专题10 立体几何中的空间角与距离问题（期末专项训练）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦立体几何空间角与距离，以“方法+题型”构建系统训练，覆盖异面直线所成角、线面角、二面角及距离问题，突出定义法、三垂线定理等核心方法，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |异面直线所成角|5小题|平移法求角|从空间基本角切入，建立角的度量基础| |线面角|11小题（定义法7+向量法4）|定义法作射影、向量法求正弦|由定义到向量工具，体现方法进阶| |二面角|14小题（定义法6+垂面法2+三垂线定理6）|定义法找平面角、三垂线定理构造|从几何构造到定理应用，深化空间想象| |距离问题|11小题（点面距9+线面距2）|作垂线法、等体积法转化|距离与体积、面积关联，培养转化思想| |解答题汇编|19小题|综合应用角与距离求解|整合各类方法，提升复杂问题推理能力|

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题10 立体几何中的空间角与距离问题 题型归纳·内容导航 题型1求异面直线所成角（重点） 题型6三垂线定理求二面角（重点) 题型2定义法求线面角（重点） 题型7作垂线求点到面的距离（重点） 题型3sin0=d(点到面的距离) AB(斜线长) 法求线面角（重点） 题型8等体积法求点到面的距离（重点） 题型4定义法求二面角（重点） 题型9求直线到平面的距离 题型5垂面法求二面角 题型10立体几何解答题汇编（重点） 题型通关·靶向提分 题型一求异面直线所成角（共5小题） 1.(25-26高一下江苏镇江期中)在棱长均相等的三棱锥A-BCD中，E为棱AD的中点， 则异面直线AB与CE所成角的余弦值为() A.3 B.3 D. 6 C.7 3 2.(25-26高一下湖南益阳·期中)在正三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=AA,设AB,和BC所 成的角为，则cosa的值为() C A. B.1 c.2 4 3 3 D. 3.(25-26高一下山东青岛期中)如图，在圆锥P0中，P0=4,B,C为圆O上的点，且 DB=2,∠BOC二，若D为PC的中点，E为OB的中点，则异面直线DE与PB所成角 的余弦值为 1/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 它B 4.(25-26高一下江苏南京期中)在三棱锥A-BCD中，底面BCD是正三角形，且侧面均 为正三角形.己知点E是棱BC的中点，则异面直线AE和CD所成角的余弦值为 5.(25-26高三上广东期末)已知在大小为的二面角a-1-B中，AEa,B∈B,AC11于 点C,BD⊥1于点D,且CD=DB=2AC=2,则直线AB与CD所成角的余弦值为 题型二定义法求线面角（共7小题） 6.(25-26高一下.全国课后作业)已知正三棱柱ABC-A,B,C的侧棱长与底面边长相等，则 AB,与侧面ACC,A,所成角的正弦值等于() A.6 B.V10 C. D.3 4 4 2 2 7.(2026河北保定.二模)如图，在正三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=AA,D为BC的中点， 则直线AC,与平面AB,D所成角的正弦值为() C B D B A.5 B.V10 5 c.V15 D.3 5 3 8。（2026员州毕节一楼）已知正三棱台8C-4C的体积为14,4B8=48=2,则 AA,与平面ABC所成角的正切值为() 2/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1 B.√ C.5 D.2 9.(25-26高二上北京期末)在正四棱锥P-ABCD中，0为顶点P在底面内的射影，Q为 侧棱PD的中点，且P0=4,AB=2√2，则直线BD与平面OAC所成角的正弦值为 10.(25-26高一下.浙江宁波期中)正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为1，若P在ABC内（包 括边界)运动，则直线D,P与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围为() 3√6 √2√6 52 A. 44 B. 2 3 3’3 4’2 11.(25-26高三上浙江嘉兴期末)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且 PA=PB=2 AB,记直线PC与底面ABCD所成的角为o,则sina的最大值为() A.5-V2 B.0-V2 c.3 D.6 6 4 4 6 12.(25-26高一下浙江温州·期中)点E是正四面体A-BCD的棱AD上的动点，直线CE与 平面ABD所成角的正切值最大为 题型三sin6=又法求线面鱼〈生4小题) AB 13.(25-26高一下.全国·课后作业)在平行四边形ABCD中，AD=3,AC=4, cos∠ADC=?,现将△DAC沿4C折叠至aPAC,使得PB=V34,则AB与平面PBC所成 的角的正弦值为() B.12 25 C. 25 0.3 14.(25-26高一下.重庆沙坪坝期中)三棱台ABC-A,B,C1上下底面为正三角形， AC=2AC,=2,侧面ACCA是底角为45的等腰梯形，棱台的高为，则AB与平面 ACC,A所成角的正弦值为· 3/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 15.(25-26高一下·天津南开期中)如图，在正方体ABCD-A,B,CD1中，E、F分别为BC, CC,的中点，则直线CD与平面DEF所成角的正切值为 D B D A B 16.(25-26高一下.山西忻州期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形， PA=AD=4,AB=2,PA⊥平面ABCD,且M是PD的中点. A D (1)求证：PB1/平面ACM (2)求证：AM⊥平面PCD; 3)求直线CD与平面ACM所成角的正弦值. 题型四定义法求二面角（共6小题） 17.(25-26高二上山东淄博期末)在正三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=A4,则平面ABC与 平面ABC夹角的余弦值为() A.27 B.2 c.2 D.5 7 2 7 18.(25-26高二下.云南玉溪期中)如图，直三棱柱ABC-AB,C,平面ACC1A,⊥平面 4/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BCC8,AB=2,BC=1,直三棱柱ABC-4BC的体积为3N ,则平面ACB与平面ABC所 2 成的角为() A.30° B.45° C.60° D.90° 19.(25-26高一下·湖南衡阳期中)已知正三棱锥P-ABC的底面边长为3，高为2，则该三 棱锥的侧面与底面所成的二面角的正弦值为() A.57 B.3 C.4v19 D. 19 A 19 3 20.(2026安徽模拟预测)我国古代数学专著《九章算术》中将四个面均为直角三角形的三 棱锥称为“鳖懦”.如图1，在ABC中，A=30°，B=45°，CD是AB边上的高，将△BCD沿 直线CD折起，使点B到点P的位置，如图2，此时三棱锥P-ACD恰好是一个“鳖臑”，则 二面角P-CD-A的余弦值为() B 图1 图2 A.3 B.V6 c.3 2 0.3 21.(2026·重庆九龙坡.二模)将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使折起 后BD=√6，则二面角B-AC-D的大小为 22.(25-26高一下.天津滨海新区·期中)如图，长方体ABCD-A,B,C,D,中，ABCD是边长 为1的正方形，D,B与平面ABCD所成的角为45°，则直线CD与直线DB的夹角余弦值为 :二面角C,-BD-C的平面角的正切值为 5/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D C A B 111111 D 夕 题型五垂面法求二面角（共2小题） 23.(25-26高一下.全国课后作业)（多选)从空间中一点P向二面角a-1-B的两个面α， B分别作垂线PE,PF,E,F为垂足，若∠EPF=60°，则二面角o-1-B的大小可能是() A.60° B.120° C.30° D.150° 24.(2025高三上江苏无锡.专题练习)如图，点P在二面角a-AB-B的棱AB上，分别在 ,B内引射线PM,PN,使得PM=PN,若∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，则二面角 -AB-B的大小为() M A.45 B.60 c.90 D.120 题型六三垂线定理求二面角（共6小题） 25.(25-26高三上河北阶段检测)如图，在三棱锥P-ABC,平面PAC⊥平面 ABC,△ABC是边长为2的等边三角形，PA=PC=3,则二面角A-PC-B的正切值为() A.6 B.3v6 C.36 D.6 4 4 2 2 26.(25-26高二上·北京，期末)在正四棱锥P-ABCD中，△PAB的面积为3，△PAC的面积 为4，则该四棱锥的侧面与底面所成的二面角的正弦值为() 6/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B.2V2 C. D.V34 4 3 6 27.(25-26高三上山西晋中.阶段检测)如图，已知四棱锥P-ABCD,平面PAD1平面 ABCD,△ABD是边长为4的等边三角形，PA=PD=6,则二面角A-PD-B的余弦值为 () D 的 A. V65 B.2V70 c.3V78 D.V82 27 35 43 50 28.(2026湖南衡阳模拟预测)己知四面体ABCD的每个顶点都在球O(O为球心)的球 面上，ABC为等边三角形，AB=BD=2,AD=√2，且AC⊥BD,则二面角A-OC-D的 正切值为() A. B.1 C.2 D.3 29.(25-26商-下浙江期中)如图，在平行四边形48CD中，B=2D=44=子点E为 AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成△A,DE(点A不在面BCDE内)，点F为A,C的中 点.在ADE翻折过程中， (1)证明：直线FB∥平面A,DE; (2)若AC=0,求二面角A-DE-C的大小 30.(25-26高一下.湖南衡阳期中)如图，四棱锥P-ABCD的底面是等腰梯形，CD=4, AB=6,AD=BC=2,侧面PCD是等边三角形，H为AB的中点，且PH=3. 7/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (1)求证：PH⊥平面ABCD; (2)求二面角A-BC-P的余弦值； (3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值. 题型其定义法求点到面的距离（共3小题） 31.(2026高一.全国.专题练习)如图，等腰三角形ABC中，AB=AC=2,∠BAC=120°，D 为BC上一点，且AD LAB,将△BAD沿AD翻折至平面ABD⊥平面ACD,连接BC,则点 D到平面ABC的距离为 B D 32.(25-26高一下·黑龙江·期中)在三棱锥P-ABC中，ABC是边长为3的等边三角形， PA⊥AC,PB⊥BC,PC=4,则点P到平面ABC的距离为 33.(23-24高一下.内蒙古呼和浩特期末)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD, PA=BC=1,AD=2,PB与平面ABCD所成角为牙，底面ABCD为直角梯形， ∠BAD=∠ABC=T, 则点A到平面PBC的距离为 B 题型八等体积法求点到面的距离（共6小题） 34.(25-26高二上广东汕头期中)已知正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为4，则点C到平面 DBC的距离等于() 8/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A D---------- C B A.4V5 B.3 c.4v6 3 D.√6 3 35.(25-26高二上·安徽安庆期中)在三棱锥A-BCD中，已知BC1BD,AB⊥平面BCD ,AB=BC=BD=4,点M是棱AB上的动点，点N是平面BCD内的动点，MN=2√5，点 P为MN中点，则点P到平面ACD距离的最小值为() A.3 B.3 c.3 3 D.5 12 6 36.(22-23高一下.湖北期末)在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，点F是BC 的中点，将△AED,△BEF,△DCF分别沿DE,EF,DF折起，使A,B,C三点重合于点A,则 A到平面EFD的距离为() A.1 B. 2 c 3 D.2 3 37.(25-26高一下广西南宁期中)如图，AB,CD是圆柱上、下底面圆的直径，四边形 ABCD是边长为2的正方形，E是底面圆周上的一点，AE=1.则点A到平面DBE的距离 为 38.(25-26高二上·贵州毕节.阶段检测)如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，BA1BC, 9/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BA=BC=BB,=1,则点B到平面ABC的距离为 A 39.(25-26高二上·上海.期中)在长方体ABCD-A,B,CD1中，AB=BC=1,CC,=2V2,E为 CC,的中点，则直线AC,与平面BED的距离为 题型九求直线到平面的距离（共2小题） 40.(25-26高二上广西贵港·开学考试)已知正方体ABCD-A,B,CD的棱长为√2，则直线 AA到平面BDD,B,的距离为() A.2 B.√2 C.1 D.22 41.(24-25高一下.河北邯郸期末)“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形组成的多 面体.某广场的石凳就是由6个全等的正方形和8个全等的正三角形构成的阿基米德多面体， 它可以看成一个正方体截去八个一样的四面体得到，称之为截半立方体若图中截半立方体 的棱长AB=2,则异面直线AD和FP所成的角O为 直线EB到平面PGQ的 距离为 D A B 题型土立体何解答题汇编（共19小题） 42.(25-26高一下广东揭阳，期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD, AD/BC,∠BAD=90°，AD=2BC,PA=AD=AB=2,E为PD的中点. 10/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (1)求P-ABCD的体积： (2)求证：BC⊥平面PAB: (3)求证：EC/1平面PAB. 43.(25-26高一下·黑龙江鸡西期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四 边形，∠ADC=45°，AD=AC=1,O为AC中点，P0⊥平面ABCD,P0=2,M为PD中 点 P M D B (1)证明：PB11平面ACM; (2)证明：平面PAD⊥平面PAC; 3)求直线AM与平面ABCD所成角的正弦值. 44.(25-26高一下.湖南益阳·期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形， PA⊥平面ABCD,垂足为A,PA=AB=4,AC交BD于点O,点M是PD的中点. A D (1)求证：OM/1平面PAB. (2)求证：PD⊥平面ABM. (3)求直线BC与平面ABM所成角的大小 11/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 45,(25-26高一下.黑龙江哈尔滨期中)如图，长方体ABCD-AB,C,D,中，AB=AD=1, AA=3,点P为DD,的中点. D B (1)求证：平面PAC⊥平面BDD,B,; (2)求直线A,B与平面BDD,B,所成的角的正弦值： 3)在直线BB,上是否存在点Q使得PQ⊥平面ACP,若存在，则此时 吧为多少：若不存 BO 在，请说明理由. 46.(25-26高一下福建厦门期中)如图，AB是00的直径，PA垂直于00所在的平面， C是圆周上不同于AB的一动点. B (1)证明：BC⊥平面PAC; (2)证明：平面PAC⊥平面PBC; 3)若PA=AB=2,AC=√2，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值. 47.(25-26高一下.重庆期中)在多面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形， BC=3,2BF=ED=AB=4,FB∥ED,ED⊥平面ABCD, 12/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B (1)求直线EF与底面ABCD所成角的正弦值： (2)求二面角E-AC-F的正切值： 3)求三棱锥F-ACE的体积. 48.(25-26高一下·浙江期中)已知四棱锥P-ABCD,PC⊥平面ABCD,AB1/CD, BC1AB,PC=BC=CD=AB=I,点E为PA中点. E B (1)求证：DE∥平面PBC; (2)求二面角E-BC-A的平面角的正切值： 3)作出过B,C,￡三点的平面截四棱锥得到的截面，并求此截面的周长. 49.(25-26高一下·安徽六安期中)如图所示，已知ABCD为梯形，AB/1CD,CD=3AB, M为线段PC上一点 M B (I)设平面PABO平面PDC=I,证明：AB/II: (2)在棱PC上是否存在点M G)使得PA11平面MBD,若存在，求PY的值；若不存在，请说明理由： C (m)使得平面MBD将四棱锥P-ABCD分成体积相等的两部分，若存在，求PM的值，若 C 不存在，请说明理由. 13/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 50.(25-26高一下.河南阶段检测)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，0为 侧面BCC,B,的中心. D B D 7s B (1)证明：AB11平面A,D0: (2)求直线A,B与平面A,D0所成角的大小： (3)求三棱锥A-A,D0的外接球的表面积. 51.(25-26高一下.四川成都期中)（本题若使用空间向量，相关步骤不得分）如图，己知正 四面体P-ABC的棱长为2V5,Q为底面△ABC的外心，D为AB中点. D C (1)连接PQ,证明：PQ⊥平面ABC. (2)设PC的中点为E,求DE与平面PBC夹角的正弦值. 52.(25-26高一下.安微阜阳·阶段检测)在如图所示的三棱锥P-ABC中，PM为高，N为 PC的中点，MN∥平面PAB,AB=3,BC=4,AC=5. B (1)求证：PB=PC. (2)若PB=BC,PM=√5 14/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①求AB与平面PBC所成角的正弦值； ②求点A到平面PBC的距离. 53.(2526高一下浙江，期中)如图，在平行四边形A8CD中，AB=2AD=44-号点E为 AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成△ADE(点A不在面BCDE内)，点F为A,C的中 点在ADE翻折过程中， (1)证明：直线FB∥平面ADE; (2)若A,C=0,求二面角A-DE-C的大小 54.(25-26高一下.全国期末)如图所示，在直角ABC中，AB=2,AC=2√5， ∠BAC=90°，取BC的中点为D,将△BAD沿AD翻折到△PAD的位置，使得PC=√0. (1)求证：平面PAD⊥平面ACD; (2)求点D到平面PAC的距离； (3)求直线PC与平面PAD所成角的余弦值， 55.(25-26高一下.北京期中)已知正方体ABCD-AB,C,D,棱长为4，F是BC的中点，点 E是DC上一点，H是AA上一点，且平面EFH/平面D,AC, 15/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B (1)求证：点E是DC的中点. (2)求证：EF⊥DB (3)棱CD上是否存在点G使得平面EFG⊥平面EFH,若存在，求出三棱锥E-FGH的体积， 若不存在，说明理由. 56.(25-26高一下，福建莆田期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，其 中，AD/IBC,且AD=2BC,点E为棱PD的中点. D D M (1)求证：CE11平面PAB; (2)若M为CE上的动点，则线段AD上是否存在点N,使得MN11/平面PAB?若存在，请确 定点N的位置，若不存在，请说明理由； (3)若PA=PB=PC=AD=5,CD=6,请在图中作出四棱锥P-ABCD过点B,E及棱AD中 点的截面，并求出截面周长。 57.(25-26高一下河北邢台期中)如图，正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为4，E,F分别 是CC,AD上的点，且CE=1,A,F=2. D A G E A 16/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求直线A,B与EF所成角的余弦值 (2)设G是线段EF上的动点（含端点）· ()判断三棱锥G-ABD的体积是否为定值.若是，求出该定值；若不是，求出体积的最小 值 (i)当CG11平面4BD时，求C的值. FG 58.(25-26高一下.福建三明.期中)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，平面ABCD 外一点P在平面ABCD上的射影是AC与BD的交点O,△PBD是等边三角形. B (1)求证：AC⊥平面PBD; (2)求点D到平面PBC的距离； (3)若点E是线段AD上的动点，问：点E在何处时，直线PE与平面PBC所成的角最大？求 出最大角的正弦值，以及此时线段DE的长 59.(25-26高一下安微池州期中)如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，底面ABC是直角 三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2,侧棱AA,=3.该直三棱柱内有一个圆柱，圆柱的下 底面在直三棱柱的底面ABC上，上底面在直三棱柱的上底面AB,C,上，且圆柱的侧面与直 三棱柱的三个侧面都相切. A B (1)求该圆柱的表面积； (2)求该直三棱柱的外接球O的体积； (3)点M是直三棱柱外接球表面上的动点，N是圆柱表面上的动点，记MW=d,R为外接 17/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 球的半径，求(R-d)的最大值. 60.(25-26高一下.河南阶段检测)如图，在梯形ABCD中，AB/1CD,AB=BC=AD=2 ,CD=4,E为CD的中点，将△DAE沿AE翻折至△PAE的位置，使点D落在点P的位置， 且PB=√6，F,G分别为AE,BC的中点. (1)证明：平面PAE⊥平面ABCE. (2)若线段PC上存在点M,使得平面PBF/平面MEG, (D指想兴的值，并说明理由： (i)求二面角P-BE-M的正弦值 18/18 专题10 立体几何中的空间角与距离问题 题型1 求异面直线所成角（重点） 题型6 三垂线定理求二面角（重点） 题型2 定义法求线面角（重点） 题型7 作垂线求点到面的距离（重点） 题型3 法求线面角（重点） 题型8 等体积法求点到面的距离（重点） 题型4 定义法求二面角（重点） 题型9 求直线到平面的距离 题型5 垂面法求二面角 题型10 立体几何解答题汇编（重点） 题型一 求异面直线所成角（共5小题） 1．（25-26高一下·江苏镇江·期中）在棱长均相等的三棱锥中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取的中点为，连接， 在中，为的中点，为的中点， 所以， 所以即为异面直线与所成角或其补角， 设三棱锥棱长为， 则，， 因为， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 2．（25-26高一下·湖南益阳·期中）在正三棱柱中，，设和所成的角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将正三棱柱补成直四棱柱， 使正三棱柱与正三棱柱全等， 则由直棱柱性质可知，与所成角为（或其补角）； 因为，， 所以， 所以. 3．（25-26高一下·山东青岛·期中）如图，在圆锥PO中，，B，C为圆O上的点，且，，若D为PC的中点，E为OB的中点，则异面直线DE与PB所成角的余弦值为______ 【答案】/ 【详解】如图，取CO的中点G，取PO的中点F，连接EG，EF，DF，DG， 则，且，，则就是异面直线与所成的角或其补角． 易知平面，所以平面，所以. 因为，，所以， 所以由勾股定理得， 又，， 所以在△中，由余弦定理得， 故异面直线与所成角的余弦值为． 4．（25-26高一下·江苏南京·期中）在三棱锥中，底面是正三角形，且侧面均为正三角形．已知点E是棱的中点，则异面直线和所成角的余弦值为______ 【答案】 【详解】由已知得此三棱锥为正四面体，不妨设棱长为2，记中点为F， 因为点E是棱的中点，根据三角形中位线性质可知， 所以与夹角的余弦值即为异面直线和所成角的余弦值. 在中，，，由余弦定理． 所以异面直线和所成角的余弦值为.    5．（25-26高三上·广东·期末）已知在大小为的二面角中，于点于点，且，则直线与所成角的余弦值为___________． 【答案】 【详解】如下图所示，以、为邻边作正方形，连接， 则，又因为，，， 故二面角的平面角为， 因为四边形为正方形，则， 所以在中，， 则， 因为，，所以， 又因为，，平面， 故平面， 因为平面，则， 故， 因为，所以就是异面直线与所成角或其补角， 由于， 故异面直线与所成角的余弦值为， 题型二 定义法求线面角（共7小题） 6．（25-26高一下·全国·课后作业）已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图，取中点，连接， 由题知，又为中点，所以. 又因为侧棱垂直于上下底面，平面，所以， 又因为，且平面，所以平面. 则为与侧面所成的角， 令各棱长为1，则． 7．（2026·河北保定·二模）如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图， 过点作，垂足为， 因为是的中点，所以，又平面，平面， 所以， 平面，，所以平面， 所以， 又平面，，所以平面， 连接，则就是直线与平面所成的角. 设，则，， 由，则，得， 在中，. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 8．（2026·贵州毕节·一模）已知正三棱台的体积为，则与平面所成角的正切值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】设正三棱台的高为 ，， ， 正三棱台的体积 . ， 如图： 设和的中心分别为，连接，，AO， 作平面ABC交平面ABC于点D， 由几何体为正三棱台可知，点D在AO上，且四边形为矩形， 其中即为直线与平面ABC所成的角， 由，，可得，， ， 故选：. 9．（25-26高二上·北京·期末）在正四棱锥中，为顶点在底面内的射影，为侧棱的中点，且，，则直线与平面所成角的正弦值为________． 【答案】/ 【详解】由题意可得点Q到平面的距离为2，， 且，即， 所以正四棱锥的侧棱长为， 所以，由正四棱锥结构特征可得，则， 所以， 设点D到平面的距离为d， 由，得， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为.    10．（25-26高一下·浙江宁波·期中）正方体的棱长为1，若在内（包括边界）运动，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接， 在正方体中，平面， 对于平面，为垂线，为斜线，为射影， 所以即为直线与平面ABCD所成角， 设，则， 因为P是内（包括边界）的动点， , 当P与O重合时，最小， 此时最大， 当P与B重合时，最大， 此时最小， 所以.    11．（25-26高三上·浙江嘉兴·期末）在四棱锥中，底面为正方形，且，记直线与底面所成的角为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分别取、中点、，因为，则， 在矩形中，且， 因为、分别为、的中点，所以且， 故四边形为平行四边形，故， 因为，所以， 因为，、平面，所以平面， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 所以直线与平面所成角为， 设，， 因为，所以，故， 又因为为的中点，所以， 则，， 所以， 令，所以， 当且仅当，即时，的最大值为. 故选：B. 12．（25-26高一下·浙江温州·期中）点是正四面体的棱上的动点，直线与平面所成角的正切值最大为___________ 【答案】 【详解】如图，设正四面体中，点在平面中的射影为， 连接，，则平面，为正的中心， 所以是直线与平面所成角的平面角， 所以 设正四面体的棱长为，则，， 所以 所以 题型三 法求线面角（共4小题） 13．（25-26高一下·全国·课后作业）在平行四边形中，，，，现将沿折叠至，使得，则与平面所成的角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，， 即，解得（舍负），故，可得， 在中，，可得， 等腰中，， 所以中，， 在中，，所以，可得， 因为，，是平面内的相交直线， 所以平面，可得， 在中，，所以，可得， 设点到平面的距离为，则，即，解得， 若与平面所成的角为，则． 故选：B． 14．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）三棱台上下底面为正三角形，，侧面是底角为的等腰梯形，棱台的高为，则与平面所成角的正弦值为______. 【答案】 【详解】过点作平面的垂线，垂足为，连接， 则与平面所成角为， 因为，侧面是底角为的等腰梯形， 所以等腰梯形的高， 因为， 因为，设点B到面的距离为， 根据，即，解得， 所以与平面所成角的正弦值为. 15．（25-26高一下·天津南开·期中）如图，在正方体中，、分别为，的中点，则直线与平面所成角的正切值为______． 【答案】 【详解】设正方体的棱长为， 所以，所以， ， 设的中点为，连接， 所以， 所以， 所以， 设点到平面的距离为， 所以， 所以，所以， 解得， 设直线与平面所成角为， 所以，又，所以， 所以. 16．（25-26高一下·山西忻州·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点.    (1)求证：平面 (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【详解】（1）证明：连接交于，连接，   是三角形中边上的中位线，， 又平面，平面，平面. （2）证明平面，平面，， 又四边形是矩形，，，，平面， 平面，平面，， 又是的中点，，， ，，平面，平面. （3）如图，取中点为，连接，    在中，，分别为线段，的中点， 故，，平面，平面， ， 由（2）得平面，平面，， ，，，又，， ， 设点到平面的距离为，直线与平面所成角为， 则，解得，故， 直线与平面所成角的正弦值为 题型四 定义法求二面角（共6小题） 17．（25-26高二上·山东淄博·期末）在正三棱柱中，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取的中点，连接、、、， 在正三棱柱中，，所以， 又平面，平面，所以，，， 不妨令，则，所以， 所以为平面与平面的夹角， 又， 所以，所以平面与平面夹角的余弦值为. 故选：A 18．（25-26高二下·云南玉溪·期中）如图，直三棱柱，平面平面，，，直三棱柱的体积为，则平面与平面所成的角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直三棱柱，平面平面，平面平面，，平面，得平面， 平面，平面，所以， 由，，得， 直三棱柱的体积为，所以 又，可知平面与平面所成的角为， 因为，所以平面与平面所成的角为. 19．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知正三棱锥的底面边长为3，高为2，则该三棱锥的侧面与底面所成的二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，正三棱锥顶点在底面的投影为底面正三角形的中心，取中点，连接、， 由正三棱锥性质，，， 可知是侧面与底面所成二面角的平面角，且（棱锥的高），，为直角三角形. 由底面正三角形边长为，其高为，正三角形中心分高的比为， 可知中心到边的距离：. 在中：， 二面角的正弦值：. 20．（2026·安徽·模拟预测）我国古代数学专著《九章算术》中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”.如图1，在中，，，CD是AB边上的高，将沿直线CD折起，使点B到点P的位置，如图2，此时三棱锥恰好是一个“鳖臑”，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，，，要使三棱锥恰好是一个“鳖臑”， 则有，，由，，可得二面角的平面角 为，在中，． 21．（2026·重庆九龙坡·二模）将边长为 2 的正方形 沿对角线 折起，使折起后 ，则二面角 的大小为_____. 【答案】 【详解】如图，取中点，连接，则，，所以是所求二面角的平面角， 因为，， 在中，由余弦定理得， 所以，即二面角的大小为. 22．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）如图，长方体中，是边长为1的正方形，与平面所成的角为，则直线与直线的夹角余弦值为__________：二面角的平面角的正切值为__________. 【答案】 /0.5 【详解】 如图，连接. 由于，则为直线与直线所成的夹角. 因为平面，平面，故. 底面是边长为的正方形，因此，. 因为平面，在底面的投影为，所以与平面所成角. 在中，，得，则. 在中，，直线与直线的夹角余弦值为. 取中点，连接、. 等腰中，；等腰中，， 因此是二面角的平面角. ，，且平面，故. 在中，， 即二面角的平面角的正切值为. 题型五 垂面法求二面角（共2小题） 23．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）从空间中一点P向二面角的两个面，分别作垂线，，E，F为垂足，若，则二面角的大小可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】依题意，点P不在平面和平面内，当点P在二面角内时，如图， 令直线平面，连，因，则， 因此，直线平面，有，则是二面角的平面角， 四边形中，，，则有； 当点P在二面角外时，如图，同理可得是二面角的平面角， 令，在与中，，则， 所以二面角的平面角的大小为或. 故选：AB 24．（2025高三上·江苏无锡·专题练习）如图，点在二面角的棱上，分别在内引射线，使得,若，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，过点作于点，连接， 因为，，且， 所以，所以，所以， 所以即为二面角的平面角， 设，在等腰直角和中，可得， 又因为，所以为等边三角形，所以， 所以，所以， 所以二面角的大小为. 题型六 三垂线定理求二面角（共6小题） 25．（25-26高三上·河北·阶段检测）如图，在三棱锥，平面平面是边长为2的等边三角形，，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取中点，连接，由题意得，作于点，连接， 因为平面平面，平面， 所以平面， 而平面，所以，同理， 又，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以是二面角的平面角， 由已知得，，， 所以， 故选：B. 26．（25-26高二上·北京·期末）在正四棱锥中，的面积为3，的面积为4，则该四棱锥的侧面与底面所成的二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，作平面于点，连接，取的中点，连接， 在正四棱锥中，易得，又因，可得， 则即侧面与底面所成的二面角的平面角. 设，则， 依题意，的面积为， 的面积为，即得， 在中，. 故选：B. 27．（25-26高三上·山西晋中·阶段检测）如图，已知四棱锥，平面平面，是边长为4的等边三角形，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，设的中点为，连接，， 在中，，，则， 且， ，为的中点，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面，， 作于点，连接， ，平面，，平面， 平面，， 是二面角的平面角， 在中，，有，即， ， 在中，， 在中，， . 故选：B. 28．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知四面体ABCD的每个顶点都在球O（O为球心）的球面上，为等边三角形，，，且，则二面角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】设E为AC的中点，连接BE，DE. 因为为等边三角形， 所以，又，且，BE，平面， 所以平面， 又平面，即， 由题意易知，，，又， 所以. 因为，所以， 即，又，AC，平面， 所以平面，而平面，则平面平面， 又，则，故为等腰直角三角形. 综上，四面体的球心O为的中心，即在线段BE靠近E的三等分点处. 过点E作交OC于点F，连接DF，则即为二面角的平面角. 在中，，，可求得，又， 所以. 29．（25-26高一下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，，点为的中点，将沿直线翻折成（点不在面内），点为的中点.在翻折过程中， (1)证明：直线平面； (2)若，求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【详解】（1）证明：取中点为，连接, 因为点为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为在平行四边形中，点为的中点，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面 又，平面 所以平面平面， 又平面， 所以直线平面 （2）解：取中点为，连接 因为，中点为 所以，是等边三角形， 所以，即为二面角的平面角. 在中，，由余弦定理有： ， 即，解得， 又在中，，在内，. 所以在中，，即为等边三角形， 所以，即二面角的大小为. 30．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，侧面是等边三角形，为的中点，且．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【详解】（1）如图，取的中点，连接，． 因为为等边三角形，所以， 又在等腰梯形中，为的中点，可知为等腰梯形的高，故， 又，，平面，所以平面，得． 因为，，且， 故， 又，，， 所以．    （2）在平面内，作于点，连接． 由（1）易知，从而为二面角的平面角． 易知，则， 所以， 所以，即二面角的余弦值为． （3）设到平面的距离为． 易知，即， 即，解得． 设直线与平面所成的角为，则． 题型其 定义法求点到面的距离（共3小题） 31．（2026高一·全国·专题练习）如图，等腰三角形中，，D为上一点，且，将沿翻折至平面平面，连接，则点D到平面的距离为_____. 【答案】 【详解】由已知，可得，所以．又， 所以，取的中点M，则，且． 因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以．又因为，，平面， 所以平面，所以就是点D到平面的距离， 所以点D到平面的距离为. 32．（25-26高一下·黑龙江·期中）在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，则点到平面的距离为__________. 【答案】 【详解】是边长为3的等边三角形，所以， 取的中点，则， 又平面，所以平面， 在中，由余弦定理得， 所以， 过点作直线的垂线，垂足为，则， 又平面，所以，又平面， 所以平面，即点到平面的距离为. 33．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期末）在四棱锥中，平面，，，与平面所成角为，底面为直角梯形，，则点到平面的距离为_______. 【答案】/ 【详解】在平面中过作，垂足为， 因为平面，所以为与平面所成角，则， 又平面，所以，， 又，所以，，， 因为，则， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以为点到平面的距离，即所求为. 题型八 等体积法求点到面的距离（共6小题） 34．（25-26高二上·广东汕头·期中）已知正方体的棱长为4，则点C到平面的距离等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ， 则，设点C到平面的距离为h， 则， 又因为， 所以， 故选：A 35．（25-26高二上·安徽安庆·期中）在三棱锥中，已知，平面，，点是棱上的动点，点是平面内的动点，，点为中点，则点到平面距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，连接和， 因为平面，且平面，所以， 在直角，点为的中点，且，所以， 所以点的轨迹是以点为球心，半径为的球面， 设点到平面的距离为， 因为，平面，且， 由，可得， 即，解得， 所以到平面的最短距离为. 故选：C. 36．（22-23高一下·湖北·期末）在边长为2的正方形中，E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿折起，使A，B，C三点重合于点，则到平面的距离为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】依题意，在三棱锥中，两两垂直， 在中，， ， ，设点到平面的距离为， 由，得，即，解得， 所以点到平面EFD的距离为. 答案：B 37．（25-26高一下·广西南宁·期中）如图，，是圆柱上、下底面圆的直径，四边形是边长为2的正方形，是底面圆周上的一点，．则点A到平面的距离为________． 【答案】 【详解】因为四边形是边长为2的正方形，且， 所以，， 设点A到平面的距离为， 因为，所以， 所以，所以点A到平面的距离为。 38．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，则点到平面的距离为________________. 【答案】 【详解】连接. 因为为直三棱柱，所以平面，. 又平面，所以， 所以，. 因为平面，平面，，所以平面， 所以. 因为，平面，所以平面， 又平面，所以，所以. 设点到平面的距离为，则，即，所以. 所以点到平面的距离为. 39．（25-26高二上·上海·期中）在长方体中，为的中点，则直线与平面的距离为___________． 【答案】/ 【详解】    如图， 易知为的中位线，故平面，平面，所以平面， 所以直线与平面的距离等于点到平面的距离， ， 在中，所以， 即， 设点到平面的距离为， 则根据， 解得， 所以直线与平面的距离为， 题型九 求直线到平面的距离（共2小题） 40．（25-26高二上·广西贵港·开学考试）已知正方体的棱长为，则直线到平面的距离为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】连接交于点E，    由四边形为正方形，得，且为中点， 由⊥底面，平面，得⊥， 而，平面，则平面， 因此AE的长即为点到平面的距离， 又正方体棱长为，则， 而平面，平面，则平面， 故直线到平面的距离，即点到平面的距离. 故选：C 41．（24-25高一下·河北邯郸·期末）“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形组成的多面体.某广场的石凳就是由6个全等的正方形和8个全等的正三角形构成的阿基米德多面体，它可以看成一个正方体截去八个一样的四面体得到，称之为截半立方体.若图中截半立方体的棱长，则异面直线AD和FP所成的角为____________，直线EB到平面PGQ的距离为____________. 【答案】 / 【详解】依题意，，则是异面直线AD和FP所成的角或其补角， 在中，，因此； 将截半立方体还原成正方体，由截半立方体的结构特征知，平面平面， 则直线EB到平面PGQ的距离等于平面与平面的距离， 而三棱锥都是正三棱锥，它们的高所在直线与正方体的一条体对角线重合， 设三棱锥的高等于，而侧棱长为，由， 得，即，解得， 而，所以所求距离. 故答案为：； 题型十 立体几何解答题汇编（共19小题） 42．（25-26高一下·广东揭阳·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点．    (1)求的体积； (2)求证：平面； (3)求证：平面． 【答案】(1)2；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【详解】（1）因为在四棱锥中，平面， 由，，，， 所以． （2）证明：因为，， 所以， 又平面，平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面． （3）    取的中点为，又为的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，即， 又因为平面，平面， 所以平面． 43．（25-26高一下·黑龙江鸡西·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，O为中点，平面，，M为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【详解】（1） 连接，设． 因为底面为平行四边形，所以为的中点． 又因为为的中点， 所以． 因为平面，平面， 所以平面． （2）在中，因为， 所以为等腰三角形，故． 所以，即． 因为平面，平面， 所以． 又因为，平面， 所以平面． 因为平面， 所以平面平面． （3）取的中点，连接． 因为为的中点，为的中点， 所以，且． 因为平面，， 所以平面，且． 所以为在平面内的射影， 则为直线与平面所成的角． 在中，，，， 由勾股定理得． 因为为斜边的中点， 所以． 在中，． 所以． 即直线与平面所成角的正弦值为． 44.（25-26高一下·湖南益阳·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点． (1)求证：平面． (2)求证：平面． (3)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【详解】（1）证明：因为底面是正方形，，为对角线，所以为中点， 又点是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）证明：因为平面，，平面， 所以，，且为直角三角形. 因为底面是正方形，所以. 又，平面，，所以平面， 因为平面，所以. 在中，，点是的中点，所以. 又，平面，，所以平面. （3）正方形中，， 所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 又平面，所以即为直线与平面所成角，也即直线与平面所成角. 在中，，点是的中点，所以，， 所以. 故直线与平面所成角为. 45．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，长方体中，，，点P为的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在，且 【详解】（1）在矩形中， ， 底面为正方形，， 又在长方体 中， 平面， 平面， ， 又 ，平面， 平面，又平面， 平面 平面； （2）在长方体 中， 且， 四边形为平行四边形，故， 直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 设，连接， 由 （1）知 平面即 平面， 为直线与平面所成的角， 在正方形中，，则， 在中，，则， ， 直线 与平面所成的角的正弦值为； （3）假设存在点使得平面，由（1）知平面， 又平面，所以， 平面，平面，， 设，则由， 即， 又点为的中点， 所以， 即， 又， 所以，解得， 所以，，故    46．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【详解】（1）因为是的直径，是圆周上不同于的一动点， 所以，又因为平面，平面，所以， 又因为平面， 所以平面. （2）因为平面，平面， 所以平面平面. （3）过作于，连接，如图所示， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以是直线与平面所成的角， 在中，由等面积法得 而 所以， 在中，， 故直线与平面所成角的正弦值为. 47.（25-26高一下·重庆·期中）在多面体中，底面为矩形，平面， (1)求直线与底面所成角的正弦值； (2)求二面角的正切值； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)；(2)；(3)12 【详解】（1）取的中点为，连接，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，所以就是直线与底面所成角. 又底面为矩形， 在直角中， 直线与底面所成角的正弦值为； （2）设二面角的大小为，二面角的大小为，二面角的大小为 所以，因为平面，所以平面. 过作，垂足为，连接，所以就是二面角的平面角， 即，在直角中，，所以，所以 同理可得，所以 所以二面角的正切值为. （3）把多面体补成如图长方体 则. 所以. 48．（25-26高一下·浙江·期中）已知四棱锥，平面，，，，点为中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的正切值； (3)作出过三点的平面截四棱锥得到的截面，并求此截面的周长． 【答案】(1)证明见解析；(2) (3)四边形即为截面， 【详解】（1） 取中点，连接， 在中，且， 因为，且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面； （2） 取中点，连交于，连接， 因为，且，则四边形为平行四边形， 所以，为中点， 在中，，因为平面，所以平面， 作交于，连接， 因为平面，所以， 因为且平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 又，，所以， （3） 延长于，连接于，则四边形即为截面 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 中，，，，点为中点，所以， 因为，所以点为的中点，所以中，为其重心， 所以，所以，， 中，，即， 又，故截面的周长为． 49．（25-26高一下·安徽六安·期中）如图所示，已知为梯形，，，为线段上一点. (1)设平面平面，证明：； (2)在棱上是否存在点 （i）使得平面，若存在，求的值；若不存在，请说明理由； （ii）使得平面将四棱锥分成体积相等的两部分，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)（i）存在，；（ii）存在， 【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面平面，且平面，所以. （2）（i）存在点，使得平面，此时. 证明如下：连接交于点，连接 因为，且，所以，又因为，， 所以，因为平面，平面，所以平面. （ii）存在，且，理由如下： 记四棱锥的体积是. 由，得，故， 即. 设，则. 令，得，解得. 故存在点，当时，平面将四棱锥分为体积相等的两部分. 50．（25-26高一下·河南·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，为侧面的中心. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)求三棱锥的外接球的表面积. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【详解】（1）证明：连接，与交于点，连接， 因为为侧面的中心，所以为的中点， 连接，因为，，且，， 所以，且， 则四边形为平行四边形， 因为为的中点，易知，又平面，平面， 故平面. （2）连接，则，则， 易知四边形为平行四边形， 在正方体中，平面， 又平面，所以， 因为，故平面，即平面， 所以为直线与平面所成的角， 在中，易求，， 所以，则. 故直线与平面所成角的大小为. （3）设三棱锥的外接球的球心为，半径为， 因为的外接圆的圆心为，所以平面， 由（1）可知，，平面，所以平面， 因此球心在线段上， 易求，，由，解得， 故三棱锥的外接球的表面积为. 51．（25-26高一下·四川成都·期中）(本题若使用空间向量，相关步骤不得分)如图，已知正四面体的棱长为，为底面的外心，为中点. (1)连接，证明：平面. (2)设的中点为，求与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）证明：如图，连接，由于为的外心，故有. 因为为中点，，所以，， ∵，平面∴平面， ∴.同理，. ∵，平面， ∴平面. （2）正四面体棱长​，等边中，中线， 为重心（等边三角形重心与外心重合），故. 由平面，​. 是中点，在中，，， 由中线长公式. 由体积法，​​， 故， 又​， 设到平面距离为，则，​ 设线面夹角为，由线面角定义，代入得. 即直线与平面夹角的正弦值为. 52．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）在如图所示的三棱锥中，为高，为的中点，平面，. (1)求证:. (2)若. ①求与平面所成角的正弦值； ②求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2)①；② 【详解】（1）如图，取的中点，连接. ，分别为的中点，. 又平面，平面， 平面. 平面，，平面， 平面平面. 又平面平面，平面平面， . 在中，，，， ，， ，又，， 平面，又平面，. 又∵是中点，∴垂直平分, ∴. （2）由（1）可知，平面，平面，平面平面. 如图，过点作，为垂足，则平面， 为与平面所成的角. 在等边中，， 在中，由，可得， ， 又，与平面所成角的大小为，即正弦值为. ②设点到平面的距离为，与平面的夹角为， 则由①可知， ∴. 53．（25-26高一下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，，点为的中点，将沿直线翻折成（点不在面内），点为的中点.在翻折过程中， (1)证明：直线平面； (2)若，求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【详解】（1）证明：取中点为，连接, 因为点为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为在平行四边形中，点为的中点，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面 又，平面 所以平面平面， 又平面， 所以直线平面 （2）解：取中点为，连接 因为，中点为 所以，是等边三角形， 所以，即为二面角的平面角. 在中，，由余弦定理有： ， 即，解得， 又在中，，在内，. 所以在中，，即为等边三角形， 所以，即二面角的大小为. 54．（25-26高一下·全国·期末）如图所示，在直角中，，，，取的中点为D，将沿翻折到的位置，使得． (1)求证：平面平面； (2)求点D到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)； 【详解】（1）在直角中，，，， 所以， 因为为中点，所以， 取AD的中点为E，连接PE，CE， 由为边长为2的等边三角形得，， 在中，，，，由余弦定理可得 ， 所以， 因为，所以，即， 又因为，且，所以平面 因为平面，所以平面平面； （2）由（1）可知，平面，则， 所以， 在中，，，， 由余弦定理，， 所以， ， 因为，则点D到面的距离为； （3）过点C作AD延长线的垂线，垂足为Q，连接PQ，由（1）知 因为平面平面，且平面平面，，所以平面， 故为直线PC与平面PAD所成角， 在中，，， ， 在中，，， 由勾股定理：， ， 即直线PC与面PAD所成角的余弦值为． 55．（25-26高一下·北京·期中）已知正方体棱长为4，是的中点，点是上一点，是上一点，且平面平面， (1)求证：点是的中点． (2)求证： (3)棱上是否存在点使得平面平面，若存在，求出三棱锥的体积，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)存在，. 【详解】（1）设平面与直线交于. 因为平面平面，设平面平面， 连接，平面平面，所以， 又因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，所以， ∵在正方体中，,所以， 在正方形中，是的中点，所以点是的中点， 又因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，且点是的中点， 所以点是的中点． （2）连接，因为在正方形中，，，，平面， ∴平面，平面，， 同理可证，又，平面， ∴平面，且平面平面， 所以平面，平面，所以； （3）取中点，连接， 因为平面平面，平面平面， 设平面平面，所以， 而,所以,又因为是中点，所以是中点， 连接，设，则是中点， 而G为中点，所以， 又由（2）知平面，所以平面， 而平面，使得平面平面， 又过且与平面垂直的平面存在且唯一， 故当且仅当G为中点时，平面平面. 连接， 又因为 ， 所以. 56．（25-26高一下·福建莆田·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中， ，且，点E为棱的中点. (1)求证: 平面; (2)若M为上的动点，则线段上是否存在点N，使得/平面?若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由； (3)若，请在图中作出四棱锥过点B，E及棱中点的截面，并求出截面周长. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在为线段中点，证明见解析；(3)作图见解析，截面周长为. 【详解】（1）取线段的中点，连接， 因为分别为线段的中点， 所以，且， 又，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）当为线段中点时，平面， 证明：取线段中点，连接 因为分别为线段的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面； 因为，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； 又面， 则面面，又面， 所以面， 所以当为线段中点时，平面； （3）取线段的中点，连接， 因为，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又分别为线段的中点， 所以， 所以，则四边形为四棱锥过点及棱中点的截面， 则，，， 在中，，， 所以， 则， 所以截面周长为. 57．（25-26高一下·河北邢台·期中）如图，正方体的棱长为4，，分别是，上的点，且，. (1)求直线与所成角的余弦值. (2)设是线段上的动点（含端点）. （i）判断三棱锥的体积是否为定值.若是，求出该定值；若不是，求出体积的最小值. （ii）当平面时，求的值. 【答案】(1)；(2)（i）不是，体积最小值为；（ii） 【详解】（1）在棱长为4的正方体，过点作交于，连接， 由正方体的对角面是矩形，得，则， 即为直线与所成的角或其补角， 由，，得，，，， 因此， 所以直线与所成角的余弦值为. （2）（i）三棱锥的体积不是定值. 假设三棱锥的体积是定值，则线段上任意每一点到平面的距离都相等， 又平面，于是平面，由（1）知，且平面， 则平面，而平面，则平面平面， 又平面，因此平面，取中点，连接，显然为的中点， 则，又与平面交于点，于是与平面相交，两者矛盾， 即假设不成立，所以三棱锥的体积不是定值， 由图知，线段在平面的同侧，且在线段的所有点中，到平面的距离最小， 则当与重合时，三棱锥的体积最小， 且， 所以三棱锥体积的最小值为 （ii）连接，由正方体的对角面是矩形， 得，且平面，则平面，同理平面， 而平面，因此平面平面， 此时线段平面，满足平面， 设，到平面的距离分别为，，则. 是边长为的等边三角形，则， 由，得，解得， 由，得，解得， 所以. 58．（25-26高一下·福建三明·期中）已知菱形的边长为2，，平面ABCD外一点P在平面上的射影是与的交点O，是等边三角形． (1)求证：平面； (2)求点D到平面的距离； (3)若点E是线段上的动点，问：点E在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长． 【答案】(1)证明见解析；(2) (3)点E在线段上靠近点D的四等份点处，此时最大角的正弦值， 【详解】（1）∵点P在底面上的射影是与的交点O， 所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形为菱形，所以， 因为，⊂平面， 所以平面． （2）由题意可得，与都是边长为2的等边三角形， ， 则 ， 所以， 作，所以， 则， 设点D到平面的距离为， 由，则 即 解得 故点D到平面的距离为 ； （3）设直线与平面所成的角为， 因为平面， 所以E到平面的距离即为D到平面的距离， 过E作垂线平面交平面于点，则， 此时 ,要使最大，则需使最小，此时 由题意可知 ， ∵平面，且 ， 所以 在△PAD中，由余弦定理可得： ， 所以 ， 则 ，， ，， 即点E在线段上靠近点D的4等份点处，此时. 59．（25-26高一下·安徽池州·期中）如图，在直三棱柱中，底面是直角三角形，，，侧棱．该直三棱柱内有一个圆柱，圆柱的下底面在直三棱柱的底面ABC上，上底面在直三棱柱的上底面上，且圆柱的侧面与直三棱柱的三个侧面都相切． (1)求该圆柱的表面积； (2)求该直三棱柱的外接球O的体积； (3)点M是直三棱柱外接球表面上的动点，N是圆柱表面上的动点，记，R为外接球的半径，求的最大值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，， 所以， 的内切圆半径， 圆柱的高， 所以圆柱的表面积 ． （2）直三棱柱的外接球球心位于上下底面外心连线的中点， 设外接圆的圆心为， 底面直角三角形外心是斜边的中点，则， ，所以， 外接球半径， 体积． （3）设底面的内心为， 由球的几何性质，的取值范围为， 代入得， 即的最大值，等价于求圆柱表面上的点到球心的距离的最大值的平方， 设点在底面的投影为，到底面的竖直距离为， ， 当取最大值（即在圆柱上底面或下底面的圆周上）时，竖直分量最大；同时水平分量的最大值出现在底面内切圆圆周上， 因此的最大值必在圆柱上下底面的内切圆圆周上取得， 在中，内切圆半径，外接圆半径为， 内心到外心的距离为， ， ， 故． 60．（25-26高一下·河南·阶段检测）如图，在梯形中，，，，为的中点，将沿翻折至的位置，使点落在点的位置，且，，分别为，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若线段上存在点，使得平面平面， （i）猜想的值，并说明理由； （ii）求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)（i），理由见解析；（ii） 【详解】（1）证明：在梯形中，，，，为的中点， 所以，且， 则四边形为菱形，所以， 则，所以为等边三角形，翻折后为等边三角形，且， 因为为的中点，故. 同理，四边形为菱形，为等边三角形，. 在中，，，又，则，所以. 因为，，平面， 所以平面. 又平面，故平面平面. （2）（ⅰ）. 理由如下： 如图，连接，与，分别交于点，，连接，. 因为，分别为，的中点，四边形为菱形， 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面，所以 平面. 因为为的中点，所以为的中位线，所以为的中点. 因为平面 平面，平面平面， 平面平面， 所以，所以为的中点，即. （ⅱ）由（2）（ⅰ）可知，点的位置唯一确定，即为的中点. 由（1）可知，，，且，，平面， 所以平面. 又 ，所以平面. 又平面，则， 所以，则. 在中，，，则， 又，所以 . 如图，过作于点， 由等面积法可知，. 在中，，，则边上的高为. 设点到平面的距离为， 则. 所以，所以. 设二面角的大小为， 则. 故二面角的正弦值为. 1 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $