高一数学下学期期末模拟卷01（苏教版，测试范围：必修第二册）

**基本信息** 覆盖苏教版必修二全册七模块，以“滇超”联赛统计分析、立体几何证明等真实情境为载体，梯度设计合理，注重数学思维与应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数、向量、立体几何等|第4题三棱锥外接球体积考查空间想象，第8题正四面体体积结合球体背景| |填空题|3题15分|向量投影、三角恒等变换|第13题向量夹角范围体现动态思维，第14题三角最值考查运算能力| |解答题|5题77分|统计、解三角形、立体几何等|15题“滇超”联赛频率分布直方图分析数据意识，16题解三角形综合角平分线计算与推理，18题异面直线垂直证明空间观念|

2025-2026学年高一下学期期末模拟卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数的共轭复数=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将复数化简为标准形式，再根据共轭复数定义求出结果即可. 【详解】因为 ， 所以， 2．设向量，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】向量，且， 所以，，得，则. 3．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到结论，当时，，利用该结论判断，的符号，得到的大小关系. 【详解】如图： 当时，，， 设劣弧的长为，则. 因为，所以，. 所以. 因为，所以，所以.故； 又， 因为，所以，所以.故. 综上，. 4．已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，，，则三棱锥外接球的体积为（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可以将其补成一个长方体，该三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球，外接球的直径等于长方体的体对角线长度. 已知，，则长方体的体对角线 ， 因此，外接球半径. 球的体积 5．设为两个非零向量，则“”是“存在正数，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】为两个非零向量，，设两向量的夹角为. 充分性：，，即，解得； 不一定存在正数，使得成立，即充分性不成立. 必要性：存在正数，使得成立，； ，即必要性成立. “”是“存在正数，使得”的必要而不充分条件. 6．如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【详解】过作交轴于点，可得， 因为，所以为等腰直角三角形，所以， 根据斜二测画法，可得，如图所示，则， 所以的面积，故选项D正确. 7．已知非零平面向量，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将向量问题几何化，设终点为定点（距原点），终点在与夹角的射线上，终点在以为圆心、半径为的圆上；则即点到圆上点的距离，其最小值为点到射线的距离减去圆半径，即可得答案． 【详解】 如图，令，，，则，， 又，所以点在以为圆心，为半径的圆上， 所以的最小值为， 又，， 所以当时，取得最小值，最小值为， 所以的最小值为，即的最小值为． 8．某科技馆内有一个半径为的球形展柜，若在展柜内部放置一个正四面体模型，则该正四面体模型的体积的最大值为（不考虑展柜的厚度）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正四面体的结构特征和体积公式计算即可. 【详解】当正四面体模型的所有顶点都在球形展柜的表面上时，该正四面体模型的体积最大， 设此时该正四面体模型的棱长为，则该正四面体模型的高为． 设该球形展柜的球心到正四面体模型的一个面的距离为，球的半径为， 则，解得， 故该正四面体模型的体积的最大值为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，已知正方体边长为1，则下列说法正确的是（    ） A．直线与所成角为 B．平面平面 C．三棱锥的体积是正方体体积的 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BC 【分析】连接和，得到，利用异面直线所成角的求法，可判定A不正确；利用线面垂直和面面垂直的判定定理，可判定B正确；利用锥体的体积公式，可判定C正确；利用线面角的定义，得到为直线与平面所成角，可判定D错误. 【详解】对于A，连接和，在正方体中，可得， 所以直线与所成角即为直线与所成角， 因为等边三角形，可得，则直线与所成角为，故A不正确； 对于B，在正方体中，可得平面， 因为平面，可得， 又因为正方形，可得，，且平面， 所以平面，又因平面，所以平面平面，故B正确； 对于C，因为平面，所以三棱锥的高， 又由，所以三棱锥的体积为，所以C正确； 对于D，设和交于点，因为平面，即平面， 所以为直线与平面所成角， 因为正方体的棱长为，可得， 在直角中，可得，所以D错误. 10．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【答案】BC 【分析】A选项，作出辅助线，得到各边长，结合，求出；B选项，由斜二测法可知；C选项，作出原图形，求出各边，由梯形面积公式得到C正确；D选项，在C基础上，求出各边长，得到周长． 【详解】对于A选项，过点作垂直于轴于点， 因为等腰梯形中，， 所以， 又，所以，故A错误； 对于B选项，由斜二测法可知，故B正确； 对于C选项，作出原图形，可知，，，， 故四边形的面积为，故C正确； 对于D选项，过点作于点， 则， 由勾股定理得， 四边形的周长为，故D错误． 11．已知，设，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由同角三角函数关系结合条件即可得，则有，经验证，故A正确，对于B，，两边同时乘以，结合二倍角公式即可证明，对于C，使用半角公式可得，其中，结合诱导公式可得，使用和差化积可得，即，进而可求得，故C正确，对于D，由C知，，且，则有，进而可解得，故D正确. 【详解】对于A，， ， 因为，即，即， 即，则有， 当时，，在内无解， 当时，，令，，故A正确； 对于B，， 两边同时乘以得 ， 即，故B错误； 对于C，， 代入，， 故 因为， 所以， 故，故C正确； 对于D，由C知，即， 即，且， 则有， 即，故D正确， 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．设点在内部，且，则 __________． 【答案】/ 【分析】变形给定等式，作图使得，进而确定点，再利用等高的三角形面积关系求解. 【详解】由，得，在线段上取点，使得， 取点，使点不在直线上，则，点是线段的中点， 因此，所以. 13．已知单位向量与，向量在方向上的投影向量为，且，若与的夹角的取值范围是，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据投影向量的定义可推得，结合夹角范围与余弦函数的单调性即得的取值范围. 【详解】依题意， ,则在方向上的投影向量为， 又因，则， 因， 而函数在上单调递减， 则得， 即的取值范围是. 14．已知，且．若，则的最小值为________． 【答案】 【分析】根据两角和的正切公式及条件，利用换元法，转化为利用基本不等式求代数式的最值. 【详解】, ， 设，则，所以， 则 ，当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）近日，“滇超”联赛（云南省城市足球联赛）正如火如荼进行．某校团委组织了一次“足球知识问答”竞赛，现从全校参赛的1000名学生中随机抽取了100名统计他们的竞赛成绩（单位：分，满分100分），并绘制了如图所示的频率分布直方图： 已知成绩在的频数是30，则： (1)求图中的值，并估计这100名学生成绩的平均数； (2)根据频率分布直方图，估计样本数据的第85百分位数； (3)学校拟从竞赛成绩在和两组内的学生中，按分层抽样抽取5人进行详细访谈，再从这5人中随机抽取2人进行“全民健身”主题演讲，求这2人来自不同组的概率． 【答案】(1)，平均数为73；（4分） (2)87.5；（4分） (3).（5分） 【详解】（1）由成绩在的频数是30，得成绩在的频率为，则， 由，得，（2分） 这100名学生成绩的平均数为.（2分） （2）由频率分布直方图知，样本数据在的频率为， 在的频率为，则样本数据的第85百分位数， 由，解得， 所以样本数据的第85百分位数为87.5.（4分） （3）竞赛成绩在和的频率分别为0.3和0.2，则按分层抽样抽取5人中， 成绩在中的有人，记为，成绩在中的有2人，记为， 从这5人中随机抽取2人的样本空间，共10个， 这2人来自不同组的事件，共6个， 所以所求概率.（5分） 16．（15分）在△ABC中，三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足. (1)证明：△ABC为直角三角形； (2)若，，的平分线交BC于D，求线段AD的长； (3)当，时，设表示成的形式，求的最值. 【答案】(1)证明见解析（5分） (2)（5分） (3)（5分） 【详解】（1）依题意得， 则， 又， 所以，从而， 又有意义，所以，即， 故为直角三角形.（5分） （2）由（1）知，，而的平分线交BC于D， 得， 因为， 即， 所以 所以． 故线段AD的长为.（5分） （3）由（1）知，在中，，则， 所以，， 故，. 令， 由得，且，则. 令，则， 则， 显然在上单调递增，则在上单调递减， 所以当时，即，即时，.（5分） 17．（15分）一般地，我们将棣莫弗定理总结成下面的公式：，设． (1)证明：； (2)若，求的值； (3)证明：． 【答案】(1)详见解析；（5分） (2)1（5分） (3)详见解析.（5分） 【详解】（1）设， 则 ，则，而， 所以；（5分） （2）已知， 则， 所以 ， 因为，所以，即，解得；（5分） （3）由棣莫弗定理公式， 得 ； ； ， 则，， 所以.（5分） 18．（17分）如图，、是互相垂直的异面直线，直线分别与、交于点，，且，，点、在上，点在上，． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析（7分） (2)（10分） 【详解】（1）由，故，即； 由，，且，、平面， 故平面，又平面，故， 又，、平面，故平面；（7分） （2）连接，由，，故， 由平面，、平面，故，， 故，则， 故即为平面与平面的夹角， 由，故， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为.（10分） 19．（17分）在中，为的中点，在边上，交于；且，设，. (1)试用，表示； (2)已知，，. ①若，求的余弦值； ②已知在上，且，若，求的范围. 【答案】(1)；（5分） (2)①；②.（12分） 【详解】（1）由共线，得，则， 整理得， 由共线，得，则， 整理得，而不共线， 由平面向量基本定理，得，解得， 所以.（5分） （2）①（1）得，， 由，得， 则， ， ， 所以.（6分） ②由（1）知，则， 由共线，设. 由，得，而，， 则，整理得， 即，显然，则， 由，得，则，解得， 所以的范围是.（6分） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一下学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：苏教版必修第二册全册（平面向量+三角恒等变换+解三角形+复数+立体几何初步+统计+概率） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数的共轭复数=（    ） A． B． C． D． 2．设向量，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．设，，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，，，则三棱锥外接球的体积为（） A． B． C． D． 5．设为两个非零向量，则“”是“存在正数，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 7．已知非零平面向量，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．某科技馆内有一个半径为的球形展柜，若在展柜内部放置一个正四面体模型，则该正四面体模型的体积的最大值为（不考虑展柜的厚度）（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，已知正方体边长为1，则下列说法正确的是（    ） A．直线与所成角为 B．平面平面 C．三棱锥的体积是正方体体积的 D．直线与平面所成角的正弦值为 10．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 11．已知，设，若，则（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设点在内部，且，则 __________． 13．已知单位向量与，向量在方向上的投影向量为，且，若与的夹角的取值范围是，则的取值范围是__________. 14．已知，且．若，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）近日，“滇超”联赛（云南省城市足球联赛）正如火如荼进行．某校团委组织了一次“足球知识问答”竞赛，现从全校参赛的1000名学生中随机抽取了100名统计他们的竞赛成绩（单位：分，满分100分），并绘制了如图所示的频率分布直方图： 已知成绩在的频数是30，则： (1)求图中的值，并估计这100名学生成绩的平均数； (2)根据频率分布直方图，估计样本数据的第85百分位数； (3)学校拟从竞赛成绩在和两组内的学生中，按分层抽样抽取5人进行详细访谈，再从这5人中随机抽取2人进行“全民健身”主题演讲，求这2人来自不同组的概率． 16．（15分）在△ABC中，三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足. (1)证明：△ABC为直角三角形； (2)若，，的平分线交BC于D，求线段AD的长； (3)当，时，设表示成的形式，求的最值. 17．（15分）一般地，我们将棣莫弗定理总结成下面的公式：，设． (1)证明：； (2)若，求的值； (3)证明：． 18．（17分）如图，、是互相垂直的异面直线，直线分别与、交于点，，且，，点、在上，点在上，． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 19．（17分）在中，为的中点，在边上，交于；且，设，. (1)试用，表示； (2)已知，，. ①若，求的余弦值； ②已知在上，且，若，求的范围. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期期末模拟卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C A B C B D A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC BC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12./ 13. 14.8 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）由成绩在的频数是30，得成绩在的频率为，则， 由，得，（2分） 这100名学生成绩的平均数为.（2分） （2）由频率分布直方图知，样本数据在的频率为， 在的频率为，则样本数据的第85百分位数， 由，解得， 所以样本数据的第85百分位数为87.5.（4分） （3）竞赛成绩在和的频率分别为0.3和0.2，则按分层抽样抽取5人中， 成绩在中的有人，记为，成绩在中的有2人，记为， 从这5人中随机抽取2人的样本空间，共10个， 这2人来自不同组的事件，共6个， 所以所求概率.（5分） 16．（15分） 【详解】（1）依题意得， 则， 又， 所以，从而， 又有意义，所以，即， 故为直角三角形.（5分） （2）由（1）知，，而的平分线交BC于D， 得， 因为， 即， 所以 所以． 故线段AD的长为.（5分） （3）由（1）知，在中，，则， 所以，， 故，. 令， 由得，且，则. 令，则， 则， 显然在上单调递增，则在上单调递减， 所以当时，即，即时，.（5分） 17．（15分） 【详解】（1）设， 则 ，则，而， 所以；（5分） （2）已知， 则， 所以 ， 因为，所以，即，解得；（5分） （3）由棣莫弗定理公式， 得 ； ； ， 则，， 所以.（5分） 18． （17分） 【详解】（1）由，故，即； 由，，且，、平面， 故平面，又平面，故， 又，、平面，故平面；（7分） （2）连接，由，，故， 由平面，、平面，故，， 故，则， 故即为平面与平面的夹角， 由，故， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为.（10分） 19． （17分） 【详解】（1）由共线，得，则， 整理得， 由共线，得，则， 整理得，而不共线， 由平面向量基本定理，得，解得， 所以.（5分） （2）①（1）得，， 由，得， 则， ， ， 所以.（6分） ②由（1）知，则， 由共线，设. 由，得，而，， 则，整理得， 即，显然，则， 由，得，则，解得， 所以的范围是.（6分） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：苏教版必修第二册全册（平面向量+三角恒等变换+解三角形+复数+立体几何初步+统计+概率） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数的共轭复数=（    ） A． B． C． D． 2．设向量，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．设，，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，，，则三棱锥外接球的体积为（） A． B． C． D． 5．设为两个非零向量，则“”是“存在正数，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 7．已知非零平面向量，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．某科技馆内有一个半径为的球形展柜，若在展柜内部放置一个正四面体模型，则该正四面体模型的体积的最大值为（不考虑展柜的厚度）（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，已知正方体边长为1，则下列说法正确的是（    ） A．直线与所成角为 B．平面平面 C．三棱锥的体积是正方体体积的 D．直线与平面所成角的正弦值为 10．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 11．已知，设，若，则（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设点在内部，且，则 __________． 13．已知单位向量与，向量在方向上的投影向量为，且，若与的夹角的取值范围是，则的取值范围是__________. 14．已知，且．若，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）近日，“滇超”联赛（云南省城市足球联赛）正如火如荼进行．某校团委组织了一次“足球知识问答”竞赛，现从全校参赛的1000名学生中随机抽取了100名统计他们的竞赛成绩（单位：分，满分100分），并绘制了如图所示的频率分布直方图： 已知成绩在的频数是30，则： (1)求图中的值，并估计这100名学生成绩的平均数； (2)根据频率分布直方图，估计样本数据的第85百分位数； (3)学校拟从竞赛成绩在和两组内的学生中，按分层抽样抽取5人进行详细访谈，再从这5人中随机抽取2人进行“全民健身”主题演讲，求这2人来自不同组的概率． 16．（15分）在△ABC中，三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足. (1)证明：△ABC为直角三角形； (2)若，，的平分线交BC于D，求线段AD的长； (3)当，时，设表示成的形式，求的最值. 17．（15分）一般地，我们将棣莫弗定理总结成下面的公式：，设． (1)证明：； (2)若，求的值； (3)证明：． 18．（17分）如图，、是互相垂直的异面直线，直线分别与、交于点，，且，，点、在上，点在上，． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 19．（17分）在中，为的中点，在边上，交于；且，设，. (1)试用，表示； (2)已知，，. ①若，求的余弦值； ②已知在上，且，若，求的范围. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $