期末考试必考题型（一）——运算化简求值、解方程与因式分解（5大考点10类题型）- 2025-2026学年浙教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

**基本信息** 聚焦初中数学期末核心运算模块，以5大考点为纲、10类题型为目，构建"知识回顾-方法提炼-题型精析"三阶训练体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |必考点回顾|5考点（解方程组/整式乘除/因式分解等）|解方程组"消元法"步骤、因式分解"四步流程"、分式运算"先分解再运算"法则|从概念法则（如幂运算法则）到解题步骤（如分式方程验根），形成"原理-方法-注意事项"逻辑链| |必考题型精析|10类题型（含参数问题/化简求值等）80题|参数问题"整体代入法"、增根问题"公分母检验法"|基础计算→变式应用→综合拓展，覆盖运算类问题核心考法与易错点|

期末考试必考题型（一）——运算化简求值、解方程与因式分解（5大考点10类题型） 目录 一.必考点知识回顾 1 【考点一】解二元一次方程组 1 【考点二】整式的乘除 2 【考点三】因式分解解题步骤： 3 【考点四】分式的运算解题步骤 3 【考点五】解分式方程解题步骤 4 二.必考题型精析 4 【题型 1】二元一次方程组求解（基础计算8题） 4 【题型 2】方程组含参数、同解问题（8题） 12 【题型 3】幂运算混合化简计算（8题） 19 【题型 4】整式乘法与平方差、完全平方公运算与化简求值（8题） 25 【题型 5】多项式因式分解（8题） 30 【题型 6】利用因式分解化简求值（8题） 35 【题型 7】分式的运算（8题） 40 【题型 8】分式的化简求值（8题） 46 【题型 9】解可化为一元一次方程的分式方程（8题） 52 【题型 10】分式的增根与无解（8题） 58 一.必考点知识回顾 【考点一】解二元一次方程组 解法 适用场景 核心步骤 注意事项 代入消元法 某个未知数的系数为1 或-1. ①用含一个未知数的式子表示另一个未知数；②代入另一个方程消元；③解一元一次方程；④回代求另一个未知数. 变形时要注意符号，代入时要代入“未变形的方程”. 加减消元法 同一未知数的系数相等或相反或成倍数. ①变形方程组，使某一未知数的系数相等或相反；②加减消元，得到一元一次方程；③解一元一次方程；④回代求另一个未知数. 系数成倍数时，两边要同乘“最小公倍数”，避免漏乘常数项. 【考点二】整式的乘除 1、同底数幂的乘除法 类型 法则表示 补充说明 同底数幂的乘法 多个同底数幂相乘同样适用 幂的乘方 可与同底数幂的乘法综合运算 积的乘方 多个因数积的乘方同样适用 同底数幂相除 延伸必考 2、整式的乘法 类型 语言描述 单项式乘单项式 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 单项式乘多项式 单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加 多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 3、乘法公式 类型 运算法则 拓展延伸 完全平方公式 两数和（差）的平方等于这两数的平方和与这两数积的2倍的和（差）. （1） （2） （3） 平方差公式 两数和与这两数差的积等于这两数的平方差. 【考点三】因式分解解题步骤： 1：先提公因式 （1）找全系数最大公因数 + 相同字母最低次幂； （2）首项是负数，先提取负号； （3）提完后括号里不漏项、不丢1。 2：运用公式 （1）平方差公式： （2）完全平方公式： 3：分组分解或十字相乘法 4：最终检查 （1）是不是化成几个整式相乘，不能再展开； （2）每个括号还能不能再分解，必须分解彻底； （3）括号内合并同类项、化简干净； （4）符号是否正确、有没有漏因式。 【考点四】分式的运算解题步骤 1、先分解所有分子、分母里的多项式因式分解； 2、除变乘遇到除法，改成乘倒数； 3、能约分先约分分子分母交叉约掉相同因式，只有乘除可以约分，加减不能约分； 4、加减先通分只剩加减法时：找最简公分母、通分、分母不变，分子相加减分子算完要合并同类项、再因式分解 5、结果化最简最后一定要：无公因式、不能再约分、分母不为 0，保留最简分式或整式 【考点五】解分式方程解题步骤 1、去分母：化分式方程为整式方程 （1）找出所有分母的最简公分母； （2）方程两边每一项都乘最简公分母； （3）约去分母，化成整式方程（常数项也要乘公分母，不能漏乘）。 2、解整式方程 （1）去括号；（2）移项；（3）合并同类项；（4）系数化为1。 3、检验 （1）代入最简公分母检验：若公分母≠0：是原方程的解 ； （2）若公分母= 0：是增根，原方程无解 4、写出结论 （1）有解：写出原方程的解；（2）无解：原分式方程无解. 二.必考题型精析 【题型 1】二元一次方程组求解（基础计算8题） 1．（25-26七年级下·北京海淀·期中）解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用代入消元法求解； （2）利用加减消元法求解． 解：（1）解：， 把代入得，解得， 把代入得， 所以方程组的解为； （2）解： 得：，解得， 把代入得：，解得， 所以方程组的解为． 2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用代入消元法求解即可； （2）先将原方程组整理为标准形式，再用加减消元法求解即可． 解：（1）解：， 由得， 把代入得， 解得， 把代入得， 原方程组的解为； （2）解：， 得， 整理得， 得， 解得， 把代入得， 解得， 原方程组的解为． 3．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题为二元一次方程组求解，利用消元法，先将方程组整理为标准形式，再通过代入消元或加减消元计算未知数的值即可． 解：（1）解： 由②得 ③ 将③代入①得 展开合并得 解得 将 代入③得 即原方程组的解为 （2）解： 给①左右两边同乘12消去分母得 展开移项整理得 ③ ②加③得 解得 将代入②得 解得 即原方程组的解为 4．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）解下列二元一次方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 解：（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：原方程组可变为：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 5．（25-26七年级下·海南海口·期中）在等式中，当时，；当时，． （1）求和的值； （2）当时，求的值． 【答案】（1）；（2）6 【分析】（1）将，；，，分别代入等式，得出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）由（1）得，代入，即可求解． 解：（1）解：由题意，得解得 （2）解：由（1）得 当时， 6．（25-26七年级下·山东聊城·期中）解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 解：（1）解： 将①代入②，得 将代入①，得 ∴方程组的解为 （2）解： ①两边同乘12，得 ②展开并化简，得 ，得 ，得 ，得 将代入③，得 ∴方程组的解为 7．（25-26七年级下·吉林·期中）【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个题目： 解方程组：． 【观察发现】 （1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把也看成一个整体，通过换元，可以解决问题．例如：设，，则原方程组可化为__________，解关于a，b的方程组，得，所以．解这个方程组，得__________； 【探索应用】 （2）运用上述方法解下面的方程组： 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据题意，原方程组可化为，再求出方程组的解，即可； （2）结合题意，设，，原方程组可化为，求出、的值，即可列出方程组，再解方程组求出、的值即可． 解：（1）解：设，， 则原方程组可化为； 解关于a，b的方程组，得， 所以， 解得． （2）解：设，， 则原方程组可化为； 解关于，的方程组，得， 所以， 解得． 8．（25-26七年级下·福建泉州·期中）仔细阅读下面的材料，并解答相应的问题． 整体代入法解方程组 在解方程组时，若方程组中未知数的系数关系比较复杂，直接代入会使计算繁琐，这时可以通过对方程进行变形，找到合适的整体间接代入． 