高二数学下学期期末模拟卷01（苏教版，测试范围：选择性必修第二册）

**基本信息** 本卷为高二下学期期末模拟卷，覆盖空间向量与立体几何、计数原理、概率、统计模块，以中江挂面销售额回归分析、“温良恭俭让”卡片分配、AI语音识别等真实情境为载体，考查数学眼光观察、思维推理及语言表达能力，梯度设计合理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|空间向量运算、回归方程、排列组合、概率分布|单选基础巩固（如向量模长），多选综合辨析（如四点共面判断）| |填空题|3题15分|实习安排计数、二项式定理、正方体路径最值|结合组合数与正方体路径，考查创新应用| |解答题|5题77分|二项式定理应用、立体几何夹角、独立性检验、条件概率、分布列|以双休政策调查、AI生成文章为情境，综合统计与概率（如分层抽样分布列）、立体几何动态问题（如参数λ探究）|

2025-2026学年高二下学期期末模拟卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若向量，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】结合向量的模长公式求解. 【详解】由向量的模长公式可得. 2．“千年一面，中江挂面”，近年来，中江挂面村火遍全网．这不仅为中江带来了大量游客，还使中江手工挂面供不应求，销售额大幅提升．已知某手工挂面加工企业2024年10月—2025年2月销售额对应如下表．且用最小二乘法得到销售额关于月份序号的回归直线方程为，则2025年1月销售额（     ） 时间 2024年10月 2024年11月 2024年12月 2025年1月 2025年2月 月份序号 1 2 3 4 5 销售额（万元） 13.5 15.0 17.0 20.5 A．19.0（万元） B．18.8（万元） C．18.6（万元） D．18.4（万元） 【答案】A 【分析】利用线性回归直线恒过样本中心点的性质，先求的均值代入回归方程得到的均值，再列方程求解即可． 【详解】， 由线性回归方程的性质可知，回归直线必过样本中心点， 将代入回归方程，得， ， 令，解得． 3．从5人中选出4人分别到吉林、沈阳、大连、哈尔滨四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去沈阳游览，则不同的选择方案共有（    ） A．48种 B．72种 C．96种 D．120种 【答案】B 【分析】先确定去沈阳游览的人，再确定剩下三个城市游览的人，即可求解． 【详解】先从除甲、乙两人之外的3人中选1人去沈阳游览，共有种， 再从剩余4人中选3人到其他三个城市游览，共有种， 所以不同的选择方案共有种． 故选：B 4．已知 ，，且和的分布密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由密度曲线结合正态分布性质求解即可. 【详解】由题图可知，，则，即，所以A错误； 根据正态曲线的性质，越大图象越矮胖，则，即，所以B错误； 由图可知，，所以C正确； 由图可知，，所以D错误． 5．在平行六面体中，，，，是的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ， ，，， , ． 6．平行六面体中，，设向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算可得. 【详解】 由图和题意可知 ， 又， 故， 故选：C 7．子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让．现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（    ） A．120种 B．210种 C．1440种 D．2880种 【答案】D 【详解】先把字相同的卡片看成一组， 第一步：从这5组中选出一组有种选法. 第二步：再从余下的4组中选2组，这2组中，每组各选一张卡片有. 第三步：把选出的4张卡片，分给4位同学有. 所以不同的分配方案有种. 8．设集合，是集合的所有三元子集的元素和之和，令，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知每个元素在所有三元子集中出现的次数均为次，可求出，然后利用裂项求和法可求得. 【详解】集合中共个元素，每个元素在所有三元子集中出现的次数均为次， 所以， 当时， ， 所以 . 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中正确的有（   ） A．向量与向量方向相反 B．正方体的棱长为1，则 C．，，三点不共线，对空间任意一点，若，则，，，四点共面 D．若，向量，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量的模为2 【答案】ABD 【分析】根据相反向量的定义可判断A；根据数量积公式，求得的值，即可判断B；根据四点共面的判定，即可判断C；根据投影向量的公式计算即可判断D. 【详解】对于A，因为，，所以，所以向量与方向相反，故A正确； 对于B，因为在正方体中，两两夹角为， 所以， ， 所以，故B正确； 对于C，若，由于，所以，，，四点不共面，故C不正确； 对于D，因为，向量，的夹角为， 所以向量在向量方向上投影向量的模为，故D正确. 故选：ABD. 10．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】A、B、C选项赋予x值进行求解，D选项运用二项式求解. 【详解】对于A选项，令，则原式等于，即，故A选项错误； 对于B选项，令，则原式等于，又因为， 故，故B选项正确； 对于C选项，令，则原式等于， 即，由B选项得，故C选项错误； 对于D选项，， 则，， 故，则D选项正确. 11．如图，正方体的棱长为4，点满足，其中，则（    ） A．当时，面 B．当时，长度最小 C．当时，三棱锥的外接球半径为 D．当时，过三点的平面截正方体得到的截面多边形面积为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，对于A，法一：利用直线的方向向量和平面的法向量的位置关系证明线面平行，法二：利用面面平行得到线面平行；对于B，作，举反例说明；对于C，设球心，求出球心坐标，进而得到半径；对于D，先找到过三点的平面截正方体得到的截面，再根据相似得到截面的边长，进而求出截面的面积. 【详解】解析：建立如图所示的空间直角坐标系 则， A.法一：当时， ， 又面，所以面，正确. 法二：在取点，使得，易知面面. 又面，所以面， B.当分别为中点时，，作，则，错误. C.当时，则，设球心， 由得：，则，正确 D.连接，如图所示，过点作的平行线交的延长 线于点，交的延长线于点，连接并延长，交于点， 交于点，连接并延长，交于点， 根据对称性知在直线上，连接.因为分别是的中点， 所以.又因为，所以， 所以共面，此时， 因为截面是边长为的菱形， 所以，所以.正确 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．某校名男大学生和名女大学生被安排到个不同的单位实习，每个实习单位至少安排名实习学生且性别相同，则不同的安排方法有___________种． 【答案】 【分析】按照名女生在同一个单位和在不同单位两种情况进行分类，然后将每类的方法数相加，即可得到总的方法数. 【详解】情况：当名女生在同一个单位，则名男生被分到另外个单位，方法数为种； 情况：当名女生在两个不同的单位，则名男生在剩下的个单位，方法数为种， 因此，总的方法数为种. 13．在的展开式中含项的系数为，则展开式中二项式系数最大的是第_______项． 【答案】 【分析】写出二项展开式通项，令的指数为，结合题干条件可得出关于参数的方程组，解出的值，结合二项式系数的性质可得结果. 【详解】根据二项式定理可知的展开式的通项为 ． 由已知可得，解得， 根据二项式定理的性质可知，该展开式共有7项，则二项式系数最大的是第项． 14．给定正方体，用、、、、、、、这8个组合数标记顶点，共有种标记方法，其中一种标记方法如图所示．对于第种标记方法，有一质点从点出发，沿棱按最短距离移动到点后立即停止，它经过的组合数之和（含标记点、的组合数）的最小值为，则集合的最大元素为______． 【答案】78 【详解】 ，所以这8 个组合数构成的集合为， 质点从点出发，沿棱按最短距离移动到点，中间会经过两个点，第一个中间点属于与相邻的顶点集合， 第二个中间点属于与相邻的顶点集合，考虑到一个点只能与三个点相邻，所以每个只能和两个组合（反之亦然）， 即， 对于任意一条路径，设其经过的组合数之和为，依题意目标是要得到， 由于和存在于每一条路径中，为了最大化路径的最小值，应将35分配给它们， 接下来考虑中间点，剩余的组合数集合为，同样基于我们的目标，我们需要使两个1无法组合，比如同时在中， 于是1只能和7或21组合，最小值为，因此集合的最大元素为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知，且． (1)求展开式的所有二项式系数之和； (2)求的值； (3)判断的展开式中第几项系数的绝对值最大． 【答案】(1)1024（3分） (2)（4分） (3)5（6分） 【详解】（1）展开式的所有二项式系数之和为.（3分） （2）令，得； 令，， 因此.（4分） （3）展开式的通项. 由，即，解得. 因为为整数，所以，所以的展开式中第5项系数的绝对值最大．（6分） 16．（15分）如图，在正三棱柱中，点满足，其中，. (1)是否存在使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (2)当时，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)存在，（6分） (2)（9分） 【详解】（1）在正三棱柱中，分别取的中点，连接，， 则，，， 以为坐标原点，向量的方向分别为，，轴的正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系， ， 则，，，， 所以，， 因为底面，底面， 所以，所以， 若，则， 解得，故存在，使得.（6分） （2）当时，则，，，， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 则，得， 令，则， 设平面的一个法向量为， 则，代入可得， 令，则， 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为.（9分） 17．（15分）近期，高中周末双休引起热议，为调查在校高中学生对国家双休政策的支持情况，某中学数学社团在校园内对学生展开随机调查，得到下表．（数据单位：人） 支持 不支持 成绩优秀 60 30 成绩不优秀 90 30 (1)根据该数学社团的调查结果判断，有无90%把握认为支持双休政策与学生成绩是否优秀有关？ 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 附：． (2)若该数学社团的调查结果可靠，某文学社团按相同方式在该校园内另随机调查了14位同学．其中成绩优秀且支持双休的人数为，请参考数学社团的调查数据，估算和； (3)该校准备从数学社团调查的210名同学中用“按比例分层抽样”的方法抽取7位同学座谈、并准备在参与座谈的同学中选取5人组成新的调查小组．假设新的调查小组中支持双休但成绩不优秀的人数为，求的分布列． 【答案】(1)没有90%的把握认为支持双休政策与学生成绩是否优秀有关（4分） (2)，（5分） (3)答案见解析（6分） 【详解】（1）由列联表可得(成绩优秀支持人数)，(成绩优秀不支持人数)，(成绩不优秀支持人数)，(成绩不优秀不支持人数)，则， 所以， 由题可知，把握对应的临界值为，因为， 所以没有把握认为支持双休政策与学生成绩是否优秀有关.（4分） （2）随机抽取一名学生，该学生为成绩优秀且支持双休的概率， 由题意得， 所以，.（5分） （3）分层抽样的抽样比为，则抽取的7人中支持双休但成绩不优秀的共人，其余共4人， 因此的可能取值为， ；；， 因此的分布列为（6分） 18．（17分）盒中有个红球，个黑球，其中、为正整数．这些球的大小、质地均相同． (1)若，求在第一次抽取黑球且不放回的条件下，第二次抽取的还是黑色球的概率； (2)设为正整数．先随机从盒中抽取一个球，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率（用含、、的代数式表示）． 【答案】(1)（7分） (2)（10分） 【详解】（1）若，在第一次抽取黑球且不放回的条件下，则盒子里还剩个红球个黑球， 故在第一次抽取黑球且不放回的条件下，第二次抽取的还是黑色球的概率为.（7分） （2）记事件第次从盒中摸出的一个球是黑球， 则，，，， 由全概率公式可得 .（10分） 19．（17分）目前，AI赋能语音识别技术已从实验室的“概念验证”发展为改变人类生活的基础设施，随着大模型和多模态技术的融合，英文识别将不再是单一功能，也是智能系统理解世界的“耳朵”和“眼睛”，推动人机交互从“命令执行”向“自然对话”演进.现甲、乙两名同学通过英文指令与某AI智能体人机交互共生成200篇文章.若生成的文章达到专业要求，不用进一步改良，视为合格.现已知甲同学生成的文章有80篇合格，占甲同学生成文章总数的，乙同学生成的文章有一半合格. (1)请根据以上数据填写下面的列联表，并推断能否有95%的把握认为生成的文章是否合格与甲、乙（不同的）同学给出的指令有关？ 生成的文章合格 生成的文章不合格 总计 甲同学 80 乙同学 总计 200 (2)经试验，若给出的指令够准确具体，该智能体生成文章合格的概率为，则在此条件下从该智能体生成的一批文章中随机调取3篇，请写出其中合格的篇数的分布列，并算出期望. 附：，其中（结果精确到0.001）. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有95%的把握；（7分） (2)分布列见解析，（10分） 【详解】（1）由题意得 生成文章合格 生成文章不合格 总计 甲同学 80 40 120 乙同学 40 40 80 总计 120 80 200 零假设生成的文章是否合格与甲、乙同学给出的指令无关， ， ∵，所以我们推断不成立， 所以有95%的把握认为生成文章是否合格与甲、乙（不同的）同学给出的指令有关；（7分）                                                           （2）合格的篇数的所有可能取值为，，， 由题意，   ，                                        故的分布列为 0 1 2 3 故期望. （10分） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期期末模拟卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C A B C A C D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD BD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.24 13.4 14.78 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）展开式的所有二项式系数之和为.（3分） （2）令，得； 令，， 因此.（4分） （3）展开式的通项. 由，即，解得. 因为为整数，所以，所以的展开式中第5项系数的绝对值最大．（6分） 16． （15分） （1）在正三棱柱中，分别取的中点，连接，， 则，，， 以为坐标原点，向量的方向分别为，，轴的正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系， ， 则，，，， 所以，， 因为底面，底面， 所以，所以， 若，则， 解得，故存在，使得.（6分） （2）当时，则，，，， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 则，得， 令，则， 设平面的一个法向量为， 则，代入可得， 令，则， 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为.（9分） 17． （15分） （1）由列联表可得(成绩优秀支持人数)，(成绩优秀不支持人数)，(成绩不优秀支持人数)，(成绩不优秀不支持人数)，则， 所以， 由题可知，把握对应的临界值为，因为， 所以没有把握认为支持双休政策与学生成绩是否优秀有关.（4分） （2）随机抽取一名学生，该学生为成绩优秀且支持双休的概率， 由题意得， 所以，.（5分） （3）分层抽样的抽样比为，则抽取的7人中支持双休但成绩不优秀的共人，其余共4人， 因此的可能取值为， ；；， 因此的分布列为（6分） 18． （17分） （1）若，在第一次抽取黑球且不放回的条件下，则盒子里还剩个红球个黑球， 故在第一次抽取黑球且不放回的条件下，第二次抽取的还是黑色球的概率为.（7分） （2）记事件第次从盒中摸出的一个球是黑球， 则，，，， 由全概率公式可得 .（10分） 19． （17分） （1）由题意得 生成文章合格 生成文章不合格 总计 甲同学 80 40 120 乙同学 40 40 80 总计 120 80 200 零假设生成的文章是否合格与甲、乙同学给出的指令无关， ， ∵，所以我们推断不成立， 所以有95%的把握认为生成文章是否合格与甲、乙（不同的）同学给出的指令有关；（7分）                                                           （2）合格的篇数的所有可能取值为，，， 由题意，   ，                                        故的分布列为 0 1 2 3 故期望. （10分） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二下学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：苏教版选择性必修第二册全册（空间向量与立体几何+计数原理+概率+统计） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若向量，则（   ） A．4 B． C． D． 2．“千年一面，中江挂面”，近年来，中江挂面村火遍全网．这不仅为中江带来了大量游客，还使中江手工挂面供不应求，销售额大幅提升．已知某手工挂面加工企业2024年10月—2025年2月销售额对应如下表．且用最小二乘法得到销售额关于月份序号的回归直线方程为，则2025年1月销售额（     ） 时间 2024年10月 2024年11月 2024年12月 2025年1月 2025年2月 月份序号 1 2 3 4 5 销售额（万元） 13.5 15.0 17.0 20.5 A．19.0（万元） B．18.8（万元） C．18.6（万元） D．18.4（万元） 3．从5人中选出4人分别到吉林、沈阳、大连、哈尔滨四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去沈阳游览，则不同的选择方案共有（    ） A．48种 B．72种 C．96种 D．120种 4．已知 ，，且和的分布密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 5．在平行六面体中，，，，是的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．平行六面体中，，设向量，则（    ） A． B． C． D． 7．子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让．现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（    ） A．120种 B．210种 C．1440种 D．2880种 8．设集合，是集合的所有三元子集的元素和之和，令，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中正确的有（   ） A．向量与向量方向相反 B．正方体的棱长为1，则 C．，，三点不共线，对空间任意一点，若，则，，，四点共面 D．若，向量，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量的模为2 10．若，则（     ） A． B． C． D． 11．如图，正方体的棱长为4，点满足，其中，则（    ） A．当时，面 B．当时，长度最小 C．当时，三棱锥的外接球半径为 D．当时，过三点的平面截正方体得到的截面多边形面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．某校名男大学生和名女大学生被安排到个不同的单位实习，每个实习单位至少安排名实习学生且性别相同，则不同的安排方法有___________种． 13．在的展开式中含项的系数为，则展开式中二项式系数最大的是第_______项． 14．给定正方体，用、、、、、、、这8个组合数标记顶点，共有种标记方法，其中一种标记方法如图所示．对于第种标记方法，有一质点从点出发，沿棱按最短距离移动到点后立即停止，它经过的组合数之和（含标记点、的组合数）的最小值为，则集合的最大元素为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知，且． (1)求展开式的所有二项式系数之和； (2)求的值； (3)判断的展开式中第几项系数的绝对值最大． 16．（15分）如图，在正三棱柱中，点满足，其中，. (1)是否存在使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (2)当时，求平面与平面的夹角的余弦值． 17．（15分）近期，高中周末双休引起热议，为调查在校高中学生对国家双休政策的支持情况，某中学数学社团在校园内对学生展开随机调查，得到下表．（数据单位：人） 支持 不支持 成绩优秀 60 30 成绩不优秀 90 30 (1)根据该数学社团的调查结果判断，有无90%把握认为支持双休政策与学生成绩是否优秀有关？ 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 附：． (2)若该数学社团的调查结果可靠，某文学社团按相同方式在该校园内另随机调查了14位同学．其中成绩优秀且支持双休的人数为，请参考数学社团的调查数据，估算和； (3)该校准备从数学社团调查的210名同学中用“按比例分层抽样”的方法抽取7位同学座谈、并准备在参与座谈的同学中选取5人组成新的调查小组．假设新的调查小组中支持双休但成绩不优秀的人数为，求的分布列． 18．（17分）盒中有个红球，个黑球，其中、为正整数．这些球的大小、质地均相同． (1)若，求在第一次抽取黑球且不放回的条件下，第二次抽取的还是黑色球的概率； (2)设为正整数．先随机从盒中抽取一个球，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率（用含、、的代数式表示）． 19．（17分）目前，AI赋能语音识别技术已从实验室的“概念验证”发展为改变人类生活的基础设施，随着大模型和多模态技术的融合，英文识别将不再是单一功能，也是智能系统理解世界的“耳朵”和“眼睛”，推动人机交互从“命令执行”向“自然对话”演进.现甲、乙两名同学通过英文指令与某AI智能体人机交互共生成200篇文章.若生成的文章达到专业要求，不用进一步改良，视为合格.现已知甲同学生成的文章有80篇合格，占甲同学生成文章总数的，乙同学生成的文章有一半合格. (1)请根据以上数据填写下面的列联表，并推断能否有95%的把握认为生成的文章是否合格与甲、乙（不同的）同学给出的指令有关？ 生成的文章合格 生成的文章不合格 总计 甲同学 80 乙同学 总计 200 (2)经试验，若给出的指令够准确具体，该智能体生成文章合格的概率为，则在此条件下从该智能体生成的一批文章中随机调取3篇，请写出其中合格的篇数的分布列，并算出期望. 附：，其中（结果精确到0.001）. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：苏教版选择性必修第二册全册（空间向量与立体几何+计数原理+概率+统计） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若向量，则（   ） A．4 B． C． D． 2．“千年一面，中江挂面”，近年来，中江挂面村火遍全网．这不仅为中江带来了大量游客，还使中江手工挂面供不应求，销售额大幅提升．已知某手工挂面加工企业2024年10月—2025年2月销售额对应如下表．且用最小二乘法得到销售额关于月份序号的回归直线方程为，则2025年1月销售额（     ） 时间 2024年10月 2024年11月 2024年12月 2025年1月 2025年2月 月份序号 1 2 3 4 5 销售额（万元） 13.5 15.0 17.0 20.5 A．19.0（万元） B．18.8（万元） C．18.6（万元） D．18.4（万元） 3．从5人中选出4人分别到吉林、沈阳、大连、哈尔滨四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去沈阳游览，则不同的选择方案共有（    ） A．48种 B．72种 C．96种 D．120种 4．已知 ，，且和的分布密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 5．在平行六面体中，，，，是的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．平行六面体中，，设向量，则（    ） A． B． C． D． 7．子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让．现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（    ） A．120种 B．210种 C．1440种 D．2880种 8．设集合，是集合的所有三元子集的元素和之和，令，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中正确的有（   ） A．向量与向量方向相反 B．正方体的棱长为1，则 C．，，三点不共线，对空间任意一点，若，则，，，四点共面 D．若，向量，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量的模为2 10．若，则（     ） A． B． C． D． 11．如图，正方体的棱长为4，点满足，其中，则（    ） A．当时，面 B．当时，长度最小 C．当时，三棱锥的外接球半径为 D．当时，过三点的平面截正方体得到的截面多边形面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．某校名男大学生和名女大学生被安排到个不同的单位实习，每个实习单位至少安排名实习学生且性别相同，则不同的安排方法有___________种． 13．在的展开式中含项的系数为，则展开式中二项式系数最大的是第_______项． 14．给定正方体，用、、、、、、、这8个组合数标记顶点，共有种标记方法，其中一种标记方法如图所示．对于第种标记方法，有一质点从点出发，沿棱按最短距离移动到点后立即停止，它经过的组合数之和（含标记点、的组合数）的最小值为，则集合的最大元素为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知，且． (1)求展开式的所有二项式系数之和； (2)求的值； (3)判断的展开式中第几项系数的绝对值最大． 16．（15分）如图，在正三棱柱中，点满足，其中，. (1)是否存在使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (2)当时，求平面与平面的夹角的余弦值． 17．（15分）近期，高中周末双休引起热议，为调查在校高中学生对国家双休政策的支持情况，某中学数学社团在校园内对学生展开随机调查，得到下表．（数据单位：人） 支持 不支持 成绩优秀 60 30 成绩不优秀 90 30 (1)根据该数学社团的调查结果判断，有无90%把握认为支持双休政策与学生成绩是否优秀有关？ 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 附：． (2)若该数学社团的调查结果可靠，某文学社团按相同方式在该校园内另随机调查了14位同学．其中成绩优秀且支持双休的人数为，请参考数学社团的调查数据，估算和； (3)该校准备从数学社团调查的210名同学中用“按比例分层抽样”的方法抽取7位同学座谈、并准备在参与座谈的同学中选取5人组成新的调查小组．假设新的调查小组中支持双休但成绩不优秀的人数为，求的分布列． 18．（17分）盒中有个红球，个黑球，其中、为正整数．这些球的大小、质地均相同． (1)若，求在第一次抽取黑球且不放回的条件下，第二次抽取的还是黑色球的概率； (2)设为正整数．先随机从盒中抽取一个球，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率（用含、、的代数式表示）． 19．（17分）目前，AI赋能语音识别技术已从实验室的“概念验证”发展为改变人类生活的基础设施，随着大模型和多模态技术的融合，英文识别将不再是单一功能，也是智能系统理解世界的“耳朵”和“眼睛”，推动人机交互从“命令执行”向“自然对话”演进.现甲、乙两名同学通过英文指令与某AI智能体人机交互共生成200篇文章.若生成的文章达到专业要求，不用进一步改良，视为合格.现已知甲同学生成的文章有80篇合格，占甲同学生成文章总数的，乙同学生成的文章有一半合格. (1)请根据以上数据填写下面的列联表，并推断能否有95%的把握认为生成的文章是否合格与甲、乙（不同的）同学给出的指令有关？ 生成的文章合格 生成的文章不合格 总计 甲同学 80 乙同学 总计 200 (2)经试验，若给出的指令够准确具体，该智能体生成文章合格的概率为，则在此条件下从该智能体生成的一批文章中随机调取3篇，请写出其中合格的篇数的分布列，并算出期望. 附：，其中（结果精确到0.001）. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $