第05课 圆的周长（二）（导学案）新六年级数学暑假自学课（北师大版·新教材）

第05课 圆的周长 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）理解概念：理解圆周长的含义，知道圆的周长与直径的关系。 （2）认识圆周率：认识圆周率（π），了解它是一个固定的数（无限不循环小数），知道π≈3.14 。 （3） 掌握公式：推导并掌握圆的周长计算公式：C=πd或C=2πr。 （4）解决问题：能利用公式正确计算圆的周长，解决简单的实际问题（如求车轮滚动距离、花坛直径等）。 2、重难点。 重点： （1）理解圆周率的意义： 深刻理解π是圆的周长与直径的比值，是一个固定不变的常数。 （2）掌握周长公式： 熟练运用C=πd 和C=2πr 进行计算。 难点： （1）圆周率的理解： 理解π是一个无限不循环小数，而 3.14 只是它的近似值。 （2）实验数据的分析： 在测量实验中，由于误差的存在，学生测得的比值可能不完全等于 3.14，需要引导学生理解误差并学会通过多次测量求平均值来逼近真实值。 （3）半圆及组合图形周长的计算： （针对第22页“试一试”第2题）区分“圆的周长的一半”与“半圆的周长”（半圆周长 = 圆周长的一半 + 直径），这是学生容易混淆的易错点。 模块二 预习引导 一、圆周长的定义与测量方法 1、什么是圆的周长？ （1）定义： 围成圆的曲线的长叫做圆的周长。 （2）直观理解： 车轮滚动一圈的长度就是车轮的周长。 2. 测量方法（化曲为直） 由于圆的周长是曲线，无法直接用直尺测量，通常采用以下两种方法将其转化为直线长度： （1）滚动法： 在圆上做一个标记，让圆在直尺上滚动一周，标记点再次接触直尺时的距离即为周长。（适用于较小的圆形物体） （2）绕绳法： 用一根线绕圆片一周，剪去多余部分，拉直后测量线的长度。（适用于不便滚动的物体） 二、圆周率 (π) 的发现与意义： 1、探究过程 通过测量不同大小圆的周长（C）和直径（d），并计算它们的比值（），可以发现一个规律：无论圆的大小如何，圆的周长总是直径的3倍多一些。 2、圆周率的定义 （1）定义： 圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用希腊字母π(读作 pài) 表示。 （2）数值特征：π是一个无限不循环小数。π=3.1415926535… 取值：在小学阶段的计算中，通常取近似值π≈3.14。 三、圆的周长计算公式： 根据圆周率的定义，可以推导出圆的周长计算公式： 1、已知直径求周长C=πd 2、已知半径求周长因为d=2r ，所以公式可以变形为：C=2πr 四、常见应用题型与易错点： 1、半圆的周长 这是一个高频考点和易错点。 （1）概念区分： “圆周长的一半”只是曲线部分；而“半圆的周长”是一个封闭图形的周长。 公式：半圆的周长=圆周长的一半+直径 或 2. 组合图形的周长 计算不规则图形（如太极图、花瓣形）的周长时，要仔细观察图形是由哪些圆弧组成的。 技巧： 很多时候，几个小圆弧的长度之和恰好等于一个大圆的周长 3. 实际应用 滚动问题：车轮滚动n圈前进的距离 = 车轮周长×n 。 围栏/跑道问题： 求圆形花坛的栅栏长度、跑道的长度等，直接套用公式计算。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．一辆行驶中的小轿车前轮压碎了一个苹果，在路上留下了几个印记（如下图）。苹果与第一个印记之间的距离大约是2m，则2m表示（    ）。 A．前后两车轮之间的距离 B．车轮的周长 C．车轮的直径 【答案】B 【分析】当车轮压碎苹果后，车轮开始滚动，从压碎苹果的位置（即苹果所在处）到第一个印记的位置，车轮刚好滚动了一周，即车轮的周长。 【详解】A.前后两车轮之间的距离是指同一辆车的前轮和后轮之间的水平长度，与苹果到第一个印记的距离无关，所以该选项错误。 B.车轮滚动一周的长度就是车轮的周长。因为从压碎苹果（车轮初始接触苹果位置）到第一个印记，车轮滚动了一周，这段距离正好是车轮的周长，所以2m表示车轮的周长，该选项正确。 C.车轮的直径是通过车轮中心到边缘的线段长度，直径长度和滚动一周的距离（周长）不同，周长（d为直径），所以该选项错误。 故答案为：B 2．用圆规画一个周长是28.26cm的圆，那么圆规两脚之间的距离应是（    ）。 A．12cm B．9cm C．4.5cm 【答案】C 【分析】圆的周长计算公式是，通过周长求出半径，而圆规两脚之间的距离就是圆的半径。 【详解】已知圆的周长C = 28.26cm，由可得，，即 故答案为：C 3．半圆的半径为3，它的周长是（    ）。 A．3π B．6π C．3π＋6 D．6π＋6 【答案】C 【分析】半圆周长＝圆周长÷2＋直径，圆周长＝2πr，据此列式求出这个半圆的周长即可。 【详解】2×π×3÷2＋2×3＝3π＋6 所以，这个半圆的周长是（3π＋6）。 故答案为：C 4．关于圆周率，下面说法正确的有（    ）句。 （1）圆周率是一个无限不循环小数；   （2）圆周率是圆的周长和直径的比值； （3）大圆的圆周率大，小圆的圆周率小；（4）圆周率大于3.14。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据圆周率的含义：圆的周长和它的直径的比值，叫做圆周率；用字母π表示，π是一个无限不循环小数，据此分析解答。 【详解】（1）圆周率是一个无限不循环小数，原题干说法正确； （2）圆周率是圆的周长和直径的比值，原题干说法正确； （3）圆周率的大小与圆的周长无关，大圆的圆周率大，小圆的圆周率小，说法错误； （4）3.14是π的一个近似值，圆周率大于3.14，原题干说法正确。 （1）（2）（4）说法正确。 关于圆周率，下面说法正确的有3句。 故答案为：C 【点睛】本题考查了圆周率的含义，根据圆周率的意义进行解答。 5．一辆行驶中的小轿车前轮压碎一个苹果，在路上留下了几个印记（如图）。苹果与第一个印记之间的距离大约是2米，则2米表示（    ）。 A．车轮的直径 B．车轮的周长 C．两车轮之间的距离 【答案】B 【分析】根据题意可知，车轮留一个印记后，滚动一圈会再次留有印记，车轮的一圈相当于车轮的周长。据此解答。 【详解】苹果与第一个印记之间的距离大约是2米。这个“2米”表示车轮的周长。 故答案为：B 6．某广场内有一个圆形喷水池，笑笑绕这个喷水池边缘走一圈走了62.8米，这个喷水池的半径是（    ）米。 A．10 B．15 C．18 D．20 【答案】A 【分析】这个喷水池是圆形，笑笑绕这个喷水池边缘走一圈走了62.8米， 由此可知这个圆的周长为62.8米，根据公式：半径＝圆的周长÷圆周率÷2，即可求出半径。 【详解】62.8÷3.14÷2 ＝20÷2 ＝10（米） 即这个喷水池的半径是10米。 故答案为：A 7．要求圆的周长必须知道（    ）。 A．圆周率 B．圆的半径或直径 C．圆的圆心 【答案】B 【分析】圆周率是一定的，根据圆的周长C＝，进行解答即可。 【详解】要求圆的周长必须知道圆的半径或直径。 故答案为：B 【点睛】本题考查圆的周长，解答本题的关键是掌握圆的周长计算公式。 8．一个直径为2cm的圆形纸片在直尺上滚动，下图（    ）表示的是这个圆形纸片在直尺上滚动一周。 A． B． C． 【答案】C 【分析】本题可先根据圆的周长公式（其中C表示圆的周长，通常取3.14，d表示圆的直径）求出圆形纸片滚动一周的长度，已知圆形纸片的直径，将其代入公式可得：即圆形纸片滚动一周的距离是6.28cm，再分别分析三个选项中圆形纸片滚动的距离，进而得出答案。 【详解】A.观察直尺可知，圆形纸片滚动的距离是从1到6，滚动距离为，，所以该选项错误。 B.观察直尺可知，圆形纸片滚动的距离是1到7，滚动距离为，，所以该选项错误。 C.圆形纸片滚动的距离是从1到8，滚动距离为，（因为取3.14是近似数，实际计算中存在一定的近似情况），所以该选项正确。 故答案为：C 9．一个钟表的分针长20cm，经过半小时，分针的尖端所走的路程是多少厘米？下面的算式正确的是（    ）。 A．3.14×20×2 B．3.14×20 C．3.14×20÷2 【答案】B 【分析】分针经过半小时所形成的轨迹是一个半圆。要求分针尖端所走的路程，需要用到圆的周长公式：。 【详解】分针长20厘米，即圆的半径为20厘米。圆的周长公式：（厘米） 。 求半小时分针尖端所走的路程是圆周长的一半，即：（厘米）。 故答案为：B 二、填空题 10．淘气用圆规画圆，他把圆规两脚之间的距离定为2厘米。那么他画出的圆的直径是( )厘米，周长是( )厘米。 【答案】 4 12.56 【分析】圆规两脚间的距离就是圆的半径，根据直径＝半径×2，据此求出圆的直径；再根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，代入数据，即可解答。 【详解】2×2＝4（厘米） 3.14×2×2 ＝6.28×2 ＝12.56（厘米） 淘气用圆规画圆，他把圆规两脚之间的距离定为2厘米。那么他画出的圆的直径是4厘米，周长是12.56厘米。 11．把表格填写完整。 半径 1dm 2dm 3.5cm 直径 5m 6cm 周长 【答案】2.5m；3cm； 2dm；4dm；7cm； 6.28dm；15.7m；18.84cm；12.56dm；21.98cm 【分析】根据C＝πd、C＝2πr和d＝2r等公式代入相应的数据计算即可。 【详解】 12．大本钟是伦敦市的标志性建筑物之一，大本钟的时针尖端到钟面中心的距离是2.75m。大本钟的时针转动一周尖端走过的路程是( )m。 【答案】17.27 【分析】求时针转动一周尖端走过的路程，也就是求半径为2.75米的圆的周长，根据圆的周长公式：，把数据代入正确运算即可。 【详解】 所以大本钟的时针转动一周尖端走过的路程是17.27m。 13．把一个直径是8dm的圆分成两个半圆，每个半圆的半径是( )dm，周长是( )dm。 【答案】 4 20.56 【分析】根据直径求出半径，再利用半圆周长公式（半圆周长＝圆周长的一半＋直径）进行计算。 【详解】在圆中，半径r与直径d的关系是。已知圆的直径是8dm，所以每个半圆的半径为。 圆的周长公式为（π取3.14），那么圆周长的一半是 半圆的周长还需要加上直径，所以半圆的周长为 所以每个半圆的半径是（4）dm，周长是（20.56）dm。 14．在一张长10cm、宽6cm的长方形纸片中剪出一个最大的半圆，这个半圆的半径是( )cm，周长是( )cm。 【答案】 5 25.7 【分析】在一张长10cm、宽6cm的长方形纸片中剪出一个最大的半圆，则最大的半圆直径是长方形的长10cm，则半径为5cm，根据半圆周长＝计算得出半圆的周长。 【详解】10÷2＝5（cm） 3.14×5＋2×5 ＝15.7＋10 ＝25.7（cm） 在一张长10cm、宽6cm的长方形纸片中剪出一个最大的半圆，这个半圆的半径是5cm，周长是25.7cm。 15．在一个边长是12cm的正方形内画一个最大的圆，这个圆的直径是( )cm，周长是( )cm。 【答案】 12 37.68 【分析】在正方形里面画最大的圆，那么画出的圆的直径等于正方形的边长；根据C＝πd和在正方形里面画出的圆的直径为正方形的边长，代入数据计算即可。 【详解】由题意知，在正方形纸上画一个最大的圆如下图所示： 所以圆的直径＝12cm 圆的周长： 三、计算题 16．求下面图形中圆的周长。          【答案】3.14×8＝25.12（m） 3.14×4×2＝25.12（dm） 3.14×0.8＝2.512（m） 【分析】根据圆的周长公式：C＝2πr或C＝πd，列式计算即可。 【详解】 四、解答题 17．我国最大的屋顶摩天轮位于广东省清远市，它的直径是84米，凡凡坐摩天轮一周经过的路程是多少米？ 【答案】263.76米 【分析】摩天轮的形状是一个圆形，根据“ C＝πd”来求出摩天轮的周长即可解决此题。 【详解】3.14×84＝263.76（米） 答：凡凡坐摩天轮一周经过的路程是263.76米。 18．“南昌之星”摩天轮是世界第三高的摩天轮，其转盘半径大约为77m。坐在摩天轮的座椅上转动一周，转过的距离大约是多少米？如果摩天轮上大约每隔8m装挂1个透明座舱，那么大约一共可以装挂多少个座舱？ 【答案】483.56米；60个 【详解】根据圆的周长计算，C＝2πr，代入数据计算即可；根据植树问题的解题方法，封闭图形植树，棵数＝段数，段数＝封闭图形周长÷间隔长，据此列式解答。 答：转过的距离大约是483.56米，那么大约一共可以装挂60个座舱。 19．如下图，3只蜗牛分别沿着等边三角形、正方形和圆的边爬一周。谁爬的路程最长？为什么？ 【答案】沿着正方形爬的蜗牛爬的路程最长；理由见解析 【分析】根据等边三角形的周长＝边长×3，正方形的周长＝边长×4，圆的周长公式：C＝πd，据此分别求出这三个图形的周长，再进行对比即可。 【详解】4×3=12（厘米） 4×4=16（厘米） 3.14×4=12.56（厘米） 16>12.56 则沿正方形爬行的蜗牛行驶的路程最长。 20．第五套人民币的1元硬币的周长约为7.85cm，海海买了一个储蓄罐（如下图）。这个储蓄罐能放进1元的硬币吗？ 【答案】7.85÷3.14＝2.5（cm） 2.5＜2.6  能。 21．一种压路机的前轮直径是1.5m，每分钟转25圈。压路机一分钟前进多少米？ 【答案】3.14×1.5×25＝117.75（m） 【分析】压路机转动一周走的路程等于直径是1.5米的圆的周长。根据圆的周长计算公式，求出压路机前轮转动一周走的路程，进而求出每分钟行的路程，据此解答。 【详解】答：压路机一分钟前进117.75米。 22．下雪天，为了防止汽车打滑，司机师傅常常会给汽车轮胎安装一圈防滑链。已知司机师傅给汽车的每个轮胎都安装了188.4cm的防滑链（防滑链的厚度忽略不计），这个汽车轮胎的半径是多少厘米？ 【答案】188.4÷3.14÷2＝30（cm） 【分析】防滑链的长度就是汽车轮胎的周长，根据圆的周长公式（其中C表示周长，π通常取3.14，r表示半径），已知周长求半径，只需对公式进行变形，即，然后代入数据计算即可。 【详解】答：这个汽车轮胎的半径是30厘米。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05课 圆的周长 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）理解概念：理解圆周长的含义，知道圆的周长与直径的关系。 （2）认识圆周率：认识圆周率（π），了解它是一个固定的数（无限不循环小数），知道π≈3.14 。 （3） 掌握公式：推导并掌握圆的周长计算公式：C=πd或C=2πr。 （4）解决问题：能利用公式正确计算圆的周长，解决简单的实际问题（如求车轮滚动距离、花坛直径等）。 2、重难点。 重点： （1）理解圆周率的意义： 深刻理解π是圆的周长与直径的比值，是一个固定不变的常数。 （2）掌握周长公式： 熟练运用C=πd 和C=2πr 进行计算。 难点： （1）圆周率的理解： 理解π是一个无限不循环小数，而 3.14 只是它的近似值。 （2）实验数据的分析： 在测量实验中，由于误差的存在，学生测得的比值可能不完全等于 3.14，需要引导学生理解误差并学会通过多次测量求平均值来逼近真实值。 （3）半圆及组合图形周长的计算： （针对第22页“试一试”第2题）区分“圆的周长的一半”与“半圆的周长”（半圆周长 = 圆周长的一半 + 直径），这是学生容易混淆的易错点。 模块二 预习引导 一、圆周长的定义与测量方法 1、什么是圆的周长？ （1）定义： 围成圆的曲线的长叫做圆的周长。 （2）直观理解： 车轮滚动一圈的长度就是车轮的周长。 2. 测量方法（化曲为直） 由于圆的周长是曲线，无法直接用直尺测量，通常采用以下两种方法将其转化为直线长度： （1）滚动法： 在圆上做一个标记，让圆在直尺上滚动一周，标记点再次接触直尺时的距离即为周长。（适用于较小的圆形物体） （2）绕绳法： 用一根线绕圆片一周，剪去多余部分，拉直后测量线的长度。（适用于不便滚动的物体） 二、圆周率 (π) 的发现与意义： 1、探究过程 通过测量不同大小圆的周长（C）和直径（d），并计算它们的比值（），可以发现一个规律：无论圆的大小如何，圆的周长总是直径的3倍多一些。 2、圆周率的定义 （1）定义： 圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用希腊字母π(读作 pài) 表示。 （2）数值特征：π是一个无限不循环小数。π=3.1415926535… 取值：在小学阶段的计算中，通常取近似值π≈3.14。 三、圆的周长计算公式： 根据圆周率的定义，可以推导出圆的周长计算公式： 1、已知直径求周长C=πd 2、已知半径求周长因为d=2r ，所以公式可以变形为：C=2πr 四、常见应用题型与易错点： 1、半圆的周长 这是一个高频考点和易错点。 （1）概念区分： “圆周长的一半”只是曲线部分；而“半圆的周长”是一个封闭图形的周长。 公式：半圆的周长=圆周长的一半+直径 或 2. 组合图形的周长 计算不规则图形（如太极图、花瓣形）的周长时，要仔细观察图形是由哪些圆弧组成的。 技巧： 很多时候，几个小圆弧的长度之和恰好等于一个大圆的周长 3. 实际应用 滚动问题：车轮滚动n圈前进的距离 = 车轮周长×n 。 围栏/跑道问题： 求圆形花坛的栅栏长度、跑道的长度等，直接套用公式计算。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．一辆行驶中的小轿车前轮压碎了一个苹果，在路上留下了几个印记（如下图）。苹果与第一个印记之间的距离大约是2m，则2m表示（    ）。 A．前后两车轮之间的距离 B．车轮的周长 C．车轮的直径 2．用圆规画一个周长是28.26cm的圆，那么圆规两脚之间的距离应是（    ）。 A．12cm B．9cm C．4.5cm 3．半圆的半径为3，它的周长是（    ）。 A．3π B．6π C．3π＋6 D．6π＋6 4．关于圆周率，下面说法正确的有（    ）句。 （1）圆周率是一个无限不循环小数；   （2）圆周率是圆的周长和直径的比值； （3）大圆的圆周率大，小圆的圆周率小；（4）圆周率大于3.14。 A．1 B．2 C．3 D．4 5．一辆行驶中的小轿车前轮压碎一个苹果，在路上留下了几个印记（如图）。苹果与第一个印记之间的距离大约是2米，则2米表示（    ）。 A．车轮的直径 B．车轮的周长 C．两车轮之间的距离 6．某广场内有一个圆形喷水池，笑笑绕这个喷水池边缘走一圈走了62.8米，这个喷水池的半径是（    ）米。 A．10 B．15 C．18 D．20 7．要求圆的周长必须知道（    ）。 A．圆周率 B．圆的半径或直径 C．圆的圆心 8．一个直径为2cm的圆形纸片在直尺上滚动，下图（    ）表示的是这个圆形纸片在直尺上滚动一周。 A．B． C． 9．一个钟表的分针长20cm，经过半小时，分针的尖端所走的路程是多少厘米？下面的算式正确的是（    ）。 A．3.14×20×2 B．3.14×20 C．3.14×20÷2 二、填空题 10．淘气用圆规画圆，他把圆规两脚之间的距离定为2厘米。那么他画出的圆的直径是( )厘米，周长是( )厘米。 11．把表格填写完整。 半径 1dm 2dm 3.5cm 直径 5m 6cm 周长 12．大本钟是伦敦市的标志性建筑物之一，大本钟的时针尖端到钟面中心的距离是2.75m。大本钟的时针转动一周尖端走过的路程是( )m。 13．把一个直径是8dm的圆分成两个半圆，每个半圆的半径是( )dm，周长是( )dm。 14．在一张长10cm、宽6cm的长方形纸片中剪出一个最大的半圆，这个半圆的半径是( )cm，周长是( )cm。 15．在一个边长是12cm的正方形内画一个最大的圆，这个圆的直径是( )cm，周长是( )cm。 三、计算题 16．求下面图形中圆的周长。            四、解答题 17．我国最大的屋顶摩天轮位于广东省清远市，它的直径是84米，凡凡坐摩天轮一周经过的路程是多少米？ 18．“南昌之星”摩天轮是世界第三高的摩天轮，其转盘半径大约为77m。坐在摩天轮的座椅上转动一周，转过的距离大约是多少米？如果摩天轮上大约每隔8m装挂1个透明座舱，那么大约一共可以装挂多少个座舱？ 19．如下图，3只蜗牛分别沿着等边三角形、正方形和圆的边爬一周。谁爬的路程最长？为什么？ 20．第五套人民币的1元硬币的周长约为7.85cm，海海买了一个储蓄罐（如下图）。这个储蓄罐能放进1元的硬币吗？ 21．一种压路机的前轮直径是1.5m，每分钟转25圈。压路机一分钟前进多少米？ 22．下雪天，为了防止汽车打滑，司机师傅常常会给汽车轮胎安装一圈防滑链。已知司机师傅给汽车的每个轮胎都安装了188.4cm的防滑链（防滑链的厚度忽略不计），这个汽车轮胎的半径是多少厘米？ 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $