题型6 简单圆的相关证明与计算-【众相原创·减负中考】2026年中考数学广西解答题专项（广西专用）

题型六简单圆的相关证明与计算 (3年3考，必考) 1.（2025柳州城中区模拟)如图，四边形ABCD3.（2025兰州)如图，⊙0是△ABC的外接 内接于⊙O,AC为⊙0的直径，∠ADB= 圆，AB是⊙0的直径，过点B的切线交 ∠CDB. AC的延长线于点D,连接D0并延长，交 (1)试判断△ABC的形状，并给出证明； ⊙O于点E,连接AE,CE. (2)若AB=√2，AD=1,求CD的长度 (1)求证：∠ADB=∠AEC; D 3,求0D (2)若AB=4,c0s∠AEC= 的长 2.（2025安徽)如图，四边形ABCD的顶点都 在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接 OC,∠DAB+2∠ABC=180°. (1)求证：OC∥AD: (2)若AD=2,BC=23,求AB的长. 16 4.(2025南宁模拟)如图，在⊙0中，弦AB5.如图，AB是⊙0的直径，点C是⊙0上一 的长为8，点C在B0的延长线上，且 点，∠CAB的平分线AD交BC于点D,过 w∠Ac-o0=0R 点D作DEBC交AC的延长线于点E. (1)求证：DE是⊙O的切线； (1)求⊙0的半径： (2)过点D作DF⊥AB于点F,连接BD, (2)求∠BAC的正切值 若OF=1,BF=2,求BD的长度 c o 17 6.如图1，独轮车俗称“手推车”，又名辇、鹿7.如图，AB为⊙0的直径，C为BA延长线 车等，是交通运输工具史上的一项重要发 上一点，D为⊙O上一点，连接CD,BD, 明，至今在我国农村和一些偏远地区仍然 ∠ADC=∠AOF,OF⊥AD于点E,交CD于 广泛使用.图2是从独轮车中抽象出来 点F 的几何模型.在△ABC中，以△ABC的边 (1)求证：CD是⊙O的切线； AB为直径作⊙O,交AC于点P,PD是⊙O (2)若AC=2OA,EF=2,求BD的长 的切线，且PD⊥BC,垂足为D D (1)求证：∠A=∠C; (2)若PD=2BD=4,求⊙0的半径. 图1 图2 18180a+150(15-a)≥2530，解得a≥28」 a为整数，a的最小值为10. 答：至少需要安排甲工程队维护10天 6.解：(1)此次行程高速费原价总共为(a+b+c)元. 实际支付高速费用(0.95a+0.5c)元， 比原价优惠了a+b+c-(0.95a+0.5c)=(0.05a+b+0.5c)元 (2)设特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为x元 和y元， 则/05y=27.55, 解得459， (0.95x+0.95y=95.95 (y=55.1, 4 故此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段 的单程高速费原价分别是45.9元和55.1元： 题型四函数的实际应用 1.解：(1)设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为(x +400)元. 根据题意，得1800.300 本+40解得600 经检验，x=600是原方程的解，且符合题意， ∴.x+400=1000. 答：A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元. (2)设购买A种帐篷m顶，则购买B种帐篷(20-m)顶，总 费用为W元 1 根据题意，得20-m≥3m,解得m≤15. 又两种型号的帐篷均需购买，∴.0<m≤15. W=600m+1000(20-m)=-400m+20000. -400<0,∴.W随m的增大而减小， .当m=15时，W取最小值，最小值为-400×15+20000= 14000,此时20-m=5. 答：当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低， 最低总费用为14000元. 2.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b, 将(50,300)，(60,200)分别代入， 得/50+6=30 解得-10. (60k+b=200, (b=800. y与x之间的函数关系式为y=-10x+800. (2)设利润为w元，根据题意，得0=(x-40)(-10x+800)= -10x2+1200x-32000=-10(x-60)2+4000. .·-10<0,40≤x≤80， .当x=60时，w有最大值，最大值为4000元. ∴.当销售单价为60元时，该经销商每天获得的利润最大， 最大利润是4000元. 3.解：(1)设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个 6根据题意，得+2=20解得任=40， (4x+3y=400,（y=80. 答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个 (2)设制作乙种纸盒m个，需要沁张正方形硬纸片，则制 作甲种纸盒(100-m)个. 根据题意，得w=2m+(100-m)=m+100 ·1>0 ∴.w随m的增大而增大 2(100-m),解得m≥100 又m≥ 3 .·m为正整数，∴.当m=34时，心取得最小值，最小值为34 +100=134 答：至少需要134张正方形硬纸片 解：(1).0A=6米，AB=2米， ∴.点B的坐标为(2,6)， 设BC段滑梯所在的双曲线的解析式为y=左(k为常数， 且k≠0)， 符B(2.6)代入y=,得。=6，解得=12 2 一BC段滑梯所在的双曲线的解析式为y=2 (2)设点C的坐标为(m,1.5) 将a,15)代入y是得 =1.5,解得m=8, .8-2=6(米)， .B,C之间的水平距离为6米 (3)设点Q的坐标为(a,b), 12 12 12 将Q(a,b)代入y=二，得b= a.as b 根据题意，得 -2≤2，解得b≥3 ∴.点Q到水面的距离至少3米 解：(1)50：40 (2)观察表格可知，y是x的一次函数，设y=kx+b, 则有5+h=65, (10k+b=60 解得1， (b=70, 当5≤x≤30时，y关于x的函数解析式为y=-x+70, (3)图象如解图 ◆ycm 70 65 60 55 50 45 405 05101520253035x/cm (4)由题意，得y=52, ∴.52=-x+70,.x=18 ∴.此时活动带未使用部分的长度为18cm. 题型五统计题 (21200386(人). 1.解：(1)由条形统计图可得，女生进球数的平均数为(1×1+ 答：估计全校最喜欢“敖丙”角色的人数为336 2×4+3×1+4×2)÷8=2.5(个). 将统计的8名女生进球数按从小到大排列，第4,5个数据 6.解：(1)4.5：4.5：4.45(2)< 都是2，.女生进球数的中位数为2个， (3)A,B两箱沙糖桔直径均在4cm~5cm之间，符合一级 由条形统计图可得，女生进球数的众数为2个 果要求。 s<s,.A箱沙糖桔的直径相差较小，大小更均匀， (2)800x3 =300(人)， .选择A箱沙糖桔更好。 答：估计全校为“优秀”等级的女生有300人 题型六简单圆的相关证明与计算 2.(1)6;7.5;> 1.解：(1)△ABC是等腰直角三角形.证明如下： (2)解：我认为小罗应该选择A AC为⊙0的直径，.∠ABC=90° 理由如下：从语言交互能力得分来看，A和B的平均数一 ∠ADB=∠CDB,AB=BC,.AB=BC, 样，但是A的中位数和众数均高于B: ·.△ABC是等腰直角三角形， 从数据分析能力得分来看，A的平均数高于B,且A的中位 (2)由(1)知，在Rt△ABC中，BC=AB=√2，AC=2. 数也大于B.(理由合理即可). AC为⊙0的直径∠ADC=90. 3.解：(1)90分：88.5分 AD=1,AC=2,.CD=√5. (2:85x90x+0x 0*80 0=865(分)， 2 2.(1)证明：由圆周角定理知，∠A0C=2∠ABC. .1号参赛选手在环节一中的总分是86.5分 .·∠DAB+2∠ABC=180°， (3)将成语听写、诗词对句、经典诵读分别记作1,2,3，画树 .∠DAB+∠AOC=180°，OC∥AD. 状图如解图。 (2)解：如解图，连接BD,交OC于点E. 开始 .·AB是⊙O的直径 ∴.∠ADB=90°，即AD⊥BD .·OC∥AD,∴.OC⊥BD 0为AB的中点， 3 3 .E为BD的中点， 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中小明同学抽 .OE是△ABD的中位线. 到“成语听写”和“经典诵读”有2种， 六小明同学抽到“成语听写”和“经典诵读”的概率为 0E=2AD=1. 6 设半圆0的半径为r,则CE=r-1. 3 由勾股定理知OB2-0E2=BE2=BC2-CE2, 4.解：(1)随机抽取的25名学生中，平均每天的饮水量为2L ∴2-1=(23)2-(-1)2，解得1=3,2=-2（舍去）， 的有8人，平均每天的饮水量为2.5L的有5人，补全条形 .AB=2r=6. 统计图如解图 3.（1)证明：.BD是⊙0的切线！ 人数 .∴.∠ABD=90°=∠BAD+∠ADB. .:AB是⊙O的直径，∴.∠ACB=90°=∠ABC+∠DAB. .∴.∠ADB=∠ABC 1.522.53平均每天 AC=AC,.∠AEC=∠ABC,.∠ADB=∠AEC. 饮水量 (2)解：由(1)得∠ADB=∠ABC=∠AEC, (2)2:2 (3)1200x1x4+1.5x6+2x8+2.5x5+3x2 六os∠ADB=cos∠AEC,在Rt△ABD中，BD-5 2280(L) AD 3 25 答：估计这1200名学生平均每天的饮水总量为2280L 设AD=x,则BD=5 3 5.解：(1)200：54° 由勾股定理得AB2+BD2=AD, 补全条形统计图略 即+（气）户，解得=6负值配合)0-25 0B=2AB=2,.0D=√0B+BD=26. (2)解：连接PB,如解图 在Rt△PBD中，PD=2BD=4,.BD=2, 4.解：(1)如解图，过点0作0D⊥AB,垂足为D. .PB=√PD+BD=√2+4=25】 AB-8..:AD=BD=2AB=4. .·AB为⊙O的直径，.∠APB=90°. ·∠BDP=∠BPC,∠DBP=∠PBC,.△BDP∽△BPC, 4 在Rt△OBD中，cos∠ABC= 5 BP BD 25_2 .解得BC=10 BD BCBP即 BC 25 ..0B=- S∠ABC =5,⊙0的半径为5. ∠A=∠C,∴.BA=BC=10,∴.⊙0的半径为5. (2)如解图，过点C作CE⊥AB,垂足为E. 7.(1)证明：连接OD,如解图 0G=)0B.0B=5 .·OF⊥AD .∠AE0=90°， .∴.∠OAD+∠A0F=90° OD⊥AB,.OD∥CE, .·0A=OD 院器略嘉 .∴.∠OAD=∠ODA .:∠ADC=∠AOF, 2 .∠ADC+∠ODA=90°.∠0DC=90°. ∴.BE=6,∴.AE=AB-BE=2 :0D是⊙0的半径，.CD是⊙0的切线。 在R△BCE中，CE=V√BC-BE=9 (2)在Rt△ODC中，AC=20A, Γ2 .设0D=0A=0B=T,0C=3r,∴.BC=0C+0B=4. 在R△4CE中，anLBAC=Cg-9 AE4 ·AB为⊙O的直径，.∠ADB=90° 5.（1)证明：如解图，连接OD. OF⊥AD,.AE=DE,OE∥BD. .OA=OD,∴.∠OAD=∠ADO .·AO=B0,∴.OE是△ABD的中位线，.BD=2OE AD平分∠CAB,.∠DAE=∠OAD .·OF∥BD,.△COF∽△CBD ∴.∠AD0=∠DAE,.OD∥AE. OF OC 3r 3 ·BDBC44BD、Y 30R. ∴.∠E+∠ODE=180°. 520E=号0F= 4 AB是⊙O的直径， 3(EF+0E)= 3(2+0E), ∴.∠ACB=90°. .∴.OE=4,.BD=8 DE//BC. 二、重难解答题题型 .∠E=∠ACB=90°， 题型七综合与实践 ∴.∠ODE=180°-∠E=90°，即OD⊥DE 1.解：(1)①时间为9min的时候温度80℃是错误的，正确的 ·OD是⊙O的半径.DE是⊙O的切线 温度应该是70℃； (2)解：.AB是⊙O的直径，∴.∠ADB=90° ②如解图所示： ·OF=1,BF=2,∴.OA=0B=3,.BA=6 ,·DF⊥AB,∴.∠DFB=90°，∴.∠ADB=∠DFB. +温度y(℃) 140 30 又∠DBF=∠ABD,.△DBF∽△ABD,BABD BD BF 120 110 100 .BD=BF·BA=2×6=12,.BD=2√3 90F 80 6.（1)证明：连接OP,如解图. 70 ·PD是⊙O的切线 60 0 ∴.OP⊥PD. 40 30F- .·PD⊥BC,.OP∥BC 20 10f-1---1- ∴.∠OPA=∠C O1234567891011213141516时间t(mim) OA=OP,∴.∠OPA=∠A, ③一次； ∴.∠A=∠C. (2)设y关于t的函数解析式为y=t+b,代入(0,10)，(3， 30) 任务2：由所描点在同一条直线上可知，y=t+b能正确反 得10， k=20 映总水量y与时间t的函数关系， 解得 (3k+b=30, b=10. 把(1,10).(2,15)代入，得+6=10 (2k+b=15 解得5， (b=5. 20 六y关于1的函数解析式为)=3+10： ∴.y=5t+5. 任务3：①在y=5t+5中， (3)当=15时，y=3 20 ×15+10=110, 令y=65,得65=5t+5,解得t=12 .甲苯的沸点为110℃. .当量筒中的水刚好有65毫升时，所需时间是12分钟. ②在y=5t+5中，令t=60,得y=5×60+5=305. 2)5a2+(6)3 令t=0,得y=5,.305-5=300(毫升)， 5 1 ·此水龙头1小时会浪费300毫升水. (4)解：由(3)可知，l= 2a=2 ③建议水龙头要定期检查，并对漏水的水龙头要及时更 2(10+m)=50(2+y)y=20m 换.（答案不唯一，合理即可） 5.解：(1)18x;0=-x2+42+100 (5)解：由(4)可知，y=20m, 1 (2)由(1)得w=-x2+42x+100=-(x-21)2+541, .当x=21时，0m=541, 当m=0时，y=0:当m=5时，y=0.25. .排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541人 .相邻刻度线间的距离为0.25米。 (3)可开放7条安检通道.理由如下：设开放了m条安检通 0.5d的 3.解：(1)把d5=0.01%,dw=0.2%,代入d后05+0 道，则0=y-6mx=-x2+60x+100-6mx=-x2+6(10-m)x+ 100. 得0.01%=05x02%,解得u=9.5. 0.5+0 .对称轴为直线x=3(10-m) 经检验，w=9.5是分式方程的解，且符合题意， .排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少， ∴.只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01% 20 0≤3(10-m)≤10，即兮≤m≤10， 需要9.5kg清水. 0.5d,得 又：最多可开放9条安检通道， (2)第一次漂洗：把0=2，d=0.2%代人d=0.5+0 20 :3 ≤m≤9. 4,=05x02%-004%. 0.5+2 :m为正整数， 0.5dm,得d后 .m的最小值为7， 第二次漂洗：把0=2，d。=0.04%代入d-0.5+0 .可开放7条安检通道. 0.5×0.04% 6.解：(1)设MG=xcm =0.008%」 0.5+2 由图1、图2，得MN=(30-2x)cm.Mp=30-2 cm. .0.008%<0.01%, 2 .进行两次漂洗，能达到洗衣日标 .四边形MWQP的面积为162cm2。 (3)由(1)(2)的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗 .MN·MP=(30-2x) 302=162,解得x=6,=24. 2 衣目标，还能大幅度节约用水， .'MN=(30-2x)cm>0cm, ·.从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推 ∴.x<15,.MG=6cm. 广学习 4.解：任务1：描出表格中每对数据所对应的点如解图. (2)线段BF的长为30-2 cm. 2 y/毫升 35 (3)由题意可知△BPF为等腰直角三角形，长方体盒子的 30 侧面为4个全等的矩形， 25 20 PF=2BF=2x30-2=(152-x)m 2 10 .S矩形6rPH=GF·PF=x·(152-x)=(152 01234567t/分钟 .S=4SGFPM=-4x+60x