专题1.2 集合（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

**基本信息** 以8类核心题型为纲，分层设计基础到真题演练，系统覆盖集合概念、关系与运算，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型专练|8类32题|按元素关系、子集个数等分类，含含参及新定义问题|从概念理解到运算应用，构建“概念-关系-运算-创新”认知链| |分层突破|28题（A/B/C组）|基础巩固、能力提升、真题实战三级递进|难度螺旋上升，强化知识迁移与问题解决能力|

专题1.2 集合（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 元素与集合的关系】 1 【题型2 集合中元素的个数问题】 3 【题型3 求集合的子集（真子集）的个数】 4 【题型4 判断集合间的关系】 5 【题型5 与集合间的关系有关的含参问题】 6 【题型6 集合的交、并、补集运算】 8 【题型7 与集合的运算有关的含参问题】 9 【题型8 集合中的新定义问题】 10 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 元素与集合的关系】 1．（2026·陕西汉中·二模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据有理数和无理数的概念以及无理数数的拆分，对各个选项判断即可. 【解答过程】因为， 设,则：有理数部分：，无理数部分， , ,符合条件，所以，故A错误； 设,则有理数部分，无理数部分:， , ,符合条件，故，故B错误； 设,则：有理数部分，无理数部分： ，故,故C正确； 设,则有理数部分： (非整数，矛盾)，故，故D错误． 故选：C. 2．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）若集合，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】解方程求得集合，由此确定正确答案. 【解答过程】由得，解得或， 故，故，，. 故选：C. 3．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知集合，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据集合中的元素进行求解. 【解答过程】因为， 又且，则， 故选：D. 4．（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意列出不等式组即可求出结果. 【解答过程】由题可知且 解得. 故选：C. 【题型2 集合中元素的个数问题】 5．（2026·新疆喀什·二模）已知集合，，则的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，求出集合即可. 【解答过程】集合，则， 所以集合C的元素个数为3个. 故选：C. 6．（2025·四川内江·一模）已知集合，，则集合的元素个数为（    ） A．0 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【解题思路】根据补集的含义即可得到答案. 【解答过程】，则集合的元素个数为6. 故选：C. 7．（25-26高一上·江西九江·阶段检测）集合，若集合中恰有5个元素，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据集合的元素可求得的范围. 【解答过程】若集合中恰有5个元素，则， 所以. 故选：C. 8．（2025·浙江丽水·一模）已知集合，且的元素个数是一个，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用元素与集合的关系求解即可. 【解答过程】由的元素个数是一个，且，得，则， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 【题型3 求集合的子集（真子集）的个数】 9．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知集合，，，则集合C的子集有（   ） A．64个 B．63个 C．16个 D．15个 【答案】C 【解题思路】根据题意，求得集合，结合集合子集个数的计算方法，即可求解. 【解答过程】由集合，，且， 因为，，可得集合，所以集合的子集有个. 故选：C. 10．（2025·四川绵阳·模拟预测）集合的子集有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】D 【解题思路】有个元素的集合，子集个数为. 【解答过程】集合含有3个元素，故子集个数为， 故选：D. 11．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，列举出集合C的可能情况即可. 【解答过程】依题意，集合可以为：， 所以集合C的个数为4. 故选：D. 12．（2025·辽宁·三模）已知集合，则的子集个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解题思路】根据题意，联立方程组，求得集合中的元素个数，进而的集合的子集的个数，得到答案. 【解答过程】根据题意，联立方程组，可得， 所以，解得，即集合， 所以集合的子集个数为2个． 故选：C． 【题型4 判断集合间的关系】 13．（2025·宁夏吴忠·一模）已知集合，则（    ） A． B． C．⫋ D．⫋ 【答案】C 【解题思路】由集合，即可判断集合间的关系. 【解答过程】由，显然为奇数， 而，所以⫋. 故选：C. 14．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D．与没有包含关系 【答案】A 【解题思路】根据集合的子集的定义即可求解. 【解答过程】由，因为，所以， 又，所以， 故选：A. 15．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先计算集合，根据元素与集合、集合与集合之间的关系判断各个选项. 【解答过程】因为，所以，可知 对于A，是集合不是集合的元素，故错误，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，因为，不满足，D错误； 故选：C. 16．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）若集合，则A，B，C之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分别将集合表示为，和即可得结果. 【解答过程】∵， ， 显然， 故选：B. 【题型5 与集合间的关系有关的含参问题】 17．（2025·河南许昌·模拟预测）已知集合，，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据集合的包含关系直接得到答案. 【解答过程】因为，所以解得， 即a的取值范围是. 故选：D. 18．（2026·陕西铜川·三模）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用集合的包含关系列式求解. 【解答过程】集合，，由，得， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 19．（2025·陕西西安·一模）已知，，若集合，则（    ） A．0 B．1 C． D．1或-1 【答案】C 【解题思路】由两集合相等及分式的分母不为可求出，再利用集合相等和互异性求，代入计算即可. 【解答过程】因为，，所以，故， 此时集合为，根据集合相等，必有，解得或． 当时，不满足集合元素的互异性， 当时，集合为，符合条件. 所以． 故选：C. 20．（2025·山西·三模）已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据，由此列出满足题意的不等式组，求解出m的取值范围. 【解答过程】因为， 所以，解得． 所以的取值范围是． 故选：A. 【题型6 集合的交、并、补集运算】 21．（2025·河北沧州·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求得集合，结合集合交集的定义与运算，即可求解. 【解答过程】由不等式，可得，所以， 又由集合，所以. 故选：A. 22．（25-26高三上·陕西西安·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解题思路】解不等式化简集合A，然后利用并集运算求解即可. 【解答过程】集合 ，又，所以. 故选：B. 23．（2025·陕西·模拟预测）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据补集的概念进行求解. 【解答过程】因为，，所以． 故选：B. 24．（2025·青海·模拟预测）已知全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据交集的定义以及补集的定义即可求解. 【解答过程】由题可知，所以． 故选：C. 【题型7 与集合的运算有关的含参问题】 25．（2025·山东威海·三模）已知集合，若，则（    ） A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或1 【答案】B 【解题思路】由得集合，之间的包含关系，进而确定元素与集合的关系，即可求解. 【解答过程】由，得， 因为，所以， 因为集合， 所以或，解得或（不合题意舍去）， 所以或2. 故选：B. 26．（2025·山东聊城·模拟预测）已知集合，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用交集的结果列式计算即得. 【解答过程】由集合，得， 解得，所以. 故选：D. 27．（2025·陕西西安·二模）已知集合，.若，则（    ） A．0 B．1 C． D．0或 【答案】D 【解题思路】解方程求出集合，根据即可确定参数的值. 【解答过程】由可得或， 则当时，；当时，； 因，且， 则或. 故选：D. 28．（2025·全国·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据集合中元素的特性及交集运算求解即可. 【解答过程】由，得或， 解得，或. 当时，，不符合题意； 当时，，这与集合中有两元素相矛盾，不符合题意； 经检验符合题意. 故选：A. 【题型8 集合中的新定义问题】 29．（2025·全国·模拟预测）定义集合运算：.若集合， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出后可求得，故可得正确的选项 【解答过程】由题设可得，， 因为，，，， 故， 故选：D. 30．（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解题思路】根据给定的韦恩图，结合集合的运算求解. 【解答过程】集合，集合，则， 由韦恩图得 或. 故选：D. 31．（2025·北京·模拟预测）集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（    ） A．10 B．40 C．45 D．50 【答案】C 【解题思路】由题列举出所有的集合A的三元素子集，求出最大值，求和即可. 【解答过程】由题知： ，， ，， ，，， 则 故选：C. 32．（2026·安徽蚌埠·二模）对于数集，，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据集合的新定义求出 和 ，即可求出元素之和. 【解答过程】根据新定义，集合，则， 则 ，则可知所有元素之和为. 故选：D. A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·辽宁沈阳·一模）集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先解绝对值不等式再结合自然数定义计算即可. 【解答过程】集合. 故选：B. 2．（2025·湖南永州·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】应用集合的交运算求集合即可. 【解答过程】由. 故选：A. 3．（24-25高三下·云南昆明·阶段检测）集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【解题思路】根据中元素的性质可得，从而可求其子集个数. 【解答过程】因为， 故子集个数为， 故选：C. 4．（2025·陕西榆林·一模）已知集合，若，则实数的值为（   ） A．或3 B．0或 C．3 D． 【答案】C 【解题思路】根据题意集合相等，元素相同且同一集合元素互异求解即可. 【解答过程】解：因为集合，， 所以，解得. 故选：C. 5．（2025·江苏·模拟预测）已知集合，下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出可判断A；空集是任何集合的子集可判断B；结合常用集合的记法及补集的运算可判断C；根据集合间的关系可判断D. 【解答过程】解方程得，所以，根据元素与集合的关系故A正确； 空集是任何集合的子集，所以，故B正确； 表示无理数组成的集合，均为无理数，所以，故C正确； 表示的是集合，所以，故D错误. 故选：D. 6．（2025·广西·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先证明对任意，则，再证明，但，由此可得结论. 【解答过程】对任意，存在，使得， 由于，令，则，所以，故， 又（当时），但（由解得），所以是的真子集， 故选：C. 7．（2025·广东江门·模拟预测）若集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据子集的概念判断AB的真假；根据交集的概念判断C的真假；根据并集的概念判断D的真假. 【解答过程】对A，因为，但，所以不成立，故A错误； 对B，因为，但，所以不成立，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：D. 8．（2025·辽宁·模拟预测）已知集合、、是全集的三个真子集，、、的关系如Venn图所示，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，结合集合交集和并集的概念，即可求解. 【解答过程】如图所示，根据集合交集和并集的概念，可得阴影部分表示集合为， 即阴影部分表示集合为. 故选：B. 二、填空题 9．（2025·上海·模拟预测）已知集合，，则__________． 【答案】{4,5} 【解题思路】根据题意，结合集合交集的概念，即可求解. 【解答过程】由题意，. 故答案为：{4,5}. 10．（2025·河北衡水·模拟预测）设集合，，若，则__________. 【答案】 【解题思路】根据给定条件，利用集合元素的特性及集合相等求出. 【解答过程】在中，，则且， 而，，显然，因此，解得， 所以. 故答案为：. 11．（2025·山东潍坊·一模）已知集合，，若，则实数__________． 【答案】或2 【解题思路】根据集合的包含关系及集合元素的互异性求参数的值. 【解答过程】因为，所以. 根据集合中元素的互异性，可知 且. 若 ，此时，，满足. 若 或（舍去）. 此时，，满足. 综上或2. 故答案为：或2. 12．（2025·安徽合肥·一模）已知集合，若，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解题思路】根据集合的包含关系列不等式求解. 【解答过程】因为，故， 因为恒成立，所以， 所以，即. 故答案为：. B组 培优提升练 一、单选题 1．（25-26高一上·黑龙江鸡西·阶段检测）已知，，若集合，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解题思路】由集合相等，确定，进而确定，再结合元素互异性即可求解. 【解答过程】由， 可得， 所以，即， 所以， 当时，不符合元素互异性，舍去； 当时，符合题意， 所以. 故选：B. 2．（2025·湖北恩施·模拟预测）已知全集，，，则集合的真子集个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求解补集，再根据元素个数计算真子集个数. 【解答过程】，，， 则集合的真子集个数为7个. 故选：C. 3．（25-26高三上·北京东城·期中）全集，集合，图中阴影部分表示集合为（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解题思路】由Venn图可知，阴影部分表示集合，进而可求解. 【解答过程】由Venn图可知，阴影部分表示集合， 由， 得， 所以或， 故选：D. 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】使用三集合容斥原理，通过韦恩图划分各部分人数，设三类都参加的人数为、只参加劳动实践和培训的人数为，根据总人数列方程化简得，再结合培训的总人数，算出只参加培训的人数． 【解答过程】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． 故选：C. 5．（24-25高一上·重庆·阶段检测）含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的“交替和”是；而的交替和是，则集合的所有非空子集的“交替和”的总和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将集合的子集两两配对：使且，从而有集合与集合的交替和之和为4，再利用符合条件的集合对有个，即可求解. 【解答过程】由题知， 将集合的子集两两配对：使且，则符合条件的集合对有个， 又由题设定义有集合与集合的交替和之和为4， 所以交替和的总和为. 故选：A. 6．（25-26高一上·江苏无锡·期中）设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的（与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题个数为（   ） ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集； ②集合是“和谐集”； ③若，都是“和谐集”，则； ④对任意两个不同的“和谐集”，，总有. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】利用和谐集的定义，判断集合中必有元素0，从而可判断①，利用和谐集的定义，可证明②，利用举例可证明③④. 【解答过程】对于①，存在，满足有限集，也满足和谐集，故①正确； 对于②，当时， 对于， 总有 所以且，即满足“和谐集”，故②正确； 对于③，若都是“和谐集”， 则当时，由可知，“和谐集”中必有元素0，即，故③正确； 对于④，存在“和谐集”，此时，故④错误； 故选：C. 二、解答题 7．（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，、是的非空子集.记集合除以的余数.若正整数满足：存在非空集合、，使得两两的交集为空集，且，则称为“好的”. (1)设，，当时，求，并直接判断是否为“好的”； (2)证明：是“好的”，是“好的”； (3)求所有“好的”正整数. 【答案】(1)，是“好的” (2)证明见解析 (3)除、、外的正整数 【解题思路】（1）根据题中定义可求出集合，并由此作出判断； （2）当时，取集合，；当时，取集合，，结合题中定义验证可得出结论； （3）先证明出：若正整数是“好的”，则也是“好的”，再证：为奇数是“好的”，不是“好的”，同理易知，不是“好的”，由此可得出结论. 【解答过程】（1）当时，由题中定义可得，且，故是“好的”. （2）时，取，，则的值为、、、，除以8的余数为4，7，5，0. 所以，此时，合乎题意； 时，取，， 的值分别为4，7，12，15，5，8，13，16，20，23，21，24，除以16的余数为4，7，12，15，5，8，13，0. 所以，则，满足条件. 故是“好的”，是“好的”. （3）①首先证明：若正整数是“好的”，则也是“好的”.（*） 事实上，若正整数是“好的”， 设，，，此时集合、满足时条件. 时，考虑，， 则也满足条件，（*）得证. ②再证：为奇数是“好的”.（**） 事实上，取，，则满足条件，（**）得证. 由（*）（**）及（2）知除1，2，4外的正整数均为“好的”. ③再证：不是“好的”. 对集合，记为中元素个数，由条件，. 若，则，矛盾. 若或，则，则，矛盾. 于是不是“好的”. 同理易知，2不是“好的”. 所以，所求为除1，2，4外的正整数. 8．（2025·北京海淀·二模）记表示有穷集合的元素个数．已知是正整数，集合．若集合序列满足下列三个性质，则称是“平衡序列”： ①，其中； ②⫋，其中； ③对于中的任意两个不同元素，都存在唯一的，使得． (1)设，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明） (2)已知且集合序列是“平衡序列”，对于，定义：证明： （i）当时，； （ii）． 【答案】(1)是平衡的，不是平衡的； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【解题思路】（1）根据平衡的三个条件逐个分析即可判断，找到反例，即可判断； （2）（i）考虑，根据性质③知若，则会得到矛盾点，即可证明； （ii）设中最小的（之一）为，且，设，根据（i）的证明方法知当时，，则都不大于，最后相加即可证明. 【解答过程】（1）是平衡的，不是平衡的． 理由：， ，，满足， 显然⫋，且对于中的任意两个不同元素，， 都存在唯一的，使得． 故是平衡的， ， 并不是的子集，故不是平衡的． （2）（i）当时，对于中的每个元素，考虑． 由③知存在唯一的，满足，则． 将每一个对应到， 若，就有，否则且与③矛盾． 所以． （ii）对中所有元素的总个数算两次（重复出现的计多次）， 一方面总个数就是， 另一方面，按照每个元素出现的次数计算，这个总个数也是， 所以．（＊） 不妨设中最小的（之一）为， 且，由②③知． 再不妨设． 由（i）的证明方法可证：当时，， 由③知， 所以， 又因为，所以都不大于， 全部相加得， 由的最小性知， 结合（＊）可得 ， 所以． C组 真题·实战演练 一、单选题 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出集合后结合交集的定义可求. 【解答过程】，故， 故选：D. 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【解题思路】根据补集的定义即可求出． 【解答过程】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 3．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【解答过程】由，则， 集合， 故 故选：D. 4．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出. 【解答过程】因为，所以， 故选：D. 5．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算. 【解答过程】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即， 于是. 故选：C. 6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【解答过程】因为，所以， 则， 故选：D. 二、填空题 7．（2025·上海·高考真题）已知集合，，则等于________． 【答案】 【解题思路】根据交集运算，即可求解. 【解答过程】， 故答案为：. 三、解答题 8．（2025·北京·高考真题）已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列． (1)对于第1项为的K列，写出它的第2项． (2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； (3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 【答案】(1)或 (2)不能，理由见解析 (3)证明过程见解析 【解题思路】（1）根据新定义即可得解； （2）假设与能同时在中，导出矛盾，从而得出与不能同时在中的结论； （3）假设全体元素构成一个K列，通过构造导出矛盾，从而得到要证明的结论. 【解答过程】（1）根据题目定义可知，或， 若第一项为，显然或不符合题意（不在集合中），所以下一项是或； （2）假设二者同时出现在中，由于K列取反序后仍是K列，故不妨设在之前. 显然，在K列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从到必定要向下一项走奇数次. 但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中，所以从到必定要向下一项走偶数次. 这导致矛盾，所以二者不能同时出现在中. （3）法1：若中的所有元素构成K列，考虑K列中形如的项， 这样的项共有个，由题知其下一项为，共计16个， 而，因为只能6由2来，3只能由7来， 横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点， 即对于16个，有12个与之相对应，矛盾． 综上，由M的全部元素组成的序列都不是K列． 法2：假设全体元素构成一个K列，则. 设，. 则和都包含个元素，且中元素的相邻项必定在中. 如果存在至少两对相邻的项属于，那么属于的项的数目一定多于属于的项的数目， 所以至多存在一对相邻的项属于. 如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如和， 否则将导致属于的项的个数比属于的项的个数多2，此时. 从而这个序列的前项中，第奇数项属于，第偶数项属于； 这个序列的后项中，第奇数项属于，第偶数项属于. 如果不存在相邻的属于的项，那么也可以看作上述表示在或的特殊情况. 这意味着必定存在，使得. 由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数的点的数量一定分别是和（不一定对应）. 但容易验证，和都包含个横纵坐标之和为奇数的点和个横纵坐标之和为偶数的点，所以，得. 从而有. 这就得到. 再设，. 则同理有. 这意味着. 从而得到，但显然它们是不同的集合，矛盾. 所以由M的全部元素组成的序列都不是K列． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 集合（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 元素与集合的关系】 1 【题型2 集合中元素的个数问题】 3 【题型3 求集合的子集（真子集）的个数】 4 【题型4 判断集合间的关系】 5 【题型5 与集合间的关系有关的含参问题】 6 【题型6 集合的交、并、补集运算】 8 【题型7 与集合的运算有关的含参问题】 9 【题型8 集合中的新定义问题】 10 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 元素与集合的关系】 1．（2026·陕西汉中·二模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）若集合，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知集合，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 集合中元素的个数问题】 5．（2026·新疆喀什·二模）已知集合，，则的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2025·四川内江·一模）已知集合，，则集合的元素个数为（    ） A．0 B．3 C．6 D．8 7．（25-26高一上·江西九江·阶段检测）集合，若集合中恰有5个元素，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025·浙江丽水·一模）已知集合，且的元素个数是一个，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【题型3 求集合的子集（真子集）的个数】 9．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知集合，，，则集合C的子集有（   ） A．64个 B．63个 C．16个 D．15个 10．（2025·四川绵阳·模拟预测）集合的子集有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 11．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（2025·辽宁·三模）已知集合，则的子集个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【题型4 判断集合间的关系】 13．（2025·宁夏吴忠·一模）已知集合，则（    ） A． B． C．⫋ D．⫋ 14．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D．与没有包含关系 15．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）若集合，则A，B，C之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【题型5 与集合间的关系有关的含参问题】 17．（2025·河南许昌·模拟预测）已知集合，，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．（2026·陕西铜川·三模）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 19．（2025·陕西西安·一模）已知，，若集合，则（    ） A．0 B．1 C． D．1或-1 20．（2025·山西·三模）已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型6 集合的交、并、补集运算】 21．（2025·河北沧州·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高三上·陕西西安·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C．或 D． 23．（2025·陕西·模拟预测）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 24．（2025·青海·模拟预测）已知全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【题型7 与集合的运算有关的含参问题】 25．（2025·山东威海·三模）已知集合，若，则（    ） A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或1 26．（2025·山东聊城·模拟预测）已知集合，则（   ） A．2 B． C．1 D． 27．（2025·陕西西安·二模）已知集合，.若，则（    ） A．0 B．1 C． D．0或 28．（2025·全国·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【题型8 集合中的新定义问题】 29．（2025·全国·模拟预测）定义集合运算：.若集合， ，则（    ） A． B． C． D． 30．（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（   ） A． B． C．或 D．或 31．（2025·北京·模拟预测）集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（    ） A．10 B．40 C．45 D．50 32．（2026·安徽蚌埠·二模）对于数集，，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ） A．5 B． C． D． A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·辽宁沈阳·一模）集合，则集合（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南永州·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·云南昆明·阶段检测）集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 4．（2025·陕西榆林·一模）已知集合，若，则实数的值为（   ） A．或3 B．0或 C．3 D． 5．（2025·江苏·模拟预测）已知集合，下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·广西·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·广东江门·模拟预测）若集合，，则（　　） A． B． C． D． 8．（2025·辽宁·模拟预测）已知集合、、是全集的三个真子集，、、的关系如Venn图所示，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2025·上海·模拟预测）已知集合，，则__________． 10．（2025·河北衡水·模拟预测）设集合，，若，则__________. 11．（2025·山东潍坊·一模）已知集合，，若，则实数__________． 12．（2025·安徽合肥·一模）已知集合，若，则实数的取值范围为__________. B组 培优提升练 一、单选题 1．（25-26高一上·黑龙江鸡西·阶段检测）已知，，若集合，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 2．（2025·湖北恩施·模拟预测）已知全集，，，则集合的真子集个数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·北京东城·期中）全集，集合，图中阴影部分表示集合为（  ） A． B． C．或 D．或 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·重庆·阶段检测）含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的“交替和”是；而的交替和是，则集合的所有非空子集的“交替和”的总和为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江苏无锡·期中）设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的（与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题个数为（   ） ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集； ②集合是“和谐集”； ③若，都是“和谐集”，则； ④对任意两个不同的“和谐集”，，总有. A．1 B．2 C．3 D．4 二、解答题 7．（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，、是的非空子集.记集合除以的余数.若正整数满足：存在非空集合、，使得两两的交集为空集，且，则称为“好的”. (1)设，，当时，求，并直接判断是否为“好的”； (2)证明：是“好的”，是“好的”； (3)求所有“好的”正整数. 8．（2025·北京海淀·二模）记表示有穷集合的元素个数．已知是正整数，集合．若集合序列满足下列三个性质，则称是“平衡序列”： ①，其中； ②⫋，其中； ③对于中的任意两个不同元素，都存在唯一的，使得． (1)设，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明） (2)已知且集合序列是“平衡序列”，对于，定义：证明： （i）当时，； （ii）． C组 真题·实战演练 一、单选题 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 3．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 5．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2025·上海·高考真题）已知集合，，则等于________． 三、解答题 8．（2025·北京·高考真题）已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列． (1)对于第1项为的K列，写出它的第2项． (2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； (3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $