高二数学下学期期末模拟卷（人教A版选必第二册+选必第三册，高效培优·提升卷）

**基本信息** 以人教A版选必二、三知识为核心，通过“温良恭俭让”卡片分配（文化传承）、工厂能耗与电池质量分析（现实应用）等情境，分层考查数学抽象、逻辑推理与数据分析素养，适配高二期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|概率统计（分布密度、回归方程）、数列（通项公式）、导数（不等式解集）|第3题结合传统文化设计排列组合问题，考查数学应用意识| |多选|3/18|二项式定理、等差数列、函数极值|第11题综合函数性质与切线问题，体现逻辑推理能力| |填空|3/15|二项式系数、排列组合、新定义数列（冰雹猜想）|第14题以“冰雹猜想”为背景，培养创新思维| |解答|5/77|数列求和、独立性检验与分布列、导数单调性与极值、概率综合|第16题工厂质量分析题，融合独立性检验与期望计算，强化数据观念；第18题导数综合题，考查分类讨论与转化思想|

2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 提升卷·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C C D B C B A A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD BC AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． -220 13． 14．2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）由题得，， 所以， 因为是公差为的等差数列， 所以， 因此， 两边平方可得， 即，解得， 所以.（8分） （2）由(1)可得， 所以， 因此.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）零假设为：假设依据的独立性检验，认为参数调试与产品质量无关联； 则， 故依据的独立性检验，没有充分证据说明零假设不成立， 因此可认为成立，即认为参数调试与产品质量无关联；（5分） （2）依题意，用分层随机抽样法抽取的8件产品中， 合格产品有件，不合格产品有2件， 而从这8件产品中随机抽取3件，其中的合格品件数的可能值有1，2，3． 则，，， 故的分布为： 1 2 3 则；（10分） （3）依题意，因随机抽取调试后的产品的合格率为， 故，则， 由， 故由可解得， 因，故当时，； 故由可解得， 即当时，； 故当事件“”的概率最大时，．（15分） 17．（15分） 【解析】（1）获奖人数：人，不获奖人数：人， 获奖男生：，获奖女生：， 不获奖女生：，不获奖男生：， 女生总人数：，则随机抽取到一名学生是女生的概率为：.（5分） （2）按性别分层随机抽取人，则： 抽取男生为人， 抽取女生为人， ①设事件为“人中有女生入选”，事件为“恰好选到名男生和名女生”， 依据条件概率公式，其中， ，，则；（10分） ②表示入选的人中的女生人数，其可能的取值为， ， ， ， 分布列： 数学期望：.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）当时，函数的定义域为， ， 所以， 令，解得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因此，函数的极大值为，极小值为．（5分） （2）的定义域为， 则题意等价于在上恒成立， 即在上恒成立， 由基本不等式知，时，， 当且仅当时等号成立， 所以，即实数的取值范围为；（10分） （3）由已知， 因为有两个极值点， 所以为方程的两个不相等的实数根， 则，，（12分） 因为，所以， 又，解得， 所以 ，（14分） 设， 则， 所以在上单调递减， 又，， 所以， 即的取值范围为.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）（ⅰ）设“从混合放在一起的零件中随机抽取一件是甲车间生产”，“从混合放在一起的零件中随机抽取一件是乙车间生产”，“从混合放在一起的零件中随机抽取一件是合格品”， 由条件可知，，，，， ， 得， 所以乙车间加工零件的达标率为；（5分） （ⅱ），，， ，， ， 分布列如下， 0 1 2 3 期望（10分） （2）由，即，则， 所以， 得， ， 所以， 所以， 即， 所以， 得，即， 所以， 所以，得证.（17分） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 提升卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选必第二册+选必第三册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知 ，，且和的分布密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 2．下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量（单位：t）与相应的生产能耗（单位：t标准煤）的几组数据： 4 5 6 7 标准煤 3.2 3.8 5.3 根据数据可得到的回归方程为，则（    ） A．4.6 B．4.55 C．4.5 D．4.35 3．子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让．现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（    ） A．120种 B．210种 C．1440种 D．2880种 4．已知数列满足，则（   ） A．1 B．5 C． D． 5．已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 6．盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ） A．， B．， C．， D．， 7．数列，，，，，…的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（    ） A． B．展开式的二项式系数和为 C．展开式的各项系数和为 D． 10．已知等差数列的前项和为，且，，，则（    ） A．数列是递增数列 B． C．当时，最大 D．当时，的最大值为15 11．已知函数，则（   ） A．是函数的极小值点 B．当且仅当：方程有且仅有一个实数解 C． D．存在，使得直线与曲线相切 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则的展开式中含项的系数为__________. 13．某校名男大学生和名女大学生被安排到个不同的单位实习，每个实习单位至少安排名实习学生且性别相同，则不同的安排方法有___________种． 14．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）记等差数列的前项和为，数列也是等差数列，且两数列的公差均为. (1)求的通项公式； (2)求的前项和. 16．（15分）某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表： 产品 合格 不合格 合计 调试前 45 15 60 调试后 35 5 40 合计 80 20 100 (1)根据表中数据，依据显著性水平的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联； (2)现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析.记抽取的3件中合格的件数为X，求 X的分布列和期望； (3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为Y， 求使事件“”的概率最大时k的取值.参考公式及数据： 其中. 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 17．（15分）每年12月4日是全国普法宣传日，某校对高三年级600名学生法治素养现状进行调查研究，举行了一次“普法知识”竞赛.从中随机抽取60名学生，统计结果如下：获奖人数占总人数的，其中获奖人数中，男生占，不获奖人数中，女生占． (1)现从这60名学生中随机抽取1名学生，求恰好是女生的概率； (2)对获奖学生采用按性别分层随机抽样的方法选取8人，参加赛后经验交流活动.若从这8人中随机选取2人. ①求在2人中有女生入选的条件下，恰好选到1名男生和1名女生的概率； ②记X为入选的2人中的女生人数，求随机变量X的分布列及数学期望． 18．（17分）已知函数，． (1)当时，求的极值； (2)若函数在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； (3)若，且有两个极值点，其中，求的取值范围． 19．（17分）某厂欲将一些零件交给该厂甲、乙两个车间加工，据以往统计发现，甲车间加工零件的达标率为90%. (1)现将甲、乙两车间加工的该种零件按 的比例混合在一起，从混合放在一起的零件中，随机抽取一件，该零件达标的概率为80%. （i）求乙车间加工零件的达标率； （ii）若从混合放在一起的零件中，随机抽取3个，记这3个零件中达标的个数为，求的分布列和期望； (2)乙车间为了争取更多的加工量，着重提高了加工该种零件的达标率，已知在乙车间提高加工达标率的条件下，该厂给乙车间增加加工量的概率为，在乙车间不提高加工达标率的条件下，该厂给乙车间增加加工量的概率为.设事件“乙车间提高了加工该种零件的达标率”，“该厂给乙车间增加加工量”，若，，，证明： 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选必第二册+选必第三册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知 ，，且和的分布密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题图可知，，则，即，所以A错误； 根据正态曲线的性质，越大图象越矮胖，则，即，所以B错误； 由图可知，，所以C正确； 由图可知，，所以D错误． 2．下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量（单位：t）与相应的生产能耗（单位：t标准煤）的几组数据： 4 5 6 7 标准煤 3.2 3.8 5.3 根据数据可得到的回归方程为，则（    ） A．4.6 B．4.55 C．4.5 D．4.35 【答案】C 【详解】依题意，，， 因为回归直线必过样本中心点， 所以，解得. 3．子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让．现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（    ） A．120种 B．210种 C．1440种 D．2880种 【答案】D 【详解】先把字相同的卡片看成一组， 第一步：从这5组中选出一组有种选法. 第二步：再从余下的4组中选2组，这2组中，每组各选一张卡片有. 第三步：把选出的4张卡片，分给4位同学有. 所以不同的分配方案有种. 4．已知数列满足，则（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，， ，， …… 所以数列为周期数列，周期为3， 又因为， 所以. 5．已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据的图象可知在上的单调递增区间是， 所以不等式的解集为． 故选：C 6．盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】由题意可知：，则，， Y的可能取值为0，1，2， 则，，， 可得， ， 所以. 故选：B. 7．数列，，，，，…的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 得该数列的通项公式可以为． 8．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，不等式恒成立 可变形为, 设, 那么当时,有,即在区间上单调增， 在上成立，即, 设,那么, 令,得 , 令,得 , 令,得 , 所以，函数在处取得极小值，也就是最小值， ,,实数a的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（    ） A． B．展开式的二项式系数和为 C．展开式的各项系数和为 D． 【答案】AD 【详解】对于A：由题意可得，则，故A正确；对于B：因为，所以展开式的二项式系数和为，故B不正确； 对于C：令，则展开式的各项系数和为，所以C不正确； 对于D：令，得，令，得，所以，故D正确． 10．已知等差数列的前项和为，且，，，则（    ） A．数列是递增数列 B． C．当时，最大 D．当时，的最大值为15 【答案】BC 【分析】利用等差数列的性质可知，进而得出，，依次判断各选项即可得出结果. 【详解】对于A，等差数列中，因为，，，， 所以，公差，数列是递减数列，故A错误； 对于B，由于，所以，故B正确； 对于C，由于，数列是递减数列，所以当时，最大，故C正确； 对于D，，，因此，当时，的最大值为，故D错误. 11．已知函数，则（   ） A．是函数的极小值点 B．当且仅当：方程有且仅有一个实数解 C． D．存在，使得直线与曲线相切 【答案】AC 【详解】函数的定义域为，求导得：， 对于A：由，得， 当或时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以是函数的极小值点，故A正确； 对于B：的极小值为， 且当时，，所以； 当时，；当时，； 当时，，如图所示： 结合图象可知：方程有且仅有一个实数解时，或，故B错误； 对于C：因为当时，单调递增，又因为，因此， 则，即，因此，故C正确； 对于D：设切点为，切线斜率为， 切线方程为：， 因为切线过，代入得：， 化简得：，即， 令，则， 所以在和上单调递增，所 以当时，，当时，， 所以当时，无解， 即不存在，使得直线与曲线相切，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则的展开式中含项的系数为__________. 【答案】-220 【详解】因为，所以， 的展开式中含项的系数为. 13．某校名男大学生和名女大学生被安排到个不同的单位实习，每个实习单位至少安排名实习学生且性别相同，则不同的安排方法有___________种． 【答案】 【详解】情况：当名女生在同一个单位，则名男生被分到另外个单位，方法数为种； 情况：当名女生在两个不同的单位，则名男生在剩下的个单位，方法数为种， 因此，总的方法数为种. 14．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，，则______． 【答案】2 【详解】由题意可得，， 所以数列是以3为周期的数列，又，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）记等差数列的前项和为，数列也是等差数列，且两数列的公差均为. (1)求的通项公式； (2)求的前项和. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题得，， 所以， 因为是公差为的等差数列， 所以， 因此， 两边平方可得， 即，解得， 所以. （2）由(1)可得， 所以， 因此. 16．（15分）某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表： 产品 合格 不合格 合计 调试前 45 15 60 调试后 35 5 40 合计 80 20 100 (1)根据表中数据，依据显著性水平的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联； (2)现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析.记抽取的3件中合格的件数为X，求 X的分布列和期望； (3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为Y， 求使事件“”的概率最大时k的取值.参考公式及数据： 其中. 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)无关联(2)分布列见解析，(3)875 【详解】（1）零假设为：假设依据的独立性检验，认为参数调试与产品质量无关联； 则， 故依据的独立性检验，没有充分证据说明零假设不成立， 因此可认为成立，即认为参数调试与产品质量无关联； （2）依题意，用分层随机抽样法抽取的8件产品中， 合格产品有件，不合格产品有2件， 而从这8件产品中随机抽取3件，其中的合格品件数的可能值有1，2，3． 则，，， 故的分布为： 1 2 3 则； （3）依题意，因随机抽取调试后的产品的合格率为， 故，则， 由， 故由可解得， 因，故当时，； 故由可解得， 即当时，； 故当事件“”的概率最大时，． 17．（15分）每年12月4日是全国普法宣传日，某校对高三年级600名学生法治素养现状进行调查研究，举行了一次“普法知识”竞赛.从中随机抽取60名学生，统计结果如下：获奖人数占总人数的，其中获奖人数中，男生占，不获奖人数中，女生占． (1)现从这60名学生中随机抽取1名学生，求恰好是女生的概率； (2)对获奖学生采用按性别分层随机抽样的方法选取8人，参加赛后经验交流活动.若从这8人中随机选取2人. ①求在2人中有女生入选的条件下，恰好选到1名男生和1名女生的概率； ②记X为入选的2人中的女生人数，求随机变量X的分布列及数学期望． 【答案】(1)(2)①；②分布列见详解、数学期望为 【详解】（1）获奖人数：人，不获奖人数：人， 获奖男生：，获奖女生：， 不获奖女生：，不获奖男生：， 女生总人数：，则随机抽取到一名学生是女生的概率为：. （2）按性别分层随机抽取人，则： 抽取男生为人， 抽取女生为人， ①设事件为“人中有女生入选”，事件为“恰好选到名男生和名女生”， 依据条件概率公式，其中， ，，则； ②表示入选的人中的女生人数，其可能的取值为， ， ， ， 分布列： 数学期望：. 18．（17分）已知函数，． (1)当时，求的极值； (2)若函数在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； (3)若，且有两个极值点，其中，求的取值范围． 【答案】(1)极大值为，极小值为(2)(3) 【详解】（1）当时，函数的定义域为， ， 所以， 令，解得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因此，函数的极大值为，极小值为． （2）的定义域为， 则题意等价于在上恒成立， 即在上恒成立， 由基本不等式知，时，， 当且仅当时等号成立， 所以，即实数的取值范围为； （3）由已知， 因为有两个极值点， 所以为方程的两个不相等的实数根， 则，， 因为，所以， 又，解得， 所以 ， 设， 则， 所以在上单调递减， 又，， 所以， 即的取值范围为. 19．（17分）某厂欲将一些零件交给该厂甲、乙两个车间加工，据以往统计发现，甲车间加工零件的达标率为90%. (1)现将甲、乙两车间加工的该种零件按 的比例混合在一起，从混合放在一起的零件中，随机抽取一件，该零件达标的概率为80%. （i）求乙车间加工零件的达标率； （ii）若从混合放在一起的零件中，随机抽取3个，记这3个零件中达标的个数为，求的分布列和期望； (2)乙车间为了争取更多的加工量，着重提高了加工该种零件的达标率，已知在乙车间提高加工达标率的条件下，该厂给乙车间增加加工量的概率为，在乙车间不提高加工达标率的条件下，该厂给乙车间增加加工量的概率为.设事件“乙车间提高了加工该种零件的达标率”，“该厂给乙车间增加加工量”，若，，，证明： 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析；期望为；(2)见解析 【详解】（1）（ⅰ）设“从混合放在一起的零件中随机抽取一件是甲车间生产”，“从混合放在一起的零件中随机抽取一件是乙车间生产”，“从混合放在一起的零件中随机抽取一件是合格品”， 由条件可知，，，，， ， 得， 所以乙车间加工零件的达标率为； （ⅱ），，， ，， ， 分布列如下， 0 1 2 3 期望 （2）由，即，则， 所以， 得， ， 所以， 所以， 即， 所以， 得，即， 所以， 所以，得证. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $