广东江门市广东实验中学附属江门学校2026届考前自测数学试卷

广东省江门市省实江门学校2026届第三次模拟考试 数学卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.己知集合A={1,2,3,4},B={xx2-4x<0},则AOB中元素的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知复数z满足(1-i):=3+41,则z的虚部为() B 5 c. D. 5 3.己知非零向量a,满足i=(W3,1),若a=1,则向量a在向量)方向上的投影向量为() A. 51 44 D.（5, 4.在某足球联赛的常规赛中，甲队进球个数的平均数为2.1，标准差为1.1；乙队进球个数的平均数为1.4，标准差 为1.2，则() A.甲队进攻能力比乙队强，甲队进球数波动较大 B.乙队进攻能力比甲队强，乙队进球数波动较大 C.甲队进攻能力比乙队强，乙队进球数波动较大 D.乙队进攻能力比甲队强，甲队进球数波动较大 5.在△ABC中，AB=4,AC=3,A=牙则△ABC的面积为《) A.6 B.6V3 C.3 D.3W3 6.设m,n∈R,若直线1：x十一1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且直线1与圆x2十y2=4相交所 得的弦长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为() A.5 B.4 C.3 D.2 7已知B0引 2sinB=cos(a+B)sino,则tanB的最大值为() A.6 B.V6 c.6 12 6 4 D. 6 8.在直三棱柱ABC-ABC中，点P满足3AP=AB+AC,若经过P,B,C三点的平面将棱柱分为I1,T,两部 分(T1的体积较小)，则工与T的体积之比为() A.4:5 B.5:7 C.10:17 D.8:19 试卷第1页，共6页 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.设事件A,B满足P(A)=0.2,P(B)=0.5,则下列结论正确的是() A.P(A)<P(B) B.若A,B互斥，则P(A+B)=0.7 C.若A,B独立，则P(AB)=0.1 D.若P(B|A)=0.2,则A,B独立 10.已知O是坐标原点，抛物线T:y2=2px的焦点是点F,A(2,2),B,C是抛物线上的三点，点T在圆 M:(x-2)+y2=1上运动，则下列选项正确的是() A.AF=3 B.m+5的最小慎为 C.如果OB⊥OC,则直线BC与x轴的公共点为(2P,O) D,如果直线AB,AC均与圆M相切，则直线BC的方程为3x+6y+4=0 11.己知数列{a}满足41=e-1(e是自然对数的底数)，且4=-1，则() A.a.<4+1 B.a.<0 c.2a>2 D.ant-an<antan 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.回归方程)=2.5求+0.2在样本(4,1.2)处的残差为 13.已知二项式(x+a展开式中，x2项的系数为80，则a= l4.已知函数f(x)的定义域为R,且f'(x)-f(x)>0,若f(0)=1,则不等式f(x)-e>0的解集为 (结果用区间表示) 试卷第2页，共6页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 I5.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形，M,N分别是AB,PC的中点. D D M B (1)求证：MNIW平面PAD: (2)若PD=AD=2,求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值. 16.设Sn为数列{an}的前n项和，己知a1=1,a3-7,an=2an-1+a2-2n≥2). )证明：{an+l)为等比数列； (2)求{an}的通项公式，并判断n,an,S是否成等差数列？ 试卷第3页，共6页 l7.第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的 数学知识，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，条件概率就 被广泛应用于ChatGPT中.某数学素养提升小组设计了如下问题进行探究：现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图）， 其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同某人先从两个箱子中 任取一个箱子，再从中随机摸出一球 888 甲 (1)求摸出的球是黑球的概率； (2)若己知摸出的球是黑球，请用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大 试卷第4页，共6页 1®已为横圆C号+芳-a>办>0的长特长是知描K的2价，先距为25. (1)求C的标准方程： (2)设A,B是C上关于y轴对称的两点，P是C上一点，直线PA,PB与y轴分别交于M,N两点. (i)设O为坐标原点，证明：OMOW为定值： (ii)若AM⊥AN,求△PAB的面积的最大值. 试卷第5页，共6页 19.意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链下垂部分所形成的曲线是 层线，通过建立适当坐标系，链线可为函数了心)十。一的图象，我们称这个函数为双曲氽弦函数，记为 的se+e”,把g=e-,e称为“双曲正弦函数”，记sh)=。,，易知h(2w)=2(y)ch(x 2 )求i证：(i)当x≥0时，$h(y)≥0；(i)h(x)≥1+2x2: 2 (2)求证：若x>0,为>0，则[ch()+sh(:)-x2-1[ch(:)+sh(3门>sin(飞+)-six-3cos￥. 试卷第6页，共6页 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 9 10 答案 9 C 0 c 0 BC BCD 题号 11 答案 ABD 1.C 【详解】由题意得：B=(0,4),又A=1,2,3,4} .AnB=1,2,3} .AOB中元素的个数为3个 故选C 2.C 【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简即可求解. 【饼1n:-3到4-5，可附：名09品司-月子 5 所以z的虚部为 故选：C 3.A 【分析】借助投影向量定义计算即可得. ab b 1 Bb 【详解】 3+13+14' 故向量a在向量b方向上的投影向量为 31 4’4 4.C 【分析】根据进球个数的平均数判断进攻能力强弱，根据标准差判断进球数波动大小， 【详解】因为甲队进球个数的平均数为2.1，乙队进球个数的平均数为1.4， 所以甲队进攻能力比乙队强， 又因为甲队进球个数的标准差为1.1，乙队进球个数的标准差为1.2， 所以乙队进球数波动较大. 5.D 【分析】应用三角形面积公式求面积即可 【详1由题设号极4Cm4=439-35 2 答案第1页，共11页 故选：D 6.C 【解析】根据圆的垂径定理，结合点到直线距离公式、重要不等式进行求解即可. 【详解】由直线与圆相交所得的弦长为2，圆的半径为2，由垂径定理可知： 圆心到直线的距离d=22-(专×2}=V5,由点到直线距离公式得： 1 √m2+ 元=5，所以m+r=之2m4,当且仅当m=n时等号成立所以ms,又A心0，B0与，所以eAo8g 6 n 的面积S=2m23,故a10B面积的最小值为3. 故选：C 7.A 【详解】因为2sinB=cos(o+B)sina,所以2sinB=(cos a cos B-sina sin B)sina, 两边同除以cosB,得2tanB=cos asin a-tan Bsin2a, 所以(2+sin'a)tanB=cosasina,因为u∈ 0,2 所以tana>0, 所以anB=-cosasin cos asina tan a 1 2+sin a 3sin a+2cos a 3tan a+2 2 3tana+- tang 1v6 2 2612, 2,/3 tan a×. tana 2 当且仅当3tana= ，即tana=y6时取等号， tana 3 所以amB最大值为Y6 12 8.D 【分析】根据3A亚=AB+AC,确定点P的位置，经过P,B,C1三点的平面将三棱柱分为两部分，通过补形确定 经过三点的平面，利用棱柱、棱台的体积计算方法，得到，2两部分的体积，最终求得比值. 【详解】取BC的中点D,连接AD,.2AD=AB+AC: :3AP=AB+AC,AP=名AD,即点P在线段AD上，AP=2AD. 3 3 过点P作EF/IBC,分别交AC,AB于点E,F 平面B,CEF是过点P,B,C三点的平面， 答案第2页，共11页 C 设SMABC=S4G=S,直三棱柱ABC-AB,C1的高为h. V三楼柱C-46=S, EF/BC,4AP=AD,SaR=g八AB日9 3 AS: :了装台-A9一有9 1 2 4 19 S+-S+-S h=- sh 3927 直三棱柱被平面B,CEF分成T1,T2两部分(T1的体积较小)， 27%,则m19 1 % 7 27 Vn= 22%19 9.BC 【分析】根据对立事件的概率公式即可判断A;由概率的加法公式即可判断B;由独立事件的乘法公式即可判断C: 由条件概率公式即可判断D. 【详解】对于A,P(A)=1-P(A)=1-0.2=0.8,P(B)=1-P(B)=1-0.5=0.5, 所以P(A>P(B),故A错误： 对于B,若A,B互斥，则P(AB)=0, 所以P(A+B)=P(A+P(B)-P(AB)=0.2+0.5-0=0.7,故B正确； 对于C,若A,B独立，则P(AB)=(A)xP(B)=0.2×0.5=0.1,故C正确 对于D.P(BA)-PaB).PHB）-02PB004, P(A)0.2 因为P(A)=0.2,P(B)=0.5,所以P(A)xP(B)=0.2×0.5=0.1, 因为P(AB)≠P(A)×P(B),所以A,B不独立，故D错误. 10.BCD 答案第3页，共11页 【分析】对于A,将点代入抛物线，得到方程后再求解即可；对于B,IBT+BF=|BT+d的最小值，等价于求圆 心M到x= 2 的距离减去半径：对于C,联立方程组后，运用平面向量的坐标运算求解即可：对于D,运用几何 法，设切线，求解方程即可 【详解】对于A:因为4(2，)在抛物线上，所以2-2px2,解得p=1,所以抛物线的准线方程为：=分，则 4=2+分=3，故A不正确： 1 对于B:根据抛物线定义，|BF等于点B到准线x=- 的距离d, 要求8mHBF=B7+d的最小值，等价于求圆心M到x=号 的距离减去半径， 即2-(1=子1，所以m+B时的最小值为了故B正确： 对于C,显然直线BC的斜率不为0，设直线BC的方程为x=y+t,B(:,片)，C(,为)， 少=2，得y-2x=0,所以=-么，所以5=型=， 由 x=my+t 4 所以OB.OC=xx2+y2=t2-2t=0,解得：t=2或t=0, 当t=0时，直线BC过原点，不满足题意，舍去， 所以t=2,即直线BC与x轴的公共点为(2,0)，故C正确： -i,清线的方-子2-.则2x便23y2-0 对于D,直线AB的斜率为k如=占22 4+24 又直线AB与圆(x-2)?+y2=1相切，所以 22+(0+2 =1,整理得3+12y+8=0,即3x1+6y+4=0, 同理可得3x+6y+4=0,所以直线BC的方程为3x+6y+4=0,故D正确. 答案第4页，共11页 11.ABD 【分析】根据数学归纳法判断B:利用函数f(x)=-x-l的单调性判断A:根据数列前3项和可判断C;利用作 差法结合条件判断D. 【详解】对于B,因为a=-1<0,假设当n=k时a.<0,则a1=e-1<e°-1=0， 即当n=k+1时，aH<0成立，所以可得a<0,故B正确 对于A,设fx)=e-x-1,则f'(x)=e-1,当x<0时f'(x)=e-1<0,当x>0时f'(x)=e-1>0, 所以f(x)在(-o,0)上的单调递减，在(0，+∞)上单调递增， 则f(x)m=f(0)=1-0-1=0,则f(x)≥0恒成立，即e≥x+1. 由e>x+l(x<0),可得a1-a,=e-1-a,>0,故A正确. 对于c,因为4=-14=e0-11,4=e-1<e-1 e 所以4+a,+45-1+11+e片-1=-3+e片， e 1 1 而二+e<1,所以4+4+4<-2，故C错误， e 对于D,因为4h-a.-a+an=e-1-4.-a(e-1=(（1-4)e-1, 令x=-a.>0,由e">x+l(x>0),可得(1-a)ea=(1+x)ex<e.e"=1, 则a+1-4-A+1A<0,即a1-an<a+An,故D正确 12.-9 【分析】根据残差的定义直接计算即可. 【详解】由题当x=4时，)=2.5×4+0.2=10.2， 故1.2-10.2=-9 所以回归方程)=2.5元+0.2在样本(4,1.2)处的残差为-9. 故答案为：-9 【点睛】本题主要考查了残差的概念，考查了运算能力，属于容易题 答案第5页，共11页 13.2 【分析】根据二项展开式的通项公式，将x项的系数表达式求出等于80， 再求解关于a的方程即可. 【详解】(x+a的展开式的通项为T,=Cx-a', 令5-r=2,得r=3, 则x2项的系数Cd=80,解得a=2: 故答案为：2. 14.(0,+0) 【分析】由f(9)-f>0,可得8N)=但在R上单调递增，又注意到原不等式等价于g(田>g(0),据此可得 ex 答案 【详解】因为f(四-f)>0,构造函数gy)=四， ex 因为g()=)f①，0，所以函数8（时是增函数， ex 因为f()-e>0,所以1， ex 因为9山，所以原不等式即g9>g0),解得x>0 所以不等式f(x)-e>0的解集为(0，+o) 15.(1)证明见解析 R 2 【分析】(1)先证明出四边形AME是平行四边形，再根据线面平行的判定即可证明： (2)建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量公式即可求解 【详解】(1)设PD的中点为E,连接EA,EN, 因为B,N是PD,PC的中点，所以在△PDC中，ENDC,BN=DC, 2 因为ABCD为正方形，M为AB中点，所以AMIlDC,AM=DC, 2 所以AM1∥EN,AM=EN,即四边形AMNE是平行四边形， 所以NI∥AE,又因为AEC平面PAD,MN丈平面PAD, 所以NI∥平面PAD. (2)因为PD⊥平面ABCD,AD,DCC平面ABCD,所以PD⊥DA,PD⊥DC, 在正方形ABCD中，DA⊥DC, 答案第6页，共11页 ZA A M B 所以以{DA,DC,DP为正交基底建立空间直角坐标系O-, 因为PD=AD=2, 所以C(0,2,0),B(2,2,0),P(0,02), 所以PB=(2,2,-2),PC=(0,2,-2) 设平面PBC的一个法向量为i=(x,y,z), 所以 m-5=0即2x+2y-2z=0, m.PC=0,2y-2z=0, 解得x=0,取y=1,得z=1,所以=(0,1,1)， 又平面PAD的一个法向量为i=(0,1,0), 所以os负成m月方-返 ma√221 所以平面PAD与平面P8C夹角的余弦值为5 2 16.（1)证明见解析：（2)a=2”-1,n,4,Sn成等差数列. 【分析1(1)由题意求得么-29中-20≥2)，进而利用等差数列的定义可判定a+1是首项为2，公比为 a-1+1an-1+1 2的等比数列. (2)由(1)知，4.+1=2”，求得4=2”-1，由等比数列的求和公式和等差数列的求和公式，可得 3=22 -n=2”H--2,再由等差数列中项公式，即可判定. 1-2 【详解】(1)，4=7,4=3%-2， ..2=3, .a=2a-1+1, 4=1, 4+1_20+2=2(22), a-1+1a-1+1 .{a+1}是首项为2，公比为2的等比数列. 答案第7页，共11页 （2)由(1)知，a.+1=2”, .4=2-1, 3=220 -n=2m+H-n-2, 1-2 ∴.n+Sn-2.=n+2mH-n-2(2”-1)=0, ∴.n+S,n=2a, 即n,g,Sn成等差数列. 【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的定义的应用，以及等差、等比数列的前项和公式的应用，其中熟 记等差、等比数列的定义和通项公式，以及前项和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. @品 (2)该球取自乙箱的可能性更大 【分析】(1)利用全概率公式求摸出的球是黑球的概率； (2)利用贝叶斯公式求黑球来自甲、乙箱的概率，比较它们的大小，即可得结论， 【详解】(1) 记事件A表示“球取自甲箱”，事件A表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”， 则P间=Pe名Pa司 由全概率公式得：P(D)=P(AP(BA)+P()P(B例aA)=×+1x2= 2325-30 (2)该球取自乙箱的可能性更大，理由如下： 11 该球是取自甲箱的概率PAB)=PAP(BA.X5 P(B) 1111 30 1、2 该球取自乙箱的概率P(aB)= P(AP(25=6 P(B) 1111 30 因为P(A|B)<P(AB),所以该球取自乙箱的可能性更大. 18.1) 2+y2=1 4 (2)(i)证明见解析(ii) 【分析】(1)根据长轴与短轴的关系及焦距，结合a2+b2=c2即可求解； (2)(i)设A(,),B(-为，%)，表示出直线PA方程，进而表示出yw,yw,计算yM·yw即可证明；(ii)法一： 答案第8页，共11页 由已知得出-为=40+)和：一o,再由84及蒸本不等式即可证明：法二：设AW与C 交于点Q,由几何关系得出%y=4(,+H)和y1=-,再由S.s=×4BX-及基本不等式即可求解. 【详解】(1)依题意，2a=2×2b,即a=2b, 又焦距为2√3，所以a2-b2=3, 解得d=4,公=1，所C的标准方程为+y广1。 (2)(i)证明：由椭圆的对称性，不妨设A(,%),B(-,),0≤yo<1, 设P(5,y),5*±6，则直线PA方程为y=片二当(K-片， 为-X 令x=0得，yM=0必，同理可得，yw=0to4 X1-x0 X1+x0 因为1手1学 4 当+- 所以」 -+ x12-02 x2-x2 x2-x2 所以OMON=ywx=1为定值. (ii)法1：因为AM⊥AW,所以PA.AN=0, 又因为PA=(,-x0-4),AN=(（yw-), 所以（伍-5，%-）(-，yw-)=-(-x)+(%-)yw-%)=0, 所以(-) 6+出-=-￥)： 1+ 所以功-5伤) 1+0 因为≠0，所以(y-=x-x品， 所以(3-%)=4(6-)，显然≠， 所以%-片=4(6+)，所以y1=-3y0, e分k小kh小水臣 8 (当且仅当-，即5时，等号成立， 2 8 所以△PAB的面积的最大值为 答案第9页，共11页 法2：设AN与C交于点Q,由椭圆的对称性知2(-，)， 因为AM⊥AN,所以BP.QB=0, 又因为BP=(:+0,y-),QB=（x1+M-), 所以(6+，4-%)(x+,片-)=号-+(4-%广=0. 所以(-)=x2-x,所以(4-为=4（坊-），显然出≠， 所以%-片=4(0。+y),所以y1=-yo 所以se-水导5任 (当且仅当-为，即6=2时，等号成立) 2 2 所以。P4B的面积的最大值为 B 19.(1)(i)证明见解析；(i)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1)（①利用函数的单调性即可证明； (将不等式移到一边构造新的函数，对导数进行求导，利用函数的单调性即可证明： (2)由题即证(e-x2-1)e>sin(:+2)-sin-x2cosx,即e+-sin(化1+x2)>e-sin1+x2(e-cos),构造 函数f(x)=e*-sinx,即证f(:+x)>∫(：)+x∫'(：)，求导数f'(x),构造函数t(x)=∫"(x),求导数，判断函数 的单调性，求出函数的最值，从而证明不等式恒成立即可 【详钢】DD由()，，由指数画数的单调性可如，()在Q+c)上草润遥婚， 所以sh(x)≥sh(0)=0, 所以当x≥0时，h(x)≥0成立： D令Hd上山（⑧-1于，耳-y-4则在-必o上为画 2 2 2 2 数， 答案第10页，共11页 则H'(x)=e- 2x, 令F(x)=e-e 2 则P')。+,e一126*e-1=0,当且仅当x=0时等号成立 所以F(x)在(0，+o)上单调递增，所以F(x)>F(0)=0,即H'(x)>0, -1x0=0, 所以当，x≥0时，H)≥H(0)=巴+e° 2 所以当xe(-o,+o)时，H(x)≥0， 即ch()21+分成立 (2)因为ch(x)+sh(x)=e,所以原式变为 (e-x-1)e"sin(x)-sinx-x cosx, 即证e+-sin(3+x)>e-sinx+x,(e-cosx). 设函数f(x)=e-sinx,即证f(+x)>f()+f'(x), f'(x)=e*-cosx,t(x)=f'(x)=e*-cosx,1'(x)=e*+sinx, x>0时，t(x)>0,t(x)在(0，+o)上单调递增， 即f'(x)=e-cosx在(0，+o)上单调递增， 设h(x)=f(x+x)-f()-f"(x),x>0, h(x)=f"(x+x)∫"(x),由于'(x)在(0，+∞)上单调递增，x+x>1, 所以f'(x+x)>f'(s),h(w)>0,h(x)在(0，+o)单调递增， 又h(0)=0,所以x>0时，(x)>0,所以f(x+)-f(:)-f'(x)>0, 所以f(x+)>∫()+f"(:),因此f(+)>f()+'(s)恒成立， 原不等式恒成立，得证. 答案第11页，共11页