例如：解方程组： 解：将方程②变形为，③ 把方程①代入方程③，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为 （1）仿照上述方法解方程组： （2）已知x，y，z满足方程组，直接写出z的值． 【答案】（1）；（2） 解：（1）解： 将②变形为 ③ 把①代入③，得， 解得 把代入①，得 解得 即原方程组的解为； （2）解： 将②变形为③ 把①代入③，得 整理得 解得． 【题型 2】方程组含参数、同解问题（8题） 1．（25-26七年级下·四川乐山·期中）已知方程组中为非正数，为负数． （1）求的取值范围； （2）化简：； 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用加减消元法进行消元，得到和的表达式，再根据和的取值范围列式运算即可； （2）根据绝对值的性质化简运算即可． 解：（1）解：， 可得： ， ∵为非正数 ∴， 解得：， 可得： ， ∵为负数， ∴， 解得：， ∴， （2）∵， ∴ ． 2．（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知关于x，y的方程组． （1）无论m取何值，方程都有一组固定的解，求这组解； （2）若方程组的解中y恰为正整数，m也为整数，求m的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）根据无论取何值，方程都有固定解，说明该解与无关，因此含的项的系数必须为，即，再将代入方程求出的值，即可得到固定解． （2）通过将两个方程相减消去，得到关于和的表达式，再根据为正整数、为整数的条件，分析分母的可能取值，进而求出的值． 解：（1）解：无论m取何值，方程都有固定解， 该方程的解与m的取值无关， ． 将代入，得， 解得． 方程的固定解为． （2）解： ，得． ． ． 恰为正整数，m也为整数， 或． 解得或． 3．（25-26七年级下·吉林松原·期中）小明在解方程组时，发现系数“”模糊不清． （1）小明把“”猜成，求方程组的解； （2）已知原方程组的正确解、互为相反数，求“”表示的数值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）对于方程组，可利用加减消元法，将两式相加消去，先求出的值，再将的值代入第一个方程求出的值，即可得到方程组的解． （2）先根据、互为相反数，得到，将其代入方程，求出、的值，再将解代入方程，即可求出“”表示的数值． 解：（1）解：由题意可得， ①②得， 解得， 把代入，得， 解得， 所以方程组的解是； （2）解：设“”为 互为相反数， ∴把代入，得， 解得，即 ∴方程组的解是， 把代入，得， 解得， 即原题中“”是． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知关于、的二元一次方程组，其中是常数． （1）用的代数式表示该方程组的解； （2）若该方程组的解满足，求的值； （3）已知，求的最小值，并求此时的值． 【答案】（1）（2）；（3）时，的最小值为． 【分析】（1）利用加减消元法，将第一个方程两边同乘2后与第二个方程相加，消去未知数，求出关于的代数式，再将代入原方程，求出关于的代数式，从而得到方程组的解。 （2）将（1）中得到的、关于的代数式代入，得到关于的一元一次方程，解方程求出的值。 （3）将、关于的代数式代入，得到关于的二次函数，再通过配方法将二次函数化为顶点式，利用平方的非负性求出的最小值及对应的的值。 解：（1）解：， ，得：，解得：， 将代入②，得：，解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：∵该方程组的解满足， ∴，解得：； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴时，的最小值为． 5．（25-26七年级下·河南鹤壁·阶段检测）已知关于的方程组与关于的方程组的解相同，求的值． 【答案】， 【分析】根据已知的两个方程组的解相同得到关于x、y的方程组，求出x、y的值，再将x、y的值代入含a、b的两个方程中，得到关于a、b的二元一次方程组，进而求出a、b的值即可． 解：解:∵两个方程组的解相同， ∴先解方程组， 由得， 将代入得， 解得， 将代入，得； ∴两个方程组的公共解为， 将代入含有的方程组，即， ∴， 由得， 解得， 将代入得， 解得． 6．（25-26七年级下·广东江门·期中）若方程组与方程组的解相同， （1）求方程组的解； （2）求、的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）把代入方程组得到，解方程组求出m、n的值. 解：（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为. （2）解：解方程组得， ∵方程组与方程组的解相同， ∴是方程组的解， ∴， 解得. 7．（24-25八年级下·江西南昌·期末）已知关于x，y的方程组和有相同的解． （1）求出它们的相同解； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和求代数式的值等知识，能求出两方程组的相同的解是解此题的关键． （1）求出的解，即可解答； （2）将代入到中，求出a、b的值，再代入求值． 解：（1）解：由题意，得， ，得， ∴， 把代入①得， ∴， 它们的相同解为； （2）解：将代入，得， 解得． ， ． 8．（25-26七年级下·四川眉山·期中）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为；乙看错了方程组中的，而得解为． （1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？ （2）请求出原方程组的正确解． 【答案】（1）甲把a看成了5，乙把b看成了6；（2） 【分析】（1）把代入得出关于的一元一次方程，解一元一次方程即可得出甲把a看成了什么，把代入得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程即可得出乙把b看成了什么； （2）把代入得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程得出b的值，把代入得出关于a的一元一次方程，解一元一次方程得出a的值，把a，b代入原方程组得出关于x，y的方程组，解方程组即可得出原方程组的正确解． 解：（1）解：把代入， 可得：， 解得：， 把代入， 可得：， 解得：， ∴甲把a看成了5，乙把b看成了6； （2）解：把代入， 可得：， 解得：， 把代入， 可得：， 解得：， 把，代入原方程组， 可得：， 由②得：③， 由①+③，可得：， ∴， 把代入①，可得：， 解得：， ∴原方程组的解． 【题型 3】幂运算混合化简计算（8题） 1．（25-26八年级上·江西赣州·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，涉及零指数幂，负整数指数幂，积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式等知识，熟练掌握相关运算法则为解题关键； （1）根据有理数乘方，零指数幂，负整数指数幂计算各项再算加减法即可； （2）先算括号内的，再算积的乘方，最后算除法即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．（25-26八年级上·河南安阳·期末）化简 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了负整数指数幂、零指数幂、有理数的乘方、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及合并同类项等知识点，熟练掌握幂的相关运算法则及有理数的运算规则是解题的关键． （1）先根据负整数指数幂、零指数幂及乘方的运算法则，分别计算、和，再进行加减运算． （2）先根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则及积的乘方法则，分别计算、和，再合并同类项． 解：（1）解： ； （2）解： ． 3．（25-26八年级上·广西崇左·期末）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 解：（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 4．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： （1）如果，求x的值； （2）如果，求x的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法以及若（且），则的结论，熟练掌握幂的运算法则和整体代换思想是解题的关键． （1）先将等式左边的底数统一为2，再根据若（且），则的结论，列出关于的方程求解． （2）先提取公因式，将等式左边化简，再把等式右边的数转化为以2为底的幂，最后根据若（且），则的结论，列出关于的方程求解． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26八年级上·四川南充·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． （1）根据上述规定填空： ________  ________  ________． （2）已知，，，，求证：． 【答案】（1）；（2）见详解 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，掌握其运算法则是关键． （1）根据题意的计算方法求解即可； （2）根据题意得到，，，结合题意，运用幂的乘方，同底数幂的计算求解即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． 6．（25-26八年级上·河南南阳·期中）将幂的运算利用逆向思维可以得到，，，（，m，n为正整数）．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）求的值． （2）若，求m的值． （3）比较大小：若，，，，则a，b，c，d的大小关系是______．（提示：，n为正整数，那么） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了幂的运算，解决本题的关键是逆运用计算法则． （1）逆用同底数幂乘法法则，幂的乘方法则，进行运算，即可解答； （2）转化为底数为３的幂进行计算，即可解答； （3）转化为指数相同的幂，再根据正指数相同的正数底数幂，底数大的幂大，底数小的幂小，比较大小，即可解答． 解：（1）解： ． （2）解：， ∵ ， ∴， ∴， 解得． （3）解：∵，，， ∴， ， ， ， ∵， ∴． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·重庆万州·期中）（1），，求的值； （2）若，，求． 【答案】（1）24；（2）1 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘、求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）将所求式子变形为，整体代入计算即可得解； （2）由幂的乘方与同底数幂相乘法则计算得出，，从而可得，，代入所求式子计算即可得解． 解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）若（且，是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： （1）如果，求的值； （2）如果，求的值； （3）若，用含的式子表示． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查幂的乘方，解一元一次方程，用含的代数式表示，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将式子变形得，再对应相等即可求解； （2）将变形为，继而得到，即可求解； （3）根据题干可得，再化简得，将代入即可求解． 解：（1）， ， 解得． （2）， ， ， ， ． （3）， ． ， ． 【题型 4】整式乘法与平方差、完全平方公运算与化简求值（8题） 1．（25-26七年级上·河南安阳·期末）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值． 通常的解题思路是：把，看作字母，看作系数，合并同类项，具体解题过程如下： 原式 ∵代数式的值与的取值无关， ∴， 解得： 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 ； （2）已知，，且的值与的取值无关，求，的值； 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出相关的方程是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，故将多项式整理为，令系数为0，即可求出； （2）先计算，结合多项式的值与的取值无关，即可求出答案． 解：（1）解：， ∵其值与的取值无关， ∴， 解得． 故答案为：． （2）解： ∵的值与的取值无关， ∴，， 解得，． 2．（24-25八年级上·广西河池·期末）已知的展开式中不含的一次项，常数项是． （1）求，的值． （2）先化简再求值． 【答案】（1），；（2）35 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算、代数式求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据多项式乘以多项式运算法则将原式展开，结合展开式中不含的一次项，常数项是可得，，求解即可获得答案； （2）根据多项式乘以多项式运算法则将原式化简，然后将，的值代入求解即可． 解：（1）解：∵ ， 又∵展开式中不含的一次项，常数项是， ∴，， 解得，； （2）原式 ， ∵，， ∴原式 ． 3．（25-26八年级上·山东德州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，1 【分析】先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 解： ， 当，时， 原式． 4．（25-26八年级上·福建厦门·期末）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 5．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查单项式乘多项式及多项式乘多项式的运算法则，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式的运算法则，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加； （2）先根据平方差公式及完全平方公式化简，最后将两个结果相加． 解：（1）解：原式； （2）原式 ． 6．（25-26八年级上·山东济宁·期末）计算下列各式： （1） （2）（用简便方法计算） 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了整式的计算，平方差公式的运用，熟练掌握相关计算法则是解题的关键． （1）先计算多项式乘以多项式以及平方差公式，最后合并同类项即可； （2）将变形为，采用平方差公式计算即可得出结果． 解：（1）解：原式 （2）解：原式 7．（25-26七年级上·上海·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 解： ， 当时，原式 ． 8．（25-26八年级上·全国·期末）计算： （1）； （2）． （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． （1）根据单项式乘多项式法则计算即可； （2）根据多项式乘多项式法则计算即可； （3）根据平方差公式计算即可； （4）先根据平方差公式和完全平方公式去括号，再合并即可； 解：（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 【题型 5】多项式因式分解（8题） 1．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）因式分解 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先将所求式子变形为，再提取公因式即可得出结果． 解：（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26八年级上·山东烟台·期中）分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分解因式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的关键． （1）先利用整式的乘法进行化简，再利用完全平方公式分解因式即可得出结果； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得出结果． 解：（1）解： ； （2）解： ． 3．（25-26八年级上·海南海口·期末）把下列各式分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的技巧是关键． （1）将视为整体，使用完全平方公式进行因式分解即可； （2）将视为整体，使用完全平方公式进行因式分解即可． 解：（1）解：； （2）解：． 4．（24-25八年级上·河南许昌·期末）因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】本题主要考查了因式分解的提取公因式法、平方差公式和完全平方公式，熟练掌握因式分解的步骤“一提二套三检查”是解题的关键． （1）观察多项式各项，找出公因式，提取公因式即可完成因式分解． （2）先提取公因式，再对剩余部分用平方差公式继续分解． （3）先将变形为，统一多项式的形式，再提取公因式． （4）先提取公因式，再对剩余部分用完全平方公式继续分解． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 5．（25-26八年级上·天津和平·期末）分解因式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了因式分解． （1）根据平方差公式因式分解即可求解； （2）根据十字相乘法因式分解即可求解； （3）先提公因式，再根据完全平方公式因式分解，即可求解． 解：（1）解： ； （2）解：； （3）解： ． 6．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接利用提公因式因式分解，即可作答; （2）先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答； （3）运用平方差公式进行因式分解，即可作答； （4）运用分组分解法进行因式分解，即可作答． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 7．（25-26八年级上·天津西青·月考）把下列各式分解因式： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查提公因式法进行因式分解，合并同类项，掌握知识点是解题的关键． （1）根据提公因式法进行因式分解即可解答； （2）先根据提公因式法进行因式分解，再合并同类项即可． 解：（1）解： ； （2） ． 8．（25-26八年级上·江苏南通·月考）因式分解 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了因式分解． （1）利用平方差公式进行因式分解； （2）提取公因式后化简即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型 6】利用因式分解化简求值（8题） 1．（25-26八年级上·山西·月考）分解因式、求值 （1）分解因式：． （2）分解因式：． （3）先分解因式，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】本题主要考查因式分解与代数式求值，解题的关键在于正确的分解因式． （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式可得； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式可得； （3）先分解因式，再把的值代入计算即可． 解：（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 当时，原式． 2．（25-26八年级上·天津蓟州·阶段检测）（1）先化简，再求值：，其中； （2）先因式分解，再求值：已知，求． 【答案】（1），2；（2），48 【分析】本题考查整式的化简与因式分解，第一小题通过展开与合并得到最简形式后代入数值；第二小题通过提取公因式并结合完全平方公式进行因式分解，再代入已知数值简化计算过程，体现了因式分解在代数求值中的应用优势． （1）先利用乘法分配律和多项式乘法展开原式，然后合并同类项进行化简，最后代入求值． （2）观察代数式结构，提取公因式后使用完全平方公式进行因式分解，结合已知条件，代入化简后的表达式求值． 解：解（1）原式 = ， 代入计算 原式； （2）原式 ， 已知， 原式． 3．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）利用因式分解求值． （1）已知，，求值． （2） 【答案】（1）15；（2）4049 【分析】本题考查因式分解、代数式求值，正确因式分解是解答的关键． （1）先将原式化为，再整体代入求解即可； （2）利用平方差公式分解因式即可求解． 解：（1）解：∵，， ∴； （2）解： ． 4．（25-26八年级上·新疆·阶段检测）先分解因式，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是因式分解，求解代数式的值，先化为，再提公因式，最后代入数据进行计算即可. 解： 当，时，原式 5．（25-26八年级上·全国·单元测试）先分解因式，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，求代数式的值，先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解，最后把m、n的值代入计算即可． 解： ． 当时， 原式 ． 6．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）（1）因式分解： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），8 【分析】本题考查了因式分解以及整式的化简求值， （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）先根据完全平方公式、单项式与多项式的乘法、平方差公式进行化简计算，再根据代值计算即可． 解：（1）解：； （2）解： ， ∵， ∴， ∴原式． 7．（25-26八年级上·全国·单元测试）先因式分解，再计算求值： （1），其中，； （2），其中． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查代数式的因式分解以及代数式求值： （1）直接提取公因式，进而分解因式得出即可； （2）直接提取公因式，进而得出答案． 解：（1）解：， 将，代入得： 原式； （2）解： ， 将代入得出：原式． 8．（24-25八年级下·山西运城·月考）先因式分解，然后计算求值： （1），其中，． （2），其中，． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了因式分解以及代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键； （1）先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解，再将字母的值代入，即可求解； （2）先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解，再将字母的值代入，即可求解． 解：（1）解： 当，时， 原式. （2）， . 当，时， 原式. 【题型 7】分式的运算（8题） 1．（24-25八年级下·山东青岛·月考）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 解：（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25八年级下·重庆·期中）化简整式或分式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先根据代数式乘法法则和完全平方公式进行展开，再合并同类项即可； （2）先将括号内化简，再算除法即可． 解：（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 3．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先根据完全平方公式和多项式除以单项式的运算法则计算，然后合并同类项即可； （2）先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，然后把除法运算化为乘法运算后约分即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 4．（25-26八年级上·天津和平·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再算乘法即可解答； （2）先计算除法，再算减法即可． 解：（1）解：原式； （2）解：原式 ． 5．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）先算乘方，再算乘除，即可解答； （2）根据平方差公式，完全平方公式进行计算即可； （3）根据乘方，零指数幂，负整数指数幂进行计算即可； （4）先算括号里面的加法，再算括号外面的除法． 本题考查了分式的混合运算，整式的混合运算，有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 解：（1）解： ， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ； （4）解：， ， ． 6．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同分母分式减法计算法则求解即可； （2）先约分、通分，再根据同分母分式减法计算法则求解即可； （3）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，接着约分，然后通分后进行同分母的减法运算； （4）先乘法，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 7．（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式的约分和几种常见的分解因式的方法是解题的关键． 四个小题均可以按照混合运算法则，先算乘方，再把除法化成乘法，然后约分即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 8．（25-26八年级上·天津·月考）分式计算 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，平方差公式，完全平方公式等知识点，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键． （1）先算括号内的减法，再进行除法运算即可得解； （2）先算括号内的减法，再进行除法运算即可得解． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型 8】分式的化简求值（8题） 1．（24-25八年级下·福建漳州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 解：原式 ； 当时，原式． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【分析】先由分式的混合运算化简，再由负整数指数幂运算求出值，最后代入化简得分式计算即可求解． 解： ， 当时， 原式． 3．（25-26八年级下·辽宁鞍山·开学考试）先化简，再求值： （1），其中a，b满足． （2），其中． 【答案】（1），17；（2）， 【分析】（1）先利用完全平方公式，平方差公式及单项式乘多项式法则展开括号内各项，合并同类项后进行除法运算化简，再根据非负数性质求出a、b的值代入化简结果； （2）先对括号内分式进行通分减法计算，再将除法转化为乘法并约分得到最简分式，最后根据零指数幂求出x的值代入． 解：（1）解：原式 ， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴原式． （2）解：原式 ， ∵， ∴原式． 4．（25-26八年级上·广东东莞·期末）化简求值：已知．求的值． 【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后根据，可以得到，再代入化简后的式子计算即可． 解： ； ∵， ∴， ∴原式． 5．（24-25九年级下·甘肃武威·期中）（1）先化简，再求值：，其中； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1），；（2）5 【分析】本题考查了分式的化简求值与代数式的整体代入求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则及整体代入的数学思想． （1）先通分计算括号内的加法，再将除法转化为乘法，因式分解后约分，最后代入求值； （2）先展开代数式并合并同类项，再结合已知条件变形，整体代入计算． 解：（1）解：∵，， ∴ ， 当时，， 答；化简结果为，代数式的值为． （2）解：∵，， ∴ ， ∵， ∴． ∴． 答：原代数式的值为． 6．（25-26八年级上·河南许昌·期末）先化简，再求值：，其中m满足． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，平方根解方程． 先化简原分式，再根据平方根求出m的值，根据分式有意义的条件选取合适的值作答即可． 解： ， 解得， 由分式有意义的条件可知，，， ∴， 将代入，得 原式． 7．（25-26八年级上·山东泰安·期末）先化简，，然后从，0，1，2四个数中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是关键．首先对括号内的式子通分相减，同时把除法转化为乘法，约分后即可化简，再根据分式有意义的条件确定x的值，最后代入计算即可． 解： ， 由题意，得且且， 且， ， 当时，原式． 8．（25-26八年级上·四川南充·期末）先化简再求值： （1），其中； （2），其中． 【答案】（1），5；（2）， 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，分式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据平方差公式和完全平方公式去括号，再合并同类项即可化简，再代入计算即可得出结果； （2）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，最后代入计算即可得出结果． 解：（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 【题型 9】解可化为一元一次方程的分式方程（8题） 1．（24-25八年级下·河南驻马店·阶段检测）解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2）原方程无解 【分析】（1）先去分母，将分式方程化为整式方程，求解后再进行检验； （2）先将分母变形统一，再去分母化为整式方程，求解后检验，注意增根的判断． 解：（1）解：方程两边同乘，得：， 去括号：， 移项、合并同类项：， 检验：当时，， 是原方程的解； （2）解：原方程可变形为：， 方程两边同乘，得：， 去括号：， 移项、合并同类项：， 解得：， 检验：当时，，分式无意义， 原方程无解． 2．（25-26八年级上·山东泰安·月考）解方程 （1） （2） 【答案】（1）；（2）该分式方程无解 【分析】按去分母、移项等步骤进行求解并检验即可； 解：（1）解：， 两边同时乘以，得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 经检验，为原方程的解． （2）解：， 两边同时乘以，得， 化简得， 系数化为1得， 当时，， 故该分式方程无解． 3．（25-26八年级上·山东临沂·期末）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）无解；（2） 【分析】（1）先将方程两边乘转化为整式方程，再解整式方程，注意检验是否为原方程的根； （2）先将方程两边乘转化为整式方程，再解整式方程，注意检验是否为原方程的根． 解：（1）解： 方程两边乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以，原分式方程无解； （2）解： 方程两边乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以，原分式方程的解为． 4．（25-26八年级上·湖南常德·期末）解方程： （1）； （2）5． 【答案】（1）无解；（2） 【分析】（1）先变形，再方程两边同乘（，将分式方程化为整式方程求解即可； （2）先变形，再方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解即可． 解：（1）解： ， 方程可化为， 方程两边同乘（，得， 解得， 检验：当时，， 所以是分式方程的增根， 所以原分式方程无解； （2）解：， 方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以原分式方程的解是． 5．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）解分式方程： （1）； （2） 【答案】（1）；（2）无解 【分析】本题考查了解分式方程． （1）先将分母化为相同形式，去分母转化为整式方程，求解后检验分母是否为零； （2）先分解分母，确定最简公分母，去分母转化为整式方程，求解后检验分母是否为零． 解：（1）解：， ， ， ， ， 经检验：当时，， ∴是原方程的根． （2）解：， ， ， ， ， ， 经检验：当时，， ∴是方程的增根，原方程无解． 6．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）解方程： （1）； （2） ． 【答案】（1）；（2） 【分析】先去分母，将分式方程化为整式方程，求解后，进行检验即可． 解：（1）解：， 去分母，得， 解得； 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2）解：， 去分母，得， 整理，得， 解得； 检验：当时，； ∴是原方程的解． 7．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）解方程 （1） （2） 【答案】（1）；（2）无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键． （1）（2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 解：（1）解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 检验，当时，， ∴是原方程的解． （2）解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 8．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，注意最后一定要检验． （1）先对分母分解因式，并写成含有的形式，然后方程两边同乘最简公分母，把分式方程化成整式方程，解方程求出x，最后进行检验即可； （2）方程两边同乘，把分式方程化成整式方程，解方程求出x，最后进行检验即可． 解：（1）解：， ， ， 方程两边同乘，得：， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解； （2）解：， 方程两边同乘，得：， ， 整理得：， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 【题型 10】分式的增根与无解（8题） 1．（24-25八年级上·江苏南通·月考）已知关于x的方程：． （1）当m为何值时，方程无解． （2）当m为何值时，方程的解为负数． 【答案】（1）或4；（2）且 【分析】（1）分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的x能令最简公分母为0，据此进行解答； （2）通过解分式方程得到x的值，然后根据已知条件列出关于m的不等式，通过解不等式可以求得m的值． 本题考查了分式方程的解法，以及分式方程无解的问题，理解分式方程无解的条件是解题的关键． 解：（1）由原方程，得， ①整理，得， 当即时，原方程无解； ②当分母即时，原方程无解， 故， 解得， 综上所述，或4； （2）由（1）得到， 当时．， 解得， 由（1）知：时，原方程无解； 所以综上所述，且． 2．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）按要求解答下列各题： （1）若关于的方程的解是正数，求的取值范围； （2）关于的方程解是负数，求的取值范围； （3）已知关于的方程有增根，求的值； （4）若关于的分式方程无解，求的值． 【答案】（1）且；（2）且；（3）的值为或或；（4）或 【分析】本题考查了分式方程的解以及解分式方程，分式方程有增根和无解时求字母的值，解题的关键是掌握相关知识． （1）先解分式方程得到，再根据该分式方程的解为正数得到，且，即可求解； （2）先解分式方程得到，再根据该分式方程的解为负数得到，且，即可求解； （3）先解分式方程得到，再根据该分式方程有增根得到或或，即可求解； （4）先解分式方程得到，再根据该分式方程无解，可得或，即可求解． 解：（1）解： ， 该分式方程的解为正数， ，且， 解得且； （2）解： ， 方程有解，且解为负数， ，且， 且； （3）解： ， 该方程有增根， 或或． 的值为或或； （4）解： ， 分式方程无解， 或， 或． 3．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）已知关于的分式方程． （1）若方程的增根为，求的值． （2）若方程无解，求的值． 【答案】（1）；（2）或． 【分析】本题主要考查分式方程的增根及无解，关键是将分式方程化为整式方程，结合增根的定义（使分母为的根）分析，易错点是混淆“增根导致无解”与“整式方程本身无解”的情况． （1）先将分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程求； （2）分“整式方程无解”和“整式方程的解是增根”两种情况求． 解：（1）解： 方程两边同时乘以得： 整理得： 将增根代入整式方程： 解得 （2）分式方程无解分两种情况： 情况 1：整式方程无解 当时，整式方程无实数解，故分式方程无解，此时； 情况 2：整式方程的解是增根 增根为（使分母为的根），由（1）知此时； 所以的值为或． 4．（25-26八年级上·湖南张家界·期中）已知关于x的分式方程：． （1）当时，解该分式方程； （2）若该分式方程无解，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键： （1）去分母，将方程化为整式方程，求解后，进行检验即可； （2）根据分式方程无解，得到整式方程无解或分式方程有增根，进行求解即可． 解：（1）解：当时，， 去分母，得：， 解得； 检验，当时，， ∴方程的解为； （2）解：， 去分母，得：， ∵分式方程无解， ∴分式方程有增根， ∴， ∴， 把代入，得：； 故． 5．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）已知关于x的分式方程． （1）若分式方程的根是，求a的值； （2）若分式方程有增根，求a的值． 【答案】（1）；（2）a的值为3 【分析】本题考查了分式方程的增根和分式方程的解，理解分式方程有增根和解的含义是解题的关键． （1）把代入方程计算，即可求出a的值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到或，代入整式方程计算即可求出a的值． 解：（1）解：分式方程的根是， ， 解得； （2）去分母得， 整理得， 分式方程有增根， 或， 当时，，此时不存在a的值； 当时，，解得， 综上，a的值为3． 6．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）已知关于的方程． （1）当取何值时，此方程的解为？ （2）当取何值时，此方程会产生增根？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式方程的解，以及分式方程的增根问题，解题关键是理解增根是整式方程的解，但不是分式方程的解． （1）将代入分式方程计算即可； （2）当时，分式方程有增根，且增根为，将分式方程去分母转化成整式方程，将代入整式方程解出m值即可． 解：（1）解：将代入分式方程， 可得 ， 解得； （2）解：当时，分式方程有增根，且增根为， 去分母得， 将代入整式方程得， 即， 所以当时，此方程会产生增根． 7．（24-25八年级上·全国·寒假作业）关于的方程：． （1）若方程有增根，求的取值； （2）若方程无解，求的取值； （3）若方程的解为整数，求整数的取值范围． 【答案】（1）或；（2）或或；（3）或 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键． （）根据分式方程的解法得出，然后将增根代入求解即可； （）分当时原分式方程无解，当或时方程有增根，从而求解； （）由，得，然后根据方程的解为整数得出，，最后求解并检验即可． 解：（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得， ∴若方程有增根，的取值为或； （2）解：∵， ∴当时原分式方程无解， ∴， ∵当或时方程有增根， ∴若方程无解，的取值为或或； （3）解：∵， ∴， ∵方程的解为整数， ∴，， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，； ∴或． 8．（2024九年级下·全国·专题练习）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：． （1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根增根确定后可按如下步骤进行： ①化分式方程为整式方程；  ②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． （1）“？”当成5，解分式方程即可， （2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将代入即可解答． 解：（1）解：依题意， 方程两边同时乘以得 解得 经检验，是原分式方程的解； （2）解：设？为， 方程两边同时乘以得 ∵是原分式方程的增根， ∴把代入上面的等式得 ∴，原分式方程中“？”代表的数是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末考试必考题型（一）——运算化简求值、解方程与因式分解（5大考点10类题型） 目录 一.必考点知识回顾 1 【考点一】解二元一次方程组 1 【考点二】整式的乘除 2 【考点三】因式分解解题步骤： 3 【考点四】分式的运算解题步骤 3 【考点五】解分式方程解题步骤 4 二.必考题型精析 4 【题型 1】二元一次方程组求解（基础计算8题） 4 【题型 2】方程组含参数、同解问题（8题） 6 【题型 3】幂运算混合化简计算（8题） 7 【题型 4】整式乘法与平方差、完全平方公运算与化简求值（8题） 8 【题型 5】多项式因式分解（8题） 10 【题型 6】利用因式分解化简求值（8题） 11 【题型 7】分式的运算（8题） 11 【题型 8】分式的化简求值（8题） 13 【题型 9】解可化为一元一次方程的分式方程（8题） 13 【题型 10】分式的增根与无解（8题） 14 一.必考点知识回顾 【考点一】解二元一次方程组 解法 适用场景 核心步骤 注意事项 代入消元法 某个未知数的系数为1 或-1. ①用含一个未知数的式子表示另一个未知数；②代入另一个方程消元；③解一元一次方程；④回代求另一个未知数. 变形时要注意符号，代入时要代入“未变形的方程”. 加减消元法 同一未知数的系数相等或相反或成倍数. ①变形方程组，使某一未知数的系数相等或相反；②加减消元，得到一元一次方程；③解一元一次方程；④回代求另一个未知数. 系数成倍数时，两边要同乘“最小公倍数”，避免漏乘常数项. 【考点二】整式的乘除 1、同底数幂的乘除法 类型 法则表示 补充说明 同底数幂的乘法 多个同底数幂相乘同样适用 幂的乘方 可与同底数幂的乘法综合运算 积的乘方 多个因数积的乘方同样适用 同底数幂相除 延伸必考 2、整式的乘法 类型 语言描述 单项式乘单项式 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 单项式乘多项式 单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加 多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 3、乘法公式 类型 运算法则 拓展延伸 完全平方公式 两数和（差）的平方等于这两数的平方和与这两数积的2倍的和（差）. （1） （2） （3） 平方差公式 两数和与这两数差的积等于这两数的平方差. 【考点三】因式分解解题步骤： 1：先提公因式 （1）找全系数最大公因数 + 相同字母最低次幂； （2）首项是负数，先提取负号； （3）提完后括号里不漏项、不丢1。 2：运用公式 （1）平方差公式： （2）完全平方公式： 3：分组分解或十字相乘法 4：最终检查 （1）是不是化成几个整式相乘，不能再展开； （2）每个括号还能不能再分解，必须分解彻底； （3）括号内合并同类项、化简干净； （4）符号是否正确、有没有漏因式。 【考点四】分式的运算解题步骤 1、先分解所有分子、分母里的多项式因式分解； 2、除变乘遇到除法，改成乘倒数； 3、能约分先约分分子分母交叉约掉相同因式，只有乘除可以约分，加减不能约分； 4、加减先通分只剩加减法时：找最简公分母、通分、分母不变，分子相加减分子算完要合并同类项、再因式分解 5、结果化最简最后一定要：无公因式、不能再约分、分母不为 0，保留最简分式或整式 【考点五】解分式方程解题步骤 1、去分母：化分式方程为整式方程 （1）找出所有分母的最简公分母； （2）方程两边每一项都乘最简公分母； （3）约去分母，化成整式方程（常数项也要乘公分母，不能漏乘）。 2、解整式方程 （1）去括号；（2）移项；（3）合并同类项；（4）系数化为1。 3、检验 （1）代入最简公分母检验：若公分母≠0：是原方程的解 ； （2）若公分母= 0：是增根，原方程无解 4、写出结论 （1）有解：写出原方程的解；（2）无解：原分式方程无解. 二.必考题型精析 【题型 1】二元一次方程组求解（基础计算8题） 1．（25-26七年级下·北京海淀·期中）解方程组： （1）； （2）． 2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）解方程组： （1）； （2）． 3．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）解方程组： （1）； （2）． 4．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）解下列二元一次方程组： （1）； （2）． 5．（25-26七年级下·海南海口·期中）在等式中，当时，；当时，． （1）求和的值； （2）当时，求的值． 6．（25-26七年级下·山东聊城·期中）解下列方程组： （1）； （2）． 7．（25-26七年级下·吉林·期中）【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个题目： 解方程组：． 【观察发现】 （1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把也看成一个整体，通过换元，可以解决问题．例如：设，，则原方程组可化为__________，解关于a，b的方程组，得，所以．解这个方程组，得__________； 【探索应用】 （2）运用上述方法解下面的方程组： 8．（25-26七年级下·福建泉州·期中）仔细阅读下面的材料，并解答相应的问题． 整体代入法解方程组 在解方程组时，若方程组中未知数的系数关系比较复杂，直接代入会使计算繁琐，这时可以通过对方程进行变形，找到合适的整体间接代入． 例如：解方程组： 解：将方程②变形为，③ 把方程①代入方程③，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为 （1）仿照上述方法解方程组： （2）已知x，y，z满足方程组，直接写出z的值． 【题型 2】方程组含参数、同解问题（8题） 1．（25-26七年级下·四川乐山·期中）已知方程组中为非正数，为负数． （1）求的取值范围； （2）化简：； 2．（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知关于x，y的方程组． （1）无论m取何值，方程都有一组固定的解，求这组解； （2）若方程组的解中y恰为正整数，m也为整数，求m的值． 3．（25-26七年级下·吉林松原·期中）小明在解方程组时，发现系数“”模糊不清． （1）小明把“”猜成，求方程组的解； （2）已知原方程组的正确解、互为相反数，求“”表示的数值． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知关于、的二元一次方程组，其中是常数． （1）用的代数式表示该方程组的解； （2）若该方程组的解满足，求的值； （3）已知，求的最小值，并求此时的值． 5．（25-26七年级下·河南鹤壁·阶段检测）已知关于的方程组与关于的方程组的解相同，求的值． 6．（25-26七年级下·广东江门·期中）若方程组与方程组的解相同， （1）求方程组的解； （2）求、的值． 7．（24-25八年级下·江西南昌·期末）已知关于x，y的方程组和有相同的解． （1）求出它们的相同解； （2）求的值． 8．（25-26七年级下·四川眉山·期中）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为；乙看错了方程组中的，而得解为． （1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？ （2）请求出原方程组的正确解． 【题型 3】幂运算混合化简计算（8题） 1．（25-26八年级上·江西赣州·期末）计算： （1） （2） 2．（25-26八年级上·河南安阳·期末）化简 （1） （2） 3．（25-26八年级上·广西崇左·期末）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 4．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： （1）如果，求x的值； （2）如果，求x的值． 5．（25-26八年级上·四川南充·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． （1）根据上述规定填空： ________  ________  ________． （2）已知，，，，求证：． 6．（25-26八年级上·河南南阳·期中）将幂的运算利用逆向思维可以得到，，，（，m，n为正整数）．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）求的值． （2）若，求m的值． （3）比较大小：若，，，，则a，b，c，d的大小关系是______．（提示：，n为正整数，那么） 7．（25-26八年级上·重庆万州·期中）（1），，求的值； （2）若，，求． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）若（且，是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： （1）如果，求的值； （2）如果，求的值； （3）若，用含的式子表示． 【题型 4】整式乘法与平方差、完全平方公运算与化简求值（8题） 1．（25-26七年级上·河南安阳·期末）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值． 通常的解题思路是：把，看作字母，看作系数，合并同类项，具体解题过程如下： 原式 ∵代数式的值与的取值无关， ∴， 解得： 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 ； （2）已知，，且的值与的取值无关，求，的值； 2．（24-25八年级上·广西河池·期末）已知的展开式中不含的一次项，常数项是． （1）求，的值． （2）先化简再求值． 3．（25-26八年级上·山东德州·期末）先化简，再求值：，其中，． 4．（25-26八年级上·福建厦门·期末）计算： （1）． （2）． 5．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）计算： （1）； （2）． 6．（25-26八年级上·山东济宁·期末）计算下列各式： （1） （2）（用简便方法计算） 7．（25-26七年级上·上海·期末）先化简，再求值：，其中． 8．（25-26八年级上·全国·期末）计算： （1）； （2）． （3）； （4）． 【题型 5】多项式因式分解（8题） 1．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）因式分解 （1）； （2）． 2．（25-26八年级上·山东烟台·期中）分解因式： （1）； （2）． 3．（25-26八年级上·海南海口·期末）把下列各式分解因式： （1）； （2）． 4．（24-25八年级上·河南许昌·期末）因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 5．（25-26八年级上·天津和平·期末）分解因式： （1）； （2）； （3）． 6．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 7．（25-26八年级上·天津西青·月考）把下列各式分解因式： （1） （2） 8．（25-26八年级上·江苏南通·月考）因式分解 （1）； （2）． 【题型 6】利用因式分解化简求值（8题） 1．（25-26八年级上·山西·月考）分解因式、求值 （1）分解因式：． （2）分解因式：． （3）先分解因式，再求值：，其中． 2．（25-26八年级上·天津蓟州·阶段检测）（1）先化简，再求值：，其中； （2）先因式分解，再求值：已知，求． 3．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）利用因式分解求值． （1）已知，，求值． （2） 4．（25-26八年级上·新疆·阶段检测）先分解因式，再求值：，其中，． 5．（25-26八年级上·全国·单元测试）先分解因式，再求值：，其中． 6．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）（1）因式分解： （2）先化简，再求值：，其中． 7．（25-26八年级上·全国·单元测试）先因式分解，再计算求值： （1），其中，； （2），其中． 8．（24-25八年级下·山西运城·月考）先因式分解，然后计算求值： （1），其中，． （2），其中，． 【题型 7】分式的运算（8题） 1．（24-25八年级下·山东青岛·月考）计算： （1）； （2）． 2．（24-25八年级下·重庆·期中）化简整式或分式： （1）； （2）． 3．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）计算： （1）； （2）． 4．（25-26八年级上·天津和平·期末）计算： （1）； （2）． 5．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 6．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 7．（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）计算： （1） （2） （3） （4） 8．（25-26八年级上·天津·月考）分式计算 （1） （2） 【题型 8】分式的化简求值（8题） 1．（24-25八年级下·福建漳州·期末）先化简，再求值：，其中． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）先化简，再求代数式的值，其中． 3．（25-26八年级下·辽宁鞍山·开学考试）先化简，再求值： （1），其中a，b满足． （2），其中． 4．（25-26八年级上·广东东莞·期末）化简求值：已知．求的值． 5．（24-25九年级下·甘肃武威·期中）（1）先化简，再求值：，其中； （2）已知，求代数式的值． 6．（25-26八年级上·河南许昌·期末）先化简，再求值：，其中m满足． 7．（25-26八年级上·山东泰安·期末）先化简，，然后从，0，1，2四个数中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 8．（25-26八年级上·四川南充·期末）先化简再求值： （1），其中； （2），其中． 【题型 9】解可化为一元一次方程的分式方程（8题） 1．（24-25八年级下·河南驻马店·阶段检测）解方程： （1）． （2）． 2．（25-26八年级上·山东泰安·月考）解方程 （1） （2） 3．（25-26八年级上·山东临沂·期末）解方程： （1）； （2）． 4．（25-26八年级上·湖南常德·期末）解方程： （1）； （2）5． 5．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）解分式方程： （1）； （2） 6．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）解方程： （1）； （2） ． 7．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）解方程 （1） （2） 8．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）解方程： （1）； （2）． 【题型 10】分式的增根与无解（8题） 1．（24-25八年级上·江苏南通·月考）已知关于x的方程：． （1）当m为何值时，方程无解． （2）当m为何值时，方程的解为负数． 2．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）按要求解答下列各题： （1）若关于的方程的解是正数，求的取值范围； （2）关于的方程解是负数，求的取值范围； （3）已知关于的方程有增根，求的值； （4）若关于的分式方程无解，求的值． 3．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）已知关于的分式方程． （1）若方程的增根为，求的值． （2）若方程无解，求的值． 4．（25-26八年级上·湖南张家界·期中）已知关于x的分式方程：． （1）当时，解该分式方程； （2）若该分式方程无解，求m的值． 5．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）已知关于x的分式方程． （1）若分式方程的根是，求a的值； （2）若分式方程有增根，求a的值． 6．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）已知关于的方程． （1）当取何值时，此方程的解为？ （2）当取何值时，此方程会产生增根？ 7．（24-25八年级上·全国·寒假作业）关于的方程：． （1）若方程有增根，求的取值； （2）若方程无解，求的取值； （3）若方程的解为整数，求整数的取值范围． 8．（2024九年级下·全国·专题练习）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：． （1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $