专题02 函数与导数（十大考点）（高效培优期末专项训练）数学人教A版高二选择性必修第二册

专题02 函数与导数 考点01与切线有关的考察 考点02简单复合函数的导数 考点03用导数判断或证明函数的单调性 考点04函数在区间上单调性求参问题 考点05根据极值与极值点求参数 考点06由导数求函数的最值（含参） 考点07利用导数研究不等式恒成立与能成立问题 考点08 利用导数研究双变量问题 考点09 利用导数研究函数的零点 考点10 利用导数研究方程的根 考点01与切线有关的考察 1．设函数的图象在点处的切线方程为，则（     ） A．1 B．2 C． D．4 2．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 3．已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 4．已知函数在处的切线方程为，则的值为（   ） A． B．3 C．4 D．5 5．已知曲线与曲线有两条公切线，且它们的斜率之积为1，则实数的取值范围为_____， 考点02简单复合函数的导数 6．（多选）下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，则曲线在点处的切线方程为______. 8．若函数的图象在点处的切线恰好与函数 的图象切于点，则（   ） A． B． C． D． 9．设命题：曲线在点处的切线方程是：；命题：是任意实数，若，则，则（    ） A．“或”为真 B．“且”为真 C．假真 D．，均为假命题 10．（多选）下列命题正确的有（   ） A．已知函数在上可导，若，则 B．已知函数，若，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 考点03用导数判断或证明函数的单调性 11．已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 12．设，，（为弧度制），则（    ） A． B． C． D． 13．已知定义在上的函数，是的导函数，满足.且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 14．（多选）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，，则有（    ） A． B． C． D． 15．已知函数，且，，，则的大小关系（   ） A． B． C． D． 考点04函数在区间上单调性求参问题 16．设函数，且在上满足，则实数a的取值范围为（    ） A．[0,1] B．[－1,1] C． D． 17．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．已知函数为增函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 19．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 20．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点05根据极值与极值点求参数 21．已知函数 在 处取得极大值10． (1)求的值； (2)求函数 在区间 上的最大值和最小值． 22．设，函数. 的极小值为，则的取值范围是_______. 23．若函数恰有2个极值点，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 24．（多选）已知函数，其中．则下列说法正确的是（   ） A．的图象为中心对称图形 B．时，函数在上单调递减 C．对任意的实数，，既没有最大值，也没有最小值 D．若有两个不同的极值点，则的取值范围为 25．已知函数 (1)当时，求证:； (2)若在处取得极大值，求实数的取值范围； (3)若关于x的方程 有两个不同实根，写出实数的取值范围 考点06由导数求函数的最值（含参） 26．已知函数（）． (1)讨论的单调性； (2)当时，求在上的最小值． 27．已知函数． (1)若，求的极值； (2)若，且，使得，求实数的取值范围． 28．函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 29．（多选）已知，（   ） A．当时，既有极大值，又有极小值. B．若在处取到极大值，则实数a的取值范围为 C．当时，在区间内取到最小值，则实数的取值范围为 D．不存在实数a，使得在区间内既有最大值又有最小值 30．已知函数，方程解的个数有两个，则的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 考点07利用导数研究不等式恒成立与能成立问题 31．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求函数的最小值； (3)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 32．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（） A．在定义域上单调递增 B．有且仅有一个极小值点 C．恒成立 D．的图像关于点中心对称 33．已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 34．（多选）对于函数，下列说法正确的有（    ） A．在上单调递减，在上单调递增 B． C．设有3个不同的零点，则 D．设，若对，使成立，则 35．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 考点08 利用导数研究双变量问题 36．已知函数． (1)若函数，求函数的单调区间； (2)若函数有两个不同的零点，记两个零点分别为，且． ①求a的取值范围； ②已知，若不等式恒成立，求的取值范围． 37．已知函数，其中. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围； (3)若在上存在两个极值点，求的取值范围. 38．已知，，则的取值范围是_________． 39．已知，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 40．函数的两个极值点满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 考点09 利用导数研究函数的零点 41．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．函数有2个极值点 C．若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 D．函数有5个零点 42．（多选）设函数，则（    ） A．当时，只有一个零点 B．当时，在定义域内单调递增 C．对于任意实数的图象都是中心对称图形 D．若存在极值点，则一定存在两个 43．已知函数和的图象上存在点关于直线对称，则实数a的取值范围为________． 44．已知函数有四个不同零点且． (1)求的取值范围； (2)证明：； (3)证明：． 考点10 利用导数研究方程的根 45．已知函数. (1)若在处的切线与轴平行，求； (2)当时，求的单调区间； (3)若有两个零点，求的取值范围. 46．已知函数在上有两个极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 47．已知函数，若对任意，过点均仅可作曲线的一条切线，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 48．已知函数，则方程的根的个数为 ______． 49．定义：设是的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数的对称中心为，过可以作三条直线与图象相切，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 50．过点有两条直线与的图象相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数与导数 考点01与切线有关的考察 考点02简单复合函数的导数 考点03用导数判断或证明函数的单调性 考点04函数在区间上单调性求参问题 考点05根据极值与极值点求参数 考点06由导数求函数的最值（含参） 考点07利用导数研究不等式恒成立与能成立问题 考点08 利用导数研究双变量问题 考点09 利用导数研究函数的零点 考点10 利用导数研究方程的根 考点01与切线有关的考察 1．设函数的图象在点处的切线方程为，则（     ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用导数的定义及导数的几何意义计算作答. 【详解】因为函数的图象在点处的切线方程为， 所以， 所以. 2．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，又在点处的切线与直线垂直， ，解得． 3．已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 【答案】1 【分析】根据导数的几何意义先求得的切线方程，再设出该切线与的切点，再利用公切线的斜率相等，且切点也在公切线上，代入计算即可求解． 【详解】由，则， 所以曲线在点处的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为． 设直线与曲线相切的切点为，且， 则，解得． 4．已知函数在处的切线方程为，则的值为（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】， ， 又函数在处的切线方程为， ，解得，则， ， 将点代入切线方程得，即， ． 5．已知曲线与曲线有两条公切线，且它们的斜率之积为1，则实数的取值范围为_____， 【答案】 【分析】根据题意利用导数的几何意义求出切线方程表达式，令，可知有两个不相等的实数根，且互为倒数，即可得，由可求出实数的取值范围. 【详解】设，， 由题意得存在实数，使得在处的切线和在处的切线重合， 所以，即， 由，即， 又由，即， 令，则题目转化为有两个不相等的实数根，且互为倒数， 设两根分别为，， 则由得， 化简得， 所以，即， 因为，所以， 故的取值范围为. 故答案为： 考点02简单复合函数的导数 6．（多选）下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D错误. 7．已知函数，则曲线在点处的切线方程为______. 【答案】 【详解】，又，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即 8．若函数的图象在点处的切线恰好与函数 的图象切于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设切点，求出导函数进而得出切线斜率得出切线方程，再应用切线相同列式计算求解，即可得出切线方程. 【详解】因切线与的切点为， 由可得， 切线方程为：，即① 依题意，切线与的切点为 ，因， 则切线的方程为：，即② 因①，②都是的方程，则有 ， 联立两式消去 并整理得，即，解得. 9．设命题：曲线在点处的切线方程是：；命题：是任意实数，若，则，则（    ） A．“或”为真 B．“且”为真 C．假真 D．，均为假命题 【答案】A 【详解】对于命题：因为，所以，所以， 由导数的几何意义可得在点处切线的斜率为， 所以切线方程为，即，所以命题是真命题； 对于命题：令满足，但是，即，不满足，所以命题是假命题， 所以“或”为真命题. 10．（多选）下列命题正确的有（   ） A．已知函数在上可导，若，则 B．已知函数，若，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 【答案】BD 【分析】借助导数定义可得A；借助复合函数的导数运算法则计算即可得B；借助导数的除法运算法则计算即可得C；利用导数运算法则计算即可得D. 【详解】对A：，则，故A错误； 对B：，则，解得，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，则， 则，故D正确. 考点03用导数判断或证明函数的单调性 11．已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将的大小比较转化为比较，构造函数，即比较，求导分析函数的单调性可得结果. 【详解】依题意，，，， 令，，则，所以当时，， 当时，，所以在上单调递增，在上单调递减. 因为，所以，即，即. 12．设，，（为弧度制），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式，以及函数，、函数，的单调性比较大小. 【详解】构造函数，其中，则， 故函数在上为增函数， 所以，故， 如图，在单位圆O中，，不妨设， 作于C点，则弧的长度， 由图易得，，即，所以， 设，， 所以， 再令，， ， 当时，，，， 所以， 则，在单调递减， ，所以，即， 所以在上单调递减，且， 所以当时，， 所以当，，即， 综上所述，. 13．已知定义在上的函数，是的导函数，满足.且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，，即 令，； 则，在上单调递减； ，； ，，，得，即； 在上单调递减，且，，解得； 不等式的解集为. 14．（多选）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】研究题中所给函数的性质，利用导数除法法则求出，由题得推出在单调递减，再根据自变量大小比较、、的大小，代入余弦值化简整理，进而判断选项正误. 【详解】已知，根据商的求导法则求导得： . 由题知，因此在上单调递减. 因为，结合单调递减性得： . 由，即， 整理得. 由，即， 整理得. 综上，选项A、B错误，选项C、D正确. 15．已知函数，且，，，则的大小关系（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得，得到在上单调递增，结合，即可求解. 【详解】由函数，可得， 当，可得，且，所以，在上单调递增， 因为，所以，所以， 所以，即. 考点04函数在区间上单调性求参问题 16．设函数，且在上满足，则实数a的取值范围为（    ） A．[0,1] B．[－1,1] C． D． 【答案】B 【分析】由在上满足得到是上的单调递增函数，则在上恒成立，即在上恒成立，转化为二次函数的图像和性质求解. 【详解】，， 在R上满足， 或， 则是上的单调递增函数，则在上恒成立， 即在上恒成立， 设， ， 则转化为， 则转化为在上恒成立， 则需要满足，解得，即， 则实数a的取值范围为，故选项B正确. 17．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数单调性，列出各段为增函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解. 【详解】由题意可知，函数在上单调递增，需同时满足以下三个条件： ①在上单调递增； ②在上单调递增； ③当时，，因此. 对于①，要使在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立， 所以，因为，所以，解得； 对于②，因为在上单调递增，所以在上单调递增时，； 对于③，，所以. 综上所述，实数的取值范围是，故D正确. 18．已知函数为增函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导数，利用给定单调性建立不等式，分离参数并构造函数，再利用导数求出最小值即可. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由函数是增函数，得，恒成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 函数，即在R上单调递增，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，则， 所以的取值范围是. 19．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合导数与单调性的关系条件可转化为在上恒成立，由此可求结论. 【详解】函数求导得， 已知在区间上单调递减，则在上恒成立， 即在上恒成立， 令，，求导得，令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 则是极小值点， ，， 在的上确界为3， ． 20．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题转换成在上恒成立，通过分离参数求最值即可求解. 【详解】对 ，求导得 ， 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 整理得 ， 即小于等于在上的最小值， 对求导得 ， 当时， ，得到在上单调递增， 因此最小值为 ，故， 因此实数的取值范围为. 考点05根据极值与极值点求参数 21．已知函数 在 处取得极大值10． (1)求的值； (2)求函数 在区间 上的最大值和最小值． 【答案】(1)； (2)最大值为10，最小值为2. 【分析】（1）求导，即可根据函数值以及导数值列方程求解， （2）根据函数的单调性，求解极值以及端点处函数值，即可作答. 【详解】（1）， 故且，解得， 则， 令，则， 当时，，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故在处取到极大值，故满足题意. （2）由（1）知：在和单调递增，在单调递减， 且极大值为, 极小值为，又因为 故函数 在区间 上的大值为10，最小值为2. 22．设，函数. 的极小值为，则的取值范围是_______. 【答案】 【分析】根据极小值为可得或为的极小值点，据此分类讨论后结合局部保号性可得的取值范围. 【详解】因为的极小值为，令，则或， 故或为的极小值点. 若，即为的极小值点. 由题设， 令，，则， 当时，，当时，， 故在上递减，上递增， 而且，故时，时， 而时，，时， 故时，，时， 此时不是的极小值点，与题设矛盾； 若, 若为的极小值点，故， 由题设， 因，故必有，故即，与矛盾； 若为的极小值点， 因为，且时，，时， 故在的附近总有， 由局部保号性可得即. 综上，. 23．若函数恰有2个极值点，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对求导，得到的表达式,依题意有两个不同的实根，通过换元法，令，将方程转化为关于的方程，分析该方程有两个正根的条件，得到参数的取值范围,利用韦达定理得到与的关系式，将转化为关于的函数,求导，分析其单调性，进而确定取值范围. 【详解】函数，求导得：, 函数恰有2个极值点，即有两个不同实根， 整理得：, 令，转化为二次方程：有两个不同正根， 由二次方程根的分布：,其中， 故, 代入表达式得： , 令，求导得：, 令，，当时，，函数单调递增， 即函数单调递增，，因此在上单调递增， 因此：, 即的取值范围是. 24．（多选）已知函数，其中．则下列说法正确的是（   ） A．的图象为中心对称图形 B．时，函数在上单调递减 C．对任意的实数，，既没有最大值，也没有最小值 D．若有两个不同的极值点，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对A：计算可得，即的图象关于点中心对称；对B：求导后计算即可得；对C：分及进行讨论，计算值域即可得；对D：求导后结合极值点定义计算即可得. 【详解】对A：， 故的图象关于点中心对称，故A正确； 对B：， 当时，， 故函数在上单调递增，故B错误； 对C：由， 则当时，，无最大、最小值； 当时，，则，无最大、最小值； 综上可得，对任意的实数，，既没有最大值，也没有最小值，故C正确； 对D：，令，则， 若有两个不同的极值点，则有两个不同根， 当时，，，无实数根，不符； 当时，若，则，不符，则， 令，， 有，则为偶函数， 当时，，则由对勾函数性质可知单调递增， 又单调递增，故单调递减，且， 故，则； 故有两个不同的极值点的充要条件为，故D正确. 25．已知函数 (1)当时，求证:； (2)若在处取得极大值，求实数的取值范围； (3)若关于x的方程 有两个不同实根，写出实数的取值范围 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）利用导数分析函数单调性，进而求解证明最值； （2）求导，对参数进行分类讨论，进而结合函数单调性和极值确定的取值范围； （3）将方程解的问题转化为函数零点问题，构造函数，结合导数和零点存在定理求解. 【详解】（1）证明：当时，，求导得：， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 因此的最大值为，故，得证. （2）对求导并因式分解得：， 若：恒成立，时，时， 处取极大值，符合要求； 若：，时，时， 处取极大值，符合要求； 若：，单调递增，无极值，不符合； 若：，时，时， 处取极小值，不符合. 综上，的取值范围为： （3）整理方程，代入化简得：. 设，则有两个不同零点，， 若：，单调递增，最多1个零点，不符合； 若：令得，在递增，递减， 最大值为. 要存在两个零点，需最大值大于，即，得， 即，且和时，故有两个零点， 综上，的取值范围为：. 考点06由导数求函数的最值（含参） 26．已知函数（）． (1)讨论的单调性； (2)当时，求在上的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先确定的定义域，再求出的导数，再对参数范围分类讨论求解单调性即可. （2）先根据已知条件确定在的单调性，再对的范围分类讨论，依据单调性求出不同情况下的最小值. 【详解】（1）由题意可得：的定义域是，且， 令，则或, ①当时，若或，则，若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减， ②当时，因为，所以在上单调递增， ③当时，若或，则，若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减. （2）当时，由（1）可得：在上单调递减， 所以，①当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，为， ②当时，在上单调递减， 所以在处取得最小值，为． 综上，． 27．已知函数． (1)若，求的极值； (2)若，且，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)极小值为2，极大值为． (2) 【分析】（1）求导得到导数零点，判断单调性，确定极值点并计算极值; （2）求导得出是函数在上的最大值点，将问题转化为最大值不小于并解不等式即可. 【详解】（1）依题意，． 令，解得或． 故当时，单调递减； 当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以的极小值为，极大值为． （2）依题意，．因为， 令，解得，当时，，单调递增， 当时，单调递减． 故当时，取得极大值，也是最大值， 则，即，整理得，解得， 故实数的取值范围为． 28．函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数判断函数的单调性，再根据单调性和临界值，求参数的取值范围. 【详解】，令，得或. 当时，，递增，当时，，递减， 当时，，递增. 因此， 是极大值点， 是极小值点.要使上存在最大值，需，又因为，且， 若，函数在递增，会超过，因此需. 综上：. 29．（多选）已知，（   ） A．当时，既有极大值，又有极小值. B．若在处取到极大值，则实数a的取值范围为 C．当时，在区间内取到最小值，则实数的取值范围为 D．不存在实数a，使得在区间内既有最大值又有最小值 【答案】AD 【分析】先求导，按、、三种情况讨论的单调性，再逐一判断即可. 【详解】. 当，即时，由，得或，由，得. 则在和上单调递增，在上单调递减， 此时在处取极大值，在处取极小值. 当，即时，由，得或，由，得. 则在和上单调递增，在上单调递减， 此时在处取极大值，在处取极小值. 当，即时，，则在上单调递增，此时无极值. 对于A：当时，在处取极大值，在处取极小值，故A正确. 对于B：若在处取到极大值，则，故B错误. 对于C：当时，在处取极大值，在处取极小值. 又，要使在区间内取到最小值，则， 解得，故C错误. 对于D：若，若使在区间内既有最大值又有最小值， 则需，，， 即，，， 整理得，， 当时，，故，此时不存在的值. 若，若使在区间内既有最大值又有最小值， 则需，，， 整理得，， 则，故，此时不存在的值. 若，在区间内无最值. 综上，不存在实数a，使得在区间内既有最大值又有最小值，故D正确. 30．已知函数，方程解的个数有两个，则的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】由，求导得，令，解得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故在处取得最小值. 再分析函数极限处取值，当时，，，乘积趋近于，所以；当时，. 方程有两个解等价于直线与图象有两个交点，结合最小值及函数极限趋势，可得. 考点07利用导数研究不等式恒成立与能成立问题 31．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求函数的最小值； (3)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增 (2)1 (3) 【分析】（1）求导后分和两种情况讨论即可； （2）利用导数求得的单调性，进而得出最小值； （3）参数分离得对任意恒成立，令，，利用导数讨论的单调性，求出的最小值即可解决. 【详解】（1）由题可知， 当时，，函数在上单调递增； 当时，若，，若，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，， ，因为当时，和单调递增，所以函数单调递增， 又，所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以函数的最小值为. （3）当时，不等式恒成立， 即对任意恒成立，即对任意恒成立， 设，，， 令，，， 所以在上单调递增. 由于，， 由零点存在定理，存在，使得，即， 所以当时，，，当时，，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以. 因为，所以， 令，，，即在上单调递增， 所以，即， 所以，所以， 所以，即实数的取值范围为. 32．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（） A．在定义域上单调递增 B．有且仅有一个极小值点 C．恒成立 D．的图像关于点中心对称 【答案】BC 【分析】先确定函数定义域，和导函数，再分析的单调性和零点情况，结合导数与单调性的关系判断A，结合导数与极值的关系判断B，结合函数单调性求函数的最值判断C，结合定义域判断D. 【详解】函数的定义域为，导函数， 设，则， 因此在上单调递增， 对于选项A，因为，， 所以存在唯一零点， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此不在整个定义域上单调递增，A错误； 对于选项B，由选项A知，单调递增，仅有一个零点​，且左侧递减、右侧递增， 因此仅有一个极小值点，B正确； 对于选项C，的最小值为，由​，两边取对数得， 所以， 因此，故恒成立，C正确， 对于选项D，因为函数的定义域为， 所以的图像不可能关于点中心对称，因此D错误. 33．已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数求导，函数在区间上单调递增，等价于在区间上恒成立，然后构造新函数，求导判断单调性，求出最小值，即可得出结果. 【详解】对函数求导得， 函数在区间上单调递增， 则在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，求导得， 所以在区间上单调递增， 所以，所以要使得在区间上恒成立， 则，所以的最大值为. 34．（多选）对于函数，下列说法正确的有（    ） A．在上单调递减，在上单调递增 B． C．设有3个不同的零点，则 D．设，若对，使成立，则 【答案】BCD 【分析】求出函数的定义域，求导并求出函数单调区间，判断选项A，B；结合函数图象分析讨论，判断选项C，D． 【详解】函数的定义域为， 求导得， 令，解得，即， 当时，，故，单调递减； 当时，，，故，单调递减； 当时，，，故，单调递增； 选项A：不在函数定义域内，故在上单调递减表述错误； 选项B：由函数的单调性可知上单调递减，在单调递增， ，且，，故B正确； 选项C：方程有3个不同的零点， 等价于有3个不同的实根； 当时，，，此时单调递减，单调递增； 且时，，时，； 当时，且单调递减，，时， 时取极小值； 当时，且单调递增，，时； 要使与有3个交点，直线必须处于与之间，且不能低于 极小值， 需满足，解得，故C正确； 选项D：由题意知，的值域是在上值域的子集， 在上恒成立，故在上单调递增， ，即的值域为； 由单调性可知，在处取得极小值，，且时， ， 的值域为， 要使，则需满足，故D正确． 35．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)当时，的增区间为，无减区间；当时，函数的减区间为，增区间为 (2) 【分析】（1）求导即可分析的单调性； （2）将变换为，令，求导研究的极值即可． 【详解】（1）因为，其中， ①当时，恒成立，的增区间为，无减区间； ②当时，令，得，由可得， 由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为； 综上所述：当时，的增区间为，无减区间；当时，函数的减区间为，增区间为． （2）当时，恒成立，即恒成立， 令，则，其中，恒成立， 所以由可得，由可得， 故函数的减区间为，增区间为， 所以，即，故的取值范围是． 考点08 利用导数研究双变量问题 36．已知函数． (1)若函数，求函数的单调区间； (2)若函数有两个不同的零点，记两个零点分别为，且． ①求a的取值范围； ②已知，若不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． (2)①；②． 【分析】（1）先化简，求导得，按与分类，根据导数的正负判断单调区间； （2）①有两个零点等价于，求的单调性与最大值，结合图象得； ②由零点条件将不等式转化为，代入，换元，构造函数，求导分析单调性得． 【详解】（1）由题意得的定义域为，， 当时，，则在区间内单调递增； 当时，由，得，（舍去）， 当时，，单调递增，当时，，单调递减． 所以当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）①依题意，函数的定义域为， 所以函数有两个不同的零点， 可得方程在有两个不同根， 得到函数与函数的图象在上有两个不同交点， 又，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以． 又有且只有一个零点是1，且在时，，在时，， 如图，的图象如下： 可见，要想函数与函数在图象上有两个不同交点，只需． ②由①可知分别为方程的两个根，即，， 所以原式等价于． 因为，，所以原式等价于． 又由，作差得，，即， 所以原式等价于． 因为，原式恒成立，即恒成立， 令，，则不等式在上恒成立． 令，则． 当时，可见时，，所以在上单调递增， 又，在恒成立，符合题意； 当时，可见当时，；当时，， 所以在时单调递增，在时单调递减． 又，所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去． 综上所述，若不等式恒成立，只须，又，所以． 37．已知函数，其中. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围； (3)若在上存在两个极值点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）把问题转化为恒成立，即恒成立，利用基本不等式即可求解； （3）根据极值点的定义及韦达定理得到，并求出的范围，令并求出的范围，最后把转化为的函数，最后利用导数判断函数的单调性即可求解. 【详解】（1）当时，，定义域为， 所以， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）的定义域是， 函数在定义域上单调递增，则对恒成立， 即， 因为，当且仅当时等号成立， 所以时，恒成立，即在上单调递增. （3）在上有两个极值点， 则，即在上有两个不等实数根， 解得，且， 此时，， 令，则， 所以在上单调递减， 又由，由可知，即。 联立解得，所以。 且 所以的取值范围是. 38．已知，，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据题目条件移项后构建函数，利用函数单调性求出的关系，再结合的取值范围解出的取值范围. 【详解】由题可得：， 设，，则， 又，在上严格递增，故，即， 设，求导得：， 由对数函数性质可得：在区间单调递增，则， 故，函数在区间单调递增， ， 故的取值范围是. 39．已知，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将条件整理可得，.对于A：整理可得，令，结合导数分析判断即可；对于B：整理可得等价于，令，结合导数分析判断即可；对于C：整理可得等价于，令，，结合导数分析判断即可；对于D：令，，整理可得等价于，令，结合导数分析判断即可. 【详解】因为，则，可得， 由，则，解得. 对于选项A：由题意可得：，则， 令，则， 可知在内单调递减，则， 所以，即，故A正确； 对于选项B：因为，则等价于， 由题意可得：，则， 令，则， 可知在内单调递减，则， 所以，即，故B正确； 对于选项C：因为，则等价于，即， 令，，则， 可知在内单调递减，则， 所以，即，故C错误； 对于选项D：令，，则，即， 可得，，则等价于， 令，则， 令，则， 可知在内单调递增，则，即， 可知在内单调递增，则， 即，所以，故D正确. 故选：C. 40．函数的两个极值点满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据极值点为导函数的零点，整理变形得，然后令代入后表示出，代入目标式转化为关于的函数，利用导数求最值即可. 【详解】由题知，函数的定义域为，， 因为有两个极值点，所以，，则，① 令，因为，所以， 将代入①整理可得，， 所以， 令，则， 设，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以 故选：D 考点09 利用导数研究函数的零点 41．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．函数有2个极值点 C．若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 D．函数有5个零点 【答案】ABD 【分析】对函数求导，再根据导数与函数的关系验证选项的答案，对于D选项验证与函数y的解有几个交点. 【详解】由题目可知， 令，因为，则，即， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 可得当时，为极小值，，故A选项正确； 有两个零点，故有2个极值点，故B选项正确； 减区间为，故实数的取值范围是，故C选项错误； 对于D选项，令，则 ， ，解得或， 由A知 ，作出的图象和直线，由图可知有5个交点， 则函数有5个零点，故D选项正确.    42．（多选）设函数，则（    ） A．当时，只有一个零点 B．当时，在定义域内单调递增 C．对于任意实数的图象都是中心对称图形 D．若存在极值点，则一定存在两个 【答案】ACD 【分析】对于A选项，将代入，由对数函数的性质求解即可；对于B选项，将代入，求导，再由函数定义域求解即可；对于C选项，由函数中心对称的定义求解即可；对于D选项，由极值点条件，有解，且解两侧导数变号求解即可. 【详解】对于A选项，将代入可得，， 此时的定义域为，解得， 当时，即，解得， 所以当时，只有一个零点，故A正确； 对于B选项，当时，， ，因为， 所以，故，所以当时，在定义域内单调递减，故B错误； 对于C选项，因为函数的定义域为， ， ， 所以， 所以对称中心为，故C正确； 对于D选项，，， 当时，解得，令，， 当时，，所以，所以当时，无解，无极值点； 当时，的解为，但在两侧均有，不变号，非极值点； 当时，有两个解，在上单调递减，在单调递增，最小值为， 所以当时，存在两个极值点，故D正确. 43．已知函数和的图象上存在点关于直线对称，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】将问题转化为与有交点，分离参数构造函数，结合导数研究函数的单调性以及最值即可求解. 【详解】关于的对称函数为， 则函数和的图象上存在点关于直线对称时，与有交点， 则有解，即有解， 令，则时有，时，，单调递增， 时，，单调递减， 则，且，，，， 所以，则． 44．已知函数有四个不同零点且． (1)求的取值范围； (2)证明：； (3)证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）化简解析式得出是偶函数，利用偶函数性质将问题转化为在上有2个零点，结合单调性得出最小值，进而解出的取值范围； （2）将问题转化为，这是典型的极值点偏移问题，利用构造辅助函数的方法证明双零点的和大于极值点两倍即可； （3）利用切线放缩对两个零点分别作上界和下届估计，通过代数变形直接得到待证明的不等式. 【详解】（1） ，定义域为，且， 所以函数是偶函数，只需保证时，有2个不同零点即可满足函数总共4个不同零点. 当时， ，， 时，，所以函数在上单调递减， 时，，所以函数在上单调递增， 当且时，，时，， 所以，要使时，有2个不同零点，所以， 所以, 所以的取值范围为. （2）由（1）可知是偶函数，由偶函数性质，四个零点满足，且 ， 要证 ，等价于证明：， 只需证明 ， 其中 是时 的两个根， 构造辅助函数： ， 当时，，所以在上单调递减， 又，因此对任意有，即 又，故， 且，，因为 在上单调递增， 因此，即，代入得 所以. （3）令，则，其中 ，， 在处对作切线放缩：， 切线方程为：， 令， 所以， 所以 ， 令， ，所以 在 上严格单调递增，因此 是 的唯一解， 当 时， ；当 时，， 于是 在 上递减，在 上递增，故 ， 等号仅当 时成立， 所以对任意 ，有，等号仅在处成立， 代入解得， 在处对作切线放缩：， 切线方程为：， 同理可证对任意 ，有 等号仅在处成立，代入解得 所以 所以 等号仅当时成立，此时，函数零点唯一对应，等号成立条件为单点情况，严格小于关系成立，得证. 考点10 利用导数研究方程的根 45．已知函数. (1)若在处的切线与轴平行，求； (2)当时，求的单调区间； (3)若有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)的单调递增区间为 ，单调递减区间为 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义，，代入求解即可. （2）代入,对求导，讨论单调性即可. （3）有两个零点意味着与的函数在，有两个交点，研究本身的单调性与最值，即可求解出的范围. 【详解】（1）对求导，得， 因为在处的切线与轴平行，则，即， 解得. （2）当时， ， 而时， ，令，解得或(舍去)， 当时， ，，单调递增， 当时， ，，单调递减， 综上所述，的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）若有两个零点，即方程 有两个解， 因为，则方程等价于有两个解， 令，即与图象有两个交点， 对求导得，，令 ， ， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， ，当时， ，当 时，， 因此，当时，，故，单调递增， 当 时，，故，单调递减，所以在处取得最大值， ，当时， ，故，当 时，增长远慢于，故, 因此，要使 与有两个交点，则应有，即. 46．已知函数在上有两个极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数在上有两个极值点，转化为在上有两不等实根，即在上有两不等实根，再令，根据导数方法判断出函数的单调性，求出最值，作出简图，结合图像即可求出结果. 【详解】因为，所以， 由函数在上有两个极值点， 可得在上有两不等实根，即在上有两不等实根； 令，则， 由得； 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 即函数在上单调递减，在上单调递增；故； 又由在上有两不等实根， 即与曲线的图像有两不同交点， 结合图像可得. 47．已知函数，若对任意，过点均仅可作曲线的一条切线，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】设切点坐标，求导确定切线方程，代入，得到，由方程根的个数，转换成在上单调，进而可求解. 【详解】由，定义域为， 导数，设切点为 ， 切线斜率为​， 则切线方程：，又切线过点 ， 代入整理得： 由题意对任意，方程关于仅有一个解， 即函数在上单调， 求导得： ​ ，又， 符号由分子 决定， 要让单调，需恒正或恒负对所有成立， 当时，恒成立，此时当时，恒正或恒负不成立， 当时，若恒正或恒负对所有成立， 需满足和有相同零点， 有正根​​，，得， 即，解得​； 此时 对所有恒成立， 仅处等号成立，在单调递减，且，， 故对任意，方程仅有一个解，符合要求； 因此. 48．已知函数，则方程的根的个数为 ______． 【答案】3 【分析】根据函数解析式求得导函数并令，由导函数符号判断函数的单调性和函数值的符号，画出函数图象；将方程视为一元二次方程，解方程求得的值，结合函数图象即可求解． 【详解】由函数，则， 令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 又当时，；当时，； 当时，；当时取得极小值，；当时，， 所以函数的大致图象如下所示； 又， 解得或， 由函数图象可知，方程的根的个数为3． 49．定义：设是的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数的对称中心为，过可以作三条直线与图象相切，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用“拐点”是三次函数的对称中心求出函数解析式，然后利用导数的几何意义求出切点为的切线方程，将“过点作切线”问题转化为“方程根的个数”问题，最后利用导数研究三次函数的极值，确定m的取值范围. 【详解】可得，则，且，解得，，设切点为， 由，得， 则切线的斜率为， 所以切线方程为， 即， 因为切线经过点，所以， 化简得， 令，则， 由，得或， 当或时，，在和上递减， 当时，，在上递增， 所以的极小值为，极大值为， 由图象可知当时，直线与的图象有3个交点， 所以当时，关于的方程有3个不等的根， 即当，过可以作三条直线与图象相切. 【点睛】不要混淆“切点”和“过点”：切线过点，但不一定是切点，必须设切点为. 50．过点有两条直线与的图象相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设切点为，，切线斜率. 切线方程：，即. 切线过，代入得：， 整理得：. 由分离参数，得. 令，原题等价于与的图象有两个交点. 求导：，令，得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 故， 当时，，当时，， 作出的大致图象： 由此可知要使得与的图象有两个交点.，需满足 综上所述时，原方程有两个零点. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $