专题01 空间向量·立体几何·定理·计算（十六大高频考点）（期末复习专项训练）数学苏教版高二选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦空间向量工具与立体几何综合应用，构建从向量运算到几何证明、量化计算的完整训练体系，强化空间观念与推理运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间向量基础|题型1-8（32题）|涵盖加减、共线/面判断、数量积、基底表示等基础运算，突出共线定理推论、方向向量等重点|从向量概念生成到坐标表示，构建代数工具基础| |几何证明与计算|题型9-15（28题）|包含法向量（难点）、平行垂直证明（重点）、角度距离体积计算（常考点）|以向量为桥梁，实现几何关系代数化，体现从定性证明到定量计算的逻辑链条| |综合应用|题型16（4题）|聚焦存在性问题（难点），综合考查空间想象与推理运算|整合前面知识，提升复杂问题解决能力，发展创新意识|

专题01 空间向量·立体几何·定理·计算 题型1 空间向量加减运算 题型9 求平面的法向量（难点） 题型2 空间向量共线的判断 题型10 利用空间向量证明平行（重点） 题型3 空间共线定理的推论及应用（重点） 题型11 利用空间向量证明垂直（常考点） 题型4求空间向量的数量积（重点） 题型12 异面直线角的求算（常考点） 题型5 判断空间向量共面（常考点） 题型13 线面角与二面角的求算 题型6 用空间基底表示向量 题型14 点面距离的求算 题型7 空间向量平行与垂直的坐标表示 题型15 空间几何体的体积的求算（重点） 题型8 直线的方向向量与平面的法向量（重点） 题型16 空间几何体存在性问题（难点） 题型1 空间向量加减运算（共4小题） 1．如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取AC的中点N，连接BN，MN，如图所示， ∵M为的中点，，， ， ． 2．如图，在长方体中，下列各式运算结果不为的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A中，； B中，； C中，； D中，. 3．如图，在正方体中，下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的加法及减法运算计算判断即可. 【详解】对于A：，不符合. 对于B：，符合. 对于C：，不符合. 对于D：，不符合. 4．如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】G是的中点，所以. 题型2 空间向量共线的判断（共4小题） 5．（多选）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 【答案】BC 【详解】A，根据向量相等的定义知，模相等且方向相同为相等向量，而A中向量与的方向不一定相同，假命题； B，由正方体的结构特征知，与的方向相同，模也相等，故，真命题； C，向量的相等满足传递性，真命题； D，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同故不一定相等，假命题． 6．（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，为单位向量，则 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量满足，则 【答案】ABC 【分析】根据单位向量的定义判断A；根据相反向量的定义判断B；根据正方体可得四边形是矩形，进而判断C；举例判断D. 【详解】对于A，因为为单位向量，所以，故A正确； 对于B，向量是向量的相反向量，则，故B正确； 对于C，在正方体中，因为四边形是矩形， 所以，故C正确； 对于D，若，则，但不一定共线，故D错误． 故选：ABC． 7．在四面体中，为的中点，且，已知四面体的体积为，则四面体的体积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据已知条件，确定点位置，根据相似比，求出，结合四面体体积公式利用换底法即可求解. 【详解】 根据题意如图所示，过点做垂直于垂足为， 过做垂直于垂足为， 因为，所以， 因为为的中点，所以， ，， 所以， 设点到平面的距离为， ，， 所以， 又因为四面体的体积为，所以四面体的体积为. 故答案为：B 8．（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【分析】根据空间向量的概念可判断A选项；利用相反向量的概念可判断B选项；利用相等向量的概念可判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A：模相等的两个向量，它们的方向是任意的，A错误； 对于B：向量是向量的相反向量，则，B正确； 对于C：在正方体中，四边形是矩形，故，C正确； 对于D：若，则，，但、不一定共线，D错误. 故选：BC. 题型3 空间共线定理的推论及应用（共4小题）（重点） 9．在正四面体中，为棱的中点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接，设正四面体的棱长为4，则，， ，则为正三角形，所以， 由余弦定理得， ， 故. 10．在棱长为2的正方体中，点满足，点满足，其中，当________时，． 【答案】1 【分析】将点P和点Q满足的向量式转化，分析得出P,Q的位置，然后利用线面垂直的判定以及性质即可求得答案. 【详解】，又， 所以点P在射线上； ，又， 所以点Q在射线上；    因为当变化时，平面，故只需考虑过且与平面垂直的线， 因为正方体有平面，而平面，所以 又，平面，所以平面， 平面，所以， 所以当点Q在上时，即时， 故答案为：1. 11．（多选）如图，正四棱柱中，，动点满足，且．则下列说法正确的是（    ） A．当时，三棱锥的体积为 B．当时，的最小值为 C．若直线与所成角为，则动点的轨迹长为 D．当时，三棱锥外接球半径的取值范围是 【答案】BCD 【分析】当时，由平面向量线性运算法则可知点在线段上，利用等体积法求出体积可判断A；当时，由共线定理可得点在线段上，根据对称性将的最值转化成平面几何问题，即可求得最小值；若直线与所成角为，可知点的轨迹是以为圆心，半径为的半圆弧，即可计算出其轨迹长度；当时，取的中点为，由共线定理可知三点共线，利用几何法即可找出球心位置，进而写出半径的表达式，利用二次函数的性质求出半径的取值范围. 【详解】对于A，取相交于点的中点为，如下图所示： 当时，即， 由平面向量线性运算法则可知，点在线段上，又, ；即A不正确； 对于B，当时，由，利用共线定理可得，三点共线，即点在线段上； 由对称性可知，线段上的点到两点之间的距离相等，所以； 取平面进行平面距离分析，如下图所示： 所以，当且仅当三点共线时，等号成立， 此时点为线段的中点，即的最小值为，故B正确； 对于C，由图可知，与所成角都为，由可知，点在平面内， 若直线与所成角为，在线段上取点，使，则直线与所成角为； 则点的轨迹是以为圆心，半径为，且在平面内的半圆弧，如下图所示： 所以动点的轨迹长为，故C正确； 对于D，当时，取的中点为，即； 由可知，三点共线，即点在线段上，如下图所示： 易知三棱锥外接球球心在直线上，设球心为； 作于点，设，易知， 因为，则，得，则， 设外接球半径为，则，解得； 所以， 由二次函数的性质可知，当时，半径最小为；当时，半径最大为； 又，所以半径的取值范围是，即D正确. 故选：BCD. 12．如图，在中，点 分别是棱 的中点，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由中点的向量公式与向量的减法运算即可得到答案. 【详解】如图所示，连接，因为分别是棱的中点，所以. 故选：C. 题型4求空间向量的数量积（共4小题）（重点） 13．（多选）（多选）在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．四边形的面积为 B．与的夹角为 C． D． 【答案】ACD 【分析】先由正方体的结构特征，判断四边形为矩形，验证A；再区分异面直线所成角与向量夹角的定义，结合为等边三角形，判断B；接着利用空间向量加法法则，将左边化简为，再结合正方体体对角线长度验证C；最后将向量差化简为，由正方体中验证D． 【详解】 对于A，因为平面，平面，所以， 所以四边形为矩形，面积为，A正确； 对于B，是等边三角形，所以， 又因为，所以异面直线与所成的角为， 结合图象向量与的夹角为，B错误； 对于C，由向量加法的运算法则可以得到， 因为，所以，C正确； 对于D，易得， 在正方体中，平面， 所以，所以，D正确． 14．已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 【答案】C 【分析】利用正方体中棱向量两两垂直、模长为的性质，先展开点积，再根据垂直向量点积为，向量自身点积为模长平方，代入计算即可快速得到结果． 【详解】    由题意，正方体棱长为1，所以两两垂直且， 所以， 因为、、，所以，，， 又，代入得． 15．（多选）若、是两条互相垂直的异面直线，、、、是四个不同的点，满足、，、，且，，，则（   ） A．直线与是异面直线 B． C．若，则 D．若为的中点，则 【答案】AD 【分析】利用反证法可判断A选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断BC选项；证明出，利用直角三角形的几何性质可判断D选项. 【详解】如下图所示： 对于A选项，若、共面，则、、、四点共面，即直线、共线， 即直线、共面，这与题设条件矛盾，故直线与是异面直线，A对； 对于B选项，由题意可知，，， 所以 ，B错； 对于C选项，， 所以 ，故，C错； 对于D选项，由题意可知，， 又因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为为的中点，所以，同理可证，故，D对. 16．在四面体中，，平面且平面，给出下列三个结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．③ B．①③ C．①② D．①②③ 【答案】B 【分析】建系，根据向量内积以及向量模的计算公式进行计算验证即可. 【详解】将设为原点，平面为平面，由平面， 得 ， ， ， . 因为，所以 ，推出， ①因为，所以 ，推出， 因此， ， ， 三者相等，①正确. ②因为，所以， 化简得​，但不一定有 . 举反例：取 ，满足和， 计算得 ， ，②错误. ③因为，，推出. ， ， 则 . 故，③正确. 综上，正确结论为①③. 题型5 判断空间向量共面（共4小题）（常考点） 17．已知点、、不共线，为平面外一点，下列能够确定、、、四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由空间向量共面的推论，判断是否成立即可. 【详解】对于A：根据给定线性关系式有，A错误； 对于B：根据给定线性关系式有，B错误； 对于C：根据给定线性关系式有，C错误； 对于D：根据给定线性关系式有，D正确. 18．已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】已知不共面，逐一判断： A：，故，，共面. B：，故，，共面. C：假设，整理得. 即，因不共面，不存在这样的，故，，不共面. D：，故，，共面. 19．（多选）若空间向量为非零向量，下列命题正确的有（    ） A．若，则. B．向量在向量上投影向量为. C．若不共线，则共面的充要条件是存在唯一实数对，使得. D．若向量两两夹角相同且是单位向量，则的取值范围为. 【答案】BC 【详解】 对于A，如图，在正方体中，不妨设， 此时，但是，故A错误； 对于B，向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于C，根据共面向量基本定理，可知C正确； 对于D，设向量之间的夹角为，因， 则，因，则， 故的取值范围为，故D错误. 20．（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若，则向量的夹角是锐角 B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C．若，则四点共面 D．若分别表示两空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 【答案】BC 【详解】对于A，由，得向量的夹角是锐角或0，A错误； 对于B，根据空间向量共面定理知，空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，B正确； 对于C，对空间中任意一点，，由，得四点共面，C正确； 对于D，若分别表示两空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，但向量可以平移到同一个平面，D错误． 题型6 用空间基底表示向量（共4小题） 21．在平行六面体中，，，，为的中点，为与的交点． (1)用基底表示下列向量：，，； (2)在图中画出化简后的向量． 【答案】(1)，， (2)答案见解析 【分析】（1）根据几何体的性质，以及空间向量基本定理，用基底表示向量即可； （2）根据向量加法，求出向量即可. 【详解】（1）， ， ． （2），连接， 由于，且，所以或即为所求． 22．如图所示，在正方体中，取，，． (1)用、、表示； (2)若、分别为、的中点，用、、表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量基本定理可得出关于、、的表达式； （2）利用空间向量基本定理可得出关于、、的表达式. 【详解】（1）. （2）. 23．（多选）平行六面体中，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D． 【答案】AD 【分析】对于A，由可判断，对于B，由空间向量基本定理可判断，对于C，通过可判断，对于D，通过向量夹角公式可判断. 【详解】设，，， 由题意得：，三个向量两两夹角为， 因此两两点积， 选项A， ，则 ， 因此，A正确； 选项B ，平行六面体中，对比得， ，B错误； 选项C  ，， 因此，C错误； 选项D ， ， ； 即； 因此，D正确. 24．如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点为棱的中点，点在棱上．若，则线段的长度为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】设，利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用表示出，由可知，即可求出，进而得出线段的长度. 【详解】由题意，因为点为棱的中点， 所以， 又因为点为棱的中点，点在棱上， 设， 所以， 因为，，， 所以，，， 因为， 所以， 所以， 所以，解得， 因为，所以. 题型7 空间向量平行与垂直的坐标表示（共4小题） 25．已知空间向量，，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用空间向量的坐标运算一一判定即可. 【详解】由题意可知，，. 26．已知，且，则的值分别为（    ） A．3，1 B．4， C．3， D．1，1 【答案】C 【详解】已知，，且， 则存在实数使得, 即：，解得：. 27．（多选）已知空间向量（    ） A．当时， B．当为钝角时，且 C．存在实数，使得 D．存在实数，使得为空间的一组基底 【答案】ACD 【分析】选项A，根据向量平行建立关于的方程求解判断；选项B，结合向量夹角为钝角的充要条件，计算的范围，再排除反向共线的情况；选项C，根据空间向量垂直的充要条件，建立关于的方程，判断方程是否有解；选项D，根据共面向量基本定理建立关于的方程，判断是否存在使方程成立. 【详解】选项A，若，则存在实数使得，对应坐标满足：， 解得，，代入验证所有等式成立，因此正确，A正确； 选项B，若为钝角，等价于且不反向平行， ，得； 若，显然，则对应坐标成比例：，由得， 代入验证，不存在使得， 即时夹角仍为钝角，不需要排除，B错误； 选项C，若，， 解得或，存在实数满足条件，C正确； 选项D，能作为空间的一组基，等价于三个向量不共面，根据共面向量基本定理， 若三个向量共面，则存在实数使得， 代入坐标得方程组：， 整理方程(2)(3)得： 消元解得：. 将代入方程(1)：， 因此方程(1)化简为，即：当且仅当时，三个向量共面； 当时，三个向量不共面，可以作为空间的一组基底，D正确. 28．已知向量，，且与互相垂直，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量数量积的运算律及数量积的坐标表示，列式计算即得. 【详解】已知向量，，则，， ， 由与互相垂直， 则， 解得，故D正确. 题型8 直线的方向向量与平面的法向量（共4小题）（重点） 29．平面及其法向量，直线、及其方向向量、，下面推理错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】结合线面垂直、平行的性质与方向向量、法向量的关系逐一分析选项. 【详解】选项A：，又，故，则A选项正确； 选项B：，又，故，则B选项正确； 选项C：，又，故，则C选项正确； 选项D：、时，直线与可能为平行、相交或异面关系，因此它们的方向向量与不一定平行，故D选项错误. 故选：D 30．在空间直角坐标系中，设直线的方向向量为，直线的方向向量为，若，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】由两直线垂直有对应方向向量的数量积为0，再应用空间向量数量积的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由，则，故. 故选：B 31．（多选）下列结论错误的是（    ） A．任意一个向量均可以作为直线的方向向量 B．若是平面的法向量，则也是平面的法向量 C．设点，则平面的一个法向量为 D．若向量，则与的夹角为钝角 【答案】ABD 【分析】对A和B，利用直线方向向量和平面法向量的定义，即可求解；对C，利用法向量的求法，求出平面的一个法向量，即可求解；对D，结合选项条件，取，即可求解. 【详解】对于A，由直线方向向量的定义知，不能作为直线的方向向量，所以选项A结论错误， 对于B，若，则，此时不是平面的法向量，所以选项B结论错误， 对于C，因为，则， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 所以平面的一个法向量为，故选项C结论正确， 对于D，若，则有， 但与的夹角不为钝角，所以选项D结论错误， 故选：ABD. 32．（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则是钝角 B．若为直线l的方向向量，则也是直线l的方向向量 C．若空间向量、、为非零向量，且，，则 D．若，则可知 【答案】CD 【分析】对于AB：举反例说明即可；对于C：根据向量平行的判定定理分析判断；对于D：根据向量的线性运算分析判断. 【详解】A：若，则，夹角可能为，故A错误； B：当时，，不是直线l的方向向量，所以B错误； C：若空间向量，，为非零向量，且， 则存在非零实数，，使得，， 所以，所以，故C正确； D：因为，即， 可得，即，所以D正确； 故选：CD 题型9 求平面的法向量（共4小题）（难点） 33．（多选）如图，在平行六面体中，底面四边形为正方形，且，，点为线段的中点，则（    ） A． B．的长为 C．在方向上的投影向量为 D．平面的一个法向量为 【答案】ABD 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，， 因此， 故B正确； 对于C，根据选项A可知，， 因此在方向上的投影向量为，故C错误； 对于D，记， 则，得到； 同理，由得. 又因为平面， 所以平面. 因此为平面的一个法向量，故D正确． 34．在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出点和向量的坐标，然后建立方程组求解法向量的坐标. 【详解】由题意，,. 设平面的法向量为. 则，令，则. 平面的一个法向量 35．（多选）如图，四棱柱为正方体，则（    ） A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 【答案】ABC 【分析】根据空间直线的方向向量的概念以及平面的法向量的定义逐一判断即可得到答案． 【详解】设正方体的棱长为， 对于选项A，由，，则，所以与平行， 故直线的一个方向向量为，故选项A正确； 对于选项B，由，，则， 所以与平行，故直线的一个方向向量为，故选项B正确； 对于选项C，由，，则， 又是平面的一个法向量，且与平行， 所以平面的一个法向量为，故选项C正确； 对于选项D，由，，则， 又，则与不垂直， 所以不是平面的一个法向量，故选项D不正确． 故选：ABC 36．如图，在长方体中，，，，分别为棱，上的动点（含端点）． (1)当点在什么位置时，有平面？ (2)当动点，满足时，求点到平面距离的取值范围． 【答案】(1)是棱上靠近点的四等分点 (2) 【分析】第（1）问建立空间直角坐标系，设出点的位置参数，利用线面垂直的向量条件列出方程，解出参数确定位置； 第（2）问同样设参数表示动点坐标，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式得到关于参数的函数，再根据参数范围求出距离的取值范围. 【详解】（1）如图，以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，， 则，，，，，， ∴，，， 要使平面， 需满足 由，解得． ∴当是棱上靠近点的四等分点时，有平面． （2）设，，则，，∴，，． 设平面的法向量为，令，得到，， 得为平面的一个法向量． 点到平面的距离， 易知在区间上单调递减， 最大值为2，最小值为， ∴． 即点到平面距离的取值范围为． 题型10 利用空间向量证明平行（共4小题）（重点） 37．如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在. 【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量平行即可证明面面平行； （2），当垂直与平面的法向量时平面，求的值即可. 【详解】（1）因为长方体，所以，，两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系： 由题知， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因为，所以平面平面. （2）设线段上存在点使得平面， 由（1）得，，平面的法向量， 所以， 由解得， 即为线段中点时，平面. 38．如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. (1)证明：； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）空间向量法求解，求出，得到，从而得到结论； （2）方法一：求出平面DEB的一个法向量，求出，从而得到证明；方法二：求出，利用向量垂直的公式及线面垂直的判定定理得解. 【详解】（1）如图，以D为原点，AD所在直线为轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， ， ， 所以， 所以. （2）方法一： 由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 由且， 得， 令得， 所以， 可得：， 所以：平面. 方法二： 由（1）可知：， 有， 所以， 因为平面，平面，且， 所以平面. 39．如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．试用向量法证明． (1)求证：； (2)取PC的中点E，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，求得向量和的坐标，得到，即可证得． （2）求得向量和平面的法向量，得到，即可证得平面． 【详解】（1）证明：正四棱锥的侧棱长与底边长都为， 可得，且， 由点， 则， 因为， 所以，所以． （2）解：由点，可得 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 又由点，可得， 则， 又因为平面，所以平面． 40．如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点，求证：直线平面； 【答案】证明见解析 【分析】建立适当空间直角坐标系，设，写出相关点的坐标，求出向量和平面的一个法向量，利用即可证明； 【详解】因为平面，平面， 所以，又， 故可以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，因为， 所以， 又因为是的中点，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则有，取，则， 所以，所以， 所以直线平面. 题型11 利用空间向量证明垂直（共4小题）（常考点） 41．在正方体中，，，M分别是，，的中点，求证： (1)． (2)平面. (3)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理作答. （2）设，，，作为一组基底，分别表示向量，证明，即可. （3）建立坐标系，结合空间向量分别求出法向量，再根据面面垂直空间向量证法可证结论； 【详解】（1）在正方体中，以点为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 令正方体棱长为1，则， 于是， 有， 因此，所以. （2）设，，，则.则. ∴. ∴，即. 同理.∵，平面， ∴平面. （3）在正方体中，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为1， 则，，，，， 设平面的一个法向量为， 由令，则，，即. ，，设平面的一个法向量为， 由令，则，，即. ，即， 所以平面平面． 42．如图，已知圆锥PO，AB为底面圆O的直径，点C在圆O上（不同于A，B），，.    (1)若，证明：平面OCE； (2)若，平面平面PBC，求λ的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作辅助线，根据几何性质可得，进而可证线面平行； （2）建系标点，分别求平面、平面PBC的法向量，根据面面垂直可得，运算求解即可. 【详解】（1）取中点F，设与交于点G，连接，， 由知D为中点，且F为中点，则， 则E为中点，且G为中点， 因为O为中点，则， 且平面，平面， 所以平面． （2）因为C在圆周上，为直径，则，同时，由圆锥知平面， 则以C为原点，、、过C与平行的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．    因， 则，，，，． 可得，，，， 设平面的一个法向量，则， 令，则，可得； 设平面的一个法向量，则。 令，则，可得， 若平面平面，则，解得． 故的值为． 43．正四棱柱中，底面的边长为2，，P为上一点． (1)若P为中点，求证：平面． (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接和交于点，连接，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面. （2）以为原点，建立空间直角坐标系，求得的坐标，得到，进而证得. 【详解】（1）证明：如图所示，连接和交于点，连接， 因为底面为正方形，可得为的中点， 又因为为的中点，所以， 因为平面，且平面，所以平面. （2）解：以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为正方形的边长为，，， 可得， 则，可得， 所以，所以. 44．在正四棱柱中，，P为的中点. (1)取中点，中点，求证：平面. (2)求证：平面平面 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量再应用向量相等即可证明； （2）先应用线面垂直判定定理证明平面，再应用面面垂直判定定理证明. 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，. 设平面的法向量为，则. 令，解得，.. 又， 所以平面. （2）因为，又因为平面，平面， 所以平面， 所以平面，平面， 所以平面平面. 题型12 异面直线角的求算（共4小题）（常考点） 45．如图，在三棱柱中，所有棱长均为，，． (1)证明：平面平面； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取中点，利用等腰三角形三线合一性质、勾股定理和线面垂直的判定可证得平面，由面面垂直的判定可证得结论； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角向量求法可求得结果； （3）根据二面角的向量求法可求得结果. 【详解】（1）取中点，连接， 在三棱柱中，所有棱长均为，， 都为边长为的等边三角形， ，，， ，，， ，平面，平面， 平面，平面平面. （2）以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，， ， 直线与所成角的余弦值为. （3）由（2）得：，， 设平面的法向量， 则，令，则，，； 轴，平面的一个法向量， ，， 即二面角的正弦值为. 46．如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为在上，在上，且．    (1)求向量的坐标； (2)求与所成角的余弦值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题意可得，，，， 故，. （2）由（1）可知，， 所以，， ， 所以， 故与所成角的余弦值为. 47．如图，在直三棱柱中，，，，，为棱的中点，则异面直线和所成的角的余弦值为（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴建系，利用空间向量求解即可. 【详解】因为，，， 所以，所以， 在直三棱柱中，平面, 以为原点，为轴，为轴，为轴建系， 则则 , 所以，， 设异面直线和所成的角为， 则.    48．（多选）在棱长为2的正方体中，P是线段AC上的动点（包含两个端点），则下列结论正确的是（   ） A．与是异面直线 B．过点P与垂直的平面截正方体所得截面的面积为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明得到与不平行与平面，进而证明结论判断A，利用空间位置关系的向量证明得到面，求出所求截面，最后求解截面面积判断C，利用线线夹角的向量求法求出解析式，进而求解最值判断C，将平面与平面沿展开为同一平面，应用平面两点间线段最短判断D即可. 【详解】对于A，如图，作出符合题意的图形，以为原点建立空间直角坐标系，    由题意得，，，，， 而P是线段上的动点，则，设， 得到，，则， 解得，得到，则， 而，，可得与不平行， 设面的法向量为，则， 令，解得，，可得， 得到，且不在面内， 可得平面，而面，则与无交点， 得到与是异面直线，故A正确， 对于B，由题意得，则， 而，， 设面的法向量为，则， 令，解得，，可得， 而，可得面，则为所求截面， 由勾股定理得，则是等边三角形， 由三角形面积公式得，故B错误， 对于C，由题意得，，则， 则， 令，， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 且，则，， 即的最大值为，故C正确， 对于D，将平面与平面沿展开为同一平面，如下图示，      当且仅当共线时，最小， 而，， 故由余弦定理得，故D正确. 题型13 线面角与二面角的求算（共4小题） 49．如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意可证四边形为平行四边形，则，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）如图，易证，根据线面垂直的性质与判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （3）根据线面垂直的性质与判定定理可得为二面角的平面角，即，作，由面面垂直的性质确定为直线与平面所成的角，即可求解. 【详解】（1）因为且，所以四边形为平行四边形，则， 又平面平面，所以平面； （2）由平面平面，得， 连接，由且，所以四边形为平行四边形，又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又，， 又平面，平面， 由平面，所以平面平面； （3）由平面，平面，所以，又，，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 故为二面角的平面角，即 设，在中，，作，垂足为， 由（2）知，平面平面，平面平面平面，所以平面， 则为直线在平面上的投影，所以为直线与平面所成的角， 在中，， 所以， 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为. 50．在四面体中，平面，，.若四面体的体积为，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 在中，，，由三角形面积公式得， 由余弦定理得 ，故， 因为平面ABC，四面体体积，代入解得， 以B为原点，为轴，平面内垂直于的方向为轴，过B且垂直于平面的方向为轴， 得各点坐标：， ， ， ，， 设平面的法向量为， 则，解得，令得，即 ， 又向量 ，， 设AC与平面所成角为，根据线面角与向量夹角的关系，. 51．如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面，平面平面. (1)证明：四边形是矩形； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可推出平面，进而得到，结合底面是平行四边形即可证明. （2）建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的正弦值公式计算. 【详解】（1）证明： 已知平面，平面，因此. 又平面平面，且平面平面， 如图，过作于，可得平面. 因为平面 ，所以. 又， 平面，因此平面. 又 平面，故. 已知底面是平行四边形，邻边垂直的平行四边形是矩形， 因此四边形是矩形. （2）由（1）知两两垂直，以为原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由，得各点坐标：. 因此，，. 设平面的法向量为 ，则：， 令，得，即. 设直线与平面所成角为，根据线面角的向量公式可得： . 52．如图，在正四棱锥中，，点，分别为，的中点，且是二面角的平面角． (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离； (3)点是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】(1)通过构造平行四边形，结合线面平行的判定定理证得平面. (2)建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线到平面的距离. (3)利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值的表达式，结合二次函数的性质求得其最大值. 【详解】（1）取的中点，连接、. 由为中点，得且； 由为中点，得且，故且， 所以四边形为平行四边形，因此. 又平面，平面，故平面. （2）连接，设，连接，则平面， 以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系. 由为二面角的平面角，得、， 而是的中点，所以，所以是等边三角形， 因为，所以，高， ，，，，， ，，， ，设平面的法向量为， 则，故可设平面的法向量， 由平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离， ，所以直线到平面的距离为. （3）设为线段上的动点，令()， 则 ， 则，向量. 设直线与平面所成角为， 则, ， 当时，取得最小值， 此时取得最大值为：. 题型14 点面距离的求算（共4小题） 53．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，为中点，且． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可得； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量后，借助点到平面的距离公式计算即可得； （3）利用空间向量求出线面角的正弦值． 【详解】（1） 连接交于点，连接， 因为是矩形，所以为中点， 又为中点，所以， 因为平面，平面； 所以平面； （2）因为平面，是矩形， 所以两两垂直， 以为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， ，，， 设平面的一个法向量， ，令，得， 所以点到平面的距离； （3）显然是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为． 54．如图，在以顶点的五面体中，四边形是矩形，平面平面，． (1)证明：平面； (2)已知二面角是，，点到平面的距离为． ①求； ②在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②存在， 【分析】（1）作，由面面垂直的性质定理得到面，进而得出，结合，证得平面；（2）①建立空间直角坐标系，根据点到面的距离公式，求出，②求面和面的法向量，根据二面角的向量公式求出的值. 【详解】（1）过点作的垂线，设垂足为，即有， 因为，面， 面面，面面， 所以面， 又因为面，所以， 因为四边形是矩形，所以， 所以， 因为，， ，面，面， 所以面. （2）因为面，面， 所以，又因为， 所以是二面角的平面角，即， 所以可以以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 由已知得，，设，，则，， 且由得， ①设面的法向量为，则有 即有 令，则，， 所以， 又，所以点到平面的距离. 即，又因为， 所以可解得，因此； ②设，则， 即有，且， 设面的法向量为，则有 即有 令，则，， 即， 由已知是面的一个法向量， 所以， 解得． 55．在正四棱柱中，底面边长为2，侧棱长为4，则到平面的距离为_______． 【答案】 【分析】以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【详解】如图，以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则 ∴，，． 设平面的法向量为， 则即取，则，所以， 所以点C1到平面AD1C的距离为＝． 56．如图，在棱长为的正方体中，分别为，的中点，点在棱上，且.    (1)证明：四点共面； (2)设平面与棱的交点为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）解法一：建立空间直角坐标系，用基底向量表示向量，进而可得四点共面；解法二：构造平面，再证明平面与棱的交点与重合，进而可得四点共面； （2）解法一：直接用向量的方法求点到面的距离可得；解法二：用等体积法求点到面的距离可得. 【详解】（1）解法一：在正方体中，以点为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 则， 于是，且向量不共线，           所以向量共面，又向量有公共点， 所以四点共面.   解法二：延长交于点，连接交于点， 因为，所以，且， 所以，所以，所以点与点重合， 故四点共面.    （2）解法一：设，则，由点平面，得， 即， 得，解得，，，即. ，而，则，，           设平面的法向量，则，即， 令，则，所以.          设点到平面的距离为， 则，所以点到平面的距离为. 解法二：等体积法，连接，设点到平面的距离为，如图：    由解法一知， 所以， . 由，所以，， 解得，点到平面的距离为. 题型15 空间几何体的体积的求算（共4小题）（重点） 57．如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，． (1)证明：平面平面； (2)过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】(1)结合已知条件证明，可得，结合为直角三角形确定直角顶点为，取中点，利用正三角形与等腰直角三角形的性质可得平面，进而得到平面平面； (2) 根据平面将四面体分为体积相等的两部分，即到平面的距离为到平面的距离的，可确定为的中点，建立空间直角坐标系，分别求解平面与平面的法向量，进而可得到二面角的余弦值. 【详解】（1）由题设可得，，从而， 又是直角三角形，所以， 取的中点，连接，，则，． 又由于是正三角形，故， 所以为二面角的平面角， 在中，，又，所以， 故， 所以平面平面． （2）由题设及（1）知，，，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，． 由题设知，四面体的体积为四面体的体积的，从而到平面的距离为到平面的距离的，即为的中点，得． 故，，． 设是平面的法向量，则， 即， 可取． 设是平面的法向量，则， 同理可得， 则． 观察可得，该二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 58．（多选）在棱长为1的正四面体中，M，N分别是棱AB，BC的中点，则下列说法正确的是 A．正四面体外接球的体积是 B．直线SM和AN所成角的余弦值为 C．可以用棱长为的正方体切割出正四面体 D．若正四面体的内切球为球O，在球O和各个顶角的空隙内分别放入一个和球O、顶角侧面都相切的小球，则这5个球的半径之和为 【答案】ABC 【分析】求得正四面体的外接球的半径为，结合球的体积公式，可判定A正确；利用向量的夹角公式，可判定B正确；根据正方体的性质，结合正方体的对角线长，可判定C正确；设正四面体的内切球的半径为，求得，在顶角处的小球的半径为，求得，可判定D不正确. 【详解】对于A，设正四面体的外接球的半径为， 因为正四面体的棱长为，由正四面体的性质，可得， 所以外接球的体积为，所以A正确； 对于B，设，则，且两两夹角为， 可得， 由， 可得，可得， 且，可得， 又由， 设异面直线和所成的角为， 则，所以B正确； 对于C，如图所示，把正四面体放置在正方体中， 设正方体的棱长为，因为正四面体的棱长为，可得，解得， 所以用棱长为的正方体切割出正四面体，所以C正确； 对于D，设正四面体的内切球的半径为，高为， 因为正四面体的棱长为，可得，且， 设顶角处的小球的半径为，其中小球和内切球，侧面都相切， 若小球和内切球的切点作平行底面的截面，得到一个以为顶点的小正四面体， 设小正四面体的高为，可得， 所以小球的半径为， 所以5个球的半径和为，所以D不正确. 59．（多选）如图，在正方体中，，分别是和的中点，则（    ） A．平面ABCD B． C．三棱锥的体积是正方体体积的 D．异面直线与所成角的余弦值为 【答案】ABC 【分析】建立空间直角坐标系，结合向量垂直的坐标表示判断AB；根据棱锥的体积公式判断C；利用向量夹角的运算判断D. 【详解】如图，以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，设棱长为1， 则，，，，，，，，，. ，易知平面ABCD的法向量为，则， 又平面，故平面，故A正确； ，，则，故，故B正确； 三棱锥的体积， 正方体的体积，所以，故C正确； ，，则， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故D错误. 60．在直四棱柱中，底面是平行四边形，且，，，，分别为，的中点. (1)求平面与平面的夹角的正弦值； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可求解； （2）利用向量法先求点到平面的距离，再由三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】（1）在直四棱柱中，有平面，又， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图， 又，，， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以； （2）由（1）点到平面的距离为：， 又，所以， 又因为，， 所以， 所以三棱锥的体积为. 题型16 空间几何体存在性问题（共4小题）（难点） 61．如图，在三棱锥中，，，.    (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在一点E，使得二面角的正切值为?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)已知点为线段上另一动点，过点且与垂直的平面将三棱锥分成左右两部分，设，当为何值时，右侧部分的几何体的体积为？ 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3)1 【分析】（1）用余弦定理求角，再用几何关系证明线面垂直即可证明面面垂直； （2）通过画图得到二面角的平面角，利用已知条件即可求解或者建立空间直角坐标系，用向量方法进行坐标运算即可求解； （3）根据题意得出，然后底面积之比以及高之比得出右侧几何体的体积的表达式，从而得到答案. 【详解】（1）    （2）解法一：取中点，由（1）知，，∴. 过作交于，过作交于，则，所以， 所以，为二面角的平面角， 设，由，得， 同理；， 由，得， 在中，，解得， 所以线段上存在一点E，使得二面角的正切值为.， 解法二：设存在满足题意的点，由（1）可知两两垂直，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，则，，，， ，，， 设，，则， 显然平面的法向量. 设平面的法向量，则， 取，则，，所以， 若二面角的正切值为，则其余弦值为， 则， 整理得，所以，又因为，所以， 所以，即当时，二面角的正切值为. （3）当时，平面截三棱锥所得截面为三角形，右部分的体积最大值为， 当时，平面截三棱锥所得截面为四边形， 设截面与棱的交点分别为，求得 ， 右侧部分的体积， 化简得， 当时，检验符合上方程， 又时，有且只有一个值符合，故， 62．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点．    (1)证明：平面平面； (2)设点G是线段上的一点，且满足．在线段上是否存在点F，使得A，E，G，F四点共面？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由； (3)求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在唯一的点F，使得A，E，G，F四点共面，此时，(F点在线段上靠近点的三等分点处). (3) 【分析】（1）由线面垂直的性质定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系后，将用两种不同的方式表示，列方程组求解； （3）先求平面的一个法向量，再表示平面的一个法向量，接着表示出夹角的余弦值，从而求出最大值. 【详解】（1）因为底面为正方形，所以， 又底面，底面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 在中，，为的中点，所以， 平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）    以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为，则，则得， 则，，，， 设， 若A，E，G，F四点共面，则存在实数使得 即，得方程组： ，解得 即存在唯一的点F，使得A，E，G，F四点共面，此时，(F点在线段上靠近点的三等分点处). （3）由（2）可知 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 设平面的一个法向量为， 则故可取， 设平面与平面夹角为，则 ， 当时，取得最大值， 所以平面与平面夹角的余弦值的最大值是 . 63．如图，正方体中，点在棱上. (1)求证：； (2)设在上，且，是否在上存在点，使平面平面，若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，点为的中点. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用直线方向向量数量积即可得证； （2）求出两个平面的法向量，根据数量积为0计算是否有解即可. 【详解】（1）以点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 设正方体的棱长为1，则，,， 设，则,， 所以，所以， 故. （2）设满足条件的点，设平面的一个法向量， 因为,， 则，即， 取，得， 由M在上，且，则， 设平面的一个法向量， ,， 则即， 取，得， 平面⊥平面，则，解得或（舍）， 所以当，即为的中点时，平面⊥平面. 64．如图1，正六边形的边长为2，为中心，为的中点．现将四边形沿折起到四边形的位置，使得平面平面，如图2． (1)证明：平面； (2)求二面角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）结合正六边形的固有几何特征，明确折叠前后不变的线段长度与垂直关系，借助平面 平面的面面垂直条件，可通过几何法证明与平面内两条相交直线均垂直. （2）求二面角的大小，可求解两个平面的法向量，通过法向量的夹角结合二面角的实际锐、钝确定最终取值. （3）对于线面平行的存在性问题，可利用共线向量设出点的参数形式坐标，结合线面平行的向量判定条件（直线方向向量与平面法向量垂直）求解参数，即可判断点是否存在并得到对应比值. 【详解】（1）证明：图（1）中， ∴图（2）中，， 又平面平面，平面平面， 平面， 平面，， 又为的中点，， 又，∴四边形为菱形，， 平面 ，平面． （2）取的中点，连接，，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示． ，，，， ，， 设平面的法向量为， 令，则，， 设平面的法向量为，则， ， ∴由图象可得，该二面角为锐角，二面角的大小为． （3）假设存在，设，，， ，，，， ，，    ， ， ，， 矛盾， ∴在线段上不存在点，使得平面． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01空间向量·立体几何·定理·计算 题型归纳·内容导航 题型1空间向量加减运算 题型9求平面的法向量（难点） 题型2空问向量共线的判断 题型10利用空间向量证明平行（重点） 题型3空间共线定理的推论及应用（重点） 题型11利用空间向量证明垂直（常考点） 题型4求空间向量的数量积（重点） 题型12异面直线角的求算（常考点） 题型5判断空间向量共面（常考点） 题型13线面角与二面角的求算 题型6用空问基底表示向量 题型14点面距离的求算 题型7空间向量平行与垂直的坐标表示 题型15空间几何体的体积的求算（重点) 题型8直线的方向向量与平面的法向量（重点） 题型16空间几何体存在性问题（难点） 题型通关·靶向提分 题型1空间向量加减运算（共4小题） 1.如图所示，在三棱柱ABC-A,B,C中，M为AC的中点，若AB=a,BC=i,AA=c,则BM可表示为() B A +5+e.a++e A.1 c.-1a-16+c D.Ia-16+8 2 2 2.如图，在长方体ABCD-A,B,CD,中，下列各式运算结果不为BD的是() D B A.A D:-A 4-AB B.BC+BB -D C C.DD-AB+AD D.BD:-4 4+DD 3.如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，下列各式运算结果为BD的是() 1/18 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B B A.A D:-A A+AB B.BC+BB+C D C.AD-AB-DD D.B D-A 4+DD 4.如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC,BD,设G是CD的中点，则AB+(BD+BC)等于() A D B G A.AG B.CG C.BC D. 2 题型2空间向量共线的判断（共4小题） 5.(多选)（多选）下列命题为真命题的是() A.若空间向量a,乃满足d=,则a=b B.在正方体ABCD-A,B,CD,中，必有AC=A,C C.若空间向量m,元，下满足m=i,元=币，则所=方 D.空间中任意两个单位向量必相等 6.(多选)给出下列命题，其中正确的命题是() A.若ā，五为单位向量，则d= B.若向量a是向量的相反向量，则d= C.在正方体ABCD-A,BCD,中，BD=B,D D.若空间向量m,元，p满足m∥i,∥)，则m/师 7.在四面体0-48C中，D为0A的中点，且C正=而，已知四面体0-8DE的体积为1，则四面体 O-ABC的体积为() A.2 B.3 C.4 D.6 8.(多选)给出下列命题，其中正确的命题是() 2/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.若d=同，则a=b或a=-b B.若向量a是向量的相反向量， 则= C.在正方体ABCD-A,B,CD,中，AC=A,C D.若空间向量m、、p满足ml/n,nlp,则m∥p 题型3空间共线定理的推论及应用（共4小题）（重点） 9.在正四面体ABCD中，E为棱BC的中点，CF=3FD,CG=3GA,则cos ZGEF=() A B.5 14 c D.3V7 14 10.在棱长为2的正方体ABCD-A,B,CD,中，点P满足AP=AA+1AB，点Q满足A⑨=4AA+AB+AD, 其中元∈[0,2,4e[0,2]当4=时，DP⊥BQ. 11.(多选)如图，正四棱柱ABCD-A,B,CD,中，A4=2AB=2,动点P满足AP=aAC+bAA，且 a,b∈(0,1.则下列说法正确的是() D C A B D B A当a=号时，三校能4-PB8的体积为号 B.当a+b=1时，PB+PB,的最小值为√6 C.若直线BP与BD所成角为牙，则动点P的轨迹长为巨 x D.当a+2b=1时，三棱锥P-ABC外接球半径的取值范围是 √2√6 2’2 12.如图，在ABCD中，点M,N分别是棱AD,CD的中点，则(BD+BA-){BD+BC)化简的结果是() 3/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.CA B.AC C.NM D.MN 题型4求空间向量的数量积（共4小题）（重点） 13.(多选)（多选）在正方体ABCD-A,B,C,D,中，下列结论正确的是() A.四边形ABC,D,的面积为ABBC B.AD与AB的夹角为60° C.(AA+4D+4B}'=34B D.AC.AB -AD=0 14.已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，若AB=a,AD=b,A4=c,则(a+b(6-c=() A.0 B.2 C.1 D.4 15.(多选)若4、马是两条互相垂直的异面直线，A、B、M、N是四个不同的点，满足A、M∈I,B、 N∈I2,且MN⊥I,MN⊥l2,MN=2,则() A.直线AN与BM是异面直线 B.AN.BM=-2 C.若BN=AM=2,则AB=√6 D.若O为AB的中点，则OM=ON 16.在四面体OABC中，OA⊥BC,H∈平面ABC且OH1平面ABC,给出下列三个结论： ①若OB⊥AC,则CH.AB=AH.BC=BF.AC; ②若AB=AC,则C五·AB=0; ③若0B=0C,则Bi.AB=CF.AC. 其中所有正确结论的序号是() A.③ B.①③ C.①② D.①②③ 题型5判断空间向量共面（共4小题）（常考点） 17.已知点A、B、C不共线，O为平面ABC外一点，下列能够确定M、A、B、C四点共面的是() A.OM=0A+OB+OC B.0M=30A-20B-0C C.OM=0A+-0B+-0C 2 。.ow-oi+o+0c 18.已知向量ā，b,c不共面，下列选项中的三个向量不共面的是() A.b-c,B,b+c B.a+b,c,a+b+c C.a+b,a-c,c D.a+b,b+c,a-c 19.(多选)若空间向量a,b,c为非零向量，下列命题正确的有() 4/18 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.若ab=ac,则b=c B.向量ā在向量五让投影向量为a-6.石 1611b1 C.若a,b不共线，则a,b,c共面的充要条件是存在唯一实数对(x,y),使得c=xa+yb. D。若向量a.6c两两夹角相铜且是单位向量，则a+a,+不.G的取值花围为[-，， 20.（多选)关于空间向量，以下说法正确的是() A.若a.b>0,则向量a,b的夹角是锐角 B.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C.者OP-2+0B+0C,则R4B.C四点共面 12 D.若分别表示两空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 题型6用空间基底表示向量（共4小题） 21.在平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，AB=ā，AD=b,AA,=c,E为AD的中点，F为BC与B,C的交 点. D E B A D (1)用基底a,b,c表示下列向量：DB,,BE,AF; (2)在图中画出DD,+DB+CD化简后的向量. 22.如图所示，在正方体ABCD-A,B,CD,中，取AB=a,AD=b,AA=c. D C A 3 D 2---- (1)用a、五、c表示BD; (2)若M、N分别为AD、CC,的中点，用云、五、c表示M. 23.(多选)平行六面体ABCD-A8,CD,中，∠D4B=∠D4=∠BA4=胥，A4=AB=AD=2,则下列说法 5/18 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 正确的是() A.AA⊥BD B.若AC=xAB+yAD+zAA,则x+y+z=2 C.AC=2/3 D.cos(4C,BD=号 24.如图，在三棱柱ABC-A,B,C中，∠A,AB=∠A,AC=60°，∠BAC=90°，AB=AC=2A,A=2,点D为 棱BC的中点，点E为棱AB的中点，点F在棱AC上.若A,D⊥EF,则线段AF的长度为() B E D A B.1 C.√2 D.2 题型7空间向量平行与垂直的坐标表示（共4小题） 25.已知空间向量ā=(3，-3,2)，b=(2,0,-3,c=(-6,6,-4),则下列结论正确的是() A.a⊥b,a/1d B.a⊥b,a⊥c C.a//b,allc D.a/b,a⊥c 26.已知AB=(2,-3,2,CD= x-2别 且AB/CD,则x,y的值分别为() A.3,1 8.4,5 C.3,-1 D.1,1 2 27.(多选)已知空间向量a=x,1,1,b=（x+1,2x,2),c=(x-1,-2,2x)() A.当a∥E时，x=1 B.当<a,c>为钝角时，-2<x<1且x≠-1 C.存在实数x,使得a1b D.存在实数x,使得a,b,c为空间的一组基底 28.己知向量ā=(1,1,0)，b=(-1,0,2),且ka+b与2ā-b互相垂直，则k的值为() A.1 c 7 05 题型8直线的方向向量与平面的法向量（共4小题）（重点） 29.平面a及其法向量，直线a、b及其方向向量a、五，下面推理错误的是() 6/18 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.若a⊥a,bca,则a⊥b B.若a⊥a,a∥b,则b∥n C.若a⊥b,b⊥a,则a⊥n D.若a∥a,bca,则a∥b 30.在空间直角坐标系O0z中，设直线4的方向向量为ā=(1,2，-2)，直线马的方向向量为b=(-2,3,m),若 1⊥12，则=() A.1 B.2 C. D.3 31.(多选)下列结论错误的是() A.任意一个向量均可以作为直线的方向向量 B.若a是平面a的法向量，则2(2∈R)也是平面a的法向量 C.设点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c(abc≠0)，则平面ABC的一个法向量为m 06 D.若向量AB.CD<0,则AB与CD的夹角为钝角 32.(多选)给出下列命题，其中正确的命题是() A.若ab<0,则a,b是钝角 B.若a为直线1的方向向量，则2ā(2∈R)也是直线1的方向向量 C.若空间向量a、五、c为非零向量，且a∥b,i∥c,则a∥c 0.若0-号C+号6，则可知D=2D8 题型9求平面的法向量（共4小题）（难点） 33.(多选)如图，在平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，底面四边形ABCD为正方形，且AB=4, AA,=5,∠BAA=∠DAA=60°，点E为线段CD的中点，则() D E B D B AE=46*0:4 B.AC,的长为√97 C.BE在B方向上的投影向量为-】AB 8 0.平面DD,4的一个法向最为3B+0-丽 34.ABC在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中0A=1,0B=4,OC=2.则平面ABC的一个法向 7/18 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 量是() A.（4,2,1 B.(1,2,4 C.(1-2,4 D.（-1,2,-4) 35.(多选)如图，四棱柱ABCD-A,B,CD,为正方体，则() ZA A D B C 卡B C A.直线DD,的一个方向向量为0,0，) B.直线BC,的一个方向向量为(0,1， C.平面ABB,A的一个法向量为0,1,0) D.平面B,CD的一个法向量为1,1，I 36.如图，在长方体ABCD-A,B,CD,中，AB=AD=1,AA=2,M,N分别为棱DD,BC上的动点（含 端点). A D M A D B N (1)当点M在什么位置时，有B,D⊥平面MAC? 2当动点M,N满足DDBC DM BN 时，求点A到平面AMN距离的取值范围. 8/18 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A D Bu Cu M 设DM=DD,∈[0，， A- D y B N 则A(0,0,0),B(1,0,2),C11,0),D(0,1,0),D(0,1,2,M0,1,22, ∴.BD=（-1,1,-2),AC=(1,1,0),AM=(0,1,2), 要使B,D⊥平面MAC, BD.AC=0, 需满足 BD·AM=0, 由8，D.AM=1-4=0,解得入=4 ·.当M是棱DD上靠近点D的四等分点时，有B,D⊥平面MAC. 题型10利用空间向量证明平行（共4小题）（重点） 37.如图，长方体ABCD-A,B,CD,中，AB=4,BC=3,CC1=2 D P D B (1)求证：平面A,C,B/1平面ACD; (2)线段B,C上，是否存在点P,使得AP/1平面ACD,. 38.如图，正四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，AD=2,DD,=4,O为BD的中点，E在线段CC上， CC,=4CE,M为AA的中点. 9/18 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A B M E D (1)证明：MC,/1OE; (2)证明：M01平面DEB. 39.如图，在空间直角坐标系O-3z中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为3√2，点M,N分别在 PA,D上，且PA=0=,试用向量法证明， Z M (1)求证：MN1AD; (2)取PC的中点E,求证：OE∥平面PAD. 40.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB=1,点 E是PD的中点，求证：直线PBII平面AEC; B 题型11利用空间向量证明垂直（共4小题）（常考点） 41.在正方体ABCD-A,B,CD1中，E,F,M分别是BB,DB,AA的中点，求证： (1)AD⊥BD. (2)EF⊥平面B,AC, (3)平面MBD⊥平面BC,D. 42.如图，已知圆锥PO,AB为底面圆O的直径，点C在圆O上（不同于A,B),BE=B所， 10/18 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CD=CP(0<λ<1). E 山若入=方证明：4D1平面oC, (2)若PA=AB=2BC=4,平面ABD⊥平面PBC,求的值. 43.正四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，底面ABCD的边长为2，A4=4,P为DD,上一点. D A B P B (1)若P为DD,中点，求证：BD,/1平面ACP. (2)若DP=1,求证：BD⊥AP 44.在正四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，AB=2BB1=2,P为B,C的中点. D M W B (1)取AD中点M,AB中点N,求证：MW⊥平面APC. (2)求证：平面APC⊥平面BDD,B 题型12异面直线角的求算（共4小题）（常考点） 45.如图，在三棱柱ABC-AB,C中，所有棱长均为2，∠AAC=60°，AB=√6. 11/18 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C B 夕 (1)证明：平面ABC⊥平面AACC; (2)求直线A,B与B,C所成角的余弦值； (3)求二面角B-A,B,-C的正弦值 46.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A,B,CD的棱长为1，E,在AB,上，F在CD上，且 3 BE:=D= D F A E卧 B B (1)求向量BE,DE的坐标； (2)求BE,与DE所成角的余弦值. 47.如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=4,BC=3,AC=5,BB,=3,D为棱AB的中点，则异面 直线AD和B,C所成的角的余弦值为() D A B A.3V26 B.V26 c.23 D.3 26 26 13 13 48.(多选)在棱长为2的正方体ABCD-A,B,CD,中，P是线段AC上的动点（包含两个端点），则下列结 论正确的是() 12/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.BP与AC是异面直线 B.过点P与BD,垂直的平面α截正方体所得截面的面积为V5 C.cos∠D,BP的最大值为 3 D,B,P+A,P的最小值为V12+4V6 题型13线面角与二面角的求算（共4小题） 49.如图，在四棱锥P-ABCD中，AD1/BC,AD⊥DC,BC=CD=;AD,E为棱AD的中点，PA⊥平面 ABCD. D E (1)求证：AB/1平面PCE; (2)求证：平面PAB⊥平面PBD; (3)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PBD所成角的正弦值. 50.在四面体P-ABC中，PA⊥平面ABC,4B=BC=2,LABC=120°若四面体P-ABC的体积为25 ,则AC与平面PBC所成角的正弦值为() A.V3 B.V5 C.v6 3 D.分 6 1 51.如图，四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，PA⊥平面ABCD,平面PAB⊥平面PBC· (1)证明：四边形ABCD是矩形； (2)若PA=AD=2AB=2,求直线PD与平面PBC所成角的正弦值. 52.如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=2,点M,N分别为PA,BC的中点，且∠BMD是二面角 13/18 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B-PA-D的平面角. B (1)求证：MN∥平面PCD; (2)求直线MN到平面PCD的距离； (3)点Q是线段MN上的动点，求直线PQ与平面PCD所成角的正弦值的最大值， 题型14点面距离的求算（共4小题） 53.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2AD=2,PA⊥平面ABCD,E为PD中点， 且PA=1. (1)求证：PB∥平面ACE; (2)求点B到平面ACE的距离： (3)求直线BE与平面PAB所成角的正弦值. 54.如图，在以A,B,C,D,E,F顶点的五面体中，四边形BCFE是矩形，平面ACFD⊥平面ABC, ∠DAC=90°. A E F (1)证明：BE⊥平面ABC; 2已知二面角4-BE-C是90°，AC=4D=BE=2,点B到平面4CE的距离为2 5 ①求BC; ②在棱AD上是否存在一点M,使得二面角B-ME-C的余弦值为？若存在，求出4M的值，若不存在， AD 14/18 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 说明理由， 55.在正四棱柱ABCD-A,B,CD中，底面边长为2，侧棱长为4，则C到平面AD,C的距离为 56.如图，在棱长为6的正方体ABCD-A,B,CD,中M,N分别为AB,BC的中点，点P在棱CC上，且 CP=2PC D A B D M B (1)证明：D,M,N,P四点共面： (2)设平面D,MNP与棱AA,的交点为Q,求点Q到平面MB,N的距离. 题型15空间几何体的体积的求算（共4小题）（重点） 57.如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD,AB=BD. D (1)证明：平面ACD⊥平面ABC; (2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D-AE-C的 余弦值。 58.(多选)在棱长为1的正四面体S-ABC中，M,N分别是棱AB,BC的中点，则下列说法正确的是 A.正四面体S-ABC外接球的体积是6 B.直线SM和AN所成角的余弦值为G C.可以用棱长为5的正方体切割出正四面体S-ABC D.若正四面体S-ABC的内切球为球O,在球O和各个顶角的空隙内分别放入一个和球O、顶角侧面 都相切的小球，则这5个球的半径之和为V6 59.（多选)如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，E,F分别是AD和B,C的中点，则() 15/18 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A E C A:. D B C A.EF∥平面ABCD B.A,C⊥BD C.三棱锥A-ABD的体积是正方体ABCD-AB,C,D,体积的】 D.异面直线4B与8，C所成角的余弦值为 2 60.在直四棱柱ABCD-A,B,CD,中，底面ABCD是平行四边形，且AB=2AD=2,DD,=V3,AD⊥BD, Q,H分别为AA,,D,B的中点. D A B H A B (1)求平面QBH与平面HBC的夹角的正弦值； (2)求三棱锥Q-BCH的体积. 题型16空间几何体存在性问题（共4小题）（难点） 61.如图，在三棱锥D-ABC中，AB=AD=BD=3W2,AC=7,BC=CD=5. D B (1)证明：平面ACD⊥平面ABC; 2)在线段CD上是否存在一点E,使得二面角E-AB-C的正切值为5？若存在，求出 CE CD 的值，若不存在， 请说明理由； 3)己知点P为线段CD上另一动点，过点P且与CD垂直的平面将三棱锥D-ABC分成左右两部分，设 16/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 DP=t,当t为何值时，右侧部分的几何体的体积为 64 2 9 62.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,E为线段PB的 中点，F为线段BD上的动点 D G B (1)证明：平面AEF⊥平面PBC; (2)设点G是线段PC上的一点，且满足PG=2GC,在线段BD上是否存在点F,使得A,E,G,F四点共面？ 若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由； (3)求平面AEF与平面PCD夹角的余弦值的最大值， 63.如图，正方体ABCD-A,B,CD,中，点E在棱CD上 A B A B (1)求证：EB,⊥AD,: BM 2 2设M在B,上，且MB有，是否在CD上存在点E,使平面AD,E1平面4ME,若存在，指出点E的位 置，若不存在，请说明理由. 64.如图1，正六边形ABCDEF的边长为2，O为中心，G为AB的中点.现将四边形DEFC沿CF折起到 四边形D,E,FC的位置，使得平面ABCF⊥平面D,E,FC,如图2. E 图1 图2 (1)证明：D,F⊥平面E,OG: 17/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)求二面角E,-OG-F的大小： DH ()在线段CD,上是否存在点H,使得BH/平面EOG?如果存在，求出DC的值：如果不存在，请说明理 由. 18/18