压轴03 期末真题·函数导数·不等式·解析几何·百练通关（60题6大压轴题型）（期末复习专项训练）数学苏教版高二选择性必修第二册

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 压轴03期末真题·函数导数·不等式·解析几何·百练通关 真题实战，百练通关 题型1导数在研究函数中的作用 题型4指对幂函数 题型2导数的综合应用 题型5“等式与不等式 题型3函数及其性质 题型6平面解析几何 题型1导数在研究函数中的作用（共10小题） 1.(24-25高二下·江苏期末)已知函数(x)的导函数为f'(x)=e-x-1,且函数f(x的图象经过(0,2)点 若对任意一个负数x,不等式<口-了儿+1恒成立，则整数的最小值为 【答案】2 【分析】根据题意，设函数f(x=e-】2-x+c,代入(0,2)点即可求出C,进而求出函数f(x)的解析式 2 将间题转化为a>e--,e-.0小，构造函数=心--x,x-,0,利用号数求出函数 4 的最值，从而得出答案 【详解】由函数fx)的导函数为f(x=e-x-1,所以设函数f(x=e-x-x+c, 2 又函数fx)的图象经过0,2)点，代入f(x,得2=e°-×02-0+c,解得c=1, 2 所以f到=e--x41. 因为对任意一个负数x,不等式子2<a-f八+1恒成立，即0<a-心+4+x, 1 得a>e*-1 x2-x,x∈(-0,0)， 4 构造数可=心之-，，则到=心分产 21, 令g=e-之x-1,则g=e令g到=0，解得x=-h2, 所以当xe(-o,-ln2)时，g(x)<0恒成立，即gx)在(-0，-ln2)上单调递减， 当x∈-ln2,0)时，g(x)>0恒成立，即gx)在(-ln2,0)上单调递增， 且a-n2-n2-1=h2<0,g10=0,-2>0,81-<0, 2 所以存在x使gx。)=0,且-2<x。<-1, 1/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以当x∈(-o,x)时，h'(x>0恒成立，h(x)在(-0，x)上单调递增， 当xexo,0时，h'x<0恒成立，h(x)在(x,0)上单调递减， 所以国在=6时取得最大值，为)=-式-式 由x,=0,得到e=2+l, 代入hx,)得到a)=es- 4-6= 462+1,e(-2,-1), 11 从而待函数m=e: 由于a>h(x)且a取整数，所以a的最小值为2 故答案为：2. 2.(24-25高二下江苏南京中华中学期末)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且满足 f2-)=f,f田<0，若x+x>2,x<,则() x-1 A.f(x)<f (x2) B.f(x)=f (x2) C.f(x>f (x) D.f(2025>f(2024 【答案】C 【分析】根据对称性可得函数y=f(x)的图像关于直线x=1成轴对称，结合已知可确定函数的单调性，从 而可判断f(2025),f(2024)和∫x),f(x,)的大小，从而得结论 【详解】由题设可知函数y=f(x)的图像关于直线x=1成轴对称， 且当x<1时，函数∫(x)是增函数，当x>1时，函数f(x)是减函数， 则f(2025)<f(2024),故D不正确： 因为x<x2,且x1+x2>2,所以x2-1>1-x, 该不等式说明x2到对称轴x=1的距离比x到对称轴x=1的距离远，即x,-1>:-1, 又函数∫(x)的函数值随自变量与对称轴距离的增大而减小， 所以f(x)>f(x2),故C正确. 故选：C 3.(24-25高二下·江苏南京中华中学期末)己知函数f(x)x∈R)图像上任一点(x,y)处的切线方程为 2/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y-。=(3-x(x6-)(x-x),那么函数f(x)的单调递增区间是（) A.(-0,-1)U(1,3) B.(-1,1),(3,+0) C.(-1,1)U(3,+o) D.(-0,-1),L,3) 【答案】D 【分析】由切线方程y-。=(3-x)x-1)x-x),可知任一点的导数为f'(x)=(3-x(x2-1),然后由 ∫'(x)>0,可求单调递增区间」 【详解】因为函数∫(x)的图像上任一点(x,)的切线方程为y-。=(3-xx-1)x-x), 即函数图像在点(xo,y)的切线斜率k=(3-x)x-1),所以f"(x)=(3-x)x2-1), 由f'"(x)=(3-xx2-1)>0,解得x<-1或1<x<3, 即函数f(x)的单调递增区间是(-∞，-1)，(1,3). 故选：D 4.(2425高二下·江苏南京师范大学附属实验学校期末)若函数f(x)=cosx-ax在定义域内单调递减，则实 数a的取值范围是 【答案】a≥1 【分析】根据给定条件，利用导数结合单调性建立恒成立的不等式求解 【详解】函数f(x)=cosr-ax在定义域为R,求导得f'(x)=-sinx-a, 依题意，xeR,f'(x)≤0，即a≥-sinx恒成立，而-sinx≤1，则a≥1， 所以实数a的取值范围是a≥1. 故答案为：a≥1 5.(24-25高二下江苏南京六校联合体期末)已知f(x)=ae-x. (1)求f(x)在x=0处的切线方程； (2)求(x)的单调区间： (3)若方程ae-x=0有两个不相等的实数根x,,且x<x2,求证：(1-a)x1>a. 【答案】(1)y=(a-l)x+a (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】(1)由函数解析式求导，从而求出切线斜率与切点坐标，可得答案： 3163 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 (2)由导数与函数单调性的关系，分情况讨论，可得答案： (3)由题意明确参数的取值范围，法1：整理方程，构造函数，利用导数研究新函数的性质，可得答案； 法2：由函数的单调性求得函数最值，结合题意进一步明确参数的取值范围，整理所证的不等式，利用函 数的单调性构造函数，根据导数求得最值，可得答案 【详解】(1)因为f'(x)=a·e-1,所以f'(0)=a-1,又因为f0)=a, 所以f(x)在x=0处的切线方程为y-a=(a-l)x,即y=(a-1)x+a. (2)因为f'(x)=ae-1, ①若a≤0，则∫'(x)<0恒成立，所以f(x)在(-0，+o)单调递减，无增区间. ②若a>0,令f'(x)>0得x>-lna,令f'(x)<0得x<-lna, 所以f(x)在(-o,-lna)单调递减，在(-lna,+oo)单调递增. 综上所述，当a≤0时，∫(x)在(-o,+o)单调递减，无增区间； 当a>0时，f(x)在(-o,-lna)单调递减，在(-lna,+o)单调递增 (3)若a≤0，由(2)知f(x)在(-0，+o)单调递减，方程至多有一个实根，不符题意， 所以a>0. 法1.由题意知ae=,所以a=。点，且>0 要证(1-a)x,>a,只要证(1-a)ae>a,只要证(1-a)e>1, 只要正。点e>1,只要证e-与>1. 令g(x)=e-x-1,，x>0,g'(x)=e-1>0, 所以g(x)在(0，+0)单调增，g(x)>g(0)=0, 因为x>0,所以gx)>0,即e4-x>1, 所以(1-a)x>a得证. 法2.由(2)得f(x)在(-oo,-lna)单调递减，在(-lna,+o)单调递增， 所以f-ha)=1+na<0,所以0<a日 因为。1<-ha,所以2。ee-h0, 要证0->a,只婴证>。，只要证<fa), 4/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 只要证/a小0 ae-1） 1-a 1-a 令g(x)=e-x-1,x>0,g'(x)=e-1>0, 所以g(x)在(0，+oo)单调增，g(x)>g(0)=0, 所以>0时，e-x>0恒成立，令x。得c->0 1-a 所以品>0 所以(1-a)x1>a得证. 6.(24-25高二下江苏南京六校联合体期末)已知实数x,y,z均小于1，且满足e-e:3=e-(x-l1og,3) ,e'-ee,5=e-(y-log5),e-eos8=e(z-log,8),其中e为自然对数的底数.则x,y,z的大小关系 是 ·(用“<”连接) 【答案】x<y<z 【分析】构建函数f(t)=e'-et,利用导数分析f)的单调性，再确定f(x),fy),f(z)的大小关系，结合单 调性即可得解。 【详解】由e-cs3=e(x-log,3),得c-ex=ee3-elog3, 由e'-eg,5=e-Uy-log,5),得e'-ey=ee5-elog5, 由e-eoe8=e(z-log,8),得e-ez=eog,8-elog,8, 设f()=e'-et,其定义域为R,求导得f'()=e'-e, 当t>1时，f'()>0;当t<1时，则f'()<0,函数f)在(L,+∞)上递增，在(-o,1)上递减， f(x)=f(log2 3),f(y)=f(log;5),f(z)=f(log;8), 1og,8=1og,81og,3<(o8:8+lo8,3=0og,V242<1, 1og35 2 则1=loe,5<1og,8<1og,5<lg35<=lg22<1oe3. 于是f(log,8)<f(log5)<f(log23),即f(x)>fy)>f(z),而x,y,z都小于1， 所以x<y<z 5/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：x<y< 7.(24-25高二下江苏徐州期末)已知函数f(x)的定义域为R,定义集合 S={x月ε>0，x∈(x-6,x,f(x>f(x}.若S=[0,2,则() A.fx)在(-0,0)上单调递减 B.fO)是∫x)在R上的最小值 C.存在f(x),使得0是f(x的极大值点D.存在f(x),存在x1∈(2，+)使得f(x)≤f(2】 【答案】D [2,x<0 【分析】对于ABD:举特例f(x)=1-x,0≤x≤2，结合题意分析判断即可；对于C:根据题意利用反证 -1,x>2 法结合极值点的定义分析判断 2,x<0 【详解】对于选项ABD:例如f(x)=1-x,0≤x≤2，其图象如图所示： -1,x>2 2 y=f(x) 当，<0时，对任意ε>0，x∈(x-6,x),均有fx=fx)=2,即xS; 当x,=0时，对任意ε>0，xe(x-c,xo,均有f(x)=2>1=f(0),即0eS; 当x∈(0,2时，因为f(x)在[0,2内单调递减， 则存在ε>0，对xEx-c,x)[0,2],均有f(x>f(x),即x∈S: 当x,>2,对任意ε>0，均存在xex-6,x),使得f(x=f(x)=-1，即xS: 综上所述：S=[0,2]符合题意 显然∫x)在-o,0)上不是单调递减，故A错误； f(0)不是f(x在R上的最小值，故B错误： 6/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 若x1e(2,+0）,则f(x)=f(2)=-1,故D正确： 对于选项C:因为0∈S,则存在e>0,对任意x∈-c,0),均有f(x)>f(0), 假设0是f(x的极大值点，则存在ε>0，对任意xe(-6,0),均有f(x<f(0), 两者相矛盾，假设不成立，故C错误； 故选：D 1 8.(24-25高二下江苏南通期末)已知函数f(x)=二x2-(a+1)x+alnx,a>0. 2 (1)若a=1,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程； (2)求函数y=f(x)的单调增区间； (3)若f(x)存在极大值点x,求证：f(x)<0. 【答案】（①y=- (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而可求出切线的方程； (2)求导，分情况讨论函数的单调递增区间； (3)利用函数的单调性求出函数的极大值，根据©的取值范围进而可证明 【详解】1若。=1，则f)=-2x+nx,/0=多，f)=x-2+} 3 :曲线在x=1处切线的斜率k=f'(①)=0， :曲线y=f)在x=1处的切线方程为y=-3 (2)f()=x2-(a+1r+alnr,定义域为(0，+o), ∴f)=x-a-1+0=-a+lx+a-x-1x-四， 当a>1时，令f'(x)>0,得0<x<1或x>a, “函数f(x)的单调增区间为0,1)和a,+o): 当a=1时，∫)=-少≥0，：函数f)的单调增区间为0，o): 当0<a<1时，令f'(x)>0,得0<x<a或x>1, :函数f(x)的单调增区间为(0，a)和(1，+oo). 7163 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 综上，当a>1时，函数y=f(x)的单调增区间为(0,1)和(a,+o): 当a=1时，函数y=f(x)的单调增区间为(0，+oo): 当0<a<1时，函数y=f(x)的单调增区间为(0，a)和(1，+o∞)： (3)当a>1时，函数f(x)在0,1)和(a,+o)上单调递增，在(1，a)上单调递减， :)的极大值为f0=号a<0: 当0<a<1时，函数f(x)在(0，a)和(L,+oo)上单调递增，在(a,1)上单调递减， 的极大值为@=0-(a+a+aha=a(-0-i+na :0<a1,aa<0,a-1+na<0,a<0: 当a=1时，f(x)在(0，+oo)单调递增，此时f(x)无极值，不合题意； 综上，若∫(x)存在极大值点x,则f(x)<0. 9.(24-25高二下江苏南通期末)函数f)=,x-4x+在区间-3,3上的最大值为 3 3 【省1号 【分析】由导函数的正负研究函数单调性，进而得到极值，比较极值和端点函数值的大小确定函数的最大 值 【详解】由题意，∫'(x)=x2-4=x+2)(x-2), 所以，x∈[-3，-2)时，∫'x)>0,f(x)单调递增；x∈-2,2)时，∫'(x<0,fx)单调减；x∈(2,3]时， f'(x)>0,f(x)单调递增 又f0-2)=-8+8+- +写3f3到=x27-4x3+{ 。.117 1817 3 +3=33 所以，质数f在区同间3上的最大值为号 17 故答案为： 10.(24-25高二下江苏南通期末)（多选）己知实数a,b满足e1-b)=b2,则() A.当b=1时，aeR B.当b≠0且b≠±1时，-1<a<0 C.当b>1时，a<-1 D.当-1<b<0时，a<-1 【答案】AD 8/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】A选项，代入验证可得：C选项，可举出反例；B选项，变形得到a=血b 1b2,令 bi=te(0.1)U(1.+),a=Imt, 一令刊=10UL,+小，求导得到其单调性，结合函数走身， 得到a<0:D选项。令6=10小，则0-证明-1，即正n1<1-,构造函数可正，等到结 论 【详解】A选项，b=1时，e°=1恒成立，故a∈R,A正确； B选项，当b≠0且b≠±1时，e-b)=b2两边取对数，a1-b2)=lnb2, 即a吃h,令1e0,U山，+m,则a=n1 1-t 令f=1eau+e,则rg= 1-小+nt1+int (1-2(1-2 令e0=1+n,则a0=+片分 当te(0,1时，g'(t)<0,当te(1,+o)时，gt)>0, 故g=1+1在1e0,上单词递减，在1，+a上单调递增， g)>g)=0,故')>0，所以f1)=1在(0，，山，+∞上单调递增， 1-t 且趋向于0时，-趋向于，当>1时，小<0， 故a<0,B错误： C选项，当b>1时，e=两边取对数，a1-b)=n6,a= 1-b2 不妨令6=2，则a=血4-n4-1,0,C错误 1-43 D选项，-1kh<0时，由B,a,令=1e0,则06 1- 下面证明血，<-1，即证n1<1-1, 1-t 令h)=n1-1+1,h=1='>0, 故h(t)=lnt-t+1在(0,1上单调递增，且h(1)=0, 所以lnt<t-1,故a<-1,D正确 故选：AD 题型2导数的综合应用（共10小题） 9163 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 11.(24-25高二下·江苏南京第一中学)如图，几何体OAB-0,A,B,是圆柱的四分之一部分，其中底面OAB 是半径为2的扇形，母线长为4，C是OO的中点，M为AB,的中点. A :=B (1I)证明：CM/面OAB: (2)若P在弧AB中点，求平面ACM与平面PCM所成角的正弦值； (③)诺P是弧B上的动点，Q是弧4上的动点，且∠40P+∠A0Q-受求直线04与直线P0所成角 余弦值的最大值， 【答案】(1)证明见解析 ②3 3 (3)30 10 【分析】(2)过点Q作QD1/AA,取QD的中点N,连接CN,MN,分别证得CN/1平面OAB和MN//平 面OAB,得到平面CMN/1平面OAB,即可证CM/I平面OAB; (2)以O为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面ACM和平面PCM的法向量，结合向量的夹角公 式，即可求解； (3)设∠A0P=a,得到P(2cosa,2sina,0)和Q(2sina,2 cosa,4),设异面直线OA与PQ所成的角为B, 结合向量的夹角公式，求得cos阝= I(sina-cos)+4,令1=sina-cosa,得到 V5.√6-4 sina cosa 1 cos B= 厂+8+16，设f)=产+8牛16，利用导数求得函数的单调性和最大值，即可求解 V10V2+2 t2+2 【详解】(1)证明：如图所示，过点Q作QDI1AA,取QD的中点N,连接CN,MN, 在矩形ODQO,中，因为C为OO的中点，可得CN11OD, 因为CNd平面OAB,ODc平面OAB,所以CN/平面OAB, 在DPQ中，因为M,N分别为P2,DQ的中点，可得MN∥DP, 10/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因为MN平面OAB,DPc平面OAB,所以MNI/平面OAB, 又因为CNOMN=N,且CN,MNc平面OAB,所以平面CMNI/平面OAB, 因为CM∈平面CMN,所以CM1/平面OAB (2)解：以0为原点，以OA,OB,OO1所在直线为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为底面0AB是半径为2，母线长为4，C是OO的中点，M为AB的中点， 可得A(2,0,0),C(0,0,2),B,(0,2,4),M1,1,2),P(2,√2,0)， 则AC=(-2,0,2),CM=4,1,0),Cp=(2,V2,-2), 设平面4CW的法向量为=，，则区4C-2+2%=0。 CM==0 令x=1,可得”=-1,1=1，所以m1=(1,-1,1) 设平面PCM的法向量为乃，=（化⅓，2），则 m,·CP=-V2x,+V22-222=0 元，CM=x3+y=0 令x2=1,可得y2=-1,22=1,所以n2=(1,-1,0), 设平面ACM与平面PCM所成的角为O, n'n2 则cos0=cosn,n2= 2√2 n n2 v5x反5，所以sin9=5 3 (3》解：若P是孩B上的动点，0是敦A上的动点，且∠40P+∠400- 设L40P=a,则∠A00-7a,其中[0，] 2 P(2cosa.2sima.0).O(2co(-@).2sim@).0.Q(2sina.2cosa.4). 又由A(2,0,4),所以0A1=(2,0,4),Pg=(2sina-2cosa,2cosa-2sina,4), 可得0A·P0=4sina-cosa)+16,0A=2W5,且Pg=24-16 sina cosa, 设异面直线OA,与PQ所成的角为B, 04,PO 则cosB=cosO4,Pg 4(sina-cosa)+16 (sina-cosa)+4 OA PO 2v5.24-16sina cosa 5.6-4sina cosa t=sina-cosa=2sin(a-")e[-1,1].2sina cosa=1-, 11/63 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 t+4 t+4 1 2+8t+16 则cosB= 5.√6-(2-2r5V2r2+41oVP+2 令f4=+8+16,其中te-1, t2+2 可得f'0)=1+81+16-40+421-) t2+2 (t2+2)2 当1-l时，f">0,f)单调递增：当1(5川时，4<0，f)单调递减。 3310 所以f0)m=f()=9,所以cosB≤ 1010 所以线OA,与直线PQ所成角余弦值的最大值为30 10 0 B 12.(24-25高二下·江苏淮安·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB1ICD, AD⊥CD,AB=PD=AD=CD=2.PD⊥平面ABCD,点E为棱PC上的点，点F为棱AD上的点， 2 点G为棱PB上的点. G B (I)若E、F分别为棱PC,AD的中点，证明：EF∥平面PAB; (2)求PD与平面PBC所成角的正弦值； 、3)若DF=PG=E九2E0,,当入取何值时，三楼锥C=FG体积取得最大. 【答案】(1)证明见解析 (26 3 ③=35 3 12/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(I)取BC的中点M,连接EM,利用线面平行的判定定理证明EMI∥平面PAB,FM∥平面 PAB,进而利用面面平行的判定定理证明平面PAB∥平面EFM,最后利用面面平行的性质定理证明线面 平行 (2)建立空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量，利用向量法求解线面角的正弦值 (3)法一：设点F到平面EGC的距离为h,三棱锥C-EFG体积为'（入），利用向量法求得点D到平面 PBC距离，即得点F到平面PBC距离，利用等面积法求得点B到棱PC的距离，进而求出EGC的面积及 ”(2):号A2-川区-2小，利用导数法求得其最大值： 法：由等积法可知=21-刘m=1-2刘=1-A刘2×兮5×PD-a1-2刘2-A刘× 设r(2=4入（入-（久-2），利用导数法求得其最大值。 3 【详解】(1)取BC的中点M,连接EM, 因为E、F分别为棱PC,AD的中点， 所以EMIPB,FMI∥AB, 因为EM平面PAB,PBc平面PAB, 所以EM∥平面PAB,同理FM∥平面PAB, 因为EM∩FM=M,EM,FM∈平面EFM, 所以平面PAB∥平面EFM, 又因为EFc平面EFM,所以EF∥平面PAB (2)由题意中AD⊥CD,PD⊥平面ABCD得DA,DC,DP两两垂直， 以DA,DC,DP为正交基底建立空间直角坐标系D-z, 则因为AB=PD=AD=二CD=2, 所以P(0,0,2),A2,0,0),C(0,4,0),B2,2,0),D(0,0,0), 所以PD=(0,0,-2,BC=(-2,2,0),PB=(2,2,-2) 13/63 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 设平面PBC的一个法向量元=(，y,), n.BC=0「-2x+2y=0 则 → 元.PB=0 2x+2y-2z=0 不妨设x=1,则y=1,z=2,即：i=(1,1,2), 设PD与平面PBC所成角为O, 则sin0=cosi,PD= PD PD 3 所以PD与平面PBC所成角的正弦值为y6 (3)法一：设点F到平面EGC(也即平面PBC)的距离为h, 三棱锥C-EFG体积为V(2),则Vc-c='F-Gc, 由(2)可知平面PBC的一个法向量方=(1,1,2)， 点D到平面PBC距离hn-Pc= .DC_26」 3 国为8贺-收ea小.所U点F到平面P9CE商名--石 PB=V22+22+(-22=2N3,PC=V02+42+(-2)2=2N5,BC=V22+(-22+02=2W2, 所以PC2=PB2+BC2，即△PBC为直角三角形，所以SAPc=2V6, 所以点B到棱PC的距离为25×22_26 25 又因为侣是=，所以C-251-2小，且点G到边c销纯离为誓， 2√6 所以EGC的面积为×2W51-2刘×261=261-). 所以训=m-写26-刘-手2-州-小.其中10. 所以r(2)=2产-3+2刘，所以r(=3-62+2, 令r刘=32-6+2到=0可得-3 3 ,列表如下： 14/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 035 3-√5 3- 3 3 31 V'(2) X 0 '(2) 递增 极大值（最大值） 递减 答：当1 3-V3 取何值时，三棱锥C-EFG体积取得最大. 3 法二：三棱锥C-EFG体积为V(2),则'c-rc='r-EGc, 因为PG=PE=元，所以Sc=2Soc,Sec=1Sc, PB PC 所以S.cEG=(1-入)SGc=2(1-2)SPBc, 所以=A-刘微=1-2刘度=1-刘2×兮服×PD=21-A刘2-刘×等 3 则7a刘=32-61+2列， 令P利-2-61+2列=0可行A3- 3 ,列表如下： 035 3-V5 3-5 3 ,1 3 3 V'(2) 0 r(2 递增 极大值（最大值） 递减 答：当元=3-5 取何值时，三棱锥C-EFG体积取得最大. 3 13.(24-25高二下江苏镇江中学期末)已知函数fy)=C-mr(e为白然对数的底数)，若x>0在 (0,+0)上恒成立，则实数m的取值范围是 e 【答案】 0,4 【分析】根据题意得m< e 令x)=Cx>0,求导求最值即可 min 15/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】由已知e-x>0在(0，+0)上恒成立， 所gm<二在0，+∞上恒成立 ,其中x∈0，+0， 令x=gx>01,则=ex-2x>0): x3 令h'(x>0,解得x>2,令h'(x<0,解得0<x<2, 故h(x在(0,2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增， e2 故h(x=h(2)= 4 故m< 所以m的取值范围是 4 0,4 故答案为： 14.Q425高二下江苏南京文轻高级中学期未已知曲线)=到=-ar+6:+1在点0，f0)处的切 线的斜率为3，且当x=3时，函数∫x)取得极值 (1)求函数的极值； (2)若存在x∈[0,3]，使得不等式f(x)-m≤0成立，求m的取值范围 【答案】0极大值是/刊=子极小值是)-1： (2)m≥1 【分析】(1)由题意可得∫'(0)=3，'(3)=0，求得函数的解析式，再利用导数判断函数的单调性，求 函数的极值： (2)根据(1)的结果求函数的最值，不等式可得m≥[f(x)]。,即可求解m得到取值范围 【详解】(1)f(x)=x2-2ax+b,由导数的几何意义可知，f'(0)=b=3, 且f'(3)=9-6a+3=0,得a=2, 所以到-写-2+3x+1,八到=-4+3=0，得：=1或x=3 16/63 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 f'(x>0,得x<1或x>3,f'(x)<0,得1<x<3, 所以f(x)的增区间是(-0,1)和(3，+o),减区间是(1,3)， 所以到的极大值是刊=了，极小值是3到=山， (2)由(1)可知，f(x)在区间0，单调递增，在区间[1,3]单调递减，f(0)=1=f(3), 7 所以f(x在区间[0,3的最大值为f(=3f(0)=f3)=1, 若存在x∈[0,3引，使得不等式f()-m≤0成立，则m≥[fx]。, 所以m≥1。 15.(24-25高二下·江苏扬州期末)已知函数f(x)=e-anx-1. (1)若∫(x)在x=1处取极值，求实数a的值： (2)若a=1,求曲线y=fx)过原点的切线方程； (3)记max{f(x,gx}= f(x),f(x)≥g(x) gx,了<g,已知max{/(,x+e-2引存在最小值(a,求a(a)的最大值。 【答案】()a=e (2)y=(e-1x (3)e-1 【分析】(1)依题意，可由f'(1)=e-a=0求得a=e,再代入检验即得： (2)a=1时，设切点为xo,e-lnx,-1,求导得到切线方程，依题将原点代入得到lnx,=e(1-x,分 类讨论该方程的解，即可确定x=1,回代入切线方程化简即得； (3)记F(x=max{f(x,x+e-2,可得F(1)=e-1,故有h(a)=F(xm≤F(四=e-l:又由(1)可得 a=e时，f(xnn=f=e-1,由条件得到F(x)m≥f(x)=e-l,故得当a=e时，F(xn=e-l. 【详解】(1)f(x定义域为(0，+∞），fw=e- 因为fx)在x=1处取极值，所以f'1=e-a=0,解得a=e. 而当a=e时，'(x)=e-e在(0，+o)上单调递增，又')=0， 17/63 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 所以xe(0,1时，f'(x)<0,f(x)在(0,1上单调递减， x∈(1，+o)时，'(x)>0,∫(x)在(1，+o)上单调递增， 所以f(x)在x=1处取极小值.综上，a=e. (2)a=1时，fx)=e*-lnx-1,fx=e-1, 设切点为(，e5-n,-小，则切线斜率k=f"(x)=e5-1 2x0 所以切线方程为：y-(e”-lnx,-1)=(e-x-x,), xo 将1a0代入：-e-h6-=-e-》月 整理得lhx=e(1-xo)，,x=1时，方程成立； 且当x∈(0，时，lnx<0,而e(1-xo>0; 当x∈(L,+o)时，lnx>0,e(1-x)<0,均不满足nx。=e(1-x); 故方程有唯一解x。=1, 所以切线方程：y-(e-lnl-l=(e-1)(x-1,整理得：y=(e-1)x (3)F(x)=max{f(x),x+e-2, 一方面，注意到F1)=max{f1,l+e-2}=max{e-l,e-1}=e-1, 所以h(a=F(x)mm≤F(I=e-l,① 另一方面，由(1)知，a=e时，f(x)。=f=e-1, 又max{f(x,gx}= 所 所以F(xmm≥f(xm=e-1, 结合①可知，a=e时，F(xn=e-1.② 综合①②，h(a)的最大值是e-l. 16.(24-25高二下江苏镇江第一中学期末)设函数∫(x在x处有极值，且f(x)=x,则称x为函数 18/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 fx)的“F点”. (1)判断函数y=x-sinx是否存在F点； (2)设函数f(x=kx2-2lnx(keR),当f(x存在F点，求k的值； (3)设函数gx)=ax3+bx2+cx(a≠0)，存在两个不相等的“F点”x，x,且g(x)-g(x2≥1，求a取值范 围 【答案】（①）不存在F点 (2)k=1 (3)a∈[-2,0). 【分析】(1)利用导数得函数无极值点，即可判断； (2)先求函数极值点，再根据题意f(xo)=x,,得x+2lnx。-1=0,构造函数t(x)=x+2lnx-1,利用单 调性求解k=1; (3)根据题意x,x2是g'(x)=0的两根，且g(x1)=x,gx2)=x2,由韦达定理表示出x,x2的关系， 再由gx)-gx2)=x-x2,可得a,b,c的关系式，根据已知解g(x)-gx2=x-x≥1即得。 【详解】(1)y=1-cosx≥0恒成立，故函数单调递增， 函数无极值，所以不存在F点； (2)解设无>0是函数f(到的一个F点，/时=2-山x>0: 当k≤0时，f'(x≤0，函数f(x无极值： 当>0时，令川0，得：5侵>0 由f(xo=x0,得：+2lnx-1=0. 设t(x=x+2lnx-1,则t(x)在(0，+o)单调递增， 且(1=0，得x=1,所以k=1. 当k=1时，x=1是极小值点，所以x=1是函数的一个F点， 综上，k=1. (3)g'(x=3ax2+2bx+c(a≠0)，则x1,为2是g'(x)=0的两根 19/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 -2b 所以：△=4b2-12ac>0,x1+x2= 30=,9 a 由gx)=x1,8x2)=x2,则g(x)-g(x2)=x-x2, 所以化简得：a(x+x)-xx+b(x+x)+c=1. :号+）e=1,:25c-=a 所以g(x)-g(x川=k-x= 4b2-12ac 3a 21,得ae-2.0 V a 17.(24-25高二下江苏镇江第一中学.期末)己知函数f（x)=x3+x+b在点P(1,∫(1)处的切线方程为 y=-1. (1)求实数a,b的值： (2)求函数x)在[-3,3]上的最大值. 【答案】0b=1 a=-3 (2)最大值为19 【分析】(1)利用导数的几何意义可得(=0，同时点P(1,f1)在切线上，即f①)=-1，联立方程即 可求解 (2)利用导数判断∫(x)在[-3,3]上的单调性，先求出极大值，再求出端点值，比较后得到最大值即可 【详解】(1)f'(x=3x2+a, f(1)=a+b+1=-1 a=-3 f0=a+3=0，解得6=1 且 (2)由(1)得fx=x3-3x+1,f'(x)=3x2-3, 令'(x=0,解得x=1, 当-3<x<-1或1<x<3时，f'(x)>0,当-1<x<1时，f'(x)<0, 所以f(x)在-3，-1)和1,3)单调递增，在(-1,1)单调递减： 所以x=-1时，∫(x)取到极大值，极大值为f(-)=3, 20/63 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 又f(3)=19>f(-1, 所以函数f(x)在[-3,3]上的最大值为19 18.(24-25高二下江苏连云港期末)已知aeR,函数f(x)=ae2x+a-2)e-x. (I)当a=1时，求曲线f(x在点(1，f(处的切线方程： (2)讨论函数∫(x)的单调性： (3)当a>0时，求函数f(x)在区间0,1上的最小值. 【答案】(1)y=2e2-e-1x-e2 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】(1)求导，可得∫1，∫'(，结合导数的几何意义，点斜式求切线方程； (2)求导可得f'(x)=(2e+(ae-),分a≤0和a>0两种情况，利用导数分析f(x)的单调性： (3)分类讨论-lna与区间[0，的关系，根据单调性求函数最小值即可 【详解】(1)当a=1时，则f(x)=e2-e-x,∫'(x=2e2-e-1, 可得f1=e2-e-1,f'1=2e2-e-1, 即切点坐标为1，e2-e-1,切线斜率k=2e2-e-1, 所以fx)在x=0处的切线方程为：y=(2e2-e-1(x-1)+e2-e-1. 即切线方程为y=2e2-e-x-e2. (2)由题意可得：f'(x)=2ae2x+(a-2)e*-1=(2e+lae-1, 注意到e>0,2e+1>0, ①若a≤0，f'(x)<0,则f(x在-0，+0)上单调递减， ②若a>0,令f'(x=0时，解得x=-lna, 当x>-lna,f'(x>0;当x<-lna,f'(x)<0; 所以fx)在(-lna,+oo)上单调递增，在(-o,-lna)上单调递减， 21/63 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 综上，a≤0时，f(x在(-o,+o）上单调递减； a>0时，fx)在(-lna,+o)上单调递增，在(-o,-lna)上单调递减. (3)由(2)知a>0时，f(x在(-lna,+o)上单调递增，在(-o,-lna)上单调递减， ①当-lna≤0时，即a21时，函数f(x)在区间[0,1上单调递增， 所以f(x)mn=f(0)=2a-2; ②当0<-na<1时，即<a<1时，函数f(x)在区间0，-lna]上单调递减， 在创-na上单调端塔，所以。=f-ha)=1+aa合 ③当-na≥1，即0<a≤时，函数x)在区间[0,1上单调递减 所以f(x)nn=f=ae2+(a-2e-1 上，a2西f=2a-2ka<时/1+ha表 e 0<a≤时，fxnm=ae2+(a-2)e-l. 19.(24-25高二下·江苏苏州调研)信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量X所有可能的取值为1、 2、、n,且P(X=i)=p1>0(i=1,2,,n), ∑p=1,称H(X)=-∑p,lnp,为X的信息嫡，用来刻画 随机变量X蕴含的信息量的大小 (1)抛掷一枚质地均匀的警子（一种各个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点的正方体玩具），记出现 向上的点数为X,求H(X)的值； (2)若n=2,求H(X)的最大值； (3)求证；H(X)≤lnn. 【答案】(1)H(X)=n6 (2)ln2 (3)证明见解析 【分析】(1)求得P(X=)=(i=1,2,,6),结合题中定义可求得H(X)的值； 6 (2)当n=2时，求得H(X)=-[p,lp,+(1-p)ln(1-p)门]，令fp)=-[plp+(1-p)ln(1-p)](0<p<1) 22/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ,利用导数求出函数f()的最大值，即为所求： (3)先证明出x≥1-(x>0,然后利用作差法证明出lnn-H(X)≥0，即可证得结论成立 【详解】(1)由题意可知，PX==i=1,2,6),则H(X)=-立p,nn,=-6x之n2n6 66 (2)若n=2,则H(X)=-[p,lp,+plnp=-[plp,+(1-p)ln(1-p,)门]， 记f(p)=-[plp+(1-p)n(1-p)](0<p<1), 则f'(p)= In(1-p)Inp, 当0<p<分时，1-p>p>0,p小>0：当p<1时，p>1-p>0,小k0, 所以p在(0 上单调递增，在行上单调递减， 故(X的最大为付)=n2。 (3)下面先证：x≥1-(x>0),构造函数A)=nx+-1,则)=-二 XX-X 由h'x<0可得0<x<1,由h'x)>0可得x>1, 则h(x在(0,1上单调递减，在(1，+oo)上单调递增， 所以h(x)≥h=0,即r≥1-I 因为n-H(X)=n+交pn)-2(na+2php=2[D,n(g】 小o 当且仅当吧，=1，即P,=二时取得等号，所以H(X)≤lnn. 20.Q425商=下江苏有京第一中学)已知函数f=写+r+ax。 (1)若函数f(x在区间[2，+0)上单调递增，求实数a的最小值； (②若函数g=,对，，俊f≤g成立，求实数a的取值范围。 【答案】(1)a≥-8 16 ②as 23/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)根据f(x)在区间2，+0）上单调递增得出x∈2，+∞)，f'(x)≥0恒成立，再结合二次函数单 调性计算求参； (2)把不等式关系转化为f(x)m≤gx,求出导函数得出gxx=g)=。,再分类讨论得出 ∫(x，最后列式计算求解 【详解】)因为f-号+r+a,所以f到=r+2x+a 又因为函数∫x在区间[2，+o）上单调递增，所以x∈[2，+∞)，'(x≥0， 所以xe[2,+0）∫'(x=x2+2x+a20恒成立， y=r2+2x+a,xe2,+0)单调递增，所以∫"xn=4+4+a≥0，所以a≥-8； (2)函数到-，对el.3,e,使八≤g成立， 所以f(x)mas≤82)max, 函数g'(x)=e-ex-1-x 当xeL,8s0,8国单调递减，所以g=g川- 因为f到=写式++a,所以=+2x+a 因为y=x2+2x+a,xe[1,3]单调递增，所以f'(x)e[3+a,15+a, 当a≤-15时，所以f川≤0，所以f到单调递减，所以m=f刊=号a,所以+as 3 。3,所以a≤-15， 当-15<a<-3时，3xe[1,3,f'x)=0, x∈[1，x],f'(x<0,所以f(x单调递减，xe[x,3,f'x>0,所以f(x单调递增， 八3)=18+3a0=a+兮所以最大值是，f川到中较大的，所以18+3as且as, e e 所以-15<a≤ -6, 3e 当a≥-3时，所以f"()≥0，所以f(x单调递增，所以f(x=f(3)=18+3a,所以18+3a≤ e q≤，-6，所以a无解) 24/63 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 综上得：a 1-6 3e 题型3函数及其性质（共10小题） 21.(425商=下江苏南京中华中学期有已知定义在（一5.列上的雨致1到-9满足前数八因为 奇函数， (1)求a,b的值： (2)用单调性定义证明：函数f(x在区间(-√2，V)上单调递增. 【答案】(1)a=1,b=0 (2)证明见解析 【分所】1)由题意可有/10=0，结合付)高可求得：=-1,6=0： (2)根据函数单调性的定义，任取xx,∈-√2,2)，且x<x2,计算推得f八x)<fx2),即得函数f(x)在 区间(-√2，V2)上单调递增 【详解】(D由题意可知f0=名0，得6=0，所以f(创=x2 ax 19,得a=1, 3 此时函数=x十2满足)=-，是奇函数， 故a=1,b=0 (2a=1,6=0符/=72 x,x∈-2,2)，且x<x2,有 =22砖+2到-+2 (x2+2x号+2(x+2x号+2 由于-√2<x<x2<√2，所以x2-x>0,xx2-2<0, 所以fx)-f(x2)<0,即f(x<fx), 所以函数f(x)在区间(-√2，√2)上单调递增 25/63 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 22.(24-25高二下江苏南京师范大学附属实验学校期末)己知函数f(x)是偶函数，gx)是奇函数，且 f(x)-g(x)=e*. (1)求f(x)和gx)的解析式： (2)若关于x的不等式f(x)<gx在区间 上恒成立，求实数m的取值范围； ,8(x=e-e 【答案】()fx)=e+e 2 (2m<e+1 1-e 【分析】(1)利用函数的奇偶性，列出方程组，即可求得答案； (②)分离参数，可得m<。+。在区间日]上恒成立，继而料适函数，将问题转化为求解函敷最值间题。 e-x-ex 即可求得答案 【详解】(1)因为函数f(x)是偶函数，gx是奇函数，且fx-gx=e, 故f(-x-g(-x=e,即f(x+gx)=e, f(x)-g(x)=e* f(x)=e'+e* 故可得 2 f(+8x)=ex,解得 8(x)=e-er 2 2,8x=e-e 即f(x)=e+ 2 (2)由f(x)<mgx,可得e+e <m.e-e 2 结合题意可知e+e*<me-e)在区间[2]上恒成立， 由于y=e,y=-e均为R上单调递减函数，故y=e-e在区间22上单调递减， 故e-e<e-e-6<0 Ve 故m<。在区间]上恒成立 e-x-e* 设h(x)=e+e e*+e-x e2x+1 则h(x)= 2 e-x-er e-er-1-c=-1- 2x-1 由时少产1车]上单同递，成)。在]上单淀减 则川x刘=-1- 26/63 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 故lx刘n=2i-e' 1e+1 故实数m的取值范围为m<e+1 1-e 23.(24-25高二下江苏南京师范大学附属实验学校·期末)（多选)下列说法正确的是() A.若向量ā=(m,-2),b=(m+l,,则“m=-2”是“a⊥b”的充分不必要条件 B.命题“x>0,都有e>x+1”的否定是“3x>0,使得e≤x+1” C.若x>3,则x+4的最小值是5 x-1 D.函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1,且f-1=5,则f(3)=5 【答案】ABD 【分析】对A,根据充分必要条件的定义进行判断；对B,根据含量词的命题的否定进行判断；对C,根 据基本不等式取最值“一正、二定、三相等”进行判断；对D,由已知得到∫(x)周期进行计算 【详解】对于选项A,若m=-2,则a=（-2,-2),b=（-1,1),ab=（-2)×(-1)+(-2)×1=0, 所以ā上b,即“m=-2”是“a⊥b”的充分条件： 若a⊥b,则ab=m(m+l)+(-2)×1=0,解得m=-2或m=1,即m不一定是-2， 所以“m=-2”不是“ā⊥b”的必要条件： 故“m=-2”是“ā⊥万”的充分不必要条件，A正确： 对于选项B,含量词的命题的否定，一是改量词，二是否定结论， 这里将“x”改为“3x”,将"e*>x+1"改为“e≤x+1”,B正确； 对于选项C,x+ +x-1+1224+1=5, +1x-1+4 当且仅当x-1= x一，即=3时取等号，而x>3,所以x+4 4 >5,C错误； -1 对于选项D,由f(x+1)=f(x-1得f(x+2)=f(x),即f(x)的周期为2， 所以f(3)=f(1+2)=f(1=f(-1+2)=f(-1)=5,D正确： 故选：ABD 24.(2425高二下江苏南京六校联合体期末)己知函数f(x)及其导函数∫"(x)的定义域均为R,记 2025 g(x)=f"(x),已知f(2x+1)和g(x+2)都是偶函数，且g(2)=1,则∑g(k)的值为() k=0 A.1 B.-1 C.2025 D.-2025 27/63 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 【答案】B 【分析】由已知条件确定g(x的对称中心及对称轴，进而确定函数周期，即可求解 【详解】因为f(2x+1)为偶函数，所以f(2x+1)=∫(-2x+1), 即f(1+1=f-1+1, 所以fx)关于直线x=1对称，求导得g(x)=∫'(x)关于点1,0对称， 即g(1+x)=-g(1-x), 又gx+2)为偶函数，则gx+2)=g-x+2),所以gx关于直线x=2对称， 推导周期：g(2+x)=-g(-x)及g(x+2)=g-x+2), 得g(2-x)=-g(-x), 得g(2+x)=-g(x), 得g(x+4)=-g(x+2)=g(x), 得函数gx)的周期为4， 由g(2)=1,得g(0)=-1,g(1)=0,g(3)=0, 得g(0)+g(1)+g(2)+g(3)=-1+0+1+0=0, 8化)共2026项和，因为2026=4x506 所以2g)=506x0+g0+g0=-1+0=-1, k=0 故选：B 25.(24-25高二下江苏南京六校联合体期末)函数f)=x~cosx e 的图象大致为() B. D. 【答案】C 【分析】首先验证函数∫(x)是奇函数，然后代入特殊值判断正确选项 28/63 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 【详解】因为f(x)=xCOS x, e所以f=cos-刘=cos=fx， e 所以函数∫(x是奇函数，关于原点对称，所以AB错误； 取特殊值，令x=元，则fx)=cOsr<0, e 根据图象可以看出D错误，C正确。 故选：C 26.(24-25高二下江苏南京南京航空航天大学附属高级中学期末)已知定义在R上的函数f(x)满足 f6-x+f(x=0,且f(2x+1)为偶函数，则f(2023)=() A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】A 【分析】由已知条件得8为函数∫(x)的周期，结合∫(3)=0利用函数的周期性即可求值 【详解】因为f(2x+1)为偶函数，所以f(2x+1)=f(-2x+1), 所以f(x+1)=fI-x),所以f(2-x)=f(x),又f(6-x+f(x)=0, 所以f(6-x)=-f(2-x),所以f(x+4)=-f(x),所以f(x+8)=-f(x+4)=fx), 所以8为函数f(x)的周期， 又f(6-x+f(x)=0得f(6-3+f(3)=0,所以f(3)=0, 所以f2023)=f(252×8+7)=f(7)=-f(3)=0. 故选：A 27.425商二下江苏准安期末已知八=1子为奇函数，8=2+6x-6, (1)求实数a的值； (2)求函数f(x)的值域： (3)若函数gf(x)有两个零点，求实数b的取值范围， 【答案】(1)a=2 (2)(-1,1 (3)0,1 29/63 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 【分析】(1)根据奇函数的性质f(0)=0求得a=2,然后检验满足即可得解； (2)根据4>0，结合不等式性质求解函数f(x)的值域； (3)先判断f(x为增函数，令f(x)=1,然后将函数gf(x)有两个零点转化为g(t)=0在(-1,1)上有两 不等根，最后利用二次函数根的分布列不等式组求解即可 【详解】(1)函数f(x)定义域为R, 因为∫(x)为奇函数，所以∫(x)+∫(-x=0 当=0时，f0+川-0=0，所以10=0，故1- -=0,a=2, 则小12经脸验，满足条作，流a=之 (2)因为4>0，所以4+1>1， 所以01，甲02，所以-11+ 4*71, 所以函数f(x)的值域(-1,1). ③)因为y=4华为塔函数，所以=4华+1为增函数，y为减函数，一 所以f(x)为增函数.令∫(x)=t,则8(=0. 由(2)可知，当te-1,1时，f(x=1仅一根， 所以gt)=0在(-1,1)上有两不等根， △=b+8b>0 b2 所以{ -∈（-1,1 4 ,解得0<b<1,所以b∈(0，. g(-1=2-b2-b>0 g1=2+b2-b>0 28.(24-25高二下江苏淮安期末)己知函数f(x)定义域为R,f(x-1)为偶函数，f(x)-1是奇函数且 f1)=0,则f(0)+f1+f(2)+f(3)+……+f(2025)=() A.2024 B.2025 C.2026 D.2027 【答案】B 【分析】由f(x)-1为奇函数得对称中心为(0，，结合f(x-1)为偶函数，求周期为4，从而求出 30/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 f(0)+(1)+∫(2)+f(3),利用周期性即可求解 【详解】因为f(x)-1为奇函数，则f(0)=1,且函数f(x)的图象关于(0，中心对称，即f(x+f(-x)=2 因为f(x-1)为偶函数，所以f(x-1)=f(-x-1),则f(x-2)=f(-x), 所以fx+f(x-2)=2,fx-2)+fx-4=2,所以f(x=fx-4),故f(x的周期为4， 因为f(1+f(3=2,f(0)+(2)=2, 所以f(0)+f1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)=506f(0)+f1)+f(2)+f(3)+f(0)+f(1 =506×4+1+0=2025 故选：B 29.(24-25高二下·江苏淮安期末)已知函数f(x)= 3-ax+2,x22,则1<a<3“是“f)在R上单调递 a*,x<2 增”的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据f(x)在R上单调递增列不等式组求解的取值范围，然后利用充分条件、必要条件的概念判 断即可 【详解】因为f(x)= [3-a)x+2,x22 在R上单调递增， a,x<2 3-a>0 所以{a>1 ,解得1<a≤2，所以a的取值范围为1,2， a2≤(3-a×2+2 由1<a≤2能推出1<a<3,但是由1<a<3得不出1<a≤2， 所以“1<a<3”是“∫(x)在R上单调递增”的必要不充分条件 故选：B 0.Q45商=下江苏徐州鬼钓多地》已知函数因-斗g=+华，eR,则《） A.当k=3时，f(x+gx)是奇函数 31/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B.当k=2时，∫x)g(x)的最小值为8√2 C.任意k>0,f(x与g(x)具有相同的单调区间 D.存在k>1,使得∫(x)与g(x)的图象有且仅有2个不同的公共点 【答案】BC 【分析】利用偶函数的定义可判断A的正误，根据基本不等式可判断B的正误，根据导数的符号可判断C 的正误，根据偶函数及判别式的符号可判断D的正误 k 详解】对于A,设Px=x+8xx++r+,则函数的定义域为-0,0U0,+切P 定义城关于原点对歌，而-+(-国户+行 (-x2 =F(x), 故F(x)为偶函数，故A错误； 对F+)e到 当且仅当x=±√2时等号成立，故f(x)g(x)的最小值为8√2，故B正确： 对于C,任意k>0,fx),gx)的定义域均为-0,0)U(0,+0）, 且f(-x)=f(x,g-x)=gx,故它们均为偶函数， 当re0+时，f刻=x+生，则了到=， 而g(x)=2x- 2k2(x2-k)(x2+. X x' 故当x∈0，)时，f"(x<0且g'(x<0, 当x∈N仄，+∞)时，f'(x>0且g'(x)>0, f(x)与g(x)在(0，+0)上具有相同的单调区间， 故f(x)与gx)在定义域上具有相同的单调区间，故C正确： 对于D,由C的分析可得仅考虑f(x)与gx的图象在(0，+0)上是否有公共点， 32/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 令x+r产 +经，则x+x+ 2k,故x+k x+k +2k=0, 而当k>1时△=1-8k<0,故此方程无解，即f(x)与gx)的图象在(0，+0)上无公共点， 故k>1时，f(x)与gx)的图象无公共点，故D错误 故选：BC 题型4指对幂函数（共10小题） 31.(24-25高二下江苏南京文枢高级中学期末)已知集合A={-1,1,2,3,},集合B={xx<1},则A∩B= () A.{ B.{-1, C.{1,2 D.{-1,1,2 【答案】C 【分析】由对数函数单调性得到B={x0<x<e,即可求解集合的交集 【详解】集合A={-l,l,2,3,集合B=xlnx<1={x0<x<e,所以A∩B={1,2, 故选：C 32.(24-25高二下·江苏准安期末)已知函数f(x)=log2x2-x),则函数f(x)的定义域为() A.-0,0)U(1,+0） B.(0, C.(0,1 D.（-0,0)U[1,+0）】 【答案】A 【分析】根据对数函数中真数大于零列不等式求解即可 【详解】要使函数∫(x)有意义， 则x2-x>0,解得x<0或x>1, 所以函数f(x)的定义域为-o,0U(1,+o） 故选：A 33.(24-25高二下江苏徐州期末)e3-V3-e)2= 【答案】e 【分析】根据对数的性质可求代数式的值 33/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】e3-3-e=3-(3-e)=e, 故答案为：e 34.(2425高二下江苏南师附中、天一中学、海门中学、海安中学)设n∈N,对任意xeR, xf(x)=(1-nx)f,(x)成立，则该函数n(x)称为n级函数”，其中f'(x)为函数n(x)的导数， ①断函数y=心和y=。二，是否为k级函数，并说明理由： (2)记(1)中的“k级函数”为g(x). ①若3a,B∈R,a≠B,使得g1(a)=g(B),证明：a+B>2; ②若xe 1 ),1-11n2T,82(x)>。2 ,求实数a的取值范围. 2(x+a) 【答案】y=心不是k级函数，)=是k级函数，由见解析 20证明见解析：② 11 2≤a<2+22 【分析】(1)由函数新定义判断可得： (2)①由导数得到hx)=g(x)的单调性，再用分析证明法构造函数H(x),利用导数证明极值点偏移可 得； ②结合题意由分析证明法得到ln(x+a)<n2<1,再分类讨论2x≤1时，构造函数m(x)求导分析单调性和最 值；2x>1时，利用抽象函数的单调性分析可得 【详解】(I)记f(x)=xe“，f'(x)=(1+kax)e“, 则f'(x)=xI+kax)e，1-c)f'(x)=(1-ax)xe“, 当x=1时，又keN,有xf'(x)≠(I-kx)f'(), 故y=xe“不是“k级函数”； 记8)-。，则84=1 er, 有1-如g=g=,放y=兰是k级函数。 er ②①设=g-点，则1， 易得h(x在(-0,1)上单调递增，在(1，+o）上单调递减， 其图象为 34/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 Y a l B 若3a,B∈R,a≠B,使得h(a)=h(β)， 欲证a+B>2,即证B>2-a, 由图不妨设0<a<1<B,所以2->1， 又h(x在1，+o）上单调递减，所以只需证明h(B)<h(2-a), 又h(a)=h(B),即证明h(a<h(2-a, 构造函数H(x=h(x-h(2-x),x∈(0,1， 则等价于证明H(x<0在(0，)上恒成立， 到--。，因为0<x1k2-2, 所以H到=1。-二>0，所以在0训上单调遥塔， 所以H(x)<H(1=0,即H(x<0在0,1上恒成立， 所以a+B>2得证 ②由题意，8)=。三 2x、ln(x+a,即 2x In(x+a) > > x+a eln(xta), 因为x+a>0恒成立，所以a之2 1 又x=0时不等式恒成立，有na<0,解得0<a<1, 此时0<x+a<2-n2<2,ln(x+a)<1n2<1. 2 由①可知()=工在(o,)上是增函数，在(L,+∞)是减函数， (1)当2x1时，甲-xs时，得nx+@)<2,即a<e产-， 令m()=e2-x,则m(x)=2e2-1=0,可得x=-n2, 35/63 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 所以，a在(,n2上单调减在(h2》 上单调递增， =t2n2, 所以m(到m=m2n22十2 1 所以 <+n2. 22 (D当2>1时，即x<1-h2,1<2r<2-h2时 h(2x)>h(2-In2),In(x+a)<In2<1,h In(x+a<h(In2), 且由①可知存在x。>1,使得h(ln2)=h(x),x+lh2>2, 即h(n2)=hx)<h2-ln2), 此时恒有h2x)>h[n(x+a] 综上，a的取值范周为)a<2号h2 11 35.(24-25高二下江苏常州期末)设集合A={x1og2x≤2，B={-1,1,3},则A∩B=() A.四 B.{-1, C.{1,3 D.{-1,13 【答案】C 【分析】根据对数的定义与单调性求解集合A,然后求解交集 【详解】由log2x≤2，则0<x≤4， 所以AnB={1,3 故选：C -0g35 36.(24-25高二下·江苏常州期末) =() A.-5 B. 3 c.2 D.5 【答案】D 【分析】根据指数、对数运算性质即可求解 【详解】 =2log25=5 故选：D 37.(24-25高二下江苏南京第一中学)已知函数fx)=2+a×2(a为常数，a∈R),且f(x为偶函 36/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 数， (1)求a的值； (2)若方程k=f(2x)-3f(x)在x∈[0,1上有解，求实数k的取值范围. 【答案】(1)a=1 @[] 【分析】(1)根据偶函数的定义建立方程即可求实数a的值： (2)求出t=2-的表达式，结合y=1+e2单调性得出2≤f到≤，则k=m-3m-2的 二次函数值域即可求解 【详解】(1)：f(x是偶函数， .f(x)=f(-x), 即2+a×2x=2+a×2, 即2-2)(a-1)=0恒成立， 则a-1=0,得a=1: (2)因为k=f(2x-3f(x,且xe0,1,，2∈[1,2]， 因为y=1+te山，2单调递增， 所以=2+2=2+安.2≤列s 1 即k=22x+22-32+2) =(2+2）-32+2）-2=f2(x)-3f(x-2, 段=m-加-2=小引 因为k=m2-3m-2在m∈ 上单调递增，所以-4≤k≤-13 ， 故实数k的取值范围是 38,(Q425高=下江苏苏州调所)已知函数/(=l1-到 (1)求f(x)的定义域： (2)解关于x的方程f(x)=f-e): 37/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)若函数gx=2x-af(x)的图象关于直线x=b对称，求实数a,b的值. 【答案】(1)-0,0)U(3,+o） (2)x=-1 3a=3,b=3 2 【分析】(1)根据对数函数的真数大于零列不等式求解即可 (2)先利用复合函数的单调性法则得f(x在(-0,0)和(3，+0)上为增函数，然后将方程转化为x+e=0 ,记h(x)=x+e,利用函数的单调性及特殊值求解方程即可 3)根据gx的图象的对称件求得力进而利用对称性得2x-an士6-2x-an化 简即可求得a=3 【详解】(1)由1-3>0得x<0或x>3,所以fx)的定义域为-0,0U(3,+0）. (2)因为y=1-3在(-0,0)和3，+o上单调递增， 又y=lnx在定义域上单调递增， 由复合函数的单调性知f(x)在(-0,0)和(3，+0）上为增函数， x=-extl 所以 x0减r3,所以x+e=0,记(x)=r+e, 结合指数函数的单调性可知h(x)=x+e+为增函数，又h(-1=0,所以x=-1 (3)由(1)可知，g(x)的定义域为-0,0)U(3,+0), 因为函数8()=(2x-)f(x)的图象关于直线x=b对称，所以b= 21 进步根据s国=g3-,得2x-an生3-6-2-oh3。 3-x 即(2x-ajn-3=(2x+a-6nx-3, 则有2x-a=2x+a-6,即a=3. 3 综上所述，a=3,b= 2 39.2425高三下江苏州调研满足心-水=c号+ -二+二=0(x,y,z∈R)的有序实数组(a,b,c)可以是 () 38/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.4,3,2 B.(4,2,3 C.(3,9,2 D.（18,12,2 【答案】D 【分析】根据指数运算化简得b'=ac3，逐个选项分析即可判断 【详解】记a=b=c=1>0，则a=t,b=t,c=t, 因为2+}-0eR,所以，产-所以6=ac x y Z 对于A,32≠4×23，故A错误； 对于B,22≠4×33，故B错误： 对于C,92≠3×23，故C错误： 对于D,122=18×23,故D正确 故选：D 40.(24-25高二下江苏部分高中期末)溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为pH=-g[H*], 其中[H]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.若胃酸中氢离子的浓度是2.7×102摩尔/升，则胃酸的 H为() A.3-2lg3 B.3+2lg3 C.3-3lg3 D.3+3lg3 【答案】C 【分析】利用对数运算性质即可求解 【详解】由题意，得若胃酸中氢离子的浓度是2.7×102摩尔/升，则胃酸的pH为： -lg2.7×102）=-(1g2.7+lg102)=2-lg2.7=2-lg27+lg10=2-3g3+1=3-3lg3 故选：C 题型5等式与不等式（共10小题） 41.(2425高二下江苏南京中华中学期末)己知实数a>0,b>0,且9a+b=ab,若不等式 a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围为() A.[6,+∞ B.（3,+o C.(-0,3] D.[3,+0） 【答案】D 【分析】利用基本不等式求得a+b的最小值，把问题转化为m≥f(x)恒成立的类型，求解f(x)的最大值 即可 19 【详解】：9a+b=ab,二+2=1，且a,b为正数， a b 39/63 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 a+b=a+b2+号=10+b+90≥10+2 19. b9a=16 a b' a b Va b 当且仅当2=90，即a=4,b=12时，a+b)=16 若不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立， 则16≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立， 即m≥-x2+2x+2对任意实数x恒成立， -x2+2x+2=-(x-1)2+3≤3， m≥3， 故选：D 42.(24-25高二下江苏南京江宁区·期末)已知全集U=R,集合A={xx2-5x-6≤0，集合 B={xm≤x≤m+2. (1)若m=5,求BnA: (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围 【答案】(1){x6<x≤7} (2)-1≤m≤4 【分析】(1)根据一元二次不等式解法，先求得集合A,进而可得。A,当m=5,可得集合B,根据交 集运算的定义，计算即可得答案； (2)由题意可得BcA且B+A,根据集合的包含关系，列出不等式，可得m的取值范围. 【详解】(1)由x2-5x-6≤0得x-6)(x+1)≤0，解得-1≤x≤6， 所以集合A={x-1≤x≤6)： 又全集U=R,所以0A={xx<-1或x>6, 当m=5时，集合B={x5≤x≤7}， 所以Bn(uA)={x6<x≤7 (2)因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件， 所以B∈A且B≠A, 因为m<m+2, 40/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以B≠0， m+26且等号不同时成立，解得-1≤m54, -1≤m 所以 故实数m的取值范围为-1≤m≤4 48.(2425商二下江苏南家师范大学附局安验学校期末不等式2+：令<0对一切实数恒成立的大 的取值集合为A,集合B={xx2-mx-3<0}· (1)求集合A; (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)A=(-3,0] (2)(-00,-2] k<0 【分析】(1)当k=0时，显然成立；当k≠0时，由 4<0求解即可； f(-3)≤0 (2)由题设得AsB,即x2-mx-3<0在(-3,0]上恒成立，由 f0)<0解出m的取值范围即可 【详都】①当：0时，冬<0显然恒暖立， 当0时，不等式2+红令<0对一切实数x都成立。 [k<0 则 k2-4×2k× -3<0解得-3<k<0. 8 综上，A=(-3,0]. (2)因为“xeA”是“x∈B”的充分条件， 所以ASB. 又B={xx20mx-3<0,即x2-x-3<0在(-3,0]上恒成立. 令f(x)=x2-mx-3, 则)s0「 9+3m-3≤0 f(0)<0 ,解得m≤-2， -3<0 所以m的取值范围为(-0，-2]. 44.(24-25高二下江苏南京六校联合体期末)已知x>0,y>0,且4x+y-xy=0,则x+y的最小值为() 41/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.8 B.9 C.10 D.11 【答案】B 【分析】整理题干中的等式，根据基本不等式中隐藏“1”的解题方法，可得答案 【i详解】由4x+y-9=0,x>0,y>0,则4+=L, yx 41 所以x+y=(x+y 5+ 4+Y≥9， y x 当且仅当2x=y=6时，等号成立 故选：B 45.2425高二下-江苏准安期末村已知a,b为正数，上+2=1，则ab+a+6的最小值为() a b A.43 B.8 C.7+43 D.8+45 【答案】C 【分析】ab+a+b=3a+2b,然后根据基本不等式常数代换的解题方法求解即可. 【详解】因为a,b为正数，二+ 1+2=1,所以ab=b+2a, a b 1.2 所以ab+a+b=3a+2b=(3a+2b)二+ 1=7+2h+6027+22x0=7+45. a b a b Na b 当且仅当2为-60 a6,即a=1+2 ,b=√3+2时等号成立 3 故选：C 46.(2425高二下-江苏徐州期末已知函数fx)=x-2 +1 (1)求不等式∫x)>0的解集： (2)证明：曲线y=f(x是中心对称图形： (3)若关于x的不等式f(a2+1x2+1+f(x2-6>-2在(0,1上有解，求实数a的取值范围。 【答案】(1)-2，-1)U(1,+0 (2)证明见解析 (3)-0,-1U(1,+o） 【分析】①)原不等式可变形为x+2x-山>0，分类讨论后可求不等式的解集： x+1 42/63 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 (2)根据函数解析式可得∫(x)+f(-x-2)=-2,故可证函数图象中心对称； (3)根据函数的单调性和对称性可得（a2+1)x2+1>4-x2在(0,1)上有解，参变分离后可求a的取值范围. 【详解】(1)易得不等式fx>0即x-2-x+2x-山>0. x+1x+1 当x+1>0时，（x+2(x-1>0,解得x>1, 当x+1<0时，x+2)(x-1<0,解得-2<x<-1. 综上可知，不等式f(x>0的解集为-2，-1)U(1,+0). (2)因为f(x)的定义域为A=(-0,-1U(-1,+0）, 对任意的x∈A,都有-x-2∈A, 且f-x-2)=-x-2-2=2 -x-2+1x+1x-2, 从而fx)+f(-x-2)=-2, 即f(x)的图象关于点(-1，-)对称，所以曲线y=∫(x)是中心对称图形. (3)因为f)=x-2（x本-1)，所以fx到=1+2 x+1 (x+12>0, 所以fx在(-o,-1,(-1,+0)上单调递增. 由(2)可知，f(x)+f(-x-2)=-2,所以fx2-6)=-f(4-x2)-2, 所以fa2+1x2+1-f(4-x2）-2>-2在(0,1上有解， 即f(a2+1x2+1>f(4-x2)在(0,1)上有解。 又因为x∈(0,1，所以(a2+1x2+1,4-x2e(-1,+o）, 所以a2+山x2+1>4-x2在(0，上有解，即a2+1>=31. 由xe0,,得2-1e(2,+w小，故a2+1>2,即a>1或a<-1. 所以a的取值范围是(-oo,-1)U1,+o) V,x≥0， 47.(24-25高二下·江苏徐州期末)函数y= x+4x 的值域为() 43/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.[0,4 B.[-4,0 C.(-0,0][4,+0 D.(-0,-4[0,+0） 【答案】D 【分析】求出各段上的函数值的范围后可得正确的选项， 【详解】当x20时，√x≥0， 而当x<0时，x+ ≤-4，当且仅当x=-2时等号成立， 故函数的值域为-0，-4[0，+0)， 故选：D 48.(24-25高二下江苏扬州期末)已知集合A= B={xla-2sx≤a+2 (1)若a=0,求AUB; (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】（①）AUB={x-2≤x<4 (20,2 【分析】(1)解分式不等式求出集合A,再求并集即可； (2)根据“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件得出B是A的真子集，列出关于a不等式组，解之可得答案， 【详解】(1)由不等式-4 +2<0得x-4+2)<0,解得-2<x<4,故A=-2<x<4. 当a=0时，B={x-2≤x≤2，所以AUB={x-2≤x<4: (2)因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，所以B是A的真子集， a-2>-2 因为a-2<a+2,所以B≠0，所以 a+2<4,解得0<a<2, 所以实数a的取值范围是(0,2). 49.(24-25高二下江苏扬州期末)已知函数f(x)=msinx-sin2x-3x在区间 ππ 2’2 上单调递减，则实数 m的取值范围是 【答案】m≤4 44/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】对f(x)=msinx-sin2x-3x求导并化简，由单调递减得f'(x≤0，换元转化不等式，用均值不等 式求最值，确定实数m的取值范围 【详解】f(x)=msinx-sin2x-3x, f'(x)=m cosx-2cos2x-3=mcosx-2(2cos2x-1)-3=-4cos2x+m cosx-1, 因为函数f(x)=msinx-sin2x-3x在区间22 上单调递减， 所以f'(x)=-4cos2x+mc0sx-1≤0在22 上恒成立， 令1=cos,当xe(时，1e@, 则/到=-4eos2x+0:x--1≤0在（引上恒成立可转化：为 4t2+mt-1≤0在(0，]上恒成立， m≤+4=4+在0,1]上恒成立，即m≤41+】 根据均值不等式，41+之≥24：×=4，当且仅当1=2 1 时等号成立， 因此4+在(0，]上的最小值是4，所以m≤4 故答案为：m≤4 50.(24-25高二下江苏常州期末)己知x>0,y>0,且x+y=2,则二+ +2x+2的最小值为() 2 B. 9 C. 5 D.5 【答案】A 【分析】1+2红+2=1+4 14 x y x y 根据基本不等式常数代换的解题方法求解即可 【详解】x>0,y>0,且x+y=2, 所以1+2红+2=1+2x+2y-1+4 x y x y -x+p+-1+4小5+24- 14、1 x y 2 y x 当且仅当4=y 3y=时等号成立 2 4 即x= 3 故选：A 题型6平面解析几何（共10小题） 45/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 51.(24-25高二下·江苏南京师范大学附属实验学校期末)已知抛物线y2=4x上一点A的横坐标为4，则点 A到抛物线焦点的距离为() A.5 B.6 e品 D.42 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出抛物线的准线方程，再利用定义求解 【详解】抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,所以点A到抛物线焦点的距离为4-(1)=5 故选：A ②4-25高下T苏南京六校联合体期末已知椭圆C:。之+=1>b>0)的离心幸 ,以椭圆的 2 四个顶点为顶点的四边形的面积为4. (1)求椭圆C的标准方程： (2)记椭圆C的左顶点为A,右顶点为B,过点B作不垂直于坐标轴的直线I交椭圆于另一点G,过点A作1 的垂线，垂足为H,且BG=BH,求直线1的方程. 【答案10号+y=1. 4 (2)y=x-2或y=-x+2. 【分析】(1)利用已知条件即可得方程组求解参数a=2,b=1,从而可得椭圆方程； (2)利用设直线1方程，结合韦达定理即可求出点G坐标，利用二元一次方程组可求出点H坐标，再利用 向量的坐标共线运算可求解参数k,即可得直线方程 【详解】1)由题意：S=2a2边=4，所以b=2,又因为- ,所以a=2,b=1, a 2 即椭圆的方程： 4+y2=1 (2) B 由题意，设直线I的方程为y=k(-2),设点G坐标为xc,yc), 46/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y=k(x-2) 由x2 4+·可得1+4k2x2-16k2x+16k2一4=0， 由韦达定理得：2+x6= 16k2 8k2-2 +所以。+4 代入直线方程y=(x-2)可得：y6= -4k 1+4k2· 过点B与1垂直的直线方程为y=-( x+2), 由y=-(x+2) 1 k 设交点H坐标为，可得=2次-2 =-4k y=k(x-2) Γk2+1 y=R+1 因为8G-号8丽，所以(-2，-2 法：。-2=号-2 2 所以82-2 2 2k2-2-2 解得k=1, 1+4k2 5k2+1 所以直线l的方程：y=x-2或y=-x+2. 法三：=写 所以、4 24k 1+4k=51+ 解得k=1, 所以直线1的方程：y=x-2或y=-x+2, 53.(24-25高二下江苏南京六校联合体期末)圆x2+y2=1与圆x2+y2-6x-8y+9=0的公切线的条数是 条 【答案】3 【分析】确定两圆的位置关系，进而求出公切线条数 【详解】圆x2+y2=1的圆心0(0,0)，半径r=1; 圆(x-3)2+(0y-4)2=16的圆心C(3,4),半径3=4， 而0C=V32+42=5=1+4=5+5,因此圆0与圆C外切， 所以两圆的公切线条数是3 故答案为：3 54.2425商二下江苏南京六校联合体期利（多达》已鬼双曲线C若长=1a>06>0)的左、右然点 47/63 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 分别为F、F,过F作斜率为-√5的直线与双曲线的右支交于A、B两点(A在第一象限)， AB=BF,P为线段AB的中点，O为坐标原点，则下列说法正确的是() A.4F=24F B,双曲线C的离心率为2 C.直线OP的斜率为- D.△AFF的面积为2√15a2 5 【答案】ABC 【分析】利用双曲线的定义求出AF,、AF,可判断A选项；在△AFE中，应用余弦定理可得出关于a、 C的齐次等式，可求得双曲线的离心率，可判断B选项；利用三角形的面积公式可判断D选项；利用点差 法求出直线OP的斜率，可判断C选项 【详解】对于A选项，因为AB=BF,所以AF=AB-BF=BF-BF=2a, 由双曲线的定义可得AF,-AF,=AF-2a=2a,所以，AF=4a=2AF,,所以选项A正确： 对于B选项，设直线AB的斜率为-√15，设直线AB的倾斜角为a,则a为钝角且tana=-√5， tana sina=-15 cosa 面Sina+csa】可特cosa则cos/AF,E=cos元-a=c0sa 4' cosa >0 在△B中，由余弦定理得cos∠A,R=A+F5-A_4a2+4e2-16a2 24FFF 8ac =41 即2c2-ac-6a2=0, 等式2c2-ac-6a2=0两边同时除以可得2e2-e-6=0, 因为e>1,解得e=2,所以选项B正确； 对于D选项，因为cos∠4RR=子则∠4C,5为悦角， .F:/sinAFFx2axax =√15a2,所以选项D错误： 4 y+2-0 对于C选项设小，小则P气空，兰可得、 2 +x-0X+ 2 48/63 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 因为c=2a,则b=√c2-a2=√5a, x」 由/61 ，得-经-0. =1 la2 b2 所u草--名本装==答=3，则 x-xx-x2x+x 5 则直线OP的斜率为-5 ,所以选项C正确： 5 故选：ABC 55.(24-25高二下江苏南京六校联合体期末)抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线x=3交C 于M,N两点，C的准线交x轴于点P,若PM⊥PN,则C的方程为() A.y2=4x B.y2=6x C.y2=8x D.y2=12x 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出M,N,P的坐标，然后利用垂直关系列出等式求出P,进而得到抛物线方程 【详解】根据题意，设抛物线方程为y2=2px, 则M(3,V6p,N(3,-v6p),准线方程为x=-P 2 所以点P号0 因为PM⊥PN,所以 6p6p=-1, 3+P3+P 2 2 化简得6p= 3+9即r-12p+36=0.解得p=6 所以抛物线方程为y2=12x 故选：D 56.24-25高二下江苏连云港期末已知双曲线C:x-少 :。片=ia>0b>0的离心率为，且过点2w5,列 (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知直线1经过点(2,2)， ①若直线1与双曲线C的左支相切，求直线1的方程； ②若双曲线C的右顶点为P,直线1与双曲线C交于A,B两点，直线PA的斜率为k,直线PB的斜率为 49/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 k3,证明：k+k2为定值. 【答案】子-=1 4 (2)①5x-8y+6=0②证明见解析 【分析】(1)根据离心率得出a,b关系，再代入点的坐标即可求出a2,b2,写出标准方程； (2)①点斜式设出直线方程，联立双曲线方程，利用判别式为0求解； ②根据直线与方程联立后根与系数的关系、斜率公式，求和后化简即可得证 【详解】D由eC5,可符=即ah3, 03 a21+ 所以双曲线方程为x2-4y2=4b2,代入点2V2,1, 可得b2=1,a2=4, 所以双曲线方程为 4y2-1 (2)如图， (2,-2) B ①由题意，直线斜率存在，设直线1的方程为y-2=k(x-2), y-2=k(x-2) 联立x2 (421 消元可得： 1-4k2）x2+16k2-kx-16k2+32k-20=0, 由直线与双曲线相切，则△=162k2-k)-161-4k2）-4k2+8k-5)=0, 即-8张+5=0，解得k=三 8 所以直线1的方程为)y-2-x-2到，甲5x-8+6=0 ②由题意知，P(2,0), 设Ax,y),B(x2,y2),直线1的方程为y-2=m(x-2), 50/63 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 联立双曲线方程，化简可得， (1-4m2）x2+16m2-m)x-16m2+32m-20=0, 由0知m> 8, 所以x+x2= 4m-,5g-16m2-32m+20 16m(m-1） 4m2-1 k=k4=上，k=kp8=片2 x-21 七3-2， 所以k+k,=》+》2mx-2+2.m2+22m+222 x-2x-2x-2-2 =2m+25+)-4 =2m+2(x+3)-4 16m(m--4 =2 4m2-1 (x-2)(x2-2） +2xx,-2(x+x)+416m2-32m+20_32m(m-1+4 4m2-1 4m2-1 -16m+4 -2m+2.4m。=2m-2m+22 11 16 4m2-1 即太+k,为定值 57.(2425高二下江苏南京第一中学)已知椭圆C:+上 2+2=1a>b>0)的离心率e=，直线 x+√5y-1=0被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为√3. (1)求椭圆C的方程； (2)过点M(3,0)的直线1交椭圆于A,B两个不同的点，求MAMB的取值范围. 答案】山+2 aoy 【分析】(1)由直线与圆的位置关系可得6=1.由椭圆的离心率可得a=2,则椭圆C的方程为+y=1 4 (2)当直线I的斜率为0时，求出MAMB=5,当直线I的斜率不为0时，设直线I方程为x=my+3,联 立方程可得m2+4)y2+6y+5=0,满足题意时m2>5,应用平面向量数量积公式及韦达定理，结合不等 式的性质，据此即可所求范围 【详解】(1)因为原点到直线x+V5y-1=0的距离为)， 51/63 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 所以-8>0特=1 6-3,得a=2 a° 所以椭圆C的方程为+y=山 (2)当直线1的斜率为0时，MA·MB=MAMB=1×5=5, 当直线1的斜率不为0时，设直线1：x=my+3,A(x,),B(x2,y2), x=my+3 联立方程组 年+y2=1梅m+列+6m+5=0 由△=36m2-20m2+4>0,得m2>5, 5 6m 所以yy2= m2+4’少+乃2=- m2+4? MA=(x-3,y,MB=(x3-3,y2), MA.MB=(x-3)(x2-3)+y =wm2+1)=5m+5-5-15 m2+4m2+4 由m2>5,得 0<5-5<5,所以9<MMB<5 10 3 m2+4 棕上可得：9亚5，即号 B 58.2425商二下江苏盐城期未村已知酒：+芳-口>6>0的离心字为分，且经过点 ,点F 为椭圆E的右焦点。 (1)求椭圆E的标准方程； 52/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)过点M(4,0)作直线1交椭圆E于A,B两点，O为坐标原点. ①若OB=301+OM,求直线1的斜率； 4 4 ②若过点A作直线x=1的垂线，垂足为Q,点N为线段FM的中点，求证：B,Q,N三点共线 【答案】10B:。+上=1 43 20±35 ②证明见解析 14 【分析】(1)利用椭圆离心率定义和经过的点坐标，联立方程组，求得α，b，即得椭圆方程； (2)①由题知直线I的斜率不为0，设1：x=my+4,与椭圆方程联立，设A(x,y,B(x2,y2),求得韦达定 里，推得y=0y+,由O丽-0+0得到%-子，将其与韦达定理联立，解得m-45, 3 2m 即得直线斜率，②依题意，求得N店，0，QL,),计算kak0,消元后将()代入化简，即得 kwB-kN0=0,故得结论 【详解】(1)由e=a2-6-1可得5a=26①. a 2 3 椭圆经过点 则2+ 4h1②， 联立①，②，可得a=2,b=√3， 则椭圆E的标准方程为E子+子小 (2)①当直线1的斜率为0时，可取4(-2,0)，B(2,0),因M(4,0),显然不满足0B=三0A+0M, 故可设直线1：x=m+4,代入椭圆方程父+)=1，消去x, 43 可得(3m2+4)y2+24my+36=0,由△=576m2-144(3m2+4)>0,解得m>2或m<-2, 月+y2= 24m,① 3m2+4 设A(x,),B(x2,y2）,则 36 。则y=)(0以+5)（ 少3m+4® 由0丽-a+0可得)-0+40，博待为-号 3 96m 将其代入①，可得y,= 72m 7(3m2+4) 2=-73m2+4)1 96m 72m36 入2，可得7m+473m+3m+4解将m去5 53/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故直线/的斜率为±5 @围.因FL0,AM0.点N为线段FM的中点，则N0, 东。0：则直线的车为产2是兰，设0价有车为如当当 =2y x-2 151 3， 2 ,25。+2头e+2y2,-）6%+2%2m%+3)_4m+D 3(2x2-5) 3(2my2+3) 3(2my2+3) 将()代入，可得km-k0-4m+6+以=6+)+6+2-=0. 3(2my2+3) 3(2my2+3) 即kwB=kw0,因点B,Q不重合，故B,Q,N三点共线. B 59.(24-25高二下江苏盐城期末)（多选)若点P(m,2√2)是抛物线C:y2=-4x上一点，F为抛物线C的 焦点，连PF交抛物线C于另一点Q,则() A.m=-2 B.PF=3 C.OP⊥OQ(O为坐标原点) D.PF=2OF 【答案】ABD 【分析】求出抛物线的焦点及准线，结合抛物线定义及直线与抛物线交点坐标逐项判断 【详解】抛物线C:y2=-4x的焦点F(-1,0),准线x=1, 对于AB,由(2√2)2=-4m,得m=-2,1PF=1-(-2)=3,AB正确； 对于CD,直线PP方程为y=25-0 x+1),即y=-2V2(x+1), -2-(-1) 由-25(x+》消去y得2r+5x+2=0,则0-号2. y2=-4x 0F.00=-2x(+25x-=-3<0,0.00不垂直，1QrPF,C错误，D正确 54/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故选：ABD 60.245度下江苏城期未利双曲线C:号茶-口>06>0的腐心丰为2，其中一条新近线与四 E:(x-22+(y+V⑤=4相交于A,B两点，则AB=（) A.5 B.13 C.5 D.13 2 【答案】D 【分析】根据双曲线的几何性质，求得渐近线方程y=±√x,结合直线与圆的位置关系，以及点到直线的 距离公式和圆的弦长公式，即可求解 【解】双曲线C号-若-=a>06>0的库心率为2，可符e-兰-，4白-2 a 可得=√5，所以双曲线的海近线方程为y=士√3x,即5x±y=0, 又由圆(x-2)2+y+5=4,可得圆心为E(2,-V5),半径r=2, 当y=V3x时，即V3x-y=0,可得圆心E到渐近线的距离为d 25-(←5) 5,2 V(3)2+(-1)2 2 此时直线与圆不相交，不符合题意； 当当y=-√3x时，即√3x+y=0,可得圆心E到渐近线的距离为d= 25-5 V(5)2+(-1)2 2 此时直线与圆相交，符合题意， 所以4B=2P2-dP=24-( )2=2, 4- 故选：D 2 考题猜想·高分必刷 55/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.己知实数a>0,函数f(x)= log2 x,0<x<a x-1,x≥a 的值域为R,则a的取值范围为() A.(0,+o】 B.[2,+∞ c.(0,1 D.[1,2] 【答案】D 【分析】根据分段函数的值域可得log2a≥a-1,令ga=a-log2a-1,a>0,利用导数判断ga的单 调性，利用单调性解不等式 【详解】因为f(x=x-1在a,+o)内单调递增，则f(x)≥f(a=a-1, 可知函数f(x)在[a,+o)内的值域为[a-1,+o)； 又因为f(x)=log2x在(0，a)内单调递增，则fx)<log2a, 可知函数f(x在(0，a内的值域为-oo,log2a: 由题意可知：log2a≥a-1,即a-log2a-1≤0， 令ga)=a-log2a-1,a>0,则g(a≤0， 因为g'(a)=l-1=an2-1 aln2 aln2 1 令g'(a>0,解得a> n2:令g'a<0,解得0<a< In2: 1 1 可知ga在0，n2内单调递减： In 2:+co 内单调递增， 1 又因为g1)=g2)=0,且1< h2c2, 则不等式g(a)≤0的解集为[1,2]，所以实数a的取值范围为[1,2] 2已a=号2.6 1 e2,c= 4,则a,b,c的大小关系是() A.axb>c B.b>a>c C.bxcxa D.cxb>a 【答案】D 【分所】先将a6c的大小比较转化为t较号g号是，有道函数小-，年比较小，e,2小， 求导分析函数的单调性可得结果 In3 In3 In2 In2 【详解】依题意，a= 9=3 b=me c=4=2 56/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 令，e0+,则/-12n,所以当0<e时>0， 入 当x>e时，f"(<0,所以f川x在0，e2上单调递增，在e2,+o 上单调递减 因为e2<2<e<3,所以f3)<fe)<f2),即n3<1<血2 9 e? 即c>b>a 4 3.设R上的可导丽数f到满足0，且/(x+》是偶函数.若a=02),b=fg:3引， 3 2x-3 c=f(2),则a,b,c的大小关系为() A.axbxc B.a>cxb C.cxbxa D.bxc>a 【答案】B 【分析】根据导数的正负得出∫(x)的单调性，再结合∫ x+ 是偶函数得出f(x)的对称轴，由函数图像 的对称性即可求解 【详解】由" >0得，当x>3时，f)>0,当x<时，)<0， 3 2x-3 2 2 ） 所以f()在0,2 单调递减， 在3 ,+单调递增， 又个+是偶函数，所以心)的发轴为直线》 3 因为10g,25<1bg,3<1og,4,所以3<1og,3<2, 2250 =1.492, 所以b<c<a. 4.已知函数fx=sinx-ax. 0证明：当a=1,x0到时，f<0: 时，fx)≥0恒成立，求实数a的取值范围 【答案】(1)证明见解析 (2as2 元 【分析】(1)求导，确定函数单调性，求解最值即可求证； 57/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求导，分a≥1，a≤0,0<a<1三种讨论，研究其单调性即可求解最值 【详解】(1)(1)当a=1时，f(x)=sinr-x, 当xe0到时，川=cor-1<0, 则函数f八纠在xe0 单调递减，即∫(x<f(0=0. (2)f'(x)=cosx-a, ①当a21时，f八-c0sx-a≤0f国在0 上单调递减， 即f(x≤∫(0)=0，故原不等式不成立 ②当a≤0时，因为x∈0， 2 所以sinx20,-ax≥0， 即f(x=sinx-ax之0，显然原不等式成立. ③当0<a<1时，存在∈0,2 使得cosx=a, 当x∈(0，x,f'(x>0,f(x)在x∈(0，xg单调递增， 当xe引八<0f到在x∈到单调递减。 =mo,}-1- 由题意fx)≥0，可知1-元a≥0，解得0<a<2 2 综上所述：a≤ π 5.已知函数f(x=lnx-ax-1,aeR. (1)若a=-1,求f(x)的图象在点1，f1)处的切线方程； (2)求函数f(x)的单调区间： (3)若xe(0,+0),都有fx)≤-1，求实数a的取值范围. 【答案】(1)2x-y-2=0 1 (2)当a≤0时，单调递增区间为0，+∞），无单调递减区间；当a>0时，单调递增区间为0，二，单调递减 a 区间为二，+0 58/63 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 【分析】(1)先由题意，得到f(x)=血x+x-1,对其求导，得到对应的切线斜率，进而可得出所求切线方 程； (2)求出函数的导数，分类讨论解不等式即可得出函数的单调区间； (3)先根据题意，得到血r-ax-1≤-1在(0，o)上恒成立，只需a≥nx在(0，+o)上恒成立，令 g对=x,x>0,对其求导，求出gx)的最大值，即可得出结果 【详解】(1)若a=-1,则fx)=nx+x-1,则f"(x)=+1,f'1=1+1=2 :∫(1)=0，所以切点坐标为1,0)，切线斜率为2， 曲线y=∫(x)在点(1，f()月处的切线方程为y=2(x-) 化简可得：2x-y-2=0 (2)因为f(x=lnx-ax-1,定义域为0，+oo), 所以f(x)=1-a, 当a≤0时，f(y=1-a>0恒成立， 所以函数f(x)在(0，+∞)单调递增： 当a>0时，令川x)=0,解得x= a 当x0,时，f>0,函数单调递增， a 1 当xe三，+0时，f()<0,函数f(x单调递减。 a 综上，当a≤0时，单调递增区何为0，+m,无单调递减区间：当a>0时，单谓递增区同为0，)，单调 (3)若x∈(0，+oo),都有f(x)≤-1，即lnx-ax-1≤-1， 即a≥nx在(0，o)上恒成立，令gx)=血x,x>0, 由题意，只需当x∈(0，+o)时，a≥gx)m即可， 令g(y=1-hx=0, x2 59/63 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 因为当0<x<e时，g'(x>0,所以gx)在(0，e上单调递增， 当x>e时，g'(x)<0,所以gx)在(e,+o)上单调递减， ∴gxmx=ge=,a e 综上所述，实数Q的取值范围是 6.设函数f(x=alnx+l-xa≠0. (1)若a=1,求曲线y=f(x)在0，f(0)处的切线方程； (2)求函数∫(x)的单调区间： (3)当0<a<1时，求f(x零点的个数. 【答案】(1)y=0 (2)当a<0时，f(x的单调递减区间是(-1，+0)，无增区间： 当a>0时，f(x)的单调递增区间是(-1，a-1),单调递减区间是(a-1,+oo) (3)2个零点 【分析】(1)求出f(x)导数，代入切点坐标，求出对应切点斜率，利用点斜式即可求出切线方程； (2)求出f(x)导数零点，分类讨论零点在不同区间时∫'(x的取值范围，由此求出单调区间； (3)根据导数求出∫(x)的最大值，再根据零点存在性定理和函数单调性即可判断出∫(x)零点的个数 【详解】(1)若a=1,则fx)=(x+)-x,则f(x)=-1, x+1 因为f(0)=0,∫'(0)=0，所以曲线y=∫(x)在(0，f(0)处的切线方程为y=0; 2因-、令=4=0，解a… x+1 因为x>-1, 所以，当a-1<-1,即a<0时，在区间(-1，+0)，f'(x)<0,f(x)单调递减： 当a>0时，在区间-1，a-1),f'x)>0,f(x单调递增， 在区间a-1,+o）,f'(x<0,f(x)单调递减： 60/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 综上所述：当a<0时，f(x)的单调递减区间是-1，+0），无增区间； 当a>0时，∫(x)的单调递增区间是(-1，a-1,单调递减区间是(a-1,+o） (3)由(2)可知，当0<a<1时，f(x)在(-1，a-1)单调递增，在(a-1,+0）单调递减， 则f八x)mx=f(a-l刂=alna-a+l, 令ga=alna-a+1,，则g'（a)=lna, 因为0<a<1,所以g'(a)<0,此时g(a单调递减，则g(a>g1=0, 所以f(x>0, 因为a-1<0,且f(0)=0,所以f(x在(a-1,+0)存在一个零点， 所以fx在ea-la-1存在一个零点， 故当0<a<1时，f(x)有2个零点 7.已知函数fx=x3+x2-8x+7 (I)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)若方程f(x)=a恰有一个实数解，求实数a的取值范围 【答案】01)的单调递增区间为(0,2)和+切)，单调递减区间为(-2学，)的极大值为 习-19，)的餐小位为停-是 2-0,2分 13U09,+o) 【分析】(1)对f(x)进行求导，然后利用导数去求f(x)的单调区间和极值 (2)根据(1)大致作出f(x)的图象，由图象确定a的取值范围 【详解】(1)f(x=x3+x2-8x+7,f'(x)=3x2+2x-8 令)=0，解得=-2或x号 61/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (-00,-2) -2 4 网 f'(x) + 0 0 + f(x) 递增 极大值f(-2)=19 递减 猫-号 递增 的单E区何为习和写网。原程试区树为2。 )作银大值为2)=19，的极小值为/停-是 ②)由D可知1)的极大值为(-2)=19，fc)的极小值为经= 当x→-0，f(x)→-0，x→+0，f(x)→+0，作出f(x)的大致图象如下： 19 2 4 要使f(x)=a恰有一个实数解，则y=f(x)的图象与y=a的图象有且仅有一个交点， 由图象可得a的取值范围为(-0 13U09,+o) 2 8.已知函数f(x是定义在区间(0，+0)上的可导函数，其导函数为f'(x,且满足xf'(x)+2f(x<0,则 不等式x+x+,22的解集为() x+1 A.x x01 B.{x x0l} C.{x-18x<0} D.{x-19x<1} 【答案】D 【分析】根据条件，构造函数g(x)=x2f(x),利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化求 解即可得到结论 【详解】构造函数g()=x2f(x),g(x)=x[2f(x)+f(x)], 当x>0时，：f'(x+2f(x<0,所以g'(x)<0,所以8(x)在(0，+∞)上单调递减， 因为x+/x+,22,函数fx是定义在区间0，+o上， 2 x+1 62/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以x+1>0,即x>-1, 不等式化为(x+1)f(x+1)>2f(2),即gx+1)>g(2), 所以x+1<2,即x<1, 所以不等式解集为{x-1日x<} 63/63 压轴03 期末真题·函数导数·不等式·解析几何·百练通关 题型1 导数在研究函数中的作用 题型4 指对幂函数 题型2 导数的综合应用 题型5 等式与不等式 题型3 函数及其性质 题型6 平面解析几何 题型1 导数在研究函数中的作用（共10小题） 1．(24-25高二下·江苏·期末)已知函数的导函数为，且函数的图象经过点.若对任意一个负数，不等式恒成立，则整数的最小值为___________ 2．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期末)已知定义在上的函数的导函数为，且满足， ，若，，则（ ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期末)已知函数图像上任一点处的切线方程为，那么函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C． D．， 4．(24-25高二下·江苏南京师范大学附属实验学校·期末)若函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是______________． 5．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期末)已知． (1)求在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若方程有两个不相等的实数根，，且，求证：． 6．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期末)已知实数，，均小于1，且满足，，，其中为自然对数的底数．则，，的大小关系是______．（用“＜”连接） 7．(24-25高二下·江苏徐州·期末)已知函数的定义域为，定义集合．若，则（   ） A．在上单调递减 B．是在上的最小值 C．存在，使得0是的极大值点 D．存在，存在使得 8．(24-25高二下·江苏南通·期末)已知函数，． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调增区间； (3)若存在极大值点，求证：． 9．(24-25高二下·江苏南通·期末)函数在区间上的最大值为____________． 10．(24-25高二下·江苏南通·期末)（多选）已知实数a，b满足，则（   ） A．当时， B．当且时， C．当时， D．当时， 题型2 导数的综合应用（共10小题） 11．(24-25高二下·江苏南京第一中学·)如图，几何体是圆柱的四分之一部分，其中底面OAB是半径为2的扇形，母线长为4，C是的中点，M为的中点． (1)证明：面OAB； (2)若P在弧中点，求平面ACM与平面PCM所成角的正弦值； (3)若P是弧上的动点，Q是弧上的动点，且，求直线与直线PQ所成角余弦值的最大值． 12．(24-25高二下·江苏淮安·期末)如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，．平面，点为棱上的点，点为棱上的点，点为棱上的点． (1)若、分别为棱，的中点，证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)若，当取何值时，三棱锥体积取得最大． 13．(24-25高二下·江苏镇江中学·期末)已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是__________. 14．(24-25高二下·江苏南京文枢高级中学·期末)已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值. (1)求函数的极值； (2)若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 15．(24-25高二下·江苏扬州·期末)已知函数． (1)若在处取极值，求实数a的值； (2)若，求曲线过原点的切线方程； (3)记，已知存在最小值，求的最大值． 16．(24-25高二下·江苏镇江第一中学·期末)设函数在处有极值，且，则称为函数的“F点”． (1)判断函数是否存在F点； (2)设函数，当存在F点，求k的值； (3)设函数，存在两个不相等的“F点”，，且，求a取值范围． 17．(24-25高二下·江苏镇江第一中学·期末)已知函数在点处的切线方程为． (1)求实数a，b的值： (2)求函数在上的最大值． 18．(24-25高二下·江苏连云港·期末)已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求函数在区间上的最小值． 19．(24-25高二下·江苏苏州·调研)信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量所有可能的取值为、、、，且，，称为的信息熵，用来刻画随机变量蕴含的信息量的大小． (1)抛掷一枚质地均匀的警子（一种各个面上分别标有、、、、、个点的正方体玩具），记出现向上的点数为，求的值； (2)若，求的最大值； (3)求证；． 20．(24-25高二下·江苏南京第一中学·)已知函数． (1)若函数在区间上单调递增，求实数a的最小值； (2)若函数，对，，使成立，求实数a的取值范围． 题型3 函数及其性质（共10小题） 21．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期末)已知定义在上的函数满足函数为奇函数，且. (1)求,的值； (2)用单调性定义证明：函数在区间上单调递增． 22．(24-25高二下·江苏南京师范大学附属实验学校·期末)已知函数是偶函数，是奇函数，且． (1)求和的解析式； (2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围； 23．(24-25高二下·江苏南京师范大学附属实验学校·期末)（多选）下列说法正确的是（　　） A．若向量，则“”是“”的充分不必要条件 B．命题“，都有”的否定是“，使得” C．若，则的最小值是5 D．函数满足，且，则 24．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期末)已知函数及其导函数的定义域均为，记，已知和都是偶函数，且，则的值为（   ） A．1 B．－1 C．2025 D．－2025 25．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期末)函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 26．(24-25高二下·江苏南京南京航空航天大学附属高级中学·期末)已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 27．(24-25高二下·江苏淮安·期末)已知为奇函数，． (1)求实数的值； (2)求函数的值域； (3)若函数有两个零点，求实数的取值范围． 28．(24-25高二下·江苏淮安·期末)已知函数定义域为为偶函数，是奇函数且，则（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 29．(24-25高二下·江苏淮安·期末)已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 30．(24-25高二下·江苏徐州·期末)（多选）已知函数，，，则（   ） A．当时，是奇函数 B．当时，的最小值为 C．任意，与具有相同的单调区间 D．存在，使得与的图象有且仅有2个不同的公共点 题型4 指对幂函数（共10小题） 31．(24-25高二下·江苏南京文枢高级中学·期末)已知集合，集合，则 （    ） A． B． C． D． 32．(24-25高二下·江苏淮安·期末)已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 33．(24-25高二下·江苏徐州·期末)______． 34．(24-25高二下·江苏南师附中、天一中学、海门中学、海安中学·)设，对任意，成立，则该函数称为“级函数”，其中为函数的导数． (1)判断函数和，是否为“级函数”，并说明理由； (2)记（1）中的“级函数”为． ①若，，使得，证明：； ②若，，求实数的取值范围． 35．(24-25高二下·江苏常州·期末)设集合，则（    ） A． B． C． D． 36．(24-25高二下·江苏常州·期末)（    ） A．－5 B． C． D．5 37．(24-25高二下·江苏南京第一中学·)已知函数（为常数，），且为偶函数， (1)求a的值； (2)若方程在上有解，求实数k的取值范围． 38．(24-25高二下·江苏苏州·调研)已知函数． (1)求的定义域； (2)解关于的方程； (3)若函数的图象关于直线对称，求实数的值． 39．(24-25高二下·江苏苏州·调研)满足，的有序实数组可以是（   ） A． B． C． D． 40．(24-25高二下·江苏部分高中·期末)溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.若胃酸中氢离子的浓度是摩尔/升，则胃酸的pH为（    ） A． B． C． D． 题型5 等式与不等式（共10小题） 41．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期末)已知实数，，且，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 42．(24-25高二下·江苏南京江宁区·期末)已知全集，集合，集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 43．(24-25高二下·江苏南京师范大学附属实验学校·期末)不等式对一切实数恒成立的的取值集合为，集合． (1)求集合； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 44．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期末)已知，，且，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 45．(24-25高二下·江苏淮安·期末)已知为正数，，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D． 46．(24-25高二下·江苏徐州·期末)已知函数． (1)求不等式的解集； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 47．(24-25高二下·江苏徐州·期末)函数的值域为（   ） A． B． C． D． 48．(24-25高二下·江苏扬州·期末)已知集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 49．(24-25高二下·江苏扬州·期末)已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是______． 50．(24-25高二下·江苏常州·期末)已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 题型6 平面解析几何（共10小题） 51．(24-25高二下·江苏南京师范大学附属实验学校·期末)已知抛物线上一点A的横坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为（　　） A．5 B．6 C． D．4 52．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期末)已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4． (1)求椭圆的标准方程： (2)记椭圆的左顶点为，右顶点为，过点作不垂直于坐标轴的直线交椭圆于另一点，过点作的垂线，垂足为，且，求直线的方程． 53．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期末)圆与圆的公切线的条数是______条． 54．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期末)（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（在第一象限），为线段的中点，为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A． B．双曲线的离心率为2 C．直线的斜率为 D．的面积为 55．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期末)抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（   ） A． B． C． D． 56．(24-25高二下·江苏连云港·期末)已知双曲线的离心率为，且过点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知直线l经过点， ①若直线l与双曲线C的左支相切，求直线l的方程； ②若双曲线C的右顶点为P，直线l与双曲线C交于A，B两点，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，证明：为定值． 57．(24-25高二下·江苏南京第一中学·)已知椭圆的离心率，直线被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为． (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，求的取值范围． 58．(24-25高二下·江苏盐城·期末)已知椭圆的离心率为，且经过点，点F为椭圆E的右焦点． (1)求椭圆E的标准方程； (2)过点作直线l交椭圆E于A，B两点，O为坐标原点． ①若，求直线l的斜率； ②若过点A作直线的垂线，垂足为Q，点N为线段的中点，求证：B，Q，N三点共线． 59．(24-25高二下·江苏盐城·期末)（多选）若点是抛物线上一点，F为抛物线C的焦点，连交抛物线C于另一点Q，则（    ） A． B． C．（O为坐标原点） D． 60．(24-25高二下·江苏盐城·期末)双曲线的离心率为2，其中一条渐近线与圆相交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 1．已知实数，函数的值域为，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．设上的可导函数满足，且是偶函数．若，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 4．已知函数． (1)证明：当，时，； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 5．已知函数，． (1)若，求的图象在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若，都有，求实数的取值范围． 6．设函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调区间： (3)当时，求零点的个数． 7．已知函数 (1)求函数的单调区间和极值； (2)若方程恰有一个实数解，求实数的取值范围. 8．已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $