6.3 二项式定理 专项测试卷-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 本练习以二项式定理为核心，通过基础认知、综合应用、拓展探究三层设计，实现从概念理解到问题解决的递进，适配新授课知识巩固与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|二项式系数、展开式项数、通项公式|单选题（1-5题）直接考查定义，多选题（9-10题）辨析概念，夯实抽象能力| |综合应用层|系数计算、常数项求解、二项式系数和|填空题（12-13题）强化运算，解答题（15-17题）整合公式应用，发展推理意识| |拓展探究层|整除问题、近似计算、参数最值|解答题（18-19题）结合实际情境，如证明整除、估算数值，培养创新意识与应用能力|

2025-2026学年第二学期高二数学二项式定理测试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．在的展开式中，第7项为（   ） A． B． C． D． 2．已知的二项展开式共有12项，则等于（    ） A． B． C． D． 3．的展开式中的系数是（     ） A．40 B．30 C． D． 4．在的展开式中，含的系数是（    ） A．35 B．34 C．30 D．15 5．已知二项式展开式中所有项的二项式系数和为16，则展开式中所有项的系数和为（      ） A．4 B．16 C．1 D．81 6．（   ） A． B． C． D． 7．若（，为有理数），则（    ） A． B． C． D． 8．的二项展开式中系数最大的项为（   ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第4项和第5项 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．对于的二项展开式，以下判断中正确的有（    ） A．展开式中有常数项 B．展开式中没有常数项 C．展开式中没有的三次项 D．展开式中有的三次项 10．的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．展开式共有6项 B．各二项式系数之和为64 C．展开式中项的系数为 D．展开式中系数最大的项为70x 11．设，则（    ） A． B． C． D．除以的余数是 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．，则______． 13．若 则 __________，__________ 14．若能被整除，则正数的最小值是______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题13分）已知，求下列各式的值： (1)常数项； (2)； (3)． 16．（本小题15分）（1）在的展开式中，求： ①第4项的二项式系数； ②含的项的系数． （2）求展开式中的常数项． 17．（本小题15分） 已知在的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是. (1)求n的值； (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中的有理项. 18．（本小题17分）已知. (1)若的展开式的二项式系数和为64. （i）求的值； （ii）求展开式中的常数项. (2)证明：能被4整除. 19．（本小题17分）已知m， n是正整数， 的展开式中x的系数为11. (1)试求中的系数的最小值； (2)对于使用中的系数为最小的m， n， 求出此时的系数； (3)利用上述结果，求的近似值(精确到0.001) 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C A D D C A BD BC 题号 11 答案 ACD 1．B 【详解】根据二项展开式的通项可得第7项为. 2．C 【详解】依题意，的二项展开式总项数为， 则，所以. 3．C 【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于3，的幂指数等于2，求出，即可求出展开式中的系数. 【详解】由题意： 令，即 故展开式中的系数为. 4．A 【分析】分别利用二项式定理计算出原多项式中每一项展开后的系数，最后将这些系数相加求得总和. 【详解】由得，令，此时系数为， 由得，令，此时系数为， 由得，令，此时系数为， 由得，令，此时系数为， 最终含的系数是. 5．D 【详解】因为二项式的展开式中所有项的二项式系数和为16 所以，解得， 所以展开式中所有项的系数和为. 6．D 【分析】根据的展开式和计算即可判断 【详解】由， 所以. 7．C 【详解】根据二项式定理，的展开式为：. 当为偶数时，，项为有理数，构成：； 当为奇数时，，项为乘以有理数，构成：，所以. 则. 8．A 【详解】的二项展开式的通项为. 由，得， 由①得，； 由②得，. 又，所以，所以的二项展开式中系数最大的项为第3项. 9．BD 【分析】写出展开式的通项，令的指数为、，求出的值，即可得出结论. 【详解】的展开式通项为， 令，解得，故展开式中没有常数项，A错B对； 令，解得，故展开式中有的三次项，C错D对. 故选：BD. 10．BC 【分析】由二项展开式的性质可得AB，写出通项，令可得C，举反例令可判断D. 【详解】对于A，由二项式展开式的性质可得，展开式共有7项，故A错误； 对于B，各二项式系数之和为，故B正确； 对于C，通项为， 令，代入可得展开式中项的系数为，故C正确； 对于D，由通项可得，当时，，故D错误； 故选：BC 11．ACD 【详解】展开式的通项为. 为展开式的常数项，由得，所以A正确； 令，得， 所以，所以B不正确； 因为是的系数，所以当为奇数时，为负数；当为偶数时，为正数. 令，得， 所以，所以C正确； ， 因为均能被整除， 所以除以的余数是，所以D正确. 12．45 【详解】，令， 则，即． 13． 1 81 【分析】采用赋值法，分别对二项展开式中的赋特殊值和，代入计算即可得到结果. 【详解】令，则，因此； 令，则                           因此. 14． 【分析】把写成，二项式展开后前面都是的倍数，只剩，要被1000整除，正数最小就是24. 【详解】 ，为整数. 所以要使能被整除，即能被整除， 又是正数，所以的最小值为． 15．(1) ； (2) ； (3) . 【分析】（1）令结合题设可得答案； （2）令，可得，再由展开式通项可得，再由（1）解析可得答案； （3）令，可得，再由（2）可得，据此可得答案. 【详解】（1）令，则； （2）令，则. 又展开式的第项为：，其中. 令，可得的系数即，又由（1）可得， 则； （3）令，则， 又由（2）可得：，两式相加可得： 16．（1）①35，②280；（2）-405 【分析】（1）通过二项式系数的概念，二项展开式的通项求解； （2）通过多项式乘法求解. 【详解】（1）①第4项的二项式系数： ； ②二项式的通项为，令， 则含的系数为：； （2）当因式取时，因式取含的项，此时常数项为， 当因式取时，因式取含的项，此时常数项为， 所以当时，展开式中的常数项为. 17．(1)6 (2)60 (3)；；60； 【分析】（1）利用已知条件列出关于的组合数方程求解即可； （2）写出展开式的通项公式，令的指数为0求出参数，再代回通项计算出常数； （3）问根据通项公式令的指数为整数，结合取值范围算出所有符合条件的值，再分别计算出对应的每一项. 【详解】（1）由题意得，则有，解得. （2）， 令，故常数项：； （3）有理项指数为整数且且，得，2，4，6 当时：， 当时： ， 当时：， 当时： 18．(1)（i）；（ii）240. (2)证明见解析 【分析】（1）（i）应用赋值法计算求出参数；（ii）应用二项式通项公式计算求解常数项； （2）应用二项式展开式计算证明整除. 【详解】（1）（i）由题知，解得. （ii）展开式的第项为. 令，得，故常数项为第5项，且， 即展开式中的常数项为240. （2）因为 ， 故能被4整除. 19．(1)25 (2)30 (3)2.033 【分析】（1）根据组合数公式及二项式展开式的二项式系数计算求解； （2）应用二项式展开式及组合数计算求解； （3）应用二项式展开式结合近似值计算求解. 【详解】（1）根据二项式定理，x项的系数为 需要找到使得项系数最小的正整数m和n. 将代入， 得到 该二次函数的顶点位于 因此当或时取得最小值. 此时对应的或 计算得 故项的系数最小值为25. （2）当， 时， 项的系数为 （3）展开至三次项： 相加后得到： 计算各项： 考虑更高次项的影响，发现对小数点后第三位无影响，故近似值为2.033. 答案第6页，共7页 答案第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $