第01课 车轮为什么是圆的（导学案）新六年级数学暑假自学课（北师大版·新教材）

第01课 车轮为什么是圆的 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）能运用圆的特征解释“车轮为什么是圆的”以及“车轴为什么要装在圆心”等生活现象。 （2）了解正多边形边数越多越接近圆的规律，初步感知极限思想。 2、重难点。 重点： （1）理解圆的本质特征： 理解圆上任意一点到圆心的距离相等，这是车轮做成圆形的根本原因。 （2）解释生活现象： 能够清晰地表述为什么圆形车轮滚动平稳（车轴到地面的距离保持不变），而其他形状不行。 难点： （1） 轨迹的观察与抽象： 学生需要想象并描述出不同形状图形中心点（点A）在滚动过程中留下的痕迹。 （2） 排除干扰因素： 学生可能会认为“圆没有棱角所以好滚”，教师需引导学生通过椭圆（也没有棱角但滚动不稳）的对比实验，打破这一片面认知，深入到“半径相等”的本质层面。 模块二 预习引导 一、圆的本质特征（核心原理）： 1、半径相等： 圆上任意一点到圆心（车轴位置）的距离都相等。 2、平稳性原理： 正因为圆心到圆周的距离处处相等，当圆形车轮在平地上滚动时，圆心（车轴）到地面的距离始终保持不变（等于半径）。因此，车辆行驶起来会非常平稳，不会忽高忽低。 二、对比其他图形（反证法）： 1、正方形/正多边形： 中心点到顶点的距离（长）与中心点到边中点的距离（短）不相等。滚动时，中心点会上下起伏，导致车身颠簸。 2、椭圆形： 中心到边缘的距离也是变化的（长轴和短轴不同），滚动时同样会产生颠簸。 3、结论： 只有圆形能保证车轴高度恒定。 三、极限思想的渗透（拓展思维）： 1、正多边形与圆的关系： 教材通过展示正三角形、正方形、正六边形乃至正八边形、正十边形的滚动轨迹， 2、引导学生发现规律： （1）正多边形的边数越多，它的形状就越接近圆。 （2）边数越多，滚动时中心点的起伏就越小，行驶越平稳。 （3）当边数无限增加时，正多边形就趋近于圆。 四、圆的对称性： 轴对称图形： 圆是轴对称图形，且有无数条对称轴。无论怎样对折，两边都能完全重合。这也是圆具有完美旋转对称性的体现。 模块三 小试牛刀 1、 选择题 1、车轮做成圆形，主要是因为（ ）。 A. 圆形美观 B. 圆形容易滚动 C. 圆心到圆上任意一点的距离相等，滚动时车轴高度不变 D. 圆形没有棱角 2、安装自行车车轮时，车轴应该安装在（ ）的位置，这样骑行才最平稳。 A. 圆周上 B. 圆心 C. 任意位置 D. 半径的中点 3、下列关于圆的描述中，错误的是（ ）。 A. 圆是轴对称图形 B. 圆有无数条对称轴 C. 圆无论怎样对折都能重合 D. 只有圆形的车轮才能滚动 4、当正方形车轮在平地上滚动时，其中心点留下的痕迹是（ ）。 A. 一条直线 B. 波浪线（忽高忽低） C. 曲线 D. 折线 5、比较正三角形、正方形、正六边形和圆，随着边数的增加，图形的形状越来越接近（ ）。 A. 三角形 B. 正方形 C. 圆 D. 椭圆 6、古代人们运送大石料时，在石料下面放几根圆木，这利用了圆的（ ）特征。 A. 容易滚动且省力 B. 面积大 C. 周长长 D. 颜色好看 二、填空题 7、圆之所以被选作车轮的形状，是因为圆心到圆上任意一点的距离都______，这个距离就是圆的______。 8、如果车轮不是圆的（例如是正方形），车轴到地面的距离会______（填“变化”或“不变”），导致车子行驶起来______。 9、圆具有完美的对称性，无论怎样对折，两边都能完全______。 10、观察正多边形的滚动实验发现：正多边形的边数越多，它的形状就越接近______，滚动起来就越______。 11、在“车轮为什么是圆的”探究活动中，我们通过剪一剪、滚一滚，发现圆形车轮滚动时，中心点留下的痕迹是一条______。 12、生活中除了车轮，井盖通常也是圆形的，这是因为圆的所有直径都______，井盖不会掉进井里。 三、解答题（共6小题） 13、简答题： 为什么椭圆形不能做车轮？请结合圆心（或中心）到边缘距离的特点进行解释。 作图与解释： 请在纸上画一个圆和一个正方形，分别标出中心点。如果让它们沿直线滚动一圈，请描述中心点运动轨迹的区别。 14、生活应用： 杂技演员表演“独轮车走钢丝”，为什么独轮车的轮子必须是圆的？如果换成三角形的轮子，演员还能平稳表演吗？为什么？ 15、探究题： 有同学提出：“既然正多边形边数越多越像圆，那能不能用正一百边形做车轮？”请你结合本课学到的知识谈谈你的看法。 16、数学日记分析： 小明在数学日记中写道：“我发现正方形的中心点到顶点的距离比到边中点的距离长。”请问小明的发现对解释“为什么正方形做车轮会颠簸”有什么帮助？ 17、拓展思考： 如果我们要设计一种在特殊路面（例如全是台阶的路面）上行驶的车，你认为车轮还是圆的最好吗？为什么？ 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01课 车轮为什么是圆的 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）能运用圆的特征解释“车轮为什么是圆的”以及“车轴为什么要装在圆心”等生活现象。 （2）了解正多边形边数越多越接近圆的规律，初步感知极限思想。 2、重难点。 重点： （1）理解圆的本质特征： 理解圆上任意一点到圆心的距离相等，这是车轮做成圆形的根本原因。 （2）解释生活现象： 能够清晰地表述为什么圆形车轮滚动平稳（车轴到地面的距离保持不变），而其他形状不行。 难点： （1） 轨迹的观察与抽象： 学生需要想象并描述出不同形状图形中心点（点A）在滚动过程中留下的痕迹。 （2） 排除干扰因素： 学生可能会认为“圆没有棱角所以好滚”，教师需引导学生通过椭圆（也没有棱角但滚动不稳）的对比实验，打破这一片面认知，深入到“半径相等”的本质层面。 模块二 预习引导 一、圆的本质特征（核心原理）： 1、半径相等： 圆上任意一点到圆心（车轴位置）的距离都相等。 2、平稳性原理： 正因为圆心到圆周的距离处处相等，当圆形车轮在平地上滚动时，圆心（车轴）到地面的距离始终保持不变（等于半径）。因此，车辆行驶起来会非常平稳，不会忽高忽低。 二、对比其他图形（反证法）： 1、正方形/正多边形： 中心点到顶点的距离（长）与中心点到边中点的距离（短）不相等。滚动时，中心点会上下起伏，导致车身颠簸。 2、椭圆形： 中心到边缘的距离也是变化的（长轴和短轴不同），滚动时同样会产生颠簸。 3、结论： 只有圆形能保证车轴高度恒定。 三、极限思想的渗透（拓展思维）： 1、正多边形与圆的关系： 教材通过展示正三角形、正方形、正六边形乃至正八边形、正十边形的滚动轨迹， 2、引导学生发现规律： （1）正多边形的边数越多，它的形状就越接近圆。 （2）边数越多，滚动时中心点的起伏就越小，行驶越平稳。 （3）当边数无限增加时，正多边形就趋近于圆。 四、圆的对称性： 轴对称图形： 圆是轴对称图形，且有无数条对称轴。无论怎样对折，两边都能完全重合。这也是圆具有完美旋转对称性的体现。 模块三 小试牛刀 1、 选择题 1、车轮做成圆形，主要是因为（ ）。 A. 圆形美观 B. 圆形容易滚动 C. 圆心到圆上任意一点的距离相等，滚动时车轴高度不变 D. 圆形没有棱角 答案：C 解析： 虽然A、B、D都有一定道理，但最根本的数学原因是C。因为圆心到圆上距离相等，所以车轴高度恒定，车子才平稳。 2、安装自行车车轮时，车轴应该安装在（ ）的位置，这样骑行才最平稳。 A. 圆周上 B. 圆心 C. 任意位置 D. 半径的中点 答案：B 解析： 只有安装在圆心，利用半径相等的性质，才能保证车轴到地面的距离始终不变。 3、下列关于圆的描述中，错误的是（ ）。 A. 圆是轴对称图形 B. 圆有无数条对称轴 C. 圆无论怎样对折都能重合 D. 只有圆形的车轮才能滚动 答案：D 解析： D选项错误。其他图形（如椭圆、甚至某些特殊的曲线形）也能滚动，只是不如圆形平稳或省力。 4、当正方形车轮在平地上滚动时，其中心点留下的痕迹是（ ）。 A. 一条直线 B. 波浪线（忽高忽低） C. 曲线 D. 折线 答案：B 解析： 正方形中心到边的距离短，到顶点的距离长。滚动时，中心点会先升高（顶点着地）再降低（边着地），形成波浪线。 5、比较正三角形、正方形、正六边形和圆，随着边数的增加，图形的形状越来越接近（ ）。 A. 三角形 B. 正方形 C. 圆 D. 椭圆 答案：C 解析： 这是极限思想的体现，边数无限增加，正多边形就趋近于圆。 6、古代人们运送大石料时，在石料下面放几根圆木，这利用了圆的（ ）特征。 A. 容易滚动且省力 B. 面积大 C. 周长长 D. 颜色好看 答案：A 解析： 圆木变滑动摩擦为滚动摩擦，利用了圆容易滚动的特性来省力。 二、填空题 7、圆之所以被选作车轮的形状，是因为圆心到圆上任意一点的距离都______，这个距离就是圆的______。 答案：相等；半径 解析： 这是圆的最基本特征，也是车轮平稳的核心原理。 8、如果车轮不是圆的（例如是正方形），车轴到地面的距离会______（填“变化”或“不变”），导致车子行驶起来______。 答案：变化；颠簸 解析： 非圆形的中心到边缘距离不等，导致高度不断变化，产生颠簸感。 9、圆具有完美的对称性，无论怎样对折，两边都能完全______。 答案：重合 解析： 考查圆的轴对称性质。 10、观察正多边形的滚动实验发现：正多边形的边数越多，它的形状就越接近______，滚动起来就越______。 答案：圆；平稳 解析： 考查正多边形与圆的关系及极限思想。 11、在“车轮为什么是圆的”探究活动中，我们通过剪一剪、滚一滚，发现圆形车轮滚动时，中心点留下的痕迹是一条______。 答案：直线 解析： 圆形滚动时，圆心高度不变，轨迹平行于地面，是一条直线。 12、生活中除了车轮，井盖通常也是圆形的，这是因为圆的所有直径都______，井盖不会掉进井里。 答案：相等 解析： 这是圆的另一个重要应用，利用直径相等防止井盖掉落。 三、解答题（共6小题） 13、简答题： 为什么椭圆形不能做车轮？请结合圆心（或中心）到边缘距离的特点进行解释。 作图与解释： 请在纸上画一个圆和一个正方形，分别标出中心点。如果让它们沿直线滚动一圈，请描述中心点运动轨迹的区别。 答案： 椭圆形虽然也是曲线图形，但它的中心到边缘的距离是不相等的（长轴长，短轴短）。如果用椭圆形做车轮，滚动时车轴到地面的距离会一会儿高一会儿低，导致车子上下颠簸，无法平稳行驶。 14、生活应用： 杂技演员表演“独轮车走钢丝”，为什么独轮车的轮子必须是圆的？如果换成三角形的轮子，演员还能平稳表演吗？为什么？ 答案： 必须是圆的。因为钢丝很细，需要车轮提供稳定的支撑点。如果是三角形轮子，滚动时重心会剧烈起伏，演员根本无法保持平衡，更无法平稳前行。 15、探究题： 有同学提出：“既然正多边形边数越多越像圆，那能不能用正一百边形做车轮？”请你结合本课学到的知识谈谈你的看法。 答案： 看法： 理论上是可以的，但实际制作困难且没必要。 理由： 根据本课知识，正一百边形非常接近圆，滚动起来已经非常平稳了。但是，边数越多，制作越复杂，且磨损后维护困难。圆形是完美的极限状态，既平稳又易于制造（通过旋转切削）。 16、数学日记分析： 小明在数学日记中写道：“我发现正方形的中心点到顶点的距离比到边中点的距离长。”请问小明的发现对解释“为什么正方形做车轮会颠簸”有什么帮助？ 答案： 小明的发现直接解释了颠簸的原因。因为中心到顶点的距离（长）和到边的距离（短）不一样，当正方形滚动时，就会交替以“顶点”和“边”接触地面，导致车身高度不断改变，从而产生颠簸。 17、拓展思考： 如果我们要设计一种在特殊路面（例如全是台阶的路面）上行驶的车，你认为车轮还是圆的最好吗？为什么？ 答案： 不一定。 理由： 圆形适合在平坦路面上行驶。如果在全是台阶的路面上，圆形车轮可能会卡住或者无法攀爬。在这种特殊路况下，可能需要履带或者特殊形状的轮子（如三角形或方形履带轮）来增加抓地力和跨越障碍的能力。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $