精品解析：2026年广东省清远市二模数学试题

2026年清城区初中学业水平模拟考试（一） 数学 说明： 1．全卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁，考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 温度上升，记为，温度下降，记为（ ） A. B. C. D. 2. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D.    斐波那契螺旋线 3. 近年来，国内发展迅猛，应用到生活多个领域，据统计，应用上线20天后，日活跃用户达22150000，数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 3月15日清远马拉松盛大开幕，社会实践小组记录了10名志愿者的年龄（单位：岁）20，21，22，22，23，23，23，24，25，26．这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 23，23 B. 23， C. 22，23 D. 24，23 7. 如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，与相交于点O，小正方形的边长为1，则的值等于（ ） A. B. C. D. 8. 一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形的两边与相切于两点，点B在上，若圆的半径为，则所对的弧长为（ ） A. B. C. D. 10. 下列图象与函数图象相符的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：x2－9＝______． 12. 若二次根式有意义，则正整数m的值可以是________．（写出一个即可） 13. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形． 14. 若，则代数式的值为________． 15. 如图1，某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，当车辆经过时，栏杆最多只能升起到如图2的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），车辆在正下方通过，其中，，，米，那么该地下车库的车辆限高的高度为________米． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 17. 第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届全运会吉祥物A型号“喜洋洋”和B型号“乐融融”纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价少28元，用240元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍，求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ 18. 研究表明，地表以下岩层的温度与所处深度成一次函数关系．通过测量得到某个地点地表以下的岩层温度与所处深度的部分数据如下表： 岩层的深度 … 1 2 3 4 … 岩层的温度 … 55 90 125 160 … （1）求与之间的函数关系式． （2）当该地点地表以下某处岩层的温度为时，求此处岩层的深度． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 同学们知道：“在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半”． （1）请写出它的逆命题________；该逆命题是一个________命题（填“真”或“假”）． （2）如图，在中，小敏把自己对该逆命题的猜想与数学小组的同学们进行交流，经过充分交流、研讨，发现有多种方法求证，得出以下三种想法： 想法一：取中点，连接，利用直角三角形斜边中线性质使问题得到解决． 想法二：画出的垂直平分线，交于点，交于点，利用垂直平分线的性质使问题得到解决． 想法三：沿线段所在的直线，将翻折得到，构造特殊的三角形，使问题得到解决． 请选择其中一种想法，帮助小敏完成解答过程． 20. 骑电动车、摩托车时佩戴头盔可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了佩戴头盔专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电动车、摩托车的市民，就骑车佩戴头盔情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表． 骑电动车、摩托车戴头盔情况调查问卷 请在下面选项中选择骑电动车、摩托车时佩戴头盔情况，并在其后的“□”内打“√”（每位被调查市民只能选择其中一个选项），非常感谢您的配合． A每次戴□ B经常戴□ C偶尔戴□ D都不戴□ 活动前骑电动车、摩托车戴头盔情况统计表 类别 人数 A 100 B C 523 D 177 合计 1000 活动后骑电动车、摩托车戴头盔情况统计图 请根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）“活动前骑电动车、摩托车戴头盔情况统计表”中，B类别对应人数不小心污损，请计算的值． （2）该市约有20万人骑电动车、摩托车，请估计活动前全市骑电动车、摩托车“都不戴”头盔的总人数． （3）小华认为，宣传活动后骑电动车、摩托车“都不戴”头盔的人有178人，比活动前增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．小华分析数据的方法是否合理？请说明理由． 21. 综合与实践 【回归教材】 （1）如图1，小文在内部作了一条射线，请根据作图痕迹判断小文作的射线是________；作这条射线的依据是________（选填“”、“”、“”、“”）． （2）如图2，小文在正方形内作了一个等边，连接、，则________． 【问题解决】 （3）如图3，李师傅要在等腰的瓷砖上切割出一个装修构件，要求点在边上，且，请用尺规作图的方法找到点（保留作图痕迹），并写出你的方案． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. 九年级数学兴趣小组以探究“矩形的性质”为主题开展活动．小北将如图所示的矩形纸片（）进行折叠，使点落在边上的点处，折痕为，展开后，连接，就可以得到一个四边形． （1）如图1，求证：四边形是正方形． （2）如图2，若将图1中的矩形纸片沿中点所在直线进行折叠，使得点恰好与点重合，展开后，折痕所在的直线交的延长线于点，交于点，交于点，交于点，若，，求的长． （3）如图3，（优弧）与（优弧）关于直线对称，，点是（优弧）上的一个动点，连接，若，，求的最小值． 23. 如图1，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点B． （1）①求抛物线的表达式． ②对于该抛物线上的两点，，设，当时，均有，请直接写出t的取值范围． （2）如图2，连接，点D是直线上方抛物线上一动点，过点D作y轴的平行线交直线于点E，求的最大值． （3）如图3，点D是抛物线上的一动点，过点D作y轴的平行线交直线于点E，过点D，E分别作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点G，F．过点A作的平行线交y轴于点H，当四边形在直线，直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半时，请求出点D的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年清城区初中学业水平模拟考试（一） 数学 说明： 1．全卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁，考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 温度上升，记为，温度下降，记为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正负数的实际应用，掌握正负数表示相反意义的量是解本题的关键． 根据温度上升记为正值，下降则记为负值，即可求解． 【详解】解：如果温度上升记为，那么温度下降记为． 故选：B． 2. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D.    斐波那契螺旋线 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的判定方法是解题的关键． 根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐项判断，即可求解． 【详解】解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义，可知， A、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不合题意， B、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项B不合题意， C、原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项C符合题意， D、原图不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项D不合题意． 故选：C． 3. 近年来，国内发展迅猛，应用到生活多个领域，据统计，应用上线20天后，日活跃用户达22150000，数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数． 【详解】解：由题意得，． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于选项A：与不是同类项，不能合并，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确． 5. 一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角板中角度的计算，解题的关键是掌握平行线的性质． 根据三角板的角度特点得出，根据平行线的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 6. 3月15日清远马拉松盛大开幕，社会实践小组记录了10名志愿者的年龄（单位：岁）20，21，22，22，23，23，23，24，25，26．这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 23，23 B. 23， C. 22，23 D. 24，23 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义分别计算这组数据的众数和中位数即可得到结果． 【详解】解：∵众数是一组数据中出现次数最多的数，且这组数据中23出现的次数最多， ∴这组数据的众数为， ∵第个数据是，第个数据是， ∴中位数为． ∴这组数据的众数和中位数分别是，． 7. 如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，与相交于点O，小正方形的边长为1，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格图得出，即可得到的值． 【详解】解：由图可知，与均在水平网格线上， ， ， ． 8. 一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积，结合选项判断正确答案. 【详解】解：对于方程 ，设其根为和， 根据根与系数的关系： ∴，； 故选：D 9. 如图，四边形的两边与相切于两点，点B在上，若圆的半径为，则所对的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、求弧长等知识，连接，由切线的性质可得，结合解得的度数，然后由弧长公式求解即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴所对的弧长． 故选：C． 10. 下列图象与函数图象相符的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，分别得到表达式即可求解． 【详解】解：当时，，图象在第四象限； 当时，，图象在第三象限； ∴与函数图象相符的是： ． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：x2－9＝______． 【答案】(x＋3)(x－3) 【解析】 【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3）， 故答案为：（x+3）（x-3）. 12. 若二次根式有意义，则正整数m的值可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式中被开方数大于等于列出不等式，再结合正整数的定义求解即可． 【详解】解：有意义， 解得， 又为正整数， ∴m的值可以是5． 13. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形． 【答案】八 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】设这个多边形是n边形， 由题意得， 解得， ∴这个多边形是八边形． 故答案为：八． 14. 若，则代数式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知等式得到的值，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：， ， ． 15. 如图1，某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，当车辆经过时，栏杆最多只能升起到如图2的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），车辆在正下方通过，其中，，，米，那么该地下车库的车辆限高的高度为________米． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，过点作交于点，由、，结合，推得．在中，利用三角函数求得，进而即可得到限高的高度． 【详解】解：如图，过点作，过点作交于点， 则， ， ， ， 在中，，，米， （米）， 米， （米）． 答：该地下车库的车辆限高为米． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】分别计算零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根、负整数指数幂，再将所得结果进行加减运算即可得到最终答案． 【详解】解： ． 17. 第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届全运会吉祥物A型号“喜洋洋”和B型号“乐融融”纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价少28元，用240元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍，求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ 【答案】A型号纪念品的单价为元，B型号纪念品的单价为元 【解析】 【分析】设A型号纪念品的单价为元，表示出B型号的单价后，根据题意列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：设A型号纪念品的单价为元，则B型号纪念品的单价为元， 根据题意，可列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴（元）． 答：A型号纪念品的单价为元，B型号纪念品的单价为元． 18. 研究表明，地表以下岩层的温度与所处深度成一次函数关系．通过测量得到某个地点地表以下的岩层温度与所处深度的部分数据如下表： 岩层的深度 … 1 2 3 4 … 岩层的温度 … 55 90 125 160 … （1）求与之间的函数关系式． （2）当该地点地表以下某处岩层的温度为时，求此处岩层的深度． 【答案】（1） （2）此处岩层的深度为 【解析】 【分析】（1）设一次函数解析式为，代入表格中的两组数据求出解析式； （2）将给定的温度的值代入解析式，即可求出对应的岩层深度． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 由表格得，将代入， 得， 解得， ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时， 解得， 答：此处岩层的深度为． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 同学们知道：“在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半”． （1）请写出它的逆命题________；该逆命题是一个________命题（填“真”或“假”）． （2）如图，在中，小敏把自己对该逆命题的猜想与数学小组的同学们进行交流，经过充分交流、研讨，发现有多种方法求证，得出以下三种想法： 想法一：取中点，连接，利用直角三角形斜边中线性质使问题得到解决． 想法二：画出的垂直平分线，交于点，交于点，利用垂直平分线的性质使问题得到解决． 想法三：沿线段所在的直线，将翻折得到，构造特殊的三角形，使问题得到解决． 请选择其中一种想法，帮助小敏完成解答过程． 【答案】（1）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是；真 （2）选择想法一：如图， 在中，点是斜边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 选择想法二：如图， ∵是的垂直平分线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 选择想法三：如图， 由折叠的性质可得，，，， ∴， ∴、、三点共线， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ． 【解析】 【分析】（1）将原命题改写为“如果……，那么……”的形式，再调换条件和结论，即为逆命题，并判断真假即可； （2）结合（1）可知，需要证明的命题为，“在中，，若，求证：”．对于想法一，由直角三角形的性质容易证明是等边三角形，从而得到；对于想法二，利用垂直平分线的性质可得，，，，容易证明，从而得到，则；对于想法三，由轴对称的性质容易证明是等边三角形，从而得到． 【小问1详解】 解：原命题可改写为：“在直角三角形中，如果有一个角为，那么其所对的直角边等于斜边的一半”， ∴逆命题为：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是”，这是一个真命题； 【小问2详解】 略 20. 骑电动车、摩托车时佩戴头盔可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了佩戴头盔专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电动车、摩托车的市民，就骑车佩戴头盔情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表． 骑电动车、摩托车戴头盔情况调查问卷 请在下面选项中选择骑电动车、摩托车时佩戴头盔情况，并在其后的“□”内打“√”（每位被调查市民只能选择其中一个选项），非常感谢您的配合． A每次戴□ B经常戴□ C偶尔戴□ D都不戴□ 活动前骑电动车、摩托车戴头盔情况统计表 类别 人数 A 100 B C 523 D 177 合计 1000 活动后骑电动车、摩托车戴头盔情况统计图 请根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）“活动前骑电动车、摩托车戴头盔情况统计表”中，B类别对应人数不小心污损，请计算的值． （2）该市约有20万人骑电动车、摩托车，请估计活动前全市骑电动车、摩托车“都不戴”头盔的总人数． （3）小华认为，宣传活动后骑电动车、摩托车“都不戴”头盔的人有178人，比活动前增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．小华分析数据的方法是否合理？请说明理由． 【答案】（1） （2）活动前全市骑电动车、摩托车“都不戴”头盔的总人数约为人． （3）不合理，活动前抽取了1000人，“都不戴”的占比为，活动后抽取了2000人，“都不戴”的占比为，占比显著下降，因此交警部门开展的宣传活动有效果． 【解析】 【分析】（1）用抽取的总人数减去其他类别的人数即可； （2）根据“都不戴”在样本中的占比，乘以全市骑行的总人数即可； （3）分别计算两次调查数据中，“都不戴”的占比，即可得出结论． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：（人）． 答：活动前全市骑电动车、摩托车“都不戴”头盔的总人数约为人． 【小问3详解】 略 21. 综合与实践 【回归教材】 （1）如图1，小文在内部作了一条射线，请根据作图痕迹判断小文作的射线是________；作这条射线的依据是________（选填“”、“”、“”、“”）． （2）如图2，小文在正方形内作了一个等边，连接、，则________． 【问题解决】 （3）如图3，李师傅要在等腰的瓷砖上切割出一个装修构件，要求点在边上，且，请用尺规作图的方法找到点（保留作图痕迹），并写出你的方案． 【答案】（1）的平分线； （2） （3）点如图所示： 方案：①分别以点、为圆心，的长为半径，两弧在的右侧交于点； ②连接，作的平分线，交于点 【解析】 【分析】（1）由尺规作图的痕迹可知，所作的是角的平分线，依据是； （2）由正方形的性质和等边三角形的性质可得，，，利用等腰三角形的性质计算出即可； （3）由尺规作图可知，是等边三角形，则，由平分可得，由等腰直角三角形的性质可得，因此． 【小问1详解】 解：如图， 由尺规作图可知，，， 在和中， ， ∴， ∴，即平分； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴； 【小问3详解】 略 五、解答题（三）（本大题2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. 九年级数学兴趣小组以探究“矩形的性质”为主题开展活动．小北将如图所示的矩形纸片（）进行折叠，使点落在边上的点处，折痕为，展开后，连接，就可以得到一个四边形． （1）如图1，求证：四边形是正方形． （2）如图2，若将图1中的矩形纸片沿中点所在直线进行折叠，使得点恰好与点重合，展开后，折痕所在的直线交的延长线于点，交于点，交于点，交于点，若，，求的长． （3）如图3，（优弧）与（优弧）关于直线对称，，点是（优弧）上的一个动点，连接，若，，求的最小值． 【答案】（1）证明：四边形为矩形， ， 矩形纸片进行折叠，使点落在边上的点处，折痕为， ，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， 四边形为正方形； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形为矩形，再证明四边形为正方形即可； （2）连接，，，与交于点，证明，得出，求出，，同理可得：，求出，从而得出，证明为直角三角形，得出，即可得出答案； （3）取（优弧）所在圆的圆心O，作点O关于的对称点，则点为（优弧）所在圆的圆心，连接，交于点M，过点M作于点N，过点O作于点G，延长交于点H，连接，，，，与于点，先求出，再求出，，以点C为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，根据两点间距离公式求出，最后得出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，，，与交于点， 在矩形中，，， 根据解析（1）可得：四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， 矩形纸片沿中点P所在直线进行折叠， 垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 解得：， ∴， 由矩形纸片沿进行折叠，使点落在边上的点处， 得，， ， 垂直平分， ， ， ， ． ， ． ， ，即， 为直角三角形． 点P为的中点， ， ∴； 【小问3详解】 解：取（优弧）所在圆的圆心O，作点O关于的对称点，则点为（优弧）所在圆的圆心，连接，交于点M，过点M作于点N，过点O作于点G，延长交于点H，连接，，，，与于点，如图所示： 在矩形中，，， 根据解析（1）可得：四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 根据轴对称可得：，， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 如图，以点C为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系， ∴点O的坐标为，点M的坐标为，， 根据中点坐标公式得点的坐标为：，即点， ∴， ∵点是（优弧）上的一个动点， ∴当点R运动到时，最小，且最小值为：． 23. 如图1，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点B． （1）①求抛物线的表达式． ②对于该抛物线上的两点，，设，当时，均有，请直接写出t的取值范围． （2）如图2，连接，点D是直线上方抛物线上一动点，过点D作y轴的平行线交直线于点E，求的最大值． （3）如图3，点D是抛物线上的一动点，过点D作y轴的平行线交直线于点E，过点D，E分别作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点G，F．过点A作的平行线交y轴于点H，当四边形在直线，直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半时，请求出点D的横坐标． 【答案】（1）①；②； （2）4 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）①将、代入求解即可； ②根据抛物线的图象和性质，判断当时，均有时的取值范围，进而得到的取值范围； （2）作交于点F，根据勾股定理得到，根据二次函数的性质求的最小值即可； （3）分三种情况讨论①当与共线时，②当对角线不在上时，如图当在第四象限时，③当在第三象限时，再根据对应的情况和图形计算即可． 【小问1详解】 解：①将、代入得： ，解得：， 即； ②由①知抛物线的表达式为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线上的两点，，当时，均有， ∴当时，， 根据抛物线的对称性可知，当时，也有， ∵，当时，有， ∴当，且， 解得：时，均有， ∴的取值范围为； 【小问2详解】 解：如图，作交于点F，则 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴（负值舍去），即 设 设直线的函数关系式为，由题意得： ，解得：， 直线的函数关系式为， ∵过点D作y轴的平行线交直线于点E， ∴， ∴， ， ∴ ， 可知当时，有最大值4， 即的最大值为4； 【小问3详解】 解：由（2）知直线的函数关系式为， 的对称轴为直线，， ， ， 可设直线的函数关系式为， ，解得：， 直线的函数关系式为， 设点的横坐标为， 点在抛物线上， ，， 点，均在对称轴上， ， 四边形为矩形， ①如图①，当与共线时，满足在直线、之间的部分的面积恰好是矩形面积的一半， 此时， 或， 即或， 解得，； ②如图②，当对角线不在上时，当在第四象限时，令交对称轴于，交于， 根据矩形的对称轴当时，， ， ， ， ， 解得或（舍去）， ③当在第三象限时，如图③，令交于、交于， ， 即， 在上， ， ， 解得，舍去）， 综上，值为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $