压轴02 期末真题·计数原理·百练通关（60题6大压轴题型）（期末复习专项训练）数学苏教版高二选择性必修第二册

压轴02 期末真题·计数原理·百练通关 题型1 离散型随机变量的均值与方差 题型4 统计及案例 题型2 二项分布 题型5 条件概率 题型3 计数原理实际应用 题型6 全概率公式 题型1 离散型随机变量的均值与方差（共10小题） 1．(24-25高二下·江苏·期末)某超市为吸引顾客，组织购物抽奖活动，抽奖机中有种不同面值的代金券可抽，抽得的代金券可在本超市消费，抽奖规则如下： 顾客先在抽奖机上随机抽取一个数（）． （Ⅰ）当时，随机抽得一张代金券； （Ⅱ）当时，随机抽取张面值不同的代金券，但这些代金券都不能用于消费．仅供参考，随后从剩下的（）张代金券中逐个随机抽取，一旦出现比这张代金券的面值都高的，即抽得该张代金券；若后面没有比这种的面值都高的，则抽得最后一张代金券． 某位顾客购物后参加抽奖活动． (1)当，且三张代金券的面值分别为元，元，元时. ①若其抽取的数，求其抽得代金券的面值的均值和方差； ②求其抽得元代金券的概率. (2)当，顾客抽取（）为何值时，抽得最高面值的代金券的概率最大？ 【答案】(1)①均值为，方差为；② (2)2 【分析】（1）①由题可得抽得的面值可能为15元，10元，5元，分别计算其概率，据此可得期望与相应方差；②分别计算抽取的数的情况下，抽得15元的概率，相加可得答案； （2）设5张代金券面值为1元，2元，3元，4元，5元，由题可得，，分别计算，1，2，3，4情况下，抽得5元的概率，比较后可得答案. 【详解】（1）①设最后抽得代金券的面值为，则可能取值为5,10,15. 先抽取的代金券面值为5的概率为，此种情况下最后抽得10元或15元的概率均为； 先抽取的代金券面值为10的概率为，此种情况下最后抽得15元的概率为； 先抽取的代金券面值为15的概率为，此种情况下最后抽得10元或5元的概率均为. 综上可得，，，. 则抽得代金券的面值的均值为. 方差. ②抽取的数的概率为，此种情况下抽得15元概率为； 抽取的数的概率为，此种情况下由①分析可得抽得15元概率为； 抽取的数的概率为，此时先抽取的两张代金券面值为的概率为，此种情况下抽得15的概率为； 先抽取的两张代金券面值中含有15的概率为，此种情况下抽得15的概率为0. 综上可得：抽得15元代金券的概率为. （2）不妨设张代金券面值为元，元，元，元，元， 由题可得， 当抽取的数，则抽到的概率为； 当抽取的数，参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为时，才能抽中元，概率为， 参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为或第张为，第张为时，才能抽中元， 对应的概率为； 参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有5在4前面时，才能抽中元， 总情况有种，5在4前面和5在4后面的情况相同，均为12种，对应概率为； 参考面值为时，概率为， 此时因剩余代金券中只有大于，则总能抽到，对应概率为； 参考面值为时，概率为，此时抽到的概率为； 综上，当抽取的数，抽到的概率为 当抽取的数，参考面值有种情况， 参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为时，才能抽中，剩余张代金券的全排列数为， 第张抽到的情况有种，则对应概率为； 参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为或第张为，第张为时，才能抽中， 第张抽到的情况有种，第张为，第张为的情况有种， 又总情况种，则对应概率为； 参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为或第张为，第张为时，才能抽中， 第张抽到的情况有种，第张为，第张为的情况有种， 又总情况种，则对应概率为； 参考面值中有，但是没有时，情况有种， 又总情况有种，则概率为， 此时剩余代金券仅有大于，则总能抽到，对应概率为； 参考面值中有时，有种情况，在剩余代金券中抽到的概率为， 综上，当抽取的数，抽到的概率为 当抽取的数，参考面值有种情况， 参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为时，才能抽中，因剩余张代金券排列方式有种，则对应概率为； 参考面值中有，但没有，有种情况， 又总情况有种，概率为，此时剩余代金券仅有大于，则总能抽到，对应概率为； 参考面值中有，有种情况，在剩余代金券中抽到的概率为， 综上，当抽取的数，抽到的概率为； 当抽取的数，参考面值有种情况， 当且仅当参考面值为时，可抽到，对应概率为； 综上，抽得最高面值的代金券的最大概率为， 则当时，抽得最高面值的代金券的概率最大. 2．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期末)“爱国、敬业、诚信、友善”是社会主义核心价值观个人层面的价值准则.某学校为加强对学生的教育，倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量 （单位：箱） 7 6 6 5 6 收益 （单位：元） 165 142 148 125 150 (1)求收益y关于售出水量x的回归直线方程，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ (2)期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级从第201名到500名的同学，获二等奖学金300元；考入年级501名及以后的特困生不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.如果已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望 附： 【答案】(1)，186 (2)分布列见解析，600 【分析】（1）求出、，从而求出回归方程，将代入求出即可； （2）计算对应的概率的值，求出其分布列和期望值即可． 【详解】（1）， ， ， 当时，（元）， 即某天售出8箱水的预计收益是186元. （2）X的取值可能为0，300，500，600，800，1000， ，， ，， ，， 即X的分布列为 X 0 300 500 600 800 1000 P X的数学期望 （元）. 3．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期末)已知某险种首次参保的保费为2000元，保险期为1年.在总体中抽取1000单，统计其在一个保险期内的赔偿次数，得到表 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 900 60 20 10 10 表1 用频率估计概率，解答下列问题. 已知下一个保险期的保费由上一个保险期的赔偿次数决定，记上一个保险期的保费为a元，下一个保险期的保费与上一个保险期的赔偿次数的关系如表2所示. 上一个保险期的赔偿次数 0 1 2 3 4 下一个保险期的保费 表2 已知甲2025年首次参保，此后计划每年都参保. (1)估计甲2026年参保第二个保险期的保费为X元，求X的数学期望； (2)求在甲2026年参保的保费大于2000元的前提下，甲2027年参保第三个保险期的保费少于2400元的概率. 【答案】(1)1944 (2) 【分析】(1)由题意知X的可能取值，分别计算对应的概率值，求出数学期望． (2)计算甲2026年参保的保费大于2000元的概率和甲2026年参保的保费大于2000元，且2027年参保的保费少于2400元的，求比值即可． 【详解】（1）X的可能取值为1900，2200，2400，2600，2800； ，， ， 即X的分布列为 X 1900 2200 2400 2800 P 数学期望为： 元 （2）甲2026年参保的保费大于2000元的概率为 甲2026年参保的保费大于2000元，且2027年参保的保费少于2400元的情况包括： 2026年参保的保费为2200元，且2026年的赔偿次数为0； 2026年参保的保费为2400元，且2026年的赔偿次数为 其概率， 故所求的概率为 4．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期末)某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取10箱进行检测，其中有6箱为一等品． (1)现从这10箱产品中随机抽取3箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率； (2)用频率估计概率，在这批产品中随机抽取3箱，用表示抽到一等品的箱数，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据超几何分布的概率计算公式，可得答案； （2）根据二项分布的概率计算公式以及均值公式，可得答案. 【详解】（1）记“这三箱中恰有两箱是一等品”为事件， 则． （2）由题意，任取一个，取到一等品的概率为， 因为可能的取值为0，1，2，3，且服从二项分布 所以，， ，， 所以随机变量的分布列如下： 数学期望． 5．(24-25高二下·江苏南京南京航空航天大学附属高级中学·期末)2025年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现．魔术师刘谦为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4．乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，小明用左右手分别从甲、乙两袋中取球． (1)若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率； (2)若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手完成各取两球为两次取球）的成功取法次数的随机变量，求的分布列及． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）先计算出左右手分别取出红色球、黑色球、白色球的概率，根据独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求出答案； （2）计算出左右手所取两球颜色相同的概率，得到的可能取值和对应的概率，得到分布列和数学期望. 【详解】（1）左手分别取出红色球、黑色球、白色球的概率为， 右手分别取出红色球、黑色球、白色球的概率为， 故两只手中所取的球颜色不同的概率为； （2）的可能取值为0,1,2， 左手所取两球颜色相同的概率为， 右手所取两球颜色相同的概率为， 故， ， ， 分布列如下： 0 1 2 期望为. 6．(24-25高二下·江苏南通·期末)一节阅读课，共有n位读者围坐在圆桌前．每人面前和桌正中央各有一种不同的书（每种书足够多），每人每课只能选一种书． (1)当时，若3人都不选桌中央的书，求每人都不选自己面前书的概率； (2)规定每人只能从自己面前或桌中央随机选取一种书，将第i位读者面前的这种书编号为．用表示“编号为i的书未被选”，表示“编号为i的书被选”． （ⅰ）求的概率分布； （ⅱ）第一节阅读课后编号为i的书选择情况取值为，第二节课后编号为i的书选择情况取值为．记，求X的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）分布列见解析， 【分析】（1）根据古典概率计算公式计算即可； （2）（ⅰ）根据两点分布分布列计算即可；（ⅱ）列出随机变量X的可能取值，计算对应概率，可得分布列与数学期望，即，再计算，方法1：设，求导赋值计算即可；方法二：利用计算即可. 【详解】（1）当时，样本空间包含个样本点， 记“每人都不选自己面前的书”为事件A，则事件A包含8个样本点， 所以； （2）（ⅰ），， 则的分布列为 0 1 P （ⅱ）随机变量X的可能取值有0，1，2，3，，n， 对于的随机变量，在数组与中有k个对应位置上的值均为1，剩下个对应位置上的值有3种对应关系，此时所对应情况数为种．                 数组的结果共个，所以． 所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 n P 所以随机变量X的数学期望为．             下面计算： 方法1：设， 两边求导得，， 两边乘以x后得，， 令，得， 所以． 所以．                     方法2：先证， 得， 所以． 7．(24-25高二下·江苏南通·期末)随机变量．若，则____________；若，则p的最大值为____________． 【答案】 4 /0.75 【分析】根据给定条件，利用方差的性质求出，再利用二项分布的期望、方差公式求解. 【详解】由，得，，又， 因此； 又，，则， 解得，而，所以当时，. 故答案为：4； 8．(24-25高二下·江苏淮安·期末)在Python编程语言中，数组可以看作是行、列的数表，第行、第列的数记为，例如表示第2行、第3列的数．如果数组中存在，对任意的，都有，且成立，则称该数组为“数组”，满足条件的记为“数组”的“核”． (1)若数组与数组以数表形式表示如下： 判断数组与数组是否为“数组”，如果是，求出它的“核”； (2)已知数组是一个元素互不相同的数组，元素，，在数组是“数组”的条件下，求它的“核”是4的概率； (3)现将这个元素全部填入数组中，满足是“数组”的全体构成一个集合，从集合中任取一个元素，记它的“核”为，求随机变量的数学期望． 【答案】(1)数组不是“数组”；数组是“数组”，它的“核”为7． (2)． (3) 【分析】（1）根据“β数组”的定义，逐行、逐列进行验证，易得. （2）设数组是“数组”为事件，数组的“核”是4为事件，分类讨论求出事件的个数及事件N的个数，利用条件概率公式求解即可. （3）求出随机变量取值，求出对应的概率，利用数学期望公式求出期望表达式，最后利用“倒序相加”. 【详解】（1）根据“β数组”的定义，逐行、逐列进行验证，易得： 数组中不存在这样的数，所以数组不是“数组”； 数组中有且仅有7满足题意，数组是“数组”，它的“核”为7． （2）设数组是“数组”为事件，数组的“核”是4为事件． 若数组是“数组”时，可设它的“核”为，因为的每行有2个元素， 每列有3个元素，且，则． 当时，此时“数组”的个数为： 当时，此时“数组”的个数为： 当时，此时“数组”的个数为： 假设一个“数组”中同时存在两不同个“核”和． 若和处于同一行或处于同一列时，根据定义则必有，这与和不同矛盾； 若和不同行也不同列时，不妨设， 根据定义可得：， 所以，同样产生矛盾，所以“数组”的“核”是唯一的． 所以． 答：是“数组”的概率为． （3）根据题意的可能取值为（共个取值）， 当时，此时“数组”的个数为： 当时，此时“数组”的个数为： 当时，此时“数组”的个数为： …… 当时，此时“数组”的个数为： 当时，此时“数组”的个数为： 由这些计数无重复，故的元素个数为 注意到以上计数具有对称性，即： …… 所以利用“倒序相加”法我们有： ，，所以． 9．(24-25高二下·江苏淮安·期末)学校食堂为了减少排队时间，从开学第1天起，每餐只推出即点即取的套餐和套餐．某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，则第2天选择套餐的概率为_____，设开学4天后，他累计选套餐的天数为，则_____． 【答案】 【分析】由已知结合全概率公式即可求解第2天选择套餐的概率；先求出第天选择套餐的概率，再由得解. 【详解】设“第天选择套餐”，则“第天选择套餐”， 根据题意，，，， 由全概率公式，得； 设“第天选择套餐”， 则，，，， 由全概率公式，得， 即， 则， 则. 10．(24-25高二下·江苏淮安·期末)（多选）下列说法正确的是（    ） A．设随机变量，则 B．设离散型随机变量满足，则 C．设随机变量服从正态分布，则 D．从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球的个数记为，则 【答案】AC 【分析】根据二项分布的概率公式求解判断A，根据均值的性质求解判断B，根据正态分布的对称性判断C，结合组合数根据古典概型概率公式求解判断D 【详解】对于A，若随机变量，则，，故A正确； 对于B，若离散型随机变量满足，则，故B错误； 对于C，随机变量服从正态分布，均值为，则，故C正确； 对于D，，，所以，故D错误. 故选：AC 题型2 二项分布（共10小题） 11．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期末)（多选）下列说法中，正确的有（   ） A．的展开式中，的系数是60 B．若的展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列，则 C．用数字0，1，2，3，4组成的无重复数字的四位数中，偶数的个数为60 D．某篮球运动员投球的命中率是，他投球4次，相互独立，则恰好投进3个球的概率为. 【答案】ACD 【分析】根据二项式定理和二项式系数及其性质判断选项A、B，用排列数知识判断选项C，用二项分布知识判断选项D. 【详解】的展开式的通项为：.令，可得的展开式中的系数为:，故选项A正确； 选项B：由题意得的展开式至少有四项，所以. 在的展开式中，第二、三、四项的二项式系数分别为，，. 由题意，得所以,所以，故选项B错误； 选项C：由题意，若四位数为偶数，则其个位数字为或 当个位数字为0时，四位数有个； 当个位数字为2或4时，四位数分别有个． 由分类加法计数原理，得偶数的个数为，故选项C正确； 选项D：因为每次投球相互独立，所以投球4次，恰好投进3个球的概率为，故选项D正确. 故选：ACD. 12．(24-25高二下·江苏南京师范大学附属实验学校·期末)（多选）下列命题中，真命题有（　　） A．数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的70%分位数是8.5 B．若随机变量，则 C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为；若，则； D．若，则 【答案】BC 【分析】对于A利用百分位数的定义即可判断，对于B利用二项分布即可求方差，进而判断，对于C利用回归方程必过样本中心点即可判断，对于D利用条件概率公式即可判断. 【详解】对于A：由，所以70%分位数是，故A错误； 对于B：由，所以，故B正确； 对于C：由，所以，故C正确； 对于D：，，所以，故D错误. 故选：BC. 13．(24-25高二下·江苏徐州·期末)（多选）袋中有大小相同的3个红球和5个黄球，每次随机取出1个球，用表示事件“第（）次取出红球”．则下列说法正确的是（   ） A． B．若每次取出的球不放回，则 C．若每次取出的球放回，则 D．若每次取出的球放回，则前5次取球中最有可能取到3次红球 【答案】AB 【分析】利用古典概率和对立事件的概率可判断A的正误，利用古典概率的概率公式可判断B的正误，根据独立事件和对立事件的概率公式可判断C的正误，根据二项分布的概率公式可判断D的正误. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，若每次取出的球不放回，则，故B正确； 对于C，若每次取出的球放回，则相互独立，且， 故， 故，故C错误； 对于D，若每次取出的球放回，设前5次取球中取到个红球， 则，故，其中， 令，则，故， 故前5次取球中最有可能取到2次红球，故D错误. 故选：AB. 14．(24-25高二下·江苏镇江中学·期末)高尔顿板又称豆机､梅花机等，是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型.如图所示的高尔顿板为一块木板自上而下钉着6层圆柱形小木块，最顶层有2个小木块，以下各层小木块的个数依次递增，各层小木块互相平行但相互错开，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块透明玻璃.让小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或者向右滚下，最后落入高尔顿板下方从左至右编号为的球槽内.    (1)某商店将该高尔顿板改良成游戏机，针对某商品推出促销活动.凡是入店购买该商品一件，就可以获得一次游戏机会.若小球落入号球槽，该商品可立减元，其中.若该商品的成本价是20元，从期望的角度考虑，为保证该商品总体能盈利，求该商品的最低定价.（结果取整数） (2)将63个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问3号球槽中落入多少个小球的概率最大？ 【答案】(1)25元. (2)3号球槽中落入19或20个小球的概率最大 【分析】（1）首先求的分布列，再根据的分布列求的分布列，并计算均值，从而比较成本，确定定价； （2）首先由（1）得，小球落入3号球槽的个数为，判断的单调性，从而确定概率的最大值. 【详解】（1）的取值可能为. ， . 因为，所以的取值可能为. ， . 的分布列为 0 5 10 15 ， 则顾客玩一次游戏，立减金额的均值约为4.7元，又该商品成本价是20元， 所以该商品的最低定价约为25元. （2）由（1）得. 进行63次试验，设小球落入3号球槽的个数为，则. . 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即. 所以当时，，此时这两项概率均为最大1. 故3号球槽中落入19或20个小球的概率最大. 15．(24-25高二下·江苏镇江中学·期末)甲､乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制.在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到平后，先多得2分者为胜方.在平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球.若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局的概率为__________. 【答案】 【分析】由题意分析甲乙分别胜的场数，利用概率乘法公式，可得答案. 【详解】在双方平后，要甲以赢下此局，则甲乙各胜一场后，甲再连胜两场， 所以概率为. 故答案为： 16．(24-25高二下·江苏镇江中学·期末)（多选）已知事件满足，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若与相互对立，则 C．若与相互独立，则 D．若与互斥，则 【答案】BD 【分析】选项A：利用事件的关系结合概率求解即可，选项B：利用对立事件的概率关系判断即可，选项C：若A与B相互独立，则 A与相互独立，利用独立事件的公式求解即可判断，选项D：根据互斥事件的概率加法公式判断结论即可. 【详解】选项A：若B⊆A，则，A错误； 选项B：若与相互对立，则，B正确； 选项C：若A与B相互独立，则A与相互独立， ，C错误； 选项D：若与互斥，则，D正确. 故选：BD. 17．(24-25高二下·江苏常州·期末)甲、乙两人组队代表班级参加学校科技节的“水火箭”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各发射火箭一次，在一轮比赛中，如果两人都射中，则得3分；如果只有一个人射中，则得1分；如果两人都没射中，则得0分.已知甲每轮射中的概率均为，乙每轮射中的概率均为.每轮比赛中甲、乙射中与否互不影响，各轮比赛的结果也互不影响. (1)若他们参加一轮比赛，求得分的概率分布列和数学期望； (2)若他们参加两轮比赛，求至少得3分的概率. 【答案】(1)分布列见解析，. (2) 【分析】（1）由题意，随机变量的可能取值为0，1 ，3由事件的独立性与互斥性，得到的分布列，根据期望公式求解； （2）利用对立事件的概率计算方法，求出总分小于3分的概率，计算即可得出结果. 【详解】（1）的可能取值为，， . . . 所以得分的概率分布列为： 数学期望. （2）至少得3分的对立事件为总分小于3分，即总分为0、1、2. 总分得0分的概率为： 总分得1分的概率为： 总分得2分的概率为： 所以总分小于3分的概率为： 所以至少得3分的概率： 18．(24-25高二下·江苏连云港·期末)一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个红球、6个白球，从中随机地摸出2个球作为样本，用X表示样本中红球的个数． (1)若有放回摸球，求X的分布列； (2)若不放回摸球，求X的分布列． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）由条件判断服从二项分布，运用概率计算公式计算即得分布列 ； （2）先由条件判断服从超几何分布，由概率计算公式计算即得分布列. 【详解】（1）若有放回摸球，每次摸到红球的概率为，且各次试验之间的结果是独立的， 因此. 所以. 即， ，. 则的分布列为： 0 1 2 （2）若不放回摸球，则服从超几何分布， 故， ， ，. 则的分布列： 0 1 2 19．(24-25高二下·江苏连云港·期末)甲盒中有3道代数题和4道几何题，乙盒中有1道代数题和2道几何题．现从甲盒中随机抽取2道题放入乙盒，再从乙盒中随机抽取2道题，则从乙盒中取出的是2道几何题的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分步乘法和加法计算原理计算即可. 【详解】根据题意从甲盒中抽出2道题放入乙盒，再从乙盒中随机抽取2道题，可能为： 2道代数，此时乙盒有3道代数和2道几何，再抽出2道几何的概率， 1道代数1道几何，此时乙盒有2道代数和3道几何，再抽出2道几何的概率， 2道几何，此时乙盒有1道代数和4道几何，再抽出2道几何的概率， 所以从乙盒中取出的是2道几何题的概率. 故选：C. 20．(24-25高二下·江苏镇江实验高级中学·调研)某大型商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放个大小相同的小球，其中个为红色，个为黑色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖． (1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和方差； (2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望． 【答案】(1)分布列见解析， (2)分布列见解析， 【分析】（1）第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求出每次都中奖的概率为，可知，由二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的方差公式可求得的值； （2）分析可知，中奖次数的可能取值为、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【详解】（1）第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为，因为两次中奖相互独立，所以中奖次数，的可能取值为、、， 则，，， 则的分布列为 因为，所以的方差为. （2）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖， 则中奖次数的可能取值为、、， 则，， ， 所以，随机变量的分布列为 所以的期望为. 题型3 计数原理实际应用（共10小题） 21．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期末)（多选）下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据二项式展开式计算结合组合数运算判断各个选项. 【详解】，A选项错误； ，B选项正确； ，C选项错误； 因为， 所以，D选项正确； 故选：BD. 22．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期末)将各位数字之和为6的三位数叫“幸运数”，比如123，402，则所有“幸运数”的个数为（   ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】C 【分析】应用分类加法原理计算得出幸运数的个数即可. 【详解】当百位数字是6，其他数字是0，此时幸运数有1个； 当百位数字是5，其他数字是0和1，此时幸运数有2个； 当百位数字是4，其他数字是1和1或者是0和2，此时幸运数有个； 当百位数字是3，其他数字是1和2或者是0和3，此时幸运数有个； 当百位数字是2，其他数字是2和2或者是0和4或者是1和3，此时幸运数有个； 当百位数字是1，其他数字是2和3或者是1和4或者是0和5，此时幸运数有个； 所以幸运数的个数为. 故选：C. 23．(24-25高二下·江苏南京南京航空航天大学附属高级中学·期末)将一颗骰子连续抛掷三次，向上的点数依次为，则的概率为______． 【答案】 【分析】取定中的一个值，考查另外两次抛掷骰子的样本点数，利用分类加法计数原理和古典概型概率公式计算即得. 【详解】考虑取定的值，分类统计事件“”所含的样本点数， 将对应的值作为一个数组，列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 第一类：时，满足“”的样本点有个； 第二类：时，满足“”的样本点有个； 第三类：时，满足“”的样本点有个； 第四类：时，满足“”的样本点有个； 第五类：时，满足“”的样本点有个； 第六类：时，满足“”的样本点有1个. 由分类加法计数原理，满足“”的样本点共有：个， 而一颗骰子抛掷一次有6种结果，抛掷三次有个样本点， 因结果有限，且每个样本点发生的可能性相等，故是古典概型. 则“”的概率为. 故答案为： 24．(24-25高二下·江苏徐州·期末)某兴趣小组有4名男生、2名女生，现随机选出3名学生参加志愿服务，则至少有2名男生的概率为______． 【答案】/ 【分析】根据古典概型的概率公式结合分类计算原理可求概率. 【详解】设“随机选出3名学生参加志愿服务，则至少有2名男生”为事件， 则， 故答案为：. 25．(24-25高二下·江苏南通·期末)将4本不同的书分给3名学生，每人至少一本，则不同的分配方法数为（   ） A．24 B．36 C．64 D．72 【答案】B 【分析】根据题意先分组后分配，利用排列组合数计算即可. 【详解】由题意，4本不同的书可以分成2,1,1三组，有种分组方法，再分给3名学生，有种分配方法， 所以，不同的分配方法数为. 故选：B. 26．(24-25高二下·江苏宿迁·期末)某位同学用一根直径3cm，长度30cm，粗细均匀的圆木棒做接力棒，先按长度将其划分成每段为10cm的三个区域，再将每个区域漆上一种颜色，要求相邻区域的颜色不能相同，现有红、黄、蓝三种颜色的油漆可以选取，则漆出的外观有（    ）种可能． A．18 B．15 C．12 D．9 【答案】D 【分析】根据分类、分步计数原理及排列组合的知识即可求出总方案数. 【详解】根据题意，如只使用两种颜色，则两端颜色一定相同，共有种， 如使用三种颜色，考虑对称性（如红、黄、蓝与蓝、黄、红实际是一种情况），共有种， 总方案数为种. 故选：D. 27．(24-25高二下·江苏淮安·期末)已知（为常数）． (1)当时，求的二项展开式中各项系数的和； (2)若的二项展开式中常数项为24，求实数的值． 【答案】(1)256． (2)． 【分析】（1）利用赋值法，令即可得解； （2）利用二项展开式通项公式求解. 【详解】（1）当时， 因为，令时， 则的二项展开式中各项系数的和为． （2）因为的二项展开式的第项， ， 因为的二项展开式中常数项为24， 所以，即， 又因为，所以，即． 28．(24-25高二下·江苏淮安·期末)（多选）已知，则下列说法中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则中含项的系数为48 D．若为偶数，则能被4整除 【答案】ABD 【分析】逆用二项式定理求得，解方程判断AB；先求出，再根据这一项的生成过程分类讨论求解系数判断C；，结合二项展开式可得能被4整除判断D. 【详解】因为，所以，即， 对于A，若，则，解得，正确； 对于B，若，则，即， 由单调递减，及，可得，正确； 对于C，若，则，解得， 对于二项式，要生成这一项，相当于从5个含有的括号中， 若2个取出，1个取出，2个取出，则， 若1个取出，3个取出，1个取出，则， 若5个取出，则， 所以的系数为，错误； 对于D，，为偶数，不妨记， 则 能被8整除，所以能被4整除，正确. 故选：ABD 29．(24-25高二下·江苏徐州·期末)某公司年会安排节目表演，有3个小品节目、2个歌舞节目和1个杂技节目．现要求歌舞节目相邻，小品节目也相邻，杂技节目不能在首尾位置，则不同的安排方法共有（   ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 【答案】A 【分析】利用捆绑法即可求解. 【详解】利用捆绑法排3个小品节目、2个歌舞节目和1个杂技节目有种. 故选：A. 30．(24-25高二下·江苏扬州·期末)类比排列数公式，定义（其中，），将右边展开并用符号表示（，）的系数，得，则： （1）______；（结果用数字表示） （2）若，（，），则______． 【答案】 24 【分析】根据定义的函数，写出对应的函数，根据函数解析式，求出，再根据定义函数的性质，构造一个新的函数，再根据其展开式，列出其中相等的项，写出方程，化简即可求出结果. 【详解】由题意知，则时一次项系数，则， 即. 由题意得， 展开得， 可得， 因为，，所以， 故答案为：24；. 题型4 统计及案例 （共10小题） 31．(24-25高二下·江苏宿迁·期末)（多选）从某次知识竞赛成绩中随机抽取容量为100的样本，由样本数据绘制的频率分布直方图如图所示，则下列估计结论正确的有（    ） A．成绩的众数为75 B．成绩的上四分位数为84 C．成绩的极差为60 D．已知落在的平均成绩是54，方差是2：落在的平均成绩为66，方差是5，则两组成绩的总标准差为6 【答案】ABD 【分析】可根据频率分布直方图的性质，结合众数、上四分位数、极差、方差与标准差的计算公式，逐一分析选项. 【详解】由频率分布直方图可知，， 解得. 由图可以看出众数在区间内，所以众数为，所以A正确； 上四分位数指的是第75百分位数， 因为，而. 所以第75百分位数位于区间内. 设上四分位数为，则.所以B正确； 成绩的极差通过频率分布直方图只能估计，估计极差值为，所以C错误； 由频率分布直方图可求得的样本数为， 的样本数为. 所以总的平均数为. 总的方差为， 所以总的标准差为6.所以D正确. 故选：ABD. 32．(24-25高二下·江苏宿迁·期末)对于变量有观测数据，得散点图1；对于变量有观测数据，得散点图2．表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据散点图和相关系数的概念进行判断即可. 【详解】根据图1和图2可以看出，随的增大而增大，随的增大而减小， 所以. 因为图1的数据点比图2的更集中，所以. 所以. 故选：C. 33．(24-25高二下·江苏镇江实验高级中学·调研)某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表： 高一年级 高二年级 高三年级 泥塑 剪纸 其中，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，按分层抽样的方法抽取一个人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取_________人． 【答案】 【分析】求出的值，结合分层抽样可求得结果. 【详解】由题意可知，“泥塑”社团的人数为，“剪纸”社团的学生人数为， 所以， 所以按分层抽样的方法抽取一个人的样本进行调查， 则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取的人数为人. 故答案为：. 34．(24-25高二下·江苏镇江实验高级中学·调研)为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将名师生的竞赛成绩（满分分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（   ） A．的值为 B．估计这组数据的众数为 C．估计成绩低于分的有人 D．估计这组数据的第百分位数为 【答案】C 【分析】利用在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为，求出的值，可判断A选项；利用众数的定义可判断B选项；利用频率直方图计算出成绩低于分的学生人数，可判断C选项；利用百分位数的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为， 所以，解得，A对； 对于B选项，由频率分布直方图可知，估计这组数据的众数为，B对； 对于C选项，由频率分布直方图可知， 估计成绩低于分的人数为，C错； 对于D选项，前个矩形的面积之和为， 前个矩形的面积之和为， 设这组数据的第百分位数为，则， 由百分位数的定义可得，解得，D对. 故选：C. 35．(24-25高二下·江苏盐城·期末)已知变量x，y的取值如下表所示，若y与x线性相关，且线性回归方程为，则等于 x 2 4 5 6 8 y 20 40 60 70 80 A．0.5 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】B 【分析】利用线性回归方程过样本中心点即可求解. 【详解】根据表格可得，， 因为线性回归方程过样本中心点， 所以将代入中得，. 故选：B. 36．(24-25高二下·江苏泰州·期末)已知的取值如下表所示，若与有线性相关关系且与之对应的线性回归方程为，则的值为（   ） 1 3 5 7 5.8 6.2 6.6 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据线性回归方程一定过进行计算即可. 【详解】根据表中数据，，， 因为线性回归方程一定过， 所以， 解得. 故选：C. 37．(24-25高二下·江苏盐城·期末)样本数据2，4，5，6，8的中位数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合数据中位数的定义与计算方法，即可求解. 【详解】由数据2，4，5，6，8，根据中位数的定义，可得数据的中位数为5. 故选：B. 38．(24-25高二下·江苏南京江宁区·期末)某能源汽车制造公司近5年的利润情况如下表所示： 第x年 1 2 3 4 5 利润y（亿元） 2 3 4 m 7 已知变量y与x之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为：，则m的值为（   ） A．4.5 B．4.8 C．5 D．5.4 【答案】C 【分析】求出、，代入回归直线方程可得答案. 【详解】因为，， 所以，解得. 故选：C. 39．(24-25高二下·江苏南师附中、天一中学、海门中学、海安中学·)某旅游景点统计今年五一期间进入景区的游客人数（单位：千人）如下： 日期 5月1日 5月2日 5月3日 5月4日 5月5日 第天 1 2 3 4 5 参观人数 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 (1)根据上表数据，判断成对样本数据的线性相关程度，请用样本相关系数加以说明；（若，则认为与的线性相关性很强），如果与的线性相关性很强，那么求出关于的经验回归方程； (2)五一期间景区开放南门、东门和北门供游客出入，游客从南门、东门和北门进入景区的概率分别为，且出景区与入景区选择相同门的概率为，选择与入景区不同两门的概率各为．假设游客从南门、东门、北门出入景点互不影响，现有甲、乙、丙、丁4名游客于5月1日游玩景点，设为4人中从东门出景区的人数，求的分布列、期望及方差． 附：参考数据：，，，，． 参考公式：经验回归方程，其中，． 样本相关系数． 【答案】(1)，与线性相关性很强；． (2)分布列见解析，数学期望为1，方差为. 【分析】（1）由题意求出相关系数并求出回归方程即可； （2）由全概率公式计算，利用二项分布计算概率，列出分布式，由公式计算期望和方差可得. 【详解】（1）依题意，，而，，， ． 因为时线性相关程度高，所以与线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合． ， 因此，回归方程为． （2）“甲从东门出学校”为事件，“甲从南门进学校”为事件，“甲从东门进学校”为事件，“甲从北门进学校”为事件， 由题意可得，，，，， 由全概率公式得： 同理乙、丙、丁从东门出景区的概率也为， 为4人中从东门出景区的人数，则， ，，，，， 故的分布列为： 0 1 2 3 4 ，． 40．(24-25高二下·江苏南师附中、天一中学、海门中学、海安中学·)（多选）下列命题正确的是（    ） A．两个随机变量的线性相关性越强，则样本相关系数越接近于1 B．对具有线性相关关系的变量，，有一组观测数据，其经验回归方程是，且，则实数的值是 C．已知随机变量的方差为4，则的标准差是6 D．已知随机变量，若，则 【答案】BC 【分析】由相关系数的性质可得A错误；由样本中心点计算相关系数可得B正确；由方差的性质可得C正确；由正态分布的对称性可得D错误. 【详解】对于A，两个随机变量的线性相关性越强，则样本相关系数的绝对值越接近于1．所以A错误； 对于B，，，所以，所以，B正确； 对于C，已知随机变量的方差为4，则的方差是，所以标准差为，故C正确； 对于D，由，由对称性可得， 所以，所以D错误. 故选：BC． 题型5 条件概率（共10小题） 41．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期末)设，是一个随机试验中的两个随机事件，且，，，则______． 【答案】/ 【分析】根据条件概率的公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 解得. 所以. 故答案为：. 42．(24-25高二下·江苏南通·期末)（多选）一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数（1张卡片上标1个数)，从中不放回的依次抽取卡片，每次抽1张．“第一次抽取的卡片号为奇数”记为事件A，“前两次抽取的卡片号之和为偶数”记为事件B，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用全概率公式来判断A，利用条件概率乘法公式来判断B，利用条件概率除法公式来判断C，利用互斥事件概率和公式来判断D. 【详解】利用全概率公式计算：，故A正确； 由，，而，故B错误； 由，故C正确； 由，故D正确； 故选：ACD 43．(24-25高二下·江苏扬州·期末)甲、乙两名运动员将参加体育考核．考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将在这3个项目中分别进行测试．已知6个项目中，有4个是甲擅长的，必定通过测试，另有2个是甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p，且各次测试相互独立．在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X、Y． (1)若，分别写出随机变量X和Y的概率分布，并求它们的数学期望； (2)规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过测试，则考核“优秀”． （i）当运动员甲考核“达标”时，求运动员甲考核“优秀”的概率； （ii）已知时，两位运动员考核“达标”的概率相等，时，两位运动员考核“优秀”的概率相等．求证：． 【答案】(1)的分布列见解析，， (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据超几何分布和二项分布，分别求出甲、乙的分布列，计算期望. （2）（i）根据条件概率公式，由（1）中各事件概率，求出条件概率. （ii）根据甲乙通过项目数的分布列，分别求出甲乙两人合格和优秀时的概率，根据其单调性，列出不等式，证明结果. 【详解】（1）甲可能通过项目数，服从超几何分布， 则X的概率分布： ， ， X的数学期望． 乙通过项目数符合二项分布，即，， 则Y的概率分布： ，， ，， Y的数学期望． （2）（i）因为， 所以运动员甲考核“达标”时，运动员甲考核“优秀”的概率是． （ii）甲考核“达标”概率，记乙考核“达标”概率为， 则， 可知， 当时，，在上单调递增， 又，所以． 甲考核“优秀”概率，记乙考核“优秀”概率为， 则在上单调递增， 又，所以． 综上，． 44．(24-25高二下·江苏镇江第一中学·期末)某校高二年级为研究学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下： 语文成绩 合计 优秀 不优秀 数学成绩 优秀 50 30 80 不优秀 40 80 120 合计 90 110 200 (1)根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ (2)现从该校学生中任选一人，A表示“选到的学生语文成绩不优秀”，B表示“选到的学生数学成绩不优秀”．请利用样本数据，估计的值． 附：． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)认为数学成绩与语文成绩有关 (2)． 【分析】（1）计算出，与的临界值比较，得出结论； （2）根据条件概率的计算公式，利用样本数据，估计的值. 【详解】（1）零假设为：数学成绩与语文成绩无关，据表中数据计算得 根据的独立性检验，我们推断不成立，认为数学成绩与语文成绩有关． （2）A表示“选到的学生语文成绩不优秀”， B表示“选到的学生数学成绩不优秀”， 利用样本数据，则有，， 所以， 故估计的成为是． 45．(24-25高二下·江苏常州·期末)甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球、先从甲袋中随机取1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取1个球，则该球是红球的概率为_____. 【答案】 【分析】考虑从甲袋中取出的球是白球还是红球，根据全概率公式，即可求得答案. 【详解】设A表示事件“从甲袋取出又放入乙袋中的球是白球”， 则表示事件“从甲袋中取出放入乙袋中的球是红球”， B表示事件“最后从乙袋中取出的球是红球”， 所以，， 故，， 故 ， 故答案为： 46．(24-25高二下·江苏镇江实验高级中学·调研)某高校两名学生准备从、、、、、这门选修课程中任选门，则这两名学生在所选课程中有相同课程的条件下，恰好选择了门相同课程的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件这两名学生在所选课程中有相同课程，事件这两名学生恰好选择了门相同课程， 则，， 由条件概率公式可得. 故选：B. 47．(24-25高二下·江苏盐城·期末)（多选）若随机事件A，B满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，利用条件概率的计算公式，概率的加法公式，以及对立事件的概率关系，逐项求解，即可得到答案. 【详解】因为，可得，所以， 又因为，可得，所以， 由，代入可得，所以B正确； 又由，可得，所以A错误； 由概率的加法公式，可得，所以C正确； 又由，所以D正确. 故选：BCD. 48．(24-25高二下·江苏苏州·调研)如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，移动6次后质点对应的数为，则______，在有且仅有一次经过1的条件下，事件“”的概率是______． 【答案】 6 /0.25 【分析】第一个空，假设为向右的次数，因为服从二项分布，易得，根据和的关系，可得； 第二个空，假设“有且仅有一次经过1”为事件，“质点仅在第1秒位于1”为事件，“质点仅在第3秒位于1”为事件，“质点仅在第5秒位于1”为事件，根据题干可得，由条件概率可得. 【详解】假设为向右的次数，则服从二项分布，故； 此时质点对应的数，所以. 假设“有且仅有一次经过1”为事件，“质点仅在第1秒位于1”为事件，“质点仅在第3秒位于1”为事件，“质点仅在第5秒位于1”为事件，则两两互斥，则， “质点仅在第1秒位于1”则质点的走法为（第六步不受影响），（第五六步不受影响），（第六步不受影响），（第五六步不受影响），； “质点仅在第3秒位于1” 则质点的走法为（第六步不受影响），（第六步不受影响），； “质点仅在第5秒位于1” 则质点的走法为（第六步不受影响），（第六步不受影响），； 则. 因为，所以，所以三种情况下, 事件“”的情况有：，，，，，则， 则. 故答案为：6；. 49．(24-25高二下·江苏泰州·期末)某连锁餐厅有家分店，将分店按照规模从小到大依次编为号到号．每家分店都配备了一定数量的员工，配备方案为：第号分店员工包含第号店长和名服务员．为了加强各分店之间的员工交流与经验分享，提升整体服务水平，餐厅总部决定进行员工轮岗工作．具体安排为：从每家分店随机选派名员工到下一家分店进行工作，即从号分店选派名员工到号分店，再从号分店（含轮岗人员）选派名员工到号分店，依次类推，从号分店选派名员工到号分店．轮岗结束后，从第号分店任选名员工进行服务反馈调查，并选派至号分店，记选中店长的概率为． (1)当时，求的值； (2)在第号分店选中店长的条件下，若该店长为第号店长，求随机变量的分布列； (3)证明：． 【答案】(1) (2)分布列答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）记事件从号店中选派名店长去号店，则事件从号店中选派名员工去号店，记事件从号店中选派名店长去号店，利用全概率公式可得出的值； （2）分析可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列； （3）根据全概率公式可得出的递推公式，结合数学归纳法可证得所证不等式成立. 【详解】（1）由题意可知，号店中有名店长和名员工，号店中有名店长和名员工， 当时，记事件从号店中选派名店长去号店，则事件从号店中选派名员工去号店， 记事件从号店中选派名店长去号店， 则，，， 由全概率公式可得. （2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、， 记事件轮岗后，号分店店长的人数为， 则， 则， 记事件在第号分店选中店长， 则 当时，说明从号店、号店、号店、号店，每次派出的都是号店店长， 所以， 当时，说明从号店、号店、号店，每次派出的都是号店店长， 所以， 当时，说明从号店、号店，每次派出的都是号店店长， 所以， 当时，说明最后一次从号店派出的是号店店长， 所以. 所以，随机变量的分布列如下表所示： （3）记事件第号店选派店长，则，， 所以， 先证明， 由题意可知，满足， 假设当时，原不等式成立，即， 则当时，， 即，这说明，当，原不等式成立，故； 接下来证明， 显然，满足题意， 假设当时，原不等式成立，即， 则当时，， 即，这说明，当，原不等式成立，故. 综上所述，. 50．(24-25高二下·江苏泰州·期末)已知随机事件、，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率公式可得出的值，进而可求得的值，再由可求得结果. 【详解】因为，，，所以， 由条件概率公式可得， 因此. 故选：C. 题型6 全概率公式（共10小题） 51．(24-25高二下·江苏南通·期末)某学校的学生中，是男生，是女生．已知男生中有喜欢篮球，女生中有喜欢篮球．现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是（   ） A．0.30 B．0.26 C．0.24 D．0.20 【答案】B 【分析】利用全概率公式进行计算即可. 【详解】利用全概率公式计算， 即现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是， 故选：B. 52．(24-25高二下·江苏南京第一中学·)有一只青蛙在正方形池塘的顶点ABCD之间跳跃，假设青蛙它跳向相邻顶点的概率为，跳向不相邻顶点的概率为，若青蛙一开始位于顶点A处，记青蛙跳跃n次后仍位于顶点A上的概率为，则______． 【答案】 【分析】记次后落在处概率为与的递推关系，进一步计算得出与的关系进行判断，最后根据等比数列前项和公式得出结果即可； 【详解】记次后落在处概率为，得出 ，， 则， ，， 所以， 所以，即， 所以，数列是等比数列， ， 所以， 故答案为：. 53．(24-25高二下·江苏镇江实验高级中学·调研)某足球队球员乙能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置，且出场率分别为、、，当乙球员担当前锋、中锋以及后卫时，球队输球的概率依次为、、．当乙球员参加比赛时，该球队这场比赛输球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记事件、、分别为球员乙能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置，记事件乙球员参加比赛时，该球队这场比赛输球，利用全概率公式可求得的值. 【详解】记事件、、分别为球员乙能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置， 记事件乙球员参加比赛时，该球队这场比赛输球， 由题意可知，，， ，，， 由全概率公式可得 . 故选：A. 54．(24-25高二下·江苏南京第一中学·)已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.3%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设事件“男子”，事件“女子”，事件“这个人色盲”结合题意得到，，且和，结合贝叶斯概率公式，即可求解. 【详解】设事件“男子”，事件“女子”，事件“这个人色盲”， 由题意得，，且， 所以. 故选：C. 55．(24-25高二下·江苏苏州·调研)在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．假设发送信号0和1是等可能的，则接收到0的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知接收到0有两种情况，发射0或发射1，再利用全概率公式求解即可. 【详解】根据题意接收到0有两种情况，发射0或发射1， 所以接收到0的概率为. 故选：C. 56．(24-25高二下·江苏盐城·期末)某电商平台促销盲盒商品，盲盒的外层包装分A、B两种类型．外层包装为A型的概率为，每个A型盲盒中含限量版商品的概率为；外层包装为B型的概率为，每个B型盲盒中含限量版商品的概率为．小王一次性随机购买5个盲盒（假设各盲盒包装类型及所含商品相互独立） (1)求每个盲盒含限量版商品的概率； (2)设随机变量X为小王抽中含限量版商品的盲盒数量，求X的概率分布； (3)若抽中的某个盲盒含限量版商品，求该盲盒外层包装为A型的概率． 【答案】(1)； (2)分布列见解析； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式列式计算. （2）求出的可能值，结合（1）中概率，利用二项分布求出概率分布列. （3）由（1）的信息，利用条件概率公式求解. 【详解】（1）设事件表示盲盒为型包装，事件表示盲盒为型包装，事件表示盲盒含限量版商品， 则，， 所以每个盲盒含限量版商品的概率. （2）由（1）知，1个盲盒含限量版商品的概率为，随机变量的可能值为，， ，，， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 （3）抽中的某个盲盒含限量版商品，该盲盒外层包装为A型的概率为. 57．(24-25高二下·江苏南师附中、天一中学、海门中学、海安中学·)甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，则第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出事件，根据全概率公式得到，，再利用条件概率公式计算得到答案. 【详解】设第一次取出红球的事件为，第二次取出的球是白球的事件为， 取到甲袋，乙袋的事件分别为，， 则， ， 则. 故选：C． 58．(24-25高二下·江苏部分高中·期末)随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活．现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”．某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计 年龄不超过45岁的市民 40 10 50 年龄超过45岁的市民 20 30 50 合计 60 40 100 (1)试根据的独立性检验，分析社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄是否有关； (2)社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜，如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率． 参考公式及数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)有关 (2) 【分析】（1）利用给出公式计算，得大于,即可认为有关； （2）利用全概率公式计算. 【详解】（1）零假设：是否喜欢网上买菜与年龄无关（即独立）. ， 因此拒绝，认为两者相关. （2） . 59．(24-25高二下·江苏苏州常熟梅李高级中学·调研)已知随机事件，，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用条件概率公式及已知可得、，再由全概率公式及对立事件概率关系求. 【详解】由且，故， 由，故， 由于，则， 故． 故选：B 60．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期末)（多选）有3台车床加工同一型号的零件. 第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的，，. 则下列结论正确的是（   ） A．任取一个零件，它是第1台车床加工的次品的概率为 B．任取一个零件，它是次品的概率为 C．如果取到的零件是次品，它是第2台车床加工的概率为 D．如果取到的零件不是第3台车床加工的，它是次品的概率为 【答案】BCD 【分析】根据题意，设任取一个零件，由第1，2，3台车床加工为事件、、，该零件为次品为事件，根据概率乘法公式判断A，根据全概率公式判断B，根据条件概率公式判断C，D． 【详解】根据题意，设任取一个零件，由第1，2，3台车床加工为事件、、，该零件为次品为事件， 则，，，，， 对于A，任取一个零件，它是第1台车床加工的次品的概率，故A错误； 对于B，任取一个零件是次品的概率 ，故B正确； 对于C，如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率 ，故C正确； 对于D，记取到的零件不是第3台车床加工的为事件，则， 则， 所以， 即如果取到的零件不是第3台车床加工的，它是次品的概率为，故D正确． 故选：BCD． 1．由二项式定理可知，用赋值法，令，得到，借助赋值法，可以计算得到等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对赋值为，，，，得到四个等式，将这四个等式相加求解即可. 【详解】， 令，， 令，， 令（虚数单位，），， 令，， 将，得到 ， 又， ， ， ， 则转化为 ， 即， 即， 即，故选项D正确. 2．（多选）某农场规划了如图的小矩形网格作为试验田，其右上方为一池塘，虚线不能作为路，以下说法正确的是（    ）    A．若管理员从图中A沿实线走到B，再走到C，最短路径共有120条 B．若管理员从图中A沿实线走到C，最短路径有186条 C．将在试验田1、2、3、4和池塘共5块区域养殖鱼苗，相邻区域养殖不同鱼种，现有4种不同的鱼可供选择，则有252种不同养法 D．图中除池塘外，“L型”网格图中包含了117个矩形 【答案】ABD 【分析】选项A，从A到B，从B到C，分别按排列数计算求解；选项B，分情况计算从A沿实线走到C的路径数；选项C，按区域1和4，2和3相同与否划分，计算不同养法；选项D，先以左两列计算，再以下三行计算，去掉相同部分得到. 【详解】选项A，从A到B需向右走2步，向下走2步，路径数为， 从B到C需向右走3步，向下走3步，路径数为， 从图中A沿实线走到B，再走到C，最短路径共有120条，选项A正确； 选项B，经过B点，再走到C，最短路径共有120条， 不经过B点，走到C，则可先向右走1步向下走3步，然后再走到C，或向下走4步，然后再走到C， 其路径数为， 从图中A沿实线走到C，最短路径有，选项B正确； 选项C，若区域1和4，区域2和3都相同，共种， 若区域1和4相同，区域2和3不同，共种， 若区域1和4不同，区域2和3相同，共种， 若区域1和4不同，区域2和3不同，共种， ，则有168种不同养法，选项C错误； 选项D，图中除池塘外，“L型”网格图中包含的矩形个数为，选项D正确. 3．为弘扬志愿服务精神，学校鼓励同学们积极参与志愿服务活动.现安排甲、乙、丙、丁共四名同学参加某日早上、中午、晚上三个时段的志愿服务，每个时段需安排2名同学，分别负责接待和登记.若每位同学至少安排一个时段，且甲不能排早上，乙丙不能排同一时段，则安排方法总数为__________. 【答案】208 【分析】先考虑早上，只能有乙丁，或丙丁，再结合对称性只需先考虑早上是乙丁的情况，在此基础上考虑中午与晚上每个时段有10种排法，再减去不满足的情况得中午和晚上共有种排法，即可根据分步乘法原理求解. 【详解】第一步，先考虑早上，只能有乙丁，或丙丁， 由对称性可知，只需先考虑乙丁，则有种； 第二步，考虑中午和晚上，除掉乙丙，每个时段共有种组合， 故中午晚上共有种，需扣掉以下几种情况： 第一，中午晚上没有甲，则只有乙丙丁，每个时段有种排法，共有16种； 第二，中午晚上没有丙，则每个时段有种排法，共有36种； 第三，中午晚上没有甲丙，则只有乙丁，共有种排法； 所以中午和晚上共有种排法， 所以安排方法总数为种. 4．若数列满足，且当为奇数时，，当为偶数时，，则被除所得余数为______． 【答案】 【分析】推导出，利用累加法求出，再利用二项式定理可得出被除所得余数. 【详解】当为奇数时，设，则①， 当为偶数时，设，则②， 由①②可得，即， 由题意可得， 由题意可得，，，， 累加得， 所以， 因为， 则， 故被除所得余数为. 5．智能舞蹈机器人在舞台上随音乐节奏移动，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米，若机器人A从舞台中心正北方向2米的位置起步，则机器人移动6秒恰好位于舞台中心的路径条数为______．（用数字作答） 【答案】 【分析】求出向正北、正南、正东、正西方向移动的步数，再根据排列组合的知识求解即可. 【详解】以舞台中心为坐标原点，则的初始位置为，    设在6秒内，机器人向正北方向移动步，正南方向移动步， 因为最后要回到原点， 所以向正东和正西移动的距离相等，设为步， 由题意可得， 所以， 所以当时，，此时共有种移动方法； 当时，，此时共有种移动方法； 当时，，此时共有种移动方法； 当时，（舍）； 综上，一共有种移动方法. 6．某计算机要依次执行6个算力任务，包括3个不同的图形渲染任务､2个不同的逻辑推理任务和1个数据检索任务，为了防止芯片局部过热，系统规定同类型的任务不能连续执行，则不同的任务执行顺序共有（    ） A．60种 B．72种 C．96种 D．120种 【答案】D 【分析】先用插空法求出3个图形渲染任务互不相邻的排法总数，然后利用减法原理，从中排除2个逻辑推理任务相邻的情况，即可得答案。. 【详解】第一步，先排列2个不同的逻辑推理任务和1个数据检索任务，共有种排法； 第二步，将3个不同的图形渲染任务插入到第一步中3个不同的任务产生的4个空隙中， 共有种排法； 第三步，排除2个不同的逻辑推理任务相邻的情况， 将2个逻辑推理任务捆绑视为一个元素，此元素与数据检索任务共2个元素先进行排列，产生3个空位，有种排法； 将3个不同的图形渲染任务插入这3个空位，有种排法； 捆绑的2个逻辑推理任务内部有种排法，故共有种排法。 所以满足条件的排法总数为. 7．已知椭圆：的左右顶点分别为，上下顶点分别为，且四边形的周长为，过点且斜率为的直线交于两点，当过的左焦点时，． (1)求：椭圆的标准方程； (2)若点，点为椭圆上一动点，当取得最小值时，点恰与点重合，求：实数的取值范围； (3)记直线与直线的交点为，求：的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用排列组合公式求出直线斜率，结合椭圆中菱形周长与的关系，联立方程组即可求出椭圆方程； （2）将距离的平方转化为关于椭圆上点的横坐标的二次函数，依据最小点位置确定对称轴范围，即可得到的取值范围； （3）联立直线与椭圆，结合韦达定理推出交点在定直线，利用点到直线的距离即可求得的最小值. 【详解】（1）因为，即，所以，即， 则直线的方程为：，令，得，即. 因为椭圆：的左右顶点分别为， 上下顶点分别为，四边形为菱形，边长为， 所以周长为，即， 又因为，所以，所以椭圆的标准方程为. （2）设，满足，即， 所以， 这是关于的二次函数，开口向上，对称轴为， 由题意知，当时最小，所以，即. （3）由题意知直线的方程为，设， 由，得， 所以，解得， 又， 设，因为在同一条直线上， 所以， 又在同一条直线上，所以， 所以，所以， 所以点在直线上，所以. 8．（多选）某电影中太乙真人作为哪吒的授业恩师，送给了哪吒七件法宝，每件法宝只有一种使用方法，乾坤圈、混天绫、火尖枪、金砖、阴阳剑、九龙神火罩和风火轮．哪吒使用这七件法宝对阵敌人，则下列说法正确的是（    ） A．若哪吒每次使用两种法宝，对阵次，可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有种； B．若哪吒与敌人对阵次，每次至少使用两件法宝，法宝不可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有种； C．若哪吒每次使用一件法宝，对阵次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈和风火轮不能相邻使用，阴阳剑和九龙神火罩必须相邻使用，则不同的使用法宝的方法有种； D．若哪吒每次使用一件法宝，对阵次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈比风火轮更早使用，风火轮比火尖枪更早使用，火尖枪比阴阳剑更早使用，则不同的使用法宝的方法有种． 【答案】ABD 【分析】对于A选项，计算每次使用两种法宝的种数，再利用分步乘法计数原理计算；对于B选项，分为恰好选用其中6件法宝和7件法宝全部用完，利用平均分配分组方法可计算；对于C选项，先利用捆绑法和插空法处理即可；对于D选项利用倍缩法解决定序问题即可． 【详解】对于A，每次使用两种法宝有种， 因可以重复使用，则对阵次、不同的使用法宝的方法有种，故A正确； 对于B，若恰好选用其中6件法宝，再将选出的6件法宝分成3组：2,2,2 共有种，则对阵3次，不同的使用法宝的方法有种， 若7件法宝全部用完，则将7件法宝分成3组：2,2,3，共有种， 则对阵3次、不同的使用法宝的方法有种，                     故不同的使用法宝的方法共有种，B正确； 对于C，先将除乾坤圈、风火轮以外的5种法宝排列， 阴阳剑和九龙神火罩相邻共有种， 这4个元素（捆绑后的阴阳剑和九龙神火罩，以及另外3件法宝）排列形成了5个空位 将乾坤圈、风火轮插入5个空位中有种，则不同的使用法宝的方法有种， 故C不正确； 对于D，先将7件法宝全排列共有种，乾坤圈、风火轮、火尖枪、阴阳剑四种法宝全排列有种, 所以不同的使用法宝的方法有种，故D正确． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴02 期末真题·计数原理·百练通关 题型1 离散型随机变量的均值与方差 题型4 统计及案例 题型2 二项分布 题型5 条件概率 题型3 计数原理实际应用 题型6 全概率公式 题型1 离散型随机变量的均值与方差（共10小题） 1．(24-25高二下·江苏·期末)某超市为吸引顾客，组织购物抽奖活动，抽奖机中有种不同面值的代金券可抽，抽得的代金券可在本超市消费，抽奖规则如下： 顾客先在抽奖机上随机抽取一个数（）． （Ⅰ）当时，随机抽得一张代金券； （Ⅱ）当时，随机抽取张面值不同的代金券，但这些代金券都不能用于消费．仅供参考，随后从剩下的（）张代金券中逐个随机抽取，一旦出现比这张代金券的面值都高的，即抽得该张代金券；若后面没有比这种的面值都高的，则抽得最后一张代金券． 某位顾客购物后参加抽奖活动． (1)当，且三张代金券的面值分别为元，元，元时. ①若其抽取的数，求其抽得代金券的面值的均值和方差； ②求其抽得元代金券的概率. (2)当，顾客抽取（）为何值时，抽得最高面值的代金券的概率最大？ 2．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期末)“爱国、敬业、诚信、友善”是社会主义核心价值观个人层面的价值准则.某学校为加强对学生的教育，倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量 （单位：箱） 7 6 6 5 6 收益 （单位：元） 165 142 148 125 150 (1)求收益y关于售出水量x的回归直线方程，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ (2)期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级从第201名到500名的同学，获二等奖学金300元；考入年级501名及以后的特困生不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.如果已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望 附： X 0 300 500 600 800 1000 P 3．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期末)已知某险种首次参保的保费为2000元，保险期为1年.在总体中抽取1000单，统计其在一个保险期内的赔偿次数，得到表 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 900 60 20 10 10 表1 用频率估计概率，解答下列问题. 已知下一个保险期的保费由上一个保险期的赔偿次数决定，记上一个保险期的保费为a元，下一个保险期的保费与上一个保险期的赔偿次数的关系如表2所示. 上一个保险期的赔偿次数 0 1 2 3 4 下一个保险期的保费 表2 已知甲2025年首次参保，此后计划每年都参保. (1)估计甲2026年参保第二个保险期的保费为X元，求X的数学期望； (2)求在甲2026年参保的保费大于2000元的前提下，甲2027年参保第三个保险期的保费少于2400元的概率. 4．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期末)某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取10箱进行检测，其中有6箱为一等品． (1)现从这10箱产品中随机抽取3箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率； (2)用频率估计概率，在这批产品中随机抽取3箱，用表示抽到一等品的箱数，求的分布列和数学期望． 5．(24-25高二下·江苏南京南京航空航天大学附属高级中学·期末)2025年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现．魔术师刘谦为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4．乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，小明用左右手分别从甲、乙两袋中取球． (1)若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率； (2)若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手完成各取两球为两次取球）的成功取法次数的随机变量，求的分布列及． 6．(24-25高二下·江苏南通·期末)一节阅读课，共有n位读者围坐在圆桌前．每人面前和桌正中央各有一种不同的书（每种书足够多），每人每课只能选一种书． (1)当时，若3人都不选桌中央的书，求每人都不选自己面前书的概率； (2)规定每人只能从自己面前或桌中央随机选取一种书，将第i位读者面前的这种书编号为．用表示“编号为i的书未被选”，表示“编号为i的书被选”． （ⅰ）求的概率分布； （ⅱ）第一节阅读课后编号为i的书选择情况取值为，第二节课后编号为i的书选择情况取值为．记，求X的分布列与数学期望． 7．(24-25高二下·江苏南通·期末)随机变量．若，则____________；若，则p的最大值为____________． 8．(24-25高二下·江苏淮安·期末)在Python编程语言中，数组可以看作是行、列的数表，第行、第列的数记为，例如表示第2行、第3列的数．如果数组中存在，对任意的，都有，且成立，则称该数组为“数组”，满足条件的记为“数组”的“核”． (1)若数组与数组以数表形式表示如下： 判断数组与数组是否为“数组”，如果是，求出它的“核”； (2)已知数组是一个元素互不相同的数组，元素，，在数组是“数组”的条件下，求它的“核”是4的概率； (3)现将这个元素全部填入数组中，满足是“数组”的全体构成一个集合，从集合中任取一个元素，记它的“核”为，求随机变量的数学期望． 9．(24-25高二下·江苏淮安·期末)学校食堂为了减少排队时间，从开学第1天起，每餐只推出即点即取的套餐和套餐．某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，则第2天选择套餐的概率为_____，设开学4天后，他累计选套餐的天数为，则_____． 10．(24-25高二下·江苏淮安·期末)（多选）下列说法正确的是（    ） A．设随机变量，则 B．设离散型随机变量满足，则 C．设随机变量服从正态分布，则 D．从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球的个数记为，则 题型2 二项分布（共10小题） 11．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期末)（多选）下列说法中，正确的有（   ） A．的展开式中，的系数是60 B．若的展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列，则 C．用数字0，1，2，3，4组成的无重复数字的四位数中，偶数的个数为60 D．某篮球运动员投球的命中率是，他投球4次，相互独立，则恰好投进3个球的概率为. 12．(24-25高二下·江苏南京师范大学附属实验学校·期末)（多选）下列命题中，真命题有（　　） A．数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的70%分位数是8.5 B．若随机变量，则 C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为；若，则； D．若，则 13．(24-25高二下·江苏徐州·期末)（多选）袋中有大小相同的3个红球和5个黄球，每次随机取出1个球，用表示事件“第（）次取出红球”．则下列说法正确的是（   ） A． B．若每次取出的球不放回，则 C．若每次取出的球放回，则 D．若每次取出的球放回，则前5次取球中最有可能取到3次红球 14．(24-25高二下·江苏镇江中学·期末)高尔顿板又称豆机､梅花机等，是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型.如图所示的高尔顿板为一块木板自上而下钉着6层圆柱形小木块，最顶层有2个小木块，以下各层小木块的个数依次递增，各层小木块互相平行但相互错开，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块透明玻璃.让小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或者向右滚下，最后落入高尔顿板下方从左至右编号为的球槽内.    (1)某商店将该高尔顿板改良成游戏机，针对某商品推出促销活动.凡是入店购买该商品一件，就可以获得一次游戏机会.若小球落入号球槽，该商品可立减元，其中.若该商品的成本价是20元，从期望的角度考虑，为保证该商品总体能盈利，求该商品的最低定价.（结果取整数） (2)将63个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问3号球槽中落入多少个小球的概率最大？ 15．(24-25高二下·江苏镇江中学·期末)甲､乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制.在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到平后，先多得2分者为胜方.在平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球.若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局的概率为__________. 16．(24-25高二下·江苏镇江中学·期末)（多选）已知事件满足，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若与相互对立，则 C．若与相互独立，则 D．若与互斥，则 17．(24-25高二下·江苏常州·期末)甲、乙两人组队代表班级参加学校科技节的“水火箭”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各发射火箭一次，在一轮比赛中，如果两人都射中，则得3分；如果只有一个人射中，则得1分；如果两人都没射中，则得0分.已知甲每轮射中的概率均为，乙每轮射中的概率均为.每轮比赛中甲、乙射中与否互不影响，各轮比赛的结果也互不影响. (1)若他们参加一轮比赛，求得分的概率分布列和数学期望； (2)若他们参加两轮比赛，求至少得3分的概率. 18．(24-25高二下·江苏连云港·期末)一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个红球、6个白球，从中随机地摸出2个球作为样本，用X表示样本中红球的个数． (1)若有放回摸球，求X的分布列； (2)若不放回摸球，求X的分布列． 19．(24-25高二下·江苏连云港·期末)甲盒中有3道代数题和4道几何题，乙盒中有1道代数题和2道几何题．现从甲盒中随机抽取2道题放入乙盒，再从乙盒中随机抽取2道题，则从乙盒中取出的是2道几何题的概率为（    ） A． B． C． D． 20．(24-25高二下·江苏镇江实验高级中学·调研)某大型商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放个大小相同的小球，其中个为红色，个为黑色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖． (1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和方差； (2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望． 题型3 计数原理实际应用（共10小题） 21．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期末)（多选）下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 22．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期末)将各位数字之和为6的三位数叫“幸运数”，比如123，402，则所有“幸运数”的个数为（   ） A．19 B．20 C．21 D．22 23．(24-25高二下·江苏南京南京航空航天大学附属高级中学·期末)将一颗骰子连续抛掷三次，向上的点数依次为，则的概率为______． 24．(24-25高二下·江苏徐州·期末)某兴趣小组有4名男生、2名女生，现随机选出3名学生参加志愿服务，则至少有2名男生的概率为______． 25．(24-25高二下·江苏南通·期末)将4本不同的书分给3名学生，每人至少一本，则不同的分配方法数为（   ） A．24 B．36 C．64 D．72 26．(24-25高二下·江苏宿迁·期末)某位同学用一根直径3cm，长度30cm，粗细均匀的圆木棒做接力棒，先按长度将其划分成每段为10cm的三个区域，再将每个区域漆上一种颜色，要求相邻区域的颜色不能相同，现有红、黄、蓝三种颜色的油漆可以选取，则漆出的外观有（    ）种可能． A．18 B．15 C．12 D．9 27．(24-25高二下·江苏淮安·期末)已知（为常数）． (1)当时，求的二项展开式中各项系数的和； (2)若的二项展开式中常数项为24，求实数的值． 28．(24-25高二下·江苏淮安·期末)（多选）已知，则下列说法中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则中含项的系数为48 D．若为偶数，则能被4整除 29．(24-25高二下·江苏徐州·期末)某公司年会安排节目表演，有3个小品节目、2个歌舞节目和1个杂技节目．现要求歌舞节目相邻，小品节目也相邻，杂技节目不能在首尾位置，则不同的安排方法共有（   ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 30．(24-25高二下·江苏扬州·期末)类比排列数公式，定义（其中，），将右边展开并用符号表示（，）的系数，得，则： （1）______；（结果用数字表示） （2）若，（，），则______． 题型4 统计及案例 （共10小题） 31．(24-25高二下·江苏宿迁·期末)（多选）从某次知识竞赛成绩中随机抽取容量为100的样本，由样本数据绘制的频率分布直方图如图所示，则下列估计结论正确的有（    ） A．成绩的众数为75 B．成绩的上四分位数为84 C．成绩的极差为60 D．已知落在的平均成绩是54，方差是2：落在的平均成绩为66，方差是5，则两组成绩的总标准差为6 32．(24-25高二下·江苏宿迁·期末)对于变量有观测数据，得散点图1；对于变量有观测数据，得散点图2．表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 33．(24-25高二下·江苏镇江实验高级中学·调研)某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表： 高一年级 高二年级 高三年级 泥塑 剪纸 其中，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，按分层抽样的方法抽取一个人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取_________人． 34．(24-25高二下·江苏镇江实验高级中学·调研)为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将名师生的竞赛成绩（满分分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（   ） A．的值为 B．估计这组数据的众数为 C．估计成绩低于分的有人 D．估计这组数据的第百分位数为 35．(24-25高二下·江苏盐城·期末)已知变量x，y的取值如下表所示，若y与x线性相关，且线性回归方程为，则等于 x 2 4 5 6 8 y 20 40 60 70 80 A．0.5 B．1.5 C．2 D．2.5 36．(24-25高二下·江苏泰州·期末)已知的取值如下表所示，若与有线性相关关系且与之对应的线性回归方程为，则的值为（   ） 1 3 5 7 5.8 6.2 6.6 A．5 B．6 C．7 D．8 37．(24-25高二下·江苏盐城·期末)样本数据2，4，5，6，8的中位数为（    ） A． B． C． D． 38．(24-25高二下·江苏南京江宁区·期末)某能源汽车制造公司近5年的利润情况如下表所示： 第x年 1 2 3 4 5 利润y（亿元） 2 3 4 m 7 已知变量y与x之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为：，则m的值为（   ） A．4.5 B．4.8 C．5 D．5.4 39．(24-25高二下·江苏南师附中、天一中学、海门中学、海安中学·)某旅游景点统计今年五一期间进入景区的游客人数（单位：千人）如下： 日期 5月1日 5月2日 5月3日 5月4日 5月5日 第天 1 2 3 4 5 参观人数 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 (1)根据上表数据，判断成对样本数据的线性相关程度，请用样本相关系数加以说明；（若，则认为与的线性相关性很强），如果与的线性相关性很强，那么求出关于的经验回归方程； (2)五一期间景区开放南门、东门和北门供游客出入，游客从南门、东门和北门进入景区的概率分别为，且出景区与入景区选择相同门的概率为，选择与入景区不同两门的概率各为．假设游客从南门、东门、北门出入景点互不影响，现有甲、乙、丙、丁4名游客于5月1日游玩景点，设为4人中从东门出景区的人数，求的分布列、期望及方差． 附：参考数据：，，，，． 参考公式：经验回归方程，其中，． 样本相关系数． 40．(24-25高二下·江苏南师附中、天一中学、海门中学、海安中学·)（多选）下列命题正确的是（    ） A．两个随机变量的线性相关性越强，则样本相关系数越接近于1 B．对具有线性相关关系的变量，，有一组观测数据，其经验回归方程是，且，则实数的值是 C．已知随机变量的方差为4，则的标准差是6 D．已知随机变量，若，则 题型5 条件概率（共10小题） 41．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期末)设，是一个随机试验中的两个随机事件，且，，，则______． 42．(24-25高二下·江苏南通·期末)（多选）一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数（1张卡片上标1个数)，从中不放回的依次抽取卡片，每次抽1张．“第一次抽取的卡片号为奇数”记为事件A，“前两次抽取的卡片号之和为偶数”记为事件B，则（   ） A． B． C． D． 43．(24-25高二下·江苏扬州·期末)甲、乙两名运动员将参加体育考核．考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将在这3个项目中分别进行测试．已知6个项目中，有4个是甲擅长的，必定通过测试，另有2个是甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p，且各次测试相互独立．在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X、Y． (1)若，分别写出随机变量X和Y的概率分布，并求它们的数学期望； (2)规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过测试，则考核“优秀”． （i）当运动员甲考核“达标”时，求运动员甲考核“优秀”的概率； （ii）已知时，两位运动员考核“达标”的概率相等，时，两位运动员考核“优秀”的概率相等．求证：． 44．(24-25高二下·江苏镇江第一中学·期末)某校高二年级为研究学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下： 语文成绩 合计 优秀 不优秀 数学成绩 优秀 50 30 80 不优秀 40 80 120 合计 90 110 200 (1)根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ (2)现从该校学生中任选一人，A表示“选到的学生语文成绩不优秀”，B表示“选到的学生数学成绩不优秀”．请利用样本数据，估计的值． 附：． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 45．(24-25高二下·江苏常州·期末)甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球、先从甲袋中随机取1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取1个球，则该球是红球的概率为_____. 46．(24-25高二下·江苏镇江实验高级中学·调研)某高校两名学生准备从、、、、、这门选修课程中任选门，则这两名学生在所选课程中有相同课程的条件下，恰好选择了门相同课程的概率为（   ） A． B． C． D． 47．(24-25高二下·江苏盐城·期末)（多选）若随机事件A，B满足，则（    ） A． B． C． D． 48．(24-25高二下·江苏苏州·调研)如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，移动6次后质点对应的数为，则______，在有且仅有一次经过1的条件下，事件“”的概率是______． 49．(24-25高二下·江苏泰州·期末)某连锁餐厅有家分店，将分店按照规模从小到大依次编为号到号．每家分店都配备了一定数量的员工，配备方案为：第号分店员工包含第号店长和名服务员．为了加强各分店之间的员工交流与经验分享，提升整体服务水平，餐厅总部决定进行员工轮岗工作．具体安排为：从每家分店随机选派名员工到下一家分店进行工作，即从号分店选派名员工到号分店，再从号分店（含轮岗人员）选派名员工到号分店，依次类推，从号分店选派名员工到号分店．轮岗结束后，从第号分店任选名员工进行服务反馈调查，并选派至号分店，记选中店长的概率为． (1)当时，求的值； (2)在第号分店选中店长的条件下，若该店长为第号店长，求随机变量的分布列； (3)证明：． 50．(24-25高二下·江苏泰州·期末)已知随机事件、，，，，则（   ） A． B． C． D． 题型6 全概率公式（共10小题） 51．(24-25高二下·江苏南通·期末)某学校的学生中，是男生，是女生．已知男生中有喜欢篮球，女生中有喜欢篮球．现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是（   ） A．0.30 B．0.26 C．0.24 D．0.20 52．(24-25高二下·江苏南京第一中学·)有一只青蛙在正方形池塘的顶点ABCD之间跳跃，假设青蛙它跳向相邻顶点的概率为，跳向不相邻顶点的概率为，若青蛙一开始位于顶点A处，记青蛙跳跃n次后仍位于顶点A上的概率为，则______． 53．(24-25高二下·江苏镇江实验高级中学·调研)某足球队球员乙能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置，且出场率分别为、、，当乙球员担当前锋、中锋以及后卫时，球队输球的概率依次为、、．当乙球员参加比赛时，该球队这场比赛输球的概率为（   ） A． B． C． D． 54．(24-25高二下·江苏南京第一中学·)已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.3%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）（   ） A． B． C． D． 55．(24-25高二下·江苏苏州·调研)在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．假设发送信号0和1是等可能的，则接收到0的概率为（   ） A． B． C． D． 56．(24-25高二下·江苏盐城·期末)某电商平台促销盲盒商品，盲盒的外层包装分A、B两种类型．外层包装为A型的概率为，每个A型盲盒中含限量版商品的概率为；外层包装为B型的概率为，每个B型盲盒中含限量版商品的概率为．小王一次性随机购买5个盲盒（假设各盲盒包装类型及所含商品相互独立） (1)求每个盲盒含限量版商品的概率； (2)设随机变量X为小王抽中含限量版商品的盲盒数量，求X的概率分布； (3)若抽中的某个盲盒含限量版商品，求该盲盒外层包装为A型的概率． 57．(24-25高二下·江苏南师附中、天一中学、海门中学、海安中学·)甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，则第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为（    ） A． B． C． D． 58．(24-25高二下·江苏部分高中·期末)随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活．现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”．某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计 年龄不超过45岁的市民 40 10 50 年龄超过45岁的市民 20 30 50 合计 60 40 100 (1)试根据的独立性检验，分析社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄是否有关； (2)社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜，如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率． 参考公式及数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 59．(24-25高二下·江苏苏州常熟梅李高级中学·调研)已知随机事件，，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 60．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期末)（多选）有3台车床加工同一型号的零件. 第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的，，. 则下列结论正确的是（   ） A．任取一个零件，它是第1台车床加工的次品的概率为 B．任取一个零件，它是次品的概率为 C．如果取到的零件是次品，它是第2台车床加工的概率为 D．如果取到的零件不是第3台车床加工的，它是次品的概率为 1．由二项式定理可知，用赋值法，令，得到，借助赋值法，可以计算得到等于（     ） A． B． C． D． 2．（多选）某农场规划了如图的小矩形网格作为试验田，其右上方为一池塘，虚线不能作为路，以下说法正确的是（    ）    A．若管理员从图中A沿实线走到B，再走到C，最短路径共有120条 B．若管理员从图中A沿实线走到C，最短路径有186条 C．将在试验田1、2、3、4和池塘共5块区域养殖鱼苗，相邻区域养殖不同鱼种，现有4种不同的鱼可供选择，则有252种不同养法 D．图中除池塘外，“L型”网格图中包含了117个矩形 3．为弘扬志愿服务精神，学校鼓励同学们积极参与志愿服务活动.现安排甲、乙、丙、丁共四名同学参加某日早上、中午、晚上三个时段的志愿服务，每个时段需安排2名同学，分别负责接待和登记.若每位同学至少安排一个时段，且甲不能排早上，乙丙不能排同一时段，则安排方法总数为__________. 4．若数列满足，且当为奇数时，，当为偶数时，，则被除所得余数为______． 5．智能舞蹈机器人在舞台上随音乐节奏移动，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米，若机器人A从舞台中心正北方向2米的位置起步，则机器人移动6秒恰好位于舞台中心的路径条数为______．（用数字作答） 6．某计算机要依次执行6个算力任务，包括3个不同的图形渲染任务､2个不同的逻辑推理任务和1个数据检索任务，为了防止芯片局部过热，系统规定同类型的任务不能连续执行，则不同的任务执行顺序共有（    ） A．60种 B．72种 C．96种 D．120种 7．已知椭圆：的左右顶点分别为，上下顶点分别为，且四边形的周长为，过点且斜率为的直线交于两点，当过的左焦点时，． (1)求：椭圆的标准方程； (2)若点，点为椭圆上一动点，当取得最小值时，点恰与点重合，求：实数的取值范围； (3)记直线与直线的交点为，求：的最小值． 8．（多选）某电影中太乙真人作为哪吒的授业恩师，送给了哪吒七件法宝，每件法宝只有一种使用方法，乾坤圈、混天绫、火尖枪、金砖、阴阳剑、九龙神火罩和风火轮．哪吒使用这七件法宝对阵敌人，则下列说法正确的是（    ） A．若哪吒每次使用两种法宝，对阵次，可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有种； B．若哪吒与敌人对阵次，每次至少使用两件法宝，法宝不可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有种； C．若哪吒每次使用一件法宝，对阵次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈和风火轮不能相邻使用，阴阳剑和九龙神火罩必须相邻使用，则不同的使用法宝的方法有种； D．若哪吒每次使用一件法宝，对阵次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈比风火轮更早使用，风火轮比火尖枪更早使用，火尖枪比阴阳剑更早使用，则不同的使用法宝的方法有种． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $