精品解析：广东省江门市开平市忠源纪念中学2024届高三高考冲刺考试（二）（三模）数学试题

2024年忠源纪念中学高考冲刺考试（二） 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 或 2. 已知是虚数单位，则复数对应的点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知平面向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C D. 4. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.已知一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（ ） A. 464 B. 465 C. 466 D. 467 5. 安排A，B，C，D，E，F共6名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，则安排方法共有（ ）种 A. 60 B. 61 C. 62 D. 63 6. 如图所示，多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，，，EF到平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积V为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 7. 设函数，则函数的单调性（ ） A. 与a有关，且与b有关 B. 与a无关，且与b有关 C. 与a有关，且与b无关 D. 与a无关，且与b无关 8. 已知双曲线左、右焦点分别为，过的直线与的渐近线及右支分别交于两点，若，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.为了建立茶水温度随时间变化的回归模型，小明每隔1分钟测量一次茶水温度，得到若干组数据，，…，（其中，），绘制了如图所示的散点图.小明选择了如下2个回归模型来拟合茶水温度随时间的变化情况，回归模型一：；回归模型二：，下列说法正确的是（ ）. A. 茶水温度与时间这两个变量负相关 B. 由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，因此模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情况 C. 若选择回归模型二，利用最小二乘法求得到的图象一定经过点 D. 当时，通过回归模型二计算得，用温度计测得实际茶水温度65.2，则残差为 10. 若，则下列不等式对一切满足条件恒成立的是（ ） A B. C. D. 11. 定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示的夹角，则对于两个非零平面向量，下列结论一定成立的有（ ） A. 在上的投影向量为 B. C. D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，所有项系数之和为__________. 13. 写出一个满足“图象既关于直线x=1对称又关于原点中心对称”的函数_________． 14. 现要发行10000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票5张.1张彩票中奖金额的均值是__________元. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记内角的对边分别为，已知. （1）若成等差数列，求面积； （2）若，求. 16. 如图，三棱柱中，侧面底面ABC，且，． （1）证明：平面ABC； （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 乒乓球（table tennis），被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目．已知某次乒乓球比赛单局赛制为：两球换发制，每人发两个球，然后由对方发球，先得11分者获胜． （1）若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为，甲接球时获胜的概率为，甲先发球，求单局比赛中甲获胜的概率； （2）若比赛采用三局两胜制（当一队朚得两场胜利时，该队获胜，比赛结束），每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记为比赛结束时的总局数，求的期望．（参考数据） 18. 已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）若函数在上仅有两个零点，求实数的取值范围. 19. 已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，设抛物线在点处的切线分别为和，已知与轴交于点与轴交于点，设与的交点为. （1）证明：点在定直线上； （2）若面积为，求点的坐标； （3）若四点共圆，求点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年忠源纪念中学高考冲刺考试（二） 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先求出两集合，再求两集合的交集即可 【详解】由，得，所以， 由，得，所以， 所以. 故选：C 2. 已知是虚数单位，则复数对应的点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数乘方的运算法则，由复数的除法运算可得结果. 【详解】易知，, 所以， 其对应点的坐标为，位于第一象限. 故选：A 3. 已知平面向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出，，再根据在上的投影向量为计算即可. 【详解】因， 所以，， 所以在上的投影向量为， 故选：D. 4. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.已知一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（ ） A. 464 B. 465 C. 466 D. 467 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知可得出递推公式，进而根据累加法可求得，代入30即可得出答案. 【详解】设三角垛第层小球的个数为. 由题意可知，，，，， 所以，当时，有. 所以， ， ， ， ， ， 两边同时相加可得，， 所以，. 当时，，满足题意. 所以，. 所以，. 故选：B. 5. 安排A，B，C，D，E，F共6名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，则安排方法共有（ ）种 A. 60 B. 61 C. 62 D. 63 【答案】A 【解析】 【分析】根据义工有条件限制，可分照顾乙和照顾丙两类分析即可. 【详解】义工不安排照顾老人甲， 所以当义工安排照顾乙时， 共有种不同方法， 当义工安排照顾丙时， 共有种不同方法. 所以共有种. 故选：A 6. 如图所示，多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，，，EF到平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积V为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】方法一：连接EB，EC，AC，由等体法可得，再由以及棱锥的体积公式即可求解；方法二：设G，H分别为AB，DC的中点，连接EG，EH，GH，得三棱柱，则，由即可求解，方法三：延长EF至点M，使，连接BM，CM，AF，DF，则多面体为斜三棱柱，由，即可求解. 【详解】解法一：如图，连接EB，EC，AC，则. ， . . . 解法二：如图，设G，H分别为AB，DC的中点，连接EG，EH，GH， 则，，，得三棱柱， 由题意得 ， ， . 解法三：如图，延长EF至点M，使，连接BM，CM，AF，DF， 则多面体为斜三棱柱，其直截面面积，则. 又平面BCM与平面ADE平行，F为EM的中点， ， ， 即， ，. 故选：D 【点睛】本题考查了“割补法、等体法”求多面体的体积，考查了棱锥的体积公式，属于中档题. 7. 设函数，则函数的单调性（ ） A. 与a有关，且与b有关 B. 与a无关，且与b有关 C. 与a有关，且与b无关 D. 与a无关，且与b无关 【答案】D 【解析】 【分析】通过对进行讨论，再用复合函数的求单调性的方法，可知该函数的单调性与是否有关. 【详解】因为函数， 所以当时，单调递增.当时，单调递增. 则且，，的单调性都为单调递增. 所以函数的单调性与无关. 故选：D 8. 已知双曲线左、右焦点分别为，过的直线与的渐近线及右支分别交于两点，若，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分析可知为的中点，且，结合点到直线的距离公式可得，根据双曲线的定义结合勾股定理运算求解. 【详解】因为，可知为的中点， 且为的中点，可知∥， 又因为，可知，则， 则点到直线的距离， 可得， 由可得， 整理得，则，整理得， 所以的离心率为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：1．椭圆、双曲线离心率（离心率范围）的求法：求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值；2．焦点三角形的作用：在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.为了建立茶水温度随时间变化的回归模型，小明每隔1分钟测量一次茶水温度，得到若干组数据，，…，（其中，），绘制了如图所示的散点图.小明选择了如下2个回归模型来拟合茶水温度随时间的变化情况，回归模型一：；回归模型二：，下列说法正确的是（ ）. A. 茶水温度与时间这两个变量负相关 B. 由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，因此模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情况 C. 若选择回归模型二，利用最小二乘法求得到的图象一定经过点 D. 当时，通过回归模型二计算得，用温度计测得实际茶水温度为65.2，则残差为 【答案】AB 【解析】 【分析】由正负相关的定义即可判定A；由图象中变量的变化趋势即可判定B；由最小二乘法及非线性回归模型的拟合方法判断C；由残差的定义即可判定D. 【详解】由散点图可知随时间增加，温度逐渐降低，且变化趋势趋于平缓，故为负相关且模型二拟合更好，即A、B正确； 根据非线性回归模型的拟合方法，先令，则，此时拟合为线性回归方程， 对应回归直线过点，原曲线不一定经过，故C错误； 残差为真实值减估计值，即为65.2-65.1=0.1，故D错误. 故选：AB. 10. 若，则下列不等式对一切满足条件恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，B，D，利用基本不等式即可求得答案；对于C，利用，求出，结合的范围，利用二次函数的性质即可求得. 【详解】对于A，，即，当且仅当时等号成立，所以A正确； 对于B， ，， 又，则，当且仅当时等号成立，所以B错误； 对于C，，，所以， 则，并且时等号成立.，所以C正确； 对于D，，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以D正确. 故选：ACD. 11. 定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示的夹角，则对于两个非零平面向量，下列结论一定成立的有（ ） A. 在上的投影向量为 B. C. D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】先对新定义进行理解，再结合平面向量数量积的运算逐一判断即可得解． 【详解】对于选项A，在上的投影向量为，故选项A错误， 对于选项B，，故选项B正确， 对于选项C，， 显然时，不成立，故选项C错误， 对于选项D，由，所以，则，即，故选项D正确， 故选：BD． 【点睛】思路点睛：对于向量的新定义的运算需正确理解向量的新定义运算，再结合向量的投影、向量的运算和向量的平行等进行推理运算即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，所有项系数之和为__________. 【答案】1024 【解析】 【分析】赋值令，即可得出答案. 【详解】令，可知所有项系数之和为. 故答案为：1024. 13. 写出一个满足“图象既关于直线x=1对称又关于原点中心对称”的函数_________． 【答案】 【解析】 【分析】可取，根据正弦函数的对称性验证即可. 【详解】解：可取， 令，则， 所以函数得图象关于直线对称， 令，则， 则函数得对称中心为，即函数得图象关于原点中心对称， 所以符合题意. 故答案为：.（答案不唯一，符合条件即可） 14. 现要发行10000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票5张.1张彩票中奖金额的均值是__________元. 【答案】2 【解析】 【分析】设每张彩票的中奖金额为随机变量，则.由已知求出取不同值的概率，得出分布列，进而根据期望公式，即可得出答案. 【详解】设每张彩票的中奖金额为随机变量，则. 由题意可知，，，，，， 所以. 所以，的分布列为 0 2 10 50 100 1000 0.8545 0.1 0.03 0.01 0.005 0.0005 所以，. 故答案：2. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）若成等差数列，求的面积； （2）若，求. 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质得到，再利用余弦定理求得的值，进而利用三角形的面积公式求解； （2）根据已知条件代入，并用三角恒等变换化简求得A，再利用正弦定理求解. 【小问1详解】 因为成等差数列，所以， 又，所以①， 在中，由余弦定理可得：， 又，所以②， 由①②得， 所以的面积. 【小问2详解】 因为，所以， 又因为且，所以， 所以， 所以，所以， 所以， 又因为，所以，所以，所以， 所以. 16. 如图，三棱柱中，侧面底面ABC，且，． （1）证明：平面ABC； （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）取BC的中点M，连结MA、，根据等腰三角形性质和线面垂直判定定理得平面，进而由得，再证明平面ABC即可得证. （2）建立空间直角坐标系，用向量法求解即可；也可用垂面法作出垂直于的垂面，从而得出二面角的平面角再进行求解即可. 【小问1详解】 取BC的中点M，连结MA、． 因为，，所以，， 由于AM，平面，且， 因此平面， 因为平面，所以， 又因为，所以， 因为平面平面ABC，平面平面，且平面，所以平面ABC， 因为，所以平面ABC. 【小问2详解】 法一：因为，且，所以． 以AB，AC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，． 所以，，． 设平面的法向量为，则，可得， 令，则， 设平面的法向量为，则，可得， 令，则， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 法二：将直三棱柱补成长方体． 连接，过点C作，垂足为P，再过P作，垂足为Q，连接CQ， 因为平面，且平面， 所以， 又因为，由于BD，平面，且， 所以平面，则为直角三角形， 由于平面，所以， 因为，平面CPQ，且，所以平面CPQ， 因为平面CPQ，所以， 则∠CQP为平面与平面的夹角或补角， 在中，由等面积法可得, 因为，所以， 因此平面与平面夹角的余弦值为. 17. 乒乓球（table tennis），被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目．已知某次乒乓球比赛单局赛制为：两球换发制，每人发两个球，然后由对方发球，先得11分者获胜． （1）若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为，甲接球时获胜的概率为，甲先发球，求单局比赛中甲获胜的概率； （2）若比赛采用三局两胜制（当一队朚得两场胜利时，该队获胜，比赛结束），每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记为比赛结束时的总局数，求的期望．（参考数据） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分3种情况分别求单局比赛中甲获胜的概率，再求和； （2）首先分析得到，再分别求概率，以及数学期望. 【小问1详解】 设事件为“若甲先发球，单局比赛甲11:2获胜”，其可分为如下三种基本事件， 事件为“甲发球，甲败2次”，事件为“乙发球，甲败2次”，事件为“甲发球，甲败1次，乙发球，甲败1次”， 这个单局比赛中，甲发球6次，乙发球6次，最后1次是甲发球甲赢， ，，, ； 【小问2详解】 随机变量的所有可能取值为2,3， ， ， 所以. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）若函数在上仅有两个零点，求实数取值范围. 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，然后列表求出函数的单调区间，根据极值定义即可求解； （2）把原函数有两个零点转化为在上仅有两个零点，分类讨论，利用导数研究函数的单调性，列不等式求解即可. 【小问1详解】 当时，R），所以， 令，则， - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以， 所以的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 函数在上仅有两个零点， 令，则问题等价于在上仅有两个零点， 易知，因为，所以. ①当时，在上恒成立，所以在上单调递增， 所以，所以在上没有零点，不符合题意； ②当时，令，得， 所以在上，，在上，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. 因为在上有两个零点，所以，所以. 因为， 令，则， 所以在上，，在上，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 所以当时，在和内各有一个零点， 即当时，在上仅有两个零点. 综上，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：求解函数单调区间的步骤： （1）确定的定义域. （2）计算导数. （3）求出的根. （4）用的根将的定义域分成若干个区间，判断这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间.，则在对应区间上单调递增，对应区间为增区间；，则在对应区间上单调递减，对应区间为减区间. 如果导函数含有参数，那么需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏. 19. 已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，设抛物线在点处的切线分别为和，已知与轴交于点与轴交于点，设与的交点为. （1）证明：点在定直线上； （2）若面积为，求点的坐标； （3）若四点共圆，求点的坐标. 【答案】（1）证明见解析 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）设，利用导数求和的方程，进而可得点的坐标，再联立直线、抛物线的方程，利用韦达定理分析求解； （2）根据面积关系可得，结合韦达定理分析求解； （3）可知抛物线焦点，分析可得是外接圆的直径，结合垂直关系分析求解. 【小问1详解】 由，得， 设. 所以方程为：，整理得：. 同理可得，方程为：. 联立方程，解得. 因为点在抛物线内部，可知直线的斜率存在，且与抛物线必相交， 设直线的方程为，与抛物线方程联立得：， 故， 所以，可知. 所以点在定直线上. . 【小问2详解】 在的方程中，令，得， 所以面积. 故， 代入可得：. 整理得，解得：或. 所以点的坐标为或. 【小问3详解】 若，则重合，与题设矛盾 抛物线焦点，由得直线斜率， 可知， 同理，所以是外接圆的直径. 若点也在该圆上，则. 由，得直线的方程为：. 又点在定直线上， 联立两直线方程，解得， 所以点的坐标为. 【点睛】关键点点睛：本题第3小问解决的关键是，引入抛物线焦点，利用斜率可得，，可知是外接圆的直径，即可得结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$