专题02 三角形四心及正余弦定理问题（八大高频考点）（高效培优期末专项训练）数学人教A版高一必修第二册

**基本信息** 系统覆盖三角形四心向量表示及正余弦定理应用，题型从概念辨析到综合最值，逻辑递进，培养逻辑推理与数学建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |向量表示四心|6题|选择/填空/证明，涉及重心、垂心等判定|从四心概念到向量表达，构建几何与代数联系| |正余弦定理应用|36题|解的个数判断、射影公式、形状判定等|从定理基础应用到综合问题，形成"判定-计算-最值"逻辑链| |实际应用|6题|航海、测量等情境题|将数学模型应用于现实，发展数学表达能力|

专题02 三角形四心及正余弦定理问题 考点01向量表示三角形的心 考点02正余弦定理判定三角形解的个数 考点03射影公式的应用 考点04正余弦定理判断三角形的形状 考点05求三角形中边长或周长的最值或范围 考点06求三角形面积的最值与范围 考点07求三角形面积与周长的定值问题 考点08 正余弦定理的实际应用 考点01向量表示三角形的心 1．已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 2．如图，已知，分别是，上的动点，且满足，求证：在三点运动过程中，的重心不动． 3．（多选）已知点是所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则为的内心 C．若为的重心，是边上的中线，则 D．若，则 4．已知是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 5．已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则点O是△ABC的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 6．在中，，，，则直线通过的（    ） A．垂心 B．外心 C．重心 D．内心 考点02正余弦定理判定三角形解的个数 7．（多选）在中，角、、的对边分别是、、，下列说法正确的是（    ） A．若，则是直角三角形 B．若，则 C．存在锐角，使得 D．若，，有解，则 8．（多选）下列说法错误的有（    ） A．命题，的否定是， B．若，则，的夹角为锐角 C．若方程有两个不等的正实数根，则 D．在中，若角，，，则有两解 9．在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题中不正确的是（    ）． A．若，则为钝角三角形 B．若，，，则的面积为 C．在锐角中，不等式恒成立 D．若，，且有两解，则b的取值范围是 11．已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．（多选）在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则的取值范围为 D．若，且三角形有两解，则的取值范围为 考点03射影公式的应用 13．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，的面积为，D为的中点，求的长度． 14．在中，，. (1)若，求的值，以及的面积; (2)若，求. 15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若，，则（    ） A．30° B．90° C．45° D．60° 16．在中，（，，分别为角，，的对边），则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 17．在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)设是边上一点，满足，且平分，若，求的面积. 18．在中，角，，的对边分别为，，，面积为，在下列三个条件中任选一个，解答下面的问题．①，②，③． (1)求角的大小； (2)若外接圆的面积为，求的最大值． 考点04正余弦定理判断三角形的形状 19．（多选）在中，角所对的边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．是的充要条件 B．若，则 C．若，则 D．若，则为等腰三角形 20．已知分别为三个内角的对边，若，则的形状为 （    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 21．在中，内角的对边分别为，且，则一定为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 22．（多选）在中，角、、的对边分别为、、，下列说法正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形或直角三角形 B．若，则是锐角三角形 C．若为锐角三角形，则 D．若有两解，，，则 23．（多选）在△ABC中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则△ABC为钝角三角形 C．若，且，则△ABC为直角三角形 D．在中，若，且满足条件，则动点经过△ABC的垂心 24．（多选）在中，角所对的边分别为，以下说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若是锐角三角形，则． C．若，则为钝角 D．若，则为直角三角形 考点05求三角形中边长或周长的最值或范围 25．如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为（    ） A． B． C． D． 26．在中，内角所对的边分别为,，，且． (1)求角； (2)若，是钝角三角形． （ⅰ）求的范围； （ⅱ）若点在上，且为的角平分线，求的取值范围． 27．已知的内角的对边分别为，且. (1)求. (2)已知为边上的一点，且. （i）求； （ii）若是线段上（不与重合）的一个动点，求的最小值. 28．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边， (1)求角A； (2)若，的面积为，求b，c； (3)若，且为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围． 29．在锐角中，角，，的对边分别为，，，． (1)求角； (2)当时，的面积为，周长为，求的取值范围． 30．在锐角中，设角所对的边分别为，已知且． (1)求角； (2)求周长的取值范围； (3)求边上的中线的取值范围． 考点06求三角形面积的最值与范围 31．在中，角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值． 32．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（    ） A．9 B．18 C． D．6 33．在四边形中，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 34．已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足. (1)求证：； (2)若，求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 35．如图，在四边形中，. (1)若，求边的长； (2)求面积的取值范围． 36．在圆的内接四边形中，已知，，，则四边形的面积的最大值是__________. 考点07求三角形面积与周长的定值问题 37．在中，． (1)求； (2)若，求边． 38．在中，，，的对边分别为，，，若，是方程的两个实数根，且的面积为，则的大小是（   ） A． B． C．或 D．或 39．在中，． (1)若为边中点，求长； (2)若为角的角平分线，求长． 40．已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 41．已知分别是的角所对的边，且. (1)求； (2)若，求的面积. 42．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（    ） A． B． C． D． 考点08 正余弦定理的实际应用 43．如图所示，有两座建筑物AB和CD都在河的对岸（不知道它们的高度，且不能到达对岸），某人想测量两座建筑物尖顶A、C之间的距离，但只有卷尺和测角仪两种工具．若此人在地面上选一条基线EF，用卷尺测得EF的长度为a，并用测角仪测量了一些角度：，，，，．请你用文字和公式写出计算A、C之间距离的步骤和结果．    44．如图，一架飞机以的速度，沿北偏东的航向从A地出发飞往B地，飞行了后到达E地，由于天气原因该飞机按命令改飞C地，已知，，，且，．（参考数据：）    (1)求； (2)收到命令时飞机应该沿什么航向飞行？E地离C地的距离是多少？ 45．如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于南偏东，距离为的海面处，并以的速度沿北偏西的方向移动．如果台风侵袭的范围是半径为的圆形区域．则该城市开始受到台风侵袭的时间为（    ） A．5小时后 B．10小时后 C．15小时后 D．20小时后 46．如图，A、B是某海域位于南北方向相距海里两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时．求B、C两点间的距离为（      ） A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里 47．如图所示，一艘船以km/h的速度大小向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东，航行h后，船在B处，看到这个灯塔M在北偏东，这时船与灯塔的距离为多少km? 48．某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东75°方向上，两地相距海里；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西60°方向上，两地相距4海里．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东30°方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是________海里． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角形四心及正余弦定理问题 考点01向量表示三角形的心 考点02正余弦定理判定三角形解的个数 考点03射影公式的应用 考点04正余弦定理判断三角形的形状 考点05求三角形中边长或周长的最值或范围 考点06求三角形面积的最值与范围 考点07求三角形面积与周长的定值问题 考点08 正余弦定理的实际应用 考点01向量表示三角形的心 1．已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】由对称性知可任选其一作变换，如用，代换，将各向量转化为共起点的三个向量的关系式，进一步变形判断． 【详解】因为，， 所以， 所以（*）． 又因为，，其中分别表示，方向的单位向量， （*）式可进一步化为， 而表示与的平分线共线的向量， 所以平分． 同理，平分，平分， 所以是的内心， 故选：B． 2．如图，已知，分别是，上的动点，且满足，求证：在三点运动过程中，的重心不动． 【答案】证明见解析 【分析】证法1：由条件与向量的线性运算证明的重心同时也是的重心； 证法2：设是的重心，利用向量的线性运算把用表示出来，可得到，可以证明是的重心. 【详解】证法1：因为， 所以． 又因为，所以． 设是的重心，可得， 两式相减可得，所以也是的重心． 证法2：因为， 设是的重心，且，所以， 同理可得，， 所以， 即也是的重心． 3．（多选）已知点是所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则为的内心 C．若为的重心，是边上的中线，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】取的中点，则，得，即可判断A；若，则为的外心，不一定是内心，即可判断B；由题意，则，即可判断C；取的中点，则，得，，即可判断D. 【详解】取的中点，连接，则， 若，则，则三点共线，且， 则为的重心，故A正确； 若，则为的外心，不一定是内心，故B错误； 若为的重心，是边上的中线，则，则，故C错误； 取的中点，连接，则， 若，则，则三点共线，且， 则，故D正确. 故选：AD. 4．已知是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【分析】由已知可得，由此可得出结论. 【详解】因为，则，所以，是的外心. 故选：B. 5．已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则点O是△ABC的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】作BD∥OC，CD∥OB，连接OD，OD与BC相交于点G,可得， 又=-，则有=-，即AG是BC边上的中线，同理，BO，CO也在△ABC的中线上,即可得出结果. 【详解】作BD∥OC，CD∥OB，连接OD，OD与BC相交于点G，则BG=CG(平行四边形对角线互相平分)， ∴， 又，可得=-，∴=-， ∴A，O，G在一条直线上，可得AG是BC边上的中线，同理，BO，CO也在△ABC的中线上.∴点O为三角形ABC的重心. 故选：C. 6．在中，，，，则直线通过的（    ） A．垂心 B．外心 C．重心 D．内心 【答案】D 【分析】根据向量的加法的几何意义，结合菱形的对角线为相应角的平分线，得到在的角平分线上，从而作出判定. 【详解】因为,∴， 设,则， 又， ∴在的角平分线上， 由于三角形中,     故三角形的边上的中线，高线，中垂线都不与的角平分线重合， 故经过三角形的内心，而不经过外心，重心，垂心， 故选D. 考点02正余弦定理判定三角形解的个数 7．（多选）在中，角、、的对边分别是、、，下列说法正确的是（    ） A．若，则是直角三角形 B．若，则 C．存在锐角，使得 D．若，，有解，则 【答案】AD 【分析】利用正弦定理可判断AD选项；利用余弦函数的单调性可判断B选项；利用扇形的面积公式与三角形的面积公式可判断C选项. 【详解】对于A选项，因为，则，所以， 因为，故，即是直角三角形，A对； 对于B选项，因为，则， 又因为、且余弦函数在上单调递减，故，B错； 对于C选项，如下图所示： 在单位圆中，设锐角的大小为弧度，则， 过点作轴，则， 因为，即，即，即， 故对任意的锐角，，C错； 对于D选项，因为，，有解， 由正弦定理可得，所以， 因为，则，故为锐角，所以，D对. 故选：AD. 8．（多选）下列说法错误的有（    ） A．命题，的否定是， B．若，则，的夹角为锐角 C．若方程有两个不等的正实数根，则 D．在中，若角，，，则有两解 【答案】BCD 【分析】对A，根据特称命题的否定是全称命题求解判断；对B，由数量积和向量夹角的范围求解；对C，由一元二次方程根的分布列式求解；对D，由正弦定理求解判断. 【详解】对于A，命题的否定是，故A正确； 对于B，若，可得是锐角或零角，故B错误； 对于C，若方程有两个不等的正实数根， 则，解得，故C错误； 对于D，由正弦定理，，不符合题意，此时无解，故D错误. 故选：BCD. 9．在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据各选项的条件，结合正弦定理解三角形，判断解的个数，即可得答案. 【详解】对于A，，则，只有一解，A不符合题意； 对于B，，满足，只有一解，B不符合题意； 对于C，，则， 故，结合， 故B有两解，分别在以及之间，C符合题意； 对于D，，则， 故，此时无解，D不符合题意， 故选：C 10．（多选）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题中不正确的是（    ）． A．若，则为钝角三角形 B．若，，，则的面积为 C．在锐角中，不等式恒成立 D．若，，且有两解，则b的取值范围是 【答案】BD 【分析】由正弦定理、余弦定理、三角形面积公式判断ABD，由正弦函数性质判断C. 【详解】对于A，， 由正弦定理得，由余弦定理的推论得， 又，所以，则为钝角三角形，A正确． 对于B，在中，由正弦定理得， 所以． 又，所以或，所以或． 又的面积，所以或，B错误． 对于C，因为为锐角三角形，所以，则． 所以，C正确． 对于D，若有两解，则，即，D错误． 故选：BD. 11．已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出三角形有两解的充要条件，进而求出的范围. 【详解】 如图：三角形中，，， 则有两解的充要条件为：， 即. 故选：D. 12．（多选）在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则的取值范围为 D．若，且三角形有两解，则的取值范围为 【答案】BCD 【分析】对于A，有大边对大角结合余弦函数单调性判断即可；对于B，由余弦定理化简得即可判断；对于C，由正弦定理化简得，故只需求得的范围并验算即可；对于D，由正弦定理判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，若，则，所以，则为等腰三角形，故B正确； 对于C，， 因为， 所以， 所以的取值范围为，故C正确； 对于D，因为，所以，而， 所以， 由题意直线和的图象有两个交点， 所以，解得，故D正确. 故选：BCD. 考点03射影公式的应用 13．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，的面积为，D为的中点，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法1：由正弦定理结合恒等变形化简得，再求角即可；方法2：由射影定理得，进而得到，再求角即可； （2）由三角形面积公式可得，再根据余弦定理可得，然后根据向量法求中线长即可． 【详解】（1）解：方法1：∵， ∴， ∵， ∴＞0，∴，∴，； 方法2：由射影定理，对任意，有， 代入题干条件得，因为b＞0，所以， 又，故． （2）解：由三角形面积公式：代入， 解得． 由余弦定理，代得：， 因为D为中点，由向量中线公式：， 两边平方得：， 因此． 14．在中，，. (1)若，求的值，以及的面积; (2)若，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）已知，，，利用余弦定理，即可求得边；根据面积公式：，代入即可求得面积. （2）先将进行切化弦，再利用边角互化和射影定理，即可求得的值，利用知一求二得的值，最终利用正弦定理求得的结果. 【详解】（1）根据余弦定理，因为，，， 代入公式计算得：； 根据面积公式：. （2）； 根据边角互化的原则得：； 化简得：； 根据射影定理：，所以，所以； 根据三角函数的定义得：； 由正弦定理：，将，，代入得：. 15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若，，则（    ） A．30° B．90° C．45° D．60° 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用三角形射影定理及三角形面积公式分别求出即可. 【详解】在中，由三角形面积公式及，得， 则，而，解得，， 由三角形射影定理得，而， 则，又，解得，解得， 所以. 故选：B 16．在中，（，，分别为角，，的对边），则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用二倍角公式及三角形射影定理判断得解. 【详解】由，得，整理得， 在中，由射影定义得，则， 而，因此，又，则， 所以是直角三角形. 故选：B 17．在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)设是边上一点，满足，且平分，若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 利用降幂公式和射影定理对已知条件化简，再利用余弦定理即可. （2） 利用三角形内角平分线的性质，即可得线段长度，将数值代入面积公式即可. 【详解】（1）在中， ， 因为，所以， 化简得 由余弦定理得，又，所以. （2）由题意，，又，所以 则. 18．在中，角，，的对边分别为，，，面积为，在下列三个条件中任选一个，解答下面的问题．①，②，③． (1)求角的大小； (2)若外接圆的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选①，根据条件、正弦定理以及三角恒等变换进行化简即可求解；选②，根据条件、余弦定理以及三角形的面积公式进行化简即可求解；选③，根据条件以及射影定理进行化简即可求解； （2）先根据题意求出外接圆的半径，再结合（1）及正弦定理求出，再根据余弦定理，基本不等式及三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）选①，由， 则根据正弦定理得， 在中，有， 则， 又，所以，即， 又，所以． 选②，由， 则根据余弦定理可得， 在中，有， 所以，即， 又，所以． 选③，由， 在中，根据射影定理可得， 所以，即， 又，所以． （2）因为外接圆的面积为，所以外接圆半径为， 又结合（1）可知，则根据正弦定理可得， 则根据余弦定理可得， 又，所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以面积， 所以的最大值为． 考点04正余弦定理判断三角形的形状 19．（多选）在中，角所对的边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．是的充要条件 B．若，则 C．若，则 D．若，则为等腰三角形 【答案】ACD 【分析】对于A选项，结合三角形边角的性质和正弦定理边角互化，分别证明充分性与必要性即可判断；对于B选项，根据角度比例算出三个内角的具体值，再利用正弦定理得到三边的比例关系进行判断；对于C选项，通过正弦定理将边转化为角的正弦，结合三角恒等变换求出的值，进而得到角；对于D选项，利用正弦定理将边的平方比转化为正弦平方的比，再结合余弦定理化简，分析角、的关系判断三角形形状. 【详解】选项A，在中，根据大边对大角和正弦定理（为外接圆半径）：， 因此是的充要条件. 选项B，若，结合内角和，得. 由正弦定理，B错误. 选项C，由正弦定理，将化边为角： 左边， 因此原式得， 中，故，又，得. 选项D，由正弦定理，，交叉相乘得，结合余弦定理化简因式分解得：， 因此，即，为等腰三角形. 20．已知分别为三个内角的对边，若，则的形状为 （    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】借助正弦定理、三角形内角和、诱导公式及两角和的正弦公式计算即可得. 【详解】由正弦定理将边化为角可得， 又， 故，故， 由，故，则，故， 即的形状为直角三角形. 21．在中，内角的对边分别为，且，则一定为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】利用正弦定理把边的关系转化为角的三角函数关系，再结合和角公式化简，推出，从而判断三角形形状. 【详解】由正弦定理得，所以. 由，两边同除以，得. 两边同乘，得. 因为，所以，故，即. 所以一定为直角三角形. 22．（多选）在中，角、、的对边分别为、、，下列说法正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形或直角三角形 B．若，则是锐角三角形 C．若为锐角三角形，则 D．若有两解，，，则 【答案】ACD 【分析】利用正弦边角关系及二倍角正弦公式，结合三角形内角的性质判断A；根据余弦定理即可判断B；由已知得，结合正弦函数的性质判断C；根据三角形解的个数有判断D． 【详解】A：由正弦边角关系得，又， 所以或， 则为等腰三角形或直角三角形，正确， B：若，则，即， 所以为钝角，则为钝角三角形，错误； C：由三角形为锐角三角形，则，则， 所以，正确， D：由有两解，则，正确． 23．（多选）在△ABC中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则△ABC为钝角三角形 C．若，且，则△ABC为直角三角形 D．在中，若，且满足条件，则动点经过△ABC的垂心 【答案】BD 【分析】A.由判断；B. 由，结合平方关系，利用正弦定理得到，再用余弦定理判断；C. 根据都是单位向量，且，得到角A的角平分线也是高线，再由得到判断；D. 由，得到，再由判断. 【详解】A. 当时，满足，则，不满足，故错误； B. 由，得，由正弦定理得，则，所以角为钝角，故正确； C. 因为都是单位向量，且，所以角A的角平分线垂直于BC，所以且，则，所以是等边三角形，故错误； D. 由，得， 则， 所以，即动点在△ABC的高线上，所以动点经过△ABC的垂心，故正确； 故选：BD 24．（多选）在中，角所对的边分别为，以下说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若是锐角三角形，则． C．若，则为钝角 D．若，则为直角三角形 【答案】BCD 【分析】对于A，利用余弦三角函数的性质即可求解；对于B，利用锐角三角形的定义及正弦函数的性质，结合诱导公式即可求解；对于C，根据余弦定理可判断C；对于D，利用射影定理计算判断选项. 【详解】对于A，在中，因为，所以，又在上单调递减， 所以，故A错误； 对于B，因为为锐角三角形，可得,则, 因为，所以， 又在上单调递增，所以，故B正确； 对于C，若，则，而， 所以角C为钝角，故C正确； 对于D，在中，由射影定理及得：， 则，而，解得，即为直角三角形，D正确. 考点05求三角形中边长或周长的最值或范围 25．如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据余弦定理，可得的表达式，根据条件，可得的表达式，根据正弦定理，可得，在中，根据余弦定理，可得的表达式，整理计算，结合辅助角公式及正弦函数的性质，分析求解即可得答案. 【详解】在中，设，由余弦定理得， 又，，所以， 由题意，为等腰直角三角形，则， ，则， 在中，由正弦定理得，所以， 在中，由余弦定理得 ， 当时，取得最大值，且为， 所以对角线的最大值为. 26．在中，内角所对的边分别为,，，且． (1)求角； (2)若，是钝角三角形． （ⅰ）求的范围； （ⅱ）若点在上，且为的角平分线，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）直接由向量的共线并结合正弦定理可得； （2）（ⅰ）根据正弦定理进行边化角，进而得，再由三角形为钝角三角形得，再由正弦函数的性质可得范围；（ⅱ）先由等面积法可得，再由条件和（i）结果可得，再令，再根据函数的单调性可得所求值的范围. 【详解】（1）由，，且， 所以，， 化简整理得，再由正弦定理得， 因为，所以，且，所以. （2）（i）由，结合正弦定理，得. 因此 ​，且. 因为 为钝角三角形， ​，故钝角只能是或， 所以或，所以. 由正弦定理得 ， 因为，所以，， 所以 （ii）因为为的角平分线，且，如图： 由面积关系，， 所以 ，化简得. 又因为 ， 由（i）知， 所以， 令，由（i）知，所以 所以，因为函数在是单调递增函数， 所以时，，当时，. 所以. 27．已知的内角的对边分别为，且. (1)求. (2)已知为边上的一点，且. （i）求； （ii）若是线段上（不与重合）的一个动点，求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，结合两角和的正切公式可得； （2）（i）先根据正弦定理，分别将表示出来，再直接计算即可. （ii）根据余弦定理结合（i），求出，作（点在的下方），，垂足为，过点作，垂足为，根据三角形性质易知其最小值为，计算即可. 【详解】（1）由正弦定理得， 得 则.由，得， 所以，则. 因为，所以. （2）（i）在中，由正弦定理得，； 在中，由正弦定理得， 因为，所以. 故. （ii）由余弦定理，得 结合，得. 如图，作（点在的下方），，垂足为，过点作，垂足为. ， 则. 故的最小值为. 28．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边， (1)求角A； (2)若，的面积为，求b，c； (3)若，且为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再通过两角和公式与辅助角公式化简即可求解； （2）联立三角形面积公式与余弦定理建立关于的二元方程组即可求解； （3）利用中线向量公式与余弦定理将转化为关于的函数，再通过正弦定理及三角恒等变换，结合锐角三角形的范围限制即可求解. 【详解】（1）， 由正弦定理可得， ∴， 即，， 因为，所以，所以， 即，即， 又，∴，则． （2）由（1）及题设可得，即， 整理得，解得（负值舍去），故． （3）因为D为BC的中点，所以， 两边平方得， 在中，由余弦定理得，即， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，， 则，解得， 所以，所以，则， 即， 所以，所以中线AD的取值范围是． 29．在锐角中，角，，的对边分别为，，，． (1)求角； (2)当时，的面积为，周长为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两角和差的正切公式展开化简即可求解； （2）由三角形面积公式和余弦定理得到，再结合正弦定理边化角，辅助角公式，转换成三角函数求值域即可. 【详解】（1） 且， ，整理得 即． 或． ，， ．，． （2） 由余弦定理可得， 即． ，即． ， 由正弦定理可得， 则 ， ，． 30．在锐角中，设角所对的边分别为，已知且． (1)求角； (2)求周长的取值范围； (3)求边上的中线的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用正弦定理进行角化边，再利用余弦定理得解； （2）利用正弦定理及三角恒等变换求出的取值范围进而得出结果； （3）用余弦定理、中线向量定理、正弦定理、辅助角公式等，将的范围转化为的范围，再结合锐角三角形以及角，求得角的范围，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，， 又由余弦定理得，，故． （2）由正弦定理得 ， ， 又因为是锐角三角形，故，解得， ， 周长的取值范围为 ． （3）由余弦定理得，，即． ，两边平方得． 由正弦定理可知，，故， 因此 ， 又因为是锐角三角形，故，解得， 故，，， 即，则． 考点06求三角形面积的最值与范围 31．在中，角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理角化边，再根据余弦定理求角； （2）根据（1）和余弦定理可得 ，再利用三角形的面积公式和基本不等式求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理，得 ，整理得， 由余弦定理，得， 又，所以． （2）由（1）及余弦定理知，， 故，当且仅当时等号成立， 即面积的最大值为． 32．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（    ） A．9 B．18 C． D．6 【答案】A 【分析】根据正弦定理和三角形内角和关系，确定是直角三角形，由勾股定理及基本不等式求得面积最大值. 【详解】由题设 及正弦定理可得 ， 又， 故，化简得， 因为，所以，即 ， 是直角三角形，直角在 ，   由勾股定理，直角在 ，故 ， 的面积 ，根据基本不等式 ，得： ， 因此 ，当且仅当 时取等号，即面积最大值为 . 33．在四边形中，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，利用余弦定理求出，在中，利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【详解】如图，连接，在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得 ， 所以，当且仅当时，取等号， 所以. 所以面积的最大值为. 34．已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足. (1)求证：； (2)若，求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和与三角恒等变换证明. （2）根据锐角三角形限制确定角的取值范围，通过正弦定理将转化为关于的三角函数，推导三倍角公式化简后，用单调性定义判断函数单调性，进而求得的取值范围. （3）将三角形面积转化为关于角的三角函数，用单调性定义判断单调性，进而求得面积的取值范围. 【详解】（1）∵ ，由正弦定理（为外接圆半径）， 得，， 代入得，即. ∵ 在中，，∴ ， ∴ 代入上式得， 整理得，即. ∵ 为锐角三角形，∴ ，，∴ ， ∴ 若， 则或 （后者得 ，不符合三角形内角要求，舍去）， ∴ ，得证. （2）为锐角三角形， ∴ ，解得. 由正弦定理，，得. ∵ ，∴ ，，， . ∴ ，，且， ∴ . ∵ ，代入得. 令，∵ ，∴ ，则. 任取， 则. ∵ ，∴ ，又，∴ ， ∴ ，即，∴ 在上单调递增. ∴ 当时，； 当时，， ∴ . （3）三角形面积，由正弦定理，，， ∴ ，又，， ∴ . 代入， ， ∴ . 令，由得，则， ∴ ，， 则. 令，，则， 该二次函数开口向上，对称轴为，故在上单调递增， 当； 当 ∴ ，又，故， 即三角形ABC面积的取值范围为. 35．如图，在四边形中，. (1)若，求边的长； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在 中利用余弦定理求出，进而求出 ，最后在中利用正弦定理求解 （2）设 ，利用正弦定理将表示为 的函数，进而将面积表示为 的三角函数，结合 的取值范围求值域 【详解】（1）在 中，，，由余弦定理， 因为 ，所以， 因为，所以，所以 ， 在中，由正弦定理得， 即 所以边的长为. （2）设 ，因为，所以， 在中，，所以， 由三角形内角和定理，得，解得， 在中，， 由正弦定理得， 所以面积 . 因为，所以，则， 所以，即面积的取值范围为. 36．在圆的内接四边形中，已知，，，则四边形的面积的最大值是__________. 【答案】 【分析】应用正余弦定理求得、外接圆的半径，再由四边形的面积最大，只需的面积最大，结合即可求. 【详解】由题设，即（负数舍去）， 又外接圆的半径， 要使四边形的面积最大，只需的面积最大， 由到的距离，则中边上的最大高为， 所以最大. 考点07求三角形面积与周长的定值问题 37．在中，． (1)求； (2)若，求边． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理即可求解， （2）根据面积公式可得，进而根据余弦定理求解即可. 【详解】（1）由可得, 由于,故， （2），故， 进而，故 38．在中，，，的对边分别为，，，若，是方程的两个实数根，且的面积为，则的大小是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】根据题意，得， 则，解得或． 39．在中，． (1)若为边中点，求长； (2)若为角的角平分线，求长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角，利用三角恒等变换可得，求得，由题意可得，两边平方即可求解； （2）利用，可求得长． 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得， 所以， 所以， 所以，因为，所以， 所以，所以，又，所以； 若为边中点，则， 所以， ， 所以，所以长为； （2）由（1）知，因为为角的角平分线，所以， 因为，所以， 所以，即， 解得, 40．已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，利用两角和的正弦公式化简并计算即可得； （2）借助余弦定理、面积公式与基本不等式计算即可得. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 即， 所以， ， 因为，所以， 因为，所以； （2）， 由余弦定理得， 化简得，又因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 所以，故的面积最大值为. 41．已知分别是的角所对的边，且. (1)求； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理对已知式进行边角互化，并根据余弦定理求得，从而得到； （2）由已知条件求出，再根据三角形面积公式求得的面积. 【详解】（1）由及正弦定理得 ，所以， 由余弦定理得， 因为，所以. （2）， 因为，所以， 解得， 所以. 42．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦定理、三角形面积公式及正弦定理边化角求解． 【详解】在△ABC中，，而， 由，得，又，，则， 由正弦定理得，解得，由，得， 所以． 考点08 正余弦定理的实际应用 43．如图所示，有两座建筑物AB和CD都在河的对岸（不知道它们的高度，且不能到达对岸），某人想测量两座建筑物尖顶A、C之间的距离，但只有卷尺和测角仪两种工具．若此人在地面上选一条基线EF，用卷尺测得EF的长度为a，并用测角仪测量了一些角度：，，，，．请你用文字和公式写出计算A、C之间距离的步骤和结果．    【答案】答案见解析 【分析】先利用正弦定理求，再由余弦定理求即可. 【详解】第一步：在中，利用正弦定理，得，解得； 第二步：在中，同理可得； 第三步：在中，利用余弦定理，得． 44．如图，一架飞机以的速度，沿北偏东的航向从A地出发飞往B地，飞行了后到达E地，由于天气原因该飞机按命令改飞C地，已知，，，且，．（参考数据：）    (1)求； (2)收到命令时飞机应该沿什么航向飞行？E地离C地的距离是多少？ 【答案】(1)60° (2)收到命令时飞机应该沿南偏东的航向飞行，E地离C地． 【分析】(1)在中使用余弦定理得出及 (2)在中使用余弦定理得出及，再在中使用余弦定理得出及． 【详解】（1）连接，在中由余弦定理得 ， ， 又，， ，即， ．    （2）连接，则由及 得：， ， ， 在中，由余弦定理，得：， 则， 又，则是等腰三角形，且， 由已知有， 在中，由余弦定理得： ， 又，则． 由飞机出发时沿北偏东方向飞行得：飞机由E地改飞C地的方向角为南偏东． 答：收到命令时飞机应该沿南偏东的航向飞行，E地离C地． 45．如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于南偏东，距离为的海面处，并以的速度沿北偏西的方向移动．如果台风侵袭的范围是半径为的圆形区域．则该城市开始受到台风侵袭的时间为（    ） A．5小时后 B．10小时后 C．15小时后 D．20小时后 【答案】B 【分析】由题意km，根据方位角关系可得，利用余弦定理建立关于的方程求解即可. 【详解】设小时后台风中心移动到点，此时城市开始受到台风侵袭，即km， 已知，台风速度为，因此， 根据方位角关系可得， 在中，由余弦定理：， 代入数值， ， 化简得：，解得或， 依题意开始受到侵袭的时间，取较小值. 46．如图，A、B是某海域位于南北方向相距海里两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时．求B、C两点间的距离为（      ） A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里 【答案】A 【详解】在中，，，则， ， 由正弦定理得 （海里）． 则B、C两点间的距离为海里. 47．如图所示，一艘船以km/h的速度大小向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东，航行h后，船在B处，看到这个灯塔M在北偏东，这时船与灯塔的距离为多少km? 【答案】 【分析】根据题意，在中，求得，且，结合正弦定理，即可求解. 【详解】根据题意，可得，， 且， 在中，由正弦定理，可得， 所以. 48．某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东75°方向上，两地相距海里；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西60°方向上，两地相距4海里．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东30°方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是________海里． 【答案】 【分析】根据方位角确定四边形中相关内角，借助正余弦定理计算即可. 【详解】由题意可知， 在中，利用正弦定理可知， 在中，由余弦定理可知， 即2号灯塔与乙地之间的距离是海里. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $