第04课 日历中的数量关系（导学案）新六年级数学暑假自学课（北师大版·新教材）

第04课 日历中的数量关系 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）发现规律：能通过观察日历或百数表，发现方框内数字之间（横向、纵向、对角线）的加减关系。 （2）符号表达：能用含有字母的式子表示方框中各个位置的数。 （3）代数验证：能利用字母表达式验证发现的规律（例如验证对角线两数之和相等）。 （4）逆向应用：能根据给出的数字和或特定条件，利用方程或代数式求出方框中的具体数字。 2、重难点。 重点： （1）位置与数值的关系：掌握日历/百数表中，左右相邻两数相差1，上下相邻两数相差7（或10，视表格宽度而定）的规律。 （2）用字母表示数：能够准确地用含字母的式子表示出方框中其他位置的数（核心是理解 a+1和a+7 的含义）。 难点： （1）代数验证的逻辑性： 理解为什么要进行代数验证（即证明规律不仅仅是巧合，而是普遍成立的）。学生需要理解a+(a+8)=(a+1)+(a+7) 这一步推导的意义。 （2）基准数的选择： 在解决复杂问题（如十字框、H型框）时，学会选择最简便的“基准数”（通常选中间数或左上角数）来列式，以简化计算过程。 模块二 预习引导 一、发现日历中的位置规律（核心基础）： 1、横向关系（左右相邻）： 规律：右边的数比左边的数大1。 代数表达： 如果左边的数是a ，那么右边的数是a+1 。 2、纵向关系（上下相邻）： 规律：下面的数比上面的数大7（因为一周有7天）。 代数表达： 如果上面的数是a ，那么下面的数是a+7 。 二、用字母表示方框中的数（代数建模）： 1、2×2方框模型（田字格）： 设定基准：设左上角的数为a 。 推导其他数： 右上角：a+1 左下角：a+7 右下角： a+8 （也可以看作 (a+1)+7 或 (a+7)+1 ） 2、验证规律：利用代数式验证对角线之和相等。 左上+右下 = a+(a+8)=2a+8 右上+左下 = (a+1)+(a+7)=2a+8 结论： 无论方框在哪里，对角线上的两个数之和总是相等的。 3、十字形方框模型（5个数）： 设定基准： 设中间的数为 x （或 b ）。 推导其他数： 左边： x−1 右边： x+1 上面： x−7 下面：x+7 求和规律： 5个数之和 = (x−1)+(x+1)+(x−7)+(x+7)+x 化简后 = 5x 结论：十字框中5个数的和，等于中间那个数的5倍。 三、百数表中的规律迁移： 将日历中的规律迁移到百数表（1-100的表格）中，区别在于行宽不同。 1、横向规律不变：左右相邻差1。 2、纵向规律改变： 百数表每行有10个数，所以下面的数比上面的数大10。 如果上面的数是a ，下面的数是a+10 。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．根据图形选择合适的选项。 (1)在如图的百数表中，用三连方（如图1）盖住了三个数，这三个数之和可能是（    ）。 A．95 B．237 C．115 D．130 (2)在百数表中，用二连方（如图2）去盖。盖住的任意两个数之和一定是（    ）数。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【答案】(1)B (2)A 【分析】（1）根据百数表中数的排列规律，结合3的倍数的特征及数的奇偶性、质数和合数的意义进行选择即可。 一个数各个数位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 （2）在百数表中，二连方的两个数，一个是奇数，另一个一定是偶数，一个是偶数，另一个一定是奇数，奇数＋偶数＝奇数。 【详解】（1）9＋5＝14，14不是3的倍数； 2＋3＋7＝12，12是3的倍数； 1＋1＋5＝7，7不是3的倍数； 1＋3＋0＝4，4不是3的倍数。 在如图的百数表中，用三连方（如图1）盖住了三个数，这三个数之和可能是 237。 故答案为：B （2）在百数表中，用二连方（如图2）去盖。两个相邻的数之差是1，一个奇数一个偶数，奇数＋偶数＝奇数，盖住的任意两个数之和一定是奇数。 故答案为：A 2．用“十字框”在百数表（如图）中任意框出五个数，对于这五个数的和，下列说法不正确的是（    ）。 A．不可能小于60 B．不可能大于445 C．有可能是250 D．一定是5的倍数 【答案】C 【分析】观察可知，用a表示框中的中间一个数，那么上面可以用（a－10）表示，下面用（a＋10）表示，左边用（a－1）表示，右边用（a＋1）表示，所以5个数的和：a＋a－10＋a＋10＋a－1＋a＋1＝5a，又知a最小是12，最大是89，代入数据分析即可。 【详解】5个数的和：a＋a－10＋a＋10＋a－1＋a＋1＝5a a最小是12，最大是89 A．5a最小是：5×12＝60，所以该说法正确。 B．5a最大是：89×5＝445，所以该说法正确。 C．当5a＝250时，a＝50，观察可知，a＝50时无法框出“十字框”，所以该说法不正确。 D．因为这五个数的和是5a，所以该说法正确。 故答案为：C 3．月历不仅是记录日期的工具，其中还蕴含着许多有趣的数学规律，在月历中任意框出如图这样的四个数，能表示它们之间关系的是（    ）。 A．B． C． D． 【答案】A 【分析】 从图中可知，框出来的四个数是，观察它们之间的关系：同一行相邻两个数相差1，同一列相邻两个数相差7。通过设其中一个数，根据这个规律来表示出其余三个数，从而判断四个数之间的关系。 【详解】 A．设左上角的数为a，则右上角的数是a＋1；左下角的数为a＋7，则右下角的数为a＋1＋7＝a＋8，所以正确； B．设右上角的数为a，则左上角的数是a－1；右下角的数是a＋7，则左下角的数为a＋7－1＝a＋6；所以错误； C．设左下角的数为a，则右下角的数为a＋1；左上角的数为a－7，则右上角的数为a－7＋1＝a－6，所以错误； D．设右下角的数为a，则左下角的数为a－1；右上角的数为a－7，则左上角的数为a－7－1＝a－8；所以错误。 故答案为：A 4．“杨辉三角”是一种数与形的结合，如图，第7行第4个数是（    ）。 A．6 B．10 C．15 D．20 【答案】D 【分析】杨辉三角的特点是：每行的数，是它上面一行中“左右相邻两个数的和”（每行开头和结尾的数都是1）。从第1行开始，依次写出每一行的数（行号从1开始）： 第1行：1 第2行：1  1（开头结尾是1） 第3行：1  2  1（中间的2＝第2行的1＋1） 第4行：1  3  3  1（3＝第3行的1＋2；另一个3＝第3行的2＋1） 第5行：1  4  6  4  1（4＝第4行的1＋3；6＝第4行的3＋3；另一个4＝第4行的3＋1） 第6行：1  5  10  10  5  1（5＝第5行的1＋4；10＝第5行的4＋6；另一个10＝第5行的6＋4；5＝第5行的4＋1） 第7行：1  6  15  20  15  6  1（6＝第6行的1＋5；15＝第6行的5＋10；20＝第6行的10＋10；15＝第6行的10＋5；6＝第6行的5＋1） 据此解答。 【详解】第1行：1 第2行：1  1 第3行：1  2  1 第4行：1  3  3  1 第5行：1  4  6  4  1 第6行：1  5  10  10  5  1 第7行：1  6  15  20  15  6  1 所以第7行第4个数是20​。 故答案为：D 5．下面各正方形的四个数之间都有相同规律，根据此规律可以求出a的值是（    ）。 A．78 B．69 C．57 D．54 【答案】B 【分析】观察每组数据，1×3＋0＝3，3×5＋2＝17，5×7＋4＝39，由此可知，每组四个数中，左下角和右上角的数字相乘加上左上角的数字就是右下角的数字，右上角的数字依次比前一个表多2，左下角的数字是从1开始依次加2，找出规律即可求解。 【详解】左下角的数是7，右上角的数是9。 所以a的值是：7×9＋6 ＝63＋6 ＝69 6．下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，M的值是（    ）。 A．60 B．72 C．86 D．98 【答案】C 【分析】每个正方形左上数字是0、2、4、6；正方形右上数字是4、6、8，依次加2的规律，每个正方形左下数字是2、4、6，依次加2的规律，右下数字为右上×左下＋左上，据此求出M。 【详解】右上为8＋2＝10 左下为6＋2＝8 10×8＋6 ＝80＋6 ＝86 M的值 是86。 7．根据百数表，下面的☆代表哪个数？（    ） A．54 B．63 C．64 【答案】C 【分析】在百数表中，上下相邻的两个数相差10，上面的数比下面的数小10，下面的数比上面的数大10；左右相邻的两个数相差1，左边的数比右边的数小1，右边的数比左边的数大1。 【详解】右上角的数：42＋1＋1 ＝43＋1 ＝44 44＋10＋10 ＝54＋10 ＝64 下面的☆代表64。 二、填空题 8．找规律，填数。 【答案】； 【分析】观察每个图形中3个数字的排列，，，，可发现规律：用每个图片数字组合中前两个数相除，即可求出下面那个数字；用最下面的数字乘上边第二个数字，即可求出第一个数字。据此解答。 【详解】根据分析得， 填数如下： 【点睛】此题的解题关键是寻找数表中的规律，平时要注重多积累，培养数感。 9．认真观察下图涂色部分正中间的数与其他四个数的关系。 (1)设中间的数是x，则左边的数是( )，下边的数是( )。 (2)当中间的数是a时，这5个数的和是( )，若5个数的和是105，则这5个数分别是( )。 【答案】(1) x－1 x＋7 (2) 5a 14、20、21、22、28 【分析】（1）如图所示，表格为大月的日历，观察可知：每行的数从左到右依次增大，相邻两数之差是1；每一列的数从上到下依次增大，相邻两数之差是7，据此求解。 （2）当中间数是a时，用a表示出与它相邻的4个数，再将这5个数求和，用含有字母a的式子表示出来。根据5个数的和是105可以求出a的值，进一步求出与它相邻的数。 【详解】（1）设中间的数是x，则左边的数是（x－1），下边的数是（x＋7）。 （2）当中间的数是a时，与它相邻的数分别是：（a－1）、（a＋1）、（a－7）、（a＋7）。 （a－1）＋（a＋1）＋a＋（a－7）＋（a＋7） ＝（a－1＋a＋1）＋a＋（a－7＋a＋7） ＝2a＋a＋2a ＝5a 这5个数的和是（5a）。 当5a＝105时 a＝105÷5＝21 a－1＝21－1＝20；a＋1＝21＋1＝22；a－7＝21－7＝14；a＋7＝21＋7＝28 这5个数分别是14、20、21、22、28。 10．表二、表三分别是从表一中截取的一部分，那么表中a＝____，b＝____。 【答案】 18 30 【分析】从表格已有数据分析可得：每一列上下两个数字的差相等，第1列上下两个数字相差1，第2列上下两个数字相差2，第3列上下两个数字相差3。每一行左右两个数字的差相等，第1行左右两个数字相差1，第2行左右两个数字相差2，第3行左右两个数字相差3。右边一列数字的差比左边一列数字的差大1，根据规律，即可求解。 【详解】根据分析，解答如下： 15－12＝3，15＋3＝18 从表1中可以发现：表二截取的是其中的一列：上下两个数字相差3，所以15增加3是18，a是18。 25－20＋1＝6，24＋6＝30 从表1中可以发现：表三截取的是两行两列的相邻的四个数字，左边一列数字的差是5，右边一列数字的差是5＋1＝6，所以b是30。 表中a＝18，b＝30。 11．现有365张大小相同的卡片，上面分别印着自然数，如果按照数字从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列，从1开始排列至365为止（如图1）。图2是完成上述排列后，抽出数字“365”周围的部分。 在图2的8个空白方格中，其中有些位置不会有数字卡，我们就把它叫做空格。其中①、②、③三个位置表示的数分别是：①___________；②___________；③___________。（如果是空格，用“×”表示） 【答案】 292 × 364 【分析】分析题目，如下图所示，数从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列出的图形是一个正方形，以1为中心数，每个1×1，3×3，5×5的正方形的右下角的数（即标蓝色方格内的数）均是从1开始的连续奇数的平方，即（2n－1）2，因为172＝289，192＝361，即最接近365的奇数的平方是361，据此画出以数361为右下角的数的排列，再根据361右面的一个数比它大1确定362的位置，再根据同一列上面的一个数比下面一个数大1进一步确定出365的位置，最后确定出需要填空的数。 【详解】19×19＝361 根据分析可知，以365为中心的九宫格如图：。 在图2的8个空白方格中，其中有些位置不会有数字卡，我们就把它叫做空格。其中①、②、③三个位置表示的数分别是：①292；②×；③364。（如果是空格，用“×”表示） 12．将奇数1，3，5，…如图排列，各项分别用A，B，C，D，E表示，则2025所在的行、列分别为第( )行、第( )列。 【答案】 254 D 【分析】先看奇数的排列规律，用2025加1再除以2，求出它是第几个奇数。再用这个序号除以4，根据商和余数确定它在第几行第几个。最后根据行数是奇数还是偶数，对照每行的排列顺序，判断出它在第几列。 【详解】求2025是第几个奇数：（2025＋1）÷2 ＝2026÷2 ＝1013（个） 求行数和余数：1013÷4＝253……1 确定行数：253＋1＝254（行） 第254行为偶数行，从D列开始排，即在D列。 所以2025所在的行、列分别为第254行、第D列。 13．数学思考：先阅读再填空。 九宫格，即三阶幻方，在北周的甄鸾注《数术记遗》一书中，记有三阶幻方的填法：“九宫内，二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央”，如图所示。         其实，“五居中央”的“五”不仅仅指“5”，与5有关的数或式都可以，如“5×2”“5＋3”“5×a”等，其它的数也是如此。请思考，在上右图中，如果中央的格子里填15，那么△代表的数是__________，如果中央的格子里填31，那么〇代表的数是__________。 【答案】 18 19 【分析】“五居中央”的“五”不仅仅指“5”，与5有关的数或式都可以，中央的格子里填15，表示的是5×3，那么△代表的数是（6×3）。如果中央的格子里填31，31＝5×6＋1，那么〇代表的数可以是（3×6＋1），据此求值。 【详解】（1）如果中央的格子里填15，15＝5×3，所以△代表的数是6×3＝18。（答案不唯一） （2）如果中央的格子里填31，31＝5×6＋1所以〇代表的数是3×6＋1＝19。（答案不唯一） 14．请将填入图中的8个方格内，使得四个方格内的数，恰好等于它上方与之有公共边的两个方格内所填数的差。其中b填7。 【答案】见详解 【分析】7只能是由8减去1得到的，由于a也是两数相减得到的，所以a不能是8，只能是1，可以确定7、1、8三个数的位置，其中c+d=7，并且只能是4+3、3+4、5+2、2+5这四种情况，进行分类讨论，求出最后的结果。 【详解】 当c取3时，4被重复使用，故排除； 当c取4时，6减2不等于1，故排除； 当c取2时，6减4不等于1，故排除； 当c取5时，符合要求，且3和4可以调换位置。 三、解答题 15．观察日历找规律。 （1）观察日历中加框的4个数，你发现了什么？ （2）观察日历中加阴影的9个数，你又发现了什么？ （3）你还能在日历中找到什么规律？ 【答案】（1）如果左上的数字为x，则右上为x＋1，左下为：x＋7，右下为：x＋8。 （2）方框中9个数的和是中间数的9倍。 （3）表格每一列的数字从上到下依次增加7；每行中相邻的两个数字相差1。 【分析】（1）根据所给日历，利用日历中各数之间的关系，发现规律：如果左上的数字为x，则右上为x＋1，左下为：x＋7，右下为：x＋8。 （2）根据所给日历，利用日历中的各数的关系，发现：中间的数为y，左面的数是y－1，右面是y＋1，上面是y－7，下面是y＋7，左上是y－8，右上是y－6；左下是y＋6，右下是y＋8，据此解答。 （3）根据表格找出正确的规律即可。每一列的数字从上到下依次增加7；每行中相邻的两个数字相差1。 【详解】（1）利用日历中各数之间的关系，发现规律： 如果左上的数字为x，则右上为x＋1，左下为：x＋7，右下为：x＋8。 （2）10＋11＋12＋17＋18＋19＋24＋25＋26 ＝33＋54＋75 ＝162 ＝18×9 答：方框中9个数的和是中间数的9倍。 （3）我发现：表格每一列的数字从上到下依次增加7；每行中相邻的两个数字相差1。 【点睛】本题考查了数表中的规律，月历卡中不同的和的情况要一行一行的找，再相加进行解答。 16．填数游戏：在4×4的方格中，按1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1的顺序依次填入左右或上下相邻的十六个格子内（不能斜向填入另一格），每个格子只能填一个数字。图（1）是按要求填写的（图中箭头表示填写顺序），请你完成另外四个图。 【答案】见详解 【分析】根据数字的排列顺序填数，和1相邻的数是2，和3相邻的数是2、4，和5相邻的数是4、6，据此进行填数即可。 【详解】图中的线表示填写顺序。（答案不唯一） 17．下图为2018年1月的月历，认真观察图1中的方框圈出五个数的关系，回答下列问题： 图1                                                      图2 （1）请你用相同的方框在图2中圈出五个数，使得五个数的和为115； （2）圈出的五个数的和能为130吗？若能，在图中圈出，若不能，说明理由。 【答案】（1）见详解 （2）圈出的五个数的和不能为130，因为根据观察得知的规律，五个数的和是中间数的5倍，则中间数为26，在图2中26的下方没有数字，所以五个数的和不能是130。 【分析】（1）观察可知，第一个方框中，，第二个方框中，，五个数的和总是中间数的5倍，所以设中间的数为，根据等量关系式中间数的5倍等于115，据此列方程并求解，再画图。 （2）根据观察得知的规律，五个数的和是中间数的5倍，用130除以5等于26是中间数，在图2中26的下方没有数字，所以五个数的和不能是130，据此解答。 【详解】（1）解：设中间的数为。 画图如下： （2） 答：圈出的五个数的和不能为130，因为根据观察得知的规律，五个数的和是中间数的5倍，则中间数为26，在图2中26的下方没有数字，所以五个数的和不能是130。 【点睛】找出五个数的和是中间数的5倍这一规律，再运用用方程解答的方法解决问题。 18．洛书的构成像一只乌龟，有一句口诀是：“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中。”把圆点转化为数字，就变成九宫格。这个九宫格，非常奇妙，横、纵、斜3个数字相加，结果都是15。这其中的奇妙，就是易经衍化万物的规律。 根据所给数字，完成九宫格（图3）。请你在空白方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个数之和为36。 【答案】见详解 【分析】图2中，这个九宫格横、纵、斜3个数字相加，结果都是15，中心数为15÷3＝5，保持对称结构，每行或每列其它两个数的和为15－5＝10，以此类推，图3中，求出中心数应该是36÷3＝12，再根据横、纵、斜的已知数求出所填的数，据此解答。 【详解】36÷3＝12 36－12＝24 24－5＝19 24－4＝20 24－6＝18 36－（5＋18） ＝36－23 ＝13 36－（20＋5） ＝36－25 ＝11 19．（1）用一个长方形像图中那样任意圈出四个数字，你发现了什么规律（写出两条规律即可）？ （2）如果长方形中最上面一个数字用a表示，最下面一个数字是______（用a表示）。 （3）按这样的圈法，小丽圈出的四个数的和是212，你知道她圈的是哪四个数吗？算一算写出来。 【答案】（1）圈出的4个数的个位数字都相同，每相邻两个数之间相差10（答案不唯一） （2）a+30 （3）38，48，58，68 【分析】（1）观察上下相邻的数之间的大小关系，得出规律； （2）长方形中一共有4个数，最上面和最下面之间相差30，据此列式； （3）设小丽圈出的第一个数字为a，下面的数依次是a＋10、a＋20、a＋30，根据四个数相加等于212，列出方程，求出第一个数，再分别求出下面的数即可。 【详解】（1）我发现圈出的4个数，每个数的个位数字相同，每相邻两个数之间相差10。（答案不唯一） （2）41－11＝30，64－34＝30 若把长方形中最上面的一个数记为a，则最下面那个数是a＋30。 （3）解：设小丽圈出的第一个数字为a。 a＋（a＋10）＋（a＋20）＋（a＋30）＝212     4a＋60＝212    4a＝152 a＝38 a＋10＝38＋10＝48 a＋20＝38＋20＝58 a＋30＝38＋30＝68 答：她圈的是38、48、58、68。 20．现将自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出9个数。 （1）图中的9个数的和是多少？ （2）能否使一个长方形框出的9个数的和为2007？若不可能，请说明理由；若可能，求出9个数中最大的数。 【答案】（1）216；（2）能；231 【分析】（1）设中间数为x，则 9 个数可表示为x－8、x－7、x－6、x－1、x、x＋1、x＋6、x＋7、x＋8，其和为9x。图中中间数是24，因此和为9×24＝216。 （2）依据是数阵的整除特性（9个数的和为9x，需为9的倍数）。 验证2007：2007÷9＝223，即中间数x＝223。 判断位置：223÷7＝31⋯⋯6，说明223在第32行第6列，符合数阵布局。 最大数：x＋8＝223＋8＝231。 【详解】（1）设中间的数为x，则另外8个数分别为x－8，x－7，x－6，x－1，x＋1，x＋6，x＋7，x＋8。 （x－8）＋（x－7）＋（x－6）＋（x－1）＋x＋（x＋1）＋（x＋6）＋（x＋7）＋（x＋8）＝9x 9x＝24 x＝24 9×24＝216 答：图中的9个数的和是216。 （2）因为9个数的和需为9的倍数，2007÷9＝223，中间数223在第32行第6列，符合布局，最大数为223＋8＝231，故可能，最大数是231。 答：能使一个长方形框出的9个数的和为2007，9个数中最大的数是231。 【点睛】核心是抓住3×3方框的对称分布规律：9个数的和必为中间数的9倍，这是快速计算和判断的关键；判断某数能否成为方框和时，先验证其是否为9的倍数（对应中间数为整数），再通过“行数＝商＋1、列数＝余数”确认中间数未超出数阵范围，且最大数可直接用中间数＋8得出，高效简化解题流程。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04课 日历中的数量关系 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）发现规律：能通过观察日历或百数表，发现方框内数字之间（横向、纵向、对角线）的加减关系。 （2）符号表达：能用含有字母的式子表示方框中各个位置的数。 （3）代数验证：能利用字母表达式验证发现的规律（例如验证对角线两数之和相等）。 （4）逆向应用：能根据给出的数字和或特定条件，利用方程或代数式求出方框中的具体数字。 2、重难点。 重点： （1）位置与数值的关系：掌握日历/百数表中，左右相邻两数相差1，上下相邻两数相差7（或10，视表格宽度而定）的规律。 （2）用字母表示数：能够准确地用含字母的式子表示出方框中其他位置的数（核心是理解 a+1和a+7 的含义）。 难点： （1）代数验证的逻辑性： 理解为什么要进行代数验证（即证明规律不仅仅是巧合，而是普遍成立的）。学生需要理解a+(a+8)=(a+1)+(a+7) 这一步推导的意义。 （2）基准数的选择： 在解决复杂问题（如十字框、H型框）时，学会选择最简便的“基准数”（通常选中间数或左上角数）来列式，以简化计算过程。 模块二 预习引导 一、发现日历中的位置规律（核心基础）： 1、横向关系（左右相邻）： 规律：右边的数比左边的数大1。 代数表达： 如果左边的数是a ，那么右边的数是a+1 。 2、纵向关系（上下相邻）： 规律：下面的数比上面的数大7（因为一周有7天）。 代数表达： 如果上面的数是a ，那么下面的数是a+7 。 二、用字母表示方框中的数（代数建模）： 1、2×2方框模型（田字格）： 设定基准：设左上角的数为a 。 推导其他数： 右上角：a+1 左下角：a+7 右下角： a+8 （也可以看作 (a+1)+7 或 (a+7)+1 ） 2、验证规律：利用代数式验证对角线之和相等。 左上+右下 = a+(a+8)=2a+8 右上+左下 = (a+1)+(a+7)=2a+8 结论： 无论方框在哪里，对角线上的两个数之和总是相等的。 3、十字形方框模型（5个数）： 设定基准： 设中间的数为 x （或 b ）。 推导其他数： 左边： x−1 右边： x+1 上面： x−7 下面：x+7 求和规律： 5个数之和 = (x−1)+(x+1)+(x−7)+(x+7)+x 化简后 = 5x 结论：十字框中5个数的和，等于中间那个数的5倍。 三、百数表中的规律迁移： 将日历中的规律迁移到百数表（1-100的表格）中，区别在于行宽不同。 1、横向规律不变：左右相邻差1。 2、纵向规律改变： 百数表每行有10个数，所以下面的数比上面的数大10。 如果上面的数是a ，下面的数是a+10 。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．根据图形选择合适的选项。 (1)在如图的百数表中，用三连方（如图1）盖住了三个数，这三个数之和可能是（    ）。 A．95 B．237 C．115 D．130 (2)在百数表中，用二连方（如图2）去盖。盖住的任意两个数之和一定是（    ）数。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 2．用“十字框”在百数表（如图）中任意框出五个数，对于这五个数的和，下列说法不正确的是（    ）。 A．不可能小于60 B．不可能大于445 C．有可能是250 D．一定是5的倍数 3．月历不仅是记录日期的工具，其中还蕴含着许多有趣的数学规律，在月历中任意框出如图这样的四个数，能表示它们之间关系的是（    ）。 A．B． C． D． 4．“杨辉三角”是一种数与形的结合，如图，第7行第4个数是（    ）。 A．6 B．10 C．15 D．20 5．下面各正方形的四个数之间都有相同规律，根据此规律可以求出a的值是（    ）。 A．78 B．69 C．57 D．54 6．下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，M的值是（    ）。 A．60 B．72 C．86 D．98 7．根据百数表，下面的☆代表哪个数？（    ） A．54 B．63 C．64 二、填空题 8．找规律，填数。 9．认真观察下图涂色部分正中间的数与其他四个数的关系。 (1)设中间的数是x，则左边的数是( )，下边的数是( )。 (2)当中间的数是a时，这5个数的和是( )，若5个数的和是105，则这5个数分别是( )。 10．表二、表三分别是从表一中截取的一部分，那么表中a＝____，b＝____。 11．现有365张大小相同的卡片，上面分别印着自然数，如果按照数字从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列，从1开始排列至365为止（如图1）。图2是完成上述排列后，抽出数字“365”周围的部分。 在图2的8个空白方格中，其中有些位置不会有数字卡，我们就把它叫做空格。其中①、②、③三个位置表示的数分别是：①___________；②___________；③___________。（如果是空格，用“×”表示） 12．将奇数1，3，5，…如图排列，各项分别用A，B，C，D，E表示，则2025所在的行、列分别为第( )行、第( )列。 13．数学思考：先阅读再填空。 九宫格，即三阶幻方，在北周的甄鸾注《数术记遗》一书中，记有三阶幻方的填法：“九宫内，二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央”，如图所示。         其实，“五居中央”的“五”不仅仅指“5”，与5有关的数或式都可以，如“5×2”“5＋3”“5×a”等，其它的数也是如此。请思考，在上右图中，如果中央的格子里填15，那么△代表的数是__________，如果中央的格子里填31，那么〇代表的数是__________。 14．请将填入图中的8个方格内，使得四个方格内的数，恰好等于它上方与之有公共边的两个方格内所填数的差。其中填7。 三、解答题 15．观察日历找规律。 （1）观察日历中加框的4个数，你发现了什么？ （2）观察日历中加阴影的9个数，你又发现了什么？ （3）你还能在日历中找到什么规律？ 16．填数游戏：在4×4的方格中，按1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1的顺序依次填入左右或上下相邻的十六个格子内（不能斜向填入另一格），每个格子只能填一个数字。图（1）是按要求填写的（图中箭头表示填写顺序），请你完成另外四个图。 17．下图为2018年1月的月历，认真观察图1中的方框圈出五个数的关系，回答下列问题： 图1                                                      图2 （1）请你用相同的方框在图2中圈出五个数，使得五个数的和为115； （2）圈出的五个数的和能为130吗？若能，在图中圈出，若不能，说明理由。 18．洛书的构成像一只乌龟，有一句口诀是：“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中。”把圆点转化为数字，就变成九宫格。这个九宫格，非常奇妙，横、纵、斜3个数字相加，结果都是15。这其中的奇妙，就是易经衍化万物的规律。 根据所给数字，完成九宫格（图3）。请你在空白方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个数之和为36。 19．（1）用一个长方形像图中那样任意圈出四个数字，你发现了什么规律（写出两条规律即可）？ （2）如果长方形中最上面一个数字用a表示，最下面一个数字是______（用a表示）。 （3）按这样的圈法，小丽圈出的四个数的和是212，你知道她圈的是哪四个数吗？算一算写出来。 20．现将自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出9个数。 （1）图中的9个数的和是多少？ （2）能否使一个长方形框出的9个数的和为2007？若不可能，请说明理由；若可能，求出9个数中最大的数。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $