专题01 平面向量的运算及定理（八大高频考点）（高效培优期末专项训练）数学人教A版高一必修第二册

**基本信息** 以平面向量核心概念为起点，通过8个递进式考点构建从基础运算到几何综合应用的知识体系，题型覆盖选择填空解答，突出概念辨析与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点01-05|4-6题/考点|概念辨析、运算规则应用|从几何表示到坐标表示，构建向量描述与运算体系| |考点06-08|4-6题/考点|几何中的定值/最值问题、平行垂直证明|以基本定理为桥梁，实现向量工具与几何问题的转化|

专题01 平面向量的运算及定理 考点01平面向量的几何表示 考点02平面向量的加减运算 考点03平面向量的数量积问题 考点04平面向量基本定理 考点05平面向量的坐标表示 考点06平面向量在几何中的定值问题 考点07平面向量在几何中的最值问题 考点08 平面向量解决平行与垂直问题 考点01平面向量的几何表示 1．下列说法正确的是（   ） A．单位向量有且仅有一个 B．零向量的模长为零，方向任意 C．模长为的两倍的向量是 D．相反向量是与原向量方向相反的向量 【答案】B 【分析】根据单位向量，零向量，平面向量及相反向量的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，单位向量方向不确定故有无数个，故A错误； 对于B，零向量的模长为0，方向任意，故B正确； 对于C，模长为的两倍的向量可以是，故C错误； 对于D，相反向量是与原向量方向相反且长度相等的向量，故D错误. 2．已知，，，，…，是平面内两两互不相等的向量，满足，且（其中，），则的最大值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】将向量问题转化为平面几何中的点的问题：把看作平面内的两个定点，看作平面内的动点；由，得两个定点之间的距离为2；因为，所以动点到两个定点的距离分别为1或2，分别以两个定点为圆心，1和2为半径作圆；因为是两两互不相等的向量，所以对应的动点是这些圆的交点，那么的最大值就是这些圆的交点的总数. 【详解】设，，； ，. （其中，）， 可得或（，）,以和为圆心，分别作以1和2的圆，各圆交点的个数之和即满足题意的，如图所示. 由图可知，的最大值为7. 3．已知点，则与向量方向相反的单位向量是_________. 【答案】 【详解】由,则，所以与向量方向相反的单位向量是 4．已知点在所在平面内，满足，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】A 【分析】根据点到的距离相等可得答案. 【详解】因为，即点到的距离相等， 所以点是的外心. 故选：A 5．（多选）下列命题正确的是（    ） A．数轴上零向量的坐标为0 B．若与都是单位向量，则的最小值为0 C．若，则 D．若，则线段的中点坐标为 【答案】ABD 【分析】根据题意可直接判断A正确；当与方向相反时，可知B正确；利用两点间的距离公式计算可知C错误；利用中点坐标公式进行计算可知D正确. 【详解】数轴上零向量的坐标为正确. 若与都是单位向量，当方向相反时， 的最小值为正确. 若，则，错误. 若，则线段的中点坐标为，正确. 故选：ABD. 6．下列说法错误的是（    ） A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则 C． D．若，则 【答案】D 【分析】根据题意，由向量的定义以及相关概念对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为非零向量是自由向量，可以自由平移移动，故A正确； 由单位向量对于可知，，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为两个向量不能比较大小，故D错误； 故选：D 考点02平面向量的加减运算 7．（多选）下列向量运算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据平面向量的加减法法则，结合具体选项，逐一分析即可. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：ABD. 8．（多选）下列命题为真命题的是（    ）（多选） A．若，则 B．零向量与任意向量共线 C．互为相反向量的两个向量的模相等 D．若向量，满足，，则 【答案】BCD 【分析】利用向量的相关概念判断ABC，利用判断D项. 【详解】A选项：向量是既有大小又有方向的量，不能直接比较大小（仅模可比较），故A为假命题； B选项：根据零向量的性质，零向量与任意向量共线，故B为真命题； C选项：互为相反向量的两个向量方向相反且模相等，故C为真命题； D选项：由向量模的三角不等式，代入，得，故D为真命题。 综上，真命题为BCD. 故选：BCD 9．在平行四边形中，为的中点．记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算计算判断. 【详解】因为四边形是平行四边形，所以， 又因为为的中点，所以， 在平行四边形中，， . 故选：A. 10．如图，在中，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的减法运算法则即可求解. 【详解】因为，所以，所以. 故选：C. 11．（多选）下列能化简为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据向量的线性运算依次判断即可. 【详解】对于A，，正确； 对于B，，正确； 对于C，，正确； 对于D，，不正确. 故选：ABC. 12．下列命题中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量减法的三角形法则可以判断A，C，根据向量加法的三角形法则可以判B，D. 【详解】因为，故A错误； 因为，故B错误； 因为，故C错误； 根据向量加法的三角形法则可知，故D正确. 故选：D 考点03平面向量的数量积问题 13．已知，且与垂直，则等于（ ） A． B．± C．± D．± 【答案】B 【分析】根据向量垂直和向量数量积的定义求解即可. 【详解】根据与垂直，可得， 整理可得即，所以. 14．已知单位向量与，向量在方向上的投影向量为，且，若与的夹角的取值范围是，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据投影向量的定义可推得，结合夹角范围与余弦函数的单调性即得的取值范围. 【详解】依题意， ,则在方向上的投影向量为， 又因，则， 因， 而函数在上单调递减， 则得， 即的取值范围是. 15．在中，“”是“是锐角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量的数量积运算律可得角为锐角，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，即， 整理可得，可知， 且，可知角为锐角， 所以，等价于角为锐角， 因为角为锐角不能推出是锐角三角形，但是锐角三角形可以推出角为锐角， 所以“”是“是锐角三角形”的必要不充分条件. 16．已知中，，，，、为线段、上的点，设，，若． (1)当时，求的值； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，，用、作为基底表示出，，由得到即可求出； （2）由（1）可得，换元、利用基本不等式求出的最大值. 【详解】（1）因为，，，、为线段、上的点，，， 所以，， 所以，， 又，所以， 即， 即， 即， 所以， 当时，，解得； （2）由（1）可得， 因为，， 所以，即，所以， 所以， 令，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 17．已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，向量，满足，，， 所以， 则在上的投影向量为. 18．已知向量，其中，． (1)试计算及的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1） ， （2）设，由， ． 考点04平面向量基本定理 19．如图，点是线段的中点，，点是平行四边形内(含边界)的一点，且，以下结论中不正确的是（   ） A．当是线段的中点时， B．当时， C．当为定值时，点的轨迹是一条线段 D．的最大值为 【答案】B 【分析】对A，根据条件，利用向量的线性运算，即可求解；对B，取线段，的中点，延长与直线交于点，利用几何关系得，从而得点的轨迹为线段，再取两个端点即可求解；对C，令，可得三点共线，利用几何关系可得点的轨迹是线段，即可求解；对D，利用向量的线性运算，可得，进而可得，即可求解. 【详解】对于A，当是线段的中点时， ， 所以，故A正确， 对于B，当时，如图1，取线段，的中点，分别记为，则平行于， 延长与直线交于点，则， 所以，则，又点在平行四边形内(含边界)，所以点的轨迹为线段， 当点与重合时，， 当点与重合时，， 所以．故B不正确， 对于C，当为定值2时，，令，可得三点共线， 分别取线段的中点，如图2，记为，所以，即， 连接交于点，因为，且，则， 所以点的轨迹是线段，故C正确． 对于D，由于平行四边形所在区域在的左上方，且三点共线， 所以，则，所以， 即当时，取得最大值，此时点与点重合，所以D正确． 20．已知为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据共线向量定理及相关性质、充分必要条件的定义求解判断即可. 【详解】若存在实数，使，则共线； 若，则同向； 所以“存在实数，使”是“”的必要不充分条件. 21．（多选）在中，，，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为，， 所以，如图， 对于A，，正确； 设，则， 设，又， 所以， 又， 所以，解得， 可知，， ， 故BC正确，D错误. 22．已知平面向量且，则一定共线的三点是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】先考虑向量共线时，的位置关系，再考虑向量不共线时，利用向量共线定理和平面向量基本定理逐项判断即可. 【详解】若向量共线，则共线，此时共线， 当向量不共线时， 对于A选项， ，所以三点共线，A正确； 对于B选项，设  ，则 ，即 无解，B错误； 对于C选项，设  ，则 ，即 ，无解，C错误； 对于D选项， ，设 ， 即 ，即 ，无解，D错误． 故选：A 23．如图，在中，，，为上一点，且满足，则实数的值为___________；若，则的最小值为____________. 【答案】 /0.5 2 【分析】设，可得出，可得出关于、的方程组，即可解得实数的值；利用数量积得出，利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】设，则 ， 所以，解得， ，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以，的最小值为. 故答案为：；. 24．在梯形中，，点在对角线上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量线性运算在几何图形中的应用，结合题意，直接表示即可. 【详解】根据题意，作图如下所示： 由题意得，. 故选：A. 考点05平面向量的坐标表示 25．已知向量，，，且，. (1)求与； (2)若，，求向量，的夹角的大小. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用共线向量的坐标表示、向量垂直的坐标表示列式求解. （2）由（1）的结论求出向量，再利用向量的夹角公式求解即得. 【详解】（1）向量，，，由，得，则； 由，得，解得，所以. （2）由（1）得，， 因此，， ，而，则， 所以向量，的夹角的大小为. 26．设，已知是平面内两个不共线的向量，，，，且，，三点共线． (1)求的值： (2)若， ①求向量与的夹角的余弦值； ②已知点的坐标为，若四边形为平行四边形．求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）由已知得， 因为三点共线，所以，即. （2）由已知得， ； ②由平行四边形得，又， 所以，解得，即 27．已知向量，若，向量在向量上的投影向量为_______. 【答案】 【详解】， 由得，解得， ； ，， 向量在上的投影向量为. 28．已知向量，，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】向量垂直等价于向量数量积等于零，利用向量的坐标运算即可. 【详解】由题意可知，， 由，得， 解得. 29．已知向量. (1)设求； (2)若 与垂直，求的值. 【答案】(1); (2). 【分析】（1）求出，然后按向量数量积的坐标运算规则进行求解； （2）求出的坐标，根据垂直向量的坐标表示列出等式求解. 【详解】（1）∵，∴， ∴，∴． （2）， 由于与垂直，∴，∴． 30．如图，四边形中，为等边三角形，，则______ 【答案】/ 【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求解即可. 【详解】因为， 所以，即， 如图，建立平面直角坐标系， 又为等边三角形，所以， 则， 所以， 则. 考点06平面向量在几何中的定值问题 31．如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基底表示即可求出. 【详解】因为，所以， 则， 因为，所以，即， 则. 故选：C 32．如图，在中，为线段上一点，且. (1)若，求的值； (2)若，且与的夹角为，求的值. 【答案】(1) (2)-3 【分析】（1）应用平面向量的减法，再结合平面向量基本定理求出参数； （2）应用平面向量的数量积及数量积运算律计算求解. 【详解】（1）若，则， 即， 故. （2）若，则， 即， 所以 . 33．如图，已知和为直角三角形，，与交于点，若，则__________. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，得出向量坐标列式结合二倍角正切公式计算求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系， 由题意得，则 ， 因为，故， 因为，所以（负值舍去）， 所以，故. 又，则， 因为， 所以， 解得，所以. 故答案为： 34．如图，等边的边长为1，点分别为的中点，连接并延长到点，使得，则______. 【答案】/0.125 【分析】以为基底，将表示出来，从而求得数量积. 【详解】因为点D，E分别是边AB，BC的中点，所以， 因为，所以， 所以. 因为，，， 所以 . 故答案为： 35．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______. 【答案】/0.25 【分析】由题意，可根据向量运算法则得到，从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值． 【详解】由题意及图，， 又，所以， 所以， 又，所以，解得m，t． 故答案为：． 36．中，为边的中点，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的运算法则可得答案. 【详解】如图，， 则， 故 . 故选：B 考点07平面向量在几何中的最值问题 37．已知是内的一点，且，，三点共线，则___________，若，且向量在向量上的投影向量为，则___________. 【答案】 3 【分析】根据平面向量的线性运算结合共线定理即可得的值；由投影向量的定义可得的值，由，结合平面向量数量积的运算性质即可得的值. 【详解】 因为， 整理得，则不在边上， 又，则，所以， 因为三点共线，所以，解得； 向量在向量上的投影向量为， 所以，则， 则 . 故答案为：；3. 38．已知的重心为，若其所在平面内有4个不同点满足给出下列四个结论： ① ② ③的最小值为3 ④的最大值为18 其中正确结论个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】对于①，设的中点为，由的重心为，得到，从而得到，从而得解；对于②，利用向量的加法求出，由得到，从而得到；对于③，由，得到点在以为圆心，半径的圆上，当所有点共线且在同侧时，相邻点距离最小，从而得到的最小值，从而得解；对于④，由，得到点在以为圆心，半径的圆上，当点共线且交替在的两侧时，相邻点的距离最大，求出的最大值，从而得解. 【详解】对于①，设的中点为， 的重心为， ，， ， ， ，故①正确；    对于②， ， ， ，， ，，故②错误；    对于③，， 点在以为圆心，半径的圆上， 当所有点共线且在同侧时，相邻点距离最小， 即， 的最小值为，故③正确； 对于④，， 点在以为圆心，半径的圆上， 当点共线且交替在的两侧时，相邻点的距离最大， 且最大为， 的最大值为，故④错误. 故选：B. 39．如图，在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的三等分点（，.设，）． (1)用，表示，． (2)如果，，有什么位置关系？用向量方法证明你的结论． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【分析】（1）根据向量的加法、减法和数乘运算即可求出答案； （2）通过证明，从而证明. 【详解】（1）， . （2）. 证明如下： 由（1）得，， 所以， 所以，即. 40．已知是边长为2的等边三角形，为三角形内一点（包括边界），为的中点，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】首先根据向量的运算将转化为，然后观察几何图形求得的最大值与最小值，进而求解的取值范围. 【详解】如图，在等边中，为的中点，连接，取的中点并连接. ， 由于，，得：，， 因此可得：， 如图易知：由于为三角形内一点（包括边界）， 因此当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 当点与点或点重合时，取得最大值，最大值为， 综上可得：，即. 故答案为： 41．在中，为中点，在上，且，与交于点O (1)用表示. (2)过O作直线交线段于点，交线段于，，求的值 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据线段比例关系以及平面向量基本定理可表示出； （2）利用平面向量共线定理列方程组计算可求得的值. 【详解】（1）由为的中点可知，由可知，如下图：    因此可得， 因为三点共线，所以可设， 且三点共线，所以存在实数，使得， 因此可得， 即，解得， 因此； （2）如下图所示：    因为三点共线，所以存在实数使得， 其中由可得，又， 所以， 结合（1）中结论可知，解得；因此. 42．在中，为的中点，是以为圆心，为半径的圆上的两个动点，线段过点，则可用，表示为___________；的最小值为___________． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设，根据条件有，设，利用向量相等，即可求解；利用数量积的运算，得，令，从而得，即可求解. 【详解】如图以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 因为为的中点，所以， 设，则， 又， 设，则， 整理得到，又是圆上的动点，所以， 再代入，可得，所以. 因为，又是以为圆心，为半径的圆上的两个动点， 则，所以， 令，则， 所以，所以，    故答案为：；. 考点08 平面向量解决平行与垂直问题 43．设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量共线定理计算即可. 【详解】由共线向量定理可知存在实数，使得， 即，又与是不共线向量， 所以解得. 故选：B． 44．已知，不共线，，，当与共线时实数的值为________. 【答案】 【分析】根据向量共线列方程，化简求得的值. 【详解】和共线，，不共线， ，即，即，解得. 故答案为：. 45．已知向量，且与方向相反，则实数的值为（　　） A．-1或 B．1或 C．1 D． 【答案】D 【分析】先判断 与 是否共线，再根据方向相反设共线关系，展开并整理系数联立方程组，最后代入求解并检验即可. 【详解】因为 ， 所以向量 ， 不共线，且向量 ， 方向相反， 所以存在实数 使 ， 即， 又因为向量 不共线， 所以，整理得 ， 解得 或 ， 又因为 ，所以 ，故舍去 ，最终得到 . 故选：D. 46．在平行四边形ABCD中，点N在线段BD上，，点M为AB的中点．若M，N，C三点共线，则此时______． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算，结合共线定理即可求解. 【详解】, , 由于M，N，C三点共线，故, 因此，解得. 故答案为： 47．设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．1 B．0 C．3 D．2 【答案】B 【分析】把，，三点共线转化为列出方程组，求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为，，三点共线，所以存在唯一的，使得， 即， 即，解得：. 故选：B. 48．在梯形中，，，，当点在内部运动时，的取值区间为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算，确定的值即可. 【详解】如图： 取，过作，交于点，交于点. 设，因为三点共线，所以. 设，因为， 所以，. 因为共线，所以，所以. 因为且点在内运动，所以点在线段上，所以. 即，.所以. 故选：C 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01 平面向量的运算及定理 考点归纳 考点01平面向量的几何表示 考点02平面向量的加减运算 考点03平面向量的数量积问题 考点04平面向量基本定理 考点05平面向量的坐标表示 考点06平面向量在几何中的定值问题 考点07平面向量在几何中的最值问题 考点08平面向量解决平行与垂直问题 考点专练 考点01平面向量的几何表示 1.下列说法正确的是() A.单位向量有且仅有一个 B.零向量的模长为零，方向任意 C.模长为的两倍的向量是2a D.相反向量是与原向量方向相反的向量 2.已知G,石，h,互，，万(k∈N)是平面内两两互不相等的向量，满足a-a=2,且 a,-万∈{1,2（其中i=1,2,j=1,2,,k),则k的最大值为(） A.5 B.6 C.7 D.8 3.己知点A(1,3),B(4,-),则与向量AB方向相反的单位向量是 4.已知点0在ABC所在平面内，满足OA=0B=0C,则点0是ABC的() A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心 5.(多选)下列命题正确的是() A.数轴上零向量的坐标为0 B.若ā与五都是单位向量，则a+的最小值为0 C.若A(-2,1,B(2,-1,则AB=0 D.若A(-2,1),B(2,-1,则线段AB的中点坐标为0,0) 6.下列说法错误的是() 1/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.任一非零向量都可以平行移动 B.e,6是单位向量，则= C.CD=DC D.若AB>CD,则AB>CD 考点02平面向量的加减运算 7.(多选)下列向量运算正确的有() A.AB+CD+BC=AD B.MC-NC=MN C.PA+AB-BO=PO D.AB-AC-BD-CD=0 8.(多选)下列命题为真命题的是()（多选） A.若d>,则a>b B.零向量与任意向量共线 C.互为相反向量的两个向量的模相等 D.若向量ā，6，满足=1，=4，则3≤a-≤5 9.在平行四边形ABCD中，M为CD的中点.记AB=a,AD=b,则MB=() A.ja-b c.号a+i 10.如图，在ABC中，AD=DB,AE=2EC,则DE=() A.24B-1AC 3 2 B.}4c- 3 11.(多选)下列能化简为PO的是() A.OC-OP+CO B.4B+(PA+BO) C.AB+PC+BA-OC D.PA+4B-BQ 12.下列命题中一定正确的是（) A.0A-OB=AB B.AB+BA=0 C.0-AB=0 D.AB+BC+CA=0 考点03平面向量的数量积问题 2/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 13.已知=3，=5，且a+6与a-6垂直，则元等于() A 8.±3 c.±4 5 D.±9 -25 14.已知单位向量a与五，向量a在方向上的投影向量为，且a,=元b,若a与的夹角的取值范围是 π5 36则2的取值范围是 15.在ABC中，“AB+AC>AB-AC"是”ABC是锐角三角形”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既 不充分也不必要条件 16.己知ABC中，∠BAC=60°，AB=9,AC=6,D、E为线段AB、AC上的点，设AD=m,AE=n ,若CD⊥BE B (1)当m=2时，求的值； (2)求wm的最大值， 17.已知向量a,五满足d=1,=2,a-=V万，则a+6在6上的投影向量是() A. B.36 C.-16 A 4 0- 18.已知向量a=e-e,b=4e+3e,,其中e=(1,0),e2=(0,1. (1)试计算a.b及a+b的值： (2)求向量ā与五夹角的余弦值. 考点04平面向量基本定理 19.如图，点B是线段AC的中点，BE=2OB,点P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，且 OP=xOA+yOB(x,y∈R),以下结论中不正确的是（) D B B 3/8 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.当P是线段CE的中点时，x=-y= 2 C.当x+y为定值2时，点P的轨迹是一条线段 D.x-y的最大值为-1 20.已知a,6为非零向量，则“存在实数入，使a=b是a+=a+"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 21,(多选)在ABC中，BC=3BM,AC=2AN,AM与BN交于点0，则(） A孤号那C 3 80丽+孤 c40- D.BO=2ON 22.己知平面向量ā，6且AB=a+26,BC=-5a+66,CD=7ā-26，则一定共线的三点是() A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D 23.如图，在AC中，∠84C=了，D=2D8,P为CD上一点，且满足币=mAC+与B,则实数m的 值为 ;若AB.AC=4,则AP的最小值为 24.在梯形ABCD中，AB∥CD,CD=3AB,点E在对角线AC上，且AE=号EC,则DE=() A.4B-2AD B.34B-1AD 3 c2孤-}0 考点05平面向量的坐标表示 25.已知向量a=1,2),i=(3,x),c=(2,y),且a/石，a1c. (1)求五与c: (2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m,的夹角0的大小 26.设1eR,已知ξ，色是平面内两个不共线的向量，AB=+e2,BE=3E+2,EC=-2E+1e2,且A, 4/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E,C三点共线. (1)求1的值： (2)若e=(1,1,e2=(0,1, ①求向量AB与BC的夹角的余弦值： ②已知点D的坐标为(3,4)，若四边形ABCD为平行四边形.求点A的坐标， 27.已知向量ā=(2,1，b=(-l,m,若a⊥a-b,向量a在向量五上的投影向量为 28.已知向量a=(-1,2),6=(3,1),c=(x,4),若(a-b1c,则x=() A.1 B.2 C.3 D.4 29.已知向量ā=(1,2)，b=(2,-2): (1)设c=4a+b求(6.c)a; (2)若a+b与a垂直，求的值. 30.如图，四边形ABCD中，△ACD为等边三角形，AB=4,AC=3,BC=5,则BD·AC= D B A 考点06平面向量在几何中的定值问题 31.如图，已知AB=a,AC=6,BC=4BD,CA=3CE,则DE=() D A.36-1a B.3a-6 43 43 c5- 36 4 32.如图，在△0AB中，P为线段AB上一点，且OP=xOA+yOB A (1)若AP=PB,求x,y的值： 2)若AP=3PB,0A=4,0B=2,且OA与OB的夹角为60，求OP.AB的值. 5/8 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 33.如图，己知ABC和△ACD为直角三角形，∠ABC=∠ACD=90°，AB=BC=CD=1,AC与BD交于点 0,若D0=B+C,则之= D 34.如图，等边ABC的边长为1，点D,E分别为AB,BC的中点，连接并延长DE到点F,使得DE=2EF, 则AF.BC= D 35.如图，在ABC中，AN=2NC,P是BN上的一点，若P=1AB+AC,则实数的值为 36.ABC中，D为AB边的中点，CE=CD,:a,AC=6,则AE=() 3 A.a+6 B.1a+26 3 6 6 3 C. D. 6 考点07平面向量在几何中的最值问题 37.已知M是ABC内的一点，且AM=MB+MC,N=24AC(元∈R,B,M,N三点共线，则： ,若=3,4C=6,且向量丽在向量4C上的投影向量为44C,则aM.BC= 38.已知ABC的重心为G,若其所在平面内有4个不同点P,P,P,P满足 AD+BP+CP=3i,i=1,2,3,4.给出下列四个结论： ①GA+GB+GC=0 ②GP=2 6/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ③RE+PF+PP的最小值为3 ④PE+P+PE的最大值为18 其中正确结论个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 39.如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F,G分别是AD,BC的三等分点 （AF=AD,BG=BC.设B=a,AD=6). 3 D (1)用a,b表示示，EG. 2如果闪-风，小，5G有什么位置关系？用向量方法证明你的结论。 40.已知ABC是边长为2的等边三角形，P为三角形ABC内一点（包括边界），O为BC的中点，则 PA.PO的取值范围是 41.在ABC中，E为BC中点，N在AB上，且BN=2NA,AE与CN交于点O (1)用AB,AC表示NE,AO. (2)过O作直线交线段AB于点P,交线段AC于M,2PB=AN,AM=元AC,求1的值 42.在△0AB中，∠AOB=90°，OA=OB=2√2，D为AB的中点，P,Q是以0为圆心，2为半径的圆上的两 个动点，线段P过点O,则OD可用PA,QB表示为 ;PAQB的最小值为 考点08平面向量解决平行与垂直问题 43.设e,e,是两个不共线的向量，若向量m=-e+ke,与n=e,-2e共线，则k=() A.2 B.月 C.-2 月 44,已知e,e,不共线，a=3+e,万=e+e,当a与b共线时实数2的值为 45.己知向量ā=(5，-2)，b=(-4,-3),且2ā+b与ā+(22-1)b方向相反，则实数1的值为() A.1或 B.1或-1 C.1 0月 46.在平行四边形ABCD中，点N在线段BD上，B=入BD(0<入<1，点M为AB的中点.若M,N,C 三点共线，则此时入=· 47.设向量g,6,g不共面，已知AB=-3e-e+2e,BC=日+元6-6g,CD=4e+2e+8e,若A, 7/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C,D三点共线，则1=() A.1 B.0 C.3 D.2 48.在梯形ABCD中，AB11CD,AB=2CD,P=AB+D,当点P在△BCD内部运动时，2的取值区 间为a,b),则a+b=() B.17 12 C. D. 12 8/8