专题05 不等式与不等式组5大考点（期末真题汇编，广东专用）七年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 聚焦不等式与不等式组，汇编广东多地期末真题，覆盖概念性质、解法、应用及综合题，梯度分明且情境真实，适配初中数学期末复习。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|约20题|不等式概念、性质、解法|结合深圳气温、隧道限高考实际应用| |填空题|约10题|解集表示、参数取值|含“长度”定义等创新题型| |解答题|约15题|不等式组求解、应用与综合|应用题涉及低碳生活、乡村振兴，综合题引入“双整”“梦想解”新定义|

命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 专题05不等式与不等式组 ☆高频考点概览 考点01不等式的概念与性质 考点02一元一次不等式的解法 考点03一元一次不等式组 考点04一元一次不等式（组）的应用 考点05一元一次不等式（组）中的综合题 目目 考点01 不等式的概念与性质 1. (24-25八年级下·广东清远期末)在下列数学式子：①-2<0，②2x-5>0,③b=2,④x2-x,⑤ 3x+2y20中，是不等式的有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.（24-25七年级下·广东省潮州市饶平县·期末)下列各式是不等式的是() A.x+2>y-7 B.a+b C.x2-xy+y2 D.x=5 3.(23-24八年级下·广东省茂名市信宜市·期末)不等式0≤x<2的解() A.为0,1,2B.为0,1 C.为1,2 D.有无数个 4.(24-25七年级下·广东珠海期末)若a<b,则下列式子中一定成立的是() A.a+3>b+3B.a-3<b-3 C.-3a<-3b D.4b 33 5.(24-25七年级下·广东汕头期末)若m≤n,则下列不等式不一定成立的是() A.m+1≤n+1B.-2m≥-2n C.3m≤3n D.m2≤n2 6.(24-25七年级下·广东广州期末)若a>b,则下列各式中不一定正确的是() A.a+2xb+2 B.acxbc C.-3a<-3b D异号 7.（24-25七年级下·广东惠州期末)若a>b,则下列不等式成立的是() A.a+2<b+2 C.ac2>be2 D.a-1≤b-1 8.(23-24八年级下-广东期末)若不等式(m-3)y-1>0(m为常数，且m≠3)的解集为y<1, m-3’则 m的取值范围是 10.(24-25八年级下，广东·期末)2025年6月21日是我国二十四节气中的夏至，深圳当天最高气温是34℃ ,最低气温28℃，则这天气温（℃）的变化范围是() 1/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.1228 B.1≤34 C.t=31 D.28≤1≤34 11.(22-23八年级下·广东期末)交通法规人人遵守，文明城市处处安全.在通过隧道时，我们往往会看 到如图所示的标志，该标志表示车辆高度不超过4.5m,则通过该隧道的车辆高度xm)的范围可表示为() .om A.x≥4.5 B.x>4.5 C.x<4.5 D.0<x≤4.5 12.(24-25七年级下·广东肇庆期末)语句“x与y的和是非负数”用不等式表示为： 13.(24-25七年级下·广东省汕头市潮南区期末联考)先填空，再探究： (1)①如果a-b>0,那么a b: ②如果a-b=0,那么ab: ③如果a-b<0,那么ab: (②)由(1)你能归纳出比较α与b大小的方法吗？请用文字语言叙述出来； (3)用(1)的方法，你能否比较3x2-3x+7与4x2-3x+7的大小？如果能，请写出比较过程. 目目 考点02 一元一次不等式的解法 1.(24-25七年级下.广东省揭阳市惠来县期末)下列为一元一次不等式的是() A.x+y>-2 B.1+3<2 C.-2x=7 D. 2.(24-25八七年级下广东省云浮市期末)若(a-2)x--2<0是关于x的一元一次不等式，则a的值为 () A.2 B.-1 C.0 D.0或2 3.(24-25七年级下.广东期末)下列x的值是不等式x-1>0的解的是() A.x=2 B.x=1 C.x=0 D.x=-1 4.（24-25七年级下广东广州期末)如图，将不等式1-2x5的解集在数轴上表示出来，则■盖住的符号是 () 43克1012→ A.≥ B.≤ C.> D.< 5.(24-25七年级下·广东期末)不等式2x-3≤-1的解集在数轴上表示正确的是() 2/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.-10123 B.-10123 c.10123→ D102 6.(24-25七年级下·广东阳江期末)在平面直角坐标系中，若点Am-4,n+3)位于第四象限，则点 (mn,n-m)所在的象限为( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 x+2y=k-2 7.(24-25七年级下·广东韶关期末)若关于x,y的方程组 的解满足2x+y>-1,则k的取 x-y=0 值范围是() A.k>1 B.k>-1 C.k<1 D.k<-1 8.(24-25七年级下·广东期末)已知关于x的方程x+2k=4(x+k)+1有负数解，则k的取值范围是() A.k>-0.5B.k<-0.5 C.0<k<8 D.k>-4 9.（23-24七年级下·广东·期末)若关于x的不等式5x+m≥7x的正整数解是1、2、3、4.则m的取值范围为() A.m<10 B.m28 C.8≤m≤10 D.8≤m<10 10.(24-25七年级下·广东汕头期末)不等式5-3x<0的最小整数解是() A.3 B.2 C.1 D.0 1、（2425七年级下广东中山期末)不等式号号≤1的设大整安钢是《) A.8 B.4 C.3 D.-1 12.(24-25七年级下·广东汕头期末)若关于xG的二元一次方程组 2x+y=-3m+2 x+2y=4 的解满足x+y>- 2 ,则满足条件的m的所有非负整数值为 13.（24-25七年级下广东广州期末)解不等式：6-x-2)>3x,并把它的解集在数轴上表示出来. 54-3-2-1012345> 14.(24-25七年级下广东期末)解不等式，并把解集表示在数轴上：2二x≥6 25 15。(2425七年级下广东汕头期末)整式2}m的值为1若T的取值范围如图所示，求m的负整数位。 012 34567 目目 考点03 一元一次不等式组 3/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 3x-1>-4 1.(24-25七年级下·广东潮州期末)不等式组 2x≤r+2的解集在数轴上表示出来，正确的是() A. -3-2-10123 B.- -3-2-10123 C. 3201含 D.3201 x-a>2 2.(24-25七年级下.广东汕头期末)已知不等式组 x+1<b 的解集是-1<x<1,则(a+b)25=() A.2025 B.1 C.0 D.-1 x<2 3.(24-25七年级下·广东汕头期末)如果关于x的不等式组{ x+1<a 的解集是x<2,则a的取值范围是 () A.a>3 B.a<3 C.a≥3 D.a≤3 4.(24-25七年级下广东江门期末)如果不等式组 x>-1 的解集是x>-1,那么a取值范围是() x>a A.a>-1 B.a2-1 C.a≤-1 D.a<-1 x-4<0 5.(21-22七年级下·广东云浮期末)若关于x的一元一次不等式组 x+m≥6有解，则m的取值范围为() A.m>-2 B.m≤2 C.m>2 D.m<-2 x+a>0 6.(24-25七年级下·广东广州期末)若不等式组 1-2x≥x-5无解，则实数a的取值范围是() A.a≥-2 B.a<-2 C.a≤2 D.a≤-2 7.（23-24七年级下·广东广州期末)能够使-15≤3x-7<8成立的所有整数解的和是() A.4 B.7 C.9 D.12 8.(24-25七年级下·广东专题练习)若满足不等式-4<2x-1<8的最大整数解为a,最小整数解为b.则 a+b之值为() A.2 B.3 C.4 D.5 [2x+a≥0 9.(24-25七年级下·广东·期末)已知关于x的不等式组 至少有2个整数解，则2-α的取值范围 3x-3<9 是() A.-6≤2-a<6B.2-a≤6 C.2-a≤-6 D.2-a<-6 4/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 3x>5(x-2)+8 10.(24-25七年级下·广东广州期末)关于x的不等式组 a-x≤0 整数解共有3个，则a的取值范 围是() A.-3<a<-2B.-3≤a≤-2 C.-3<a≤-2 D.-3≤a<-2 x-a≥0 11.(24-25七年级下·广东期末)不等式组 的整数解共有4个，则a的取值范围是 1-2x>-3 12.(23-24七年级下·广东惠州期末)定义：把b-a的值叫做不等式组a≤x≤b的“长度”若关于x的一元一 x+a≥0 次不等式组 x-2a≤-31 解集的“长度”为3，则该不等式组的整数解之和为 x+y=-9-m 13.(24-25七年级下·广东江门期末)已知方程组 的解满足x为非正数，y为负数，则m的 x-y=1+3m 取值范围是 14.(22-23七年级下·广东潮州期末)已知方程组 y3a士S的解x为正数，y为非负数，给出下列结一 论：①-1<a≤1，②当a=时，x=y;③当a=-2时，方程组的解也是方程x+y=5+a的解，④若 3 0<x≤1，则2≤y<4.其中正确的是() A.①② B.②③ C.①④ D.②③④ 2x+y=-10 15.(23-24七年级下·广东·期末)已知关于x,y的方程组 x+2y=-3k-11 的解满足x≤0，y<0,若k为 整数，且关于k的不等式(3k+2)1<3k+2的解集为1>1，则k的值为() A.1 B.-1 C.-2 D.-3 2x+3≥3x 16.(24-25八年级下·广东河源期末)解不等式组： x+3x-1、1. 362 3x+2<x+6 17.(24-25七年级下·广东湛江期末)解不等式组： x,≤1+，把解集表示在数轴上，并写出它的 4 2 所有整数解 -5-4-3-2-1012345→ 5/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 8.245八年级下广东深圳期利解不等式组+4 并写出所有的非负整数解。 2x-7<3(x-2) 19.(24-25八年级下·广东·期末)下面是小明解不等式 1-2x+1200 3 的过程，请认真阅读并完成相应的 31-x)>2x-4② 任务 解：不等式①，去分母，得1-2x+3≥0，（第一步） 移项，合并同类项，得-2x≥-4，（第二步） 系数化为1，得x≥2，（第三步） 7 解不等式②，得x<5’(第四步) 所以原不等式组无解.（第五步） 根据以上材料，解答下列问题： (1)第一步去分母的依据是_ (②)在解答过程中，从第_步开始出错，错误原因是_ (3)解不等式组： 1-2x+120 3 3(1-x)>2x-4 20.(24-25七年级下·广东汕头期末)(1)在关于x,y的二元一次方程组 x-y=2 中，x>l,y<0,求a x+y=a 的取值范围 (2)已知x-2y=4,且x>8,y<4,求3x+2y的取值范围. 2x-y=-1 (3)已知a-b=m,在关于x,y的二元一次方程组 x+2y=5a-8中，x<0,y>0,化简 2a+b-3+m+3m-4+a+b 目目 考点04 元一次不等式（组）的应用 1.(24-25八年级下·广东期末)某企业要购进两款机器狗共5只.如图所示，已知CyberDog2单价是1.3 万元/只，UnitreeGo:2单价是1万元/只，且该企业购进两款机器狗的总费用不超过6.2万元，则 CyberDog2最多可以购进() 6/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Unitree Go 2 Cyber Dog 2 A.1只 B.2只 C.3只 D.4 2.（24-25七年级下·广东广州期末)铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160cm, 某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为70cm,长与宽的比为3：2，则该行李箱的长的最大值为 () A.18cm B.36cm C.54cm D.60cm 3.(24-25七年级下·广东广州·期末)小玲搭飞机旅游，已知她搭飞机产生的碳排放量为800公斤，为了弥 补这些碳排放量，她决定上下班时从驾驶汽车改成搭公交车已知搭公交车每移动1公里产生的碳排放量为 0.04公斤，驾驶汽车每移动1公里产生的碳排放量为0.17公斤假设小玲每天上下班驾驶汽车或搭公交车的 来回总距离皆为20公里，与驾驶汽车相比，要使减少产生的碳排放量超过她搭飞机产生的碳排放量，则她 至少要搭公交车上下班()天 A.310 B.309 C.308 D.307 4.（24-25七年级下·广东期末)现有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿 舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，则宿舍间数为 5.(24-25七年级下·广东阳江·期末)为了能更好地宣传中国传统文化，文创商店近期推出了许多新的文创 产品，其中邮票、冰箱贴等文创产品深受游客青睐.己知1套邮票的售价比1套冰箱贴的售价高18元，小 明购买了1套邮票和4套冰箱贴，一共花费了158元.临近期末考试，学校打算提前给学生准备奖品，计 划用1000元同时购买邮票和冰箱贴两种商品若千套， (1)求1套邮票和1套冰箱贴的售价. (2)该校打算购买邮票和冰箱贴共25套，最多能买多少套邮票？ 6.(24-25七年级下·广东肇庆期末)为响应国家的美丽乡村十百千万工程建设，打造和美特色，推动乡村 振兴.南街街道是从和美乡业、和美乡貌、和美乡建、和美乡风、和美乡境、和美乡智、和美乡治共7个 方面进行典型村创建.其中，为了全面开展绿美生态建设，需要购买甲、乙两种树苗进行栽植.已知乙种 树苗比甲种树苗每株贵2元，若购买60株甲树苗和40株乙树苗，共需480元. 7/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (①)求甲、乙两种树苗每株的价格 (2)从成活率上去考虑，调查统计发现，甲、乙两种树苗的成活率分别为90%和95%.若南街街道计划购买 甲、乙两种树苗共300株，并且要使这批树苗的成活率不低于93%.那么在树苗的选购中，最多能购买甲种 树苗多少株？ 7.(24-25七年级下·广东中山期末)【综合与实践】青青同学坚持每月记录家庭“碳足迹”，并且根据记录计 算出家庭每月消耗量和耗碳量的情况.为了让家庭暑假期间降低耗碳总量，他准备为家庭设计2025年8月 的“碳足迹”目标，绘制如下不完整的表 种类 消耗量 耗碳量估算方法 耗碳量 天然气 30m3 消耗量×1.9kg/m 57 kg 牛肉 kg 消耗量×33kgkg kg 鸡肉 kg 消耗量×2.8kgkg kg 用电 kW.h 消耗量×0.8kg/W.h kg 请根据青青同学的设计解决下列问题： (1)如果购买牛肉和鸡肉的总量为30kg,且这两种肉的耗碳总量为386kg,那么购买牛肉和鸡肉分别是多少 kg (2)在(1)的条件下，如果青青同学想将家庭2025年8月天然气、牛肉、鸡肉和用电的耗碳总量控制在 550kg以内，那么该月用电量不能超过多少kW·h(结果取整数)？ 8.(24-25七年级下·广东期末)某中学组织七年级师生参加研学实践活动（活动为期1天）·在这次活动 中，学校打算与公交公司合作租车出行，公交公司提供了两种客车：第一种为可以乘坐17名乘客的小型客 车，租金为200元/辆，第二种为可以乘坐20名乘客的中型客车，租金为250元/辆.学校计划租10辆客车 前往 (1)若要保证租车费用不超过2100元，请问学校有哪几种租车方案？ (2)在(1)的条件下，若七年级师生共有173人，问哪种租车方案最省钱？ 9.（24-25七年级上·广东广州·期末)购买冰箱时，需要综合考虑冰箱的价格和耗电情况，通过对市场的了 8/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解，相同容量的冰箱单位时间内1级耗电量最低，但购买价格相对较贵.小明准备从当年生产的相同容量 的A款与B款冰箱中选购一台，其中两款冰箱的部分基本信息如下表所示： 能效等 平均每年耗电量 款式 售价/元 级 /(kW.h) A款 1级 200 2236 B款 3级 280 1900 若冰箱投入使用后一直开着，并按0.6元/(kW.h)电费计算，请帮小明回答下列问题： (1)若选A款冰箱，每年花费的电费是 元 (2)若冰箱使用t年，则A,B两款冰箱的综合费用分别是多少？（用含t的代数式表示） (3)在(2)的条件下，请你分析小明购买哪款冰箱比较合适？ 11.(24-25七年级下广东汕头期末)根据以下信息，探索完成任务： 素材 某酒店提供三种标准房供顾客入住；单人间、双人间、三人间，已知三人间每间每晚400元； 1 素材 4间单人间和3间双人间每晚共需付房费1700元， 2 3间单人间和4间双人间每晚共需要付房费1800元. 素材 某旅游团共33人入住该酒店时，由于正值游客高峰期，该酒店双人间均已住满，只剩下单人间和 3 三人间. 问题解决 任务 (1)单人间和双人间每晚每间房费分别是多少元？ 1 任务 (2)该旅游团为节省经费，安排每间客房均住满，且计划每晚总房费不超过4800元，则该旅游团 2 有哪几种入住方案？ 12.(24-25七年级下·广东惠州期末)某商场经销甲、乙两种商品，甲商品每件进价15元，售价20元；乙 商品每件进价35元，售价45元. (1)若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求购进甲、乙两种商品各多少件？ 9/13 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 (②)该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润不少于750元，且不超过760元，请你通过计算求出该商 场所有的进货方案： (3)在“五·一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过300元 不优惠 超过300元且不超过400元 售价打九折 超过400元 售价打八折 按上述优惠条件，若贝贝第一天只购买甲种商品一次性付款200元，第二天只购买乙种商品打折后一次性 付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品各多少件？ 13.(24-25七年级下·广东广州期末)某社区计划组织居民外出参加一场大型公益活动，需要租车接送参与 者.社区工作人员收集了以下租车信息： 信 豪华大巴载客量为50人，普通中巴载客量为30人，若租用3辆豪华大巴和6辆普通中巴则花费3600 息1 元；若租用6辆豪华大巴和3辆普通中巴则花费4050元. 信 本次活动预计有460名居民参加，租车费用预算为4900元，且租用的汽车总数为10辆. 息2 请完成以下任务： 【任务1】请计算一辆豪华大巴和一辆普通中巴的租金分别为多少元？ 【任务2】要控制租车费用在预算范围内，在确保所有参加活动的居民能够一次性送达且不超载的前提下， 请列出所有可行的租车方案并找出最省钱的方案， 14.(24-25七年级下·广东汕头期末)【问题背景】 全球气候正在变暖，科学家认为，这与大气中二氧化碳等温室气体的浓度变化有关.每个人的日常消费都 会产生二氧化碳（温室气体都可转化为二氧化碳当量计算）排放，积极倡导并实践“低碳”生活是我们每一个 人的社会责任.以下是一系列排碳计算公式及数据： 每人使用各种交通工具 排碳计算公式 每移动1km产生的碳排放量 家庭用电的二氧化碳排放量(kg)=耗电量kW·h)×0.785 自行车：Okg 10113 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 汽油的二氧化碳排放量kg)=耗油量(L)×2.7 公交车：0.04kg 汽车：0.17kg 天然气的二氧化碳排放量(kg)=天然气使用量(m)×0.19 自来水的二氧化碳排放量(kg)=自来水使用量(t)×0.91 【理解应用】 (1)王芳家某月的碳足迹”：家庭用电250kW·h,水10t,天然气8m3,汽油150L,请计算王芳家这个月 (按30天计算)平均每天二氧化碳排放量多少kg(结果保留1位小数)？ 【方案设计】 (2)为了早日实现“碳达峰”，王芳所在区域响应低碳环保号召，计划建设一些共享单车租赁点，己知建设 一个小型租赁点的成本是5000元，建设一个大型租赁点的成本是8000元，若该区域计划投入资金不超过 50000元，建设大、小两种租赁点一共8个（两种租赁点都至少有一个），则有多少种建设方案？哪种方案 最省钱？ 目目 考点05 元一次不等式（组）中的综合题 1.（23-24七年级下·广东中山期末)对于两个关于x的不等式，若有且仅有两个整数使得这两个不等式同 时成立，则称这两个不等式是“双整”的.例如不等式x>0和不等式x<3只有1和2两个整数使得这两个不 等式同时成立，所以不等式x>0和不等式x<3是“双整的. (1)判断不等式2x-3<5和x-1≥0是否是“双整”的并说明理由； (2)若不等式2x-a+1<0和x>1是“双整"的，求a的最大值. 2.(24-25七年级下·广东广州期末)定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程 (组)和不等式（组）的“梦想解”.例：已知方程2x+1=3与不等式x+2>0,方程的解为x=1,使得不等式 也成立，则称“x=1”为方程2x+1=3和不等式x+2>0的“梦想解”. 0①)已知①x-1<2;②2x+3)>8,®二1<3，则方程2x-1=5的解是该方程与①、②、③中的不等式 2 的“梦想解”； 2x+y=5k+2 x+y≥3 (2)若关于x,y的二元一次方程组 x-y=k-5 的解是该方程组与不等式组 x-y<-2 的“梦想解”，求k 的整数解。 3.(21-22七年级下·广东汕头期末)阅读下列材料：解答“已知x一y=2,且>1，y0,试确定x十y的取值 范围有如下解法： 解：x-y=2,.x=y十2又x1,y十2>1，y>-1. 11/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 又y<0,-1y<0.①. 同理可得1<<2..②. 由①+②得：一1+1x+y<0+2. .x+y的取值范围是0x十y<2. 按照上述方法，完成下列问题： (I)已知x一y=3,且x>2,y<1,则x十y的取值范围是： 3x-y=2a-5 (2)己知关于x,y的方程组 的解都是正数，求a的取值范围； x+2y=3a+3 (3)在(2)的条件下，若a一b=4,b<2,求2a+3b的取值范围. 4.(23-24八年级下·广东·期末)【阅读理解】 我们把形如ax+by=c(a、b均为整数，a≠0且b≠0)的方程称为二元一次整系数方程.若a=1,则可 y>0 以用以下方法确定其正整数解的数量，例如x+3y=10,则x=10-3y,: 10-3v>0’0<y<3,5y为 正整数，·y=1,2,3,故原方程的正整数解有3个，分别为 x=7x=4「x=1 y=1'y=2'y=3 若a≠61，则可以用以下方法确定其正整数解的数量，例如2x+3y=9,则y=9-2x=3-2x,设 3 3 3k>0 (k为正整数)，则y=3-2k, 3-2k>0'0<k< ,k=1,故原方程的正整数解有1个，为 3 x=3 y=1 【问题解决】 (1)结合上述内容，请直接写出4x+2y=10的所有正整数解； (2)若关于x和y的二元一次方程x+2y=m有且只有一个正整数解，请求出m的值； 【应用迁移】 (3)假期临近，吴老师为表彰本学年积极参与班级活动的学生，委托采购小组购买奖品.组长小丽汇报称： “我们购买了两种类型的笔记本，其中A类型笔记本7本，B类型笔记本12本，总计花费84元，由于未索取 收银小票，因此暂不能确定两种笔记本的具体单价，”吴老师听后，敏锐地指出：两种类型笔记本的单价不 可能同时为整数.请你结合上述内容分析吴老师的判断是否正确 2425八年级下广东茂名期末)定义：若一个不等式组A有解且解集为<<10<创，则称为 的解集中点值；若A的解集中点值是不等式（组）B的解，即中点值满足不等式（组），则称不等式（组） 12/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B包含不等式组A的解集中点值. [5-x>0 (I)已知关于x的不等式组A: 3x-7>2以及不等式组B:2≤x<5,证明不等式组B包含不等式组A的解集 中点值； (2)已知关于x的不等式组C: x+3>m 以及不等式组D:m-45x<5m+13,若不等式组D包含不等式组 3x<9m+15 3 C的解集中点值，求m的取值范围； (3)已知关于x的不等式组E: <2a<m和不等式粗r:”n若不等式组F包合不等式组E的解 x>2n 2x-m>3n 集中点值，且所有符合要求的整数m之和为9，求的取值范围. 13/13 专题05 不等式与不等式组 高频考点概览 考点01不等式的概念与性质 考点02一元一次不等式的解法 考点03一元一次不等式组 考点04 一元一次不等式（组）的应用 考点05 一元一次不等式（组）中的综合题 考点01 不等式的概念与性质 1．（24-25八年级下·广东清远·期末）在下列数学式子：①，②，③，④，⑤中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的定义， 根据不等式的定义，用不等号（如）连接的式子属于不等式，逐一判断每个式子是否符合条件． 【详解】解：① 使用了“<”，是不等式； ② 使用了“>”，是不等式； ③ 是等式，不是不等式； ④ 是代数式，不含不等号，不是不等式； ⑤ 使用了“≥”，是不等式． 故选：B． 2．（24-25七年级下·广东省潮州市饶平县·期末）下列各式是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的定义，即用不等号连接的用来表示不等关系的式子叫做不等式，根据不等式的定义解答即可． 【详解】解：根据不等式定义：用不等号连接的用来表示不等关系的式子叫做不等式， 所以满足条件的只有A符合题意． 故选：A． 3.（23-24八年级下·广东省茂名市信宜市·期末）不等式的解（    ） A．为0，1，2 B．为0，1 C．为1，2 D．有无数个 【答案】D 【分析】根据不等式解的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴满足不等式的解有无数个， 故选D． 【点睛】本题主要考查了不等式的解，熟知不等式解的定义是解题的关键． 4.（24-25七年级下·广东珠海·期末）若，则下列式子中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的基本性质，解决本题的关键是根据不等式的基本性质得到各选项的正确结果，再根据得到的结果判断正误． 【详解】解：A．，根据不等式的基本性质一，可得：，故A选项错误； B．，根据不等式的基本性质一，可得：，故B选项正确； C．，根据不等式的基本性质三，可得：，故C选项错误； D．，根据不等式的基本性质二，可得：，故D选项错误． 故选：B． 5．（24-25七年级下·广东汕头·期末）若，则下列不等式不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式性质：不等式两边同时加上（减去）同一个数（式），不等号方向不变；不等式两边同时乘以（除以）同一个正数（式），不等号方向不变；不等式两边同时乘以（除以）同一个负数（式），不等号方向改变；熟记不等式的性质是解决问题的关键．根据不等式的基本性质，逐一分析各选项是否必然成立即可得到答案． 【详解】解：已知，分析各选项： A、两边加1，得，符合不等式加法性质，成立，不符合题意； B、两边乘（负数），不等号方向改变，得成立，不符合题意； C、两边乘3（正数），得，符合不等式乘法性质，成立，不符合题意； D、平方运算不保序，例如，当，时，成立，但，故不成立，符合题意； 故选：D． 6．（24-25七年级下·广东广州·期末）若，则下列各式中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：若，则，故选项A正确，不符合题意； B．若，则，故选项B不一定正确，符合题意； C．若，则，故选项C正确，不符合题意； D．若，则，故选项D正确，不符合题意． 故选：B． 7．（24-25七年级下·广东惠州·期末）若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据不等式的基本性质，逐一分析各选项是否成立． 【详解】解：选项A：由，两边同时加2，得，而选项A为，显然不成立． 选项B：由，两边同时乘以（负数），不等式方向改变，得，故选项B成立． 选项C：当时，，此时不成立，因此选项C不一定成立． 选项D：由，两边同时减1，得，而选项D为，显然不成立． 故选：B 8．（23-24八年级下·广东·期末）若不等式（m为常数，且）的解集为 ，则m的取值范围是______________． 【答案】/ 【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键． 【详解】解：由题可知，， 解得：， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·广东·期末）年月日是我国二十四节气中的夏至，深圳当天最高气温是，最低气温，则这天气温的变化范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的定义，根据题意找出不等关系是解答本题的关键． 根据题意可知，当天的气温应该大于或等于最低气温，且小于或等于最高气温，根据上述分析，即可列出不等式，得到答案． 【详解】解：深圳当天最高气温是，最低气温，因此气温的变化范围应满足最低气温最高气温，即， 故选：D． 11．（22-23八年级下·广东·期末）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过隧道时，我们往往会看到如图所示的标志，该标志表示车辆高度不超过，则通过该隧道的车辆高度的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的定义．根据标志牌的含义列不等式即可求解． 【详解】解：由题意得：，故D正确． 故选：D． 12．（24-25七年级下·广东肇庆·期末）语句“与的和是非负数”用不等式表示为：______． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次不等式，正确理解题意是解题关键．根据和运算、非负数的定义：大于或等于0的数，列出不等式即可得． 【详解】解：由题意得：． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·广东省汕头市潮南区·期末联考）先填空，再探究： (1)①如果，那么a________b； ②如果，那么a________b； ③如果，那么a________b； (2)由（1）你能归纳出比较a与b大小的方法吗？请用文字语言叙述出来； (3)用（1）的方法，你能否比较与的大小？如果能，请写出比较过程． 【答案】(1)①>  ②=  ③< (2)能，见解析 (3)能，见解析 【分析】该题主要考查了不等式的性质，整式的加减等知识点，熟知不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质和等式的性质，移项即可； （2）作差法比较a，b两数，即可根据差的情况得出结论； （3）作差：，化简和0比较大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：①>；②=；③<． （2）解：能． 叙述：如果a减b的值大于0，那么a大于b； 如果a减b的值等于0，那么a等于b； 如果a减b的值小于0，那么a小于b． （3）解：能． ∵， ∴． 考点02 一元一次不等式的解法 1．（24-25七年级下·广东省揭阳市惠来县·期末）下列为一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．依此即可求解． 【详解】解：A、含有2个未知数，故A不符合题意； B、未知数的次数不是1，故B不符合题意； C、是一元一次方程，故C不符合题意； D、是一元一次不等式，故D符合题意． 故选D． 2．（24-25八七年级下·广东省云浮市·期末）若是关于x的一元一次不等式，则a的值为（   ） A．2 B．－1 C．0 D．0或2 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，正确掌握定义是解决此题的关键．由一元一次不等式未知数x的次数为1且系数不为0，求出的值即可． 【详解】一元一次不等式未知数x的次数为1， ， 解得：或， 一元一次不等式未知数x的系数不为0， ， 解得：， 综上，a的值为0． 故选：C． 3．（24-25七年级下·广东·期末）下列的值是不等式的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据一元一次不等式的解法，解不等式，即可求解，解题的关键是：熟练掌握一元一次不等式的解法． 【详解】解：， 解得：． 则是不等式的解． 故选：A． 4.（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，将不等式的解集在数轴上表示出来，则■盖住的符号是（   ） A． B． C．> D．< 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式的解集，由数轴得该不等式的解集为，根据不等式的性质可得，即可求解． 【详解】解：由数轴得该不等式的解集为， 利用不等式的性质可得， 所以， 所以■盖住的符号是 故选：C． 5．（24-25七年级下·广东·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解不等式、数轴上表示不等式的解集，先求得不等式的解集，再在数轴上表示解集即可，注意端点是实心的． 【详解】解：解不等式，得， 将解集表示在数轴上如图： ， 故选：D． 6．（24-25七年级下·广东阳江·期末）在平面直角坐标系中，若点位于第四象限，则点所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查点所在的象限，解答的关键是熟知点所在象限的坐标符号特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．根据第四象限点的坐标符号特征确定m、n的取值范围，再判断点的横纵坐标符号，确定所在象限。 【详解】解：∵点位于第四象限， ∴，， 解得，， ∴，， ∴点在第三象限， 故选：C． 7．（24-25七年级下·广东韶关·期末）若关于，的方程组的解满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，把方程组中的方程与方程相加，得，再根据得到关于的不等式，解不等式即可，熟练掌握二元一次方程组与一元一次不等式解法是解题的关键． 【详解】解：， 得，， ∵， ∴，解得：， 故选：． 8．（24-25七年级下·广东·期末）已知关于x的方程有负数解，则k的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解方程和一元一次不等式的能力，根据题意得出关于的不等式是解题的关键． 解方程得出，根据方程的解为负数得出关于的不等式，解之可得． 【详解】解：， ， ， ， 方程有负数解， ． 解得：， 故选：A. 9．（23-24七年级下·广东·期末）若关于的不等式的正整数解是．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解不等式，解得，再由题意可得，解这个不等数组即可得出答案． 【详解】解：解得， ∵该不等式的正整数解为、、、， ∴ 解得． 故选：D． 10．（24-25七年级下·广东汕头·期末）不等式的最小整数解是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查求一元一次不等式的整数解，涉及一元一次不等式解集求法，熟练掌握一元一次不等式解集求法是解决问题的关键．通过移项、系数化为1解不等式，确定解集范围后，找出满足条件的最小整数即可得到答案． 【详解】解：， 移项得， 系数化为1得， ， 比它大的最小整数是2， 故选：B． 11．（24-25七年级下·广东中山·期末）不等式的最大整数解是（   ） A．8 B．4 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的解集，整数解，解出不等式，根据解集即可求出最大整数解． 【详解】解： 去分母：两边同乘6，得： 展开并整理： 合并同类项： 两边减2： 确定最大整数解：满足的最大整数是4， 故选：B 12．（24-25七年级下·广东汕头·期末）若关于的二元一次方程组的解满足，则满足条件的的所有非负整数值为___________． 【答案】，，， 【分析】此题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，方程组两方程相加表示出，代入已知不等式求出的范围，确定出的所有非负整数解即可，解题的关键是根据题意列出关于的不等式． 【详解】解：， 得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴满足条件的m的所有非负整数值为：，，，， 故答案为：，，，． 13．（24-25七年级下·广东广州·期末）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式；根据解一元一次不等式基本步骤去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得解集，再在数轴上表示即可． 【详解】解：， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化为1可得：， 将解集表示在数轴上如下： 14.（24-25七年级下·广东·期末）解不等式，并把解集表示在数轴上：． 【答案】，见解析 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1得到不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可. 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 在数轴上表示如图所示： 15．（24-25七年级下·广东汕头·期末）整式的值为若T的取值范围如图所示，求m的负整数值． 【答案】，， 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，由数轴所表示的不等式的解集可得，即，求出m的取值范围后再确定负整数的值即可． 【详解】解：由题意得：， 解得， 的负整数值为，， 考点03 一元一次不等式组 1．（24-25七年级下·广东潮州·期末）不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式② 得，， 所以，不等式组的解集为， 将不等式组的解集在数轴上表示为： 故选：D． 2．（24-25七年级下·广东汕头·期末）已知不等式组的解集是，则=（   ） A．2025 B．1 C．0 D．-1 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，掌握解一元一次不等式组的解法是解题关键．首先解出两个不等式，根据题目所给的不等式组的解集确定的值，最后代入求值即可。 【详解】解：解第1个不等式得：， 解第2个不等式得：， 则不等式组的解集为， 由于不等式组的解集为， ，， ，， ． 故选：D． 3．（24-25七年级下·广东汕头·期末）如果关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的解集，先解出不等式组，再根据不等式组的已知解集，确定原不等式的 解集，从而得到取值范围． 【详解】解： 不等式组的解集为 故选：C． 4．（24-25七年级下·广东江门·期末）如果不等式组的解集是，那么a取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的解集同大取大即可得到答案． 【详解】解：∵不等式组的解集是， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查解不等式，正确计算是解题关键． 5．（21-22七年级下·广东云浮·期末）若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集得出关于m的不等式，解之即可． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组有解， ∴， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 6．（24-25七年级下·广东广州·期末）若不等式组无解，则实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据不等式的解集情况求参数，得到关于a的不等式成为解题的关键． 先分别求解两个不等式，再根据不等式组无解的条件得到关于a的不等式，进而确定a的取值范围即可． 【详解】解：解不等式，得：； 解不等式，得：； ∵不等式组无解， ∴，解得：． 故选：D． 7．（23-24七年级下·广东广州·期末）能够使成立的所有整数解的和是（　　） A．4 B．7 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解，先求出不等式组的解，进而求出整数解，再求和即可． 【详解】解：解不等式组，得：， ∴不等式组的所有整数解为： 所有整数解的和是： 故选：B 8.（24-25七年级下·广东·专题练习）若满足不等式的最大整数解为a，最小整数解为b．则之值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，不等式整理后求出x的范围，确定出最小、最大整数解进而求出a与b的值，即可求出所求． 【详解】解：不等式整理得：， 所以，最小整数解为，最大整数解为，即，， 则， 故选：B． 9.（24-25七年级下·广东·期末）已知关于x的不等式组至少有2个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解不等式组，根据解集求参数范围． 先解不等式组，确定x的范围，再根据至少有2个整数解的条件求出a的取值范围，最后转化为的范围即可． 【详解】解：解第一个不等式得， 解第二个不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵关于x的不等式组至少有2个整数解， ∴， 即， ∴， 故选：B 10．（24-25七年级下·广东广州·期末）关于x的不等式组整数解共有3个，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 先解出一元一次不等式组的解集，然后根据解集来取不等式的个整数解，再根据这个整数解求的取值范围． 【详解】解：， 不等式①的解集是：， 不等式②的解集是：， 原不等式组的解集是：； 当关于的不等式组的整数解共有个时， 的值可以取、、， 的取值范围是； 故选：C． 11．（24-25七年级下·广东·期末）不等式组的整数解共有4个，则a的取值范围是 __________． 【答案】 【分析】解不等式组得到，再根据不等式组有4个整数解，写出符合条件的整数解，据此解出a的取值范围． 【详解】解：解不等式组得， 不等式组的整数解共有4个， 不等式组的整数解分别为：-2，-1，0，1， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，正确得出不等式组的整数解是解题关键． 12.（23-24七年级下·广东惠州·期末）定义：把的值叫做不等式组的“长度”若关于的一元一次不等式组解集的“长度”为3，则该不等式组的整数解之和为_______． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，结合题意得出，求出的值即可得出答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵关于的一元一次不等式组解集的“长度”为3， ∴， 解得：， ∴不等式组的解集为：， ∴该不等式组的整数解为：、、、， ∴该不等式组的整数解之和为， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·广东江门·期末）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数，则m的取值范围是________． 【答案】-＜m≤4 【分析】解方程组用m的代数式表示出x、y，根据x为非正数，y为负数列出关于m的不等式组，解之求得m的范围． 【详解】解：解方程组得， ∵x≤0，y＜0， ∴， 解得-＜m≤4； ∴m的取值范围是-＜m≤4． 故答案为：-＜m≤4． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解决本题的关键是得出关于m的不等式组并求解． 14．（22-23七年级下·广东潮州·期末）已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：①；②当时，；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则.其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．②③④ 【答案】D 【分析】解二元一次方程组，根据方程组的解x为正数，y为非负数，列不等式求解即可证明①；把代入验证即可证明②；把代入验证③即可；根据条件求出a的取值范围即可求出④． 【详解】解：， 得：， ∴， 把代入①得：， ∵方程组的解x为正数，y为非负数， ∴，解得， ∴，故①错； 当时，，， ∴，故②正确； 当时，，，故③正确； 若，则，即， ∴，即，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法和一元一次不等式组的解法，正确解出方程组是解题的关键，注意方程与不等式组的综合运用． 15．（23-24七年级下·广东·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，，若k为整数，且关于k的不等式的解集为，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解含有参数的二元一次方程组和一元一次不等式组，根据题意，求出k的范围是解题的关键．先求出关于x，y的方程组的解，再根据，，列不等式求出k的范围，再根据关于k的不等式的解集为，可得，进一步缩小k的范围，最后再根据k为整数，即可得出k的值． 【详解】解：解方程组，得， ∵，， ∴， 解得， 又∵关于k的不等式的解集为：， ∴， 解得， ∴k的范围为． 又∵k为整数， ∴． 故选：B． 16．（24-25八年级下·广东河源·期末）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别求出不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分解答即可． 【详解】解：由，得； 由，得． ∴不等式的解集：． 17．（24-25七年级下·广东湛江·期末）解不等式组：，把解集表示在数轴上，并写出它的所有整数解． 【答案】，见解析，它的所有整数解为 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、将不等式组的解集表示在数轴上，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后将不等式组的解集表示在数轴上，最后写出它的所有整数解即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为． 把解集表示在数轴上如下： 则它的所有整数解为． 18．（24-25八年级下·广东深圳·期末）解不等式组，并写出所有的非负整数解． 【答案】，所有的非负整数解为0，1，2 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤． 先根据解一元一次不等式的一般步骤，求出各个不等式的解集，再写出不等式组解集，求出它的非负整数解． 【详解】解：令， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 原不等式组的解集为， 所有的非负整数解为0，1，2． 19.（24-25八年级下·广东·期末）下面是小明解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：不等式①，去分母，得，（第一步） 移项，合并同类项，得，（第二步） 系数化为1，得，（第三步） 解不等式②，得，（第四步）| 所以原不等式组无解．（第五步） 根据以上材料，解答下列问题： (1)第一步去分母的依据是 ． (2)在解答过程中，从第 步开始出错，错误原因是 ． (3)解不等式组： 【答案】(1)不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变 (2)三；①违背了不等式基本性质3：或②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向未改变：或③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向应该改变 (3) 【分析】本题考查了解不等式组，不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据不等式的性质，进行分析，即可作答． （2）观察原式过程，即可作答； （3）先解出每个不等式的解集，再取它们公共部分的解集，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变 （2）解：在解答过程中，从第三步开始出错，错误原因是①违背了不等式基本性质3：或②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向未改变：或③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向应该改变． 故答案为：三；①违背了不等式基本性质3：或②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向未改变：或③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向应该改变． （3）解：∵ ∴由①得， ∴由②得， ∴ 原不等式组的解集是， 20.（24-25七年级下·广东汕头·期末）（1）在关于x，y的二元一次方程组 中，，求a的取值范围． （2）已知，且，求的取值范围． （3）已知，在关于x，y的二元一次方程组 中，，化简 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组、化简绝对值等知识点，熟练掌握方程组和不等式组的解法是解题关键． （1）先利用加减消元法求出x、y的值，再根据可得一个关于a的一元一次不等式组，然后解不等式组即可得； （2）设，根据（1）的方法求解即可； （3）先利用加减消元法求出x、y的值，再根据可得，然后将代入所求式子，根据绝对值运算进行化简即可得． 【详解】解：（1）， ①②得：， 解得：， 将代入②得：， 解得， 由得：， 解不等式③得：， 解不等式④得：， 则的取值范围是； （2）设， 得： 解得 得： 解得 x 8， y 4， ， 解得 故取值范围为； （3）， ①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 由得：， 由得：， 则， ， ， ， ， ， ． 考点04 一元一次不等式（组）的应用 1．（24-25八年级下·广东·期末）某企业要购进两款机器狗共 5 只．如图所示，已知单价是 1.3 万元/只， 单价是 1 万元/只，且该企业购进两款机器狗的总费用不超过 6.2 万元，则最多可以购进（    ） A．1 只 B．2 只 C．3 只 D．4 只 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设可以购进x只，则可以购进只，利用总价=单价×数量，结合总价不超过6.2万元，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】解：设可以购进x只，则可以购进只， 根据题意得：， 解得：， ∴x的最大值为4， ∴最多可以购进4只． 故选：D． 2.（24-25七年级下·广东广州·期末）铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为，长与宽的比为，则该行李箱的长的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，根据题意，行李箱的高为，长与宽的比为，设长和宽分别为和，根据长、宽、高之和不超过，列出不等式求解即可。 【详解】解：设行李箱的长和宽分别为和， 根据题意，长、宽、高之和不超过160cm，即：， 解得：， 因此，长的最大值为： 故该行李箱的长的最大值为， 故选：C． 3．（24-25七年级下·广东广州·期末）小玲搭飞机旅游，已知她搭飞机产生的碳排放量为公斤，为了弥补这些碳排放量，她决定上下班时从驾驶汽车改成搭公交车已知搭公交车每移动公里产生的碳排放量为公斤，驾驶汽车每移动公里产生的碳排放量为公斤假设小玲每天上下班驾驶汽车或搭公交车的来回总距离皆为公里，与驾驶汽车相比，要使减少产生的碳排放量超过她搭飞机产生的碳排放量，则她至少要搭公交车上下班（    ）天． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设改搭公交车上下班x天，利用减少产生的碳排放量每天减少产生的碳排放量改搭公交车上下班的天数，结合减少产生的碳排放量超过她搭飞机产生的碳排放量，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【详解】解：设改搭公交车上下班x天，根据题意得： ， 解得：， 又∵x正整数， ∴x的最小值为308， ∴至少要改搭公交车上下班308天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量． 故选：C． 4．（24-25七年级下·广东·期末）现有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，则宿舍间数为_______． 【答案】5或6 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式组．设宿舍间数为x,则住宿生有人，若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，据此可列不等式组，求得，因x为正整数，即可得到答案． 【详解】解：设宿舍为x间，则住宿生有人， 根据题意得， 解得， ∵x为正整数， ∴x可取5或6， 故答案为：5或6． 5.（24-25七年级下·广东阳江·期末）为了能更好地宣传中国传统文化，文创商店近期推出了许多新的文创产品，其中邮票、冰箱贴等文创产品深受游客青睐．已知1套邮票的售价比1套冰箱贴的售价高18元，小明购买了1套邮票和4套冰箱贴，一共花费了158元．临近期末考试，学校打算提前给学生准备奖品，计划用1000元同时购买邮票和冰箱贴两种商品若干套． (1)求1套邮票和1套冰箱贴的售价． (2)该校打算购买邮票和冰箱贴共25套，最多能买多少套邮票？ 【答案】(1)1套邮票的售价为46元，1套冰箱贴的售价为28元 (2)16套 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系，列出不等式． （1）设1套邮票的售价为元，则1套冰箱贴的售价为元，根据购买了1套邮票和4套冰箱贴，一共花费了158元，列出方程，解方程即可； （2）设该校购买套邮票，则购买套冰箱贴，根据购买邮票和冰箱贴两种商品共用1000元，列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设1套邮票的售价为元，则1套冰箱贴的售价为元． 由题意，得， 解得， ． 答：1套邮票的售价为46元，1套冰箱贴的售价为28元． （2）解：设该校购买套邮票，则购买套冰箱贴． 根据题意，得， 解得 为整数， 的最大值为16． 答：最多能买16套邮票． 6.（24-25七年级下·广东肇庆·期末）为响应国家的美丽乡村十百千万工程建设，打造和美特色，推动乡村振兴．南街街道是从和美乡业、和美乡貌、和美乡建、和美乡风、和美乡境、和美乡智、和美乡治共7个方面进行典型村创建．其中，为了全面开展绿美生态建设，需要购买甲、乙两种树苗进行栽植．已知乙种树苗比甲种树苗每株贵元，若购买株甲树苗和株乙树苗，共需元． (1)求甲、乙两种树苗每株的价格． (2)从成活率上去考虑，调查统计发现，甲、乙两种树苗的成活率分别为和．若南街街道计划购买甲、乙两种树苗共株，并且要使这批树苗的成活率不低于．那么在树苗的选购中，最多能购买甲种树苗多少株？ 【答案】(1)甲种树苗每株的价格为4元，乙种树苗每株的价格为6元 (2)120株 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）甲种树苗每株的价格为x元，则乙种树苗每株的价格为元，再根据题意列一元一次方程求解即可； （2）设甲种树苗购买b株，则乙种树苗购买株，再根据题意列不等式可得，即可作答． 【详解】（1）解：设甲种树苗每株的价格为x元，则乙种树苗每株的价格为元， ∵购买株甲树苗和株乙树苗，共需元， ∴， 解得：， ∴， 答：甲种树苗每株的价格为4元，乙种树苗每株的价格为6元； （2）解：设甲种树苗购买b株，则乙种树苗购买株， 由题意可得：， 解得：， ∴， 即最多能购买甲种树苗120株． 7.（24-25七年级下·广东中山·期末）【综合与实践】青青同学坚持每月记录家庭“碳足迹”，并且根据记录计算出家庭每月消耗量和耗碳量的情况．为了让家庭暑假期间降低耗碳总量，他准备为家庭设计2025年8月的“碳足迹”目标，绘制如下不完整的表． 种类 消耗量 耗碳量估算方法 耗碳量 天然气 30 消耗量 57 牛肉 __________ 消耗量 __________ 鸡肉 __________ 消耗量 __________ 用电 __________ 消耗量 __________ 请根据青青同学的设计解决下列问题： (1)如果购买牛肉和鸡肉的总量为，且这两种肉的耗碳总量为，那么购买牛肉和鸡肉分别是多少？ (2)在（1）的条件下，如果青青同学想将家庭2025年8月天然气、牛肉、鸡肉和用电的耗碳总量控制在以内，那么该月用电量不能超过多少（结果取整数）？ 【答案】(1)购买牛肉，则购买鸡肉 (2)该月用电量不能超过 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程与不等式是解此题的关键． （1）设购买牛肉，则购买鸡肉，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解； （2）设该月用电量为，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解． 【详解】（1）解：设购买牛肉，则购买鸡肉， 由题意可得：， 解得：， ， 故购买牛肉，则购买鸡肉； （2）解：设该月用电量为， 由题意可得：， 解得：， ∵为整数， ∴， ∴该月用电量不能超过． 8．（24-25七年级下·广东·期末）某中学组织七年级师生参加研学实践活动（活动为期1天）．在这次活动中，学校打算与公交公司合作租车出行，公交公司提供了两种客车：第一种为可以乘坐17名乘客的小型客车，租金为200元/辆，第二种为可以乘坐20名乘客的中型客车，租金为250元/辆．学校计划租10辆客车前往． (1)若要保证租车费用不超过2100元，请问学校有哪几种租车方案？ (2)在（1）的条件下，若七年级师生共有173人，问哪种租车方案最省钱？ 【答案】(1)该校有3种租车方案：租小型客车8辆，中型客车2辆；租小型客车9辆，中型客车1辆；全部租小型客车 (2)当租小型客车9辆，中型客车1辆时，租车费用最低 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出不等式是解答的关键． （1）设租小型客车辆，则租中型客车辆．根据“租车费用不超过2100元”列不等式求解即可； （2）根据总座位数不少于173列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设租小型客车辆，则租中型客车辆． 由题意可得， 解得， 所以， 因为x取整数，所以x可取8，9，10， 所以该校有3种租车方案：租小型客车8辆，中型客车2辆；租小型客车9辆，中型客车1辆；全部租小型客车． （2）解：设租小型客车辆，则租中型客车辆． 依题意，得， 解得，所以． 因为x为整数， 所以x可取8和9， 当时，租车费用：（元）． 当时，租车费用：（元）． 因为， 所以当租小型客车9辆，中型客车1辆时，租车费用最低． 9.（24-25七年级上·广东广州·期末）购买冰箱时，需要综合考虑冰箱的价格和耗电情况，通过对市场的了解，相同容量的冰箱单位时间内1级耗电量最低，但购买价格相对较贵．小明准备从当年生产的相同容量的A款与B款冰箱中选购一台，其中两款冰箱的部分基本信息如下表所示： 款式 能效等级 平均每年耗电量 售价/元 A款 1级 200 2236 B款 3级 280 1900 若冰箱投入使用后一直开着，并按0.6元电费计算，请帮小明回答下列问题： (1)若选A款冰箱，每年花费的电费是________元． (2)若冰箱使用t年，则A，B两款冰箱的综合费用分别是多少？（用含t的代数式表示） (3)在（2）的条件下，请你分析小明购买哪款冰箱比较合适？ 【答案】(1)120 (2)款冰箱的综合费用是元，款冰箱的综合费用是元； (3)当时，选、两款冰箱的综合费用相等；当时，选款冰箱的综合费用少，比较合适；当时，选款冰箱的综合费用少，比较合适 【分析】本题主要考查列代数式、一元一次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式、方程或不等式． （1）每年耗电量乘以电费单价即可； （2）冰箱售价年的电费，据此列式即可； （3）将（2）中所列代数式比较大小即可． 【详解】（1）解：若选款冰箱，每年花费的电费是（元， 故答案为：120； （2）解：款冰箱的综合费用是元， 款冰箱的综合费用是元； （3）解：当，即时，选、两款冰箱的综合费用相等； 当，即时，选款冰箱的综合费用少，比较合适； 当，即时，选款冰箱的综合费用少，比较合适． 11.（24-25七年级下·广东汕头·期末）根据以下信息，探索完成任务： 素材1 某酒店提供三种标准房供顾客入住；单人间、双人间、三人间，已知三人间每间 每晚400元； 素材2 4间单人间和3间双人间每晚共需付房费1700元， 3间单人间和4间双人间每晚共需要付房费1800元． 素材3 某旅游团共33人入住该酒店时，由于正值游客高峰期，该酒店双人间均已住满，只剩下单人间和三人间． 问题解决 任务1 （1）单人间和双人间每晚每间房费分别是多少元？ 任务2 （2）该旅游团为节省经费，安排每间客房均住满，且计划每晚总房费不超过4800元，则该旅游团有哪几种入住方案？ 【答案】（1）200元，300元；（2）3种，方案见解析． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，找准等量关系和不等关系，正确列出二元一次方程和一元一次不等式组是解题的关键． （1）设单人间每晚每间房费是x元，双人间每晚每间房费是y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设该旅游团入住三人间m间，则单人间为间，根据题意列出一元一次不等式组求解即可． 【详解】解：（1）设单人间每晚每间房费是x元，双人间每晚每间房费是y元， 由题意可得： 解得： 答：单人间每晚每间房费是200元，双人间每晚每间房费是300元． （2）设该旅游团入住三人间m间，则单人间为间， 由题意可得： 解得： 为正整数 的取值为：9、10、11． 该旅行团共有3种入住方案，分别如下： ①三人间9间，单人间为6间， ②三人间10间，单人间为3间， ③三人间11间，单人间为0间． 12.（24-25七年级下·广东惠州·期末）某商场经销甲、乙两种商品，甲商品每件进价15元，售价20元；乙商品每件进价35元，售价45元． (1)若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润不少于750元，且不超过760元，请你通过计算求出该商场所有的进货方案； (3)在“五•一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过300元 不优惠 超过300元且不超过400元 售价打九折 超过400元 售价打八折 按上述优惠条件，若贝贝第一天只购买甲种商品一次性付款200元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品各多少件？ 【答案】(1)该商场能购进甲种商品40件，乙种商品60件 (2)符合题意的购买方案有3种，分别为：第一种方案：甲种商品48件，乙种商品52件；第二种方案：甲种商品49件，乙种商品51件；第三种方案：甲种商品50件，乙种商品50件 (3)贝贝第一天购买甲种商品10件，第二天购买乙种商品8件或9件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列方程求解． （1）设商场购买甲种商品x件，购买乙种商品件，根据总进价为2700元，列方程求解即可； （2）设商场购买甲种商品x件，购买乙种商品件，列出不等式组求出x的取值即可 （3）根据购买甲种商品付款200元可求出甲商品的个数，根据乙商品打九折或八折付款324元，求出乙商品的个数即可 【详解】（1）设商场购买甲种商品x件，购买乙种商品件． 由题意得：． 解得：； 因此． 答：该商场能购进甲种商品40件，乙种商品60件． （2）设商场购买甲种商品x件，购买乙种商品件． 由题意得：． 解得：． 又∵x为非负整数， ∴符合题意的购买方案有3种，分别为： 第一种方案：甲种商品48件，乙种商品52件； 第二种方案：甲种商品49件，乙种商品51件； 第三种方案：甲种商品50件，乙种商品50件． （3）根据题意得 第一天只购买甲种商品不享受优惠条件， ∴件， 第二天只购买乙种商品有以下两种情况： 情况一：购买乙种商品打九折，件； 情况二：购买乙种商品打八折，件． 答：贝贝第一天购买甲种商品10件，第二天购买乙种商品8件或9件． 13.（24-25七年级下·广东广州·期末）某社区计划组织居民外出参加一场大型公益活动，需要租车接送参与者．社区工作人员收集了以下租车信息： 信息1 豪华大巴载客量为50人，普通中巴载客量为30人，若租用3辆豪华大巴和6辆普通中巴则花费3600元；若租用6辆豪华大巴和3辆普通中巴则花费4050元． 信息2 本次活动预计有460名居民参加，租车费用预算为4900元，且租用的汽车总数为10辆． 请完成以下任务： 【任务1】请计算一辆豪华大巴和一辆普通中巴的租金分别为多少元？ 【任务2】要控制租车费用在预算范围内，在确保所有参加活动的居民能够一次性送达且不超载的前提下，请列出所有可行的租车方案并找出最省钱的方案． 【答案】[任务1] 一辆豪华大巴车的租金为500元，一辆普通中巴车的租金为350元；[任务2] 方案一：租租豪华大巴车8辆，租租普通中巴车2辆，租金为元；方案二：租租豪华大巴车9辆，租租普通中巴车1辆，租金为元，方案一最省钱 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，找到等量关系列出方程组是解题关键． [任务1]设一辆豪华大巴车的租金为元，一辆普通中巴车的租金为元，根据“租用3辆豪华大巴和6辆普通中巴则花费3600元；若租用6辆豪华大巴和3辆普通中巴则花费4050元”列出方程组，解方程组即可； [任务2]设租豪华大巴车辆，则租普通中巴车辆，根据“本次活动预计有460名居民参加，租车费用预算为4900元”列出不等式组，解不等式组求出的取值范围，结合为整数求出的值即可得出租车方案，再求出两种租车方案的费用比较即可． 【详解】解：[任务1]设一辆豪华大巴车的租金为元，一辆普通中巴车的租金为元， 根据题意得：， 解得， 答：一辆豪华大巴车的租金为500元，一辆普通中巴车的租金为350元； [任务2]设租豪华大巴车辆，则租普通中巴车辆， 根据题意得：， 解得， 为正整数， 或， 该社区有两种租车方案： 方案一：租租豪华大巴车8辆，租租普通中巴车2辆，租金为（元）； 方案二：租租豪华大巴车9辆，租租普通中巴车1辆，租金为（元） ， 方案一更省钱． 14.．（24-25七年级下·广东汕头·期末）【问题背景】 全球气候正在变暖，科学家认为，这与大气中二氧化碳等温室气体的浓度变化有关．每个人的日常消费都会产生二氧化碳（温室气体都可转化为二氧化碳当量计算）排放，积极倡导并实践“低碳”生活是我们每一个人的社会责任．以下是一系列排碳计算公式及数据： 排碳计算公式 每人使用各种交通工具 每移动产生的碳排放量 家庭用电的二氧化碳排放量耗电量 汽油的二氧化碳排放量耗油量 天然气的二氧化碳排放量天然气使用量 自来水的二氧化碳排放量自来水使用量 自行车： 公交车： 汽车： 【理解应用】 （1）王芳家某月的“碳足迹”：家庭用电，水，天然气，汽油，请计算王芳家这个月（按30天计算）平均每天二氧化碳排放量多少（结果保留1位小数）？ 【方案设计】 （2）为了早日实现“碳达峰”，王芳所在区域响应低碳环保号召，计划建设一些共享单车租赁点，已知建设一个小型租赁点的成本是5000元，建设一个大型租赁点的成本是8000元，若该区域计划投入资金不超过50000元，建设大、小两种租赁点一共8个（两种租赁点都至少有一个），则有多少种建设方案？哪种方案最省钱？ 【答案】（1）；（2）有3种建设方案；建1个大租赁点，7个小租赁点最省钱 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，不等式组的应用，解题的关键是理解题意，根据不等关系，列出不等式． （1）根据题干信息列出算式进行计算即可； （2）设大租赁点x个，则小租赁点个，根据投入资金不超过50000元，两种租赁点都至少有一个列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：（1） ， 答：王芳家这个月（按30天计算）平均每天二氧化碳排放量． （2）设大租赁点x个，则小租赁点个，根据题意得： ， 解得：， ∴x的整数解有1，2，3， ∴有3种建设方案，方案一：建2个大租赁点，6个小租赁点；方案二：建3个大租赁点，5个小租赁点；方案三：建1个大租赁点，7个小租赁点； 方案一所需要费用：（元）； 方案二所需要费用：（元）； 方案三所需要费用：（元）； ∵， ∴建1个大租赁点，7个小租赁点最省钱． 考点05 一元一次不等式（组）中的综合题 1.（23-24七年级下·广东中山·期末）对于两个关于x的不等式，若有且仅有两个整数使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“双整”的．例如不等式和不等式只有1和2两个整数使得这两个不等式同时成立，所以不等式和不等式是“双整”的． (1)判断不等式和是否是“双整”的并说明理由； (2)若不等式和是“双整”的，求a的最大值． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)的最大值为9． 【分析】本题考查了新定义运算，一元一次不等式组的解法，本题的关键在于充分理解两不等式“双整”的定义． （1）解不等式得，再根据“双整”的定义即可； （2）根据题意得，再根据“双整”的定义得． 【详解】（1）解：不是，理由如下： 联立，，解不等式组得， 满足条件的整数有三个：1、2、3，所以这两个不等式不是“双整”的； （2）解：解不等式，得， 若和是“双整”的， ，则满足的整数有两个：2和3， 即， 故的最大值为9． 2．（24-25七年级下·广东广州·期末）定义：使方程组与不等式组同时成立的未知数的值称为此方程组和不等式组的“梦想解”．例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①；②；③，则方程的解是该方程与①、②、③中的不等式___________的“梦想解”； (2)若关于x，y的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组的“梦想解”，求k的整数解． 【答案】(1)②③ (2)0、1、 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、解一元一次方程等知识点，掌握相关解法是解题的关键． （1）依据题意，先求出方程的解和不等式的解集，然后进行判断； （2）依据题意，先求出方程组的解，然后结合题意计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意，， 解①得：，故方程解不是①的“梦想解”； 解②得：，故方程解是②“梦想解”； 解③得：，故方程解是③的“梦想解”； 即方程的解是不等式②③的“梦想解”． 故答案为：②③． （2）解：由题意，解方程组， 得，，即， 把代入②得，， 则 ， 此解是该方程组与不等式组的“梦想解”， ， 解得， 的整数解为0、1、 3.（21-22七年级下·广东汕头·期末）阅读下列材料：解答“已知x－y＝2，且x>1，y<0，试确定x＋y的取值范围”有如下解法： 解：∵x－y＝2，∴x＝y＋2  又∵x>1，∴y＋2>1，∴y>－1． 又∵y<0，∴－1<y<0…①． 同理可得1<x<2…②． 由①＋②得：－1＋1<x＋y<0＋2． ∴x＋y的取值范围是0<x＋y<2． 按照上述方法，完成下列问题： (1)已知x－y＝3，且x>2，y<1，则x＋y的取值范围是______； (2)已知关于x，y的方程组的解都是正数，求a的取值范围； (3)在（2）的条件下，若a－b＝4，b<2，求2a＋3b的取值范围． 【答案】(1)1＜x+y＜5 (2)a＞1 (3) 【分析】（1）模仿阅读材料解答即可； （2）先把方程组解出，再根据解为正数列关于a的不等式组解出即可； （3）分别求出2a、3b的取值范围，相加可得结论． 【详解】（1）解：∵x-y=3， ∴x=y+3， ∵x＞2， ∴y+3＞2， ∴y＞-1， 又∵y＜1， ∴-1＜y＜1…①， 同理可得2＜x＜4…②， 由①+②得：-1+2＜x+y＜1+4， ∴x+y的取值范围是1＜x+y＜5， 故答案为：1＜x+y＜5； （2）解：解方程组， 得， ∵该方程组的解都是正数， ∴x＞0，y＞0， ∴， 解不等式组得：a＞1， ∴a的取值范围为：a＞1； （3）解：∵a－b=4，b<2， ∴， ∴， 由（2）得，a＞1， ∴， ∴…①， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴…②， 由①+②得：， ∴2a＋3b的取值范围是． 【点睛】本题考查不等式的性质及运算法则，解一元一次不等式组，解二元一次方程组，以及新运算方法的理解，熟练熟练掌握不等式的运算法则是解题的关键． 4.（23-24八年级下·广东·期末）【阅读理解】 我们把形如（、均为整数，且）的方程称为二元一次整系数方程．若，则可以用以下方法确定其正整数解的数量，例如，则，∵，∴，∵为正整数， ，，，故原方程的正整数解有个，分别为 ，，； 若，则可以用以下方法确定其正整数解的数量，例如，则 ，设（为正整数），则，，，，故原方程的正整数解有个，为 ． 【问题解决】 （1）结合上述内容，请直接写出的所有正整数解； （2）若关于和的二元一次方程有且只有一个正整数解，请求出的值； 【应用迁移】 （3）假期临近，吴老师为表彰本学年积极参与班级活动的学生，委托采购小组购买奖品．组长小丽汇报称：“我们购买了两种类型的笔记本，其中类型笔记本本，类型笔记本本，总计花费元，由于未索取收银小票，因此暂不能确定两种笔记本的具体单价．”吴老师听后，敏锐地指出：两种类型笔记本的单价不可能同时为整数．请你结合上述内容分析吴老师的判断是否正确． 【答案】（1），  （2）或（3）吴老师的判断正确 【分析】本题考查二元一次方程正整数解的求解，不等式的整数解分析，将采购笔记本的问题转化为二元一次方程是解题关键． （1）先将方程变形为，再根据，为正整数的条件，得到且，从而确定的取值为、，进而求出对应的值，得到所有正整数解； （2）将方程变形为，根据正整数解的条件，得到，由只有一个正整数解，判断只能取 1，进而推导出，由此求出符合要求的； （3）根据题意列方程，去分母、变形后得，根据正整数解的条件，得到，没有满足条件的正整数，据此判断方程无正整数解． 【详解】（1）解：∵，则， ∵、均为正整数， ∴， ∴， ∴或， 当，； 当，， 故所有正整数解为，． 答：，． （2）解：，则， ∵、均为正整数， ∴， 解得， ∵方程有且只有一个正整数解， 只能为， ， ， 或． 答：或． （3）设类型笔记本的单价为元，类型笔记本的单价为元，、均为正整数， 根据题意，可得，即， ∵、均为正整数， 设（为正整数），则， ， ， ∴不能为整数， 故原方程无正整数解，吴老师的判断正确． 答：吴老师的判断正确． 5．（24-25八年级下·广东茂名·期末）定义：若一个不等式组有解且解集为，则称为的解集中点值；若的解集中点值是不等式（组）的解，即中点值满足不等式（组），则称不等式（组）包含不等式组的解集中点值． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，证明不等式组包含不等式组的解集中点值； (2)已知关于的不等式组以及不等式组，若不等式组包含不等式组的解集中点值，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组和不等式组若不等式组包含不等式组的解集中点值，且所有符合要求的整数之和为9，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的取值范围为或 【分析】（1）先求解不等式组的解集，在求取中点值，即可确定不等式（组）包含不等式组的解集中点值． （2）先求解不等式组，由不等式组必须有解，可确定，确定不等式组的解集中点值，的解集中点值是不等式（组）的解，得到，解得，结合，即可确定的取值范围． （3）由不等式组的解集，确定不等式组的解集中点值，求解不等式组的解集，不等式组包含不等式组的解集中点值，得到，解得，此时存在两种情况，若取正整数值，仅可取，此时；可取负整数，则仅可取，此时． 【详解】（1）解：解不等式组得， 的解集中点值为． 不等式组包含不等式组的解集中点值． （2）解不等式组，得 显然不等式组必须有解， 故，即， 不等式组的解集中点值为． 由不等式组知， 即解得即． 又， （3）由不等式组，得，其解集中点值为 由不等式组，得． ， 即解得 存在两种情况 ①取正整数值，即仅可取， 则显然，此时； ②可取负整数，则仅可取， 此时， 此时． 综上所述，的取值范围为或． 不等式组包含不等式组的解集中点值，且所有符合要求的整数之和为， 【点睛】本体考查新定义、求解不等式组解、求不等式组的参数、整数解等问题，理解不等式解集中点值、分情况讨论是解题关键． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $