高一数学下学期期末模拟卷（人教A版必修第二册全部，高效培优·强化卷）

**基本信息** 以必修第二册知识为核心，通过圣·索菲亚教堂高度估算、九宫格数独等真实情境，考查数学抽象、几何直观与数据观念，实现基础巩固与创新应用的统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数共轭、线面关系、统计量计算、互斥事件概率|第7题结合建筑测量考查解三角形，体现几何直观| |填空题|3题15分|复数运算、数独概率、正三棱台轨迹|第13题以九宫格数独为背景，考查古典概型，渗透数据观念| |解答题|5题77分|频率分布直方图、独立事件概率、解三角形、立体几何证明|第19题结合游戏活动设计概率问题，考查数学思维与实际应用能力|

2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 强化卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册全部。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 2．若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则m与n相交 3．经过简单随机抽样获得的样本数据为，，…，，且数据，，…，的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（   ） A．； B．若，则所有的数据都为0； C．若，则的平均数为6； D．若，则的方差为12； 4．已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 5．在中，内角所对的边分别为，且，则（   ） A． B．或 C．60° D．或 6．设、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，某同学为了估算圣·索菲亚教堂的高度，在圣·索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得教堂顶C的仰角为，则估算圣·索菲亚教堂的高度约为（   ） A． B． C． D． 8．已知的内切圆圆心为，半径，且满足是内切圆上一动点，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．学校进行某项测评，满分10分，学生得分均为整数，其中高一年级1班和2班两个班级学生的得分分布条形图如下： 则下列说法正确的有（   ） A．1班学生得分的平均分小于2班学生得分的平均分 B．1班学生得分的方差小于2班学生得分的方差 C．1班学生得分的中位数小于2班学生得分的中位数 D．1班学生得分的第80百分位数等于2班学生得分的第80百分位数 10．下列说法正确的有（   ） A．数据的分位数是23 B．抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上的点数为1或4”，事件“向上的点数是奇数”，则 C．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 D．数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为27 11．如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则（   ） A．的长度范围是 B．存在点P，M，使得平面与平面平行 C．存在点P，M，使得二面角大小为 D．当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知a是实数，并且是实数，则______． 13．九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏，某九宫格如图所示，小王需要在九宫格上填上1至9中不重复的整数，小王通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，a，b，c，d，e这5个数字未知，且b，d为奇数，则的概率为__________. 14．已知正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，点在侧面内运动（包含边界），且直线与平面所成角的正切值为，则动点的轨迹长度为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）为了解学生对两家餐厅的满意度情况，现从在两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较两家餐厅满意指数的平均数的大小； (3)若餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差，第四组满意指数的方差，求在餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差. （注：本题计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 16．（15分）甲、乙两位同学独立地参加某大学少科班的入学面试，入学面试共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对第1道和第2道题目的概率都是，答对第3道题目的概率是，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立.记“甲只回答2道题就结束面试”为事件，记“乙3道题都回答且通过面试”为事件. (1)求事件“甲只回答2道题且通过”的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率. 17．（15分）设分别为三个内角的对边，且 (1)求角的大小； (2)已知，，求的面积. 18．（17分）如图，已知在四面体中，，. (1)求证：直线在平面上的射影平分； (2)记直线与平面所成的角为，求证：； (3)若，，二面角为直二面角，求棱的长度的取值范围. 19．（17分）不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5. (1)现从盒子里随机取出2个小球，记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，当时，分别求事件的概率； (2)某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签. 游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜； 游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为时获胜. 小明同学决定先玩游戏一， （i）当时，求接下来先玩游戏二获得书签的概率？ （ii）当n为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大？ 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 强化卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册全部。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 且，故选项C正确. 2．若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则m与n相交 【答案】C 【详解】对于A，B，若，则m与n可能平行、相交或异面，故A，B错误； 对于C，D，若，，则，且m与n可能相交，也可能异面，故C正确，D错误． 3．经过简单随机抽样获得的样本数据为，，…，，且数据，，…，的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（   ） A．； B．若，则所有的数据都为0； C．若，则的平均数为6； D．若，则的方差为12； 【答案】D 【详解】对于A：，错误； 对于B：数据，，…，的方差时，说明所有的数据，，…，都相等，但不一定为0，错误； 对于C：数据，，…，的平均数为，数据的平均数为，错误； 对于D：数据，，…，的方差为，数据的方差为，正确. 4．已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ． 5．在中，内角所对的边分别为，且，则（   ） A． B．或 C．60° D．或 【答案】A 【详解】，，， ，，， ，或， ，不符合题意，，故选项为A. 6．设、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，， 由题意可得，解得， 由互斥事件的概率公式可得， 由题意可得，解得， 故的取值范围是. 故选：A. 7．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，某同学为了估算圣·索菲亚教堂的高度，在圣·索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得教堂顶C的仰角为，则估算圣·索菲亚教堂的高度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，，， ∴． 在中，． 在中，由正弦定理得， ∴． 在中，． 8．已知的内切圆圆心为，半径，且满足是内切圆上一动点，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，易知是重心， 又已知的内切圆圆心为，所以也是内心， 由三线合一可知是等边三角形. 如图，以为坐标原点，所在直线为y轴，平行于的直线为轴， 建立平面直角坐标系， 则，， 所以， 所以 ， 当时，取得最小值，最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， 所以取值范围是 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．学校进行某项测评，满分10分，学生得分均为整数，其中高一年级1班和2班两个班级学生的得分分布条形图如下： 则下列说法正确的有（   ） A．1班学生得分的平均分小于2班学生得分的平均分 B．1班学生得分的方差小于2班学生得分的方差 C．1班学生得分的中位数小于2班学生得分的中位数 D．1班学生得分的第80百分位数等于2班学生得分的第80百分位数 【答案】AC 【详解】从条形图中提取数据： 1班：5分4人，6分18人，7分10人，8分8人，9分6人，10分4人，总人数 人. 2班：5分0人，6分8人，7分12人，8分18人，9分8人，10分4人，总人数 人. 1班平均分： 2班平均分： 显然 ，A选项正确. 1班方差： 2班方差： ，故B错误. 1班：50人，故第25、26人均为7分，中位数为7；2班：故第25、26人均为8分，中位数为8.，故C正确. 1班：，第40人得分8分、第41人得分9分，故第80百分位数为. 2班：，第40、41人均为9分，第80百分位数为9. ，故D错误. 故选：AC 10．下列说法正确的有（   ） A．数据的分位数是23 B．抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上的点数为1或4”，事件“向上的点数是奇数”，则 C．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 D．数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为27 【答案】BCD 【详解】对于A，将按从小到大的顺序排列为，因为，所以分位数是第7和第8个数据的平均数，即，故A错误； 对于B，由题意知事件“向上的点数为奇数或4”，所以，故B正确； 对于C，从中任选2名同学参加演讲比赛，有“两名男生”“一名男生一名女生”“全是女生”三种情况，而“至少一名男生”包含“两名男生”“一名男生一名女生”，所以“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件，故C正确； 对于D，根据平均数与方差的性质可知，的平均数为，方差为，故D正确. 故选：BCD. 11．如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则（   ） A．的长度范围是 B．存在点P，M，使得平面与平面平行 C．存在点P，M，使得二面角大小为 D．当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为 【答案】BC 【详解】解：对于A，易知点到侧面的距离为2，故，故A错误； 对于B，当M为中点，P为中点时， 连接、，结合正方体的结构特征有， ，又平面，平面，则平面PBD， ，又平面，平面，则平面， 又且都在面内，则平面平面 故B正确； 对于C，在正方体中，可得平面， 因为平面，平面，所以， 所以二面角的平面角为，其中，所以C正确； 对于D，取中点E，连接PE，ME，PM，则平面， 根据线面垂直的性质有，则， 则点M在侧面内运动轨迹为以E为圆心半径为2的劣弧， 分别交AD、于、，则， 则，劣弧的长为，故D错误． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知a是实数，并且是实数，则______． 【答案】 【详解】依题意，， 由是实数，得，所以. 故答案为： 13．九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏，某九宫格如图所示，小王需要在九宫格上填上1至9中不重复的整数，小王通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，a，b，c，d，e这5个数字未知，且b，d为奇数，则的概率为__________. 【答案】/ 【详解】根据题意，小王需要再9个小格子中填上中不重复的整数， 小王通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字， 且这5个数字未知，为奇数， 这个试验的等可能结果用下表表示： 2 2 6 6 8 8 2 2 6 6 8 8 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 6 8 2 8 2 6 6 8 2 8 2 6 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 8 6 8 2 6 2 8 6 8 2 6 2 共有12种情况，即基本事件的总数为， 其中包含着种，即， 所以的概率为. 故答案为：. 14．已知正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，点在侧面内运动（包含边界），且直线与平面所成角的正切值为，则动点的轨迹长度为______． 【答案】 【详解】将正三棱台补全为三棱锥， 则三棱锥为棱长为3的正四面体， 如图（一）所示.设点在侧面的射影为点，可得， 取点为的中点，可求得，，， 为的中心， 又直线与平面所成角的正切值为，所以， 在等腰梯形内（含边界），动点的轨迹为到的距离为1的圆弧与圆弧， 为的中心， 由对称性可知为正六边形， ，， 如图（二）所示，所以动点的轨迹长度为．    故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）为了解学生对两家餐厅的满意度情况，现从在两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较两家餐厅满意指数的平均数的大小； (3)若餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差，第四组满意指数的方差，求在餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差. （注：本题计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）餐厅样本容量为50，区间频数为15，对应频率为， 频率分布直方图组距为2，故. 所有区间频率和为， 即，解得， 所以. （2）餐厅满意指数平均数； 餐厅满意指数平均数. 因为，所以餐厅满意指数的平均数大于餐厅满意指数的平均数. （3）餐厅第三组频率为0.4，人数为，平均数7，方差2； 第四组人数为，平均数9，方差1， 混合数据平均数， 方差 . 16．（15分）甲、乙两位同学独立地参加某大学少科班的入学面试，入学面试共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对第1道和第2道题目的概率都是，答对第3道题目的概率是，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立.记“甲只回答2道题就结束面试”为事件，记“乙3道题都回答且通过面试”为事件. (1)求事件“甲只回答2道题且通过”的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由题可得（甲只回答2道题且通过）； （2）由题可得， 若事件发生，则乙前两题对一题，错一题，第三题答对， ， 由题意可知事件相互独立， 所以； （3）记甲没有通过面试为事件， 包括前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况， 则甲没有通过面试的概率为 则甲通过面试的概率为， 乙通过面试的事件记为，则概率为， 乙没有通过面试概率为， 由题意可知事件相互独立，甲、乙两人恰有一人通过面试的事件记为， 则概率为. 17．（15分）设分别为三个内角的对边，且 (1)求角的大小； (2)已知，，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为， 根据余弦定理可得，即， 所以代入可得， 化简可得， 由正弦定理可得， 因为是的内角，所以，即， 因为，所以. （2）因为，，， 由余弦定理可得， 代入可得，化简可得，即， 因为，所以， 因此. 18．（17分）如图，已知在四面体中，，. (1)求证：直线在平面上的射影平分； (2)记直线与平面所成的角为，求证：； (3)若，，二面角为直二面角，求棱的长度的取值范围. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【详解】（1）如图，过点作平面交平面于点，连接， 则直线为直线在平面内的射影. 在平面内，过点作交于点， 过点作交于点，连接、. 因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可证. 又，，所以，所以. 又，所以，所以， 即为的角平分线，故直线在平面上的射影平分. （2）由（1）可知，，，. 所以，即. （3）如图所示，在平面中，作交于点， 因为二面角为直二面角，即平面平面， 又因为平面平面，，平面， 由面面垂直的性质定理得：平面，由（1）知平分. 设，在中，因为， 所以. 即，所以①， 又由（2）得：，所以②， 将②代入①得：，即，所以. 又，所以，故棱的长度的取值范围为. 19．（17分）不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5. (1)现从盒子里随机取出2个小球，记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，当时，分别求事件的概率； (2)某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签. 游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜； 游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为时获胜. 小明同学决定先玩游戏一， （i）当时，求接下来先玩游戏二获得书签的概率？ （ii）当n为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大？ 【答案】(1)，(2)（i）；（ii）5，6，7 【详解】（1）解：对于事件，有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为，所以， 所以. 对于事件，不放回地依次取出两个球的样本空间 ， 则，因为，所以， 所以. （2）解：（i）设“先玩游戏二时，获得书签”，“先玩游戏三时，获得书签”， 记事件“从盒子中随机取出一个球，取到白球”，的样本空间为， 则，所以． 则互斥，相互独立， 所以 由（1）知，当时，，， , 所以当时，接下来先玩游戏二获得书签的概率为. （ii）由（i）知． 同理，互斥，相互独立， ． 因为，所以，解得． 仿照（1）中的方法得，当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 所以，当对应的均为，大于，满足题意； 对应的均为，小于，不满足题意． 因此，符合题意的的取值为5，6，7． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 强化卷·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C C D D A A D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC BCD BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）餐厅样本容量为50，区间频数为15，对应频率为， 频率分布直方图组距为2，故. 所有区间频率和为， 即，解得， 所以.（4分） （2）餐厅满意指数平均数； 餐厅满意指数平均数. 因为，所以餐厅满意指数的平均数大于餐厅满意指数的平均数.（9分） （3）餐厅第三组频率为0.4，人数为，平均数7，方差2； 第四组人数为，平均数9，方差1， 混合数据平均数， 方差 .（13分） 16．（15分） 【解析】（1）由题可得（甲只回答2道题且通过）；（2分） （2）由题可得，（4分） 若事件发生，则乙前两题对一题，错一题，第三题答对， ，（6分） 由题意可知事件相互独立， 所以；（8分） （3）记甲没有通过面试为事件， 包括前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况， 则甲没有通过面试的概率为 则甲通过面试的概率为，（12分） 乙通过面试的事件记为，则概率为， 乙没有通过面试概率为， 由题意可知事件相互独立，甲、乙两人恰有一人通过面试的事件记为， 则概率为.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）因为， 根据余弦定理可得，即， 所以代入可得， 化简可得，（4分） 由正弦定理可得， 因为是的内角，所以，即， 因为，所以.（7分） （2）因为，，， 由余弦定理可得， 代入可得，化简可得，即， 因为，所以， 因此.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）如图，过点作平面交平面于点，连接， 则直线为直线在平面内的射影. 在平面内，过点作交于点， 过点作交于点，连接、. 因为平面，平面，所以，（4分） 又因为，，、平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可证. 又，，所以，所以. 又，所以，所以，（7分） 即为的角平分线，故直线在平面上的射影平分. （2）由（1）可知，，，. 所以，即.（10分） （3）如图所示，在平面中，作交于点， 因为二面角为直二面角，即平面平面， 又因为平面平面，，平面， 由面面垂直的性质定理得：平面，由（1）知平分. 设，在中，因为， 所以.（4分） 即，所以①， 又由（2）得：，所以②， 将②代入①得：，即，所以. 又，所以，故棱的长度的取值范围为.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）解：对于事件，有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为，所以， 所以. 对于事件，不放回地依次取出两个球的样本空间 ， 则，因为，所以， 所以.（6分） （2）解：（i）设“先玩游戏二时，获得书签”，“先玩游戏三时，获得书签”， 记事件“从盒子中随机取出一个球，取到白球”，的样本空间为， 则，所以．（8分） 则互斥，相互独立， 所以 由（1）知，当时，，， , 所以当时，接下来先玩游戏二获得书签的概率为.（12分） （ii）由（i）知． 同理，互斥，相互独立， ． 因为，所以，解得． 仿照（1）中的方法得，当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 所以，当对应的均为，大于，满足题意； 对应的均为，小于，不满足题意． 因此，符合题意的的取值为5，6，7．（17分） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $