专题04 条件概率与随机变量（十大考点）（高效培优期末专项训练）数学人教A版高二选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦条件概率与随机变量核心考点，以10大模块构建从基础概念到综合应用的递进训练体系，强化数学思维与数据观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |条件概率求算|5题|结合互斥/独立事件判断，含实际情境应用|从定义出发，关联事件关系，奠定概率基础| |全概率/贝叶斯公式|5题/5题|多情境（取球/抽奖/信号传输），选择与解答结合|基于条件概率，构建复杂事件概率计算框架| |离散型分布（两点/超几何/二项）|5题/5题/5题|分布列、均值方差计算，含放回与不放回模型|从简单分布到复杂抽样模型，体现数学建模思想| |方差标准差/正态分布|5题/5题|性质应用与参数计算，结合频率分布表|深化数字特征理解，衔接连续型随机变量| |二项分布概率最大/综合分析|5题/5题|概率优化问题与多考点融合题|进阶应用，培养逻辑推理与综合解题能力|

专题04 条件概率与随机变量 考点01条件概率的求算 考点02全概率公式的求算 考点03贝叶斯公式求算 考点04两点分布均值方差 考点05超几何分布的均值与方差 考点06二项分布的均值与方差 考点07离散型随机变量的方差与标准差 考点08 正态分布考点 考点09 服从二项分布的随机变量概率最大问题 考点10 随机变量综合分析 考点01条件概率的求算 1．（多选）设事件，满足，，则下列结论正确的是（ ） A． B．若，互斥，则 C．若，独立，则 D．若，则，独立 2．（多选）设事件A、B满足，，则（    ） A．若，则 B．若与互斥，则 C．若与独立，则 D．若，则与独立 3．某家庭有3个孩子，已知其中一个孩子是男孩，则恰有1个孩子是女孩的概率为（     ） A． B． C． D． 4．已知随机事件A，B，，，，则＝（　　） A． B． C． D． 5．学校一楼到二楼共有15级台阶，某同学每一步可以走一级或两级台阶，事件表示“用13步走完15级台阶”，事件表示“走楼梯的过程没有连续2步走两级台阶”，则（     ） A． B． C． D． 考点02全概率公式的求算 6．（多选）口袋里共有4个红球，5个黄球和3个蓝球，它们除颜色外完全相同.现进行取球，则（    ） A．若取出球后放回口袋，每次只取一个球，则第4次取出黄球的概率为 B．若取出球后不放回口袋，每次只取一个球，则第2次取出黄球的概率为 C．若取出球后放回口袋，每次只取两个球，则第2次取出的两个球中至少有一个是黄球的概率为 D．若取出球后放回口袋，每次只取3个球，则第3次取出的3个球中没有黄球的概率为 7．现有8道四选一的单选题，学生李华对其中6道题有思路，2道题完全没有思路．有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对的概率为．现从这8道题中随机选择1题，则他做对该题的概率为____________． 8．（多选）甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（     ） A． B． C． D． 9．设甲袋中有3个白球､2个红球和5个黑球，乙袋中装有3个白球､3个红球和个黑球（），这些球除颜色外完全相同.已知从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为. (1)求的值； (2)若依次从甲袋中取出两球，在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率； (3)若先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，求从乙袋取出的是白球或黑球的概率 10．某公司开发了两款智能模型和用于客服系统．测试期间，系统在第1天随机选择一款模型投入使用．若第1天使用模型，则第2天继续使用模型的概率为0.6；若第1天使用模型，则第2天切换到模型的概率为0.8．则第2天使用模型的概率为（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9 考点03贝叶斯公式求算 11．装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，则丢失的也是一等品的概率为（   ） A． B． C． D． 12．芡实俗称“鸡头米”，是一种不可多得的养生良品，其通过开发可以产出芡实酒．已知A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的，不合格率分别为，现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为_____；若该瓶芡实酒是不合格品，则该瓶酒是B厂生产的概率为_____． 13．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，假设发送信号0和1是等可能的．已知接收的信号为1时发送的信号是0的概率是（    ） A． B． C． D． 14．（多选）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，，下列结论正确的是（ ） A． B．若，甲改选2号箱比改选4号箱的中奖概率更大 C． D．若，且甲更改选择，则他获奖的概率为 15．某中学的社团活动室有书法社、围棋社和绘画社三个社团，学生小李每天都会去活动室参与社团活动.若当天选择书法社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率均为；若当天选择围棋社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率分别为，，；若当天选择绘画社，则后一天等可能地选择书法社、围棋社或绘画社.已知小李第一天等可能地选择一个社团参与活动.请完成下列计算： (1)求小李第2天选择书法社的概率． (2)求在第2天选择书法社的条件下，小李第1天选择绘画社的概率． 考点04两点分布均值方差 16．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分的均值是多少？（    ） A．0.8 B．0.64 C．0.2 D．0.16 17．已知随机变量服从参数为的两点分布，且，则（     ） A．0.25 B．0.75 C．0.35 D．0.65 18．甲、乙、丙三人相互做传球训练，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．若第一次由甲传出，共传5次结束，记表示5次传球过程中，甲接到球的总次数，则X的数学期望________． 19．一个箱子里有10个除颜色外完全相同的小球，其中红色小球4个，黄色小球3个，蓝色小球2个，绿色小球1个，现从中有放回地抽取三次，记取出球的颜色种数为X，则________，数学期望________. 20．已知随机变量X服从两点分布，且，设，那么________. 考点05超几何分布的均值与方差 21．一个彩票盒中装有15张刮开前外表相同的彩票，其中奖金为500元的一等奖彩票有4张，奖金为300元的二等奖彩票有5张，奖金为100元的三等奖彩票有6张，从中随机抽出3张彩票. (1)求抽出的3张彩票的奖金总金额不高于700元的概率； (2)记表示抽出3张彩票中三等奖彩票的张数，求的分布列和数学期望. 0 1 2 3 22．在含有4件次品的10件产品中，任取5件，表示取到的次品数，则__________． 23．（多选）已知100只灯泡中存在只不合格品，从中一次任取10只，记取出的灯泡中不合格品的个数为，恰含有2只不合格品的概率为，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．若，则 D．当时，取到最大值 24．一个箱子中装有除颜色外其他都相同的2个红球，2个黑球，5个绿球． (1)若从箱子中任取两个球，求这两个球颜色不同的概率； (2)若从箱子中任取3个球，记取出的黑球的个数为随机变量X，求的分布列与数学期望． 25．某食品厂为了检查流水线的生产情况，随机抽取流水线上20件产品作为样本，分别称出它们的重量（单位：克），将数据按照，，，分成5组.制成如右图所示的频率分布直方图. (1)从流水线上抽取3件产品，用频率估计概率，求恰有2件产品的重量超过505克的概率； (2)在样本中重量位于的产品中任取2件，设为重量低于495克的产品数量，求随机变量的分布列和数学期望. 考点06二项分布的均值与方差 26．某翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）. (1)若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率； (2)若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列与期望、方差. 27．已知随机变量，若，则________． 28．（多选）（多选）袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为，则（    ） A． B． C． D． 29．有一个袋子中装有4个红球，2个黑球，现每次从袋子中随机取出一个球，连续取三次． (1)若每次取出的球放回，记取出黑球的次数为，求的分布列和期望； (2)若每次取出的球不放回，已知第三次取出的是黑球，求此时袋中没有黑球的概率． 30．（多选）某计算机程序每运行一次都随机出现一个四位二进制数（每一位上数字只能是0或1，例如出现“1010”），其中的各位数字中出现0的概率为，出现1的概率为，各个位数之间互相独立．记随机变量，则当程序运行一次时，下列说法正确的有（   ） A． B． C．的数学期望 D．随机变量的方差 考点07离散型随机变量的方差与标准差 31．为提高哈尔滨市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名，从这10名导游中随机选择4人参加比赛. (1)设为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件发生的概率； (2)设为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量的分布列和数学期望、方差. 32．（多选）已知离散型随机变量，满足，其中的分布列如下表所示，则（     ） 1 3 6 A． B． C． D． 33．为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展AI应用培训活动．现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为0，1，2，若，，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 34．将个编号为的小球放入个编号为的盒子中，若一个球的号码与放入该球的盒子的号码恰好相同，我们称之为一个“完美归位”，设“完美归位”的个数为，则（    ） A． B． C． D． 35．（多选）已知随机变量，且，的分布列如下： 0 1 2 若，则（   ） A． B． C． D． 考点08 正态分布考点 36．在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2025年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表：（每组数据的平均数以该组区间的中点值为代表） 满意度评分 频数 10 15 20 30 15 10 (1)在抽取的样本中，若区间内数据的方差为5，区间内数据的方差为10，求区间内数据的方差； (2)根据频数分布表可以认为，该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数； (3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：若随机变量，则，，． 37．（多选）已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为，若使标准分，，，，则（     ） A．这次考试标准分不低于180分的约有450人 B．这次考试标准分在内的人数约为997 C．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分不低于180分的概率为 D． 38．．若，则__________． 39．已知正态分布，若，则（    ） A．0.6 B．0.4 C．0.2 D．0.1 40．已知随机变量，，若，，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．9 考点09 服从二项分布的随机变量概率最大问题 41．2026年是丙午马年，某平台推出数字马年互动抽奖活动，每次抽奖抽中“6点幸运码”的概率为（）.小明参与活动累计抽奖次，最终恰好抽中6次“6点幸运码”，但未记录总抽奖次数.设随机变量表示抽奖次时抽中“6点幸运码”的次数，现以使得最大的值估计总抽奖次数（若有多个使概率最大，则取其中最小值），并计算.下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．与6的大小关系不确定 42．为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生30名和女生20名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解“deepseek”的学生人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 43．一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动9次，则质点最可能移动到的位置是（    ） A．7或 B．1或 C．3或 D．5或 44．二项分布又称为重伯努利分布，其可视作将次两点分布叠加所得，现对其中的两点分布进行调整，记原两点分布的发生概率为（发生概率即所得结果为1的概率），定义变化后总试验次数为时的发生概率，其中表示总试验次数．现进行一类关于随机变量的二项分布的调整．若当变化后总试验次数为时的发生概率为，总试验次数为时的发生概率为，则在原二项分布中，的最大值为________（用数字解答）． 45．甲､乙两位同学进行纸飞机比赛，设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.比赛规则如下：三局两胜制指有一方获胜两局，比赛结束；四局三胜制指有一方获胜三局，比赛结束. (1)若，比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； (2)若，甲、乙进行了局比赛，表示甲获胜的局数，当且仅当时，取得最大值，其中，求满足条件的的值. 考点10 随机变量综合分析 46．已知某同学第一次投篮命中率为0.6．第一次投篮不中的条件下第二次投篮命中的概率为0.8．第一次投篮命中的条件下第二次投篮命中的概率为0.5．则该同学第二次投篮不中的概率为（     ） A．0.38 B．0.34 C．0.28 D．0.24 47．（多选）某数学试卷有道单选题，若某学生对其中的道题完全掌握，道题有思路，道题没有思路．完全掌握的题目能选出正确答案；有思路的题目，每道做对的概率为；没有思路的题目，猜对的概率为，则（    ） A．答对道题的概率为 B．至少答对道题的概率为 C．答对题目个数的数学期望为 D．随机选一道题作答且做对，则该题是有思路的概率为 48．某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，80%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑冰，则该同学也爱好滑雪的概率为（   ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.3 49．假设书包里仅有4支水笔和6支铅笔，现从该书包中不放回地依次（每次取一支）取出两支笔，记事件表示“第一次取出的笔是铅笔”，事件表示“第二次取出的笔是水笔”，则（    ） A． B． C． D． 50．甲、乙、丙、丁四名同学计划去4个景点旅游，每人只去1个景点．设事件“4位同学去的景点各不相同”，事件“甲同学独自一人去了一个景点”，则（　　） A． B． C． D． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 条件概率与随机变量 考点01条件概率的求算 考点02全概率公式的求算 考点03贝叶斯公式求算 考点04两点分布均值方差 考点05超几何分布的均值与方差 考点06二项分布的均值与方差 考点07离散型随机变量的方差与标准差 考点08 正态分布考点 考点09 服从二项分布的随机变量概率最大问题 考点10 随机变量综合分析 考点01条件概率的求算 1．（多选）设事件，满足，，则下列结论正确的是（ ） A． B．若，互斥，则 C．若，独立，则 D．若，则，独立 【答案】BC 【分析】根据对立事件的概率公式即可判断A；由概率的加法公式即可判断B；由独立事件的乘法公式即可判断C；由条件概率公式即可判断D． 【详解】对于A，，， 所以，故A错误； 对于B，若，互斥，则， 所以，故B正确； 对于C，若，独立，则，故C正确； 对于D，， 因为，所以， 因为，所以，不独立，故D错误． 2．（多选）设事件A、B满足，，则（    ） A．若，则 B．若与互斥，则 C．若与独立，则 D．若，则与独立 【答案】BC 【详解】对于A选项，若，则，则，故A选项错误； 对于B选项，若与互斥，则，故B选项正确； 对于C选项，， 若与独立，则与独立， 故，故C选项正确； 对于D选项，若，则，得出， 因为，所以与不独立，故D选项错误. 3．某家庭有3个孩子，已知其中一个孩子是男孩，则恰有1个孩子是女孩的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据样本空间法，结合古典概型概率公式求解. 【详解】3个孩子，其中一个是男孩包含的基本事件有（男男男），（男女男），（女男男）， （男男女），（男女女），（女男女），（女女男），共包含7个基本事件 其中恰有1个女孩包含（男女男），（女男男），（男男女），共3个基本事件， 所以恰有1个孩子是女孩的概率. 4．已知随机事件A，B，，，，则＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件概率公式计算判断各个选项. 【详解】因为，，， 所以，则， 所以. 5．学校一楼到二楼共有15级台阶，某同学每一步可以走一级或两级台阶，事件表示“用13步走完15级台阶”，事件表示“走楼梯的过程没有连续2步走两级台阶”，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设13步中，有x步走两级台阶，有y步走一级台阶， 则，解得，即用13步走完15级台阶，需13步中选2步走两级台阶，11步走一级台阶， 走法数为，即得； 事件表示用13步走完15级台阶且没有连续2步走两级台阶， 即选出的走2级台阶的2步不能相邻，即11步走的一级台阶先排好，产生12个空隙， 选2个空隙插入走2级台阶的2步，走法数为，即， 故. 考点02全概率公式的求算 6．（多选）口袋里共有4个红球，5个黄球和3个蓝球，它们除颜色外完全相同.现进行取球，则（    ） A．若取出球后放回口袋，每次只取一个球，则第4次取出黄球的概率为 B．若取出球后不放回口袋，每次只取一个球，则第2次取出黄球的概率为 C．若取出球后放回口袋，每次只取两个球，则第2次取出的两个球中至少有一个是黄球的概率为 D．若取出球后放回口袋，每次只取3个球，则第3次取出的3个球中没有黄球的概率为 【答案】ABD 【分析】对于A选项可知每次取球是独立，故每次取黄球的概率是一样的；对于B选项是取球不放回，使用全概率公式求出结果；对于C、D选项每次取球是独立，使用古典概型即可. 【详解】对于A选项，因为取出球后放回口袋，每次只取一个球，故每次取球的概率不变， 故第4次取出黄球的概率为，故A选项正确； 对于B选项，设A事件为第1次取出黄球，B事件为第2次取出黄球， 则， 则，故B选项正确； 对于C选项，每次只取两个球有种，因为取出球后放回口袋，故每次取球的概率不变， 第2次取出的两个球中没有一个是黄球有种， 故第2次取出的两个球中至少有一个是黄球的概率为，因此C选项错误； 对于D选项，因为取出球后放回口袋，故每次取球的概率不变，每次只取3个球有种， 则第3次取出的3个球中没有黄球有种， 故第3次取出的3个球中没有黄球的概率为，则D选项正确. 7．现有8道四选一的单选题，学生李华对其中6道题有思路，2道题完全没有思路．有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对的概率为．现从这8道题中随机选择1题，则他做对该题的概率为____________． 【答案】/0.7375 【分析】将题目划分为有思路、无思路两类，结合对应条件概率，利用全概率公式求解随机抽取一题做对的总概率. 【详解】随机抽取1道题，抽到有思路题的概率为，抽到无思路题的概率为. 抽到有思路题时做对的条件概率为，抽到无思路题时做对的条件概率为. 由全概率公式可得. 8．（多选）甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（     ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】本题结合摸球场景考查古典概型、条件概率、全概率公式及贝叶斯公式的应用，需分别计算各选项对应概率判断正误 【详解】对于A项，甲箱共有个球，其中3个为红球，因此从甲箱取到红球的概率，故A正确， 对于B项，若发生，乙箱新增1个红球，变为3红2白共5个球，此时取2个红球的概率； 若发生，乙箱新增1个白球，变为2红3白共5个球，此时取2个红球的概率， 由全概率公式得，故B正确； 对于C项，由上述计算可知，故C错误； 对于D项，由贝叶斯公式得，故D错误. 9．设甲袋中有3个白球､2个红球和5个黑球，乙袋中装有3个白球､3个红球和个黑球（），这些球除颜色外完全相同.已知从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为. (1)求的值； (2)若依次从甲袋中取出两球，在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率； (3)若先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，求从乙袋取出的是白球或黑球的概率 【答案】(1)3；(2)；(3). 【分析】（1）利用古典概率公式列式求解. （2）利用条件概率公式求解. （3）利用全概率公式求解. 【详解】（1）由从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为，得， 所以. （2）从甲袋中取出两球，事件“第一个球是白球”，事件“第二个球是红球” 则，，， 所以在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率为. （3）从甲袋中取出一个球是白球、红球、黑球的事件分别为，从乙袋取出的是白球或黑球的事件为， 则，， 由全概率公式得， 所以从乙袋取出的是白球或黑球的概率. 10．某公司开发了两款智能模型和用于客服系统．测试期间，系统在第1天随机选择一款模型投入使用．若第1天使用模型，则第2天继续使用模型的概率为0.6；若第1天使用模型，则第2天切换到模型的概率为0.8．则第2天使用模型的概率为（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9 【答案】C 【分析】根据全概率公式，代入求解，即可得答案. 【详解】设第2天使用模型为事件C，则. 考点03贝叶斯公式求算 11．装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，则丢失的也是一等品的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设事件A为从箱中任取2件产品都是一等品，事件表示丢失的是等品，， 则 ， 因此. 12．芡实俗称“鸡头米”，是一种不可多得的养生良品，其通过开发可以产出芡实酒．已知A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的，不合格率分别为，现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为_____；若该瓶芡实酒是不合格品，则该瓶酒是B厂生产的概率为_____． 【答案】 【分析】设事件D表示“任取一瓶是不合格品”，事件A表示“产品A厂生产的”，事件B表示“产品B厂生产的”，事件C表示“产品C厂生产的”，根据题意，第一个空，利用全概率公式，由求解，第二个空，利用贝叶斯公式求解； 【详解】设事件D表示“任取一瓶是不合格品”，事件A表示“产品A厂生产的”，事件B表示“产品B厂生产的”，事件C表示“产品C厂生产的”， 因为A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的， 所以， 因为A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，不合格率分别为， 所以不合格率分别为， 现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为： ， ； 由贝叶斯公式得：， 故答案为：， 13．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，假设发送信号0和1是等可能的．已知接收的信号为1时发送的信号是0的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件概率和贝叶斯公式计算． 【详解】设表示“发送的信号为0”，表示“接收的信号为0”， 则表示“发送的信号为1”，表示“接收的信号为1”. 由题意得，，，，，. 由贝叶斯公式有. 故已知接收的信号为1，则发送的信号为0的概率为. 14．（多选）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，，下列结论正确的是（ ） A． B．若，甲改选2号箱比改选4号箱的中奖概率更大 C． D．若，且甲更改选择，则他获奖的概率为 【答案】ACD 【分析】由条件概率计算公式和全概率计算公式可判断AC，由贝叶斯公式可判断BD. 【详解】奖品在号箱里，主持人可打开号箱，故，故A正确； 奖品在号箱里，主持人可打开号箱，故， 奖品在号箱里，主持人只能打开号箱，故， 奖品在号箱里，主持人打开号箱的概率为，故， 奖品在号箱里，主持人只能打开号箱，故， 由全概率公式可得：，故C正确； 对于B、D， （1）若甲不更改选择时，由贝叶斯公式计算 （2）当甲更改选择时 若甲改选号箱，甲中奖的概率为， 若甲改选号箱，甲中奖的概率为， 又甲更改选择时，选号箱或号箱的概率为， 因此甲更改选择，获奖的概率为，故D正确； 而，即甲改选号箱与改选号箱的中奖概率一样，故B错误. 15．某中学的社团活动室有书法社、围棋社和绘画社三个社团，学生小李每天都会去活动室参与社团活动.若当天选择书法社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率均为；若当天选择围棋社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率分别为，，；若当天选择绘画社，则后一天等可能地选择书法社、围棋社或绘画社.已知小李第一天等可能地选择一个社团参与活动.请完成下列计算： (1)求小李第2天选择书法社的概率． (2)求在第2天选择书法社的条件下，小李第1天选择绘画社的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设事件分别表示第1天选择书法社、围棋社、绘画社，事件表示第2天选择书法社. 由题意，两两互斥且构成完备事件组，且 由全概率公式： ∴小李第2天选择书法社的概率为. （2） ∴在第2天选择书法社的条件下，小李第1天选择绘画社的概率为. 考点04两点分布均值方差 16．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分的均值是多少？（    ） A．0.8 B．0.64 C．0.2 D．0.16 【答案】A 【分析】首先求的取值，再求其概率，最后代入期望公式. 【详解】由条件可知，，，， 所以. 17．已知随机变量服从参数为的两点分布，且，则（     ） A．0.25 B．0.75 C．0.35 D．0.65 【答案】C 【分析】根据两点分布的期望公式即可求解. 【详解】因为随机变量服从参数为的两点分布， 所以， 又，所以. 故选：C. 18．甲、乙、丙三人相互做传球训练，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．若第一次由甲传出，共传5次结束，记表示5次传球过程中，甲接到球的总次数，则X的数学期望________． 【答案】/ 【分析】记第次传球后球在甲手中的概率为，则不在甲手中的概率为，所以第次传球后球在甲手中，当且仅当第次传球后球不在甲手中，且传球者将球传给甲，所以，根据题意可求出，因为每一次传球后球在甲手中的次数都服从两点分布，根据期望的线性性质可求得. 【详解】记第次传球后球在甲手中的概率为，则不在甲手中的概率为，所以第次传球后球在甲手中，当且仅当第次传球后球不在甲手中，且传球者将球传给甲，所以， 根据题意第一次由甲传出，所以第一次传球后球肯定不在甲手中，所以， 又共传5次结束， 所以. 记为示性变量，当第次传球后球在甲手中时，否则，即每次传球后球在甲手中的次数服从两点分布， 所以， 所以 . 故答案为：. 19．一个箱子里有10个除颜色外完全相同的小球，其中红色小球4个，黄色小球3个，蓝色小球2个，绿色小球1个，现从中有放回地抽取三次，记取出球的颜色种数为X，则________，数学期望________. 【答案】 / / 【分析】①把四种情况对应概率相加即可 ②（方法一）用表示红色，黄色，蓝色，绿色小球被取到，分别求出各自对应概率及数学期望，最后相加即可 （方法二）分别列出的所有可能取值，分别计算出，，，再计算期望即可. 【详解】①：. ②：（方法一） 设，则服从两点分布，，，, 设，则也从两点分布，，，, 设，则也从两点分布，，， 设，则也从两点分布，，， ， （方法二）， ， ， . 故答案为： ； 20．已知随机变量X服从两点分布，且，设，那么________. 【答案】0 【分析】根据两点分布确定X的期望，再由随机变量的线性关系的期望性质，即可求解. 【详解】因为随机变量X服从两点分布，， 所以， 所以， 因为，所以 故答案为：0. 考点05超几何分布的均值与方差 21．一个彩票盒中装有15张刮开前外表相同的彩票，其中奖金为500元的一等奖彩票有4张，奖金为300元的二等奖彩票有5张，奖金为100元的三等奖彩票有6张，从中随机抽出3张彩票. (1)求抽出的3张彩票的奖金总金额不高于700元的概率； (2)记表示抽出3张彩票中三等奖彩票的张数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）抽出的3张彩票的奖金总金额不高于700元，可能的情况有：3张100元，或2张100元，1张300元；或2张100元，1张500元；或1张100元，2张300元. 所以抽出的3张彩票的奖金总金额不高于700元的概率为. （2）的可能取值为0，1，2，3，则， ， ， . 故的分布列为 0 1 2 3 所以或. 22．在含有4件次品的10件产品中，任取5件，表示取到的次品数，则__________． 【答案】 【详解】含有4件次品的10件产品中含有6件正品， 意思是从4件次品中任取3件且从6件正品中任取2件， 则. 23．（多选）已知100只灯泡中存在只不合格品，从中一次任取10只，记取出的灯泡中不合格品的个数为，恰含有2只不合格品的概率为，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．若，则 D．当时，取到最大值 【答案】BCD 【分析】根据超几何分布的定义、概率公式及期望公式判断ABC；由题意列不等式结合组合数公式计算求解判断D. 【详解】对于A，由题意可知随机变量服从超几何分布，故A错误； 对于B，由超几何分布的概率公式可得，故B正确； 对于C，由超几何分布的期望公式可得，所以，故C正确； 对于D，由超几何分布的概率公式可得， 取得最大值，也即是取最大， 所以，解得，故， 所以当时，取到最大值，故D正确. 24．一个箱子中装有除颜色外其他都相同的2个红球，2个黑球，5个绿球． (1)若从箱子中任取两个球，求这两个球颜色不同的概率； (2)若从箱子中任取3个球，记取出的黑球的个数为随机变量X，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列为： 数学期望为 【分析】（1）求出符合要求可能数与总可能数之比即可得； （2）得到的所有可能取值及其对应概率即可得其分布列，借助分布列即可得其期望. 【详解】（1）； （2）的可能取值为、、， ， ， ， 则的分布列为： 则. 25．某食品厂为了检查流水线的生产情况，随机抽取流水线上20件产品作为样本，分别称出它们的重量（单位：克），将数据按照，，，分成5组.制成如右图所示的频率分布直方图. (1)从流水线上抽取3件产品，用频率估计概率，求恰有2件产品的重量超过505克的概率； (2)在样本中重量位于的产品中任取2件，设为重量低于495克的产品数量，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)的分布列为 0 1 2 【详解】（1）样本中，重量超过505克的频率为， 于是可估计任取一件产品，其重量超过505克的概率为. 设恰有2件产品重量超过505克为事件，. （2）样本中重量位于的产品共有件， 其中重量低于495克的有3件. 所以的可能取值有0，1，2. ，， 的分布列为 0 1 2 的期望为. 考点06二项分布的均值与方差 26．某翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）. (1)若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率； (2)若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列与期望、方差. 【答案】(1) (2)分布列 0 1 2 3 ， 【分析】（1）借助对立事件概率公式，先计算两次翻牌均未翻出花色牌的概率，再用减去该概率得到甲获得精美礼品的概率. （2）先判断随机变量服从二项分布，利用二项分布概率公式求出各取值对应的概率，列出分布列，再套用二项分布的期望、方差公式完成计算. 【详解】（1）甲获得一份精美礼品的概率为. （2）由题意得， 则，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 ,. 27．已知随机变量，若，则________． 【答案】 【分析】先依据二项分布的方差公式计算，再结合方差的线性运算性质推导的值. 【详解】 已知随机变量，即服从参数为，的二项分布， 根据二项分布的方差公式，可得， 根据方差的线性运算性质，可得， 即，解得. 28．（多选）（多选）袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先判断4次取球的总分数服从二项分布，再利用二项分布的概率、期望、方差公式逐一判断选项即可. 【详解】从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等，故随机变量服从二项分布， 又取到黑球记1分，取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，则，故A正确； ，故B错误； 因为，所以，故C正确； 又因，故D正确. 29．有一个袋子中装有4个红球，2个黑球，现每次从袋子中随机取出一个球，连续取三次． (1)若每次取出的球放回，记取出黑球的次数为，求的分布列和期望； (2)若每次取出的球不放回，已知第三次取出的是黑球，求此时袋中没有黑球的概率． 【答案】(1)的分布列为： 期望为1 (2) 【分析】（1）先确定随机变量的取值，再分别计算各取值对应的概率，最后列出分布列并求出期望； （2）方法一：利用概率乘法公式以及条件概率公式求解；方法二：利用古典概型概率公式以及条件概率公式求解即可. 【详解】（1）由题意知，随机变量的取值为， 则，， ，， 所以的分布列为： 由，所以的期望． （2）记第次取出黑球为事件，第三次取出黑球后袋中没有黑球为事件． 方法一：， ， 所以． 方法二：，， 所以． 30．（多选）某计算机程序每运行一次都随机出现一个四位二进制数（每一位上数字只能是0或1，例如出现“1010”），其中的各位数字中出现0的概率为，出现1的概率为，各个位数之间互相独立．记随机变量，则当程序运行一次时，下列说法正确的有（   ） A． B． C．的数学期望 D．随机变量的方差 【答案】BCD 【分析】根据题意，得到的可能取值为，结合独立重复试验的概率计算公式，分别求得相应的概率，再由二项分布的期望与方差的计算公式，分别求得，结合选项，即可求解. 【详解】由二进制数的特点知：每一位上的数字只能是0或1， 且各位数字出现0的概率为，出现1的概率为，各个位数字之间互相独立， 对于A，若，即各位数字都是，所以，所以A不正确； 对于B，若，即各位数字中三个，一个1，所以，所以B正确； 对于C，由随机变量，可得的可能取值为， 则，，， ，， 可得随机变量服从二项分布，所以，所以C正确； 对于D，由随机变量服从二项分布，可得， 设，可得，即，所以D正确. 考点07离散型随机变量的方差与标准差 31．为提高哈尔滨市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名，从这10名导游中随机选择4人参加比赛. (1)设为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件发生的概率； (2)设为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量的分布列和数学期望、方差. 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 4 ，. 【分析】（1）根据给定条件，利用组合计数问题求出古典概率. （2）求出的可能值，求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望、方差. 【详解】（1）依题意，这10名导游中随机选择4人，有种不同选法， 当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法， 当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法， 所以事件发生的概率. （2）依题意，随机变量的所有可能取值为， ，，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 4 随机变量的数学期望为， 方差. 32．（多选）已知离散型随机变量，满足，其中的分布列如下表所示，则（     ） 1 3 6 A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由离散型随机变量分布列性质，得 ，解得 ， 对于A，由题意得，所以A正确； 对于B，由期望性质得，， 可得，所以B错误； 对于C，，所以C正确； 对于D，由方差性质得，，所以D正确. 33．为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展AI应用培训活动．现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为0，1，2，若，，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【分析】根据离散型随机变量的期望计算公式列出方程，再由方差公式即可求解． 【详解】由题可设，则，， 所以，解得． 所以． 34．将个编号为的小球放入个编号为的盒子中，若一个球的号码与放入该球的盒子的号码恰好相同，我们称之为一个“完美归位”，设“完美归位”的个数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，的可能取值为，分别计算其概率，然后利用方差的公式计算即可. 【详解】的可能取值为， ，， ，， 所以， 则， 所以，故D正确． 35．（多选）已知随机变量，且，的分布列如下： 0 1 2 若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A：由题意知，解得，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：因为，所以，故D错误. 考点08 正态分布考点 36．在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2025年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表：（每组数据的平均数以该组区间的中点值为代表） 满意度评分 频数 10 15 20 30 15 10 (1)在抽取的样本中，若区间内数据的方差为5，区间内数据的方差为10，求区间内数据的方差； (2)根据频数分布表可以认为，该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数； (3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：若随机变量，则，，． 【答案】(1)32 (2)8186 (3) 0 1000 2000 3000 4000 ，1100 【分析】（1）利用方差合并公式求方差即可； （2）由正态分布特殊区间的概率及其对称性求区间概率，进而估计区间人数； （3）由题意Y的所有取值为0，1000，2000，3000，4000，求出对应概率值，写出分布列，进而求期望. 【详解】（1）由题意，； （2）由题意，近似地服从正态分布，且，， 由于 ， 因此估计这些车主中满意度评分位于区间的人数为． （3）由题意，Y的所有取值为0，1000，2000，3000，4000， 顾客每次抽奖返还2000元现金的概率为， 顾客每次抽奖返还1000元现金的概率为， 顾客每次抽奖不返还任何现金的概率为， 则，， ， ，， 则的分布列为： 0 1000 2000 3000 4000 所以. 37．（多选）已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为，若使标准分，，，，则（     ） A．这次考试标准分不低于180分的约有450人 B．这次考试标准分在内的人数约为997 C．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分不低于180分的概率为 D． 【答案】BC 【分析】依题意得，，，根据正态分布的3个特殊概率逐个计算可判断ABD；根据独立重复试验的概率公式计算可判断C. 【详解】依题意得，，，因为， 所以这次考试标准分不低于180分的约有人，故A不正确； ， 所以这次考试标准分在内的人数约为人，故B正确； 依题意可知，每个人的标准分不低于180分的概率为， 所以甲、乙、丙三人恰有2人的标准分不低于180分的概率为，故C正确； ，故D错误. 38．．若，则__________． 【答案】/ 【详解】因为，所以， 故. 39．已知正态分布，若，则（    ） A．0.6 B．0.4 C．0.2 D．0.1 【答案】C 【详解】得，所以， 所以，所以. 40．已知随机变量，，若，，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【分析】结合正态分布与二项分布性质计算即可得. 【详解】由，，则，， 由，则，， 由，则，故， 则，故. 考点09 服从二项分布的随机变量概率最大问题 41．2026年是丙午马年，某平台推出数字马年互动抽奖活动，每次抽奖抽中“6点幸运码”的概率为（）.小明参与活动累计抽奖次，最终恰好抽中6次“6点幸运码”，但未记录总抽奖次数.设随机变量表示抽奖次时抽中“6点幸运码”的次数，现以使得最大的值估计总抽奖次数（若有多个使概率最大，则取其中最小值），并计算.下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．与6的大小关系不确定 【答案】A 【分析】先求得的表达式，由此列不等式，结合数学期望的知识确定正确答案. 【详解】由题意，服从二项分布， 则，要使最大， 则且 ，解得， 又，所以当为整数时，，； 当不为整数时，，，故. 42．为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生30名和女生20名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解“deepseek”的学生人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据条件概率公式求得，然后根据二项分布概率公式构造不等式组，求解即可. 【详解】已知，， 又抽取男生30名和女生20名，所以. 根据条件概率公式，可得. 再根据条件概率公式，可得. 所以随机变量， 令， 解得， 因为，所以当时，取得最大值. 43．一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动9次，则质点最可能移动到的位置是（    ） A．7或 B．1或 C．3或 D．5或 【答案】B 【分析】首先得出最终位置的分布满足二项分布，然后求出位置对应的概率，最后根据组合数的性质即可求解. 【详解】 设9次移动中，质点向正方向移动（），则向负方向移动次， 最终位置为： ， 每次向正/负方向移动概率均为，因此位置对应的概率为 ， 概率大小由组合数决定， 组合数满足“先增后减，中间最大”， 当时，最大的组合数为，即和时概率最大， 时，， 时，， 因此质点最可能移动到的位置是或. 44．二项分布又称为重伯努利分布，其可视作将次两点分布叠加所得，现对其中的两点分布进行调整，记原两点分布的发生概率为（发生概率即所得结果为1的概率），定义变化后总试验次数为时的发生概率，其中表示总试验次数．现进行一类关于随机变量的二项分布的调整．若当变化后总试验次数为时的发生概率为，总试验次数为时的发生概率为，则在原二项分布中，的最大值为________（用数字解答）． 【答案】 【分析】根据题意先计算，再利用二项分布即可求解. 【详解】由题意知，可知，解得，故， ，，， ，，，，可知的最大值为． 45．甲､乙两位同学进行纸飞机比赛，设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.比赛规则如下：三局两胜制指有一方获胜两局，比赛结束；四局三胜制指有一方获胜三局，比赛结束. (1)若，比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； (2)若，甲、乙进行了局比赛，表示甲获胜的局数，当且仅当时，取得最大值，其中，求满足条件的的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知甲最终获胜的两种可能的比分为或，利用独立重复试验的概率公式可求得所求得甲获胜的概率； （2）分析可知，可得，记，解不等式，可得结果. 【详解】（1）根据题意可知，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 若采用三局两胜制，则最终获胜的两种可能的比分为或. 因为每局比赛的结果是独立的， 所以甲最终获胜的概率； （2）易得，，， 记， 则， 由，得， 即当时，， 当时，， 故当时，最大，所以的估计值为. 考点10 随机变量综合分析 46．已知某同学第一次投篮命中率为0.6．第一次投篮不中的条件下第二次投篮命中的概率为0.8．第一次投篮命中的条件下第二次投篮命中的概率为0.5．则该同学第二次投篮不中的概率为（     ） A．0.38 B．0.34 C．0.28 D．0.24 【答案】A 【分析】利用全概率公式求得第二次命中的概率后可得． 【详解】第二次命中的概率为, 所以第二次投篮不中的概率为． 47．（多选）某数学试卷有道单选题，若某学生对其中的道题完全掌握，道题有思路，道题没有思路．完全掌握的题目能选出正确答案；有思路的题目，每道做对的概率为；没有思路的题目，猜对的概率为，则（    ） A．答对道题的概率为 B．至少答对道题的概率为 C．答对题目个数的数学期望为 D．随机选一道题作答且做对，则该题是有思路的概率为 【答案】ABD 【分析】对A根据相互独立事件的概率计算可得；对B分有思路的题目和没有思路的题目共题答对道或道，再根据相互独立事件的概率计算可得；对C直接根据期望的性质计算可得；对D根据贝叶斯公式计算可得. 【详解】对于A，答对道题，即有思路的题目和没有思路的题目共题全部答对， 由相互独立事件的概率公式得，A正确. 对于B，至少答对道题，即有思路的题目和没有思路的题目共题答对道或道， 答对道的概率：由A选项可知为； 答对道分两种情况： ① 道有思路的全对、道无思路的错：； ​ ② 道有思路的对、道有思路的错、道无思路的对：， 因此总概率：，​ 故B正确. 对于C，设答对总题数为，则（​分别为两道有思路题答对的题数，​为无思路题答对的题数）， 由期望的性质得 ， 因为， 故C错误. 对于D，设“题目做对”，“题目完全掌握”，“题目有思路”，“题目无思路”， 则，，， 根据贝叶斯公式 ， ​ 故D正确. 48．某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，80%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑冰，则该同学也爱好滑雪的概率为（   ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.3 【答案】C 【详解】记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件， 则， 所以， 所以. 49．假设书包里仅有4支水笔和6支铅笔，现从该书包中不放回地依次（每次取一支）取出两支笔，记事件表示“第一次取出的笔是铅笔”，事件表示“第二次取出的笔是水笔”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件概率计算即可. 【详解】由题意可得， ， 则． 50．甲、乙、丙、丁四名同学计划去4个景点旅游，每人只去1个景点．设事件“4位同学去的景点各不相同”，事件“甲同学独自一人去了一个景点”，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用分步计数原理分别计算事件的个数以及事件的个数，然后代入条件概率公式即可求解 . 【详解】事件为“甲独自一人去一个景点”，甲先选景点共4种选择，剩余乙、丙、丁都不能选甲的景点，每人都有3种选择， 因此：. 事件表示“4人景点各不相同且甲独自去一个景点”，若4人去的景点各不相同，则甲必然独自一个景点， 因此就是“4人景点各不相同”：甲选完景点后，剩余3人全排列去剩下3个景点， 因此：. 故 . 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $