6.3 二项式定理（教材课后题 全解与加练）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.3 二项式定理 （教材课后题 全解与加练讲义） 【人教A版】 ---------------------【教材习题·全解】---------------------- 📘【复习巩固】 1.选择题 （1）在的展开式中，含的项的系数是( ). A.74 B.121 C.-74 D.-121 【答案】D 【解析】含的项为. 故选D. 【题型】二项式展开式系数的综合计算 【审题关键】目标为多项式展开式中特定项的系数；多项式由多个同形式二项式相加构成，需分别提取各项目标系数再求和；二项式为形式，需注意负号对系数符号的影响. 【核心方法】分项提取法：将多项式拆分为单个二项式，分别确定每个二项式中的系数.二项式通项定位法：利用通项公式，锁定对应的项数，确定系数表达式. 求和整合：将各分项系数进行代数求和，得到最终结果. 【易错警示】①忽略中的三次方符号，误将系数写为​；② 混淆二项式系数与展开式系数；③计算组合数时出现数值错误，导致最终求和结果偏差. （2）的展开式中的系数为15，则( ). A.7 B.6 C.5 D.4 【答案】B 【解析】的展开式的通项为，的系数为15， 故选B. 【题型】二项式展开式系数与方程求解 【审题关键】已知 展开式中的系数为 15，求正整数n；核心是利用二项式系数公式建立方程求解. 【核心方法】通项定位法：利用二项式通项公式，锁定 对应的项，其系数为组合数​；方程求解法：根据已知系数建立方程，代入组合数公式化简为一元二次方程，求解并筛选正整数解. 【易错警示】①混淆二项式系数与排列数，导致方程建立错误；②解一元二次方程时，忽略n为正整数的条件，保留无效根. 2.的展开式中的系数是_________. 【答案】0 【解析】的展开式中含的项为， 故的系数为0. 【题型】二项式展开式特定项系数的综合计算（多项式乘积型） 【审题关键】需将多项式拆分为与 两部分，分别寻找能生成的项，再求和. 【核心方法】拆分乘积法：将原式拆为两个单项式与二项式的乘积，分别分析每一部分的目标项来源.通项匹配法：利用 的通项公式，锁定与前项结合后指数和为 3,3 的项，确定其系数；代数求和法：将两部分匹配出的目标项系数进行相加，得到最终结果. 【易错警示】 ①忽略中负号的奇偶次幂影响，导致单项系数符号错误；②指数匹配错误，误选中指数不符合要求的项进行计算；③拆分后漏算其中一部分的贡献，仅计算单一拆分项的系数. 3.用二项式定理展开： （1）； （2）. 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】（1） ； （2） 【题型】二项式定理的直接应用（根式型与分式根式型二项式展开） 【审题关键】第 (1) 题为根式型，n=9,需注意根式的指数运算规则；第 (2) 题为分式根式型，n=7,含负号与分式，需注意符号和系数运算. 【核心方法】通项公式法：统一使用二项式通项公式；逐项展开法：从r=0到r=n，依次计算每一项的系数、字母指数，最后合并成完整展开式. 【易错警示】①忽略第 (2) 题中负号的影响，未按(−1)r确定各项符号；②组合数Cnr​计算错误，或漏写某一项导致展开式不完整；③分式系数的幂次运算错误，如与2r的合并计算失误. 4.化简： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【题型】二项式展开式的化简（对称型二项式求和） 【审题关键】两道小题都是两个结构相似的二项式相加，核心是利用展开后奇数次项相互抵消、偶数次项加倍的规律来化简. 【核心方法】对称抵消法：利用两个相似二项式相加的特点，让含奇数次幂的项相互抵消，只保留偶数次幂的项，并且把这些项的系数加倍；逐项筛选法：先写出二项式展开的各项，只挑出指数为偶数的项，把它们的系数乘以2，再合并得到最简结果. 【易错警示】① 搞错哪些项会抵消、哪些项会保留，导致保留了不该留的项或者漏掉了该留的项；② 抵消之后忘记把偶数次项的系数乘以2，使结果系数偏小；③ 对负指数幂的运算不熟悉，导致的幂次计算出错. 5.（1）求的展开式的前4项； （2）求的展开式的第8项； （3）求的展开式的中间一项； （4）求的展开式的中间两项. 【答案】（1）前4项分别是1，，， （2） （3） （4）， 展开式的中间两项分别为，，其中， . 【题型】二项式展开式特定项的求解（前几项、指定项、中间项） 【审题关键】 本题核心是根据不同要求，从二项式展开式中精准定位并计算出对应的项.需明确：前几项从常数项开始计数；指定项的序号与通项中 r 的关系；中间项的数量由指数的奇偶性决定. 【核心方法】通项公式法：使用二项式通项公式，根据目标项的位置确定 r 的值，代入计算；项数定位法：前4项对应 r=0,1,2,3.第 8 项对应 r=7；指数为偶数时，中间项为第 项，对应​.指数为奇数时，中间两项对应 ​ 和​. 【易错警示】① 项数与 r 的对应关系混淆，导致定位错误；② 忽略二项式中负号的影响，导致项的符号计算错误；③ 对根式或分式的指数运算规则不熟悉，导致字母指数计算失误；④ 当指数为奇数时，漏算其中一个中间项. 6.求下列各式的二项展开式中指定各项的系数： （1）的含的项； （2）的常数项. 【答案】（1）；2） 【解析】（1）含的项是第6项，它的系数是； （2）常数项是第6项，. 【题型】二项式展开式指定项系数求解（含负指数幂与常数项） 【审题关键】核心是利用二项式通项公式，建立关于指数的方程，解出对应项的参数 r，再计算系数. 第 (1) 题需找到使x的指数为 的项；第 (2) 题需找到使x的指数为0. 【核心方法】通项公式法：使用二项式通项写出通项表达式，令x的指数等于目标值，解出r，再代入计算系数；指数方程法：通过建立指数方程，精准定位到目标项，避免逐项展开. 【易错警示】①忽略二项式中负号和分式系数的影响，导致项的符号和系数计算错误；②指数运算错误，尤其是负指数幂的合并计算，导致指数方程列错；③混淆二项式系数与展开式系数，未将所有数字因子纳入系数计算. ♻【综合运用】 7.证明： （1）的展开式中常数项是； （2）的展开式的中间一项是. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】（1）9.已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，求这两项的二项式系数. 由得，即的展开式中的常数项是 . （2）的展开式共有项，所以中间一项是. 【题型】二项式展开式特定项的证明（常数项与中间项） 【审题关键】核心是利用二项式通项公式，找到对应项的参数r，并对组合数进行化简，最终得到题目给出的形式.第 (1) 题需找到使 x 的指数为0的常数项；第 (2) 题需找到指数为偶数2n时的唯一中间项. 【核心方法】通项公式法：使用二项式通项 ，写出通项表达式，令x的指数为0（或确定中间项的 r 值），解出 r；组合数化简法：将组合数展开，通过分子分母同乘n!或 2nn! 等方式，将其化简为含有双阶乘 1×3×5×⋯×(2n−1) 的形式；阶乘变形法：利用 (2n)!=2nn!×(1×3×5×⋯×(2n−1)) 这一关键变形，完成证明. 【易错警示】①忽略二项式中负号的影响，导致项的符号计算错误；②组合数化简过程中，分子分母的变形不规范，导致无法得到目标形式；③对双阶乘的概念和阶乘的变形公式不熟悉，导致证明卡壳. 8.已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，求这两项的二项式系数. 【答案】120 【解析】展开式的第4项与第8项的二项式系数分别是与，由，，得，即，所以这两项的二项式系数是与，即120. 【题型】二项式系数性质的应用（对称性） 【审题关键】核心是利用二项式系数的对称性，建立等式求出指数，再计算指定项的二项式系数.明确项数与通项参数的对应关系，是解题的前提. 【核心方法】对称性法：利用二项式系数的对称性质，若两项系数相等，则其对应的参数之和等于展开式的总指数；数值计算法：求出总指数后，代入组合数公式，计算出具体的二项式系数. 【易错警示】① 项数与通项参数的对应关系混淆，导致参数取值错误；② 组合数计算公式记忆错误，导致最终数值计算失误. 9.用二项式定理证明： （1）能被整除； （2）能被1000整除. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】（1） ， 能被整除. （2） ， 能被1000整除. 【题型】二项式定理在整除性证明中的应用 【审题关键】核心是将待证表达式通过二项式定理展开，抵消常数项后，证明剩余部分可被指定除数整除.第 (1) 题需将(n+1)n−1展开，证明其能被n2 整除；第 (2) 题需将9910−1 展开，证明其能被1000 整除. 【核心方法】二项式展开法：将底数写成1+k 的形式，利用二项式定理展开，抵消常数项后，观察剩余项的结构；结构分析法：展开后，分析各项的构成，证明所有剩余项都包含指定除数作为其组成部分，从而使整个表达式是该除数的倍数.数值变形法：将99变形为100−1，展开后分析各项，证明其和是1000 的倍数. 【易错警示】①展开时遗漏或错误计算了某些项，导致无法证明整除关系；②忽略了组合数 等系数中含有的除数部分，导致证明不完整；③对大数展开时，未能正确识别出能被 1000 整除的项. 🔍【拓广探索】 10.求证：. 【答案】证明见解析 【解析】证明：由. 【题型】二项式定理的赋值法应用（恒等式证明） 【审题关键】核心是识别等式左侧为二项式展开式的结构形式，通过赋值法代入特定数值，直接推导恒等式成立. 【核心方法】赋值法：将二项式定理展开式中的字母替换为具体数值，简化运算以证明恒等式.本题令展开式中两项分别为1 和 - 1，代入后直接得到目标等式. 【易错警示】①赋值时符号对应错误，未准确匹配等式左侧的正负交替规律；②混淆二项式展开式的项数与组合数的上标、下标关系. 11.下图反映了二项式定理产生 、 完备和推广所走过的漫长历程： （１） 在上述发展过程中 ，无论是推广还是证明，都是从特殊到一般 ．如今，数学研究的一个 发展趋势就是尽可能地一般化 ．请你试一试，从 推广到 （２） 请你查阅相关资料 ， 细化上述历程中的某段过程 ， 例如从３次到，从二项到项 等 ， 说一说数学家是如何发现问题和解决问题的 ． 【解析】（1）以通过数学归纳法和组合计数的思想来完成推广： ①基础情况：当时， ，显然成立. ②归纳假设：假设当 时，展开式为： 为非负整数，且满足. ③归纳步骤：当 时， 将归纳假设代入并展开，每一项 与 相乘后，得到 ，所有项求和后，利用组合数公式 ，可证明时，公式成立. 因此，对任意正整数n，有： (2) 从 3 次到n次，从二项到项的问题发现与解决过程 以从二项式 到多项式 的推广为例，数学家的思考路径如下： ①观察与归纳： 从 ，具体例子中，发现展开式系数与组合数 的对应关系. 提出猜想：. ②证明与验证： 利用数学归纳法或组合模型（如从个因式中选个取 ，其余取）严格证明二项式定理. 验证等更多情况，确保定理的普适性. ③推广与抽象： 从 “两个项” 推广到 “个项”，思考的展开式.发现其系数对应于多项式系数,其中，一步抽象到 ，提出多项式定理的一般形式. 【题型】二项式定理的推广与数学思想方法 【审题关键】核心是从二项式出发，通过归纳与类比，将其推广到多元多项式，并提炼出从特殊到一般的数学思维模式. 【核心方法】先从 ，等特例中发现系数规律，再用数学归纳法证明 的一般形式；随后类比二项式的组合计数思想，将其推广到m项和的幂，形成多元多项式定理，完成从 “特殊到一般”“二项到多项” 的跨越. 【易错警示】混淆多元多项式系数与二项式系数，忽略指数和为 n 的约束；推广时未能抓住组合计数的本质，仅停留在形式模仿. ---------------------【高考真题·赏析】-------------------- 1.(2019·全国Ⅲ卷)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　　) A.12 B.16 C.－10 D.10 【答案】A 【解析】展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为1×C＋2C＝12. 故选A. 2.(2020·全国Ⅰ卷)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　) A.5 B.10 C.15 D.20 【答案】C 【解析】当x＋中取x时，x3y3的系数为C，当x＋中取时，x3y3的系数为C， ∴x3y3的系数为C＋C＝10＋5＝15. 故选C. 3.（2025·天津高考）在的展开式中，项的系数为 ． 【答案】 【解析】展开式的通项公式为， 当时，，即展开式中的系数为. 4.（2025·上海高考）在二项式的展开式中，的系数为 ． 【答案】 【解析】由通项公式， 令，得，可得项的系数为. 5.(2022·新高考Ⅰ卷)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为　　　　(用数字作答).  【答案】-28 【解析】(x+y)8展开式的通项Tr+1=x8-ryr,r=0,1,…,7,8.令r=6,得T6+1=x2y6;令r=5,得T5+1=x3y5,所以(x+y)8的展开式中x2y6的系数为-=-28. 6.(2020·全国Ⅲ卷)的展开式中常数项是　　　　(用数字作答).  【答案】240 【解析】的展开式的通项为Tr+1=(x2)6-r·=2rx12-3r,令12-3r=0,解得r=4,得常数项为24=240. 7.(2024·全国甲卷)的展开式中,各项系数中的最大值为　　　　.  【答案】5 【解析】的展开式的通项公式为Tr+1=xr, 则各项的系数分别为 ,,,,,,,,,,, 观察发现二项式系数先增大后减小,且前后对称,指数式递增,分别计算 ,,,,,,比较可得,=5最大. ---------------------【素养强化·专练】-------------------- 一、单选题 1.的展开式中，含项的系数是( ) A. B.462 C.792 D. 【答案】D 【解析】的二项式通项为，，令，解得，所以含项的系数是. 故选D. 2.展开式的常数项是( ) A.24 B.12 C.6 D.4 【答案】A 【解析】展开式的通项为，令，得，所以展开式的常数项是. 故选A. 3.若的二项展开式中的系数是，则实数a的值是( ) A. B. C.1 D.2 【答案】D 【解析】的二项展开式的通项公式.令，得.由的系数是，得，解得. 故选D. 4.展开式中二项式系数最大的项是( ) A. B. C.和 D.和 【答案】C 【解析】展开式的通项为，因为展开式共有8项，所以第4项和第5项的二项式系数最大，所以展开式中二项式系数最大的项为和，即为和. 故选C. 5.已知的展开式中各项系数的和为243，则该展开式中的项的系数为( ) A.5 B.16 C.40 D.80 【答案】D 【解析】因为的展开式中各项系数的和为243，则令，可得，解得，所以二项式为，其展开式的通项为，，令，得项的系数为. 故选D. 6.的展开式中各项系数之和为m，展开式的二项式系数之和为n，则( ) A.-31 B.0 C.15 D.31 【答案】A 【解析】令，得的展开式中各项系数之和为，由二项式系数的性质可知，各二项式系数之和为，所以. 故选A. 7.的展开式中的系数为( ) A.40 B.80 C. D. 【答案】A 【解析】因为，所以展开式中的系数为 . 故选A. 8.的展开式中的系数为，则该二项展开式中的常数项为( ) A.320 B. C.160 D. 【答案】D 【解析】的展开式的通项，则.因为，所以..令，可得，则，得.因为，所以在中，令，可得，因此，展开式中的常数项为. 故选D. 二、多选题 9.在的展开式中，下列说法正确的是( ) A.常数项为160 B.第4项的二项式系数最大 C.第3项的系数最大 D.所有项的系数和为64 【答案】BC 【解析】展开式的通项为，由，得，所以常数项为，A错误； 展开式共有7项，所以第4项的二项式系数最大，B正确； 由通项公式可得k为偶数时，系数才有可能取到最大值，由，，，，可知第3项的系数最大，C正确； 令，得，所有项的系数和为1，D错误. 故选BC. 10.下列关于的二项展开式，说法正确的是( ) A.展开式共有10项 B.展开式的二项式系数之和为1024 C.展开式的常数项为8064 D.展开式的第6项的二项式系数最大 【答案】BD 【解析】由题意可知，展开式共有11项，故A错误； 展开式的二项式系数之和为，故B正确； 展开式的通项为， 令，得，所以展开式的常数项为，故C错误； 当时，二项式系数最大，所以展开式的第6项的二项式系数最大，故D正确. 故选BD. 11.若，则( ) A.展开式中所有的二项式系数之和为 B.展开式中二项式系数最大的项为第1012项 C. D. 【答案】ABC 【解析】由已知，得展开式中所有项的二项式系数之和为，故A正确.展开式中第1012项的二项式系数为，是所有项的二项式系数中的最大值，故B正确.在二项式的展开式中，令，可得，故C正确.令，可得， 所以，故D错误. 选ABC. 三、填空题 12.在的展开式中，常数项为__________.（用数字作答） 【答案】 【解析】二项式的展开式的通项，令，则，所以，所以二项式的展开式中的常数项为. 13.若展开式中的所有二项式系数和为512，则__________，该展开式中的系数为__________（结果用数字表示）. 【答案】9； 【解析】由已知可得，解得，则的通项为 .令，解得，所以该展开式中的系数为. 14的展开式中的系数为________（用数字作答）. 【答案】-28 【解析】展开式的通项，.令，得，令，得，所以的展开式中的系数为. 四、解答题 15.项式的展开式中，第3项和第4项的二项式系数比为. （1）求n的值及展开式中的常数项； （2）求展开式中系数最大的项是第几项. 【答案】（1）；展开式中的常数项为；2）第5项 【解析】（1）二项式的展开式的通项. 因为第3项和第4项的二项式系数比为， 所以，化简，得，解得.所以. 令，得，所以展开式中的常数项为. （2）设展开式中系数最大的项是第项， 则即解得. 因为，所以，所以展开式中系数最大的项是第5项. 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3 二项式定理 （教材课后题 全解与加练讲义） 【人教A版】 ---------------------【教材习题·全解】---------------------- 📘【复习巩固】 1.选择题 （1）在的展开式中，含的项的系数是( ). A.74 B.121 C.-74 D.-121 【题型】二项式展开式系数的综合计算 【审题关键】目标为多项式展开式中特定项的系数；多项式由多个同形式二项式相加构成，需分别提取各项目标系数再求和；二项式为形式，需注意负号对系数符号的影响. 【核心方法】分项提取法：将多项式拆分为单个二项式，分别确定每个二项式中的系数.二项式通项定位法：利用通项公式，锁定对应的项数，确定系数表达式. 求和整合：将各分项系数进行代数求和，得到最终结果. 【易错警示】①忽略中的三次方符号，误将系数写为​；② 混淆二项式系数与展开式系数；③计算组合数时出现数值错误，导致最终求和结果偏差. （2）的展开式中的系数为15，则( ). A.7 B.6 C.5 D.4 【题型】二项式展开式系数与方程求解 【审题关键】已知 展开式中的系数为 15，求正整数n；核心是利用二项式系数公式建立方程求解. 【核心方法】通项定位法：利用二项式通项公式，锁定 对应的项，其系数为组合数​；方程求解法：根据已知系数建立方程，代入组合数公式化简为一元二次方程，求解并筛选正整数解. 【易错警示】①混淆二项式系数与排列数，导致方程建立错误；②解一元二次方程时，忽略n为正整数的条件，保留无效根. 2.的展开式中的系数是_________. 【题型】二项式展开式特定项系数的综合计算（多项式乘积型） 【审题关键】需将多项式拆分为与 两部分，分别寻找能生成的项，再求和. 【核心方法】拆分乘积法：将原式拆为两个单项式与二项式的乘积，分别分析每一部分的目标项来源.通项匹配法：利用 的通项公式，锁定与前项结合后指数和为 3,3 的项，确定其系数；代数求和法：将两部分匹配出的目标项系数进行相加，得到最终结果. 【易错警示】 ①忽略中负号的奇偶次幂影响，导致单项系数符号错误；②指数匹配错误，误选中指数不符合要求的项进行计算；③拆分后漏算其中一部分的贡献，仅计算单一拆分项的系数. 3.用二项式定理展开： （1）； （2）. 【题型】二项式定理的直接应用（根式型与分式根式型二项式展开） 【审题关键】第 (1) 题为根式型，n=9,需注意根式的指数运算规则；第 (2) 题为分式根式型，n=7,含负号与分式，需注意符号和系数运算. 【核心方法】通项公式法：统一使用二项式通项公式；逐项展开法：从r=0到r=n，依次计算每一项的系数、字母指数，最后合并成完整展开式. 【易错警示】①忽略第 (2) 题中负号的影响，未按(−1)r确定各项符号；②组合数Cnr​计算错误，或漏写某一项导致展开式不完整；③分式系数的幂次运算错误，如与2r的合并计算失误. 4.化简： （1）；（2）. 【题型】二项式展开式的化简（对称型二项式求和） 【审题关键】两道小题都是两个结构相似的二项式相加，核心是利用展开后奇数次项相互抵消、偶数次项加倍的规律来化简. 【核心方法】对称抵消法：利用两个相似二项式相加的特点，让含奇数次幂的项相互抵消，只保留偶数次幂的项，并且把这些项的系数加倍；逐项筛选法：先写出二项式展开的各项，只挑出指数为偶数的项，把它们的系数乘以2，再合并得到最简结果. 【易错警示】① 搞错哪些项会抵消、哪些项会保留，导致保留了不该留的项或者漏掉了该留的项；② 抵消之后忘记把偶数次项的系数乘以2，使结果系数偏小；③ 对负指数幂的运算不熟悉，导致的幂次计算出错. 5.（1）求的展开式的前4项； （2）求的展开式的第8项； （3）求的展开式的中间一项； （4）求的展开式的中间两项. 【题型】二项式展开式特定项的求解（前几项、指定项、中间项） 【审题关键】 本题核心是根据不同要求，从二项式展开式中精准定位并计算出对应的项.需明确：前几项从常数项开始计数；指定项的序号与通项中 r 的关系；中间项的数量由指数的奇偶性决定. 【核心方法】通项公式法：使用二项式通项公式，根据目标项的位置确定 r 的值，代入计算；项数定位法：前4项对应 r=0,1,2,3.第 8 项对应 r=7；指数为偶数时，中间项为第 项，对应​.指数为奇数时，中间两项对应 ​ 和​. 【易错警示】① 项数与 r 的对应关系混淆，导致定位错误；② 忽略二项式中负号的影响，导致项的符号计算错误；③ 对根式或分式的指数运算规则不熟悉，导致字母指数计算失误；④ 当指数为奇数时，漏算其中一个中间项. 6.求下列各式的二项展开式中指定各项的系数： （1）的含的项； （2）的常数项. 【题型】二项式展开式指定项系数求解（含负指数幂与常数项） 【审题关键】核心是利用二项式通项公式，建立关于指数的方程，解出对应项的参数 r，再计算系数. 第 (1) 题需找到使x的指数为 的项；第 (2) 题需找到使x的指数为0. 【核心方法】通项公式法：使用二项式通项写出通项表达式，令x的指数等于目标值，解出r，再代入计算系数；指数方程法：通过建立指数方程，精准定位到目标项，避免逐项展开. 【易错警示】①忽略二项式中负号和分式系数的影响，导致项的符号和系数计算错误；②指数运算错误，尤其是负指数幂的合并计算，导致指数方程列错；③混淆二项式系数与展开式系数，未将所有数字因子纳入系数计算. ♻【综合运用】 7.证明： （1）的展开式中常数项是； （2）的展开式的中间一项是. 【题型】二项式展开式特定项的证明（常数项与中间项） 【审题关键】核心是利用二项式通项公式，找到对应项的参数r，并对组合数进行化简，最终得到题目给出的形式.第 (1) 题需找到使 x 的指数为0的常数项；第 (2) 题需找到指数为偶数2n时的唯一中间项. 【核心方法】通项公式法：使用二项式通项 ，写出通项表达式，令x的指数为0（或确定中间项的 r 值），解出 r；组合数化简法：将组合数展开，通过分子分母同乘n!或 2nn! 等方式，将其化简为含有双阶乘 1×3×5×⋯×(2n−1) 的形式；阶乘变形法：利用 (2n)!=2nn!×(1×3×5×⋯×(2n−1)) 这一关键变形，完成证明. 【易错警示】①忽略二项式中负号的影响，导致项的符号计算错误；②组合数化简过程中，分子分母的变形不规范，导致无法得到目标形式；③对双阶乘的概念和阶乘的变形公式不熟悉，导致证明卡壳. 8.已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，求这两项的二项式系数. 【题型】二项式系数性质的应用（对称性） 【审题关键】核心是利用二项式系数的对称性，建立等式求出指数，再计算指定项的二项式系数.明确项数与通项参数的对应关系，是解题的前提. 【核心方法】对称性法：利用二项式系数的对称性质，若两项系数相等，则其对应的参数之和等于展开式的总指数；数值计算法：求出总指数后，代入组合数公式，计算出具体的二项式系数. 【易错警示】① 项数与通项参数的对应关系混淆，导致参数取值错误；② 组合数计算公式记忆错误，导致最终数值计算失误. 9.用二项式定理证明： （1）能被整除； （2）能被1000整除. 【题型】二项式定理在整除性证明中的应用 【审题关键】核心是将待证表达式通过二项式定理展开，抵消常数项后，证明剩余部分可被指定除数整除.第 (1) 题需将(n+1)n−1展开，证明其能被n2 整除；第 (2) 题需将9910−1 展开，证明其能被1000 整除. 【核心方法】二项式展开法：将底数写成1+k 的形式，利用二项式定理展开，抵消常数项后，观察剩余项的结构；结构分析法：展开后，分析各项的构成，证明所有剩余项都包含指定除数作为其组成部分，从而使整个表达式是该除数的倍数.数值变形法：将99变形为100−1，展开后分析各项，证明其和是1000 的倍数. 【易错警示】①展开时遗漏或错误计算了某些项，导致无法证明整除关系；②忽略了组合数 等系数中含有的除数部分，导致证明不完整；③对大数展开时，未能正确识别出能被 1000 整除的项. 🔍【拓广探索】 10.求证：. 【题型】二项式定理的赋值法应用（恒等式证明） 【审题关键】核心是识别等式左侧为二项式展开式的结构形式，通过赋值法代入特定数值，直接推导恒等式成立。 【核心方法】赋值法：将二项式定理展开式中的字母替换为具体数值，简化运算以证明恒等式。本题令展开式中两项分别为1 和 - 1，代入后直接得到目标等式。 【易错警示】①赋值时符号对应错误，未准确匹配等式左侧的正负交替规律；②混淆二项式展开式的项数与组合数的上标、下标关系。 11.下图反映了二项式定理产生 、 完备和推广所走过的漫长历程： （１） 在上述发展过程中 ，无论是推广还是证明，都是从特殊到一般 ．如今，数学研究的一个 发展趋势就是尽可能地一般化 ．请你试一试，从 推广到 （２） 请你查阅相关资料 ， 细化上述历程中的某段过程 ， 例如从３次到，从二项到项 等 ， 说一说数学家是如何发现问题和解决问题的 ． 【题型】二项式定理的推广与数学思想方法 【审题关键】核心是从二项式出发，通过归纳与类比，将其推广到多元多项式，并提炼出从特殊到一般的数学思维模式. 【核心方法】先从 ，等特例中发现系数规律，再用数学归纳法证明 的一般形式；随后类比二项式的组合计数思想，将其推广到m项和的幂，形成多元多项式定理，完成从 “特殊到一般”“二项到多项” 的跨越. 【易错警示】混淆多元多项式系数与二项式系数，忽略指数和为 n 的约束；推广时未能抓住组合计数的本质，仅停留在形式模仿. ---------------------【高考真题·赏析】-------------------- 1.(2019·全国Ⅲ卷)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　　) A.12 B.16 C.－10 D.10 2.(2020·全国Ⅰ卷)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　) A.5 B.10 C.15 D.20 3.（2025·天津高考）在的展开式中，项的系数为 ． 4.（2025·上海高考）在二项式的展开式中，的系数为 ． 5.(2022·新高考Ⅰ卷)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为　　　　(用数字作答).  6.(2020·全国Ⅲ卷)的展开式中常数项是　　　　(用数字作答).  7.(2024·全国甲卷)的展开式中,各项系数中的最大值为　　　　.  ---------------------【素养强化·专练】-------------------- 一、单选题 1.的展开式中，含项的系数是( ) A. B.462 C.792 D. 2.展开式的常数项是( ) A.24 B.12 C.6 D.4 3.若的二项展开式中的系数是，则实数a的值是( ) A. B. C.1 D.2 4.展开式中二项式系数最大的项是( ) A. B. C.和 D.和 5.已知的展开式中各项系数的和为243，则该展开式中的项的系数为( ) A.5 B.16 C.40 D.80 6.的展开式中各项系数之和为m，展开式的二项式系数之和为n，则( ) A.-31 B.0 C.15 D.31 7.的展开式中的系数为( ) A.40 B.80 C. D. 8.的展开式中的系数为，则该二项展开式中的常数项为( ) A.320 B. C.160 D. 二、多选题 9.在的展开式中，下列说法正确的是( ) A.常数项为160 B.第4项的二项式系数最大 C.第3项的系数最大 D.所有项的系数和为64 10.下列关于的二项展开式，说法正确的是( ) A.展开式共有10项 B.展开式的二项式系数之和为1024 C.展开式的常数项为8064 D.展开式的第6项的二项式系数最大 11.若，则( ) A.展开式中所有的二项式系数之和为 B.展开式中二项式系数最大的项为第1012项 C. D. 三、填空题 12.在的展开式中，常数项为__________.（用数字作答） 13.若展开式中的所有二项式系数和为512，则__________，该展开式中的系数为__________（结果用数字表示）. 14的展开式中的系数为________（用数字作答）. 四、解答题 15.项式的展开式中，第3项和第4项的二项式系数比为. （1）求n的值及展开式中的常数项； （2）求展开式中系数最大的项是第几项. 学科网（北京）股份有限公司 $