压轴02 期末真题·三角恒等变换·解三角形·百练通关（60题6大压轴题型）（期末复习专项训练）数学苏教版高一必修第二册

**基本信息** 聚焦三角恒等变换与解三角形，以6大题型系统覆盖非特殊角计算、给值求值、最值问题等核心考法，通过期末真题强化综合应用，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |非特殊角正余切求算|10题|结合实际情境的三角比计算|从基础公式应用到实际问题转化| |给值求值|10题|多角嵌套与角的配凑技巧|三角恒等变换公式的灵活运用| |换元法求三角函数最值|10题|换元转化为函数最值问题|函数思想与三角知识的结合| |二倍角+降幂扩角+辅助角综合|10题|公式综合应用与化简|三角公式体系的整合应用| |边长与周长最值问题|10题|正余弦定理解决几何最值|解三角形与不等式的综合| |面积最值与取值范围问题|10题|面积公式与边角关系应用|几何量计算与最值思想的融合|

压轴02 期末真题·三角恒等变换·解三角形·百练通关 题型1 非特殊角正余切的求算 题型4 二倍角+降幂扩角+辅助角综合 题型2 给值求值（多角嵌套+角的配凑） 题型5 边长与周长最值问题 题型3 换元法求三角函数最值 题型6 面积最值与取值范围问题 题型1 非特殊角正余切的求算（共10小题） 1．（24-25高一下·江苏宿迁·月考）（多选）下列式子运算正确的有 （    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据同角的平方关系计算即可判断A；根据两角和的余弦公式计算即可判断B；根据二倍角的正切公式计算即可判断C；根据两角和正切公式计算即可判断D. 【详解】A：，故A正确； B：，故B错误； C：由得 所以，故C正确； D：，， ，故D正确. 故选：ACD 2．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）中，，，，的角平分线交于，则______. 【答案】 【分析】在中，利用正弦定理可得，进而根据数量积的定义运算求解. 【详解】由题意可知： ， ， 由角平分线可知：， 在中，由正弦定理，所以， 所以. 故答案为：. 3．（24-25高一下·江苏·期末）在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝75°，AD＝2BC＝6，M，N分别为AB，CD的中点，则MN＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，根据边角关系求出坐标即可求解. 【详解】如图所示：过点作,垂足为点，以为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 设，由题知，，因为，，所以，，因为M，N分别为AB，CD的中点，所以，，所以. 故选：B. 4．（24-25高一下·江苏盐城·期末）（1）求的值； （2）已知均为锐角，且，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由，将换为由余弦的差角公式可得答案. (2)先求出，，余弦的差角公式可得答案.根据角的范围得到答案. 【详解】（1）原式 （2）因为均为锐角，， 所以，，由 根据函数在上为增函数，所以 所以. 又均为锐角，则，所以 5．（24-25高一下·江苏·期末）直线:与轴交于点，把绕点顺时针旋转得直线，的倾斜角为，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知直线l的倾斜角为30°，从而求得旋转后的倾斜角，利用特殊角的两角和与差的余弦公式求得结果. 【详解】解：设的倾斜角为，则， ， 由题意知， ． 故选：C 6．（2025·江苏·模拟预测）设的内角所对应的边分别是，且． (1)求角的值． (2)，，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由正弦定理得到，再由三角恒等变换化简得，即可求得； （2）由题给关系求得，，再由正弦定理得，再由三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 所以， 即， 由可得，所以， 所以； （2）因为，，所以，所以， 所以，， 由正弦定理得，即，所以， 所以. 7．（24-25高一下·江苏·期末）三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A、B、C三点，且A、B、C在同一水平面上的投影、、，满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A、C两点到水平面的高度差约为____________．（精确到1） 【答案】373 【分析】过C作，过B作，进而，易知，在中，求得，进而，在中，用正弦定理即可求得的长，进而可知的长. 【详解】如图，过C作，过B作， 则， 由B点测得A点的仰角为，得为等腰直角三角形，， 则， 由，得， 在中，由正弦定理得，， 而， 因此，所以. 故答案为：373 8．（24-25高一下·江苏·期末）鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖.某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案.如图，在山脚A测得山顶P得仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P得仰角为60°，则鼎湖峰的山高为______米.      【答案】 【分析】在中，利用正弦定理求，进而在中求山的高度. 【详解】由题知，，，则，， 又，所以，所以，， 在中，， 根据正弦定理有， 且， 则， 在中，. 所以山高为米. 故答案为：. 9．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则该铁塔的高度约为（    ）（参考数据：，，，）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】在中，由两角和的正弦得到，由同角三角函数关系得到，由正弦定理得到，在中，，代入数值即可得到答案. 【详解】在中，， 则， ， 由正弦定理，可得， 在中，可得. 所以该铁塔的高度约为米． 故选：C. 10．（24-25高一下·江苏宿迁·调研）如图，在中，，为边上的一点，且，则_________. 【答案】/ 【分析】在中由正弦定理求出，即可求出，再代入求出，最后由为等腰直角三角形得解. 【详解】由题可知，在中，由正弦定理得， 即，得， 又，由图可得为钝角，所以， 所以，则， 则， 又，所以为等腰直角三角形，则． 故答案为： 题型2 给值求值（多角嵌套+角的配凑）（共10小题） 11．（24-25高一下·江苏扬州·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接由同角三角函数关系式及两角和的正弦公式可得. 【详解】因为，因此，由同角三角函数基本关系式， 且，得， 根据正弦和角公式. 12．（24-25高一下·江苏南京·期末）（1）已知，，求的值； （2）已知角，，且，，求和的值． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）先对已知式子进行平方，再相加结合正弦差角公式求解； （2）根据题意，利用倍角公式及同角三角函数的关系求出、、，再由展开计算即可． 【详解】（1）， 得， 解得； （2），，，， ，， 又，， ． 13．（2026·江苏扬州·模拟预测）设，是方程的两个不同的解，且（），则________． 【答案】 【分析】，利用两角和与差的正余弦公式可求得，进而可求得，利用二倍角的正切公式求解即可. 【详解】因为，是方程的两个不同的解， 所以，， 所以， 所以 ， 所以， 所以， 又因为（），所以（），所以， 所以，所以， 所以. 14．（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用余弦差角公式求得，再通过余弦和角公式计算，最后用余弦二倍角公式求出的值. 【详解】由，可得，解得， 由，可得。 所以. 15．（24-25高一下·江苏南通·期末）已知，则的值为__________． 【答案】 【详解】， ， ， 又， ， ． 16．（24-25高一下·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点. (1)求的值； (2)若角满足，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意结合三角函数值的定义分析求解即可； （2）分析可知，根据两角和差公式运算求解，注意讨论的符号性. 【详解】（1）因为角的终边过点，且， 则，， 所以. （2）因为， 又因为，则， 若，则； 若，则. 17．（24-25高一下·江苏南京·期末）设函数． (1)求的值； (2)求方程的最小的9个正实数解之和； (3)已知a，b均为正实数，若对都有恒成立，求的最大值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）运用辅助角公式结合两角和的余弦公式对进行化简，再代入求解； （2）根据已知条件，结合（1）构造方程求出，进而根据正弦函数的性质求解； （3）根据（1），运用换元法把恒成立条件转化为，，设，分类讨论的最小值，进而得出的最大值． 【详解】（1）， ． （2）已知，由（1）知， ，即，解得或， 此方程最小的9个正实数解之和为：． （3）已知恒成立，即恒成立， 设，则有，， 设， ①时，要满足题意则需，即， ，即； ②时，要满足题意则需，即， 设，则， ，即，整理得， 要满足题意则此不等式有解，即，解得， 当，时取等号， 综上所述，的最大值为2． 18．（24-25高一下·江苏南京·期末）在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交于点，将角的终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆O于点，若，则的值为______ 【答案】 【分析】根据任意三角函数值的定义可知，，根据同角三角函数关系结合两角和差公式运算求解. 【详解】由题意可知：， 因为，则， 若，则， 且，可知， 则， 所以． 19．（24-25高一下·江苏宿迁·调研）在中，已知，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】先判断角的范围，求得，再根据正弦定理确定的大小关系，从而判断角的范围求得，再用诱导公式结合两角和的余弦公式计算． 【详解】∵，∴为锐角， ， 由正弦定理，得， 所以，故为锐角， ∴， ． 20．（24-25高一下·江苏镇江·期末）（多选）已知 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据两角和与差的余弦公式、诱导公式、以及同角三角函数关系式逐项分析即可. 【详解】由， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 题型3 换元法求三角函数最值（共10小题） 21．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，角的角平分线交于点，则线段的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用三角形内角和与三角恒等变换，将已知条件 转化，求出,后通过面积法建立角平分线与边的关系，得到 ，再结合余弦定理和基本不等式求出的最大值为. 【详解】由 ,即 ， ,又 , , , 因为为角的角平分线, 所以, 而, 则，又， 则,所以 化简得： 即,，当且仅当时取等号. 故选：C 22．（24-25高一下·江苏·期末）在锐角中，分别是角的对边，且，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】利用正弦定理对进行处理得到，然后根据为锐角三角形得到，再根据诱导公式和换元法得到，最后利用基本不等式求最值即可. 【详解】对两边同乘得， 由正弦定理得， 因为，所以， 因为为锐角三角形，所以， 所以，解得， ， 令，则， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 23．（24-25高一下·江苏宿迁·联考）在中，角的对边分别为，已知，. (1)求角的值； (2)求的最大值； (3)若边上的中线长为，求的面积. 【答案】(1)(2)4(3) 【分析】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理，求得，即可求解； （2）根据正弦定理，得到，，化简得到，进而结合正弦函数的性质即可求解； （3）由（1）得到，再由为边上的中线，利用，得到，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理得，所以，所以. 又因为，所以. （2）因为，由正弦定理得， 可得，， 因为，所以， 则， 又，则， 当，即时，取得最大值为. （3）由题意知：， 由（1）知，即， 因为为边上的中线，所以， 两边平方得， 所以， 联立方程组，解得，所以， 所以的面积. 24．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知函数，其中. (1)若函数在区间内恰有2个极值点，求的取值范围； (2)当时，在中，角所对的边分别为，且，求边的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简得到，由在上恰有2个极值点，结合三角函数的性质，列出不等式，即可求解； （2）由，得到，求得，且，再由正弦定理，求得，结合和三角函数的性质，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：由， 因为，可得 又因为在上恰有2个极值点，则满足， 解得，所以的取值范围为. （2）解：当时，可得 由，可得，即， 因为，可得，所以， 解得，所以， 又由正弦定理，可得， 所以， 又因为，可得，所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以实数的取值范围为. 25．（25-26高三上·江苏苏州·开学考试）在中，角，，的对边为，，，且，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】先求出，故，利用正弦定理和三角恒等变换得到，由基本不等式可求解. 【详解】因为，故， 所以， 所以， 故 （*）， 当且仅当，即时，等号成立， 又，故，解得， 所以，所以（*）式可取等号， 所以的最小值为. 故选：A 26．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）在锐角三角形中，记分别为内角的对边，． (1)求的值； (2)求角的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理可得，结合三角恒等变换运算求解即可； （2）根据（1）中结论结合基本不等式可得，且，结合运算求解即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 又因为， 即， 且为锐角三角形，则，则， 可得，所以. （2）因为，且，则， 可得，解得， 当且仅当，即时，等号成立， 则， 因为，则， 可得，， 则， 即的最大值为，且， 所以角的最大值为. 27．（24-25高一下·江苏无锡·期末）在中，角的对边分别为，已知． (1)求A的值； (2)若为锐角三角形，求的取值范围； (3)若为锐角三角形，且的面积为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到，所以，进而得到，即可求得的大小； （2）由正弦定理化简得到，再由为锐角三角形，得到，求得的范围，进而得到的取值范围； （3）由余弦定理得和，得到，化简，根据，得到，进而求得的取值范围. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理，可得， 所以， 因为， 所以， 因为，可得，所以，所以， 又因为，所以. （2）解：由正弦定理，可得 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 则，可得，所以. （3）解：由余弦定理，可得，即， 又由 则， 由 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 可得，则，即， 所以，即的取值范围为. 28．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）在中，角的对边分别为，已知. (1)若，且边的中线长为，求的面积； (2)若是锐角三角形，求的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理得，求得，再由，联立方程组，求得，因为为边中线，得到，列出方程，求得，结合三角形的面积公式，即可求解； （2）由正弦定理，化简得到，再由是锐角三角形，求得，结合正切函数的性质，进而求得的取值范围. 【详解】（1）解：在中，因为， 由余弦定理可得，即， 整理得，所以， 因为，所以， 又因为， 联立方程组，解得，所以， 因为为边中线，则， 所以， 可得，解得或（舍去）， 所以的面积为. （2）解：由正弦定理，可得 . 因为是锐角三角形，则，可得，所以， 因为，所以，则， 所以，所以. 29．（24-25高一下·江苏·期末）在中，分别为角的对边，且. (1)求角的大小； (2)若，设角的大小为，的周长为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到，进而得到，求得，即可求得的大小； （2）根据题意，由正弦定理得到，结合三角恒等变换的公式，化简得到的周长，再由，利用三角函数的性质，即可求得周长的最大值. 【详解】（1）解：在中，因为， 由正弦定理可得， 即， 可得, 因为，所以，可得， 所以， 又因为，所以，所以， 因为，所以. （2）解：由题意知：，，且，则， 根据正弦定理得，可得， 所以的周长 ， 因为，所以当，即时，取得最大值， 此时，即周长的最大值为. 30．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知椭圆，左、右焦点分别为，离心率为，过作直线l交椭圆于A，B两点（A在x轴上方），满足，设点A关于x轴的对称点为，若的外接圆半径，则的最小值为_____________. 【答案】 【分析】利用椭圆的定义可先求解焦半径的长度，再结合余弦定理来求解边长和角度，最后用正弦定理求外接圆半径，从而可得范围. 【详解】    不妨设，则， 根据椭圆的定义可知：，， 根据余弦定理得：， ， 联立两式可得： 化简得： 再由离心率， 代入化简得：， 再化简得： 解得：，即 由， 所以可知点为椭圆的上、下顶点，且， 再由余弦定理： ， 又由余弦定理得：， 在三角形中，则有， 即三角形外接圆半径满足： 则有， 再由，则，解得：， 故答案为：. 题型4 二倍角+降幂扩角+辅助角综合 （共10小题） 31．（24-25高一下·江苏南通·期末）（多选）设中角，，所对的边长度分别为，，，满足，则以下选项中正确的有（    ） A．为锐角三角形 B．若确定，则的面积确定 C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A，令，分和讨论即可；对于B，由题意及和差化积角公式得出，，由平方关系求出，同理求出，若确定，则唯一确定，可判断；对于C，结合二倍角公式即可求；对于D，借助B的结论计算即可. 【详解】对于A，在中，因为， 令， 显然，若，则， 因为，所以，则， 所以，同理，，，与矛盾， 若，此时， 因为，所以，则， 所以，同理，，， 即，，为锐角，故为锐角三角形，A正确； 对于B，因为， 所以，①，② ①+②得， 所以， 因为， 所以， 因为，所以， 所以，③ ①-②得， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，④ 由③④可得， 解得，同理， 若确定，则唯一确定，则它的面积确定，B正确； 对于C，由B可知，， 所以，C错误； 对于D，由B可知，， 所以，D正确. 32．（24-25高一下·江苏·期末）（多选）在锐角中，角所对的边分别为，则（   ） A． B．的取值范围是 C．存在，其面积为1 D．边上的中线长的取值范围是 【答案】ACD 【分析】对于A，由结合正弦定理及两角和与差的正弦公式化简判断即可；对于B，结合及锐角可得，，再根据正弦定理及二倍角公式可得，进而求解判断即可；对于C，表示出，求出面积的取值范围即可判断；对于D，设的中点为，根据平面向量的数量积可得，结合，，可得，利用换元法求出其范围，进而求解判断即可. 【详解】对于A，由， 根据正弦定理，得， 则 ， 即， 则， 即 ， 在锐角中，，则， 则，即，故A正确； 对于B，由，则， 在锐角中，，即，则， 由正弦定理，得，故B错误； 对于C，由，，，，即， 根据正弦定理，得，则，即， 则 ， 因为函数在上单调递减， 且时，，时，， 所以，则， 则存在，其面积为1，故C正确； 对于D，设的中点为，则， 所以 ， 又， 而，则， 则， 令，则， 令，则， 因为函数在上单调递增，且时，，时，， 则，即，则， 所以， 即边上的中线长的取值范围是，故D正确. 33．（24-25高一下·江苏连云港·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 (1)若，， ①求； ②角的内角平分线交于，求线段的长； (2)求的取值范围. 【答案】(1)①；②(2) 【分析】（1）①由已知条件结合三角恒等变换化简得，得解；②由正弦定理求得，再由求得答案； （2）由结合内角和定理可得，，将所求式子由正弦定理边化角结合二倍角公式化简得，令，利用函数单调性求解. 【详解】（1）①， ，即得， 又，所以，所以， 所以或，即或， 因为，所以，即，故， 因为，所以. ②由①得. 在中，由正弦定理，得， 因为，所以， 所以， . （2），，， 、B、C为的内角，， 由正弦定理得 ， 令，原式， 因为在单调递增，所以. 34．（24-25高一下·江苏泰州·期中）已知函数. (1)若为锐角，，求的值； (2)在中，若，，是的中点，且，求的面积； (3)若对于任意，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由恒等变换公式化简函数解析式，即可得到，再由同角三角函数关系求出，利用计算即可. （2）由中线可得，从而可得，结合余弦定理与三角形的面积公式代入计算，即可得到结果. （3）将不等式化简，分离参数得到，结合二倍角公式及正切型函数值域求解即可. 【详解】（1）. 由，得. 因为为锐角，，则，所以. 所以. 故. （2）由（1）知，，所以， 又，所以，所以，解得. 又，则， 设，，则，即. 由余弦定理得，，即. 两式联立可得. 所以. （3），， 原不等式可化为对任意恒成立. 因为，所以， 则不等式可化为对任意恒成立，即即可. 令，则. 又，则，，所以. 所以. 所以的取值范围为. 35．（24-256高一下·江苏南京·期末）在中，角的对边分别为，若是的角平分线，点在上，，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】先利用半角公式求出，再根据等面积法进行求解 【详解】题中已知 由半角公式得 化简得 再化简得，即， 解得或，因为，所以， 是的角平分线，点在上，， ， ，，， ， 化简得，即， 将代入得：，那么， 由余弦定理： 得，即，所以. 36．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）记的内角，，的对边分别为，，，已知，则的最小值为_________. 【答案】 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式、诱导公式、正弦定理及基本不等式求解即可. 【详解】由得，即， 即有，所以有，即，即，所以（舍）或， 即，由三角形内角和可知， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 37．（24-25高一下·江苏·期末）（多选）已知，设，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由同角三角函数关系结合条件即可得，则有，经验证，故A正确，对于B，，两边同时乘以，结合二倍角公式即可证明，对于C，使用半角公式可得，其中，结合诱导公式可得，使用和差化积可得，即，进而可求得，故C正确，对于D，由C知，，且，则有，进而可解得，故D正确. 【详解】对于A，， ， 因为，即，即， 即，则有， 当时，，在内无解， 当时，，令，，故A正确； 对于B，， 两边同时乘以得 ， 即，故B错误； 对于C，， 代入，， 故 因为， 所以， 故，故C正确； 对于D，由C知，即， 即，且， 则有， 即，故D正确， 故选：ACD. 38．（24-25高一下·江苏南通·期末）若存在实数，使得对任意的，均有，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的周期，分析的最大值，根据的性质，可求得使取到最大值最小时的，从而求得实数a的最小值. 【详解】当时，的取值是以为周期的序列， 在一个周期内的取值组成的集合为. 根据的单调性、对称性及的周期性， 不妨令，，则的最大值在或中取得， 要使的最大值取得最小值，需使， 根据余弦函数的对称性，此时两角关于对称，即，解得， 又，解得， 所以， 故选：D. 39．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）已知函数的最小值为. (1)求的值； (2)求在上的单调递增区间； (3)若，求的值. 【答案】(1)1(2)(3) 【分析】（1）根据正弦函数的最值，即可求解； （2）利用正弦函数的单调递增区间，结合给定区间求解； （3）由求出 ，结合的范围，利用三角恒等变换，求解即可． 【详解】（1）因为函数的最小值为， 所以，解得. （2）由（1）知：， 因为，可得， 令和，解得和， 所以函数在上的单调递增区间为. （3）由（1）知，， 因为，可得，所以， 又因为，可得， 因为，可得，所以， 则 . 40．（24-25高一下·江苏·期末）（多选）已知的内角的对边分别为，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】通过已知条件，结合二倍角公式和三角形内角和的性质，及不等式性质，推导出角之间的关系，进而判断选项的正确性. 【详解】因为，所以， 整理得，即 又因为，所以， 即， 整理得：， 因为，所以. 选项A： ，与推导结果一致.  正确. 选项B：由，得， 因为， 因此，即.  正确. 选项C： 由，可知均为锐角； 又因为， 又因为， 即，所以.  C正确. 选项D：因为，（因）， 得且，但无法确定和的大小，故无法推出.  错误. 故选：ABC. 题型5 边长与周长最值问题（共10小题） 41．（24-25高一下·江苏·期末）钝角的内角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为（    ） A．（0，1） B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用正弦定理将条件 转化为角的关系，结合钝角三角形的限制，推出 的取值范围，再将目标式 转化为关于 的函数，最后结合函数单调性求出取值范围即可. 【详解】因为，由正弦定理得，， 即，中，故， 由及为钝角三角形可得，， 由正弦定理得， ， 由各内角大于0，即，可得，故， 对勾函数在上单调递减，且， 所以，的取值范围为. 42．（24-25高一下·江苏·期末）在中，内角,,所对的边分别为,，，若，则的最大值等于__________. 【答案】 【分析】利用正弦定理，化简已知条件，得到；再根据正弦定理和余弦定理，将目标式化为关于的三角函数，进而求三角函数的最大值即可. 【详解】因为，由正弦定理可得：， 又，，则 因为 ， 当且仅当时，取得最大值，最大值为，也即的最大值为. 43．（24-25高一下·江苏·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，的中点为． (1)求； (2)若，求内切圆面积的最大值； (3)若为锐角三角形，，求线段的取值范围． 【答案】(1)或(2)(3) 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式，对已知条件进行化简，再根据角的范围，判断方程可能得解，求出结果； （2）根据余弦定理解三角形，判断的具体结果，再根据余弦定理和基本不等式求出三角形周长的范围，进而根据内切圆半径的性质求出半径的范围，进而求出面积的最大值； （3）根据三角形形状，判断角的范围，再根据正弦定理和三角形中线的向量性质，进而根据向量的数量积运算率，表示出模长的表达式，进而求出线段长度的范围. 【详解】（1）由题意可知，化简得， 可得，因为，所以， 可得或，解得或. （2）由题意可得，化简得， 所以，所以由（1）可知，可得， 可知，化简得，即，可得. 由基本不等式可知，即，当且仅当时取等号， 所以，由，解得. 设内切圆半径为，则， 可得，因为， 所以， 因为，所以， 当时，内切圆半径为取得最大值，此时内切圆面积的最大值为. （3）可知，所以， 因为为锐角三角形，所以， 所以， 可知，可得，所以， 因为，所以， 则， 化简得， 因为，由，可得，解得， 所以，可得，所以，即 所以线段的取值范围为. 44．（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，已知a，b，c分别三个内角A，B，C的对边，且，点D为边AB上一点． (1)求角C； (2)已知D是边AB上一点，． ①若，求的最小值； ②若存在，使得，且，求的周长． 【答案】(1)(2)①；② 【分析】（1）利用正弦定理边化角，代入已知等式化简得到，从而得到角C； （2）①为中点，将表示为 ，对其平方后结合余弦定理、基本不等式即可求 的最小值； ②先根据向量性质判断为边上的高，结合①和面积公式求出，即可得到三角形周长. 【详解】（1）由正弦定理得， 即有，又三角形内角和为，所以， 即有，因为，所以，即. （2）①由余弦定理得， 又基本不等式得，故有，当且仅当时取等， 由得， 即， 所以的最小值是2； ②由已知得， 即，即， 即，即，又，所以可知三角形边AB上的高为2， 由等面积法得，即，即， 由①知，所以有，即， 所以，因此三角形的周长为． 45．（24-25高一下·江苏盐城·期末）（多选）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.下列说法正确的有（    ） A． B．的取值范围为 C．取值范围为 D．若的平分线交于，，，则 【答案】ABD 【详解】选项A：由正弦定理 ，得 ， 代入得： ， 所以， 所以， 由，得 ，故 ， 于是 ，在三角形中，解得 ，即 ，故选项A正确； 选项C：因为△ABC为锐角三角形，所以 ， 解得：，故 ，故选项C错误； 选项B： ， 因为，令 ，则 ， 函数 在该区间单调递增， ，， 所以，故选项B正确； 选项D：因为，且为锐角，得： 由 ，得：， 所以， 因为 AD是的平分线， 由面积关系，得： 所以， 因为，代入得：， 两边同除以：， 由三角恒等式，得： 又因为 ，所以 ，故选项D正确. 46．（24-25·江苏泰州·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且与共线． (1)求C； (2)若，求周长的取值范围； (3)若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由向量共线的坐标运算可得，再根据正弦定理化简即可得出答案； （2）应用余弦定理、基本不等式得，进而有，结合三角形三边关系求范围； （3）设，，应用正弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换得，再应用正弦函数的性质求范围. 【详解】（1）在中，， ∵与共线，∴， 由正弦定理可得 ∴， ∴， ∵，∴，又，所以； （2）由（1）知，又，由余弦定理， 得， 即，因为，当且仅当时等号成立， 所以，即，则， 由三角形三边关系知，所以，即， 所以周长的取值范围为； （3）因为角A与角B的角平分线交于点D，，， 所以，设，， 在中，由正弦定理， 所以，即，， 所以 ， 因为，为锐角三角形， 所以，即， 所以，即， 则， 所以面积的取值范围为. 47．（24-25高一下·江苏泰州·期末）的内角的对边分别为，且. (1)已知. ①若是的角平分线，，求的长； ②若，求面积的最大值. (2)若是边的三等分点（靠近点），，求实数的取值范围. 【答案】(1)① ；② ； (2) 【分析】首先利用正弦定理将题干中的边角关系转化为边的关系式，结合余弦定理求出. （1）①结合角平分线定理、正弦定理以及已知条件求解的长度. ②根据向量关系转化为线段比例，利用向量模长公式结合基本不等式求面积的最大值. （2）根据三等分点的向量关系，结合向量模长公式，通过换元法求解实数的取值范 【详解】（1）， 由正弦定理，可得， 代入得，展开得，整理得. 由余弦定理， ， ① 已知是的角平分线，由角平分线定理得. ，且，，则， 故为等边三角形. 已知，为等边的角平分线、中线和高，故， 代入得，即. 为中点，. ② 当时，，在线段上，且，即. ，， 对等式两边同时平方，得：， 展开得：. 设，，已知，， ，由数量积定义得， 代入得：， 整理得：. 由基本不等式得：，当且仅当时等号成立， ，即， 当时，代入验证得，，等号成立. 的面积， 面积的最大值为. （2）设，，∵ 是边靠近点的三等分点，∴ ， ∴ . ∵ ， ∴ . ∵ ，，且， ∴ ，即. 由余弦定理，∵ ， ∴ ，故. ∵ ，∴ . 令，即，代入得. 设，则. 令，则，代入得. ∵ ，由基本不等式，当且仅当即时取等号， ∴ . 当时，；当时，， ∴ ，故. ∵ ， ∴ ，即. 48．（24-25高一下·江苏无锡·期末）如图，在中，，，在平面内以线段为斜边作等腰直角（点和点在线段两侧）．记，． (1)证明：； (2)当角在变化时， （ⅰ）求边上高的取值范围； （ⅱ）若，，三点不共线，求正切值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）先由余弦定理求出，再由余弦定理和正弦定理分别得到和，最后相除得到． （2）以为原点，射线为轴正方向建立平面直角坐标系，用表示点的坐标；再利用“以为斜边的等腰直角三角形”的性质，通过中点和垂直旋转求出点的坐标．（ⅰ）边上的高就是点到轴的距离，转化为求的取值范围；（ⅱ）三角形面积公式求，再用向量数量积求，从而得到，最后求一次分式函数的值域． 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 所以． 又因为，由余弦定理得． 由正弦定理得，所以． 因为，所以，从而． （2）以点为原点，射线为轴正方向建立平面直角坐标系，则，． 因为，且，所以点在点的左上方， 故．令，，则． 设为的中点，则． 因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以，且． 又，把逆时针旋转得到向量． 由于点和点在线段两侧，应取，所以． （ⅰ）设边上的高为．由于在轴上， 所以等于点的纵坐标，即． 当时，．因为， 所以．因此． （ⅱ）设．由点的坐标得，． 因为，边上的高为，所以． 又，所以． 另一方面，由向量数量积的坐标运算得， 即． 当时，，此时正切值不存在，故求正切值范围时应排除这一情形． 当时，． 令，则，且． 设，则，所以函数在区间和上均单调递减． 当时，；当时，． 综上，的取值范围为． 49．（2026·陕西榆林·三模）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则周长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出角的范围，利用二倍角的正弦公式和正弦定理得，再利用正弦定理和三角恒等变换得，最后得到周长表达式，再利用二次函数的性质即可得到周长的取值范围. 【详解】因为是锐角三角形，所以， 又，所以，所以，由，得， 所以，所以，解得，所以. 由，，，得， ， 所以的周长为． 令，则， 则， 函数在上单调递增， 当时，；当时，， 所以， 所以周长的取值范围为． 50．（24-25高一下·江苏无锡·期末）有一块半径为1 cm的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上，则该等腰梯形的周长最大时，上底所对圆弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则.将等腰梯形的周长表示为的函数，求得其最大值，及取最大值时的，从而求得上底所对应的圆心角，利用弧长公式可得. 【详解】如图所示，设，则. 过点作垂直于点，则，. 所以， . 所以该等腰梯形的周长为. 当，即，时，周长取得最大值，最大值为. 此时，. 上底所对的圆弧长为. 故选：B. 题型6 面积最值与取值范围问题（共10小题） 51．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，满足． (1)求， (2)若，且的面积为，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，利用正弦定理转化为求解； （2）由三角形的面积可得，由余弦定理，可得，从而可得答案； （3）根据面积公式、正弦定理转化为三角函数，再由三角恒等变换化简，利用正弦型三角函数的性质求解. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 其中，故．∴，即， 因为，所以. （2）因为，所以， 由余弦定理可得 即，所以， 所以的周长为. （3）因为是锐角三角形，， 所以，解得， 由正弦定理，，则， 所以， ， 由得，所以， 所以， 即面积的取值范围为. 52．（24-25高一下·江苏扬州·期末）在中，角的对边分别为，且 (1)求； (2)若，点在外，，求四边形面积的最大值； (3)若为钝角，的角平分线交于点，求面积的最小值. 【答案】(1)或(2)(3) 【详解】（1）解：因为， 所以 因为， 所以， 因为， 所以，所以或， （2）解：因为，所以，， 所以为等边三角形， 如图，设， 在中， 所以 因为，， 所以，当时，取得最大值.    （3）解：由为钝角得，因为的角平分线交于点， 所以 因为，即， 所以，整理得， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，解得，当且仅当时等号成立， 所以    53．（24-25高一下·江苏·期末）如图，在半径为、圆心角为的扇形的半径上任取一点，过且平行于半径的直线与弧交于点． (1)若为的中点，证明：不是弧的中点； (2)求周长的最大值； (3)作，垂足为，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)证明过程见解析.(2)(3) 【分析】（1）根据正弦定理进行判断；（2）利用平行线性质和正弦定理并设，用三角函数表示各边，得到周长关于的函数；（3）利用三角函数表示出各相关线段长度，进而得到四边形面积关于变量的函数，再利用函数求最值的方法求解最大值. 【详解】（1）证明：已知扇形半径，，，故. 设，则，在中由正弦定理， 代入得. 若为中点，则，得. 若是弧中点，则，此时，矛盾. 因此不是弧的中点. （2）由正弦定理得，周长， 代入得， 化简，， 故，的最大值为（当时取到）. 因此周长最大值为. （3）设，，，故，，.四边形为直角梯形， 由梯形面积公式得， 化简得， 利用三角恒等变换， 由辅助角公式得的最大值为， 因此面积最大值为. 54．（24-25高一下·江苏南通·期末）在四边形中，，，. (1)若四边形是圆的内接四边形，求 ①； ②； (2)求四边形的面积的最大值. 【答案】(1)①；②(2). 【分析】（1）由圆内接四边形的性质及余弦定理可得；以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，用数量积的坐标表示求得；或用数量积的定义结合余弦定理求得； （2）用三角形的面积公式，结合余弦定理，可获得四边形的面积与的关系，由的取值，可得四边形的面积的最大值. 【详解】（1）连接，在圆中， ，所以. 在中，由余弦定理， 得. 在中，由余弦定理， 得. 所以，所以. 方法一： 以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 设，，， 则，， 解得(舍)或． 因为，， 所以． 方法二： 在中，由余弦定理， 得.           在中，由余弦定理， 得.             所以，所以. 所以. 延长交于点，则. 所以. 所以． （2）四边形的面积为 ． 所以. 由（1）得， 所以. 所以 . 因为，当且仅当时等号成立， 所以，所以.     所以四边形的面积的最大值是. 55．（24-25高一下·江苏宿迁·月考）已知为锐角的外心，角的对边分别为，且，，则面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的运算法则和数量积的几何意义可得，结合余弦定理计算求得的取值范围，最后由三角形的面积公式可求得结果. 【详解】如图，分别作的中点，连接，由题， 因为，所以， 即，则， 因为，所以，即； 因为为锐角三角形，即，所以； 所以，即，解得，所以； ，即，解得， 所以，所以，所以， 所以面积， 又，所以； 所以由得. 故选：A. 56．（24-25高一下·江苏·期末）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3). 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理结合两角和与差的正弦公式化简得出，结合正弦函数的单调性可证得结论成立； （2）由正弦定理及三角恒等变换化简得出，根据已知条件求出角的取值范围，结合余弦函数的基本性质和对勾函数的单调性可得出的取值范围； （3）利用正弦定理、三角形的面积公式结合三角恒等变换化简得出，结合正切函数和反比例函数的基本性质可求得面积的取值范围. 【详解】（1）由及正弦定理可得，即， 因为，则，所以，即， 由余弦定理可得，所以， 所以，由正弦定理可得 ， 因为为锐角三角形，故，，所以， 又函数在上单调递增，且，故，即. （2） ， 因为为锐角三角形，故，解得， 又因为，可得，故角的取值范围是， 所以，故， 令，， 任取、且， 则 ， 因为，所以，则，所以， 所以函数在上为增函数，故， 故的取值范围是. （3）由正弦定理可得，所以，， 所以 ， 因为，所以， 令，函数、在上均为减函数， 故函数在上为减函数，所以，即， 因此，即面积的取值范围是. 57．（24-25高一下·江苏常州·期末）在中内角的对边分别为，满足，， (1)求． (2)若，点是边上的两个动点，当时，求面积的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据正弦定理与同角的关系求得，利用余弦定理和正弦定理计算即可求解； （2）设，根据正弦定理可得、，进而的面积，结合正弦函数的性质即可求解； 【详解】（1）由题设及正弦边角关系得， 因为，所以， 因为，所以， 由，即，所以， 由正弦边角关系得，则， 所以，， 所以，则或（舍去）， 所以； （2）设， 在中，由正弦定理得， 所以. 在中，由正弦定理， 所以. 的面积 ，， 所以，则， 所以面积的取值范围为. 58．（24-25高一下·江苏常州·期末）（多选）记的内角的对边分别为．已知是的最小内角，且为整数，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．当，且也是整数时， D．面积的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于A，根据条件易得，即可判断；对于B，利用正弦定理计算即得；对于C，根据也是整数，且，可分和两种情况，利用差角的正切公式计算判断；对于D，由正弦定理推得，结合，利用正切函数的单调性即可求得面积的范围判断. 【详解】对于A，因是的最小内角，则，又因为整数，故，可得，故A正确； 对于B，由，，可得， 由正弦定理，，可得，解得，故B正确； 对于C，由，可得，因，且也是整数， 若，因，则，则， 此时，符合题意； 若，则，同理，此时，，不合题意， 随着取更大的整数，的值逐渐减小，不合题意， 故当，且也是整数时，，故C错误； 对于D，由正弦定理，和，可得， 因是的最小内角，则，，则. 当时，，的面积为， 当时，， 因，则，，故， 综上，面积的取值范围是，故D正确. 故选：ABD. 59．（24-25高一下·江苏扬州·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且，. (1)求角和； (2)已知，设、为线段上的两个动点（靠近点），且. ①若，求的周长； ②当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？ 【答案】(1)， (2)①；②当，的面积取最小值 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可求出，由余弦定理及已知条件得到，再由正弦定理将边化角，即可求出； （2）①利用余弦定理可求出的长，推导出，可求出、的长，即可得出的周长； ②设，由正弦定理得出，利用三角形的面积公式结合三角恒等变换、三角函数的基本性质可求出面积的最小值及其对应的值. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 又，所以，则，又，所以； 因为，由余弦定理可得, 即，由正弦定理可得， 所以， 则， 所以， 即，即，即， 又，所以，所以，则； （2）①由（1）可知， 因为，由正弦定理，所以，， 在中，由余弦定理可得 ，则， 因为，所以， ∵，∴， ∴，∴的周长为. ②设， 在中，， 由正弦定理，得， 又在中，由正弦定理可得，得， 所以 ， 所以当且仅当，即时，的面积取最小值为. 60．（24-25高一下·江苏苏州·期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理将角化边得到，再由余弦定理得到，从而表示出，最后由面积公式及二次函数的性质计算可得. 【详解】因为， 由余弦定理可得， 所以，所以， 又，所以， 又， 所以， 所以 ， 所以当，即时，取得最大值，且. 故选：D 1．记的内角，，的对边分别为，，，若，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理角化边得到，再由三角形面积公式、基本不等式即可求解. 【详解】根据正弦定理 （为外接圆半径）， 得 ​， 代入已知等式： ， 整理得： ，即 ， 又 的面积公式为 ， 将代入得： ，​ 因此： ，​​当且仅当时，取等号， 即面积的最大值为. 2．在等腰梯形ABCD中，AB与CD平行，，，沿对角线AC将折起得到三棱锥，若异面直线与BC所成角的余弦值为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分析等腰梯形，得，，.建立空间直角坐标系，求出的坐标，根据外接球的定义求得三棱锥外接球的半径，从而求得其表面积. 【详解】如图1所示，等腰梯形中，， ∴. ， . . 如图2，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，以过点垂直于平面的直线为轴，且所在一侧为正方向，建立空间直角坐标系. 则， 设，则. ∴， 化简得. 又， ∴， 解得，即. 设三棱锥外接球的球心为，半径为. 当时， ， 解得. 三棱锥外接球的表面积为. 当时， ， 解得. 三棱锥外接球的表面积为. 综上所述，三棱锥外接球的表面积为或. 3．在中，内角的对应边分别为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．若，则有两解 B．面积的最大值为 C．的平分线长度的取值范围是 D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】利用正、余弦定理与三角恒等变换，结合基本不等式与函数的单调性，以及三角形的面积公式计算逐一判断即可. 【详解】对于A，因角为锐角，且，故角为锐角，即有唯一解，故A错误； 对于B，由余弦定理，，即， 因，即，当且仅当时取等， 此时面积，故B正确； 对于C，设的平分线，由面积相等可得， 化简得，由可得，因，解得， 设，则， 因函数在上单调递增，故，则，故C正确； 对于D，由正弦定理，，则， 于是 ，其中为锐角，且满足， 故当时，的最大值为，故D正确. 4．在中，D是线段上一点，且，，则的最大值为_________． 【答案】 【分析】设角并利用正弦定理转化，将的最值问题转化为三角函数的最值问题，借助辅助角公式求得最大值即可. 【详解】如图，设，则，所以， 由正弦定理可得，在中：； 在中，可得，即， 因为， 所以代入得， 得到， 令，则，设， 则，得到， 可得，解得，即， 得到，因为为锐角，所以，即. 5．在三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c (1)在斜三角形 （i）若，，求的值． （ii）若，求的值． (2)若，求c的取值范围. 【答案】(1)(i); （ii）; (2) ; 【分析】（1）(i)先利用两式相除、相减，结合三角形内角和与正切恒等式，化简求出，再运用斜三角形中的恒等式，最后代入恒等式得结果即可； (ii) 先用正弦定理将正弦关系式转化为边的关系，再代入余弦定理，整理出含的式子；接着通过换元法，将式子转化为均值不等式的形式，利用均值不等式“左边大于等于”和三角函数最值“右边小于等于”的特点，判断等号必须成立，从而确定角的值，最终求出即可； （2）先对已知等式用平方差公式展开化简，结合 的取值范围，推出；再根据 ，确定的两种可能取值；最后分情况利用正弦定理，将表示为关于角的函数，结合角的取值范围，分析得出的取值范围. 【详解】（1）(i) 因为 ， ， 则两式相除，得，即， 两式相减，得 ， 即 ， 整理 ，故 ， 在斜三角形中，由可得恒等式， 将代入 ， 因此. (ii)由正弦定理，得， 代入原式得， 化简得， 又因为三角形面积公式 ，且 ， 所以， 因为，代入， 整理 ， 两边同除以，得， 令 ，则， 由均值不等式得，当且仅当时取等号； 又因为，故等号必须同时成立， 即时， 因为 ，得，所以， 因此 . （2）因为 ， 所以 ， 整理得 ，即 ， 由 ，得 ， 由 ，得 ，故， 此时 ，即 ， 因，故或，即或， 当时，，由正弦定理， 所以， 当 时 ， 当时， 若 时，，此时， 若时，，此时 因此； 当 时，，同理， 其中 ，，故 ， 综上，的取值范围为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 压轴02期末真题·三角恒等变换·解三角形·百练通关 真题实战·百练通关 题型1“非特殊角正余切的求算 题型4三倍角+降幂封扩角+辅助角综合 题型2给值求值（多角嵌套+角的配凑） 题型5边长与周长最值问题 题型3换元法求三角函数最值 题型6面积最值与取值范围问题 题型1非特殊角正余切的求算（共10小题） 1.(24-25高一下江苏宿迁月考)（多选)下列式子运算正确的有() A.sinl5°+cos15=y6 B.cos75°=V6+√2 C.2√5tanl5+tan215°=1 D.tan22°+tan23°+tan22°tan23°=l 2.(24-25高一下·江苏宿迁期末)ABC中，∠BAC=60°，∠BCA=45°，AB=2,∠BAC的角平分线交 BC于D,则BABD= 3.(24-25高一下·江苏期末)在四边形ABCD中，∠A=45°，∠B=75°，AD=2BC=6,M,N分别为AB, CD的中点，则MN=() A.6-2 B.3V万 c.6+2 D.33 2 4.(24-25高一下-江苏盐城期末)(1)求os7°-sin15°sin8 的值； cos8o (2)已知a,B均为锐角，且cosa=25 ,cosB=v1 10 L,求a-B的值 5.(24-25高一下·江苏期末)直线1：V3x-3y+2=0与x轴交于点A,把1绕点A顺时针旋转45°得直线 m,的倾斜角为a,则cosa=() A.6+V2 B.2-V6 C.-6+2 D.6-2 4 4 4 4 6.(2025江苏模拟预测)设ABC的内角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,且bcosC+V3 bsin C=a+c. (1)求角B的值. (2)a=4,sinA=V2cosB,求ABC的面积. 1/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 7.(24-25高一下·江苏期末)三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个 示意图，现有A、B、C三点，且A、B、C在同一水平面上的投影A、B、C,满足∠A'CB'=45°， ∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB'与CC'的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则 A、C两点到水平面的高度差约为 (精确到1) B B 8.(24-25高一下·江苏期末)鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰 顶镶嵌着一汪小湖某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计 了测量方案如图，在山脚A测得山顶P得仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B点(A ,B,P,Q在同一个平面内)，在B处测得山顶P得仰角为60°，则鼎湖峰的山高P9为米 B C 9. (24-25高一下·江苏南京·期末)如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一平 面内的两个观测点C与D,现测得∠CDB=37°，∠BCD=68°，CD=40米，在点C处测得塔顶A的仰角 为64°，则该铁塔的高度约为()（参考数据：√2≈1.4，√6≈2.4，tan64°≈2.0，c0s37°≈0.8） A.40米 B.42米 C.51米 D.60米 2/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 10,(2425高-下江苏宿迁调新)知图，在48C中，∠D4C-君，4C=25.CD=2D为边8C上的 一点，且AD⊥AB,则AB= B D 题型2给值求值（多角嵌套+角的配凑）（共10小题） 3 11. (2425高-下江苏扬州期未)已知sna-号a0引，则sma+)(） A.-② B.② D.7V2 C.-72 5 10 12. 2425高一下江苏南京期末)(1)包知sima-cosp=,cosa+sin6 3,求si血(a-B)的值， (2)已知角a,Be0引 且cosa=5 分，sinB-g）=7,求cos2a和sin(a+B)的值， 13.(2026江苏扬州模拟预测)设，B是方程3sinx+4cosx=2的两个不同的解，且o-阝≠kπ (keZ),则tan(a+B）= 14.(24-25高一下·江苏准安·期末)已知cos(-B)=三 cosacosB=2 ，则c0s2a+2B)=（) A器 B器 C.25 7 D.25 7 15,(2425高-下江苏南通期末)已知a-B-子ama-tamg=3,则eosa+的馆为 16.(24-25高一下·江苏盐城期末)在平面直角坐标系x0y中，已知角a的顶点与坐标原点重合，始边与 x轴的非负半轴重合，它的终边过点P 34】 55 求oa+》 的值； (2②若角B满足sn(a+B)= 13 ,求cosB的值 17.2425商-下江苏肩京期末)授函数=o0s3sm+引+os3x+资}mx. 求f得)的值： (2)求方程f(x=sinx的最小的9个正实数解之和； (3)已知a,b均为正实数，若对HxeR都有af(x)≥bcosx--1恒成立，求a+b的最大值. 8.2425高-江南京期形末在平面直角坐标系x0y中，角c0<a< 的顶点为坐标原点，始边 3/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 为x轴的正半轴，终边与单位圆O交于点A(x,y),将角的终边绕原点按逆时针方向旋转 子、交单位 因0于点8(，若无子，则4的值为 4 5 19,(2425高-下江苏宿迁调研)在4BC中，已知sinA=行，cosB= 3,则cosC=() A.33 33 B.65 63 C. D.3或63 65 65 ”6565 20.(24-25高一下.江苏镇江·期末)（多选）已知cosacosB= 子→ A.cos(a+)= B sin π 9 2+a sin _V6 9 C.cos(a-B)6 3 D.tangtanβ=2 题型3换元法求三角函数最值（共10小题） 21.(2026江苏镇江模拟预测)已知ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,C,若c=1, sinB=bcos 4+B ,角C的角平分线交AB于点D,则线段CD的最大值为() 2 A.3 B.3 C.3 24 12 6 D.3 3 22.(24-25高一下江苏·期末)在锐角ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且 V2sinC_cosB+cosA,则tanA+tanB的最小值是 ab bc ac 23.(24-25高一下江苏宿迁联考)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=2, (b+c)(sin C-sin B)=a(sin A-sin B). (1)求角C的值； (2)求a+b的最大值； (3)若AB边上的中线CD长为V5,求ABC的面积 24.(2025江苏镇江模拟预测)已知函数f(x)=2√3 sin@xcos@x-2cos2ox+2,其中o>0」 (1)若函数∫x在区间(0,1)内恰有2个极值点，求⊙的取值范围； (2)当o=1时，在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且f(A)=3,b+c=2,求边a的取值范围 25.(25-26高三上江苏苏州开学考试)在ABC中，角A,B,C的对边为a,b,C,且 C0sA二sinB,则b之的最小值为C) A.4V2-5B.42-4 C.3 D.42-3 4/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 26.(25-26高三上江苏南通开学考试)在锐角三角形ABC中，记a,b,c分别为内角A,B,C的对边， asina=3 . 2 (1)求 1+ 1的值： tanA tanB (2)求角C的最大值. 27.(24-25高一下·江苏无锡期末)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 b(tanA+tanB)=2ctanB. (1)求A的值： (②若ABC为锐角三角形，求2的取值范围： ③)若4BC为锐角三角形，且ABC的面积为S,求++C的取值范围. S 28.(24-25高一下江苏宿迁期末)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2c-b=2 acosB (a)若-a+c2-3C=0,且边BC的中线D长为 ,求ABC的面积； 2 (2)若ABC是锐角三角形，求a+b的范围 29.(24-25高一下·江苏期末)在ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且(2a-c)cosB=bcosC. (1)求角B的大小； (2)若b=√5，设角A的大小为x,ABC的周长为y,求y=f(x的最大值 0。（2025江苏水州模拟预》已知厨号+常-a>6>0,左、右焦点分别为5，R,离心幸为 2 过F作直线1交椭圆于A,B两点(A在x轴上方)，满足AF,=3F,B,设点A关于x轴的对称点为A, 若△4'BF的外接图半径R≥5N5,则b的最小值为 4 题型4二倍角+隆幂扩角+铺助角综合（共10小题） 31.(24-25高一下江苏南通期末)（多选）设ABC中角A,B,C所对的边长度分别为a,b,C, 满足sin2A:sin2B:sin2C=4:5:6,则以下选项中正确的有() A.ABC为锐角三角形 B.若Q确定，则ABC的面积确定 C.cos24=3 4 D.sinA:sinB:sinC=2v√7：5：3√2 5/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 32.(24-25高一下江苏期末)（多选）在锐角ABC中，角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,c=2,c-b=2bcosA,( A.A=2B B.9的取值范围是(V2,2 C.存在ABC,其面积为1 D.边AB上的中线长的取值范围是(1，V⑤) 33.(24-25高一下.江苏连云港期末)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 cosA sin2B 1-sinA 1-cos2B (1)若C=7π 12’AB=4, ①求B; ②角A的内角平分线交BC于D,求线段AD的长； (②求20-6的取值范围 C2 2425高一下江苏泰州：期中)已知函数f(x)=5 sin c0sx-cos士 (1)若为锐角， f侣)片，求osa的值： (2)在ABC中，若∫B)=1,AC=25,D是AC的中点，且BD=3,求ABC的面积： (3)若对于任意x [臣剖，行}佳引恒成立，求的以植范里 35.(24-256高一下·江苏南京期末)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若 4sin24 3cosA ,AD是∠A的角平分线，点D在BC上，AD=V5,b=3C,则a=() 2 1+cosA A.47 7 B.3 c D.4 3 36.(24-25高一下·江苏宿迁期末)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知 cosA sin2B 则口+2办的最小值为 1+sin 4 1+cos2B C2 B7,(24-25高-下江苏期末)（多逃）已知90,4， a=cos0,b=2a2-1,c=1-tan220 ,若 1+tan220 2c2=a+1,则() A.0=2π 1 B.abc= 9 8 c.d2+b+c2 3 2 D.ab+bc+ac=-- 4 38.(24-25高一下江苏南通期末)若存在实数9，使得对任意的n∈Z,均有cos 4n+pa,则实数 6/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a的最小值是() A.1 B.② c.6+2 D.V2+ 2 4 39.(2425高一下江苏宿迁期未)已知函数/到-2如2x-》+m的最小值为-1 (1)求m的值； (2)求∫(x)在[0，π上的单调递增区间： 同停}号x[引，求m2+别的值 40.(24-25高一下江苏期末)（多选）已知ABC的内角4，B,C的对边分别为a,b,c,且 -cosBcosC+,则下列说法正确的是( 22 A.tan B tan C=2 B.tan B tan C-tan A =0 cA骨 D.a>b>c 题型5边长与周长最值问题（共10小题） 41.(24-25高一下江苏期末)钝角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足a=btanA, 则+C的取值范围为() A.(0,1) B.(1,+o C.[42-5,+∞）D.[2W2-5,+∞ 42.(24-25高一下江苏期末)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=3 bsin C,则 b+S的最大值等于 43.(24-25高一下江苏期中)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,已知 3sinB-sinBcos= ,AC的中点为M. 2 (1)求B; (2)若acosC+ccosA=4V3cosB,求ABC内切圆面积的最大值： (3)若ABC为锐角三角形，b=2,求线段BM的取值范围. 44.(24-25高一下江苏南京·期末)在ABC中，已知a,b,c分别三个内角A,B,C的对边，且 2 a cosC+bcosC+ccosB=0,点D为边AB上一点. (1)求角C; (2)已知D是边AB上一点，c=45· 7/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①若AD=AB,求CD的最小值： CA CB ②若存在1eR,使得CD=入 且CD=2,求ABC的周长. CAcos 4 CBcos B 45.(24-25高一下·江苏盐城期末)（多选）在锐角ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 满足a(cosB-cosC)=(b+c)cosA.下列说法正确的有() A.A=2B B. 2C的取值范围为 2, 5 3 .c0sB取值范围为0,2 D.若∠BAC的平分线交BC于D,AD=1,cosB=,则+-8 "b c 5 46.(24-25江苏泰州期末)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且n=(2b-a,cosA与 m=(c,cosC)共线. (1)求C; (2)若c=4,求ABC周长的取值范围； (3)若c=2√3，且ABC为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D,求△ABD面积的取值范围. 47.(24-25高一下江苏泰州期末)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 (a-c)(sinA+sinc)=(a-b)sinB (1I)已知BD=1DC(2∈R),AD=√5 ①若4D是∠BAC的角平分线，$inB=5,求CD的长： 2 ②若2=2，求ABC面积的最大值 (2)若E是边AB的三等分点（靠近点A),AE=1CE,求实数t的取值范围 48.(24-25高一下江苏无锡期末)如图，在ABC中，AB=2,BC=1,在平面ABC内以线段AC为斜 边作等腰直角△ACD(点B和点D在线段AC两侧)·记LABC=a,∠BAC=B. 8/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D (1)证明：AC·cosB=2-cosa; (2)当角在(0，π变化时， (i)求△ABD边AB上高的取值范围 (ⅱ)若B,C,D三点不共线，求∠ADB正切值的取值范围， 49.(2026陕西榆林.三模)在锐角ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=1,A=2C, 则ABC周长的取值范围为() A.1+V2,2+V2) B.（1+V5,3+V5 C.(2+V2,3+V3 D.1+V2,3+5 50.（24-25高一下·江苏无锡期末)有一块半径为1cm的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形形状，它的 下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上，则该等腰梯形的周长最大时，上底所对圆弧长为() .cm C.V2 D.V3 3 -cm -cm 3 题型6面积最值与取值范围问题（共10小题） 51.(2425高一下·江苏南京·期末)已知a,b,C分别为ABC三个内角A,B,C的对边，满足 asinB =3bcosA. (1)求A, (2)若a=2,且ABC的面积为√3，求ABC的周长； (3)若ABC是锐角三角形，且a=2,求ABC面积S的取值范围. 52.（24-25高一下江苏扬州期末)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 3(b cos C+c cos B)=2asin A (1)求A; (2)若c=2 bcosA,点D在ABC外，DA=DC=1,求四边形ABCD面积的最大值； (3)若A为钝角，A的角平分线交BC于点M,AM=2,求ABC面积的最小值 53。(24-25高一下江苏期末)如图，在半径为6、圆心角为5的扇形的半径0A上任取一点P,过P且 平行于半径OB的直线与弧AB交于点Q. 9/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0 0 H B (1)若P为OA的中点，证明：Q不是弧AB的中点： (2)求△OPQ周长的最大值； (3)作QH⊥OB,垂足为H,求四边形OPQH面积的最大值 54.(24-25高一下·江苏南通期末)在四边形ABCD中，AB=2,BC=6,CD=DA=4. (I)若四边形ABCD是圆O的内接四边形，求 ①cosA; ②BC.AD; (2)求四边形ABCD的面积的最大值 55.(24-25高一下.江苏宿迁·月考)已知0为锐角ABC的外心，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 CO.AB=BO.CA,a=1,则ABC面积的取值范围为() 5√3 (√23 4’4 B. 64 6’2 D 4’2 56.(24-25高一下·江苏·期末)已知锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足 sind1sin'4-sin'C ,A≠C sinC sin2B (1)求证：B=2C; (2)求1 +的取值范围； cosc h (3)若a=2,求三角形ABC面积的取值范围. 57.(24-25高一下·江苏常州期末)在ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足a cos B=√3 bsin A, a2=b2+bc, (1)求C. (②若6=1，点4N是边4B上的两个动点，当∠MCV-号时，采△MCV面积的取值范围， 58.(24-25高一下江苏常州期末)（多选）记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A是 ABC的最小内角，且tanA为整数，cosA+asinC=22,则下列说法正确的是() 10/12 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 A.4=I 4 B.c=3 C.当C>B>A,且tanB也是整数时，tanC=-3 D。ABC面寻的取植范走》 59.(24-25高一下江苏扬州期末)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且 3sinAa,a=b+bc. cosB b (1)求角B和A; (②)已知b=2,设M、N为线段AB上的两个动点(M靠近点A),且∠MCW= 6 ①若AM=1,求△MNC的周长； ②当∠ACM为何值时，△MNC的面积最小，最小面积是多少？ 60.(24-25高一下·江苏苏州期末)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且 2a+ccosB,6=2,则ABC的面积的最大值为(） bcosC= 3 B. c.3 4 3 D. 2 考题猜想高分必刷 2sinB 1.记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,若b sim2A+2sinC,则A8C面积的最大值为 () A.2 B. 2 c. 3 D.v2 4 2在等腰形4BCD中，B与CD平行，4D=8C=CD=2,∠ADC=行，沿对角线AC将&4CD折起 得到三棱锥D'-ABC,若异面直线DA与BC所成角的余弦值为5，则三棱锥D'-4BC外接球的表面积 为() A.28-8V2)πB.(28+8V2)π c. (28+82)π D.(28-8V2)π或(28+8V2)π 3 3.在ABC中，内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,己知A=60°，a=2,则下列说法正确的是() A.若b=√5，则ABC有两解 B.ABC面积的最大值为√ 11/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.∠A的平分线长度的取值范围是0，V5 D.2b+c的最大值为4②团 3 4.在ABC中，D是线段BC上一点，且cD=2D8,∠D1C-分，则snB的最大值为 5.在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c (1)在斜三角形ABC (i)若sinA=2026 sin B sin C,cosA=2026 cos B cosC,求tanA+tanB+tanC的值. (i)若2sin2B+3sinC=2 sin Asin Bsin C+sin2A,求tanA的值. (2)若(a-sin22B)=sin22B+sin2B·sin22B-sin2B,求c的取值范围 12/12