专题05 空间立体几何线、面、距关系（十大高频考点）（高效培优期末专项训练）数学人教A版高一必修第二册

**基本信息** 聚焦空间立体几何线面距关系，以10大考点构建从几何体度量到空间角距离的递进式训练，覆盖计算、证明、探究等多元题型，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何体表面积与体积|15题|结合祖暅原理、玉琮等文化背景，考查棱柱、锥、台、球及组合体计算|从基本几何体概念到体积公式推导，形成“公式应用-割补转化”逻辑链| |平行垂直证明|10题|正方体、四棱锥等载体，涉及线线、线面、面面关系证明|以线面平行/垂直判定定理为核心，构建“线线→线面→面面”推理体系| |空间角与距离|25题|异面直线角、线面角、二面角及点面距计算，含动态探究|从静态度量到动态变化，体现“几何直观-空间向量-转化思想”的解题路径|

专题05 空间立体几何线、面、距关系 考点01棱柱、棱锥、棱台表面积与体积 考点02圆柱、圆锥、圆台表面积与体积 考点03球的表面积与体积 考点04证明面面、线面及线线平行 考点05证明面面、线面及线线垂直 考点06异面直线所成角的考察 考点07求点面、面面距离 考点08 空间几何体的表面积与体积 考点09求线面角 考点10 求二面角以及利用二面角求线段长度或距离 考点01棱柱、棱锥、棱台表面积与体积 1．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个等高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（   ）. A．7 B．10 C．7π D．10π 【答案】A 【分析】利用祖暅原理将不规则几何体体积转化为正四棱台体积. 【详解】正四棱台的上底面边长为，故上底面积； 下底面边长为，故下底面积，棱台高 所以. 2．在直三棱柱中，点满足，若经过，，三点的平面将棱柱分为，两部分的体积较小，则与的体积之比为（ ） A．4∶5 B．5∶7 C．10∶17 D．8∶19 【答案】D 【分析】根据，确定点的位置，经过，，三点的平面将三棱柱分为两部分，通过补形确定经过三点的平面，利用棱柱、棱台的体积计算方法，得到，两部分的体积，最终求得比值. 【详解】取的中点，连接，； ，，即点在线段上，. 过点作，分别交，于点，. 平面是过点，，三点的平面. 设，直三棱柱的高为. . ，，； ； 直三棱柱被平面分成，两部分的体积较小）， ，则； . 3．正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是（   ） A． B． C．28 D．56 【答案】A 【分析】将正四棱台补成正四棱锥，根据长度比例关系结合锥体的体积运算求解即可. 【详解】将正四棱台补成正四棱锥，O为底面中心，如图所示， 则，，可得，， 所以该棱台的体积是. 4．已知圆锥的母线长为，侧面展开所成扇形的圆心角为，则此圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长列方程求出，进而求出高，利用圆锥体积公式即可求解. 【详解】设圆锥底面圆的半径为， 因为圆锥的母线长为，侧面展开所成扇形的圆心角为， 所以，解得， 所以圆锥的高为， 所以此圆锥的体积为. 5．一个棱长为6的正四面体状封闭玻璃容器（壁厚忽略不计）内装有少量液体．如图，当容器倾斜至某一位置时，液面与过同一顶点的三条棱相交，交点到该顶点的距离分别为2，3，4．若将该容器放在一个水平桌面上，底面贴合桌面，则液面距离桌面的高度大约为（     ）． （参考数据：，） A．0.1 B．0.2 C．0.5 D．0.6 【答案】B 【分析】设原正四面体的体积为，液体体积为，正四面体的高为，放正后液面的高度为，由题意可得，计算正四面体的高，根据水平放置后，液面上方的正四面体与原正四面体相似，列式计算求解. 【详解】设原正四面体的体积为，液体体积为，正四面体的高为，放正后液面的高度为， 由题意可得， 如图所示，正四面体高， 水平放置后，液面上方的正四面体与原正四面体相似， 则，即， 所以. 考点02圆柱、圆锥、圆台表面积与体积 6．如图，圆柱的表面积为，AB，CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且四面体ABCD为正四面体，则该正四面体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 连接，，，因为四面体ABCD为正四面体， 所以，设， 在中，，，， 在，，， 故圆柱的表面积为， 解得. 故． 7．玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称：如图所示，圆筒内径长3 cm，外径长4 cm，筒高6 cm，中部是棱长为4 cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为__________； 【答案】 【分析】根据几何体的特点，结合长方体，圆柱体体积的计算公式，求解即可. 【详解】圆筒体积为底面半径2cm，高度为6cm的圆柱体的体积减去底面半径为cm，高度为6cm的圆柱体的体积， 故其体积； 中间部分的体积为棱长为4 cm的正方体的体积减去底面半径为2cm，高为4 cm的圆柱体的体积， 故其体积； 故玉琮的体积. 8．（多选）如图，是圆锥的底面圆的直径，点是底面圆上异于、的动点，点是母线上一点，已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则从点出发绕圆锥侧面一周到达点的最短长度为 B．该圆锥的体积为 C．该圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 D．三棱锥的体积的最大值为 【答案】ACD 【分析】将圆锥沿着展开，结合勾股定理判断A；利用扇形的侧面积公式求出圆锥的母线长，进而得出其高，结合锥体的体积公式判断B；由扇形的弧长公式判断C；求出面积的最大值，结合锥体的体积公式判断D. 【详解】对于C，由圆锥的侧面积为，得圆锥的母线长，侧面展开图弧长， 因此圆锥的侧面展开图的圆心角，C正确； 对于A，侧面展开图扇形圆心角，点在上且，则， 在展开后的扇形中，与（对应底面同一点）的圆心角为， 最短路径为线段，且，A正确； 对于B，设圆锥的高，该圆锥的体积为，B错误； 对于D，由圆的几何性质知，由勾股定理得， 由基本不等式得，则， 当且仅当，即当时取等号， 此时，因此，D正确. 9．陀螺也叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为4，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当圆锥在平面内转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则该圆锥的侧面积为（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出圆锥侧面展开扇形的圆心角，进而可求得母线长，再根据圆锥的侧面积公式即可得解. 【详解】由题意可得圆锥侧面展开扇形的圆心角为， 设圆锥的母线长为，则 该圆锥的侧面积为． 10．如图，在所有棱长均为的正四棱锥中，以为顶点的圆锥在此正四棱锥的内部（含表面），则该圆锥体积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正四棱锥的性质，求出棱锥的高，进而根据体积最大且高为定值得出最大半径，进而利用圆锥的体积公式计算圆锥体积的最大值． 【详解】已知正四棱锥的所有棱长均为，则底面为边长为的正方形， 作在底面的投影，连接， 则为圆锥底面的圆心和底面的中心，即为圆锥的高， ， 圆锥的高固定， 当底面半径最大时体积最大，底面半径的最大值为， ． 考点03球的表面积与体积 11．刘徽所著的《重差》是我国第一部测量学著作，其思想也为地图学提供了数学基础.现采用《重差》的方法测量一个球体建筑物的相关数据.如图，已知球体建筑物与水平地面的接触点（切点）为点，地面上A，B，C三点共线，且在三者中的最左侧.若在B，C处分别测得该球体建筑物的最大仰角为和，且，则根据以上测量数据可计算出该球体建筑物的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设可得如下截面图，设球半径为R，由平面几何知识可得，据此可得答案. 【详解】由题设可得如下截面图，设球心为O，过B，C两点的射线与球O相切于D，E. 连接，则，又， ，则，， 结合，则， ，， （单位：m）， 则该建筑物体积为：. 12．（多选）如图，已知正三棱锥的棱长均为6，点为点在底面上的射影，，分别为线段，的中点，过点作平面与平面平行，点为侧面上一动点（含边界），且，则（    ） A．平面截三棱锥所得截面的面积为 B．三棱锥的内切球的表面积为 C．点的轨迹长度为 D．过点的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为 【答案】ACD 【分析】作出平面截三棱锥所得截面，求其面积，判断A的真假；利用体积法求三棱锥的内切球半径，再求其表面积，判断B的真假；求点的轨迹，求其轨迹的长度，判断C的真假；确定点的平面截三棱锥的外接球所得截面圆半径的最小值，可得截面面积的最小值，判断 D的真假. 【详解】因为平面平面PBC，且平面平面， 过作 交于，则平面， 同理过作，分别交，于点，，过作交于，连接，则为平面截三棱锥所得的截面． 由题意，得 ，且，所以， 所以，故A正确； 因为，，所以. 设三棱锥的内切球的半径为， 由等积法得，解得， 故其表面积为，故B错误； 过作平面的垂线，垂足为，连接，则为的重心， 且，所以 ， 所以点Q的轨迹是以K为圆心，以2为半径的圆在△PBC内的部分（三段弧）， 因为每段弧的圆心角均为，故点Q的轨迹长为，故C正确； 设三棱锥的外接球的半径为，球心为， 所以， 当截面与垂直时，所得的截面圆的面积最小， 因为， 此时截面圆的半径为 ， 故截面面积为，故D正确． 13．已知圆台的上下底面半径分别为1和3，母线长为，则下列结论中正确的是（     ） A．圆台的轴截面是底角为的等腰梯形 B．圆台的侧面积是 C．若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为 D．圆台的体积为 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出圆台的高，利用圆台的结构特征求解判断A；求出圆台侧面积判断B；求出圆台外接球半径求解判断C；求出圆台体积判断D. 【详解】由圆台的上下底面半径分别为1和3，母线长为，得圆台的高为：， 对于A，圆台的轴截面是底角为的等腰梯形，A错误； 对于B，圆台的侧面积为，B错误； 对于C，依题意，球心在两底面圆的圆心确定的直线上，设球心到上底面的距离为，球半径为， 则，解得，该球的表面积为，C错误； 对于D，圆台体积为， D正确. 14．在三棱锥中,,,,则三棱锥的外接球的表面积为（） A．28π B．27π C．19π D．29π 【答案】D 【详解】如图,根据题意补全为长方体，三个长度为三个对面的对角线的长，设长、宽、高分别为, 则，所以， 所以，所以三棱锥的外接球的表面积为. 15．（多选）如图，在棱长为的正方体中，点为中点，动点在正方形内（含边界），则（     ） A．若，则点的轨迹长度为 B．若点为中点，过点、、的平面截该正方体，所得截面周长为 C．若点为中点，则三棱锥的外接球表面积为 D．若与的夹角为，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】选项A，结合勾股定理求出点的轨迹，利用圆的周长计算即可；选项B，作出截面，并求出截面周长，即可作出判断；选项C，取中点，连接，分析可得等腰的外接圆圆心在上，且外接圆半径为，再过点作底面的垂线，设为三棱锥的外接球的球心，结合底面，可得，进而求出外接球半径，再根据球的表面积公式求解判断即可；选项D，由题意知点在以为圆心，为半径的圆弧上，再利用对称性结合平面几何知识即可判断D. 【详解】对于A选项，因为平面，平面，所以， 因为，则， 则在以为圆心，半径为的四分之一圆周上，如图， 所以点的轨迹长度为，故A正确； 对于B选项，如下图所示： 延长分别交直线、于点、， 连接交于点，连接交于点，连接、， 所以五边形为所求截面， 因为为的中点，所以， 因为，所以， 又因为，故，所以， 因为，所以，所以， 由勾股定理可得， ，， 同理可得，，， 故截面周长为，故B正确； 对于C选项，如图所示，， 取中点，连接，则等腰的外接圆圆心在上， 所以外接圆半径，依题意易知，， 根据正弦定理可知，，则， 过点作底面的垂线，由于底面， 设为三棱锥的外接球的球心，则， 而，则，又， 则三棱锥的外接球的半径为， 所以三棱锥的外接球表面积为，故C错误； 对于D选项，因为平面，所以与的夹角为， 故，则， 所以点在以为圆心，为半径的圆弧上， 连接，由对称性可知，当点位于上时，最小，过作于， 在中，， 则，故， 如图在平面中，过点作于点， 则，当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确． 考点04证明面面、线面及线线平行 16．（多选）在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（    ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为 C．直线与直线为异面直线 D．三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【分析】取的中点，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A和B的正误；对C：根据异面直线的判定定理分析判断；对D，利用等体积法，即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接，，则， 且平面，平面，所以平面. 又因为是中点，则， 且平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面， 所以点的轨迹为线段（不含端点）. 对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确； 对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B错误； 对于C，因为平面，平面，， 所以直线与直线为异面直线，故C正确； 对于D，因为平面，点是棱的中点， 则，所以D正确； 17．如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)在上是否存在点使得平面平面，若存在，求出点的位置并给以证明，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在，当点是的中点时满足题意，证明见解析． 【分析】(1)根据线面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行，进行证明； (2)根据中位线和平行四边形中的平行性质，利用线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，通过线线平行，证明线面平行； (3)根据面面平行的判定定理，找动直线与面内直线平行时的位置，进行证明判断即可． 【详解】（1）证明：平面，且平面； 又因为平面平面，根据线面平行的性质可得，； （2） 证明：取PA的中点G，连接EG，BG； 因为E，G，为PD，PA中点，所以，且； 又因为，，所以，且； 所以为平行四边形；所以； 又因为平面，平面， 所以平面； （3） 在上存在的中点使得平面平面，证明如下： 取的中点，连接CF，EF； 因为E，F，为PD，AD中点，所以； 又因为平面，平面， 所以平面； 又因为平面，且，平面； 所以平面平面； 在上存在点使得平面平面． 18．在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】依据空间中线面平行、面面平行的判定定理与性质定理，逐一分析各选项的正误. 【详解】对A：若，，，则与的位置关系为平行或异面，故A错误； 对B：若，，则或，故B错误； 对C：若，，，由线面平行的性质定理可得，故C正确； 对D：若，，则与的位置关系为平行或相交，故D错误. 19．如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取中点，连、，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定即可证明； （2）先通过线面平行的判定证得面，再利用线面平行的性质证得. 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连、 ，又， ， 四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面；    （2）在梯形中，， 又平面，平面， 平面， 平面，平面平面， ，，. 20．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，点是棱上的一个动点（异于点，），若平面与棱交于点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与直线是异面直线 B．延长与直线交于点，延长与直线交于点，则、、三点共线 C．当平面时，点的位置不唯一 D．四棱锥的体积恒为定值 【答案】ABD 【分析】使用点、线、面的位置关系判断选项，等体积法，线面平行的性质定理判断选项. 【详解】因为平面平面，平面，但点不在直线上，故平面， 所以直线与直线是异面直线，选项正确； 延长与直线交于点，则点在平面内，也在平面内， 同理点在平面内，也在平面内，点在平面内，也在平面内， 故点、、在平面和平面的交线上，故、、三点共线，选项正确； 若平面，又平面，平面平面， 则，又因为，则四边形是平行四边形，所以， 由正方体的对称性，此时平面与棱、交于点、， ，，故点是的中点，选项C错误； ，因为三棱锥和三棱锥的底面积是定值（的面积），高等于点或点C到平面的距离为定值， 所以是定值，所以四棱锥的体积恒为定值，选项正确. 考点05证明面面、线面及线线垂直 21．（多选）如图，在正方体中，点在线段上运动（包括端点），则下列结论正确的是（    ） A．直线与是异面直线 B．直线平面 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．当直线与直线相交时，交点在靠近的三等分点处 【答案】BCD 【分析】对于A，由与是正方体对角面的两条对角线，可判断，对于B，证明平面平面，根据面面平行的性质，可得答案.对于C，根据异面直线夹角的定义，作图，结合等边三角形的性质，可得答案；对于D，通过平面，设垂足为，通过等体积计算，确定，可判断D. 【详解】 对于A，直线与是正方体对角面的两条对角线，故共面，A错误； 对于B，在正方体中， ，平面，平面， 平面， 连接，由正方体的性质可得， 因为平面，平面， 所以平面. 因为平面, 所以平面平面. 因为平面，所以平面，故B正确. 对于C，如图： 在正方体中，易知为等边三角形，则， ，或其补角为异面直线与所成角， 则异面直线与所成角的取值范围，故C正确； 对于D，连接，记， 在正方体中，平面， 平面，， 在正方形中，， ，平面，平面，平面，， 同理可得：， ，平面，平面， 又平面平面. 所以平面，设交点为， 所以直线与直线相交时，交点为， 又，设正方体棱长为2， 得， 得，又， 所以当直线与直线相交时，交点在靠近的三等分点处，D正确. 22．（多选）如图，在正方体中，M是BD的中点，N是线段上一动点，则下列说法正确的有（ ） A．三棱锥的体积随着点N的位置的改变而随之变化． B．无论点N在何处，始终有平面成立． C．直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为． D．平面BDN截得正方体的截面可能是三角形或四边形． 【答案】BCD 【分析】A选项，直角面积为定值，点N到平面的距离为定值，进而判断体积；B选项，平面即为平面 ，再结合正方体特点判断； C选项，作出辅助线，得到即为直线与平面所成角，设大小为，设，，分，和三种情况，得到的取值范围；D选项，当为的中点，和三种情况，画出平面BDN截得正方体的截面. 【详解】A选项，在点N的位置移动时，点N到平面的距离为定值， 等于正方体的棱长，且直角面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，不会随着点N的位置的改变而变化，A错误； B选项，平面ACN即为平面AC ，而正方体中必有平面；得到B正确； C选项，取的中点，连接，则⊥，过点作⊥于点， 则，故⊥平面， 所以即为直线MN与平面所成角，设大小为， 设正方体的棱长为2，则， 设，， 若，则， 由勾股定理得， 则， 当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为1，故， 若，此时平面，此时夹角为0，， 若，则， 由勾股定理得， 则， 显然，，， 此时， 综上，， 直线MN与平面所成角的正切值的取值范围为，C正确； D选项，当为的中点时，平面截得正方体的截面为正， 当时，延长交于点，连接， 则即为平面BDN截得正方体的截面， 当时，延长交于点， 在平面上，过点作平行于，交于点，连接， 则四边形即为平面BDN截得正方体的截面， 故平面截得正方体的截面可能是三角形或四边形，D正确. 23．（多选）在正四棱台中，，O为和的交点，平面内的点P到平面与平面的距离之积为，则（    ） A．该棱台的侧面积为 B．直线与所成的角为 C．该棱台的外接球的体积为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】求出斜高为再利用侧面积公式直接验证A项，利用异面直线夹角的求法直接求解B项；设上底面中心为，则 ，外接球球心必在中轴线​所在直线上，设外接球球心为，则，判断出球心在点下方列方程得到半径，利用球的体积公式即可验证C项；先验证点P到平面与平面的距离，分别为点到与的距离,设点到的距离为，设点P到的距离为，则，再利用基本不等式求解即可验证D项. 【详解】对于A项，记侧面斜高为，则， 则该棱台的侧面积为，故A正确； 对于B项，因为,所以为直线与所成的角， 在中，则， 故直线与所成的角为，故B正确； 对于C项，设上底面中心为，则 , 外接球球心必在中轴线​所在直线上，设外接球球心为， 半径为，令， 则， 若球心在和之间（棱台内部），则 则，解得，故球心不可能在棱台内部， 若球心在点下方，则， 则，解得，满足条件， 则，得到， 所以该棱台的外接球的体积为，故C错误； 对于D项，因为在正四棱台中,为中点，所以,, 又因为平面，，所以平面， 又因为平面，所以平面平面； 同理可得平面平面； 所以平面内的点P到平面与平面的距离，分别为点到与的距离,设点到的距离为，设点P到的距离为，则 过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为, 则四边形为矩形，则， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 24．如图，在以为顶点的五面体中，四边形为等腰梯形，，，平面，，，到平面的距离为． (1)求直线与所成的角的大小； (2)求五面体的体积； (3)若二面角的正切值为，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接将异面直线所成的角转化为与所成角可得； （2）将五面体分割成一个四棱锥和一个三棱锥，三棱锥通过顶点转换法可得体积，四棱锥再分割成三个体积相等的三棱锥，再将其中的一个小三棱锥用顶点转换法可得其体积，进而可得五面体的体积. （3）过棱的中点作棱的垂面，再过点作底面的垂线，通过二面角的正切值可判断点垂足在等腰梯形上下底的中点的连线上，且为中点，利用等体积法求点面距离，计算线面角可得. 【详解】（1）因为平面，平面，平面平面， 由线面平行性质得，因此异面直线与所成角等于与所成角. 在等腰梯形中，，，如图： 设两腰相交于，因为，所以分别是的中点， 所以，故是边长为的正三角形，，因此， 又在中，，，所以. 所以直线与所成的角为. （2）设为的中点，连接，如图： 由（1）知是边长为4的等边的一边上的高线，所以， 所以，， 又因为为的中点，所以. 由（1）知，且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以 所以，且到平面的距离为. 所以， 而， 所以五面体的体积. （3）过点作平面，垂足为，所以，连接，如图： 因为，为的中点，所以. 又因为平面，平面，所以 因为，，平面， 所以平面，平面，故. 所以就是二面角的平面角，故， 在直角三角形中，，， 得. 所以点在等腰梯形上下底的中点的连线上，且为中点， 所以, 设C到平面ADE的距离为h， 由，即． ,, ∴与平面所成角的正弦值为． 25．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．如图，三棱锥为鳖臑，平面，，，且三棱锥的外接球表面积为．    (1)求三棱锥体积的最大值； (2)在中，，． （i）当时，求证：； （ii）若与面所成角的正弦值为，求实数的值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）或 【分析】（1）把三棱锥放入长方体中，根据长方体外接球半径的求法列出相应方程，得 ，由棱锥的体积公式结合基本不等式可得三棱锥体积的最大值； （2）由（1）的结论，结合题意可得，（i）易得，由线面垂直的判定定理可证得平面，从而证得.（ii）利用等体积法可求得点到平面的距离，根据线面角的正弦值列出关于的方程，求解可得的值． 【详解】（1）因为平面，平面， 所以. 因为，所以. 又 平面，所以平面. 因为平面，所以. 如图，把三棱锥放入长方体中，可得其外接球为长方体的外接球. 设该外接球半径为，则 ，得 . 又长方体的外接球半径为， 所以 ，所以 . 三棱锥的体积为 ， 当且仅当时，等号成立. 所以三棱锥体积的最大值为.    （2）由（1）知， ，即，. 由，得 ，所以. （i）当时，，所以为的中点. 所以. 又平面，平面， 所以. 因为 平面， 所以平面. 因为平面，所以. （ii）三棱锥的体积等于的体积，记点到平面的距离为， 则 ， 得. 因为， 所以点到平面的距离为， 又， 所以与面所成角的正弦值为， 化简得， ， 所以或. 考点06异面直线所成角的考察 26．如图，在圆锥PO中，，B，C为圆O上的点，且，，若D为PC的中点，E为OB的中点，则异面直线DE与PB所成角的余弦值为______ 【答案】/ 【分析】取CO的中点G，取PO的中点F，连接EG，EF，DF，DG，找到异面直线所成的角或其补角即，然后找线面位置关系，求相关线段长，再利用余弦定理求解即可. 【详解】如图，取CO的中点G，取PO的中点F，连接EG，EF，DF，DG， 则，且，，则就是异面直线与所成的角或其补角． 易知平面，所以平面，所以. 因为，，所以， 所以由勾股定理得， 又，， 所以在△中，由余弦定理得， 故异面直线与所成角的余弦值为． 27．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，与，分别垂直，垂足为，且，是侧棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，与交于点，由中位线得证线线平行，然后得线面平行； （2）取中点，证明，从而得到异面直线与所成的角或其补角，然后由余弦定理求得余弦值，进而求得正弦值. 【详解】（1）连接，与交于点， 则为中点，又为中点，， 又平面，平面， 平面． （2）取中点，连接，、是、的中点，， 就是异面直线与所成的角或其补角， 在中，，，， 则， ， 所以直线与夹角的正弦值为. 28．如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点．    (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求证：点在直线上； (3)求证：、、、四点共面． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由已知得出是异面直线与所成的角或其补角，再得出是等腰直角三角形，即可求解； （2）由点线面的关系，结合面面交线的性质即可证明； （3）由三角形中位线证明即可证明． 【详解】（1）根据正方体的性质可知， 是异面直线与所成的角或其补角， ，分别是，的中点， ∴是等腰直角三角形， ，即异面直线与所成角的大小为． （2），平面， 平面， ，平面， 平面， 平面平面，即， 点在直线上． （3）连接，，，，因为，分别为，的中点，所以， 又因为正方体，，所以，所以、、、四点共面．    29．如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接,可得异面直线与所成角（或其补角）为,结合余弦定理求解即可. 【详解】取的中点，连接 因为分别为的中点， 所以,且,所以四边形为平行四边形， 则,所以异面直线与所成角为（或其补角）, 不妨假设正方体的边长为, 则,,, , 所以在中，由余弦定理可得：, 所以异面直线与所成角的余弦值为 30．在三棱锥中，底面是正三角形，且侧面均为正三角形．已知点E是棱的中点，则异面直线和所成角的余弦值为______ 【答案】 【详解】由已知得此三棱锥为正四面体，不妨设棱长为2，记中点为F， 因为点E是棱的中点，根据三角形中位线性质可知， 所以与夹角的余弦值即为异面直线和所成角的余弦值. 在中，，，由余弦定理． 所以异面直线和所成角的余弦值为.    考点07求点面、面面距离 31．已知，分别是棱长为的正方体的棱，的中点，为面的中心，则到平面的距离为________，四棱锥的体积为________． 【答案】 【分析】结合几何图形，将点到平面的距离转化为线到面的距离，进而求解棱锥的高，再利用等体积法求解. 【详解】如图所示，连接，交于点，连接，，过点作于点．    因为，且平面，平面，所以平面． 所以到平面的距离就是到平面的距离． 易知平面平面， 又平面平面， 所以平面， 所以等于四棱锥的高． 因为， 所以． 所以 . 32．已知菱形的边长为2，，平面ABCD外一点P在平面上的射影是与的交点O，是等边三角形． (1)求证：平面； (2)求点D到平面的距离； (3)若点E是线段上的动点，问：点E在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)点E在线段上靠近点D的四等份点处，此时最大角的正弦值， 【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）由已知可得，与都是边长为2的等边三角形，可求出，做，即可求出，结合即可求解； （3）由线面平行的判定定理可得平面，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交平面于点，要使角最大，则需使最小，此时， 由余弦定理可求，即可求得，从而求解． 【详解】（1）∵点P在底面上的射影是与的交点O， 所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形为菱形，所以， 因为，⊂平面， 所以平面． （2）由题意可得，与都是边长为2的等边三角形， ， 则 ， 所以， 作，所以， 则， 设点D到平面的距离为， 由，则 即 解得 故点D到平面的距离为 ； （3）设直线与平面所成的角为， 因为平面， 所以E到平面的距离即为D到平面的距离， 过E作垂线平面交平面于点，则， 此时 ,要使最大，则需使最小，此时 由题意可知 ， ∵平面，且 ， 所以 在△PAD中，由余弦定理可得： ， 所以 ， 则 ，， ，， 即点E在线段上靠近点D的4等份点处，此时. 33．（多选）如图，将棱长为4的正方体六个面的中心连线，可得到八面体，P为棱上一点，则下列四个结论中正确的是（    ） A．平面 B．八面体的体积为 C．的最小值为 D．点A到平面的距离为 【答案】ABC 【分析】证明依据线面平行判定定理判断A，棱锥体积公式求出，再根据八面体的体积等于棱锥体积的2倍，判断B，将几何体展开，利用余弦定理判断C，等体积法求点到面的距离判断D. 【详解】 在正方体中，连接，可知相交于点，且被互相平分， 故四边形是平行四边形， 所以，而平面，平面， 所以平面，故A正确； 因为正方体棱长为4，所以四边形是正方形且， 面，， 所以八面体的体积等于棱锥体积的2倍， 而棱锥体积等于， 故八面体的体积为，B正确； 因为为棱上一点，将和展开成一个平面， 由题和均为正三角形，且边长为， 由三角形两边之和大于第三边知最小值为， 在中由余弦定理可知 ，故C正确； 对于D选项：设点到平面的距离为， 由等体积法知 即， ，故D错误. 34．如图，，是圆柱上、下底面圆的直径，四边形是边长为2的正方形，是底面圆周上的一点，．则点A到平面的距离为________． 【答案】 【分析】运用等体积法变换三棱锥的顶点和底面解决问题。 【详解】因为四边形是边长为2的正方形，且， 所以，， 设点A到平面的距离为， 因为，所以， 所以，所以点A到平面的距离为。 故答案为：. 35．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，，为球O的直径且，则点到底面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，分析出球心O是的中点，且，求出，利用勾股定理证明，再利用线面垂直的判定定理证明平面，进而得到平面，即可求出点到底面的距离. 【详解】 设球的半径为，取的中点，连接. 三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球O的直径且， 球心O是的中点，，. 在中，，， 在中，，， 在中，，. 又，平面，平面， ，平面， 点到底面的距离为. 考点08 空间几何体的表面积与体积 36．在直三棱柱中，为等边三角形，平面，，，为的中点，是上一点，且由沿棱柱侧面经过棱到的最短路线长为，设这条最短路线与的交点为，求：    (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)与的长； (3)三棱锥的体积． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由展开图为矩形，用勾股定理求对角线长． （2）在侧面展开图中三角形是直角三角形，可以求出线段的长度，进而可以求出的长度，再由相似比可以求得的长度． （3）根据点到平面的距离结合三棱锥体积公式计算可得. 【详解】（1）正三棱柱的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形. 所以其对角线长为 （2）将该三棱柱的侧面沿棱展开，如图，      设，则． 因为，，，所以，即． 因为，故，即． 所以． （3）． 在三棱锥中，到面的距离. 即． 所以． 37．如图，在正四棱锥中，，，M为的中点. (1)求正四棱锥的表面积； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正四棱锥的性质可求得四个侧面三角形和底面的面积，进而可求表面积； （2）求出正四棱锥的高，利用三棱锥的体积与三棱锥的体积的关系可求解. 【详解】（1）由四棱锥是正四棱锥知， 四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，底面是正方形， 因为，，所以， ，， 所以表面积为. （2）因为棱锥是正四棱锥，所以点在底面的投影是正方形的中心， 设底面的中心为，连接，则底面， ，，， 因为M为的中点，所以到底面的距离是的一半， 所以三棱锥的体积是三棱锥体积的一半， ，， 所以. 38．在正方体的边长为2，为的中点.求 (1)三棱锥的体积； (2)三棱锥的表面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用锥体体积公式直接求解. （2）计算各个面的面积，相加即可. 【详解】（1）. （2）因为，， 中，，所以， 在中，，，, 由余弦定理，， 所以. 所以. 所以三棱锥的表面积为： 39．如图，正四面体棱长为4，E为的中点，，. (1)求四面体的表面积和体积； (2)求四面体的体积. 【答案】(1)表面积为； (2) 【分析】（1）根据几何体表面图形的特点可求表面积，结合体积公式可求体积； （2）利用几何体的体积比例关系可求答案. 【详解】（1）因为四面体为正四面体， 所以四面体的每个面都是棱长为4的正三角形， 且， 所以四面体的表面积为； 设正四面体的高为h，三角形的重心为O， 则， ∴. （2）因为是的中点， ∴. 因为，即点为的四等分点， ∴. 因为，即点为的三等分点 ∴ 所以， ∴. 综上所述，. 40．如图，在高为的正三棱柱中，，是棱上的点. (1)求该正三棱柱的表面积以及三棱锥的体积； (2)设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值，并求此时线段的长度. 【答案】(1)， (2)的最小值为，此时 【分析】（1）根据表面积、体积公式计算即可得； （2）将侧面绕旋转至与侧面共面，当、、三点共线时，有最小值，且此时与相似，计算即可得解. 【详解】（1），； （2）将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示： 当、、三点共线时，有最小值， 则， 此时与相似， 有，即，解得， 考点09求线面角 41．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点.    (1)求证：平面 (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接交于，连接，由线面平行的判定定理证明可得； （2）先由线面垂直证明，再由线面垂直的判定定理证明可得； （3）取中点为，连接，利用等体积法可得. 【详解】（1）证明：连接交于，连接，   是三角形中边上的中位线，， 又平面，平面，平面. （2）证明平面，平面，， 又四边形是矩形，，，，平面， 平面，平面，， 又是的中点，，， ，，平面，平面. （3）如图，取中点为，连接，    在中，，分别为线段，的中点， 故，，平面，平面， ， 由（2）得平面，平面，， ，，，又，， ， 设点到平面的距离为，直线与平面所成角为， 则，解得，故， 直线与平面所成角的正弦值为. 42．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明 平面，即可求证； （2）通过证明平面.得到即为所求的线面角，进而可求解. 【详解】（1）    由侧棱底面，底面，可得 ； 又已知，且， 平面， 根据线面垂直判定定理得： 平面， 因为平面，因此 ， 三棱柱中，，因此可得 ， 由， ，可知侧面是正方形，正方形对角线互相垂直， 因此 ，又， 平面， 根据线面垂直判定定理得 平面， 因为平面，所以 ，得证； （2）由题意可得平面，又平面，所以. 又为的中点，，所以. 因为，，平面， 所以平面. 所以直线在平面的射影为， 所以即为所求的线面角， 在中，，，为的中点， 所以. 在直角三角形中，， 故在直角三角形中，， 又，所以， 所以直线与平面所成角为. 43．如图，在三棱锥中，侧面底面，，是边长为2的正三角形，，E，F分别是，的中点，记平面与平面的交线为l． (1)证明：直线平面； (2)求与平面的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)1. 【详解】（1），分别是，的中点，； 平面，平面，平面； 平面平面，平面，. 平面底面，平面底面，，平面， 平面，平面. （2）设与平面的夹角为. 是的中点，平面即平面； 由（1）可知，平面，，平面. 与平面的夹角， . 即与平面的正弦值为1. 44．如图，在正三棱柱中，为的中点，. (1)证明：； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意可得平面，进而可得，又，进而可得平面，可证结论； （2）由（1）可证，利用已知计算可得，可得，利用线面垂直的判定定理可证结论； （3）由（2）得为直线与平面所成的角，计算求解即可. 【详解】（1）在等边中，因为为的中点，可得. 在正三棱柱中，可得平面， 又平面，所以. 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）由（1）得平面，因平面，则. 又，则， ，所以，可得， 因平面，故平面. （3）由（2）得平面，所以为直线与平面所成的角. 又，所以 所以直线与平面所成角的正弦值为 45．如图，在四棱锥中，分别是的中点，且底面是菱形． (1)求证：平面； (2)若平面，且，求直线与平面的夹角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）依据线面平行判定定理，构造平行四边形，推出平行于平面内的直线，结合不在平面内即可得证； （2）由底面及可得面，则为与面的夹角，由（1）知为直线与平面的夹角. 【详解】（1） 设中点为，又因为是的中点，所以且， 因为底面是菱形且是的中点，所以且， 所以且，所以四边形是平行四边形，所以， 因为，面，面，所以面. （2） 设中点为，又因为是中点，所以， 因为面，面，面，所以，. 又因为，所以，， 因为，，，面， 所以面，所以是直线与面的夹角. 又由（1）知，所以是直线与面的夹角， 由已知得三角形中，，，所以三角形是等腰直角三角形. 又因为是中点，故，因此直线与面的夹角为. 考点10 求二面角以及利用二面角求线段长度或距离 46．如图，在四棱锥中，，，，，，设，其中. (1)求证：平面平面； (2)若，求二面角的余弦的取值范围； (3)当时，求三棱锥的外接球体积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用线面垂直去证明面面垂直即可； （2）找到二面角的平面角，由余弦定理可求解； （3）由于是不规则四面体的外接球，转化为过三角形外接圆圆心作该面的垂线必过球心，来研究外接球半径即可. 【详解】（1）（1）因为，所以，则 且平面平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）由，知二面角的平面角即为. 在中，,，则由余弦定理得 ， 在中，由且，结合，可得， 故， 所以，所以， 所以的范围是， 即二面角的余弦的取值范围是. （3） 设和的外接圆圆心分别为和， 则球心为过点和且分别垂直于平面、平面的两直线的交点， 在中，因为，由余弦定理得， 再由正弦定理得的外接圆半径. 在中，由余弦定理得， 再由正弦定理得的外接圆半径. 过点作于，连接，设，显然四边形为矩形， 所以.所以， 即， 所以， 故当时，取得最小值，即， 此时三棱锥外接球的体积最小值为，此时 47．如图三棱锥中，，平面平面，平面平面. (1)证明：平面； (2)若二面角的正切值为2，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，线线垂直，证明出线面垂直； （2）作出辅助线，得到二面角的平面角，根据正切值得到各边长，求出三棱锥的体积. 【详解】（1）证明：在内任取一点P，过点P作于， 因为平面平面，平面平面，所以平面， 又平面，所以. 过作于，同理可得， 又平面，平面，， 所以平面. （2）过点作于，由平面平面， 平面平面知平面. 又平面，所以 再过点作于，连接， 因为 ， 平面， 则平面， 所以即为二面角的平面角. 所以， 又，故为等边三角形， 所以，， 故， 又中，，所以，故， 所以，又为等边三角形，故， 所以三棱锥的体积. 48．如图，在菱形中，，，将沿翻折至，连接构成四棱锥． (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值为． ①求的长； ②设在平面上的射影为，直线与交于点，为的中点，证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）利用菱形对角线互相垂直，得；再由翻折的不变性，得；结合，根据线面垂直判定定理证得结论； （2）① 由（1）的垂直关系，确定为二面角的平面角；在菱形中求出，翻折后；在中，用余弦定理直接计算； ②先由面面垂直性质确定在底面的射影在上，再通过相似三角形推出为的中点；接着利用中位线分别证明、，从而证得平面平面，最后由面面平行的性质得平面． 【详解】（1） 连接交于点，连接， 因为是菱形，所以，所以，， 因为沿翻折至，所以，且， 又平面，， 所以平面； （2）①由（1）知，，平面，平面， 所以是二面角的平面角，故， 菱形中，，，， 所以在中，， 故，即； ②由（1）知平面，因为平面，所以平面平面， 因为在平面上的射影为，平面平面，所以． 过点作平面的垂线，垂足为，连接并延长交于点，连接， 由①知，，，故，从而，， 因为与相似，所以，故， 所以为的中点， 因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，， 所以平面平面， 因为平面，所以平面． 49．已知四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，，点E是SD上的点，且．若二面角的大小为，求的值． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合线面垂直的性质，利用射影面积公式求二面角的方法列式求解. 【详解】 如图，设，连接EO， 由平面，平面，得， 由四边形ABCD是正方形，得，而，平面， 则平面，又点E是上的点，于是在平面内的射影是， 在平面内的射影是，设的面积分别为S和， 设二面角的大小为，则，由， 得，， 则，， 因此，， 则，解得. 50．如图，已知是的直径，点是上异于、的一点．设过点的直线垂直于所在的平面，且． (1)若为中点，为线段的中点，为线段上一点，且平面．求证：为线段中点，并求三棱锥的体积； (2)记二面角的平面角为，求的最小值，并指出其取得最小值时点的位置． 【答案】(1)证明见解析， (2)， 为中点. 【分析】（1）由线面平行的性质定理得到，即可求证，由平面，得到到平面的距离即为到平面的距离，结合体积公式即可求解; （2）过作，垂足为，确定即为二面角的平面角，结合通过确定的最大值即可求解. 【详解】（1）因为平面，在平面内，所以没有交点， 又因为都在平面内，所以， 在三角形中，因为为线段的中点， 所以为线段中点， 因为平面， 所以到平面的距离即为到平面的距离， 又平面，， 所以到平面的距离为， 又为等腰直角三角形， 所以， 所以三棱锥的体积; （2） 过作，垂足为， 因为平面，在平面内， 所以，又为平面内两条相交直线， 所以平面，又在平面内， 所以， 所以即为二面角的平面角， 在直角三角形中， ， 又为到距离， 所以，当为中点时取得最大值， 所以，当为中点时取得最小值， 即，当且仅当为中点时取得最小值. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题05 空间立体几何线、面、距关系 考点归纳 考点01棱柱、棱锥、棱台表面积与体积 考点02圆柱、圆锥、圆台表面积与体积 考点03球的表面积与体积 考点04证明面面、线面及线线平行 考点5证明面面、线面及线线垂直 考点06异面直线所成角的考察 考点07求点面、面面距离 考点08空间几何体的表面积与体积 考点09求线面角 考点10求二面角以及利用二面角求线段长度或距离 考点专练 考点01棱柱、棱锥、棱台表面积与体积 1.我国南北朝时期的数学家祖堩提出了计算几何体体积的祖堩原理：“幂势既同，则积不容异”意思是两个 等高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等，一个上底面边长为1，下底 面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体满足幂势既同”，则该不规则几何体的体积为(). A.7 B.10 C.7π D.10元 2.在直三棱柱ABC-A,B,C,中，点P满足3AP=AB+AC,若经过P,B,C三点的平面将棱柱分为T, 两部分「，的体积较小)，则工与2的体积之比为() A.4:5 B.5:7 C.10:17 D.8:19 3.正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是22，则该棱台的体积是() A.28V6 28 C.28 D.56 3 4,已知圆锥的母线长为V而，侧面展开所成扇形的圆心角为0 π，则此圆锥的体积为() A等 B.2n C.n 3 D. 3 5.一个棱长为6的正四面体状封闭玻璃容器（壁厚忽略不计）内装有少量液体.如图，当容器倾斜至某一 位置时，液面与过同一顶点的三条棱相交，交点到该顶点的距离分别为2,3,4.若将该容器放在一个水平 1/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 桌面上，底面贴合桌面，则液面距离桌面的高度大约为(). (参考数据：√6≈2.45,5≈1.44) A.0.1 B.0.2 C.0.5 D.0.6 考点02圆柱、圆锥、圆台表面积与体积 6.如图，圆柱O,O,的表面积为(4√2+4)π，AB,CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且四面体ABCD为 正四面体，则该正四面体的体积为() A.42 B. C.26 D.45 3 3 3 7.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器假定某玉琮中间内空，形状对称：如图所示， 圆筒内径长3cm,外径长4cm,筒高6cm,中部是棱长为4cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于 正方体的侧面，则该玉琮的体积为 cm'; -3 8.(多选)如图，AB是圆锥SO的底面圆O的直径，点C是底面圆O上异于A、B的动点，点M是母线 SB上一点，已知圆锥的底面半径为1，侧面积为4π，则下列说法正确的是() 2/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M B A.若BM=1,则从点B出发绕圆锥侧面一周到达点M的最短长度为5 B. 该圆锥的体积为5π C。该固锥的侧面展开图的圆心角大小为号 D.三棱锥S-ABC的体积的最大值为V 3 9.陀螺也叫作“冰尜(gá)”或“打老牛”.现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为4，将其放倒在一 平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当圆锥在平面内转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周， 则该圆锥的侧面积为() A.128元 B.100元 C.80π D.64π 10.如图，在所有棱长均为4的正四棱锥P-ABCD中，以P为顶点的圆锥在此正四棱锥的内部（含表面)， 则该圆锥体积的最大值为() D A. 8V5 B.8√2π C. 16 D.16π 考点03球的表面积与体积 11.刘徽所著的《重差》是我国第一部测量学著作，其思想也为地图学提供了数学基础现采用《重差》的 3/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 方法测量一个球体建筑物的相关数据如图，己知球体建筑物与水平地面的接触点（切点）为点A,地面上 A,B,C三点共线，且A在三者中的最左侧若在B,C处分别测得该球体建筑物的最大仰角为60和30°， 且BC=20m,则根据以上测量数据可计算出该球体建筑物的体积为() 60 30°7 A A.200m B.200W5 3 -πm C.4005 D.4000 3 m 12.(多选)如图，已知正三棱锥P-ABC的棱长均为6，点O为点P在底面ABC上的射影，G,M分别为 线段PO,PC的中点，过点G作平面a与平面PBC平行，点Q为侧面PBC上一动点（含边界），且 AQ=2V7,则() P M ↑G -B A.平面α截三棱锥P-ABC所得截面的面积为255 4 B.三棱锥P-ABC的内切球的表面积为√6π C.点Q的轨迹长度为2π D.过点M的平面截三棱锥P-ABC的外接球所得截面面积的最小值为9元 13.己知圆台的上下底面半径分别为1和3，母线长为2√2，则下列结论中正确的是() A.圆台的轴截面是底角为60°的等腰梯形 B.圆台的侧面积是10√2元 C.若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为30π D.圆台的体积为兮元 26」 14.在三棱锥A-BCD中，AB=CD=√15，AD=BC=2√5，AC=BD=√23，则三棱锥A-BCD的外接球的表 面积为() A.28π B.27π C.19元 D.29元 15.(多选)如图，在棱长为4的正方体ABCD-A,B,CD中，点E为AD中点，动点P在正方形A,BCD1内 4/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (含边界)，则() D P. B D E C B A.若AP=4√2，则点P的轨迹长度为2π B.若点F为CD中点，过点E、F、B的平面截该正方体，所得截面周长为4√3+2√2 C.若点P为4D中点，则三棱锥E-BCP的外接球表面积为！ B的夹角为)为线段BD上的动点，则PQ+3上 考点04证明面面、线面及线线平行 16.（多选)在棱长为2的正方体ABCD-AB,C,D,中，点P是棱BC的中点，点Q在正方形AAB,B内部（不 含边界)运动，若PQ∥平面ACC,A,,则() A D B 2 P C A.点Q的轨迹经过线段AB,的中点 B.点Q的轨迹长度为√2 C.直线PQ与直线AC为异面直线 D三棱锥Q-ACC的体积为定值专 17.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC1平面PAD,BC=AD,E是PD的中点. 2 M B 5/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：BC11AD: (2)求证：CE/I平面PAB; (3)在AD上是否存在点F使得平面CEF/I平面PAB,若存在，求出点F的位置并给以证明，若不存在，请 说明理由 18.在空间中，1，m是不重合的直线，α，B是不重合的平面，则下列说法正确的是() A.若1ca,mcB,a1Iβ，则11∥m B.若1∥m,mcB,则1∥B C.若m/B,mca,a∩B=l,则1∥m D.若m/1B,m/1a,则a/1B 19.图所示，在四陵锥P-A5CD中，底面4CD为梯形，BC14D,BC=号AD,面P8Cn面P4D= ,E是PD的中点， M (I)求证：CE/I平面PAB; (2)求证：111AD; 20.(多选)如图，在棱长为1的正方体ABCD-AB,CD,中，点E是棱CC上的一个动点（异于点C,C), 若平面BED,与棱AA,交于点F,则下列说法正确的是() B D B A.直线AE与直线BD,是异面直线 B.延长D,E与直线DC交于点P,延长DF与直线DA交于点Q,则P、B、Q三点共线 C.当AC/I平面BED,时，点E的位置不唯一 D.四棱锥B,-BED,F的体积恒为定值 考点05证明面面、线面及线线垂直 6/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 21.（多选)如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，点P在线段B,C上运动（包括端点），则下列结论正确的 是() D B D必内 B A.直线B,D与BD,是异面直线 B.直线AP∥平面DAC C.异面直线AP与A,D所成角的取值范围是 ππ 3’2 D.当直线AP与直线BD相交时，交点在靠近B的三等分点处 22.(多选)如图，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，M是BD的中点，N是线段CD,上一动点，则下列说法正 确的有(） A D B A.三棱锥N-BAA,的体积随着点N的位置的改变而随之变化. B.无论点N在何处，始终有BD⊥平面ACN成立. C.直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为[O,V2]: D.平面BDN截得正方体ABCD-A,B,CD,的截面可能是三角形或四边形 23.(多选)在正四棱台ABCD-A,B,CD,中，AB=2A,B,=2AA=4,O为AC和BD的交点，平面AACC内 的点P到平面ABD与平面C,BD的距离之积为 3,则() A.该棱台的侧面积为12√3 B.直线4与CD所成的角为写 C.该棱台的外接球的体积为14√10π D.OP的最小值为25 3 24.如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，四边形ABCD为等腰梯形，BC=4,AB=AD=CD=2 ,EF∥平面ABCD,AE=DE,EF=1,EF到平面ABCD的距离为√. 7/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B (I)求直线BD与EF所成的角的大小： (2)求五面体ABCDEF的体积： (3)若二面角E-AD-B的正切值为2，求CE与平面ADEF所成角的正弦值. 25.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖懦.如图，三棱锥A-BCD为鳖腸，AB⊥平 面8CD,4=3,∠4CD-=受，且三棱锥4-8CD的外接球表面积为21， E (I)求三棱锥A-BCD体积的最大值： (2)在△BCD中，BD=2CD,AE=EC. (i)当2=1时，求证：BE⊥AD; ()若DE与面ABD所成角的正弦值为V ,求实数元的值。 5 考点06异面直线所成角的考察 26如图，在圆锥P0中，P0=4,B,C为圆0上的点，且OB=2,∠B0C,若D为PC的中点，E 为OB的中点，则异面直线DE与PB所成角的余弦值为 -)B 27.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA与AB,AD分别垂直，垂足为A,且PA=2 ,E是侧棱PA的中点. 8/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B C (I)求证：PC∥平面BDE; (2)求直线PB与ED夹角的正弦值. 28.如图，已知E,F,G,H分别是正方体ABCD-A,BCD,的棱AB,BC,CC,CD的中点，且EF 与HG相交于点Q. D H A G D A E (I)求异面直线EF与A,B,所成角的大小； (2)求证：点Q在直线DC上： (3)求证：E、F、A、C四点共面. 29.如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，E为棱AB的中点，F为棱CC,的中点，则异面直线A,E与B,F所 成角的余弦值为() D C B D A E B A.5 4 D 30.在三棱锥A-BCD中，底面BCD是正三角形，且侧面均为正三角形.已知点E是棱BC的中点，则异 面直线AE和CD所成角的余弦值为 考点07求点面、面面距离 31.已知E,F分别是棱长为a的正方体ABCD-AB,CD,的棱AA,CC的中点，O为面A,BCD的中心， 9/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则O到平面B,EDF的距离为 ,四棱锥C-B,EDF的体积为 32.已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，平面ABCD外一点P在平面ABCD上的射影是AC与BD的 交点O,△PBD是等边三角形. A B (I)求证：AC⊥平面PBD; (2)求点D到平面PBC的距离： (3)若点E是线段AD上的动点，问：点E在何处时，直线PE与平面PBC所成的角最大？求出最大角的正 弦值，以及此时线段DE的长. 33.(多选)如图，将棱长为4的正方体六个面的中心连线，可得到八面体E-ABCD-F,P为棱BC上一 点，则下列四个结论中正确的是() A.AEI∥平面BCF B.八面体E-ABCD-F的体积为 3 C.EP+FP的最小值为2√6 D.点A到平面BCF的距离为√6 34.如图，AB,CD是圆柱上、下底面圆的直径，四边形ABCD是边长为2的正方形，E是底面圆周上的 一点，AE=1.则点A到平面DBE的距离为 B H 35.己知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC满足AB=2,∠ACB=90°，PA为球O的 10/15 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 直径且PA=4,则点P到底面ABC的距离为() A.√2 B.22 C.5 D.25 考点08空间几何体的表面积与体积 36.在直三棱柱ABC-A'B'C'中，ABC为等边三角形，AA⊥平面ABC,AB=3,AA'=4,M为AA'的 中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC'到M的最短路线长为√29，设这条最短路线与CC'的 交点为N,求： C' B M P B ()该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC与NC的长： (3)三棱锥C-MNP的体积. 37.如图，在正四棱锥P-ABCD中，AB=6,PB=5,M为PA的中点 D D B (1I)求正四棱锥P-ABCD的表面积； (2)求三棱锥B-MCD的体积 38.在正方体ABCD-A,B,CD,的边长为2，E为BC的中点.求 D B E (I)三棱锥D,-AED的体积； (2)三棱锥D-AED,的表面积 39.如图，正四面体棱长为4，E为AB的中点，AF=3FC,DG=2GA 11/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求四面体ABCD的表面积和体积； (2)求四面体AFEG的体积 40.如图，在高为2的正三棱柱ABC-AB,C,中，AB=2,D是棱AB上的点 B D (1)求该正三棱柱的表面积以及三棱锥D-AB,C的体积； (②)设E为棱BC,的中点，F为棱BB,上一点，求AF+EF的最小值，并求此时线段BF的长度 考点09求线面角 41,如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=4,AB=2,PA⊥平面ABCD,且M是 PD的中点 B (1)求证：PB/平面ACM (2)求证：AM⊥平面PCD; (3)求直线CD与平面ACM所成角的正弦值 42.如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，侧棱AA⊥底面ABC,AB⊥BC,D为AC的中点， AA AB=BC=2. 12/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A A B B (1)求证：AC,⊥A,B: (2)求直线BC与平面AA,C,C所成角的大小. 43.如图，在三棱锥P-ABC中，侧面PAC⊥底面ABC,AC⊥BC,△PAC是边长为2的正三角形， BC=4,E,F分别是PC,PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为1. B Q (I)证明：直线1⊥平面PAC; (2)求EF与平面ECA的正弦值. 44.如图，在正三棱柱ABC-A,B,C中，D为AB的中点，AA,=AB=4,B,E=3EB C B (I)证明：CD⊥AE; (2)证明：AD⊥平面CDE; (3)求直线AC与平面CDE所成角的正弦值 45.如图，在四棱锥P-ABCD中，E,F分别是AB,PC的中点，且底面ABCD是菱形. D 13/15 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)求证：EF/平面PAD; (2)若PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2,求直线EF与平面ABCD的夹角. 考点10求二面角以及利用二面角求线段长度或距离 46.如图，在四棱锥P-ABCD中，∠BCD=45°，AD=1,BC=√2，PD+CD=4, AD.CD=AD.AB=AD.PD=0,设PD=t,其中0<t<3. (I)求证：平面PAD⊥平面PCD; (2)若PC=3,求二面角P-AD-B的余弦的取值范围； 2 ()当∠PDC=了元时，求三棱锥P-BCD的外接球体积的最小值 47.如图三棱锥A-BCD中，AB=BC=CA=2,平面DAB⊥平面ABC,平面DAC⊥平面ABC 0 B (I)证明：DA⊥平面ABC: (2)若二面角A-CD-B的正切值为2，求三棱锥A-BCD的体积 48.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=2,将ABC沿AC翻折至△APC,连接PD,PB构成四棱 锥P-ABCD. (I)证明：AC⊥平面PBD; 、②)若三面角P-AC-B的余弦值为3 14/15 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①求PB的长： ②设P在平面ABCD上的射影为Q,直线CQ与AD交于E点，F为PB的中点，证明：EF∥平面PCD. 49.已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD=AD=a,点E是SD上的点，且 DE=1a(0<1≤1).若二面角C-AE-D的大小为60°，求1的值. 50.如图，己知BD是OO的直径，点C是⊙0上异于B、D的一点.设过点C的直线AC垂直于OO所在 的平面，且AC=BD=2. C (I)若C为BD中点，E为线段AC的中点，F为线段AD上一点，且EF∥平面BCD,求证：F为线段AD中 点，并求三棱锥F-BCD的体积； (2)记二面角A-BD-C的平面角为O,求tan0的最小值，并指出其取得最小值时点C的位置. 15/15