表达式为， 把代入， ， ， 当时，， 即点坐标为， 设所在直线的函数表达式为 得， 解得， ∴所在直线的函数表达式为； （2）解：由（1）得所在直线的函数表达式为； 依题意，当时， 解得， ， 该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为． 6．（2025·陕西·中考真题）小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（精确到）（参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于点，则，在中，利用的三角函数可求，则可求，进而在中利用三角函数值可求， 则可求． 【详解】解：如解图，延长交于点，则， 在中，， ，， ， 在中，， ， ， 河宽约为． 7．（2025·四川·中考真题）某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升． (1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； (2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长． 【答案】(1)血液中药物浓度上升阶段对应的函数解析式为，下降阶段的函数关系式是． (2)成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据函数图象中的数据，可以得到血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； （2）依据由题，令 ，结合（1）的解析式，分别求出的值，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为， 把 代入中得， ∴． ∴当时，与的函数关系式为； 当时，设与的函数关系式为， 把和代入中得， ∴， ∴当时，与的函数关系式为． 综上，血液中药物浓度上升阶段与之间的函数解析式为，下降阶段与之间的函数关系式是． （2）解：在中，当时，， 在中，当时，， 小时， 答：成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时． 8．（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？ 【答案】(1)A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元 (2)4种 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元，利用数量总价单价，结合用元购进A款哪吒玩偶的数量比用元购进B款哪吒玩偶少个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B款哪吒玩偶的单价），再将其代入中，即可求出A款哪吒玩偶的单价； （2）设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶，根据“购进B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出共有4种进货方案． 【详解】（1）解：设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元； （2）解：设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为，，，， ∴共有4种进货方案． 答：该超市共有4种进货方案． 9．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，．； (2)． (3)能，边上的顶点的坐标为，或． 【分析】（1）求得点A，C坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；利用抛物线的解析式令，解方程即可求得点B在横坐标；利用配方法即可求得点D的坐标； （2）利用勾股定理及其逆定理得到，延长至点，使，连接，交直线于点P，利用轴对称的性质可得，B关于直线对称，此时的周长最小，过点作轴于点E，利用三角形的中位线定理得到点坐标，利用待定系数法求得直线的解析式为，再与直线联立即可求得点P坐标； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设与交于点K，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可；②顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得据的面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可． 【详解】（1）解：中， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵抛物线经过A，B，C三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 令，则， ∴，或， ∴． ∵ ∴顶点； （2）∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 延长至点，使，连接，交直线于点P，如图， 则，B关于直线对称，此时的周长最小， 过点作轴于点E， ∵轴，轴， ∴ ， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． （3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． ①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与交于点K， 设， ∵四边形为矩形，， ∴四边形，为矩形，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为． ∴， ∵， ∴H为的中点， ∴． 同理，点G为的中点， ∴． ②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合， 设， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形的面积取得最大值为． ∴， ∴点G为的中点， ∵， ∴为的中位线， ∴ ∴， ∴． 综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． 10．（2025·海南·中考真题）如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点． (1)若． ①求抛物线的解析式； ②求线段长度的最大值； ③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）． (2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由． 【答案】(1)①；②最大值为9；③见解析 (2)不发生变化，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数的判定和性质，待定系数法确定函数解析式，理解题意，熟练掌握运用二次函数的性质是解题关键． （1）①利用待定系数法代入计算求解即可； ②设直线的解析式为，利用待定系数法确定函数解析式，然后结合图形得出，然后利用二次函数的性质求解即可； ③根据二次函数的性质结合图象求解即可； （2）根据题意重新确定二次函数的解析式为，得出，然后即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴设抛物线的解析式为：， ∵抛物线经过、两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：； ②设直线的解析式为，将点A、B代入得： ，解得：， ∴， ∵点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点． ∴，， ∴， 由题意得：， ∴当时，取得最大值为9； ③∵，， ∴当，时，即时，的最大长度在处取得； 当，时，即时，的最大长度在处取得； 当，时，即时，的最大长度在处取得； （2）解：不发生变化，理由如下： ∵抛物线经过、两点． ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵点是线段上的动点， ∴， ∵点Q在抛物线上， ∴点Q的坐标为， ∴， ∵解析式图形开口方向及对称轴同（1）中③的解析图象一致， ∴问题（1）中③的结论未发生变化． 1 学科网（北京）股份有限公司 $中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 中考数学题型专练04 解答题 中考全国考情分析 1、考察方向与分值占比： 解答题是中考数学主体题型，题量多、分值占比最大，难度梯度清晰，涵盖基础、中档、 压轴三类。题型包含几何证明、统计概率应用、函数综合、实际应用题、几何探究等，层层 递进。基础解答题侧重公式套用、简单推理与列式计算，以送分为主；中档题融合多个知识 点，考查知识综合运用；压轴解答题常结合动点、图形变换、几何模型、存在性问题，区分 度较高。阅卷按步骤给分，书写格式、推理过程、逻辑完整性直接影响得分。命题全面考查 数形结合、分类讨论、建模思想，注重理论联系实际。备考需规范解题步骤，熟练各类题型 解题思路，强化综合分析与探究能力，做到基础题不失分、中档题稳拿分、压轴题分步抢分。 2、核心考查内容： 中考解答题考点覆盖全知识模块，按题型划分各有侧重。实际应用题常考方程、不等式、 函数、统计类实际问题，考查数学建模与列式求解能力。统计与概率侧重图表分析、统计量 计算、概率求解，要求解读数据、规范作答。几何证明与计算围绕三角形、四边形、圆展开， 结合全等、相似、勾股定理、三角函数，考查逻辑推理与几何运算。函数综合题以一次函数、 反比例函数、二次函数为主，融合图象性质、交点、面积、最值问题，侧重数形结合。几何 探究压轴题多结合平移、旋转、折叠及各类几何模型，搭配动点、存在性、分类讨论，综合 考查知识迁移与探究思维。题型均按步骤计分，对推理过程、格式规范要求严格。 题型专练 【题型一】反比例函数与几何综合 1.(2026湖北鄂州模拟预测)如图，反比例函数y=(x>0)的图象与正比例函数 y=3x(x≥0)的图象交于点A(2,a),点B是线段OA上异于端点的一点，过点B作y 轴的垂线，交反比例函数的图象于点D. 中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ D (1)求反比例函数的表达式： (2)若BD=2,求点D的坐标： 3)反比例函数y=k (x>0)的图象关于y轴对称的图象为y,直接写出射线OA绕点O逆 时针旋转90°后与y的交点坐标 2.(2026山东聊城模拟预测)如图，一次函数=-2x+b(b为常数)的图象与反比例函 数片=冬(k为常数，且k≠0)的图象交于A,B两点，且点A的坐标为-山4)， (1)分别求出反比例函数及一次函数的表达式： (2)求点B的坐标； (3)直接写出y>y2时x的取值范围. 3.(2026河南安阳二模)如图，一次函数yx3与反比例函数y=←的图象交于点 A-4,m). 2 中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ (1)求反比例函数的解析式. (2)已知点P(a,a在第一象限，过点P作平行于x轴的直线交直线yx3于点B,过点P作 平行于y轴的直线交反比例函数y=冬的图象于点C. ①当a=4时，线段PB与PC有何数量关系，通过计算说明理由 ②若PB<PC,结合函数图象，请直接写出a的取值范围. 4.(2026山东聊城模拟预测)如图，一次函数y=+b与反比例函数y=”(x>0)的图象 相交于点A3,4)、B(6,m)两点. F A B 0 E衣 (1)求一次函数与反比例函数的解析式： (2)当反比例函数y=”(x>O)大于一次函数y=+b时，直接写出自变量x的取值范围， B若应C为线段B上一点，且C连接40、c0,求5 5.(2026江苏盐城.一模)如图，在平面直角坐标系中，直线，=x+m与双曲线，=《相 交于点A(3,1、点B,与x轴相交于点C. 3 中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ B以 (1)求直线与双曲线的表达式： 2点P为双曲线，-的任一点，若SAoc=4S60c,求P点坐标； 3)若点B(-1,-3),则当≤y2时，x的取值范围是 【题型二】统计与概率 6.(2026陕西西安模拟预测)青少年不仅要学习好，还要关注时事热点，关心国家的现状 和未来.某校为了解九年级学生对时事热点的掌握程度，特举办了一场“中国事，我知道” 的调研.随机抽取60名九年级学生，将其分为3组，每组20人，把学生掌握情况分为5 类：其中“完全不理解”记为0分，“了解”记为1分，“理解”记为2分，“掌握”记为3分，“应 用”记为4分，现把3个小组的得分进行统计分析，过程如下： 【数据整理】 第1小组得分条形统计图 第2小组得分扇形统计图 第3小组得分折形统计图 人数 个人数 0 10 4分 0分 98 、 3分 30% 10% 2分 1分 、 15% 25% 654321 012 34得分/分 0 1 3 4得分/分 【数据分析】 平均数 众数 中位数 第1小组 a 4 第2小组 1.65 b 第3小组 2.25 2 (1)请补全第1小组得分条形统计图. 4 中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ (2)根据上述图表填空：a=，b= ，C= (3)若该校九年级有1200名学生参加此次调研，请估算九年级学生掌握情况是“应用”的人数. 7.(2026山东济南二模)人工智能是把“金钥匙”，不仅影响未来的教育，也影响教育的未 来.为培养学生创新思维，提升科学素养，某学校举行人工智能知识竞赛，并对测试成绩（单 位：分)进行了统计分析： (1)【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本.下列抽取学生竞赛成绩的方 法最合适的是：·（请填写序号） ①随机抽取该校一个班级学生的竞赛成绩： ②随机抽取该校一个年级学生的竞赛成绩； ③随机抽取该校一部分女生的竞赛成绩； ④分别从该校各年级的每个班中随机抽取10%学生的竞赛成绩 【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成A,B,C,D四组进行整理如表： 组别 A B D 成绩(a/分) 60≤a<70 70≤a<80 80≤a<90 90≤a 【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如图两幅不完整的统计图 学生竞赛成绩的频数直方图 学生竞赛成绩的扇形统计图 个频数/人 8 60---- 57 B 145 38% 40 28- 20 60708090100成绩/分 图1 图2 (2)【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： ①抽取学生竞赛成绩的样本容量为 ；请补全频数分布直方图： ②抽取的样本数据中位数所在组别是组； (3)扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是度； (4)若竞赛成绩80分以上（含80分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的1500名学生中成绩为 优秀的人数. 8.(2026广西南宁.二模)某校为了解学生一分钟跳绳成绩，随机抽取部分学生进行测试， 将成绩按从高到低依次划分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，并绘制成尚不完整的条 5 中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 形统计图（图1）和扇形统计图（图2）： 分钟跳绳成绩的 分钟跳绳成绩的 条形统计图 扇形统计图 人数 不合格 20 优秀 1 16 32% 10 合格nC 8 4 4 良好 40% 优秀良好合格不合格成绩 图1 类型 图2 根据以上信息，回答下列问题： (1)补全条形统计图： (2)图2中圆心角1= 。；本次测试成绩的中位数所在的等级为 (填写“优 秀”、“良好”、“合格”或“不合格”)； (3)若该校九年级共有500名学生，根据测试结果估计该校九年级跳绳成绩达到合格及以上 的学生人数. 9.(2026陕西西安模拟预测)为了提高学生的防溺水意识，我校举行了“珍爱生命，远离 溺水”安全知识竞赛，并对收集到的数据进行了整理、描述和分析.现随机抽取部分学生的 竞赛成绩（满分100分，所有成绩均不低于60分）组成一个样本，将学生竞赛成绩的样本数 据分成A,B,C,D四组进行整理，如下表 组别 B C D 成绩x/分 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x≤100 人数 8 m 12 人数 16 12 10 B 28% D 6 4 24% 2 A B C D组别 【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图. 其中C组具体成绩的样本数据分别为80,80,82,84,84,85,85,85,86,86,88,89· 6 中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题 (1)填空：=，n=一，补全条形统计图. (2)本次所抽取学生的竞赛成绩的中位数是分 (3)若竞赛成绩85分以上（含85分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的1000名学生中成绩为 优秀的人数. 10.(2026广西柳州.二模)为增强学生安全意识，某校举行了一次全校2000名学生参加 的安全知识竞赛.从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所 有竞赛成绩均不低于60分)分成四个等级(D:60≤x<70;C:70≤x<80;B:80≤x<90; A:90≤x≤100)，并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图， 安全知识竞赛成绩频数分布直方图安全知识竞赛成绩扇形统计图 安全知识竞赛成绩频数分布直方图 安全知识竞赛成绩扇形统计图 频数（学生人数） 70… 60 60 D 541 50 16% D:60≤x<70 40 C C:70≤x<80 30 4 B mo B:80≤x<90 0 40% 10 A:90≤x≤100 04 60708090100成绩/分 请根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：N=】 ,m= (2)请补全频数分布直方图； 3)扇形统计图中D等级所在扇形的圆心角度数为」 度； (4)若把A等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的2000名学生中达到"优秀”等级的 学生人数， 【题型三】分式方程的应用 11.(2026-山东济南·二模)【问题背景】 央视马年春晚播出后，晚会中的机器人备受大家喜爱.为满足儿童对机器人玩具的需求，某 玩具店决定购进A,B两种机器人玩具. 素材一：己知一个B种机器人玩具比一个A种机器人玩具价格贵10元. 素材二：玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数 量的2倍. > 中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ A种机器人玩具B种机器人玩具 【问题解决】 (1)求购进A,B两种机器人玩具的单价： (2)因销售良好，该玩具店决定再次购进A,B两种机器人玩具共40个，且A种机器人玩具 的数量不超过B种机器人玩具数量的3倍，那么购进A种机器人玩具和B种机器人玩具各 多少个时花费最少？最少花费为多少元？ 12.(2026山东青岛·二模)某商店销售A,B两种款式的水杯.已知每只A款水杯比每只 B款水杯贵12元，今年三月份A款水杯的销售额为3840元，B款水杯的销售额为2000元， 且A款水杯的销量是B款水杯的1.2倍， (1)求A,B两款水杯的售价分别是多少元？ (2)四月份，商店对A款水杯进行涨价销售，但A,B款水杯的销量均与三月份相同.己知每 只A款水杯的进价是16元，每只B款水杯的进价8元.若A款水杯每只涨价m元，商店规 定A款水杯的售价不超过40元，则销售完两款水杯的总利润p的最大值为多少元， 13.（2026广东清远二模)第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕.本届全 运会吉祥物A型号“喜洋洋"和B型号“乐融融”纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B 型号纪念品的单价少28元，用240元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念 品数量的2倍，求A,B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ 14. (2026河南安阳二模)中国文字博物馆是我国首座以文字为主题的博物馆.小明跟团 参观中国文字博物馆时，在文创商店购买青铜小摆件和甲骨文书签，已知每个青铜小摆件比 每个甲骨文书签贵5元，若分别用200元购买青铜小摆件，用160元购买甲骨文书签，得到 的青铜小摆件与甲骨文书签的数量相同. (1)求青铜小摆件与甲骨文书签的单价， (2)若该旅行团游客团购青铜小摆件和甲骨文书签共30个（其中青铜小摆件不超过15个）， 中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 可以享受团购优惠价，优惠方案如下： 方案一：青铜小摆件打八折，甲骨文书签半价： 方案二：购买一个青铜小摆件送一个甲骨文书签， 请根据以上方案，说明选择哪种方案购买文创产品更合算， 15.（2026广西梧州.二模)某校的研学活动计划租用大容量巴士和舒适型客车两种新能源 车辆，两种车型共需18辆，用于接送全校900名师生及若干后勤设备。 (1)已知每辆大容量巴士的载客量比每辆舒适型客车多15人；在每辆车均恰好满载的情况下， 用大容量巴士运送900名师生，比用舒适型客车运送同样数量的师生少用5辆车.求每辆大 容量巴士与每辆舒适型客车的载客量分别为多少人？ (2)已知：大容量巴士的单日租金为3000元/辆；舒适型客车的单日租金为2000元/辆.本次 研学活动所租用的大容量巴士的数量不少于舒适型客车数量的2倍.请计算租车的单日最低 总费用 【题型四】实际问题与二元一次方程组 16.（2026山东聊城模拟预测)有A、B两种型号呼吸机，若购买6台A种型号呼吸机和2 台B种型号呼吸机共需12万元，若购买3台A种型号呼吸机和5台B种型号呼吸机共需10.8 万元 (1)求A、B两种型号呼吸机每台分别多少万元？ (2)采购员想采购A、B两种型号呼吸机共30台，预计总费用低于40万元，请问A种型号呼 吸机最多购买几台？ 17.(2026湖北鄂州模拟预测)为助力乡村振兴，支持惠农富农，某超市销售我市东港社 区出产的甲、乙两种梨子，已知2箱甲种梨子和3箱乙种梨子的售价之和为440元；4箱甲 种梨子和5箱乙种梨子的售价之和为800元， (1)求甲、乙两种梨子每箱的售价； (2)某单位计划从该超市购买甲、乙两种梨子共12箱，且乙种梨子的箱数不超过甲种梨子的 箱数.求该单位最少需花费多少元： (3)该单位计划再从超市购买甲、乙两种梨子共12箱，发现该超市正在进行优惠活动：甲种 梨子打八五折，乙种梨子打九折.（注：“打八五折”批按标价的85%出售.）若该单位两种 梨子都要购买，且购买总花费不超过910元，求该单位的所有购买方案. 18.(2026河南周口模拟预测)中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装 9 中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 饰艺术，明清时期达到鼎盛.某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编 织一个小号需用绳3米 (1)编织这两个型号的中国结恰好用绳30米，则大号、小号各编织多少个？ (2)计划用不超过1200米的绳子编织350个这样的中国结，一个大号的利润为12元，一个 小号的利润为10元.当大号编织多少个时总利润最大？最大总利润是多少元？ 19.(2026黑龙江绥化.三模)今年年初，某种玩偶以其独特的外观爆火，广受年轻人的喜 爱.因市场需要，厂家需要加大生产力度.己知这种产品需要A,B两种主要原材料.该厂 购进了这两种原料A,B,其中购进7千克A材料和9千克B材料的总价为89元.购进12千 克A材料和6千克B材料的总价为96元（单位：元/千克）， (1A、B两种原材料每千克的价格分别是多少元； (2)若该工厂计划购进两种原材料共2700千克，其中购进A材料的重量不少于B材料重量的 2倍，且B材料购进不少于300千克.当购进A材料多少千克时所需资金最少，最少资金是 多少 (3)为满足市场需求，厂家派遣甲、乙两辆配送车从仓库出发，前往货运站配送货物.甲配 送车提前出发，他们的配送距离s(千米)关于配送时间t（分钟)的函数图象如图所示： s/千米 甲 4.8--- 01232 分钟 ①乙配送车从出发到追上甲配送车需要_分钟. ②乙车出发分钟，甲乙两车相距1.62千米， 20.(2026山西太原.二模)三晋黄土与千度窑火的千年契阔，淬炼出国家级非物质文化遗 产一一山西疏璃这门东方古法技艺.某文创店主从厂家购买了5个“琉璃小马”摆件和3个“琉 璃笔架”摆件共花费870元；他的同伴购买了2个“琉璃小马"摆件和3个“琉璃笔架”摆件共花 费510元. (1)求“琉璃小马”摆件与“疏璃笔架”摆件的单价： 10 中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ (2)该店主发现这两种摆件都很畅销，他准备用5000元购入“琉璃小马”摆件与“琉璃笔架”摆件 共50个销售，他最多可以购入“疏璃小马”摆件多少个？ 【题型五】解直角三角形及其应用 21.(2026河北石家庄·模拟预测)“这么近，那么美，周末到河北”，嘉淇周末到赵州桥游 览，如图11，她想估算圆弧形主桥拱（即AB)的高度（即AB的中点到弦AB的距离）， 在A,B两处观察桥洞的同一点C的仰角分别为17°和25°（即∠BAC=17°，∠ABC=25°）， 己知主桥拱的跨度（即弦AB的长）为37m: A B (1)尺规作图：在图中，作出弦AB的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若(1)中所作的垂直平分线分别与AB,弦AB交于D,E两点，求∠ADB的度数及点 D到AB的距离.（参考数据：tan21°取0.38） 22.(2026-陕西西安模拟预测)某数学实践活动小组测量某电视塔的高度DE,如图，BC 是长为15m的斜坡，坡度为3：4，坡底C到塔底D的距离为38m.AB是垂直地面的测角仪， 从点A测得塔顶E的仰角为42.7°，已知测角仪AB的高为1.5m,试求电视塔DE的高度.（已 知图上所有的点都在同一平面，参考数据：sin42.7°≈0.68，c0s42.7°≈0.73， tan42.7°≈0.92) 42.7⊙A B 36.5° D C 23.(2026山东济南·二模)如图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头 视角范围内才能被识别)，其示意图如图2，摄像头P的仰角∠APN、俯角∠BPN都为15°， 摄像头高度0P=150cm,识别的最远水平距离OQ=120cm. 11 中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 摄像头P N水平线 B 图1 图2 (1)小玲站在离摄像头水平距离80cm点M处，恰好能被识别（头的顶部恰好在仰角线AP处）， 请问小玲的身高约为多少厘米？ (2)身高145cm的小婷，头部高度为16cm,当她直立站在离摄像头最远处点Q时，小婷能被 摄像头识别吗？请说明理由.（结果精确到0.1cm.参考数据：sinl5°≈0.26，cos15°≈0.97 ，tanl5°≈0.27) 24.(2026河南安阳.二模)“红旗渠就是纪念碑”.某数学兴趣小组开展了以“测量丰碑高度， 弘扬红旗渠精神”为主题的实践活动.如图，小红在水平地面上点H处放置一个平面镜，然 后沿AH方向行至C点处，此时从镜子中正好看到纪念碑的顶端B(∠DHC=∠BHA),经 测量得到小红眼睛与地面的距离CD=1.5m,小红与镜子的水平距离CH=3m,用高度为 1.5m的测角仪在点D处测得纪念碑顶端点B的仰角为23.5°.已知点A,H,C在同一直线 上，求纪念碑AB的高度（结果精确到1m.参考数据：sin23.5°≈0.40，cos23.5°≈0.92， tan23.5°≈0.43) B 23.5° D A 25.（2026广西梧州二模)综合与实践. 素材：2026年央视春晚的武术节目《武B0T》中，机器人表演了“长棍劈扫”与“双节棍轮转” 两个精彩动作（如图1、图2所示），某校数学兴趣小组的同学根据录像测量了部分数据， 并尝试建立数学模型.请你结合所学知识，解决下列问题. 12 中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 图1 图2 任务一：如图3，机器人肩膀固定点0离地面高度0H=1.6米.长棍AB长2.4米，初始时水 平（与地面平行），A端与点0重合.机器人让长棍绕A点匀速向下转动，当长棍与水平方 向的夹角为30°时，长棍的位置为AC. B O(A) 30 C H 77177777777777777777777 图3 (1)求此时长棍的C端到地面的高度； 任务二：如图4，双节棍由两段等长的棍子PQ和QR通过链条连接而成，每段长0.3米.机 器人手握P端，使PQ保持竖直向上，同时让QR绕Q点在竖直平面内匀速旋转（链条长度 忽略不计).在某一时刻，QR与竖直方向的夹角为a(a为锐角)，测得ana=3.已知 4 P点离地面MN高度为1.2米. P M > 图4 (2)求此时R点离地面MW的高度 【题型六】实际问题与二次函数 26.（2026河南安阳·二模)投篮时，篮球的运动路线直接影响篮球能否入筐.如图1，某 同学在练习投篮动作，并尝试运用数学知识探究如何实现精准投篮. 13 中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 数学抽象 图2 图1 理想状态下可以将篮球的运动路线抽象成抛物线，如图2，出手点为P, 其顶点为M,球架底端记为N,以P正下方地面上的点O为坐标原点， ON所在的直线为x轴，OP所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系. 该同学某次投篮时，篮球出手点距地面2.15米，篮球在空中的最高点 数据收集 距离地面3.75米，最高点到出手点的水平距离为4米，篮筐中心距地 面3.05米，出手点与篮筐中心的水平距离为7米. 问题解决 (1)求这条抛物线的表达式. (2)判断这次投篮能否入筐？若能，请说明理由；若不能，在篮球出手高度和抛物线形状不 变的情况下（忽略其他因素），他应向前或向后移动多少米可使篮球入筐？（不考虑篮球碰 到篮板情况) 27.（2026新疆喀什.二模)如图①为某公园的景观桥，它的拱形桥洞轮廓可近似看作抛物 线的一部分，为营造节日气氛，工作人员计划在桥拱悬挂红灯笼.已知桥拱与水面的交界点 A,B之间的距离为6米，桥拱最高点C到水面的距离为？米，以水面AB为x轴，AB的垂 直平分线为y轴，建立如图②所示的平面直角坐标系.。 D 图① 图② (1)求该抛物线的函数解析式： (2)当水位上涨后，桥拱下水面宽DE为5米，工作人员计划在桥拱悬挂红灯笼增加节日气氛。 已知灯笼自身高度为米，且灯笼底部距离水面D正的距离为：米，工作人员可以挂儿盏这 5 14 中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 样的灯笼？并计算出所挂的灯笼与桥拱最高点C的水平距离： 28.(2026陕西渭南·二模)某活动场地入口安装了一座充气拱门，拱门外边界线呈抛物线 状.拱门底部宽度OA为10米，最高点到水平地面OA的距离为4米，以OA所在直线为x 轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示. M y (1)求抛物线的函数表达式： (2)在拱门上悬挂一条横幅MN,MN∥x轴，MN=4米，其中点M、N均在抛物线上，且 位于对称轴两侧，求横幅MN(宽度忽略不计)到地面的距离。 29.(2026广东肇庆.二模)舞狮是中国优秀的传统民间艺术，每逢佳节或隆重庆典，民间 常以舞狮来助兴.如图，舞狮团进行舞狮表演，演员从木桩顶部A处弹跳到另一木桩顶部B 处，以O点为坐标原点，OC所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐 标系，其身体（看成一点）的路线是抛物线y=-3x+bx+c的一部分，己知木桩顶部A处 的高度0A为1米，另一木桩顶部B处的高度BC为2.92米，两个木桩的水平距离0C为1.6 米.（不考虑木桩横截面积） y(米) Ex(米) (1)求该抛物线的表达式： (2)若在木桩BC右侧设置一个与BC高度相同的木桩DE,演员从B处按如图所示方式跳出， 跳跃轨迹形状不变（即抛物线形状不变，演员跳起的最高点距起跳点水平距离与从A点起 跳时一致)，要保证演员可落在新设置的木桩顶部D处，求新设置的木桩DE与BC间的水 平距离。 30.(2026陕西西安，模拟预测)如图①，是某海底世界时空隧道的截面图，上半部分可近 似看作一条抛物线，下半部分可近似看作矩形AOCB.如图②所示，以点O为坐标原点， 地面0C所在直线为x轴建立平面直角坐标系.已知矩形长0C=5m,宽OA=1m,隧道最 15 中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 33 高点距离地面8m. M 的 H C x 图① 图② (1)求该抛物线的函数表达式： (2)为清洁隧道玻璃，工人师傅设计了一个清洁设备，0G是一条滑轨（点G在抛物线对称 轴右侧的抛物线上)，GH是高度为3米的竖直支撑杆，PM为竖直的伸缩清洁臂，当点P 在0G上滑动时，伸缩清洁臂PM可清洁隧道玻璃.若0≤PM≤2.5，请问：伸缩清洁臂能 否彻底清洁OG上方的玻璃？请说明理由. 【题型七】几何综合压轴 31.（2026广东深圳二模)我们把对角互补且存在一组对边相等的四边形称为对等补四边 形，此时该四边形的另一组对边平行 D D A B B 图1 图2 图3 D B B 图4 备用图 例如图1所示，若∠A+∠C=180°，AB=CD,则称四边形ABCD为对等补四边形，且有 AD∥BC. (1)以下图形属于对等补四边形的有 (填序号) ①平行四边形②矩形③菱形④正方形 16 中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ (2)如图2，四边形ABCD为对等补四边形（AB=CD),小明发现当∠A=90°时，四边形 ABCD恰好为矩形，请你帮他证明这一结论； (3)如图3，四边形ABCD为对等补四边形，AB=CD=5,BC=11,对角线AC平分角 ∠BCD,求线段AC的长度 (4)在问题(3)的条件下，平面内存在点E使得四边形ABEC为对等补四边形，线段DE与 线段AC交于点Q,请直接写出线段DQ的长。 32.(2026上海静安.二模)菱形ABCD中，点E在线段AD上，连接CE、BE. A 图1 图2 备用图 (1)如图1，连接AC交BE于点F,若EC=DC,求证：∠EBC=LBAC (2)如图2，AB=6,∠ABC=60°，点P在线段BE上，且满足LBCP=LBEC,设AE=x, BP=y, ①求y关于x的函数解析式，并写出定义域； ②当AE=3时，以AE为半径的OA和以BP为半径的OB是否相交？如果相交，求出它们的 公共弦长；如果不相交，请说明理由 33.(2026江苏南通模拟预测)“鹿鸣•博约”数学兴趣小组开展了《再探矩形的折叠》这一 课题研究.已知矩形ABCD,点E、F分别是AB、CD边上的动点. M B B 图① 图② 图③ (1)若四边形ABCD是正方形，如图①，将四边形BCFE沿EF翻折，点B,C的对应点分别 为M、N.点M恰好是AD的中点. ①若AD=8,求AE的长度： ②若MN与CD的交点为G,连接EG,试说明AE+DG=EG; (2)若AB=2√5，AD=2,如图②，且AE=CF,将四边形BCFE沿EF翻折，点B、C的对 应点分别为B'、C'.当点E从点A运动至点B的过程中，点B的运动路径长为一； 17 中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ (3)若四边形ABCD是正方形，AD=8,如图③，连接DE交AC于点M,以DE为直径作圆， 该圆与AC交于点A和点N,将△EMN沿EN翻折，若点M的对应点M'刚好落在BC边上， 求此时AE的长度， 34.(2026重庆模拟预测)在ABC中，BE⊥AC,垂足为E,CD⊥AB,垂足为D, BE与CD相交于点F. E 图1 图2 图3 (1)如图1，∠BAC=60°，DF+EF=m,用含m的代数式表示BF+CF. (2)如图2，N为线段BC上一点，M在NA的延长线上，连接BM,AC=MB, LCAN=∠BMN,2LCAN+LABM=60°，将CD绕点D逆时针旋转60°得到GD,连接 EG,用等式表示线段EG与BN的数量关系并证明. 3)如图3，LBAC=67.5°，AC=BC=3√2，AH⊥BC,垂足为H,点K,Q分别为线段 AH,AC上的动点，且AK=CQ,连接CK,BQ,当CK+BQ取得最小值时，在△BCO 内部取一点P,连接PB、PC、PQ,请直接写出V5PB+2V2PQ+3PC的最小值. 35.(2022辽宁丹东·二模)如图，在ABC中，∠BAC=90°，以AB为一边向外作正方形 ABDE,点F为直线BC上的一点，连接DF,作FGDF交直线AB于点G. D A D B 图1 图2 备用图 (1)如图1，若AB=AC,点F在线段BC上，请直接写出线段DF与FG的数量关系： (2)如图2，若AB=√5AC,点F在线段BC上，试探究线段BD,BF,BG三者之间的数量 关系，并证明你的结论； 3)若AB=√5AC,AB=3,DF=2√2，请直接写出AG的长. 18 中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 链接中考 1.(2025山东东营.中考真题)东营市各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县， 为了解城乡教育质量发展情况，从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测，每个学校均随 机抽测了10名学生，数据分析如下. (一)收集与整理 农村学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 64,74,78,82,84,86,86,92,96,98; 城区学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 62,70,79,83,85,87,87,90,97,100, (二)描述与分析 城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 农村 84 a 86 c 城区 84 86 b 118.6 根据以上信息，回答下列问题： (1)直接写出表格中a、b、c的值，a= ，b= ,C= (三)迁移与应用 （2)若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用 列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率； (3)请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对 艺术教学提出一条合理化建议。 2.(2024江苏淮安.中考真题)如图，在ABC中，BA=BC,以AB为直径作⊙0交AC于 点D,过点D作DE⊥BC,垂足为E,延长DE交AB的延长线于点F, 19 中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ B (1)求证：DF为O0的切线： (2)若BE=1,BF=3,求sinC的值. 3.(2025山东滨州.中考真题)如图，ABC中，∠BAC=108°，AB=AC.以点B为圆 心，适当长为半径画弧，分别交BA,BC于点E,F;以点A为圆心，BE的长为半径画弧， 交AC于点H,以点H为圆心，EF的长为半径画弧，两弧交于点G;连接AG并延长交BC 于点D E (1)求证：△ACDn△BCA; (2)当AB=4时，求BC的长. 4.(2025-山东德州中考真题)如图，A(-6,0),B(0,8),点M在线段OB上，将△ABM沿 直线AM折叠，点B恰好落在点B'(a,O)处. B M A 0 B' (1)求a的值； (2)求直线AM的解析式： (3)若直线y=-x+t与直线AM的交点在直线x=a的左侧，请直接写出t的取值范围， 5.(2025陕西中考真题)在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜 面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示.小球滚动过程 20 中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 中的速度y(m/s与时间x(s之间的关系如图②所示. y(m/s) 777777777 2 3.5 B 图① 图② (1)求AB所在直线的函数表达式： (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长， 6.(2025陕西中考真题)小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽.测量示意图如图所 示，他们在河边的山坡BM上的点C处安装测角仪CD,测得河对岸点A的俯角为 8.5,CD与BM的夹角B为78.5°，又测得点C与河岸点B之间的距离CB为10m.已知 CD=1.6m,点A,B,C,D,M,N在同一平面上，点A,B,N在同一水平直线上，且CD⊥AB.求 河宽AB.(精确到0.1m)(参考数据：sin8.5°≈0.15，cos8.5°≈0.99，tan8.5°≈0.15， sin78.5°≈0.98，cos78.5°≈0.20，tan78.5°≈4.92) M B 7.(2025四川中考真题)某药品研究所开发一种抗菌新药.经多年动物实验，首次用于临 床人体试验.测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药后时间x(时)之间 满足一次函数关系（如图）·服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升； 服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升. y(微克/毫升) 9----- 7 6 5 32 01234567891011x(时) (1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段y与x之间的函数关系式： 21 中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ (2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作 用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长， 8.(2025山东东营中考真题)《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销.某经销店购 进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶 的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍. (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两 款玩偶共100个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过 1100元，问：有多少种进货方案？ 9.(2025四川绵阳.中考真题)如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+2与x轴交于点 4,与轴交于点C,点8在y轴右侧的x上，抛物线=ar+弓+ca+0)经过A,B, C三点，顶点为D (备用图) (1)求抛物线的解析式及点B,D的坐标： (2)点P在直线AC上运动，当△BDP的周长最小时，求点P的坐标： 3)探究在ABC内部能否截出面积最大的矩形EFGH(顶点E,F,G,H在ABC各边上)？ 若能，求出此时矩形在AB边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由 10.(2025海南.中考真题)如图，抛物线y=ax2+bx+ca>0)经过A4,0)、B(-2,6)两点。 点P(xy)是线段AB上的动点，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q. (1)若c=-4. 22 中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ ④ ①求抛物线的解析式： ②求线段PQ长度的最大值； ③若t≤x。≤t+1,求x取何值时线段PQ的长度最大（可用含t的代数式表示x). (2)若c≠-4，t≤x。≤t+1,问题（1)中③的结论是否会发生变化，请说明理由. 23