学易金卷：高二数学下学期期末模拟卷01（全国通用，人教A版选二+选三全部：数列、导数、计数原理、随机变量及其分布列、统计）

**基本信息** 本卷全面覆盖高二数学必修选必二与选必三内容，以AI软件利润分析、网络答题竞赛等真实情境为载体，通过选择、填空、解答题的梯度设计，考查数列、概率统计、导数等核心知识，注重数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|数列（等差数列求和）、概率（古典概型）、二项式定理|单选巩固基础（如等差数列前n项和），多选综合应用（如经验回归方程残差计算）| |填空题|3题15分|定积分、分布列期望、公切线问题|考查抽象思维（如医院分配期望）与运算能力（如曲线公切线求解）| |解答题|5题77分|独立性检验与回归分析、导数单调性与最值、数列证明与求和、概率竞赛问题|综合性强，如导数零点证明（逻辑推理）、概率竞赛决策（数学语言表达），贴合高考命题趋势|

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修选必二+选必三全部内容。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数的四则运算求出导函数，将1代入导函数即可求解. 【详解】，， ． 故选：A 2．已知是等差数列的前项和，若，则（     ） A．24 B．30 C．36 D．48 【答案】B 【分析】利用等差数列通项公式化简已知等式得到的值，再结合等差数列前项和公式计算即可. 【详解】设等差数列的公差为， 根据等差数列通项公式，代入得： ， 整理得， 根据等差数列前项和公式，可得：， 又， 因此. 3．从2所中学、5所小学中选3所学校参加文明卫生学校评比，且至少有1所中学入选，则不同的选法种数为（    ） A．5 B．15 C．20 D．25 【答案】D 【分析】利用分类和分步计数原理，结合组合数公式求解. 【详解】可分两种情况：第一种情况，只有1所中学入选，不同的选法有种； 第二种情况，有2所中学入选，不同的选法有种. 根据分类加法计数原理知，不同的选法有种 4．已知且，则二项式的展开式中，常数项为（   ） A． B． C．6 D．24 【答案】C 【分析】由正态分布的对称性求得，再应用二项式的展开式求常数项． 【详解】因为，所以， 所以， 所以二项式的展开式通项为， 令， 所以常数项为， 故选：C． 5．某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，80%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑冰，则该同学也爱好滑雪的概率为（   ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.3 【答案】C 【详解】记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件， 则， 所以， 所以. 6．已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，令其为零，再通过分离变量得到，借助导数研究的单调性和极值即可求解最终结果． 【详解】，令，即， 移项整理得，设，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以当时，取得极小值， 而时，；时，，但此时， 因此，的大致图象为： 则直线与曲线有两个交点， 必有，解得． 7．在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将原等式变形化简，利用累加法求出，进而求得结果. 【详解】因为，则， 当时， ， 显然满足上式，即有，所以． 8．甲、乙、丙三人玩传球游戏，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，若第一次由甲传出，则经过6次传球后，球恰在乙手中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可列出球在甲手中的概率递推关系式，构造出等比数列，求出第n次球在甲手中的概率表达式，由于乙、丙地位对称，求出第n次球在甲手中的概率由对立事件即可得到经过次传球后，球恰在乙手中的概率. 【详解】设事件“第次球在甲手中”，“第n次球在乙手中”，“第n次球在丙手中”， 那么由题意可知可知：，又， 所以，可构造等比数列， ， 因为第一次由甲传球，可认为第0次传球在甲，即， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 故，所以， 因为第一次由甲传球，之后都是等可能地将球传给另外两个人中的任何一人， 所以乙、丙地位对称，即，所以经过n次传球后， 球恰在乙手中的概率为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知某AI软件公司为迎合市场的需求开发了一款新型智能AI写作软件，现将该软件上市后的月份以及每个月获得的利润（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则（    ） 月份 1 2 3 4 5 利润 5 8 10 12 15 A． B．可以估计每增加1个月份，月利润提高2.8万元 C．可以估计10月份的利润为26.8万元 D．5月份利润的残差为0.4万元 【答案】AC 【分析】由回归方程过样本中心点即可求解判断A；由回归方程和残差定义即可逐项分析求解判断BCD. 【详解】依题意，， 将代入中，解得，故A正确； 可以估计每增加1个月份，月利润提高2.4万元，故B错误； 将代入中，得到，故C正确； 将代入中，得到，则所求残差为，故D错误. 故选：AC. 10．记正项等比数列的前项积为，若，，则下列结论正确的是（   ） A． B．当取得最小值时， C．是递增数列 D．使的的最小值为 【答案】ACD 【分析】先根据已知条件联立方程求出等比数列的首项与公比，再分别分析各选项：利用通项公式验证A；通过指数转化将前项积转化为二次函数形式，求对称轴判断B；根据公比大于且首项为正判断单调性验证C；通过解指数不等式得到的范围，确定最小值验证D． 【详解】设的公比为， 对于A，由题意可得， 解得，A正确； 对于B，， 是开口向上的抛物线，其对称轴为， 所以当时，取得最小值， B错误； 对于C，，故是递增数列，C正确； 对于D，令，即，解得或， 因为，所以使的的最小值为，D正确． 11．函数满足，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据已知条件构造新函数，利用函数导数与函数的单调性，逐项比较大小即可. 【详解】令，由， 又且， 所以，所以函数在上单调递减； 对于A，因为，所以，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，所以，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，所以，故D正确； 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，则_____． 【答案】 【详解】令，得，则． 13．将4名某医科大学的学生分配到3个不同的医院实习，每个大学生被分配到每个医院的概率均等且相互独立．分配结束后，设实际有大学生分配实习的医院个数为，则数学期望________． 【答案】/ 【分析】先确定随机变量的可能取值，再分别计算每个取值的概率，最后根据数学期望公式计算. 【详解】的可能取值为，总分配情况数为， 当 时，即 4 名学生全部分配到同一家医院； 当 时，即只有 2 个医院有学生实习：先选 2 个医院：，4 人分配至这 2 个医院，排除全在其中 1 个医院的情况： ； 当 时，即 3 个医院均有学生实习，人数分配为 ：选 1 个医院安排 2 名学生：，从 4 人中选 2 人分配至该医院：，剩余 2 人分配至剩下 2 个医院： 所以，， ， 所以. 14．若直线是曲线与曲线的公切线，则______ 【答案】 【分析】设切线与的切点为和，利用导数的几何意义，分别求得切线方程和，结合题意，列出方程组，即可求解. 【详解】由函数和，可得和， 设公切线与的切点为， 可得，所以切线方程为，即， 因为公切线的方程为，可得，解得， 所以与的公切线的方程， 设公切线与的切点为，可得， 所以切线方程为，即， 因为公切线的方程为，可得，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 有一款网络答题竞赛游戏，答题类型有科普类与文学类两种，随机抽取了50名参赛人员进行答题偏好的问卷调查，调查所得数据如下表： 科普类 文学类 合计 男生 5 女生 10 合计 25 50 (1)完成以上列联表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该游戏的答题偏好与性别有关联？ (2)随着参赛人员越多，题库提供的题量越多，某同学统计了当参赛人数分别为2~6人时，题库给出的题量的数据，用最小二乘法得到答题量关于参赛人数的回归直线方程为，已知该组数据的相关系数，题量的方差，求的值（结果精确到0.1）. 附：参考公式：，其中. 回归系数，相关系数，. 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，能 (2) 【分析】（1）根据题设中的数据完善列联表，计算卡方后可得相应判断； （2）根据相关系数可求，从而可求回归系数. 【详解】（1）完成列联表如下： 科普类 文学类 合计 男生 15 5 20 女生 10 20 30 合计 25 25 50 零假设为：该游戏的答题偏好与性别无关. ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为该游戏的答题偏好与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01. （2）由题意可得：，， 因为，可得， 又因为 可得 所以 16．（15分） 已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)求在上的最小值. 【答案】(1) 在 上单调递减，在 上单调递增 (2) 【分析】（1）当时，对函数求导，讨论导数符号，以此确定函数的单调区间； （2）对函数求导，根据导函数零点与区间的位置关系分类讨论，求出函数在区间上的最小值． 【详解】（1）函数 的定义域为 ， 求导： ， 当 时，，故 ，函数 单调递减； 当 时，，故 ，函数 单调递增， 因此， 在 上单调递减，在 上单调递增． （2）函数 ，定义域为 ，求导得： ， 根据 的取值范围，分三种情况讨论： 当 时：在区间上，，故 ， 在上单调递增， 最小值为： ； 当 时：当 时，，， 单调递减； 当 时，，， 单调递增， 最小值为： ； 当 时：在区间上， ，故 ， 在上单调递减， 最小值为： ． 综上，最小值函数为：． 17．（15分） 在数列中，. (1)求证：数列是等差数列； (2)令，数列的前n项和为，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由递推公式得到，利用等差数列的定义进行证明； （2）根据（1）求出的通项公式，利用错位相减法可求出数列的前n项和为，即可证. 【详解】（1）由，可得， 又因为，所以， 所以是首项为1，公差为3的等差数列. （2）由（1）知，，所以. ，① ，② ①-②得， ， 所以， 又，所以. 18．（17分） 已知函数. (1)若是的极小值点，求的值； (2)若有两个零点. （i）求的取值范围； （ii）求证：. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】(1)通过导数分析单调性，利用极小值点导数为0求解参数； (2)(i)分离参数后构造函数，通过单调性与最值确定参数范围； (ii)换元后结合极值点偏移，构造辅助函数证明不等式. 【详解】（1）由，求导得， 因恒成立，故的符号由决定， 由是的极小值点，得，即，解得， 当时，，时，单调递减； 时，单调递增，故为极小值点，符合题意， 因此，； （2）(i)由得，变形为， 令，则的零点等价于与的图象交点， 求导得，令，得， 时，，单调递减；时，，单调递增， ，且时，时， 因此，的取值范围为； (ii) 由是的零点，得， 由单调性可知，令，， 则，，且，，代入得， 设，则，在上单调递减，在上单调递增， 构造函数，， ， 由，则，故，在上单调递减， 则，即在恒成立， 因，故， 结合，得， 又，，在上单调递增， 因此，即， 故. 19．（17分） 甲、乙两人进行知识答题比赛，比赛方案为：①甲、乙两人各自从个问题中随机抽个．已知这个问题中，甲能正确回答其中的个，乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两人对每个问题的回答相互独立；②答对题目个数多的人获胜，若两人答对题目数相同，则由乙再回答一道题，答对则判乙胜，答错则判甲胜． (1)求甲、乙两人共答对个问题的概率； (2)试判断甲、乙谁更有可能获胜？并说明理由； (3)求乙答对题目数的分布列和期望． 【答案】(1) (2)乙胜出的可能性更大，理由见解析 (3)随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 期望. 【分析】（1）根据题意分别计算出甲乙答对题目数的概率，考虑甲答对道题，乙答对道题和甲答对道题，乙答对道题即可； （2）通过分情况和，先得出甲获胜的概率，从而得到乙获胜的概率，然后比较两者的概率即可； （3）根据题意，得出乙答对题目数的可能取值为，分别计算对应的概率即可，最后利用随机变量的期望公式即可求出期望. 【详解】（1）设甲答对的题目数为，乙答对的题目数为， 则甲答对的题目数的可能取值为，其概率分布如下： ，，， 乙答对的题目数服从二项分布，其概率分布如下： ，， ，， 因此甲、乙两人共答对个问题，即，可能的情况有： ①甲答对道题，乙答对道题，此时概率为， ②甲答对道题，乙答对道题，此时概率为， 由于. 因此甲、乙两人共答对个问题的概率为. （2）先计算的概率，根据题意， ， 由（1）得，， 在的情况下，甲获胜的概率为； 再计算的概率，即甲在前题中已经获胜的概率， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 因此，所以甲获胜的概率为 则乙获胜的概率为，因此乙更可能获胜. （3）乙答对的题目数包含两部分：前道题中答对的题目数以及在平局情况下额外答对的道题（答对概率，答错概率）， 因此乙答对的题目数的可能取值是， ①当时，由于，所以不可能加赛，因此只能是乙在前道题中答对的题目数， 所以； ②当时，可能情况为乙在前道题中答对的题目数且没有进入加赛、乙在前道题中答对的题目数且进入加赛并答错， 所以，代入数据得； ③当时，可能情况为乙在前道题中答对的题目数且没有进入加赛、乙在前道题中答对的题目数且进入加赛并答错， 乙在前道题中答对的题目数且进入加赛并答对， 所以，代入数据得； ④当时，可能情况为乙在前道题中答对的题目数且没有进入加赛、乙在前道题中答对的题目数且进入加赛并答错， 乙在前道题中答对的题目数且进入加赛并答对， 所以， 代入数据得； ⑤当时，可能情况为乙在前道题中答对的题目数且进入加赛并答对， 所以， 代入数据得； 因此乙答对的题目数的分布列为： 期望. 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B D C C B B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC ACD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）完成列联表如下： 科普类 文学类 合计 男生 15 5 20 女生 10 20 30 合计 25 25 50 （2分） 零假设为：该游戏的答题偏好与性别无关.（3分） ，（5分） 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为该游戏的答题偏好与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01.（6分） （2）由题意可得：，，（7分） 因为，可得，（8分） 又因为（10分） 可得（12分） 所以（13分） 16．（15分） 【详解】（1）函数 的定义域为 ， 求导： ，（1分） 当 时，，故 ，函数 单调递减；（2分） 当 时，，故 ，函数 单调递增，（3分） 因此， 在 上单调递减，在 上单调递增．（4分） （2）函数 ，定义域为 ，求导得： ，（5分） 根据 的取值范围，分三种情况讨论： 当 时：在区间上，，故 ， 在上单调递增，（7分） 最小值为： ；（8分） 当 时：当 时，，， 单调递减； 当 时，，， 单调递增，（10分） 最小值为： ；（11分） 当 时：在区间上， ，故 ， 在上单调递减，（13分） 最小值为： ．（14分） 综上，最小值函数为：．（15分） 17．（15分） 【详解】（1）由，可得，（2分） 又因为，所以，（3分） 所以是首项为1，公差为3的等差数列.（4分） （2）由（1）知，，所以.（5分） ，①（6分） ，②（8分） ①-②得，（10分） （11分） ，（13分） 所以， 又，（14分） 所以.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）由，求导得，（1分） 因恒成立，故的符号由决定， 由是的极小值点，得，即，（3分） 解得，（4分） 当时，，时，单调递减； 时，单调递增，故为极小值点，符合题意， 因此，；（5分） （2）(i)由得，变形为， 令，则的零点等价于与的图象交点，（6分） 求导得，令，得， 时，，单调递减；时，，单调递增，（7分） ，且时，时，（9分） 因此，的取值范围为；（10分） (ii) 由是的零点，得，（11分） 由单调性可知，令，， 则，，且，，代入得， 设，则，在上单调递减，在上单调递增，（12分） 构造函数，， ， （13分） 由，则，故，在上单调递减， 则，即在恒成立，（14分） 因，故， 结合，得，（15分） 又，，在上单调递增， （16分） 因此，即， 故.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）设甲答对的题目数为，乙答对的题目数为， 则甲答对的题目数的可能取值为，（1分） 其概率分布如下： ，，，（2分） 乙答对的题目数服从二项分布，其概率分布如下： ，， ，，（4分） 因此甲、乙两人共答对个问题，即，可能的情况有： ①甲答对道题，乙答对道题，此时概率为，（5分） ②甲答对道题，乙答对道题，此时概率为， 由于. 因此甲、乙两人共答对个问题的概率为.（6分） （2）先计算的概率，根据题意， ， 由（1）得，， 在的情况下，甲获胜的概率为；（7分） 再计算的概率，即甲在前题中已经获胜的概率， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 因此，（9分） 所以甲获胜的概率为 则乙获胜的概率为，因此乙更可能获胜.（10分） （3）乙答对的题目数包含两部分：前道题中答对的题目数以及在平局情况下额外答对的道题（答对概率，答错概率）， 因此乙答对的题目数的可能取值是， ①当时，由于，所以不可能加赛，因此只能是乙在前道题中答对的题目数， 所以；（11分） ②当时，可能情况为乙在前道题中答对的题目数且没有进入加赛、乙在前道题中答对的题目数且进入加赛并答错， 所以，代入数据得；（12分） ③当时，可能情况为乙在前道题中答对的题目数且没有进入加赛、乙在前道题中答对的题目数且进入加赛并答错， 乙在前道题中答对的题目数且进入加赛并答对， 所以，代入数据得；（13分） ④当时，可能情况为乙在前道题中答对的题目数且没有进入加赛、乙在前道题中答对的题目数且进入加赛并答错， 乙在前道题中答对的题目数且进入加赛并答对， 所以， 代入数据得；（14分） ⑤当时，可能情况为乙在前道题中答对的题目数且进入加赛并答对， 所以， 代入数据得；（15分） 因此乙答对的题目数的分布列为： 期望.（17分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修选必二+选必三全部内容。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（   ） A．1 B． C． D． 2．已知是等差数列的前项和，若，则（     ） A．24 B．30 C．36 D．48 3．从2所中学、5所小学中选3所学校参加文明卫生学校评比，且至少有1所中学入选，则不同的选法种数为（    ） A．5 B．15 C．20 D．25 4．已知且，则二项式的展开式中，常数项为（   ） A． B． C．6 D．24 5．某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，80%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑冰，则该同学也爱好滑雪的概率为（   ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.3 6．已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 8．甲、乙、丙三人玩传球游戏，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，若第一次由甲传出，则经过6次传球后，球恰在乙手中的概率为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知某AI软件公司为迎合市场的需求开发了一款新型智能AI写作软件，现将该软件上市后的月份以及每个月获得的利润（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则（    ） 月份 1 2 3 4 5 利润 5 8 10 12 15 A． B．可以估计每增加1个月份，月利润提高2.8万元 C．可以估计10月份的利润为26.8万元 D．5月份利润的残差为0.4万元 10．记正项等比数列的前项积为，若，，则下列结论正确的是（   ） A． B．当取得最小值时， C．是递增数列 D．使的的最小值为 11．函数满足，则正确的是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，则_____． 13．将4名某医科大学的学生分配到3个不同的医院实习，每个大学生被分配到每个医院的概率均等且相互独立．分配结束后，设实际有大学生分配实习的医院个数为，则数学期望________． 14．若直线是曲线与曲线的公切线，则______ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 有一款网络答题竞赛游戏，答题类型有科普类与文学类两种，随机抽取了50名参赛人员进行答题偏好的问卷调查，调查所得数据如下表： 科普类 文学类 合计 男生 5 女生 10 合计 25 50 (1)完成以上列联表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该游戏的答题偏好与性别有关联？ (2)随着参赛人员越多，题库提供的题量越多，某同学统计了当参赛人数分别为2~6人时，题库给出的题量的数据，用最小二乘法得到答题量关于参赛人数的回归直线方程为，已知该组数据的相关系数，题量的方差，求的值（结果精确到0.1）. 附：参考公式：，其中. 回归系数，相关系数，. 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．（15分） 已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)求在上的最小值. 17．（15分） 在数列中，. (1)求证：数列是等差数列； (2)令，数列的前n项和为，证明：. 18．（17分） 已知函数. (1)若是的极小值点，求的值； (2)若有两个零点. （i）求的取值范围； （ii）求证：. 19．（17分） 甲、乙两人进行知识答题比赛，比赛方案为：①甲、乙两人各自从个问题中随机抽个．已知这个问题中，甲能正确回答其中的个，乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两人对每个问题的回答相互独立；②答对题目个数多的人获胜，若两人答对题目数相同，则由乙再回答一道题，答对则判乙胜，答错则判甲胜． (1)求甲、乙两人共答对个问题的概率； (2)试判断甲、乙谁更有可能获胜？并说明理由； (3)求乙答对题目数的分布列和期望． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修选必二+选必三全部内容。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（   ） A．1 B． C． D． 2．已知是等差数列的前项和，若，则（     ） A．24 B．30 C．36 D．48 3．从2所中学、5所小学中选3所学校参加文明卫生学校评比，且至少有1所中学入选，则不同的选法种数为（    ） A．5 B．15 C．20 D．25 4．已知且，则二项式的展开式中，常数项为（   ） A． B． C．6 D．24 5．某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，80%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑冰，则该同学也爱好滑雪的概率为（   ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.3 6．已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 8．甲、乙、丙三人玩传球游戏，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，若第一次由甲传出，则经过6次传球后，球恰在乙手中的概率为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知某AI软件公司为迎合市场的需求开发了一款新型智能AI写作软件，现将该软件上市后的月份以及每个月获得的利润（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则（    ） 月份 1 2 3 4 5 利润 5 8 10 12 15 A． B．可以估计每增加1个月份，月利润提高2.8万元 C．可以估计10月份的利润为26.8万元 D．5月份利润的残差为0.4万元 10．记正项等比数列的前项积为，若，，则下列结论正确的是（   ） A． B．当取得最小值时， C．是递增数列 D．使的的最小值为 11．函数满足，则正确的是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，则_____． 13．将4名某医科大学的学生分配到3个不同的医院实习，每个大学生被分配到每个医院的概率均等且相互独立．分配结束后，设实际有大学生分配实习的医院个数为，则数学期望________． 14．若直线是曲线与曲线的公切线，则______ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 有一款网络答题竞赛游戏，答题类型有科普类与文学类两种，随机抽取了50名参赛人员进行答题偏好的问卷调查，调查所得数据如下表： 科普类 文学类 合计 男生 5 女生 10 合计 25 50 (1)完成以上列联表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该游戏的答题偏好与性别有关联？ (2)随着参赛人员越多，题库提供的题量越多，某同学统计了当参赛人数分别为2~6人时，题库给出的题量的数据，用最小二乘法得到答题量关于参赛人数的回归直线方程为，已知该组数据的相关系数，题量的方差，求的值（结果精确到0.1）. 附：参考公式：，其中. 回归系数，相关系数，. 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．（15分） 已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)求在上的最小值. 17．（15分） 在数列中，. (1)求证：数列是等差数列； (2)令，数列的前n项和为，证明：. 18．（17分） 已知函数. (1)若是的极小值点，求的值； (2)若有两个零点. （i）求的取值范围； （ii）求证：. 19．（17分） 甲、乙两人进行知识答题比赛，比赛方案为：①甲、乙两人各自从个问题中随机抽个．已知这个问题中，甲能正确回答其中的个，乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两人对每个问题的回答相互独立；②答对题目个数多的人获胜，若两人答对题目数相同，则由乙再回答一道题，答对则判乙胜，答错则判甲胜． (1)求甲、乙两人共答对个问题的概率； (2)试判断甲、乙谁更有可能获胜？并说明理由； (3)求乙答对题目数的分布列和期望． 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）