精品解析：2024年广东省清远市清城区中考数学二模试题

清远市清城区2024年初中学业水平模拟考试（二） 数学 说明：1．全卷共4页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁，考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 与2024乘积为1的数是（ ） A. B. 2024 C. D. 2. 下列四个几何体中，主视图和俯视图相同的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的一元一次方程与的解相同，则a的值为（ ） A. B. 1 C. 7 D. 4. 如题图是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，这个八边形的每个内角是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 分式方程的解为（ ） A. B. C. D. 7. 如题图，小丽不慎将三角形模具打碎成三块，她要带其中一块或两块到商店去配一块与原来一样的三角形模具，她认为带③去最省事也最合适，理由是（ ） A. 依据可制作出全等的三角形模具 B. 依据可制作出全等的三角形模具 C. 依据可制作出全等的三角形模具 D. 依据可制作出全等的三角形模具 8. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 如题图，某品牌冰淇淋甜筒的形状是圆锥，则一个甜筒的侧面积是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于，两点，若，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 25的平方根是_____． 12. 若菱形的两条对角线长分别为4和6，则该菱形的面积为____． 13. 如图，，，，则度数是_______． 14. 若是方程的两根，则________． 15. 如图，焊接一个钢架，包括底角为的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约______m（结果取整数）．（参考数据：，，） 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 16. （1）计算：． （2）已知代数式，，请说明． 17. 如图，在中，以为直径的与交于点D，连接． （1）尺规作图：作出劣弧的中点（不写作法，保留作图痕迹）： （2）连接交于点，连接，求证：． 18. 目前市场A，B两种型号的新能源汽车销售火爆，已知A型车每台进货价格比B型车每台进货价格多1万元，某汽车贸易公司购买5台A型车和6台B型车共花费了82万元．求一台A型、一台B型新能源汽车的进货价格各是多少万元？ 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，一次函数图象分别与x轴、y轴相交于A、B两点，与反比例函数的图象相交于点和点，轴于点E． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）连接，，请判断四边形的形状，并说明理由． 20. 为了解市民对2024年春节档多部新影片的喜爱程度，某电影公司派出了若干业务员到几个社区作随机调查，了解市民对电影《热辣滚烫》、《飞驰人生2》、《熊出没逆转时空》、《第二十条》的喜爱，业务员小东将自己的调查结果进行分类并绘制成如下的统计图（《热辣滚烫》、《飞驰人生2》、《熊出没逆转时空》、《第二十条》分别用、、、表示），请你结合图中所给信息解答下列问题： （1）此次调查一共随机抽取了______名市民； （2）请把条形统计图补充完整；扇形统计图中类所在的扇形的圆心角度数是________； （3）小东打算从四部电影中购票观看体验效果，购票时遇到朋友小明也准备从这四部电影中购买电影票，那么两人购买同一部电影票的概率是多少? 21. 综合与实践 现有矩形纸片，其中，，将纸片进行如下操作： 步骤1：将纸片对折，使与重合，折痕为，展开如图①； 步骤2：连接图中的对角线，交于点，将纸片沿折叠，使点恰好落在对角线上的点处，如图． （1）求证：； （2）求线段的长． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22 综合探究 如题图，抛物线的顶点为M，与x轴交于点和点，与y轴交于点C，经过A、B、C三点，且圆心D在x轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）直线与相切吗?请说明理由； （3）过点C作直线，交x轴于点E，当直线与抛物线只有一个交点时，直线是否与相切?若相切，请证明：若不相切，请直接写出直线与的另外一个交点的坐标． 23. 综合应用 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：； 类比探究】 （2）如图2，在矩形中，E为对角线上动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值； 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，．若，则当是直角三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 清远市清城区2024年初中学业水平模拟考试（二） 数学 说明：1．全卷共4页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁，考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 与2024乘积为1的数是（ ） A. B. 2024 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据倒数的定义，求与2024乘积为1的数，即求2024的倒数，进而得出答案． 根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数． 【详解】因为，所以与2024乘积为1的数是． 故选：D． 2. 下列四个几何体中，主视图和俯视图相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三视图． 根据三视图的相关知识，对各选项中的几何体的主视图和俯视图进行分析比较即可． 【详解】解：A．主视图和俯视图不相同，不符合题意； B．主视图和俯视图不相同，不符合题意； C．主视图和俯视图相同，符合题意； D．主视图和俯视图不相同，不符合题意． 故选：C． 3. 关于x的一元一次方程与的解相同，则a的值为（ ） A. B. 1 C. 7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及同解方程，解题的关键是求出第一个方程的解并代入第二个方程求解． 先求解方程得到的值，再将其代入方程，进而求出的值． 【详解】解：解方程，两边同时除以2，得． 把代入中，得到，即． 两边同时减去4，得． 所以的值为， 故选：A． 4. 如题图是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，这个八边形的每个内角是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查多边形外角和定理．由多边形的外角和定理求出外角，然后求出每一个内角即可． 【详解】解：∵正八边形的外角和为， ∴正八边形的每个外角为， ∴正八边形的每个内角是， ∴这个八边形的每个内角是． 故选：A． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查立方根，幂乘方，二次根式的加法，同底数幂相除．按照运算法则计算，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．，原计算不正确，不符合题意； B．，原计算不正确，不符合题意； C．，原计算不正确，不符合题意； D．，原计算正确，符合题意． 故选：D． 6. 分式方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解分式方程．去分母，转化为一元一次方程，解方程并检验，即可得分式方程的解． 【详解】解：， 去分母得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 当时，原分式方程的分母不为0， ∴分式方程的解为． 故选：C． 7. 如题图，小丽不慎将三角形模具打碎成三块，她要带其中一块或两块到商店去配一块与原来一样的三角形模具，她认为带③去最省事也最合适，理由是（ ） A. 依据可制作出全等的三角形模具 B. 依据可制作出全等三角形模具 C. 依据可制作出全等的三角形模具 D. 依据可制作出全等的三角形模具 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，解题的关键是识别碎块中包含的三角形元素与全等判定的关系． 分析破碎的三块中，③块包含的三角形元素，结合三角形全等判定定理，判断带（3）去能依据的全等判定方法． 【详解】解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据可以作出与原三角形全等的三角形，所以，最省事的做法是带③去． 故选：D． 8. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，解题的关键是分别求解每个不等式并确定公共解集． 分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，再取它们的解集的公共部分，得到不等式组的解集． 【详解】解：解不等式。 解得：． 解不等式： 解得：． 根据“大小小大中间找”的原则，两个不等式解集的公共部分为， 即不等式组的解集是 故选：B． 9. 如题图，某品牌冰淇淋甜筒的形状是圆锥，则一个甜筒的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积计算，解题的关键是掌握圆锥侧面积公式． 先根据圆锥底面直径求出底面周长，再结合圆锥母线长，利用圆锥侧面积公式计算侧面积． 【详解】解：已知圆锥底面直径为6cm，则底面半径，底面周长． 圆锥母线长， 圆锥的侧面积公式为， 故选：B． 10. 已知抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于，两点，若，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与x轴的交点，根据二次函数的开口方向，与x轴的交点数，判断出函数的单调性，对称性，逐项判断即可． 【详解】解：抛物线对称轴为直线，与轴交于，两点， ，B两点关于对称， ，即， ， ，故A正确，不符合题意； 抛物线与轴有两个交点， ，故B正确，不符合题意； 当时，， ，对称轴为直线，点 且， 时，，故C错误，符合题意； 当时，， ，抛物线在时，y随x增大而减小， 当时，， 又， ，故D正确，不符合题意， 故选：C． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 25的平方根是_____． 【答案】±5 【解析】 【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根． 【详解】∵（±5）2=25， ∴25的平方根是±5． 【点睛】本题主要考查了平方根的意义，正确利用平方根的定义解答是解题的关键． 12. 若菱形的两条对角线长分别为4和6，则该菱形的面积为____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了菱形的面积，菱形的面积是对角线乘积的一半，由此可得出结果． 【详解】解：该菱形的面积为， 故答案为：． 13. 如图，，，，则的度数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与三角形外角的性质，解题的关键是利用平行线的性质和三角形外角的性质进行角度计算． 利用平行线的性质得到与相等的角，再结合三角形外角的性质，通过角的差求出的度数． 【详解】解：如图： ∵， ， ， ， ∵是的一个外角， ． 故答案为：． 14. 若是方程的两根，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】直接利用根与系数的关系得出； 【详解】 是方程的两根， ， 故答案为3 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确把握根与系数关系是解题关键 15. 如图，焊接一个钢架，包括底角为的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约______m（结果取整数）．（参考数据：，，） 【答案】21 【解析】 【分析】根据解直角三角形及等腰三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵是等腰三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴共需钢材约为； 故答案为21． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 16. （1）计算：． （2）已知代数式，，请说明． 【答案】 （1）； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，平方差公式，完全平方公式． （1）按照运算法则计算即可； （2）根据完全平方公式，平方差公式，对，进行整理，可得，根据平方的非负性即可证得结论． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴． 17. 如图，在中，以为直径的与交于点D，连接． （1）尺规作图：作出劣弧的中点（不写作法，保留作图痕迹）： （2）连接交于点，连接，求证：． 【答案】（1）见解析； （2）证明过程见解析． 【解析】 【分析】本题考查作线段垂直平分线，同弧（等弧）所对圆周角相等，三角形相似的判定． （1）分别以点，为圆心，大于为半径画弧，交于点，，直线与相交，交点即为劣弧的中点； （2）根据同弧（等弧）所对圆周角相等，可得，，即可证得结论． 【小问1详解】 解：如图，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，交于点，，直线与交于点，点即为所求． 【小问2详解】 证明：∵是的直径，点，在上， ∴， ∵点为弧的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴． 18. 目前市场A，B两种型号的新能源汽车销售火爆，已知A型车每台进货价格比B型车每台进货价格多1万元，某汽车贸易公司购买5台A型车和6台B型车共花费了82万元．求一台A型、一台B型新能源汽车的进货价格各是多少万元？ 【答案】一台A型新能源汽车的进货价格是8万元，一台B型新能源汽车的进货价格是7万元． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据题意列出方程． 通过设一台B型新能源汽车的进货价格是万元，利用A型车与B型车进货价格的关系以及购买一定数量两种车型的总花费，建立一元一次方程来求解． 【详解】解：设一台B型新能源汽车的进货价格是万元，因为A型车每台进货价格比B型车每台进货价格多1万元，所以一台A型新能源汽车的进货价格是万元． 根据题意可得方程：， 解得：， 则型车进货价格为（万元）． 答：一台A型新能源汽车的进货价格是8万元，一台B型新能源汽车的进货价格是7万元． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴相交于A、B两点，与反比例函数的图象相交于点和点，轴于点E． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）连接，，请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为； （2）四边形是平行四边形，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查求一次函数的解析式，求反比例函数的解析式，平行四边形的判定． （1）把点和点的坐标代入，可得、，即可得一次函数的表达式，把点的坐标代入，可得，即可得反比例函数的表达式； （2）根据题意可得，，根据平行四边形的判定定理，即可得四边形的形状． 【小问1详解】 解：∵点和点在一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形，理由： 在中，令，得， ∵一次函数与轴交于点， ∴， ∴， ∵点，轴于点E， ∴，轴， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 20. 为了解市民对2024年春节档多部新影片的喜爱程度，某电影公司派出了若干业务员到几个社区作随机调查，了解市民对电影《热辣滚烫》、《飞驰人生2》、《熊出没逆转时空》、《第二十条》的喜爱，业务员小东将自己的调查结果进行分类并绘制成如下的统计图（《热辣滚烫》、《飞驰人生2》、《熊出没逆转时空》、《第二十条》分别用、、、表示），请你结合图中所给信息解答下列问题： （1）此次调查一共随机抽取了______名市民； （2）请把条形统计图补充完整；扇形统计图中类所在的扇形的圆心角度数是________； （3）小东打算从四部电影中购票观看体验效果，购票时遇到朋友小明也准备从这四部电影中购买电影票，那么两人购买同一部电影票的概率是多少? 【答案】（1） （2）补充条形统计图见解析， （3）两人购买同一部电影票的概率是 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，用列表法求概率． （1）用喜欢的人数，除以对应百分比，即可得调查人数； （2）用调查人数减去喜欢，，的人数，即可得喜欢的人数，补全条形统计图即可；用乘喜欢的人数占调查人数的比，即可得扇形统计图中类所在的扇形的圆心角度数； （3）用列表法，列出小东和小明购买电影票的所有可能，即可得两人购买同一部电影票的概率． 【小问1详解】 解：（名） ∴此次调查一共随机抽取了名市民． 故答案为：． 【小问2详解】 解：（名） 补充条形统计图如下： ， ∴扇形统计图中类所在的扇形的圆心角度数是． 故答案为：． 【小问3详解】 解：小东和小明购买电影票的所有可能列表如下： 小明 小东 由表知，共有16种可能的结果，其中两人购买同一部电影票有4种可能， ∴， ∴两人购买同一部电影票的概率是． 21. 综合与实践 现有矩形纸片，其中，，将纸片进行如下操作： 步骤1：将纸片对折，使与重合，折痕为，展开如图①； 步骤2：连接图中的对角线，交于点，将纸片沿折叠，使点恰好落在对角线上的点处，如图． （1）求证：； （2）求线段的长． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）线段长为． 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质，结合平行线的性质，可得，，由折叠的性质，等量代换，可得，即可证得结论； （2）连接，根据矩形的性质，结合勾股定理可得，由三角形全等的性质，可得，由折叠的性质，可得，由等边对等角，结合三角形的内角和定理，可得，根据三角形的面积，可得，根据勾股定理，可得，从而可得线段的长． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， 由折叠的性质，可得，， ∴， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接， 由折叠的性质，可得，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形的内角和定理，等边对等角，掌握相关知识点是解题关键． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 综合探究 如题图，抛物线的顶点为M，与x轴交于点和点，与y轴交于点C，经过A、B、C三点，且圆心D在x轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）直线与相切吗?请说明理由； （3）过点C作直线，交x轴于点E，当直线与抛物线只有一个交点时，直线是否与相切?若相切，请证明：若不相切，请直接写出直线与的另外一个交点的坐标． 【答案】（1） （2）直线与相切，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合，涉及求二次函数解析式，圆与二次函数综合，勾股定理逆定理； （1）由抛物线与x轴交于点和点，得到即可求解； （2）由求出，，再利用勾股定理逆定理得到是直角三角形，，即可得到为的直径，，再由勾股定理逆定理得到是直角三角形，，即可证明直线与相切； （3）设直线解析式为，当时，由直线与抛物线只有一个交点，得到，解得，即可得到直线解析式为，再由勾股定理逆定理得到不是直角三角形，，则直线与不相切，设直线与的另外一个交点为，由列方程求出． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点为M，与x轴交于点和点， ∴； 【小问2详解】 解：直线与相切，理由如下： ∵抛物线的顶点为M，与x轴交于点和点，与y轴交于点C， ∴，， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵经过A、B、C三点， ∴为的直径， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵为半径， ∴直线与相切； 【小问3详解】 解：∵， ∴设直线解析式为， 当时，直线与抛物线有两个交点，不合题意； 当时， 联立，得到， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴， 解得， ∴直线解析式为， ∴与轴交点为， ∵，， ∴，，， ∴， ∴不是直角三角形，， ∴直线与不相切， 设直线与的另外一个交点为，则， ∴， ∴， 解得或（与重合，故舍去）， ∴， 综上所述，直线与的另外一个交点的坐标为． 23. 综合应用 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：； 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值； 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，．若，则当是直角三角形时，求的长． 【答案】 （1）证明过程见解析； （2）的值为； （3）的长为或． 【解析】 【分析】（1）由正方形性质，结合同角的余角相等，证明，从而可证得结论； （2）由矩形的性质，结合同角的余角相等，可得，，可得，证明，对应边成比例，即可得的值； （3）由（2）结合已知可得，利用得到，利用直角三角形性质得到， ，进而得到，由是直角三角形，可得，设，则，按照点在线段上和点在延长线上，分类讨论，结合勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的值为． （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵，，为的中点， ∴，， ∴， 由是直角三角形，可得， ∴， ∴， ∴， 设，则， 当在线段上时，， ∵， ∴， ∴ ∴或（不合题意，舍去）， 当在延长线上时， ，，， ， ， ， ， （不合题意，舍去）或， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查正方形性质，矩形的性质，同角的余角相等，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $