重难点02 计数原理及非线性回归（十大考点）（高效培优期末专项训练）数学人教A版高二选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦非线性回归与计数原理两大模块，以分层考点构建知识网络，通过多样化题型实现从模型构建到组合应用的逻辑递进，培养数学建模与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |非线性回归|15题|含指对数/根式等模型选择、回归方程求解|从数据特征分析到线性转换，体现数学建模过程| |计数原理|35题|涵盖相邻不相邻、分组分配、二项式定理应用|从排列组合基础到二项式综合，形成问题解决链|

重难点02 计数原理及非线性回归 考点01非线性回归-指对数 考点02非线性回归-其它 考点03非线性回归-根式 考点04相邻与不相邻综合考察 考点05分组分配问题 考点06 x+y+z=n整数解个数问题 考点07二项式系数和问题 考点08 奇次与偶次系数和问题 考点09 二项式最值问题 考点10 整除与余数问题 考点01非线性回归-指对数 1．某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 5.5 8.7 1.9 301 385 79.75 表中，. (1)依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出所选类型的回归方程. (2)为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表： 性别 佩戴头盔 合计 不佩戴 佩戴 女性 8 12 20 男性 14 6 20 合计 22 18 40 依据的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？ 参考公式：，，，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)更适合， (2)不能 【分析】（1）根据图形，即可作出判断，再将非线性回归方程转化成线性回归方程，再结合条件，求出，即可求解； （2）根据条件，求出的值，结合条件，即可求解. 【详解】（1）由图可以判断，更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型， 由，得到，因为，则， 则，所以，则. （2）零假设：市民佩戴头盔与性别无关联. 根据列联表中的数据，经计算得到： ， 根据小概率值的独立性检验，我们没有理由认为不成立，即认为市民佩戴头盔与性别没有关联. 2．某科技公司研发了一种新型电池，测试该新型电池从满电状态，每使用1小时其电量衰减情况，得到剩余电量（库仑）与使用时间（小时）的散点图，其中为正整数.    (1)利用散点图，判断与哪个更适宜作为回归模型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)在（1）的条件下， （i）求出剩余电量y与使用时间t的回归方程（精确到0.01）； （ii）当电池剩余电量低于0.3库仑时，电池报警提示需要充电，否则影响电池使用寿命，请利用所求回归方程，预判该新型电池从满电状态使用12小时后，是否会报警提示，并说明理由. 参考公式：.参考数据：记 45 12.02 1.55 20.20 285 -4.25 45.07 3.42 【答案】(1)更适宜作为回归模型. (2)（i）；（ii）会报警提示，理由见解析 【分析】（1）由散点图知，能更好地对与的关系进行拟合. （2）（i）两边取对数得，进而利用最小二乘法可求得回归方程；（ii）代入，计算可得结论. 【详解】（1）函数是均匀变化的，图象是一条直线， 函数的图象是一条曲线，选择恰当的可使更好拟合散点图. 所以更适宜作为回归模型. （2）（i）两边取对数得， 由于，故， ， 即，故， （ii）会报警提示，理由如下： 中，令得， 故会报警提示 3．（多选）下列命题正确的是（    ） A．随机变量，当最大，则的取值为3 B．以模型去拟合一组数据时，为求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是，0.3 C．已知关于的回归方程为，则样本数据点的残差为2.2 D．若，，则事件，相互独立 【答案】ABD 【分析】使用二项分布概率公式分析选项，使用线性回归方程及残差的定义分析选项，使用全概率公式和条件概率公式分析选项. 【详解】， 由，解得， 由，解得， 又因为，且，所以，选项正确； 已知，两边取自然对数得，令，则， 因为变换后的线性方程为，所以，，即，选项正确； 已知关于的回归方程为，当时，， 而样本数据点为，则残差，选项错误； 已知，，由条件概率公式， 则，即， 所以，即， 则事件，相互独立，选项正确. 4．某企业研究年宣传费（万元）对年利润（万元）的影响，得到近5年的数据如下： 1 2 3 4 5 4 7 12 20 33 经计算：，，令，，，，，，经分析．与呈线性相关关系，用最小二乘法求得线性回归方程，则关于的回归方程为（   ）（参考公式：，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定数据，利用最小二乘法求出关于的线性回归方程，进而求出关于的回归方程. 【详解】令，，由与呈线性相关关系，得线性回归方程， 则，， 因此，即，所以关于的回归方程为. 5．为研究某池塘中水生植物覆盖水塘的面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系．设，与的数据如表格所示，得到与的线性回归方程，则（    ） 3 4 6 7 2 2.5 4.5 7 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出样本中心点，进而求出，再还原模型即可. 【详解】依题意，， 由与的线性回归方程，得，则， 即，因此，所以. 考点02非线性回归-其它 6．学生的学习除了在课堂上认真听讲，还有一个重要环节就是课后的自主学习，包括提前预习，复习巩固等等，现在人们普遍认为花在课后的学习时间越多越好．某教研机构抽查了部分高中学生，对学生花在课后的学习时间（设为分钟）和他们的数学平均成绩（设为）做出了以下数据统计，请根据表格回答问题： 60 70 80 90 100 110 120 130 92 109 114 120 119 121 121 122 (1)从三个函数①．②（）．③中选择一个作为学习时间和平均成绩的回归类型，判断哪个类型更加符合，不必说明理由． (2)根据（1）中选择的回归类型，求出与的回归方程（系数精确到）． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 参考数据：，，， 【答案】(1)②合适 (2) 【分析】（1）利用函数①②③的性质及表中的数据，即可求解； （2）先将非线性回归方程转化成线性回归方程，再根据题设条件，利用最小二乘法，即可求解. 【详解】（1）由表格可知，增大时，值整体呈上升趋势但存在局部波动，比较函数①②③， 选择②（）作为学习时间x和平均成绩y的回归类型最合适. （2）对（）两边取以为底的对数可得， 设，则， ， ，所以， 故，即，所以. 7．某农业技术站研究化肥施用量对大棚青菜产量的影响.在一定范围内，施肥量（单位kg/亩）越大，青菜产量（单位kg/亩）越高.实验测得具体数据如下表： 施肥量 2 3 4 5 6 青菜产量 4200 4300 4350 4380 4400 根据散点数据特征，研究人员分析得出产量与施肥量近似满足的关系，取，经计算可知，，，， (1)请根据上述数据，计算得出产量y关于施肥量x的回归方程，并结合常识描述的实际意义，为简化计算，计算过程中、均精确到个位数. (2)若青菜的收购价格为2元/kg，化肥的采购价格为12元/kg，请从利润最大的角度给出大棚的最优施肥量. 参考公式：，. 【答案】(1)，实际意义是当化肥使用量无限增加时，青菜产量的理论上限为/亩 (2)当施肥量为10kg/亩时利润最大 【分析】（1）根据题意，利用回归系数的公式，求得，进而得出回归直线方程，结合的值，得出的实际意义； （2）由利润为，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）根据题意，可得， 又由， 所以产量y关于施肥量x的回归方程为， 其中的实际意义是当化肥使用量无限增加时，青菜产量的理论上限为/亩. （2）设利润为元/亩， 当且仅当kg/亩时取等，即当施肥量为10kg/亩时利润最大. 8．为了促进锂电产业发展，市创新研究院课题组对企业研发经费的投入和企业当年的销售收入的关系进行了研究，他们收集了上一年不同企业销售收入y（单位：10万元）与一定范围内的研发经费x（单位：10万元）的数据，根据收集的13组观测数据，得到如下的散点图，分别利用或建立y关于x的回归方程，令，得到如下数据，且与的相关系数分别为，，且. 10.15 108.40 3.04 0.16 14.00 11.67 0.21 21.22 (1)用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适； (2)根据（1）的结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； (3)已知企业的利润z满足，试根据回归方程求出企业利润的最大值. 参考数据和公式：，，，对于一组数据（，2，3，…，n），其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，相关系数. 【答案】(1)模型建立y与x的回归方程更合适； (2)； (3)960万元. 【分析】（1）利用非线性转化为线性，再求相关系数即可得到判断； （2）利用非线性转化为线性，再求线性回归方程系数即可得解； （3）利用基本不等式求最大值即可. 【详解】（1）由题意知，， 因为，所以用模型建立y与x的回归方程更合适. （2）令，回归方程为，因为，， 所以关于x的回归方程为，即. （3）由题意知， 当且仅当，即时取等号， 则，所以. 所以当研发经费投入为60万元时企业生产的利润最大，最大利润为960万元. 9．为研究某种图书每册的成本费元与印刷数册的关系，收集了一些数据并作了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值． 表中，． (1)根据散点图判断：与哪一个更适宜作为每册成本费元与印刷数册的回归方程类型？只要求给出判断，不必说明理由 (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； (3)若每册书定价为元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于元？假设能够全部售出 （附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，） 【答案】(1) (2)． (3)册 【分析】（1）因为散点图呈现的是非线性趋势，所以选择更合适； （2）令，将转化为线性回归方程，利用最小二乘估计公式计算和，进而得到关于的回归方程； （3）根据利润公式，结合回归方程列出不等式，求解不等式得到印刷数的取值范围，确定至少印刷的册数. 【详解】（1）由散点图的分布是非线性的，故适宜作为每册成本费与印刷册数的回归方程； （2）令，先建立关于的线性回归方程， 由于， ， 关于的线性回归方程为， 从而关于的回归方程为； （3）假设印刷册，依题意，， ， 至少印刷册． 10．学生的学习除了在课堂上认真听讲，还有一个重要环节就是课后的自主学习，包括提前预习，复习巩固等等，现在人们普遍认为花在课后的学习时间越多越好．某教研机构抽查了部分高中学生，对学生花在课后的学习时间（设为x分钟）和他们的数学平均成绩（设为y）做出了以下数据统计，请根据表格回答问题： x 60 70 80 90 100 110 120 130 y 92 109 114 120 119 121 121 122 (1)从三个函数①．②（）．③中选择一个作为学习时间x和平均成绩y的回归类型，判断哪个类型更加符合，不必说明理由． (2)根据（1）中选择的回归类型，求出y与x的回归方程（系数精确到0.01）． (3)请根据此回归方程，阐述你对花在课后的学习时间和成绩之间关系的看法． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 参考数据：，，, 【答案】(1)②合适 (2)； (3)答案见解析 【分析】(1)根据题意，经比较可得最合适的函数模型； (2)由(1)中模型可得，设，，则，利用公式可求后者，从而得到前者； (3)根据回归方程可得相应的看法. 【详解】（1）根据题意，经比较可知，选择②（）作为学习时间x和平均成绩y的回归类型最合适； （2）对（）两边取以e为底的对数可得， 设，则， ，所以， 故,即， 所以； （3）此回归方程为关于学习时间的增函数，说明随着课后的学习时间的增加，学习成绩是提高的，但是函数的增速先快后慢，说明如果原来成绩较低，通过增加课后的学习时间可以有效提高成绩，但是当成绩提高到120分左右时，想要通过延长课后的学习时间来提高学习成绩就比较困难了，需要想别的办法． 考点03非线性回归-根式 11．已知与及与的成对数据如下表，且关于的回归直线方程为． 0.1 0.4 0.9 1.6 2.5 3.6 4.9 1 4 6 8 9 10 1 4 9 16 25 36 49 0 4 7 9 11 12 13 (1)求关于的回归直线方程； (2)由散点图发现可以用函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（的值精确到0.01）； (3)又得到一组新数据，根据这对数据残差的绝对值的大小判断（1）（2）两个方程哪个拟合效果更好． 参考数据：． 参考公式：对于一组数据，其回归直线方程为，其中． 【答案】(1) (2) (3)（2）中方程的拟合效果更好． 【分析】（1）由表中数据得出，，代入已知回归方程可得； （2）令，利用已知数据求得回归方程，即得； （3）把代入两个回归方程求得模拟值，计算残差后比较可得. 【详解】（1）由表中数据得，则，， 又关于的回归直线方程为，则， 即关于的回归直线方程为． （2）若用函数模型拟合与的关系，则令，此时， 则，即， 又，所以关于的回归方程为． （3）（1）中关于的回归直线方程为， 所以当时，，残差为， （2）中关于的回归方程为，所以当时，， 残差为， 因为，所以（2）中方程的拟合效果更好． 12．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量．的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． x 46.6 y 563 w 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中． (1)根据散点图判断：与哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； (3)已知这种产品的年利润z与x、y的关系为．根据（2）的结果回答下列问题； ①年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：． 【答案】(1)适宜 (2) (3)①年销售量的预报值，年利润的预报值 ；② 【分析】（1）由散点图可知图象与的函数图象近似； （2）由图表可知，将转化为，即可建立关于的线性经验回归方程，结合参数公式及表格数据即可求出关于的线性经验回归方程，再转化为关于的经验回归方程； （3）①令求出年销售量和年利润的预报值；②将代入年利润预报值公式，再由基本不等式即可求出年利润最大值. 【详解】（1）由散点图可以判断，适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型． （2）令，先建立关于的线性经验回归方程．由于 ， 所以关于的线性经验回归方程为， 因此关于的经验回归方程为． （3）①由（2）知，当时，年销售量的预报值， 年利润的预报值. ②根据（2）的结果知，年利润的预报值． 所以当，即时，取得最大值． 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大． 13．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据： x 1.99 3 4 5.1 8 y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00 现有如下5个模拟函数：①；②；③；④；⑤，请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________(填序号). 【答案】④ 【分析】根据表中提供的数据，可通过描点，连线，画出图象，看哪个函数的图象能接近所画图象，这个函数便可反应这些数据的规律． 【详解】根据表中数据，画出图象如下：    通过图象可看出，能比较近似的反映这些数据的规律． 故答案为：④． 14．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售量y（单位：吨）和年利润z（单位：万元）的影响.对近8年的年宣传费和年销售量数据进行初步处理后，得到下面的散点图及一些统计量的值. 有下列5个曲线类型：①；②；③；④；⑤，则较适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③⑤ 【答案】B 【分析】先根据散点图确定函数图象的趋势，再结合5个函数图象，进行判断选择. 【详解】从散点图知，样本点分布在抛物线上或对数型曲线上，结合所给5个的曲线类型，所以或较适宜. 故选：B 15．经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表. 360 54.4 1360 44 384 3 588 32 6430    表中，，. (1)根据散点图判断，，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型并求出关于的回归方程（给出判断即可，不必说明理由）； (2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有8个鱼卵，其中“死卵”有3个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出两个鱼卵，求取出“死卵”个数为1的概率. 附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据散点图确定模型，代入数据计算即可； （2）设相应事件，可得相应概率，结合全概率公式计算概率运算求解； 【详解】（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数图象的周围， 所以适宜作为y与x之间的回归方程模型． 令，则， 则， 所以，所以y关于x的回归方程为． （2）设事件“所取两个鱼卵来自第i批”， 所以， 设事件“所取两个鱼卵有个“死卵”， 则， 由全概率公式， 所以取出“死卵”个数为1的概率为. 考点04相邻与不相邻综合考察 16．等6人在某博物馆前排成一列进入馆内参观，其中相邻，则不同的排队方法有__________种.（用数字作答） 【答案】 【分析】借助捆绑法计算即可得. 【详解】两人看作一个整体，内部有种排法， 整体和剩下4人，构成5个元素全排列有种排法， 故共有种， 故相邻，则不同的排队方法有240种. 17．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列选项中不正确的是（   ） A．课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 B．课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 C．课程“射”“御”排在不相邻的两周，共有240种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 【答案】C 【详解】对A：利用“捆绑法”，满足条件的排法有种，故A正确； 对B：因为课程“礼”排在“乐”的后面和课程“乐”排在“礼”的后面的情况一样多，所以满足条件的排法有种，故B正确； 对C：利用“插空法”，满足条件的排法有种，故C错误； 对D：满足条件的排法可分为两类： 第一类，“御”排在第一周，这样的排法有种； 第二类，“御”不排在第一周，这样的排法有种. 所以满足条件的排法种.故D正确. 18．为提高和展示学生的艺术水平，也为了激发学生的爱国热情，我校开展劳动节文艺汇演，共有6个节目，其中有两个舞蹈，三个唱歌，一个朗诵，若三个唱歌节目必须相邻，则有多少种不同排法（   ） A．24 B．36 C．96 D．144 【答案】D 【分析】相邻元素用捆绑法解题即可. 【详解】三个唱歌节目捆绑共种排法，再和其他三个节目进行排列， 共有种不同排法. 19．甲､乙､丙､丁､戊､己六名同学排成一排照相，则其中甲､乙､丙三人两两不相邻，且丙和丁相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，利用“捆绑法”和“插空法”计算符合条件的排列数，再求出6个元素总排列数，进而求出符合条件的概率． 【详解】已知丙丁相邻，捆绑丙丁有2种排列方式， “捆绑后的丙丁”与戊､己共3个元素排列，共种， “捆绑后的丙丁”与戊､己共3个元素排好后有4个空位，且甲、乙不与丙相邻： 若“捆绑后的丙丁”为“丙丁”，则丙左侧空位禁止插入甲或乙， 若“捆绑后的丙丁”为“丁丙”，则丙右侧空位禁止插入甲或乙， 故4个空位中仅有3个可供甲、乙插入，从3个空位中选2个插入甲、乙， 共计， 符合条件的总排列数为：， 6个元素总排列数为：， 符合条件的概率为：． 20．某中学准备在校园科技节展示5款不同的AI学习软件，分别是：豆包、讯飞星火、文心一言、元宝、即梦．在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻，且文心一言与讯飞星火两块展板不相邻，则有（   ）种不同的放置方式． A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【详解】根据题意将豆包、即梦捆绑为一个整体，则内部排列数为， 将豆包和即梦捆绑为一个整体，先排列该整体与元宝，所以排列数为， 2个元素排完后会产生 个空位， 又因为文心一言和讯飞星火不相邻， 所以从3个空位中选2个放入文心一言、讯飞星火，即排列数为 ， 所以总方法数为：. 考点05分组分配问题 21．幼儿园有三个不同的汽车玩具和三个不同的恐龙玩具，以下说法不正确的是（   ） A．将这6个玩具排成一排，其中汽车玩具排在一起有144种不同的排法 B．将这6个玩具排成一排，其中汽车玩具都不相邻的有144种不同的排法 C．将这6个玩具排成一排，其中三个汽车玩具的先后顺序一定的有120种不同的排法 D．将这6个玩具分给甲、乙两个小朋友，每人3个，一共有40种不同的分配方案 【答案】D 【详解】将汽车玩具作为一个整体，共有种不同的排法，故A正确； 先排恐龙玩具，再将汽车玩具插空，共有种不同的排法，故B正确； 先将所有玩具排列，再利用定序法求解，共有种不同的排法，故C正确； 先给甲3个，再给乙3个，共有种不同的分配方案，故D错误. 22．将6个相同的小球放入3个不同盒子里，盒子可空，则不同的放法种数为（   ） A． B． C．28 D．84 【答案】C 【分析】本题可采用隔板法求解，通过“借元”将原问题转化为每个盒子非空的情形进行计算. 【详解】将6个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空， 等价于将9个相同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空， 只需在9个相同的小球中间所形成的8个空位中插入2块板即可， 所以不同的放法种数为（种）. 23．现有5项不同的寒假实践任务（社区志愿服务、家庭劳动打卡、阅读报告、科技创新小制作、传统文化调研）要全部分配给3个不同的“综合素质评价小组”（小组、小组、小组），每个小组至少承担1项任务．则不同的分配方法数是（     ） A．90 B．150 C．240 D．300 【答案】B 【分析】先分类，再应用分组分配结合组合数及排列数计算求解. 【详解】将5个不同的任务分3组，有两种不同的方式， ①：“1，1，3”型，则有种分法；②：“2，2，1”型，则有种分法， 共有25种分法，将分好的3组分配给3个不同的“综合素质评价小组”，共有种分配方法． 24．有甲、乙、丙、丁在内的6人准备去亚洲仅有的4个发达国家研学深造，每个国家至少安排1人，甲和乙去的国家不同，丙和丁去的国家相同，不同的排法有（    ） A．240种 B．768种 C．216种 D．132种 【答案】C 【分析】利用排除法求解，先计算出满足丙和丁所学对象相同条件的，然后排除掉甲和乙所学对象相同求解即可. 【详解】将丙丁看成一个整体，则问题转化为五个人分配到四个国家，则有两个人分配到一起的情况有则总体的情况总有 其中甲和乙分配到相同的国家的情况有 则满足题意的有 故选：C. 25．现安排甲、乙、丙、丁、戊5位志愿者到三个社区做志愿服务工作，每个社区至少安排1人，每位志愿者只到一个社区，其中甲、乙安排在同一个社区的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出将5位志愿者安排到三个社区做志愿服务工作的分法种数，然后就甲、乙所安排的社区的志愿者人数进行分类讨论，利用计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率． 【详解】将甲、乙、丙、丁、戊5位志愿者安排到三个社区做志愿服务工作，每个社区的人数分别为3、1、1或2、2、1， 所以不同的分法种数为种； 现在考虑甲、乙安排在同一个社区， 若甲、乙所在社区有人，需从另外人中选人与甲、乙同组， 再将此人组和另外两个人组安排到三个社区，分法种数为种； 若甲、乙所在社区只有他们两人，需将剩余人分为一个人组和一个人组， 再将这三组（甲、乙组，人组，人组）安排到三个社区，分法种数为种． 综上所述，甲、乙安排在同一个社区的概率为． 考点06 x+y+z=n整数解个数问题 26．方程的非负整数的个数为（   ） A．495 B．715 C．1001 D．2002 【答案】B 【分析】利用隔板法求解. 【详解】，， 则问题转化为将14个相同的元素分成5份，每份至少1个， 需要在14个元素之间的13个空隙中插入4个隔板， 则方程非负整数解的个数有. 27．我们称各个数位上的数字之和为7的三位数为“安康数”，例如106和223，则所有的“安康数”共有（    ） A．15个 B．27个 C．28个 D．36个 【答案】C 【分析】用隔板法即可求解 【详解】法一：由题意，问题相当于用2个隔板把7个排成一排的球从左到右分成三份， 其中最左侧的一份至少有1个球，靠右侧的两份可以是0个球， 首先把第1个隔板放入从左到右依次插入这一排球所形成的8个空的后7个空中的一个， 再把第2个隔板插入第1个隔板所在空及其右侧的任意一个空，共有 个安康数. 法二：等价于从左到右三份分别对应 且 ， 若 ，则 ，即求出方程非负整数解的个数，由隔板法有 个安康数.∴选C 28．我们称各个数位上的数字之和为6的三位数为“吉祥数”，例如105和123，则所有的“吉祥数”共有（   ） A．22个 B．21个 C．20个 D．19个 【答案】B 【分析】法一：问题化为用2个隔板把6个排成一排的球从左到右分成三份，其中最左侧的一份至少有1个球，靠右侧的两份可以是0个球，应用分类计数原理求吉祥数的个数；法二：化为求方程非负整数解的个数. 【详解】法一：由题意，问题相当于用2个隔板把6个排成一排的球从左到右分成三份， 其中最左侧的一份至少有1个球，靠右侧的两份可以是0个球， 首先第1个隔板从左到右依次插入这一排球所形成的7个空的后6个空中的一个， 再把第2个隔板插入第1个隔板所在空及其右侧的任意一个空， 共有个吉祥数. 法二：等价于从左到右三份分别对应且，， 若，则，即求出方程非负整数解的个数， 由隔板法有个吉祥数. 29．已知数列：，，…，，，，设（，），若或2，则满足条件的不同数列的个数为（） A．7 B．21 C．35 D．70 【答案】B 【分析】通过递推关系或，将转化为求7个和为12的1、2组合的个数，用组合数即可求得结果. 【详解】已知数列，且，，则. 因为（，），若或2， 所以. 设这7个差值中有个1和个2，且，解得，. 问题转化为在7个位置中选5个放2（其余放1）的组合数，即. 因此，满足条件的不同数列的个数为. 故选：B. 30．三元一次方程的正整数解的组数为（    ） A．21 B．28 C．35 D．42 【答案】A 【分析】“将三元一次方程的正整数解的组数”转变为“等价于将8个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法”，利用隔板法即可求得结果. 【详解】三元一次方程的正整数解的组数， 等价于将8个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法. 只需要在8个小球中间的7个空位中选取2个空位用隔板隔开即可， 则共有种分法， 即三元一次方程的正整数解的组数为21. 故选：A. 考点07二项式系数和问题 31．若的二项展开式中只有第7项的二项式系数最大，则下列说法正确的是（     ） A． B．二项展开式中存在常数项 C．二项系数之和与各项系数之和不相等 D．二项展开式的第9项的系数最大 【答案】B 【详解】对A，因为的二项展开式中只有第7项的二项式系数最大， 所以展开式共有项，所以，错误； 对B，展开式的通项公式为， 令得，即展开式中第5项为常数项，正确； 对C，令可得各项系数和为，二项式系数和为，错误； 对D，第11项的系数为，第9项的系数为， 所以第11项的系数大于第9项的系数，错误. 32．关于的展开式，下列说法不正确的是（    ） A．二项式系数和为256 B．所有项系数之和为 C．二项式系数最大值为70 D．常数项为第四项 【答案】D 【分析】根据二项式系数的性质即可判断A、C选项；令，即可判断B选项；结合二项式的展开式的通项公式即可判断D选项． 【详解】二项式系数之和为，故A正确； 令，可得各项系数之和为，故B正确； ，二项式系数最大值为，故C正确； 展开式的通项公式为， 令，得，即常数项为第五项，故D错误． 33．的展开式中，奇数项的二项式系数和为（   ） A．210 B．29 C． D． 【答案】B 【详解】的展开式中，奇数项的二项式系数和为． 34．的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是（   ） A．84 B． C．15 D． 【答案】C 【分析】根据二项式系数公式求得，再根据通项公式令指数为0解出参数，最后带回公式求得常数项. 【详解】二项式系数和为， 则， 其展开式通项为， 令，所以常数项为. 35．展开式中的二项式系数和为512，则展开式常数项为（   ） A．84 B．28 C．28 D．84 【答案】D 【详解】因为展开式中所有二项式系数和为，所以，解得， 二项展开式的通项为， 令，即， 所以展开式中的常数项为 . 考点08 奇次与偶次系数和问题 36．已知，则下列结论中正确的个数是（   ） ①； ②； ③； ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用赋值法即可求解.对于①，令即可求解；对于②，令即可求解；对于③，令，与时的式子作差即可求解；对于④，令，结合①即可求解. 【详解】令，得，故①正确； 令，得（i），故②错误； 令，得（ii）， 由（i）-（ii）化简得，故③正确； 令，得， 则， 得，故④正确. 37．已知，则的值是（ ） A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】B 【分析】先根据二项式展开式的通项公式求出的值，再通过对进行赋值，结合已知等式求出的值，进而求出的值. 【详解】，故， 令，则， . 38．设，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二项式定理展开，再分别令和即可求解. 【详解】已知， 令，得， 令，得， 所以，故B正确. 39．若，则（   ） A．90 B．270 C．496 D．1024 【答案】C 【分析】利用赋值法求解即可. 【详解】令，则， 令，则， 相加得，解得. 40．设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，得， 令，得， 所以 ． 考点09 二项式最值问题 41．若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中第6项系数为（   ） A．1120 B． C． D．448 【答案】C 【详解】由题意得，故， 则展开式的通项为 且， 令，则，所以展开式中第6项系数为. 42．已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据二项式系数的性质来确定的值。 【详解】因为二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大， 所以二项式的展开式共7项，即，得. 43．若二项展开式中的各项的二项式系数只有第5项最大，则n的值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【详解】由二项式系数性质可知，当二项式系数存在唯一最大值时，该项为中间项， 已知展开式中二项式系数只有第5项最大，说明第5项为唯一中间项， 则，解得． 44．二项式的展开式中，系数最大的项为（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【答案】D 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 当为偶数时，，系数为正数，当为奇数时，，系数为负数， 因此只有为偶数时，能取到系数的最大值， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 因此当时，系数为是所有项中最大的系数， ，因此系数最大的项是第7项. 45．的展开式中，系数最大的项是第（    ）项. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出通项公式，可得第项的系数，设第项的系数最大，列不等式解出的范围，从而可得答案 【详解】的展开式通项公式为， 设第项为系数最大的项，则有， 解得，即， 所以的展开式中，系数最大的项是第项. 考点10 整除与余数问题 46．已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．除以5所得的余数是1 D． 【答案】C 【分析】根据二项展开式的形式，结合选项，合理利用赋值法求解，即可得到答案. 【详解】对于A，令，可得，所以A错误； 对于B，令，可得， 因为，所以，所以B错误； 对于C，由，所以除以5所得的余数是，所以C正确； 对于D，由二项式展开式的通项为， 可得为正数，为负数， 所以， 令，可得， 因为，所以，所以D错误. 47．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设为整数，若a和b被m除所得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为，若，，则b的值可以是（   ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【答案】D 【分析】利用二项式定理可证明被10除的余数为9，再对选项进行检验即可. 【详解】因， 而 ， 因此被10除的余数为9， 又因为，所以被10除的余数为9， 经检验在各选项中，只有2029被10除的余数为9，故的值可以是2029. 48．《孙子算经》对同余除法有较深的研究，设，，为整数，若和被除得余数相同，则称和模同余，记为，如12和7被5除得余数都是2，则记为.若，且，则可以为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】D 【分析】利用二项式定理算出除17余数，再根据题意求解即可. 【详解】 ， ，因为， 则 除以的余数为，因此除以余数也应为. ，余数为. 49．设n为正奇数，则被6整除的余数为（    ） A． B．0 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先将给出的代数式求和得，再将用二项式定理展开，求出余数. 【详解】 这项中，前项均为6的倍数， 因为为正奇数，所以第项，除以6余5， 所以被6整除的余数为5. 50．除以5的余数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据二项式展开式计算余数. 【详解】 因为， 所以除以5的余数为1，所以除以5的余数为， 所以除以5的余数与 除以5的余数相同，即余数为2. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点02 计数原理及非线性回归 考点01非线性回归-指对数 考点02非线性回归-其它 考点03非线性回归-根式 考点04相邻与不相邻综合考察 考点05分组分配问题 考点06 x+y+z=n整数解个数问题 考点07二项式系数和问题 考点08 奇次与偶次系数和问题 考点09 二项式最值问题 考点10 整除与余数问题 考点01非线性回归-指对数 1．某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 5.5 8.7 1.9 301 385 79.75 表中，. (1)依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出所选类型的回归方程. (2)为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表： 性别 佩戴头盔 合计 不佩戴 佩戴 女性 8 12 20 男性 14 6 20 合计 22 18 40 依据的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？ 参考公式：，，，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2．某科技公司研发了一种新型电池，测试该新型电池从满电状态，每使用1小时其电量衰减情况，得到剩余电量（库仑）与使用时间（小时）的散点图，其中为正整数.    (1)利用散点图，判断与哪个更适宜作为回归模型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)在（1）的条件下， （i）求出剩余电量y与使用时间t的回归方程（精确到0.01）； （ii）当电池剩余电量低于0.3库仑时，电池报警提示需要充电，否则影响电池使用寿命，请利用所求回归方程，预判该新型电池从满电状态使用12小时后，是否会报警提示，并说明理由. 参考公式：.参考数据：记 45 12.02 1.55 20.20 285 -4.25 45.07 3.42 3．（多选）下列命题正确的是（    ） A．随机变量，当最大，则的取值为3 B．以模型去拟合一组数据时，为求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是，0.3 C．已知关于的回归方程为，则样本数据点的残差为2.2 D．若，，则事件，相互独立 4．某企业研究年宣传费（万元）对年利润（万元）的影响，得到近5年的数据如下： 1 2 3 4 5 4 7 12 20 33 经计算：，，令，，，，，，经分析．与呈线性相关关系，用最小二乘法求得线性回归方程，则关于的回归方程为（   ）（参考公式：，） A． B． C． D． 5．为研究某池塘中水生植物覆盖水塘的面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系．设，与的数据如表格所示，得到与的线性回归方程，则（    ） 3 4 6 7 2 2.5 4.5 7 A． B． C． D． 考点02非线性回归-其它 6．学生的学习除了在课堂上认真听讲，还有一个重要环节就是课后的自主学习，包括提前预习，复习巩固等等，现在人们普遍认为花在课后的学习时间越多越好．某教研机构抽查了部分高中学生，对学生花在课后的学习时间（设为分钟）和他们的数学平均成绩（设为）做出了以下数据统计，请根据表格回答问题： 60 70 80 90 100 110 120 130 92 109 114 120 119 121 121 122 (1)从三个函数①．②（）．③中选择一个作为学习时间和平均成绩的回归类型，判断哪个类型更加符合，不必说明理由． (2)根据（1）中选择的回归类型，求出与的回归方程（系数精确到）． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 参考数据：，，， 7．某农业技术站研究化肥施用量对大棚青菜产量的影响.在一定范围内，施肥量（单位kg/亩）越大，青菜产量（单位kg/亩）越高.实验测得具体数据如下表： 施肥量 2 3 4 5 6 青菜产量 4200 4300 4350 4380 4400 根据散点数据特征，研究人员分析得出产量与施肥量近似满足的关系，取，经计算可知，，，， (1)请根据上述数据，计算得出产量y关于施肥量x的回归方程，并结合常识描述的实际意义，为简化计算，计算过程中、均精确到个位数. (2)若青菜的收购价格为2元/kg，化肥的采购价格为12元/kg，请从利润最大的角度给出大棚的最优施肥量. 参考公式：，. 8．为了促进锂电产业发展，市创新研究院课题组对企业研发经费的投入和企业当年的销售收入的关系进行了研究，他们收集了上一年不同企业销售收入y（单位：10万元）与一定范围内的研发经费x（单位：10万元）的数据，根据收集的13组观测数据，得到如下的散点图，分别利用或建立y关于x的回归方程，令，得到如下数据，且与的相关系数分别为，，且. 10.15 108.40 3.04 0.16 14.00 11.67 0.21 21.22 (1)用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适； (2)根据（1）的结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； (3)已知企业的利润z满足，试根据回归方程求出企业利润的最大值. 参考数据和公式：，，，对于一组数据（，2，3，…，n），其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，相关系数. 9．为研究某种图书每册的成本费元与印刷数册的关系，收集了一些数据并作了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值． 表中，． (1)根据散点图判断：与哪一个更适宜作为每册成本费元与印刷数册的回归方程类型？只要求给出判断，不必说明理由 (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； (3)若每册书定价为元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于元？假设能够全部售出 （附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，） 10．学生的学习除了在课堂上认真听讲，还有一个重要环节就是课后的自主学习，包括提前预习，复习巩固等等，现在人们普遍认为花在课后的学习时间越多越好．某教研机构抽查了部分高中学生，对学生花在课后的学习时间（设为x分钟）和他们的数学平均成绩（设为y）做出了以下数据统计，请根据表格回答问题： x 60 70 80 90 100 110 120 130 y 92 109 114 120 119 121 121 122 (1)从三个函数①．②（）．③中选择一个作为学习时间x和平均成绩y的回归类型，判断哪个类型更加符合，不必说明理由． (2)根据（1）中选择的回归类型，求出y与x的回归方程（系数精确到0.01）． (3)请根据此回归方程，阐述你对花在课后的学习时间和成绩之间关系的看法． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 参考数据：，，, 考点03非线性回归-根式 11．已知与及与的成对数据如下表，且关于的回归直线方程为． 0.1 0.4 0.9 1.6 2.5 3.6 4.9 1 4 6 8 9 10 1 4 9 16 25 36 49 0 4 7 9 11 12 13 (1)求关于的回归直线方程； (2)由散点图发现可以用函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（的值精确到0.01）； (3)又得到一组新数据，根据这对数据残差的绝对值的大小判断（1）（2）两个方程哪个拟合效果更好． 参考数据：． 参考公式：对于一组数据，其回归直线方程为，其中． 12．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量．的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． x 46.6 y 563 w 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中． (1)根据散点图判断：与哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； (3)已知这种产品的年利润z与x、y的关系为．根据（2）的结果回答下列问题； ①年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：． 13．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据： x 1.99 3 4 5.1 8 y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00 现有如下5个模拟函数：①；②；③；④；⑤，请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________(填序号). 14．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售量y（单位：吨）和年利润z（单位：万元）的影响.对近8年的年宣传费和年销售量数据进行初步处理后，得到下面的散点图及一些统计量的值. 有下列5个曲线类型：①；②；③；④；⑤，则较适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③⑤ 15．经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表. 360 54.4 1360 44 384 3 588 32 6430    表中，，. (1)根据散点图判断，，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型并求出关于的回归方程（给出判断即可，不必说明理由）； (2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有8个鱼卵，其中“死卵”有3个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出两个鱼卵，求取出“死卵”个数为1的概率. 附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 考点04相邻与不相邻综合考察 16．等6人在某博物馆前排成一列进入馆内参观，其中相邻，则不同的排队方法有__________种.（用数字作答） 17．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列选项中不正确的是（   ） A．课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 B．课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 C．课程“射”“御”排在不相邻的两周，共有240种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 18．为提高和展示学生的艺术水平，也为了激发学生的爱国热情，我校开展劳动节文艺汇演，共有6个节目，其中有两个舞蹈，三个唱歌，一个朗诵，若三个唱歌节目必须相邻，则有多少种不同排法（   ） A．24 B．36 C．96 D．144 19．甲､乙､丙､丁､戊､己六名同学排成一排照相，则其中甲､乙､丙三人两两不相邻，且丙和丁相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 20．某中学准备在校园科技节展示5款不同的AI学习软件，分别是：豆包、讯飞星火、文心一言、元宝、即梦．在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻，且文心一言与讯飞星火两块展板不相邻，则有（   ）种不同的放置方式． A．12 B．24 C．36 D．48 考点05分组分配问题 21．幼儿园有三个不同的汽车玩具和三个不同的恐龙玩具，以下说法不正确的是（   ） A．将这6个玩具排成一排，其中汽车玩具排在一起有144种不同的排法 B．将这6个玩具排成一排，其中汽车玩具都不相邻的有144种不同的排法 C．将这6个玩具排成一排，其中三个汽车玩具的先后顺序一定的有120种不同的排法 D．将这6个玩具分给甲、乙两个小朋友，每人3个，一共有40种不同的分配方案 22．将6个相同的小球放入3个不同盒子里，盒子可空，则不同的放法种数为（   ） A． B． C．28 D．84 23．现有5项不同的寒假实践任务（社区志愿服务、家庭劳动打卡、阅读报告、科技创新小制作、传统文化调研）要全部分配给3个不同的“综合素质评价小组”（小组、小组、小组），每个小组至少承担1项任务．则不同的分配方法数是（     ） A．90 B．150 C．240 D．300 24．有甲、乙、丙、丁在内的6人准备去亚洲仅有的4个发达国家研学深造，每个国家至少安排1人，甲和乙去的国家不同，丙和丁去的国家相同，不同的排法有（    ） A．240种 B．768种 C．216种 D．132种 25．现安排甲、乙、丙、丁、戊5位志愿者到三个社区做志愿服务工作，每个社区至少安排1人，每位志愿者只到一个社区，其中甲、乙安排在同一个社区的概率为（    ） A． B． C． D． 考点06 x+y+z=n整数解个数问题 26．方程的非负整数的个数为（   ） A．495 B．715 C．1001 D．2002 27．我们称各个数位上的数字之和为7的三位数为“安康数”，例如106和223，则所有的“安康数”共有（    ） A．15个 B．27个 C．28个 D．36个 28．我们称各个数位上的数字之和为6的三位数为“吉祥数”，例如105和123，则所有的“吉祥数”共有（   ） A．22个 B．21个 C．20个 D．19个 29．已知数列：，，…，，，，设（，），若或2，则满足条件的不同数列的个数为（） A．7 B．21 C．35 D．70 30．三元一次方程的正整数解的组数为（    ） A．21 B．28 C．35 D．42 考点07二项式系数和问题 31．若的二项展开式中只有第7项的二项式系数最大，则下列说法正确的是（     ） A． B．二项展开式中存在常数项 C．二项系数之和与各项系数之和不相等 D．二项展开式的第9项的系数最大 32．关于的展开式，下列说法不正确的是（    ） A．二项式系数和为256 B．所有项系数之和为 C．二项式系数最大值为70 D．常数项为第四项 33．的展开式中，奇数项的二项式系数和为（   ） A．210 B．29 C． D． 34．的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是（   ） A．84 B． C．15 D． 35．展开式中的二项式系数和为512，则展开式常数项为（   ） A．84 B．28 C．28 D．84 考点08 奇次与偶次系数和问题 36．已知，则下列结论中正确的个数是（   ） ①； ②； ③； ④ A．1 B．2 C．3 D．4 37．已知，则的值是（ ） A．30 B．31 C．32 D．33 38．设，则的值为（   ） A． B． C． D． 39．若，则（   ） A．90 B．270 C．496 D．1024 40．设，则（   ） A． B． C． D． 考点09 二项式最值问题 41．若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中第6项系数为（   ） A．1120 B． C． D．448 42．已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 43．若二项展开式中的各项的二项式系数只有第5项最大，则n的值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 44．二项式的展开式中，系数最大的项为（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 45．的展开式中，系数最大的项是第（    ）项. A． B． C． D． 考点10 整除与余数问题 46．已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．除以5所得的余数是1 D． 47．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设为整数，若a和b被m除所得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为，若，，则b的值可以是（   ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 48．《孙子算经》对同余除法有较深的研究，设，，为整数，若和被除得余数相同，则称和模同余，记为，如12和7被5除得余数都是2，则记为.若，且，则可以为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 49．设n为正奇数，则被6整除的余数为（    ） A． B．0 C．4 D．5 50．除以5的余数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $