期末考试必考题型（二）——常见的几何模型（八大模型）- 2025-2026学年北师大版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

**基本信息** 聚焦初中几何八大核心模型，以题型为载体系统提炼解题方法，构建从基础性质到综合应用的知识逻辑链，培养几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |过拐点作平行线|6题|作平行线转化角度关系|基于平行线性质，培养几何直观| |倍长中线|6题|延长中线构造全等三角形|三角形全等判定应用，发展推理能力| |一线三等角|6题|利用等角证三角形全等|结合等腰/直角三角形性质，强化模型意识| |手拉手|6题|共顶点等边三角形构造全等|旋转不变性应用，提升空间观念| |截长补短|6题|截长或补短构造全等线段|线段和差问题转化，培养推理能力| |角平分线|6题|性质应用与对称构造|角平分线性质与全等结合，发展几何直观| |将军饮马（两定一动）|5题|轴对称转化最短路径|对称性质应用，强化模型意识| |将军饮马（两动一定）|6题|双对称转化路径和|动态问题静态化处理，提升空间观念|

期末考试必考题型（二）——常见的几何模型（八大模型） 目录 【题型 1】过拐点作平行线模型（6题） 1 【题型 2】三角形全等几何模型——倍长中线（6题） 8 【题型 3】三角形全等几何模型——一线三等角（6题） 15 【题型 4】三角形全等几何模型——手拉手（6题） 26 【题型 5】三角形全等几何模型——截长补短（6题） 38 【题型 6】三角形全等几何模型——角平分线（6题） 47 【题型 7】最短路径（将军饮马模型）——两定一动（5题） 54 【题型 8】最短路径（将军饮马模型）——两动一定（6题） 59 【题型 1】过拐点作平行线模型（6题） 1．（25-26七年级下·河北保定·期中）图，直线，线段与交于点，平分，点在直线上，平分，交于点．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点B作，过点D作，则，由平行线的性质得到， ，据此求出的度数，由角平分线的定义求出的度数即可得到答案． 解：如图所示，过点B作，过点D作， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）已知，，以C为圆心，以为半径画弧，交于点Q，以A为圆心，以为半径画弧，交于点M，以M为圆心，以为半径画弧，交前弧于点N，连接并延长至点E，若平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由作图知：，得出，根据平行线的性质求出，结合已知求出，根据邻补角定义、角平分线定义求出，过作，则，根据平行线的性质求出，，即可求解. 解：∵， ∴， 由作图知：， ∴， ，即， 又， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 过作，则， ∴，， ∴. 3．（25-26七年级下·广东广州·期中）已知：，点C在点D的右侧，B是AG上一动点，连接平分，DE平分，所在直线交于点E，，．则的度数是______． 【答案】/47度 【分析】根据角平分线的定义求出和的度数，过点作，利用平行公理推论得到，再根据两直线平行内错角相等，将转化为与的和即可求解． 解：∵平分，， ∴， ∵平分，， ∴， 过点作（在点左侧），如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（24-25七年级下·陕西西安·期中）将北斗七星的位置画到纸上，分别标为，，，，，，．然后将，，，，，，顺次首尾连接（如图所示）．设恰好经过点，且点，，在同一条直线上．已知，，，则的度数为__________． 【答案】/度 【分析】过点C作，则，，由平行线的性质得到，，据此求出的度数即可得到答案． 解：如图所示，过点C作，    ∵，， ∴ ∴，． ∵， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·山东泰安·期中）如图，已知，点在上，点在上，点在上方，，点在的反向延长线上，且， （1）若，求的度数． （2）若，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据角的和差关系及对顶角相等可进行求解； （2）过点作，过点作，则有，设，然后可得，，进而根据角的和差关系可进行求解． 解：（1）解：，， ， ； （2）解：如图，过点作，过点作， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ． 6．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）【材料】我们经常经过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． （1）【问题解决】如图1，已知，，，求的度数； （2）【类比应用】如图2，已知，点在直线的上方，点在直线上，连接，，则，，之间有何数量关系?请说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知，的角平分线和的角平分线相交于点，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】（1）；（2），理由见分析；（3） 【分析】（1）过点作，利用两直线平行同位角和内错角相等得到答案； （2）过点作，得，再根据，即可得到答案； （3）依题意，，，由（2）得，可知，得到答案． 解：（1）解：如图1，过点作， ， ， ， ， ； （2），理由如下： 如图2，过点作， ， ， ， ， ， ； （3）如图3，的角平分线和的角平分线相交于点， 平分，平分， ，， 由（2）知， ， ， 同（2）理，可知， 【题型 2】三角形全等几何模型——倍长中线（6题） 1．（24-25八年级上·重庆永川·阶段检测）中，若，则中线的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，延长到E，使，连接，证，推出，根据三角形的三边关系求出即可． 解：延长到E，使，连接，如下图： ∵是的中线， ∴， 在与中， ， ∴ ∴ 根据三角形的三边关系得∶ ， 即： ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）生命中总有些节点，如同一条线段的中点，它既是过去与未来的交汇，也是静默与喧嚣的界碑．如图，点D是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查对全等三角形的性质和判定以及三角形的三边关系．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 延长到，使，连接，证，推出，根据三角形的三边关系定理求出即可． 解：延长到，使，连接，   点D是的边上的中线， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 故选：A． 3．（2026七年级下·上海·专题练习）如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】构造全等三角形和，可得，由三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边，可得的取值范围，也就是的取值范围． 解：如图，延长至，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的取值范围是：． 4．（25-26八年级上·江西宜春·期末）若的边，满足，则第三边的中线长的取值范围为________． 【答案】 【分析】先倍长中线证明三角形全等，再将左边配方，利用非负性求得、的值，再利用三边关系求出的范围． 解：如图，，，，为边上的中线，，延长到，使得，连接，则， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 即． 【点拨】注意通过倍长中线证明全等；两个偶次方的和等于0，只有都等于0． 5．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）（1）已知，如图中，是边上的中线，求证： （2）中，已知，求的取值范围是________． 【答案】（1）证明见分析；（2）． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，关键是添加辅助线构造全等三角形． （1）可延长到，使，连接，则得，进而在中利用三角形三边关系证明即可； （2）根据全等三角形的性质及三角形三边关系求解即可． 解：证明：延长到，使，连接， 是边上的中线， 在和中， （） 在中，则， 即， （2）解：在中，， 由（1）知，，， ，， ， 6．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）综合与实践 【问题情境】 补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长，相交于点，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】 （1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由； 【自主探究】 （2）如图③，在中，是的中点，点在上，连接交于点，，试说明． 【答案】（1），见分析；（2）见分析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）延长、相交于点F，证明和全等得，再根据平分得，则，由此可得出，，之间的等量关系； （2）延长至点H，使，连接，证明和全等得，，再根据，得，进而得，由此即可得出结论； 解：（1），，之间的等量关系是：，理由如下： 如图，延长，相交于点， ， ，． 是的中点， ． 在和中，， ， ． 平分， ． ， ， ， ； （2）证明：如图，延长至点，使，连接， 是的中点， ， 在和中，， ， ，． ， ， ． （对顶角相等）， ． ， ． 【题型 3】三角形全等几何模型——一线三等角（6题） 1．（2025·河北邯郸·一模）有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（    ） A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 【答案】D 【分析】对于方案一，可以运用“角边角”的判定定理证明两个阴影部分的三角形全等；对于方案二，只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等． 解：如图，方案一： ∵，，， ∴． 又∵，， ∴在与中， ， ∴， 即方案一正确； 方案二： 只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等， ∴方案二中两个阴影部分的三角形不一定全等． 2．（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则___________； （2）当点在直线上运动时，，，则___________． 【答案】 5 16或4/4或16 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形“三垂直模型”． （1）证明，则，可得； （2）分三种情况讨论，证明，再根据线段和差求解即可． 解：（1）∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， 过点作平行线，再过点作平行线的垂线，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故点线段延长线上不成立，舍， 综上：或， 故答案为：16或4． 4．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，是锐角，以为斜边在内部作一个等腰直角三角形，过点D作于点E，交于点F，若F为的中点，，，则______． 【答案】 【分析】延长，过C作，垂足为G，证明，得到，，再证明，，，设，根据边的关系代换得到，再根据列出方程，解之可得． 解：延长，过C作，垂足为G， ∵， ∴， ∵F为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，得到相等的边． 5．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，三点在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）当满足__________时，？ 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． （1）根据证明，得出，即可证明； （2）根据，得出，根据三角形全等的性质即可得出，得出，根据平行线的判定得出． 解：（1）证明：在和中 ， ∴； ∴， ∵， ∴． （2）解：当时，．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 6．（2024·黑龙江佳木斯·一模）是等腰三角形， ，M是的中点，D 为射线上一点（不与点 B，C重合）、连接 并延长到点 E，使得，连接．过点 B作的垂线交直线于点 F． （1）如图①，点D在线段上，线段，， 之间的有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明： （2）当点D在线段上时，如图②；当点D在的延长线上时，如图③，直接写出线段，， 之间的数量关系，不需证明． 【答案】（1）图①的猜想：，证明见分析；（2）图②：，图③： 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； （2）如图，作交于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证；如图，作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； 解：（1）， 证明：如图，作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）如图，作交于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，即； 如图，作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 【题型 4】三角形全等几何模型——手拉手（6题） 1．（25-26八年级上·湖北荆门·期中）如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下六个结论：①；②；③；④平分；⑤是等边三角形；⑥．正确的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，综合性较强．先证明，则，再推出，即可证明，得，，再利用三角形全等的判定和性质以及等边三角形的知识分别进行证明即可得出答案． 解：∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 故③正确； 又∵， ∴为等边三角形， 故⑤正确； ∴， ∴， 故②正确； ∵，， ∴， ∴， 故①错误； 如图，在上截取，连接， ∵， ∴，，， ∴， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故⑥正确； ∵不一定垂直， ∴不一定等于， ∴不一定等于， ∴不一定平分， 故④错误； 综上所述，正确的有②③⑤⑥，一共4个． 故选：B． 2．（24-25八年级上·四川巴中·开学考试）如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下结论：①；②；③；④是等边三角形，⑤平分，恒成立的是______． A．①②④ B．①③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，由等边三角形的性质可证明，则可得①正确；由可得，由，则由三角形内角和可得，则可得③正确；证明，可得，由可得④正确；由等边三角形的性质可得②正确；连接，作，根据全等三角形对应边上的高线相等，得到，即可判定⑤正确，从而可确定答案． 解：∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，；故①正确 ∵， ∴由三角形内角和得：， 故③正确； ∵， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形，故④正确； ∴， ∴，故②正确； 连接，作， ∵，为边上的高线， ∴， ∴平分；故⑤正确； ∴正确的是①②③④⑤， 故选：D． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在等腰三角形 与等腰三角形 中，，连接 交于点 ，则 的度数为_____________． 【答案】/度 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．已知等腰三角形 与等腰三角形 ，，，推出，进而证明，得出，根据，得出，进而得出，推出，得到，则． 解：在等腰三角形 与等腰三角形 ， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，在等腰三角形与等腰三角形中，，连接交于点P，则的度数为________°．    【答案】140 【分析】先证明，继而得到，由全等三角形的性质得，进而得出，即可求解． 解：在等腰三角形与等腰三角形中， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：140． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 5．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）【问题提出】 （1）如图，、都是等边三角形，求证：； 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 （2）等边三角形中，是边上一定点，若点在边上，以为一边作等边三角形，连接．求证：； （3）如图3，在三角形中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则最小值为______． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3） 【分析】（1）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （2）过点作，交于点，构造“手拉手”基本图形，再利用全等三角形的判定与性质解答即可； （3）以为边，在的下方作等边三角形，连接，构造“手拉手”基本图形，再利用全等三角形的判定与性质求得，则，利用垂线段最短的性质可知：当时，取得最小值 解：（1）证明：、都是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：过点作，交于点，如图， 、都是等边三角形， ，，，， ， ，， ， 为等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：以为边，在的下方作等边三角形，连接，如图， ，点是的中点， 、都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， 当时，取得最小值 故答案为： 【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法构造“手拉手”基本图形，并熟练运用是解题的关键． 6．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）【问题提出】（1）如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 （2）等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． ①如图2，若点在边上，求证：． ②如图3，若点在边的延长线上，线段、、之间的关系为______． （3）如图4，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则最小值是______． 【答案】（1）见分析；（2）①见分析；②；（3）有最小值，最小值为； 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质． （1）证明，即可证明； （2）①过点E作，交于点G，先证明是等边三角形，再证明，得出，即可得出结论； ②过作，交的延长线于点，由平行线的性质易证，得出为等边三角形，则，证明，得出，即可得出； （3）以为边，在下方构造等边三角形，连接，通过证明，得出，则，根据点Q在直线上，得出当时，取最小值，即可解答． 解：（1）证明：∵都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）①证明：过点E作，交于点G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②解：；理由如下： 是等边三角形， ， 如图3，过作，交的延长线于点， ， ，， ， 为等边三角形， ，， 为等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 即； （3）解：有最小值，最小值为； 以为边，在下方构造等边三角形，连接， ∵，点D为中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点Q在直线上， ∴当时，取最小值， 此时，． 【题型 5】三角形全等几何模型——截长补短（6题） 1．（25-26八年级上·北京·阶段检测）如图，是的高，，，，过点作交于点．下列四个结论中： ①；②当时，；③；④． 所有正确结论的序号是___________． 【答案】②④ 【分析】①在线段上截取，连接，可证，得，，可证，得，即； ②当时，，由得，利用角的和差可证，即； ③由得，利用角的和差可证，则与不一定相等； ④由得，利用角的和差可证，，由三角形全等的性质可证，从而可证． 解：①在线段上截取，连接， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 则①错误； ②当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 则②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 则当时，， 此时， 但题目中未给出的具体值，所以与不一定相等； 则③错误； ④∵， ∴， ∴， 由③得， ∵， ∴， 则， ∴， ∴； 则④正确； 故答案为：②④． 【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形、平行线的性质，角的和差等，在线段上截取，连接，利用截长补短构建全等三角形是解题的关键． 2．（24-25八年级下·湖南岳阳·阶段检测）在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于______． 【答案】13 【分析】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 在上截取，先证，再证，可得，再由的周长即可解答． 解：在上取点G，使， ∵，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴ ∴． ∴ ∴的周长等于， ∵，，， ∴的周长等于 故答案：． 3．（25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）在中，，平分交边于点，，则____________°． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及角度计算．已知，说明是等腰三角形，底角相等；由，可能通过截取线段（在上取一点，使，连接）构造全等三角形来转化等量关系，得到等腰，进而结合三角形内角和定理求解． 解：设， ∵， ∴， 在上取一点，使，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分交于点D．求证：． 【答案】见分析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，在上截取，连接，利用已知条件求证，然后可得，，再利用三角形外角的性质求证，然后问题可解． 解：证明：如图，在上截取，连接． 的平分线交边于点， ， 在与中， ， ∴， ，， ，， ， ， ， ， ∵， ． 5．（24-25七年级下·广东佛山·阶段检测）如图，、分别平分、，交于E点． （1）如图1，求的度数．      （2）如图2，过点E的直线分别交、于B、C，猜想、、之间的存在的数量关系：_______．    （3）试证明（2）中的猜想． 【答案】（1）；（2）；（3）见分析 【分析】（1）根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，，利用三角形内角和定理整体计算即可； （2）根据图形猜想即可； （3）在上截取，连接，证明得到，进一步推出，再证明，可得，进而证明． 解：（1）解：∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴ ； （2）猜想：； （3）证明：在上截取，连接．    平分， ． 在和中， ，，， ， ． ， ， 又， ． 平分， ． 在和中， ，，， ， ， ．即． 【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、平行线的性质，关键是添加辅助线，构建对应全等三角形，使问题得以解决． 6．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段检测）如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 【答案】证明见分析 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，全等三角形的判定与性质，两直线平行同旁内角互补，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取，连接，由平分可得，利用可证得，于是可得，由两直线平行同旁内角互补可得，结合，进而可得，由平分可得，利用可证得，于是可得，然后利用等量代换即可得出结论． 解：证明：如图，在上截取，连接， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【题型 6】三角形全等几何模型——角平分线（6题） 1．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，点是的平分线上一点，于点，点是线段上一点．已知，，点为上一点且满足，则的长度为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，过点作于，然后证明，则，再分当点在线段上时，当点在线段的延长线上时两种情况讨论可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 当点在线段上时，如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 当点在线段的延长线上时，如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 综上可得：的长为或， 故选：D． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图所示，若，，分别平分和，于，且，则与之间的距离为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，作辅助线并熟记性质是解题的关键．过点作于，作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再根据平行线间的距离的定义解答即可． 解：如图，过点作于，作于， 、分别平分和，， ， 与之间的距离， 故选：C． 3．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点D，过D点作的平行线分别交、于点M、N，若与的周长分别为22、14，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，由角平分线定义得到，由平行线的性质推出，因此，判定，同理：，得到的周长，而的周长，即可求出的长． 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ∴的周长， ∵的周长， ∴． 4．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，是的角平分线，若，则_____． 【答案】/ 【分析】此题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质并表示出是解题的关键．过点D作于点E，作于点F，由是的角平分线得到，由，，求出，根据，求出结果即可． 解：过点D作于点E，作于点F，如图所示：    ∵是的角平分线， ∴， ∵，，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 5．（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）如图，是的平分线，．求证：． 【答案】见分析 【分析】作于点，于点，则，由角平分线的性质定理可得，证明，得出，即可得证． 解：证明：如图，作于点，于点，则， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 6．（25-26八年级下·山西晋中·期中）在七年级下册第五章《图形的轴对称》中，我们初步认识了角平分线，并从轴对称的视角直观探究了角平分线的性质；进入本学期，我们对这一性质完成了严谨的逻辑证明，并进一步探究了其逆定理．在系统学习等腰三角形、直角三角形相关知识后，我们又对角平分线所蕴含的轴对称特征有了深入的理解．为了贯通思维梳理知识、提炼方法，深化对知识本质的理解，促进数学思维生长，我们进行了知识的梳理、回顾与深化总结． 复习目标：理解角平分线与轴对称的联系，掌握构造轴对称图形的方法并灵活解题． 问题：如图，平分，点是角平分线上一点，你能联想到什么数学知识？ 学生生成：可以想到角平分线的性质、角平分线的判定定理、等腰三角形、直角三角形等； （1）追问：你能添加辅助线，构造出轴对称图形吗？ 学生生成： 过角平分线上一点向角两边作垂线（如图）可以得到（根据__________）构造轴对称图形 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，与角的两边分别交于点和（如图），构造对称图形下的等腰 过角平分线上的一点作的平行线，与角的另一边交于点，构造对称图形中的等腰（如图） （2）追问：尺规作图．（不写作法，保留作图痕迹）在角平分线的图形中，你还可以构造出其他轴对称图形吗？学生生成：如图 （3）灵活应用：如图在中，平分，，，，请直接写出的长． 【答案】（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；（2）见分析；（3）的长为． 【分析】（）根据角平分线的性质即可求解； （）以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交于点，连接即可构造轴对称图形； （）在上截取，连接，证明，则，，然后通过三角形外角性质可得，所以，再由线段的和与差即可求解． 解：（1）解：∵，，平分， ∴（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）， 故答案为：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； （2）解：如图，以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交于点，连接， （3）解：如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【题型 7】最短路径（将军饮马模型）——两定一动（5题） 1．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，正六边形的边长是5，点P是上的一动点，的最小值是（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查了正多边形性质及轴对称﹣最短路线问题，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．由正六边形的对称性质可知，点B关于的对称点为点F，连接交于点P，根据轴对称的性质进行解答即可． 解：六边形为正六边形， 点B关于直线的对称点为点F， 如图，连接交于点P，连， ， 由“两点之间线段最短”知，此时最小， 六边形为正六边形， 和都为等边三角形， ，， ， ∴的最小值是10， 故选：A． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，D是上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点E恰好落在上，M是上一动点，连接，，若，，，则的最小值为______． 【答案】5 【分析】本题考查了折叠性质，轴对称−最短路线问题，关键是确定点M的位置． 根据折叠可知B和E关于AD对称，由对称的性质得出当M和D重合时，此时的值最小，即为． 解：连接，由题可知B和E关于AD对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点M和点D重合时，此时的值最小，即为， ∴则的最小值为5， 故答案为：5． 3．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，直线与直线相交，，点P在内，用下面的方法作P 的对称点：先以为对称轴作点P关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…， 如此继续，得到一系列点，，，，…，，若与P重合，则n的最小值为 _______． 【答案】6 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称性质是解题的关键． 利用轴对称性质得到对称点，观察发现，这些对称点都在以O为圆心，为半径的圆上，进行解题即可． 解：设直线与直线相交于点O， 根据对称性，点P关于的对称点，关于的对称点，以此类推，得到一系列点，，，，…，， 如图，点P每经过6次对称又回到点P， 若与P重合， 则n的最小值为6． 故答案为：6． 4．（2025·浙江台州·三模）如图，在正方形网格中，点为格点（网格线的交点），点在网格线上，仅使用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． （1）如图，在直线上找到一点，使得的值最小； （2）如图，部分网格被墨汁污染，在仅剩的网格中，标出格点，使线段的长度等于（）中的最小值． 【答案】（1）作图见分析；（2）作图见分析 【分析】（）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，由轴对称可得，即得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，故点即为所求； （）取点，作点关于直线的对称点，连接，由轴对称可知，故线段即为所求； 本题考查了轴对称最短线段问题，作轴对称图形，掌握轴对称的性质是解题的关键． 解：（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，线段即为所求． 5．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？ 小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P就是饮马的位置． 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点B关于直线l的对称点，连接A与直线l交于点，在直线l上任取一点P（与点不重合），连接 点B与点关于直线l对称 ________，_________； 当A，P，三点共线，即点P与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． （1）解决问题：补全证明过程； （2）模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，现要在河岸CD 上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．请你在河岸上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1），；（2）见分析 【分析】本题是几何变换综合题，考查轴对称的最短路径问题中的应用，两点之间，线段最短，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意补全即可； （2）根据轴对称的最短路径问题，作图即可． 解：（1）解：如图③，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，， ，， ， 当，，三点共线，即点与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置， 故答案为：，，； （2）解：如图，作点A关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求的水厂位置，使铺设管道的长度最短． 【题型 8】最短路径（将军饮马模型）——两动一定（6题） 1．（25-26八年级上·河南新乡·期中）如图，在长方形中，边，，对角线，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值为（　　） A． B． C． D．10 【答案】C 【分析】本题考查动点最值问题，熟练掌握动点最值问题的求解步骤，根据题意按步骤逐步分析是解决问题的关键．根据动点最值问题求解步骤，①分析所求线段端点（A定，M、N动）；②动点轨迹为直线；③模型方法（类比将军饮马模型，作定点关于动点轨迹的对称点）；④确定最值对应的定线段；⑤求定线段长，按步骤进行即可求解． 解：如图所示，作点A关于直线的对称点，连接，过作于点E， ，即当三点共线且时，的最小值为， 在中，， 连接， 则， ， 在长方形中，，， ， 则的最小值为， 故选：C． 2．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上一动点，且，，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、轴对称-最短路径问题以及三角形面积公式，熟练掌握利用轴对称转化线段求最短路径的方法是解题的关键． 利用角平分线的对称性，将转化为到的距离，再根据垂线段最短和三角形面积公式求解． 解：过点作的对称点，连接， ∵平分， ∴点关于的对称点在上， ∴， ∴． 当、、共线且时，最小，最小值为的长． ∵，， ∴，即， 解得． ∴的最小值为． 故选：C． 3．（24-25八年级上·全国·单元复习）如图，中，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是轴对称路径最短问题，解决本题的关键是作出点关于、的对称点，将的周长转化为的长．首先作关于直线的对称点，关于直线的对称点，根据对称的性质可知，可得、、共线，由对称的性质可知，所以可得，可知当点、、、共线时，的值最小，最小值为，再根据垂线段最短可知当时最短，利用三角形的面积公式求出当时的值即可得到的最小值． 解：如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，， ，，， ， 、、共线， 根据对称的性质可知，， ， ， 当、、、共线时，的值最小，即此时的值最小， 由对称性可知， ， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， 当时，的值最小，最小值为， ， 的最小值为． 故选：C． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在中，是的平分线，若分别是和上的动点，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】按照动点最值问题的做法，作点关于的对称点，由对称性得，结合三角形三边关系及点到直线距离垂线段最短得出，由等面积法求出即可． 解：作点关于的对称点，连接，过点作于点，如图所示： 是的角平分线，与关于对称， ∴点在上，则， ，， ， ， 即的最小值为． 5．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在直角中，，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称路径最短问题，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．，推出，可得、、共线，由，，可知、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题理解转化思想是解题的关键． 解：如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴ ，，， ， 、、共线， ， ， 当、、、共线时，且时，的值最小，最小值， ， ， 即 ∴的最小值为， 故答案为：． 6．（24-25九年级下·全国·二轮复习）如图，平分，点A为射线上一点，，点E，F别为射线上的动点，连接，则的最小值为_________．    【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径，在上截取，连接，过点A作于点H，可得的最小值为的长，正确作出辅助线是解题的关键． 解：如图，在上截取，连接，过点A作于点H．   ，， ， ， ． ，， ． 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末考试必考题型（二）——常见的几何模型（八大模型） 目录 【题型 1】过拐点作平行线模型（6题） 1 【题型 2】三角形全等几何模型——倍长中线（6题） 3 【题型 3】三角形全等几何模型——一线三等角（6题） 4 【题型 4】三角形全等几何模型——手拉手（6题） 6 【题型 5】三角形全等几何模型——截长补短（6题） 9 【题型 6】三角形全等几何模型——角平分线（6题） 11 【题型 7】最短路径（将军饮马模型）——两定一动（5题） 13 【题型 8】最短路径（将军饮马模型）——两动一定（6题） 15 【题型 1】过拐点作平行线模型（6题） 1．（25-26七年级下·河北保定·期中）图，直线，线段与交于点，平分，点在直线上，平分，交于点．若，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）已知，，以C为圆心，以为半径画弧，交于点Q，以A为圆心，以为半径画弧，交于点M，以M为圆心，以为半径画弧，交前弧于点N，连接并延长至点E，若平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·广东广州·期中）已知：，点C在点D的右侧，B是AG上一动点，连接平分，DE平分，所在直线交于点E，，．则的度数是______． 4．（24-25七年级下·陕西西安·期中）将北斗七星的位置画到纸上，分别标为，，，，，，．然后将，，，，，，顺次首尾连接（如图所示）．设恰好经过点，且点，，在同一条直线上．已知，，，则的度数为__________． 5．（25-26七年级下·山东泰安·期中）如图，已知，点在上，点在上，点在上方，，点在的反向延长线上，且， （1）若，求的度数． （2）若，求的度数． 6．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）【材料】我们经常经过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． （1）【问题解决】如图1，已知，，，求的度数； （2）【类比应用】如图2，已知，点在直线的上方，点在直线上，连接，，则，，之间有何数量关系?请说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知，的角平分线和的角平分线相交于点，求的度数．（用含的代数式表示） 【题型 2】三角形全等几何模型——倍长中线（6题） 1．（24-25八年级上·重庆永川·阶段检测）中，若，则中线的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）生命中总有些节点，如同一条线段的中点，它既是过去与未来的交汇，也是静默与喧嚣的界碑．如图，点D是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ）．    A． B． C． D． 3．（2026七年级下·上海·专题练习）如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是____________． 4．（25-26八年级上·江西宜春·期末）若的边，满足，则第三边的中线长的取值范围为________． 5．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）（1）已知，如图中，是边上的中线，求证： （2）中，已知，求的取值范围是________． 6．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）综合与实践 【问题情境】 补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长，相交于点，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】 （1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由； 【自主探究】 （2）如图③，在中，是的中点，点在上，连接交于点，，试说明． 【题型 3】三角形全等几何模型——一线三等角（6题） 1．（2025·河北邯郸·一模）有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（    ） A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 2．（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则___________； （2）当点在直线上运动时，，，则___________． 4．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，是锐角，以为斜边在内部作一个等腰直角三角形，过点D作于点E，交于点F，若F为的中点，，，则______． 5．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，三点在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）当满足__________时，？ 6．（2024·黑龙江佳木斯·一模）是等腰三角形， ，M是的中点，D 为射线上一点（不与点 B，C重合）、连接 并延长到点 E，使得，连接．过点 B作的垂线交直线于点 F． （1）如图①，点D在线段上，线段，， 之间的有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明： （2）当点D在线段上时，如图②；当点D在的延长线上时，如图③，直接写出线段，， 之间的数量关系，不需证明． 【题型 4】三角形全等几何模型——手拉手（6题） 1．（25-26八年级上·湖北荆门·期中）如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下六个结论：①；②；③；④平分；⑤是等边三角形；⑥．正确的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（24-25八年级上·四川巴中·开学考试）如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下结论：①；②；③；④是等边三角形，⑤平分，恒成立的是______． A．①②④ B．①③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在等腰三角形 与等腰三角形 中，，连接 交于点 ，则 的度数为_____________． 4．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，在等腰三角形与等腰三角形中，，连接交于点P，则的度数为________°．    5．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）【问题提出】 （1）如图，、都是等边三角形，求证：； 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 （2）等边三角形中，是边上一定点，若点在边上，以为一边作等边三角形，连接．求证：； （3）如图3，在三角形中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则最小值为______． 6．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）【问题提出】（1）如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 （2）等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． ①如图2，若点在边上，求证：． ②如图3，若点在边的延长线上，线段、、之间的关系为______． （3）如图4，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则最小值是______． 【题型 5】三角形全等几何模型——截长补短（6题） 1．（25-26八年级上·北京·阶段检测）如图，是的高，，，，过点作交于点．下列四个结论中： ①；②当时，；③；④． 所有正确结论的序号是___________． 2．（24-25八年级下·湖南岳阳·阶段检测）在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于______． 3．（25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）在中，，平分交边于点，，则____________°． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分交于点D．求证：． 5．（24-25七年级下·广东佛山·阶段检测）如图，、分别平分、，交于E点． （1）如图1，求的度数．      （2）如图2，过点E的直线分别交、于B、C，猜想、、之间的存在的数量关系：_______．    （3）试证明（2）中的猜想． 6．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段检测）如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 【题型 6】三角形全等几何模型——角平分线（6题） 1．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，点是的平分线上一点，于点，点是线段上一点．已知，，点为上一点且满足，则的长度为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图所示，若，，分别平分和，于，且，则与之间的距离为（   ） A． B． C． D．无法确定 3．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点D，过D点作的平行线分别交、于点M、N，若与的周长分别为22、14，则的长为___________． 4．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，是的角平分线，若，则_____． 5．（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）如图，是的平分线，．求证：． 6．（25-26八年级下·山西晋中·期中）在七年级下册第五章《图形的轴对称》中，我们初步认识了角平分线，并从轴对称的视角直观探究了角平分线的性质；进入本学期，我们对这一性质完成了严谨的逻辑证明，并进一步探究了其逆定理．在系统学习等腰三角形、直角三角形相关知识后，我们又对角平分线所蕴含的轴对称特征有了深入的理解．为了贯通思维梳理知识、提炼方法，深化对知识本质的理解，促进数学思维生长，我们进行了知识的梳理、回顾与深化总结． 复习目标：理解角平分线与轴对称的联系，掌握构造轴对称图形的方法并灵活解题． 问题：如图，平分，点是角平分线上一点，你能联想到什么数学知识？ 学生生成：可以想到角平分线的性质、角平分线的判定定理、等腰三角形、直角三角形等； （1）追问：你能添加辅助线，构造出轴对称图形吗？ 学生生成： 过角平分线上一点向角两边作垂线（如图）可以得到（根据__________）构造轴对称图形 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，与角的两边分别交于点和（如图），构造对称图形下的等腰 过角平分线上的一点作的平行线，与角的另一边交于点，构造对称图形中的等腰（如图） （2）追问：尺规作图．（不写作法，保留作图痕迹）在角平分线的图形中，你还可以构造出其他轴对称图形吗？学生生成：如图 （3）灵活应用：如图在中，平分，，，，请直接写出的长． 【题型 7】最短路径（将军饮马模型）——两定一动（5题） 1．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，正六边形的边长是5，点P是上的一动点，的最小值是（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，D是上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点E恰好落在上，M是上一动点，连接，，若，，，则的最小值为______． 3．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，直线与直线相交，，点P在内，用下面的方法作P 的对称点：先以为对称轴作点P关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…， 如此继续，得到一系列点，，，，…，，若与P重合，则n的最小值为 _______． 4．（2025·浙江台州·三模）如图，在正方形网格中，点为格点（网格线的交点），点在网格线上，仅使用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． （1）如图，在直线上找到一点，使得的值最小； （2）如图，部分网格被墨汁污染，在仅剩的网格中，标出格点，使线段的长度等于（）中的最小值． 5．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？ 小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P就是饮马的位置． 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点B关于直线l的对称点，连接A与直线l交于点，在直线l上任取一点P（与点不重合），连接 点B与点关于直线l对称 ________，_________； 当A，P，三点共线，即点P与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． （1）解决问题：补全证明过程； （2）模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，现要在河岸CD 上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．请你在河岸上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法） 【题型 8】最短路径（将军饮马模型）——两动一定（6题） 1．（25-26八年级上·河南新乡·期中）如图，在长方形中，边，，对角线，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值为（　　） A． B． C． D．10 2．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上一动点，且，，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25八年级上·全国·单元复习）如图，中，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在中，是的平分线，若分别是和上的动点，则的最小值为_____． 5．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在直角中，，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是________． 6．（24-25九年级下·全国·二轮复习）如图，平分，点A为射线上一点，，点E，F别为射线上的动点，连接，则的最小值为_________．    2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $