重难点03 全概率公式及二项分布（十大考点）（高效培优期末专项训练）数学人教A版高二选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦全概率公式与二项分布两大主题，通过10个考点50道题构建从基础到综合的训练体系，注重数学思维与实际应用结合。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |全概率公式|20题|包含基础运算、逻辑推理、古典概型综合及贝叶斯应用|从简单条件概率到复杂全概率计算，逐步提升逻辑推理能力| |二项分布|30题|涵盖概率最大问题、与超几何/数列/导数综合及数学建模|从单一分布到多知识综合应用，培养数学建模与数据分析能力|

重难点03 全概率公式及二项分布 考点01全概率与数学运算能力并存 考点02全概率与逻辑能力并存 考点03全概率与古典综合 考点04全概率与其它综合 考点05服从二项分布概率最大问题 考点06二项分布与超几何分布的综合问题 考点07二项分布与数列综合 考点08 二项分布与导数综合 考点09 数学建模 考点10 二项分布与其它知识综合 考点01全概率与数学运算能力并存 1．已知某同学第一次投篮命中率为0.6．第一次投篮不中的条件下第二次投篮命中的概率为0.8．第一次投篮命中的条件下第二次投篮命中的概率为0.5．则该同学第二次投篮不中的概率为（     ） A．0.38 B．0.34 C．0.28 D．0.24 2．某公司开发了两款智能模型和用于客服系统．测试期间，系统在第1天随机选择一款模型投入使用．若第1天使用模型，则第2天继续使用模型的概率为0.6；若第1天使用模型，则第2天切换到模型的概率为0.8．则第2天使用模型的概率为（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9 3．已知甲组有名男生名女生，乙组有2名男生4名女生，如果随机选1个组，再从该组中随机选1名学生，则该学生是女生的概率为（    ） A． B． C． D． 4．甲箱中有2个红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球和3个黑球，先从甲箱中随机摸出一个球放入乙箱中，再从乙箱中摸出2个球，分别用，，表示从甲箱中摸出的球是红球，白球和黑球的事件，用表示从乙箱中摸出的2个球颜色不同的事件，则下列错误的是（     ） A． B． C． D． 5．某学校有､两家餐厅，王同学第天午餐时随机选择一家餐厅用餐.如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为；如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为，则王同学第天去餐厅用餐的概率为（    ） A． B． C． D． 考点02全概率与逻辑能力并存 6．信道中可传输的数字信号为三种之一，传输的概率为，传输的概率为，传输的概率为．由于信道噪声干扰，每个数字被正确接收的概率为，被误收为另外两种数字的概率均为，且每个数字的传输与接收相互独立，则接收的数字序列为的概率是（    ） A． B． C． D． 7．小明在某不透明的盒子中放入4红5黑共9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色），现从剩下8个小球中取出两个小球，则这两个小球都是黑球的概率为（   ） A． B． C． D． 8．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1，假设发送信号0和1是等可能的.已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为（   ） A． B． C． D． 9．一袋中装有7个盲盒，已知其中3个是玩具盲盒，4个是文具盲盒，甲、乙两个小孩从中先后任取一个盲盒，则乙取到的是玩具盲盒的概率为（    ） A． B． C． D． 10．一个不透明的盒子中有质地、大小均相同的10个小球，其中有5个红球，3个白球，2个黑球，现采取不放回的方式每次从盒中随机抽取一个小球，则第二次抽到红球的概率为（   ） A． B． C． D． 考点03全概率与古典综合 11．现有编号分别为的三个盒子，其中盒中共20个小球，其中红球6个，盒中共20个小球，其中红球5个，盒中共30个小球，其中红球6个.现从所有球中随机抽取一个，记事件：“该球为红球”，事件：“该球出自编号为的盒中”，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．若从所有红球中随机抽取一个，则该球来自盒的概率最小 12．已知甲箱中有3个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 13．已知甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个红球和3个白球.从甲袋中随机摸出一个球放入乙袋，再从乙袋中摸出一个球，则从乙袋中摸到红球的概率为（   ） A． B． C． D． 14．有一款开盲盒游戏，共有6个外观完全相同的盒子，每个盒子中分别装有1个玩具，共有款玩具1个，款玩具2个，款玩具3个，游戏参与者随机打开盒子；一次只能开一个，设事件“在第一次打开的是装有款玩具的盒子”，事件“在第二次打开的是装有款玩具的盒子”.则（    ） A． B． C． D． 15．现有个相同的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个球取后不放回），若第三次取出的球为白球的概率是，则在前两次取出的球是白球的条件下，第三次取出的球是白球的概率是（    ） A． B． C． D． 考点04全概率与其它综合 16．l8世纪英国数学数理统计学家托马斯·贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中是一组两两互斥的事件，，且，是中任意事件， ，称为事件B的全概率．现有一种医学检验方法，对患有X疾病的人化验结果呈阳性，对未患有X疾病的人化验呈阴性，我们称检测为阴性的人中患病的概率为漏诊率．现已知某地区X疾病的患病率为0.04，利用贝叶斯公式，则这种医学检验方法在该地区的漏诊率大约为（   ） A．0.001 B．0.002 C．0.003 D．0.004 17．某疾病在人群中的患病率为．检测方法的灵敏度（即患者检测结果为阳性的概率）为，特异度（即非患者检测结果为阴性的概率）为．如果某人检测结果为阳性，他实际患病的概率约为（   ） A． B． C． D． 18．随着某市经济的蓬勃发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（    ） A． B． C． D． 19．人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（     ） A． B． C． D． 20．随着互联网的发展，AI的出现为人们提供了很大的便利.某企业员工小唐撰写报告选择文心一言、豆包、DeepSeek的概率均为，而使用文心一言、豆包、DeepSeek出错的概率分别为、、，结果今天他的报告有误，在此条件下，他选择文心一言写报告的概率为（   ） A． B． C． D． 考点05服从二项分布概率最大问题 21．已知一篮球爱好者每次投篮投进的概率均为，若该篮球爱好者进行投篮训练20次，则该篮球爱好者投篮最有可能投进的次数为（   ） A．12或13 B．13 C．13或14 D．14 22．某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 23．一个质点在随机外力的作用下，从数轴上数字所对应的位置出发，每隔秒向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为，则秒后质点最有可能落在数轴上（    ）所对应的位置. A． B． C． D． 24．为研究不同性别学生对“deep seek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deep seek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，设其中了解deep seek的学生的人数为X，则当取得最大值时的（）值为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 25．某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．8或9 考点06二项分布与超几何分布的综合问题 26．袋中装有大小相同、质地均匀的3个红球和2个黑球．从袋中每次随机取1个球，有放回地取3次，设取出红球的个数为X；从袋中每次随机取1个球，无放回地取3次，设取出红球的个数为Y．下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 27．（多选）下列命题中，正确的命题是（    ） A．已知随机变量服从二项分布，若，，则 B．某人在10次射击中，击中目标的次数为，，当时概率最大 C．样本相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 D．已知，，，则 28．（多选）某科技公司推出了一项全民互动体验项目，该项目利用AI技术为用户生成个性化数字人形象.已知每位用户生成的数字人形象相互独立，且遵循以下生成规则：①风格类型分为国风、科技风、萌趣风三类，每种类型生成的概率分别为 ②动作特效分为抱拳、奔跑、比心三类，动作特效的生成概率与风格类型相关，其规律如下，若生成的风格类型为国风，则生成的动作特效为抱拳、奔跑、比心的概率分别为 ；若生成的风格类型为科技风，则生成的动作特效为抱拳、奔跑、比心的概率均为 ；若生成的风格类型为萌趣风，则生成的动作特效为抱拳、奔跑、比心的概率分别为 ③隐藏款判定，若生成的数字人形象的风格类型与动作特效满足国风配抱拳或科技风配奔跑或萌趣风配比心，则该数字人形象为隐藏款，否则为普通款.下列说法正确的是（    ） A．随机抽取 1位用户，则事件“数字人形象风格类型为科技风”与事件“数字人形象动作特效为奔跑”相互独立 B．随机抽取1位用户，则该用户的数字人形象为隐藏款的概率是 C．随机抽取9位用户，记生成的数字人形象为隐藏款的人数为随机变量，则最大 D．随机抽取 2位用户，记生成的数字人形象为隐藏款的人数为随机变量，另外随机抽取3位用户，记生成的数字人形象为普通款且动作特效为奔跑的人数为随机变量η，则 29．机床是工业母机，是一切制造之母，五轴联动数控机床是最高端的数控机床之一．某企业用五轴联动数控机床生产的高精密零件的壁厚d（单位：）近似的服从正态分布，若时，高精密零件合格，从该企业生产的此高精密零件中随机抽取1个，则此高精密零件合格的概率约是____________，该企业某月生产了1999个此高精密零件，其中有k个合格品的概率是，则最大时，____________． （参考数据：若，则，，） 30．某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛结果相互独立. (1)若比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得3分，负者获得1分；②连续2局获胜或积分率先达到11分者可获得冠军，比赛结束.已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为.求甲乙决出冠军时比赛局数X的分布列与数学期望； (2)若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.已知甲乙进行了n局比赛且甲胜了11局，试给出n的估计值（X表示n局比赛中甲胜的局数，以使得最大的n的值作为n的估计值） 考点07二项分布与数列综合 31．（多选）某人在次射击中，击中目标的次数为，，其中，，击中偶数次为事件，则下列说法正确的是（） A．当时，取得最大值 B．若，，则的取值范围是 C．若，，当取最大值时，则 D．当时，随着n的增大而减小 32．为了研究一种新型电子元件的稳定性，工程师对其进行压力测试．已知该元件在单次测试中正常工作的概率是，且每次测试的结果相互独立． (1)若，现对该元件进行3次测试，记正常工作的次数为，求的分布列； (2)一个测试序列由连续测试组成，直到元件首次出现故障为止．设为该序列中元件正常工作的次数，定义“稳定指数”为且，求的期望； (3)现对两个相同的元件同时进行测试，每轮对各进行一次测试．记为首次出现“恰好一个元件正常工作”总共进行的测试轮数，若，求． 参考公式：若，则． 33．某小区内有两家超市A，B．小区的居民经常去这两家超市购物，经过一段时间的统计发现，第i天选择超市A的居民第（i＋1）天选择超市A和超市B的概率均为；第i天选择超市B的居民第（i＋1）天选择超市A和超市B的概率分别为和．已知居民第1天选择超市A的概率为，选择超市B的概率为． (1)求居民第2天选择超市A购物的概率； (2)若有3位居民第1天和第2天都去购物（3位居民的选择互不影响），记第2天选择超市A购物的人数为X，求X的分布列及数学期望； (3)若某居民每天都去超市购物，记第n天选择超市A的概率为，且有，数列的前n项和为，求出，并证明． 34．某湿地公园有两条散步路线，分别记为路线和路线．湿地附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和．已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为． (1)若有4位居民连续两天去湿地散步，记其中第二天选择路线散步的人数为，求的分布列和数学期望； (2)若某居民每天都去湿地散步，记他第天选择路线的概率为． （i）证明：数列是等比数列； （ii）设，证明：． 35．某公司开展“每月幸运抽好礼”活动，规则如下：在抽奖箱中放入标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外无任何差异，每位参与者从抽奖箱中随机抽取1个球，抽到3号球即可获得礼品，每次抽取后将球放回抽奖箱中，每位员工每月仅参与一次． (1)设该公司A部门有4位员工参加该活动，用X表示获得礼品的人数，求X的分布列和数学期望； (2)该公司B部门有20位员工参加该活动，用Y表示获得礼品的人数，令，，若为数列的最大项，求k的值． 考点08 二项分布与导数综合 36．某企业生产的芯片独立出厂，每件芯片出现故障的概率为，正常的概率为.现对一批芯片开展批量抽样检测，连续抽取件芯片，记其中故障芯片的件数为随机变量. (1)连续抽取4件芯片，在至少出现2件故障芯片的条件下，求恰好出现3件故障芯片的概率； (2)当时，记恰好出现2件故障芯片的概率为.若对任意，恒有，求实数的最小整数值； (3)若始终满足，求证：对任意正整数，都有. 37．某学校组织“校园文化”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛两个阶段，每位参加比赛的同学，初赛必须回答3个问题，每题答对得1分，答错得0分，且初赛总得分不低于2分方可晋级复赛；复赛分为3轮，每轮设置2个问题，每题答对得2分，答错得0分，晋级复赛的选手需完成全部复赛问题，复赛3轮得分累加为复赛总得分． 已知小张同学在初赛中每题答对的概率均为；复赛每轮中，第1题答对的概率为，第2题答对的概率为0.3，且所有问题之间的回答结果互不影响. (1)求小张同学成功晋级复赛的概率； (2)已知小张同学已晋级复赛. （i）若，求小张同学复赛总得分为10分的概率； （ii）设小张同学在复赛3轮中，恰有2轮每轮得分不低于2分的概率为，求的最大值. 38．2026年7月1日起，由工业和信息化部制定的《电动汽车用动力蓄电池安全要求》将开始实施，这标志着国家对新能源汽车的安全性提出了更高的要求.某新能源车企为提升产品安全性的同时提高生产效率，对旗下一款车型的核心零部件开展质量检测与生产数据分析，该企业统计了近5个月核心零部件的月生产量（单位：千件）与月检测成本（单位：万元），得到如下数据： 2 3 4 5 6 3.2 4.2 5.1 5.8 6.7 (1)求关于的回归直线方程，并估计月产量达1万件时的月检测成本； (2)该企业对核心零部件的检测采用以下方案：从一批次的该零部件中随机抽取3件进行初检，若初检中不合格零部件数量不超过1件，则判定此批次零部件合格，否则对剩余的产品进行全面复检.若该零部件的不合格率为，且每件零部件的检测结果相互独立，该零部件需要进行复检的概率为，若是关于的函数，求证：函数的图象关于点对称. 参考公式： 39．某校数学兴趣小组的成员们通过查阅资料得知，抛掷一枚图钉钉尖朝上的概率约为0.4．他们决定通过做大量重复的抛图钉试验来验证这一数据，假设这批图钉的质地一致，且每次抛图钉的结果相互独立．他们实施试验的步骤如下： 第一步：所有10名成员分工合作，每人重复抛一枚图钉10次，记录钉尖朝上的次数； 第二步：所有10名成员的记录相加得到一个总次数． 重复以上两个步骤共计10轮，用表示在第轮中10名成员的记录相加所得的总次数，． (1)若查阅资料所得的概率数据可靠，请问成员甲在第1轮的10次试验中共出现几次钉尖朝上的概率最大？ (2)整个试验所得的10个总次数记录如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 36 36 48 36 41 44 43 42 37 35 用表示事件“上表记录的10轮试验结果”，设抛掷一枚图钉钉尖朝上的概率为，则的取值应使事件发生的概率尽可能大． （i）请写出事件发生的概率的表达式； （ii）当取最大值时，求的值，并据此判断查阅资料所得的概率数据是否可靠？（如果，则认为查阅资料所得的概率数据可靠，否则不认为可靠） 40．某区域中的物种拥有两个亚种．设从该区域中随机捕获1个物种的个体，该个体为种的概率为，为了估计该区域中物种的个体总数，研究人员从该区域中随机捕获3个个体，设3个个体中种的数目为，再将捕获的个体全部放回，作为一次试验结果，重复上述试验共6次．记第次捕获时种的数目为．统计结果如下表： 1 2 3 4 5 6 3 3 2 3 1 3 (1)求的分布列； (2)设函数，已知该区域中种的个体数为180．（将使取得最大值的值作为的估计值） （i）求的估计值； （ii）据（i）估计该区域中物种的个体总数． 考点09 数学建模 41．甲、乙两人下棋，甲每局获胜的概率为，某天两人进行一场五局三胜的比赛，最终胜者将赢得100元的奖金，不考虑平局.在比分是的情况下，甲应该分_________元奖金比较公平． 42．一个盒子里有1红1绿4黄六个除颜色外均相同的球，每次拿一个，共拿三次，记拿到黄色球的个数为.若取球过程是有放回的，则事件发生的概率为______. 43．排球比赛实行“五局三胜制”（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲、乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球比赛中甲队获胜的概率为________． 44．如图所示，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次.该质点位于4的概率为__________；在该质点有且仅有一次经过点1的条件下，共经过两次2的概率为__________. 45．下列例子中随机变量服从二项分布的有________． ①随机变量表示重复抛掷一枚骰子次中出现点数是3的倍数的次数； ②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数； ③有一批产品共有件，其中件为次品，采用有放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数； ④有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数． 考点10 二项分布与其它知识综合 46．在11分制乒乓球比赛中，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.某局在双方10:10平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束. (1)求； (2)记事件“且甲获胜”的概率为. ①求； ②求. 47．某工厂生产一种零件，其标准尺寸参数，计划生产每种尺寸零件的概率相等，实际生产过程中有10%的概率发生工艺缺陷，无缺陷时，生产出来的零件为标准尺寸，若发生工艺缺陷，则生产出来的零件尺寸会缩减为标准尺寸的一半，且每次生产过程独立进行． (1)连续生产10个该种零件，记有X个零件有工艺缺陷，求X最有可能的取值； (2)求实际生产一个零件的尺寸的分布列和期望． 48．某科技公司生产精密零件，零件质量指标.规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立. 附：若，则. (1)现从该公司生产的零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； (2)从该公司生产的零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与数学期望. 49．为了培养学生的应用能力和创新思维，提高学生的科学素养，某学校开展了人工智能课程.为了解该校学生对相关人工智能课程的兴趣程度，对学生进行了简单随机抽样，获得数据如下表： 非常感兴趣 一般感兴趣 不感兴趣 合计 小学 20人 40人 40人 100人 初中 50人 30人 20人 100人 合计 70人 70人 60人 200人 假设小学生和初中生每人对人工智能课程的兴趣程度互不影响. 用频率估计概率. (1)从该校初中生中随机抽取3名同学，估计这3名同学中至少有两名同学对课程都“非常感兴趣”的概率； (2)规定：每名“非常感兴趣”的学生记5分，每名“一般感兴趣”的学生记3分，每名“不感兴趣”的学生记1分. 根据学生的兴趣程度采用分层抽样的方式，按照学生人数比例先从样本中的小学生中抽取了10人，再从这10人中随机抽取2人．记为这2人的得分之和，求的分布列和数学期望； (3)记样本中的小学生中“非常感兴趣”、“一般感兴趣”、“不感兴趣”的频率依次为，其方差为；样本中的初中生中“非常感兴趣”、“一般感兴趣”、“不感兴趣”的频率依次为，其方差为；的方差为．写出的大小关系．结论不要求证明. 50．年全国青少年科技创新大赛采用两轮晋级制，参赛选手需顺利通过第一轮考核，方可获得第二轮参赛资格，两轮考核全部通过者，将正式取得代表学校参与更高层次竞赛的宝贵资格.已知小明、小华，小方位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为、、，假设他们之间通过与否相互独立. (1)求这人中至多有人通过第一轮的概率； (2)从人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点03 全概率公式及二项分布 考点01全概率与数学运算能力并存 考点02全概率与逻辑能力并存 考点03全概率与古典综合 考点04全概率与其它综合 考点05服从二项分布概率最大问题 考点06二项分布与超几何分布的综合问题 考点07二项分布与数列综合 考点08 二项分布与导数综合 考点09 数学建模 考点10 二项分布与其它知识综合 考点01全概率与数学运算能力并存 1．已知某同学第一次投篮命中率为0.6．第一次投篮不中的条件下第二次投篮命中的概率为0.8．第一次投篮命中的条件下第二次投篮命中的概率为0.5．则该同学第二次投篮不中的概率为（     ） A．0.38 B．0.34 C．0.28 D．0.24 【答案】A 【分析】利用全概率公式求得第二次命中的概率后可得． 【详解】第二次命中的概率为, 所以第二次投篮不中的概率为． 2．某公司开发了两款智能模型和用于客服系统．测试期间，系统在第1天随机选择一款模型投入使用．若第1天使用模型，则第2天继续使用模型的概率为0.6；若第1天使用模型，则第2天切换到模型的概率为0.8．则第2天使用模型的概率为（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9 【答案】C 【分析】根据全概率公式，代入求解，即可得答案. 【详解】设第2天使用模型为事件C，则. 3．已知甲组有名男生名女生，乙组有2名男生4名女生，如果随机选1个组，再从该组中随机选1名学生，则该学生是女生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记事件为“选出的学生是女生”，事件为“选中甲组”，事件为“选中乙组”. ∵ 随机选取个组，两组被选中的概率相等，∴ . ∵ 甲组共有名学生，其中女生2名，∴ . ∵ 乙组共有名学生，其中女生4名，∴ . 根据全概率公式可得， ∴ . 4．甲箱中有2个红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球和3个黑球，先从甲箱中随机摸出一个球放入乙箱中，再从乙箱中摸出2个球，分别用，，表示从甲箱中摸出的球是红球，白球和黑球的事件，用表示从乙箱中摸出的2个球颜色不同的事件，则下列错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用古典概率可求A，利用条件概率可求B，利用全概率公式可求C，利用贝叶斯公式可求D. 【详解】由题意，A正确； 若发生，则乙箱中有3个红球，3个黑球和1个白球，，B正确； ，C正确； ，D不正确. 5．某学校有､两家餐厅，王同学第天午餐时随机选择一家餐厅用餐.如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为；如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为，则王同学第天去餐厅用餐的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用全概率公式计算求解. 【详解】第1天随机选择餐厅，因此第1天去A餐厅的概率，第1天去B餐厅的概率. 第1天去A、第2天去A：概率为. 第1天去B、第2天去A：概率为 . 总概率为 . 考点02全概率与逻辑能力并存 6．信道中可传输的数字信号为三种之一，传输的概率为，传输的概率为，传输的概率为．由于信道噪声干扰，每个数字被正确接收的概率为，被误收为另外两种数字的概率均为，且每个数字的传输与接收相互独立，则接收的数字序列为的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，先计算条件概率，再代入全概率公式计算求解． 【详解】设事件表示“接收的数字序列为”，表示“传输的数字序列为”， 表示“传输的数字序列为”，表示“传输的数字序列为”， 由题意可得，，，， 则， ， ， ． 7．小明在某不透明的盒子中放入4红5黑共9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色），现从剩下8个小球中取出两个小球，则这两个小球都是黑球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】第一次丢掉球有红、黑两种可能，分别计算剩余球中取两个黑球的概率，再利用全概率公式计算即可. 【详解】用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为黑球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球， 则， 由全概率公式可得. 8．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1，假设发送信号0和1是等可能的.已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由全概率公式求出接收到的信号为0的概率，再利用条件概率公式计算即可求解. 【详解】设“发送的信号为0”， “接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”， “接收到的信号为1”， 由题意得，，，，， ， ． 9．一袋中装有7个盲盒，已知其中3个是玩具盲盒，4个是文具盲盒，甲、乙两个小孩从中先后任取一个盲盒，则乙取到的是玩具盲盒的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】①当甲取到玩具盲盒且乙也取到玩具盲盒时，； ②当甲取到文具盲盒且乙取到玩具盲盒时，. 所以乙取到玩具盲盒的概率为． 10．一个不透明的盒子中有质地、大小均相同的10个小球，其中有5个红球，3个白球，2个黑球，现采取不放回的方式每次从盒中随机抽取一个小球，则第二次抽到红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设第一次抽到红球为事件，第二次抽到红球为事件，第一次抽到白球为事件，第一次抽到黑球为事件， 则，，，，， 所以． 考点03全概率与古典综合 11．现有编号分别为的三个盒子，其中盒中共20个小球，其中红球6个，盒中共20个小球，其中红球5个，盒中共30个小球，其中红球6个.现从所有球中随机抽取一个，记事件：“该球为红球”，事件：“该球出自编号为的盒中”，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．若从所有红球中随机抽取一个，则该球来自盒的概率最小 【答案】B 【分析】选项A，条件概率计算；选项B，用全概率公式计算；选项C，利用对立事件转化为，再用贝叶斯公式计算；选项D，分别计算各盒红球在总红球中的占比再比较大小. 【详解】先整理基本量：总球数，红球总数，逐个验证选项： 选项A，，A正确； 选项B，由全概率公式，，B错误； 选项C，，C正确； 选项D，从所有红球中抽取，来自概率概率概率概率最小，D正确. 12．已知甲箱中有3个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，条件概率及全概率公式可得答案. 【详解】记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件， 根据题意可得， ， 所以 . 13．已知甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个红球和3个白球.从甲袋中随机摸出一个球放入乙袋，再从乙袋中摸出一个球，则从乙袋中摸到红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考虑从甲袋中取出的球是白球还是红球，根据全概率公式，即可求得答案. 【详解】设事件表示“从甲袋取出又放入乙袋中的球是红球”，则事件表示“从甲袋中取出又放入乙袋中的球是白球”， 事件表示“最后从乙袋中取出的球是红球”， 所以，故，， 故，故A正确. 14．有一款开盲盒游戏，共有6个外观完全相同的盒子，每个盒子中分别装有1个玩具，共有款玩具1个，款玩具2个，款玩具3个，游戏参与者随机打开盒子；一次只能开一个，设事件“在第一次打开的是装有款玩具的盒子”，事件“在第二次打开的是装有款玩具的盒子”.则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对第一次是不是打开装有款玩具的盒子分两种情况计算，再计算，最后利用条件概率公式即可求得. 【详解】由题意知，总共有6个盒子，3个装有款玩具， 则，，，， 所以， 而，所以. 15．现有个相同的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个球取后不放回），若第三次取出的球为白球的概率是，则在前两次取出的球是白球的条件下，第三次取出的球是白球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全概率公式及条件概率公式，结合第三次取出的球为白球的概率列出关于的方程，求出的值，再根据条件概率公式求解即可. 【详解】设“取出第个袋子”为事件，“从袋子中连续取出三个球，第三次取出的球为白球”为事件， 则，且两两互斥，， ，， 所以， 所以 . 令，解得. 所以第1个袋子：1红4白；第2个袋子：2红3白； 第3个袋子：3红2白；第4个袋子：4红1白； 第5个袋子：5红. 设前两次取出白球为事件，第三次取出白球为事件，则. . . 所以. 故在前两次取出的球是白球的条件下，第三次取出的球是白球的概率是. 考点04全概率与其它综合 16．l8世纪英国数学数理统计学家托马斯·贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中是一组两两互斥的事件，，且，是中任意事件， ，称为事件B的全概率．现有一种医学检验方法，对患有X疾病的人化验结果呈阳性，对未患有X疾病的人化验呈阴性，我们称检测为阴性的人中患病的概率为漏诊率．现已知某地区X疾病的患病率为0.04，利用贝叶斯公式，则这种医学检验方法在该地区的漏诊率大约为（   ） A．0.001 B．0.002 C．0.003 D．0.004 【答案】D 【分析】设事件“患病”， “不患病”， “显阴性”，求得，且，结合贝叶斯公式，即可求解. 【详解】设事件“患病”， “不患病”， “显阴性”， 根据题意，可得，且， 由贝叶斯公式， 可得 . 故选：D. 17．某疾病在人群中的患病率为．检测方法的灵敏度（即患者检测结果为阳性的概率）为，特异度（即非患者检测结果为阴性的概率）为．如果某人检测结果为阳性，他实际患病的概率约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全概率公式及条件概率计算求解. 【详解】设患病为事件，设检测结果为阳性为事件， 某疾病在人群中的患病率为，检测方法的灵敏度（即患者检测结果为阳性的概率）为，特异度（即非患者检测结果为阴性的概率）为， 则，，， 则，， 所以， 如果某人检测结果为阳性，他实际患病的概率约为. 故选：B. 18．随着某市经济的蓬勃发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式求解概率即可. 【详解】设事件示“自驾”，事件表示“坐公交车”，事件表示“骑共享单车”，事件“表示迟到”， 由题意可知：，，，， 则，， 若小明迟到了，则他自驾去上班的概率是． 故选：B 19．人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设A=“视频是“AI”合成”，设B=“鉴定结果为“AI””， 则， 由贝叶斯公式得： ， 故选：B． 20．随着互联网的发展，AI的出现为人们提供了很大的便利.某企业员工小唐撰写报告选择文心一言、豆包、DeepSeek的概率均为，而使用文心一言、豆包、DeepSeek出错的概率分别为、、，结果今天他的报告有误，在此条件下，他选择文心一言写报告的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件设出事件，并根据全概率公式，贝叶斯概率公式，即可求解. 【详解】设事件为选择文心一言，事件为选择豆包，事件为选择DeepSeek，事件为报告有误， ，，，， 所有， . 故选：C 考点05服从二项分布概率最大问题 21．已知一篮球爱好者每次投篮投进的概率均为，若该篮球爱好者进行投篮训练20次，则该篮球爱好者投篮最有可能投进的次数为（   ） A．12或13 B．13 C．13或14 D．14 【答案】C 【分析】根据二项分布得到不等式组，求出答案. 【详解】设投进次数为，则， 故，， 由，， 则，， 解得， 又，故或14， 该篮球爱好者投篮最有可能投进的次数为13或14 22．某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】利用二项分布概率公式，通过为唯一最大值需满足且，列不等式组求解正整数. 【详解】依题意，， 由是唯一的最大值，得，即， 则，整理得，解得， 而，因此. 23．一个质点在随机外力的作用下，从数轴上数字所对应的位置出发，每隔秒向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为，则秒后质点最有可能落在数轴上（    ）所对应的位置. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设质点向右移动次，可得最终落在，根据，求出时概率最大，即可求出答案. 【详解】设质点向右移动次，则向左移动次，最终落在， 质点向右移动服从二项分布， 令，其中 即， 即， 整理得，解得， 所以当时，， 当时，， 则最大， 即质点最有可能向右移动次，最终落在， 所以秒后质点最有可能落在数轴上所对应的位置. 故选：B. 24．为研究不同性别学生对“deep seek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deep seek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，设其中了解deep seek的学生的人数为X，则当取得最大值时的（）值为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】B 【分析】先根据条件概率公式求得，然后根据二项分布概率公式构造不等式组，求解即可. 【详解】已知，，抽取男生和女生各50名，所以. 根据条件概率公式，可得. 再根据条件概率公式，可得. 所以随机变量， 令，解得， 因为，所以当时，取得最大值. 故选：B 25．某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．8或9 【答案】B 【分析】由题知抽到消费超过200元的人数，，则，再利用组合数的性质求最大值即可. 【详解】由题知抽到消费超过200元的人数，， 则，又这20人中有人消费超过200元的概率最大， 所以， 即，解得， 又，所以. 故选：B. 考点06二项分布与超几何分布的综合问题 26．袋中装有大小相同、质地均匀的3个红球和2个黑球．从袋中每次随机取1个球，有放回地取3次，设取出红球的个数为X；从袋中每次随机取1个球，无放回地取3次，设取出红球的个数为Y．下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知，服从超几何分布， 所以，， ，， 所以A，B，C均正确，D错误． 27．（多选）下列命题中，正确的命题是（    ） A．已知随机变量服从二项分布，若，，则 B．某人在10次射击中，击中目标的次数为，，当时概率最大 C．样本相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 D．已知，，，则 【答案】BD 【分析】应用二项分布的期望、方差公式列方程求参数判断A，应用不等式法解决二项分布概率最大问题判断B，根据相关系数的实际意义判断C，应用全概率公式求概率判断D. 【详解】A：随机变量服从二项分布， 若，则，解得，即，错误； B：由，则， 当时概率最大，则有, 即，解得， 由，所以时概率最大，正确； C：因为相关系数的绝对值的大小越接近，两个变量的线性相关性越强；反之线性相关性越弱，错误； D：已知，则， 由全概率公式，， 即，解得，正确. 28．（多选）某科技公司推出了一项全民互动体验项目，该项目利用AI技术为用户生成个性化数字人形象.已知每位用户生成的数字人形象相互独立，且遵循以下生成规则：①风格类型分为国风、科技风、萌趣风三类，每种类型生成的概率分别为 ②动作特效分为抱拳、奔跑、比心三类，动作特效的生成概率与风格类型相关，其规律如下，若生成的风格类型为国风，则生成的动作特效为抱拳、奔跑、比心的概率分别为 ；若生成的风格类型为科技风，则生成的动作特效为抱拳、奔跑、比心的概率均为 ；若生成的风格类型为萌趣风，则生成的动作特效为抱拳、奔跑、比心的概率分别为 ③隐藏款判定，若生成的数字人形象的风格类型与动作特效满足国风配抱拳或科技风配奔跑或萌趣风配比心，则该数字人形象为隐藏款，否则为普通款.下列说法正确的是（    ） A．随机抽取 1位用户，则事件“数字人形象风格类型为科技风”与事件“数字人形象动作特效为奔跑”相互独立 B．随机抽取1位用户，则该用户的数字人形象为隐藏款的概率是 C．随机抽取9位用户，记生成的数字人形象为隐藏款的人数为随机变量，则最大 D．随机抽取 2位用户，记生成的数字人形象为隐藏款的人数为随机变量，另外随机抽取3位用户，记生成的数字人形象为普通款且动作特效为奔跑的人数为随机变量η，则 【答案】ABD 【分析】记“生成的数字人形象风格类型为国风、科技风、萌趣风”分别为事件，记“生成的数字人形象动作特效为抱拳、奔跑、比心”分别为事件，根据全概率公式和二项分布知识计算即可. 【详解】对于A，记“生成的数字人形象风格类型为国风、科技风、萌趣风”分别为事件， 记“生成的数字人形象动作特效为抱拳、奔跑、比心”分别为事件， 则由题意得. 又，所以， 所以事件“数字人形象风格类型为科技风”与事件“数字人形象动作特效为奔跑”相互独立，所以A正确； 对于B，记“数字人形象是隐藏款”为事件， 则. 所以随机抽取1位用户，该用户的数字人形象为隐藏款的概率是，所以B正确； 对于C，由选项B及二项分布的知识知，设最大， 则，即. 解得，又，所以，所以最大，所以C错误； 对于D，记“生成的数字人形象为普通款且动作特效为奔跑”为事件， 则，则. 又，所以， 故，所以D正确. 29．机床是工业母机，是一切制造之母，五轴联动数控机床是最高端的数控机床之一．某企业用五轴联动数控机床生产的高精密零件的壁厚d（单位：）近似的服从正态分布，若时，高精密零件合格，从该企业生产的此高精密零件中随机抽取1个，则此高精密零件合格的概率约是____________，该企业某月生产了1999个此高精密零件，其中有k个合格品的概率是，则最大时，____________． （参考数据：若，则，，） 【答案】 0.954 1907或1908 【分析】根据正态分布的性质，结合题目所给的参考数据，可求出第1空的概率；易判断合格品数服从二项分布，进而求出合格品的概率，列出最大的不等式组，即可求出第2空的值. 【详解】解：因为，则，， 所以，，， 因此，此高精密零件合格的概率约是0.954． 由该企业某月生产了1999个此高精密零件，其中有k个合格品的概率是， 设生产1999个零件，合格品数为，则， 则，若最大，则， 即， 即，解得， 又，所以或1908． 30．某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛结果相互独立. (1)若比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得3分，负者获得1分；②连续2局获胜或积分率先达到11分者可获得冠军，比赛结束.已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为.求甲乙决出冠军时比赛局数X的分布列与数学期望； (2)若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.已知甲乙进行了n局比赛且甲胜了11局，试给出n的估计值（X表示n局比赛中甲胜的局数，以使得最大的n的值作为n的估计值） 【答案】(1)分布列见解析， (2)14 【分析】（1）讨论极端情况，若刚开始连胜，则2局结束，若一直没有连胜，则最多比赛5局，再具体讨论每种情况，利用独立事件和互斥事件的概率公式即可解决. （2）每场比赛是相互独立的，则服从二项分布 ，求出，再求最值即可. 【详解】（1）由比赛规则知，1局比赛后，甲乙双方共获得4分，若比赛进行了4局还未结束， 则双方共计16分，此时双方均为8分，则第5局比赛后必定有一人积分可达到11分，因此比赛次数不会超过5，比赛共进行了X局，则， 记随机事件“第i局比赛中甲获胜”，， ， ， ， . 所以X的分布列为： X 2 3 4 5 P 数学期望. （2）依题意，，，， 记，已知， 则， 由，得， 即时，，时，， 则当时，最大，所以n的估计值为14. 考点07二项分布与数列综合 31．（多选）某人在次射击中，击中目标的次数为，，其中，，击中偶数次为事件，则下列说法正确的是（） A．当时，取得最大值 B．若，，则的取值范围是 C．若，，当取最大值时，则 D．当时，随着n的增大而减小 【答案】ACD 【分析】对于A，根据，直接写出即可判断；对于B，求出概率，然后运用导数研究单调性，进而得到取值范围；对于C，求出，由求解范围即可；对于D，，求出 ，借助函数分析单调性即可. 【详解】对于A，，当时，取得最大值，故A正确； 对于B，因为，若，则 由于，则， 由于，则，则在上单调递增. 则的取值范围是，故错误； 对于C，在20次射击中击中目标的次数， 当时对应的概率， 因为取最大值，所以， 即， 即，解得， 因为且，所以，即时概率最大.故C正确； 对于D，因为 所以， 击中奇数次: 两式相减可得 ， 所以， 当时，为正项且单调递减的数列， 所以随着的增大而减小，故D正确. 32．为了研究一种新型电子元件的稳定性，工程师对其进行压力测试．已知该元件在单次测试中正常工作的概率是，且每次测试的结果相互独立． (1)若，现对该元件进行3次测试，记正常工作的次数为，求的分布列； (2)一个测试序列由连续测试组成，直到元件首次出现故障为止．设为该序列中元件正常工作的次数，定义“稳定指数”为且，求的期望； (3)现对两个相同的元件同时进行测试，每轮对各进行一次测试．记为首次出现“恰好一个元件正常工作”总共进行的测试轮数，若，求． 参考公式：若，则． 【答案】(1) 0 1 2 3 ​ ​ ​ ​ (2) (3) 【分析】（1）依据二项分布概率公式，代入组合数与对应概率，依次算出随机变量取不同值时的概率，列出分布列. （2）先依据题意列出随机变量期望的无穷项表达式，提取公因式转化为无穷等比数列，利用题干给出的参考公式化简求出期望. （3）先求出单次试验对应事件的概率，将随机变量判定为几何分布，分别用错位相减、拆项变形两种方法推导期望公式，再结合已知期望数值列方程，求解并根据题意舍去不合理的解. 【详解】（1）由题意得服从二项分布，所以 ， ， ， ． 0 1 2 3 ​ ​ ​ ​ （2）因为，所以， 所以， 所以 （3）记“恰好一个元件正常工作”为事件，则． 设，则， 所以． 方法一： 因为， 所以， 所以，所以． 方法二： 所以 ， 所以． 因为，所以或（舍去） 33．某小区内有两家超市A，B．小区的居民经常去这两家超市购物，经过一段时间的统计发现，第i天选择超市A的居民第（i＋1）天选择超市A和超市B的概率均为；第i天选择超市B的居民第（i＋1）天选择超市A和超市B的概率分别为和．已知居民第1天选择超市A的概率为，选择超市B的概率为． (1)求居民第2天选择超市A购物的概率； (2)若有3位居民第1天和第2天都去购物（3位居民的选择互不影响），记第2天选择超市A购物的人数为X，求X的分布列及数学期望； (3)若某居民每天都去超市购物，记第n天选择超市A的概率为，且有，数列的前n项和为，求出，并证明． 【答案】(1) (2)分布列 X 0 1 2 3 P ，数学期望为 (3)，证明见解析 【详解】（1）记小区居民第天选择超市A，B分别为事件． 根据题意，， 则， 所以由全概率公式，得居民第2天选择超市A购物的概率为； （2）记第2天选择超市A购物的人数为X，X的可能取值为0，1，2，3，则由（1）得， 则，， ，， 则X的分布列为： 0 1 2 3 故X的数学期望为； （3）当第n天选择超市A时，第天选择超市A的概率为， 当第n天选择超市B时，第天选择超市A的概率为， 所以．由此可得， 又，于是数列是首项为，公比为的等比数列． 因此，所以． 所以， ． 34．某湿地公园有两条散步路线，分别记为路线和路线．湿地附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和．已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为． (1)若有4位居民连续两天去湿地散步，记其中第二天选择路线散步的人数为，求的分布列和数学期望； (2)若某居民每天都去湿地散步，记他第天选择路线的概率为． （i）证明：数列是等比数列； （ii）设，证明：． 【答案】(1) 0 1 2 3 4 ； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）先求居民第二天路线的概率，然后根据二项分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用二项分布期望公式可得期望； （2）（i）分析第n天选择路线A和路线B情况下第n+1天选择路线A的概率，再由全概率公式列式，求出关系式，利用构造法证明数列是等比数列并求出通项公式；（ii）借助放缩法及等比数列前n项和公式推理得证. 【详解】（1）记附近居民第天选择路线分别为事件， 依题意，，， 则由全概率公式，得居民第二天选择路线散步的概率； 记第二天选择路线散步的人数为，则， 则， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 故的数学期望； （2）（i）当第天选择路线时，第天选择路线的概率为； 当第天选择路线时，第天选择路线的概率为， 由全概率公式得， 所以，而， 于是数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，即； （ii）由（i）知， 当时，， 而，所以； 当时，，而， 所以 所以． 35．某公司开展“每月幸运抽好礼”活动，规则如下：在抽奖箱中放入标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外无任何差异，每位参与者从抽奖箱中随机抽取1个球，抽到3号球即可获得礼品，每次抽取后将球放回抽奖箱中，每位员工每月仅参与一次． (1)设该公司A部门有4位员工参加该活动，用X表示获得礼品的人数，求X的分布列和数学期望； (2)该公司B部门有20位员工参加该活动，用Y表示获得礼品的人数，令，，若为数列的最大项，求k的值． 【答案】(1) 0 1 2 3 4 ​ ​ ​ ​ ​ (2)6 【分析】（1）由题意确定，即可求解； （2）由题意确定，得到，再通过作商法判断最大值即可． 【详解】（1）由题意，每次抽奖抽到奖品的概率为， 由4位员工抽奖是独立重复试验，因此， 即， 则，​ ，​ ，​ ， ， 因此的分布列为： 0 1 2 3 4 ​ ​ ​ ​ ​ 由二项分布期望公式，数学期望． （2）由题意，， 则， 作商得：，， 当，即时，，即； 当，即时，，即，数列递减， 因此为最大项，即． 考点08 二项分布与导数综合 36．某企业生产的芯片独立出厂，每件芯片出现故障的概率为，正常的概率为.现对一批芯片开展批量抽样检测，连续抽取件芯片，记其中故障芯片的件数为随机变量. (1)连续抽取4件芯片，在至少出现2件故障芯片的条件下，求恰好出现3件故障芯片的概率； (2)当时，记恰好出现2件故障芯片的概率为.若对任意，恒有，求实数的最小整数值； (3)若始终满足，求证：对任意正整数，都有. 【答案】(1) (2)1 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意知，当时，再根据二项分布，结合条件概率求解即可； （2）由题意知，再根据导数求解最值即可得答案； （3）由题知，，，令，进而将问题转化为证明，再构造函数，，证明，，最后结合不等式放缩得即可证明. 【详解】（1）解：因为连续取件芯片，故障芯片的件数为随机变量，芯片独立出厂, 所以服从二项分布，即，故当连续抽取4件芯片时， 所以 且， 所以 . （2）解：当时， 故恰好出现2件故障芯片的概率为，， 所以， 故当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以， 若对任意，恒有，则实数的最小整数值为1. （3）证明：因为，，所以，， 所以 令，则，， 故要证，只需证， 只需证，只需证 只需证， 令，， 则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，即， 又， 所以，， 因为，， 所以， 所以 ， 因为，所以， 所以，即， 所以成立，证毕. 37．某学校组织“校园文化”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛两个阶段，每位参加比赛的同学，初赛必须回答3个问题，每题答对得1分，答错得0分，且初赛总得分不低于2分方可晋级复赛；复赛分为3轮，每轮设置2个问题，每题答对得2分，答错得0分，晋级复赛的选手需完成全部复赛问题，复赛3轮得分累加为复赛总得分． 已知小张同学在初赛中每题答对的概率均为；复赛每轮中，第1题答对的概率为，第2题答对的概率为0.3，且所有问题之间的回答结果互不影响. (1)求小张同学成功晋级复赛的概率； (2)已知小张同学已晋级复赛. （i）若，求小张同学复赛总得分为10分的概率； （ii）设小张同学在复赛3轮中，恰有2轮每轮得分不低于2分的概率为，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）设小张同学在初赛的得分为，则，结合二项分布运算求解即可； （2）设在复赛中每轮得分为，并求对应的概率.（i）分析可知2轮4分，1轮2分，进而求概率；（ii）可得，，利用导数求最值即可. 【详解】（1）设小张同学在初赛的得分为，则， 所以小张同学成功晋级复赛的概率. （2）设在复赛中每轮得分为，则有： ； ； ， （i）若，则，，， 因为小张同学复赛总得分为10分，则2轮4分，1轮2分， 所以小张同学复赛总得分为10分的概率； （ii）由题意可知：，， 则， 令，解得；令，解得； 则在内单调递增，在内单调递减， 所以取到最大值. 38．2026年7月1日起，由工业和信息化部制定的《电动汽车用动力蓄电池安全要求》将开始实施，这标志着国家对新能源汽车的安全性提出了更高的要求.某新能源车企为提升产品安全性的同时提高生产效率，对旗下一款车型的核心零部件开展质量检测与生产数据分析，该企业统计了近5个月核心零部件的月生产量（单位：千件）与月检测成本（单位：万元），得到如下数据： 2 3 4 5 6 3.2 4.2 5.1 5.8 6.7 (1)求关于的回归直线方程，并估计月产量达1万件时的月检测成本； (2)该企业对核心零部件的检测采用以下方案：从一批次的该零部件中随机抽取3件进行初检，若初检中不合格零部件数量不超过1件，则判定此批次零部件合格，否则对剩余的产品进行全面复检.若该零部件的不合格率为，且每件零部件的检测结果相互独立，该零部件需要进行复检的概率为，若是关于的函数，求证：函数的图象关于点对称. 参考公式： 【答案】(1)，10.16万元. (2)证明见解析 【分析】（1）根据最小二乘法即可求解； （2）首先根据二项分布的概率公式求出，然后根据函数对称性的定义即可证明. 【详解】（1）由条件可知：， 列出下表 0 1 2 0.1 0.8 1.7 3.6 0.8 0 0.8 3.4 4 1 0 1 4 将以上数据代入公式，可得， 所以， 当时，（万元）， 故可估计月产量达1万件时的月检测成本为10.16万元. （2）设表示3件产品中不合格产品的件数，则， 故， ， ， 又∵函数的定义域为函数的图象关于点对称. 39．某校数学兴趣小组的成员们通过查阅资料得知，抛掷一枚图钉钉尖朝上的概率约为0.4．他们决定通过做大量重复的抛图钉试验来验证这一数据，假设这批图钉的质地一致，且每次抛图钉的结果相互独立．他们实施试验的步骤如下： 第一步：所有10名成员分工合作，每人重复抛一枚图钉10次，记录钉尖朝上的次数； 第二步：所有10名成员的记录相加得到一个总次数． 重复以上两个步骤共计10轮，用表示在第轮中10名成员的记录相加所得的总次数，． (1)若查阅资料所得的概率数据可靠，请问成员甲在第1轮的10次试验中共出现几次钉尖朝上的概率最大？ (2)整个试验所得的10个总次数记录如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 36 36 48 36 41 44 43 42 37 35 用表示事件“上表记录的10轮试验结果”，设抛掷一枚图钉钉尖朝上的概率为，则的取值应使事件发生的概率尽可能大． （i）请写出事件发生的概率的表达式； （ii）当取最大值时，求的值，并据此判断查阅资料所得的概率数据是否可靠？（如果，则认为查阅资料所得的概率数据可靠，否则不认为可靠） 【答案】(1)4； (2)（i）；（ii），可靠． 【分析】（1）法一：设成员甲在第1轮的10次试验中出现钉尖朝上的次数为，根据；由求解；法二：设成员甲在第1轮的10次试验中出现钉尖朝上的次数为，根据，由不是整数，得到时最大求解； （2）（i）设所有10名成员在第轮的共100次试验中出现钉尖朝上的次数为， 根据，得到，由求解；（ii）法一：设函数，利用导数法求解；法二：设函数，令，利用导数法求解. 【详解】（1）法一： 设成员甲在第1轮的10次试验中出现钉尖朝上的次数为， 则， 所以． 令 即 化简得解得． 所以， 即成员甲在第1轮的10次试验中共出现4次钉尖朝上的概率最大． 法二： 设成员甲在第1轮的10次试验中出现钉尖朝上的次数为，则． 因为不是整数， 所以当时，是唯一的最大值， 即成员甲在第1轮的10次试验中共出现4次钉尖朝上的概率最大． （2）（i）设所有10名成员在第轮的共100次试验中出现钉尖朝上的次数为， 则， 所以． 因为 （ii）法一： 设函数， 所以 ， 令，解得． 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以，即取最大值时，． 因为，所以查阅资料所得的概率数据可靠． 法二： 设函数， 令， 所以， 令，解得． 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以，即取最大值时，． 因为，所以查阅资料所得的概率数据可靠． 40．某区域中的物种拥有两个亚种．设从该区域中随机捕获1个物种的个体，该个体为种的概率为，为了估计该区域中物种的个体总数，研究人员从该区域中随机捕获3个个体，设3个个体中种的数目为，再将捕获的个体全部放回，作为一次试验结果，重复上述试验共6次．记第次捕获时种的数目为．统计结果如下表： 1 2 3 4 5 6 3 3 2 3 1 3 (1)求的分布列； (2)设函数，已知该区域中种的个体数为180．（将使取得最大值的值作为的估计值） （i）求的估计值； （ii）据（i）估计该区域中物种的个体总数． 【答案】(1) 0 1 2 3 (2)（i）；（ii）1080. 【分析】（1）根据给定条件，求出的可能值，利用二项分布概率公式求出分布列. （2）（i）由给定统计表，结合（1）的结论求出，再利用导数求出最大值点；（ii）利用（i）的结论，结合古典概率公式求出估计值. 【详解】（1）依题意，的所有可取值为，， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 （2）（i）由统计表，得 ， 求导得，当时，；当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值， 所以. （ii）设该区域中物种的个体总数，由该区域中种个体数为180， 得该区域中种的数目为， 由（i）得从该区域中随机捕获1个个体，该个体为种概率的估计值， 因此，解得，所以估计该区域中物种的个体总数为1080. 考点09 数学建模 41．甲、乙两人下棋，甲每局获胜的概率为，某天两人进行一场五局三胜的比赛，最终胜者将赢得100元的奖金，不考虑平局.在比分是的情况下，甲应该分_________元奖金比较公平． 【答案】 【分析】在比分是的情况下，先求得甲赢的概率，然后乘以100即可得解. 【详解】在比分是的情况下，甲赢的概率是， 故甲应该分元. 故答案为：64.8. 42．一个盒子里有1红1绿4黄六个除颜色外均相同的球，每次拿一个，共拿三次，记拿到黄色球的个数为.若取球过程是有放回的，则事件发生的概率为______. 【答案】 【分析】有放回取球时，可以得到服从二项分布,利用二项分布概率公式计算即可. 【详解】有放回取球时，每次取到黄球的概率都是， 取到黄球的次数服从二项分布，拿三次取到1个黄球的概率为 . 故答案为： 43．排球比赛实行“五局三胜制”（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲、乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球比赛中甲队获胜的概率为________． 【答案】 【分析】对命题等价转化，再使用排列组合知识即可． 【详解】命题可以转化为：即使某一队获胜三场，也照常进行后续的场次，直至五场全部结束，最后获胜场次数多的队获胜。二者等效（区别仅在于胜负已定后，后续场次是否真正进行）. 此时，甲队获胜的概率即为甲队获胜场数不小于的概率，即． 故答案为：． 44．如图所示，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次.该质点位于4的概率为__________；在该质点有且仅有一次经过点1的条件下，共经过两次2的概率为__________. 【答案】 【分析】第一空，设质点向右移动的次数为，可知服从二项分布，由题可得质点需向右移动5次，向左移动1次，则所求概率为； 第二空，设事件“质点有且仅有一次经过1”，事件“共两次经过2”，“质点仅在第1秒位于1”；“质点仅在第3秒位于”质点仅在第5秒位于1”，由题可得，然后由条件概率可得答案. 【详解】第一空，设质点向右移动的次数为，又质点每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，且每次移动是相互独立的，则服从二项分布，经分析质点位于4的位置，则右5次向左1次，则； 第二空，设事件“质点有且仅有一次经过1”，事件“共两次经过2”， “质点仅在第1秒位于1”；“质点仅在第3秒位于” 质点仅在第5秒位于1”， 则两两互斥，则， 仅在第一秒经过1，则质点的走法：RRRLR（第六步不受影响）；RRRR（第五六步不受影响）；RLLRL（第六步不受影响）；RLLL（第五六步不受影响），， 仅在第三秒经过1，则质点的走法：LRRLL（第六步不受影响）；LRRRR（第六步不受影响），仅在第五秒经过1，则质点的走法：LLRRR（第六步不受影响）； LRLRR（第六步不受影响）， 则，又三种情况下，有且仅有一次经过点1的条件下，共经过两次2的情况有：RRRLRR，RRRRLL，LRRRRL，则. 则. 故答案为：；. 45．下列例子中随机变量服从二项分布的有________． ①随机变量表示重复抛掷一枚骰子次中出现点数是3的倍数的次数； ②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数； ③有一批产品共有件，其中件为次品，采用有放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数； ④有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数． 【答案】①③ 【分析】根据二项分布的特征和定义即可判断. 【详解】对于①，设事件为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，则，而在次独立重复试验中事件恰好发生了次的概率，符合二项分布的定义． 对于②，的取值是， ，显然不符合二项分布的定义，因此不服从二项分布． ③和④的区别：③是“有放回”抽取，而④是“无放回”抽取，显然④中次试验是不独立的，因此不服从二项分布，对于③有服从二项分布， 故答案为：①③ 考点10 二项分布与其它知识综合 46．在11分制乒乓球比赛中，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.某局在双方10:10平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束. (1)求； (2)记事件“且甲获胜”的概率为. ①求； ②求. 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】（1）求:需分析的比赛过程，即前两球各得1分，后两球连胜，分别计算概率再相乘. （2）为甲胜，即两球甲全胜，为甲胜，因无法领先2分，概率为0， 先分析比赛过程，得到，然后求出即可. 【详解】（1）由题可得：事件“”表示在双方10:10平后，甲先发球，两人又打了4个球，且这4个球分为前两球是甲、乙各得1分，后两个球均由甲得分，或均由乙得分， （2）①由题意可知， 事件“且甲获胜”为不可能事件，所以. ②由比赛规则可知： 当时，事件“且甲获胜”为不可能事件，则， 当时，事件“且甲获胜”，就是在双方10:10平后，甲先发球，两人又打了个球， 且这个球的得分情况为：前个球是每两个球甲、乙各得1分，最后第个球均由甲得分；记“比赛2球结果为平局”为事件B，则. 则， 又，. 综上， . 47．某工厂生产一种零件，其标准尺寸参数，计划生产每种尺寸零件的概率相等，实际生产过程中有10%的概率发生工艺缺陷，无缺陷时，生产出来的零件为标准尺寸，若发生工艺缺陷，则生产出来的零件尺寸会缩减为标准尺寸的一半，且每次生产过程独立进行． (1)连续生产10个该种零件，记有X个零件有工艺缺陷，求X最有可能的取值； (2)求实际生产一个零件的尺寸的分布列和期望． 【答案】(1)最有可能为1． (2) Y 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4 5 P ． 【分析】（1）根据题意随机变量服从二项分布，据此计算得解； （2）求出随机变量的可能取值，计算对应的概率，列出分布列，求期望即可. 【详解】（1）由题意，， 故， 令其大于1，得，解得， 所以最有可能为1． （2）设生产一个零件的尺寸为，则的可能取值有 其分布列为： Y 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4 5 P 所以期望． 48．某科技公司生产精密零件，零件质量指标.规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立. 附：若，则. (1)现从该公司生产的零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； (2)从该公司生产的零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2) 1 2 3 【分析】（1）先确定，由条件可得从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率，再结合独立重复试验概率公式求结论； （2）先求，由，判断的单调性，确定，再确定的可能取值，并求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望. 【详解】（1）因为，所以，， 所以从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率， 所以从该批零件中随机抽取个，恰好有个为优质品的概率为. （2）设随机抽取的个零件中，优质品的个数为. 由题意得，， 所以， 因为， 当时，， 当时，， 所以，概率最大时对应，即. 由题意可得的所有可能取值为1、2、3， ，，， 所以的分布列为 1 2 3 . 49．为了培养学生的应用能力和创新思维，提高学生的科学素养，某学校开展了人工智能课程.为了解该校学生对相关人工智能课程的兴趣程度，对学生进行了简单随机抽样，获得数据如下表： 非常感兴趣 一般感兴趣 不感兴趣 合计 小学 20人 40人 40人 100人 初中 50人 30人 20人 100人 合计 70人 70人 60人 200人 假设小学生和初中生每人对人工智能课程的兴趣程度互不影响. 用频率估计概率. (1)从该校初中生中随机抽取3名同学，估计这3名同学中至少有两名同学对课程都“非常感兴趣”的概率； (2)规定：每名“非常感兴趣”的学生记5分，每名“一般感兴趣”的学生记3分，每名“不感兴趣”的学生记1分. 根据学生的兴趣程度采用分层抽样的方式，按照学生人数比例先从样本中的小学生中抽取了10人，再从这10人中随机抽取2人．记为这2人的得分之和，求的分布列和数学期望； (3)记样本中的小学生中“非常感兴趣”、“一般感兴趣”、“不感兴趣”的频率依次为，其方差为；样本中的初中生中“非常感兴趣”、“一般感兴趣”、“不感兴趣”的频率依次为，其方差为；的方差为．写出的大小关系．结论不要求证明. 【答案】(1) (2) 期望 (3) 【详解】（1）根据题中数据可知，100名初中生中有50名学生“非常感兴趣”， 所以从该校初中生中随机抽取名同学对课程“非常感兴趣”的概率估计为. 设这名同学中至少有两名同学对课程都“非常感兴趣”为事件，则事件的概率可估计为. （2）根据学生的兴趣程度采用分层抽样的方式，从样本中的小学生中抽取了人，则“非常感兴趣”、“一般感兴趣”、“不感兴趣”的人数分别为.                          所以的可能取值为. 则；          ； ；  ； . 所以随机变量的分布列为 故期望. （3）. ∵ 样本中的小学生“非常感兴趣”“一般感兴趣”“不感兴趣”的频率分别为，，， 三组数据的平均值均为， ∴ ， ∵ 样本中的初中生“非常感兴趣”“一般感兴趣”“不感兴趣”的频率分别为，，， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ . 50．年全国青少年科技创新大赛采用两轮晋级制，参赛选手需顺利通过第一轮考核，方可获得第二轮参赛资格，两轮考核全部通过者，将正式取得代表学校参与更高层次竞赛的宝贵资格.已知小明、小华，小方位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为、、，假设他们之间通过与否相互独立. (1)求这人中至多有人通过第一轮的概率； (2)从人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）记人中通过第一轮的人数为，从而有，再利用对立事件及二项分布的概率公式，即可求解； （2）根据条件，利用全概率公式，即可求解. 【详解】（1）记人中通过第一轮的人数为，由题意可知，             记“人中至多有人通过第一轮”为事件， 则. （2）记随机选择小明、小华、小方的事件分别为、、，通过第二轮的事件记为， 则由题意可知, ,,, 则 所以从人中随机选出一人，通过第二轮的概率为. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $