压轴01 期末真题·空间向量·百练通关（44题5大压轴题型）（期末复习专项训练）数学苏教版高二选择性必修第二册

**基本信息** 以江苏期末真题为载体，聚焦空间向量5大压轴题型，构建"基础运算-位置判定-几何应用"的递进训练体系，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间向量的应用|10题|含证明、线面角、二面角等综合题|以向量为工具解决空间几何问题| |空间向量及其运算|10题|向量表示、运算、投影等基础题|为应用提供运算基础| |直线与平面垂直判定|10题|垂直证明、距离、二面角题|基于向量运算推导垂直关系| |直线与平面平行判定|6题|平行证明、动点探究题|通过线线平行推导线面平行| |空间几何体表面积与体积|8题|体积、表面积、外接球题|结合几何性质与向量工具计算|

压轴01 期末真题·空间向量·百练通关（44题5大压轴题型） 题型1 空间向量的应用 题型4 直线与平面平行判定 题型2 空间向量及其运算 题型5 空间几何体表面积与体积 题型3 直线与平面垂直判定 题型1 空间向量的应用（共10小题） 1．(24-25高二下·江苏·期末)如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，BC的中点. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）先求证平面，再证明平面即可； （2）以A为原点建系，计算平面的一个法向量为，利用向量夹角和线面角之间的关系求出. 【详解】（1）连接，因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面，所以， 又，，AB，平面，所以平面， 又平面，则，     因为在直三棱柱中，所以四边形为正方形， 所以，     因为，，平面，所以平面，     又平面，则； （2）因为直三棱柱中，，所以，，两两垂直， 以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得， 设与平面所成角为， 所以，     即与平面所成角的正弦值为， 所以与平面所成角的余弦值为. 2．(24-25高二下·江苏南通·期末)如图，已知圆台的上、下底面半径分别为3和6，母线与下底面所成的角为． (1)求圆台的体积； (2)设，分别是圆台的两条母线． （ⅰ）求证：； （ⅱ）若，P是圆上的动点，求直线与平面所成角正弦值的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）台体体积计算公式计算即可 （2）（ⅰ）由面面平行的性质定理证明；（ⅱ）建立空间直角坐标系，由空间向量求解 【详解】（1）因为圆台的上、下底面半径分别为3和6，母线与下底面所成的角为， 所以圆台的高为，                 所以圆台的体积为． （2）（ⅰ）由圆台定义知，母线，的延长线相交于一点M， 所以A，，，B四点共面．                     又因为圆面圆面O， 平面圆面， 平面圆面， 所以．         （ⅱ）在圆面O内作，垂足为O． 以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 则，，， ，．                 设平面的一个法向量， 因为，， 由即解得，， 取，则，，得．             设直线与平面所成角为， 则 ， 当且仅当，即，时，取“”， 所以直线与平面所成角正弦值的最大值为 3．(24-25高二下·江苏南通·期末)如图，正三棱柱中，，，D是中点，E是棱上一点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)或2 【分析】（1）利用等边三角形的三线合一，可证明线线垂直，从而可得线面垂直； （2）利用面面垂直可得线面垂直，最后得到线线垂直，从而可用勾股定理求解边长；也可以用空间向量法来假设未知量，再列等式求解即可. 【详解】（1） 在正三棱柱中， 因为平面，平面，所以．                     因为是正三角形，D是中点，所以．                     又，，平面，所以平面． （2）解法一： 在中过点D作，垂足为F． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面．又平面，所以．             由（1）知，且，平面， 所以平面，又平面，所以．             设，则，，，， 由勾股定理得，即，解得或， 所以或2．                 解法二： 在正三棱柱中，取中点，连结， 则，，两两垂直，以为正交基底， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，．             设平面的一个法向量， 因为，， 由即解得，， 取，则，得．                 设平面的一个法向量， 因为，， 由即 解得，， 取，则，， 得． 因为平面平面， 所以，解得或， 所以或2． 4．(24-25高二下·江苏南通·期末)（多选）已知正方体的棱长为2，点P在棱上，点Q在面内，则（   ） A． B．点P到平面的距离为 C．二面角的正切值为1 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，然后用向量法逐项判断即可. 【详解】如图，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 因为正方体的棱长为2，则，，，因为点P在棱上，所以设， 所以，，则，所以，所以A正确； 因为平面，所以点P到平面的距离即为点到平面的距离， 因为为正方形，连接，，使,所以， 因为正方体中，平面，所以， 所以平面，所以点到平面的距离为，所以B正确； 由题知，平面的一个法向量， 又，所以，设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，所以， 所以，设二面角的平面角为，则，所以，所以C错误； 作点关于面的对称点，所以，因为点Q在面内， 所以的最小值为，所以D正确. 故选：ABD 5．(24-25高二下·江苏南京第一中学·)如图，几何体是圆柱的四分之一部分，其中底面OAB是半径为2的扇形，母线长为4，C是的中点，M为的中点． (1)证明：面OAB； (2)若P在弧中点，求平面ACM与平面PCM所成角的正弦值； (3)若P是弧上的动点，Q是弧上的动点，且，求直线与直线PQ所成角余弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（2）过点作，取的中点，连接，分别证得平面和平面，得到平面平面，即可证平面； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设，得到和，设异面直线与所成的角为，结合向量的夹角公式，求得，令，得到，设，利用导数求得函数的单调性和最大值，即可求解. 【详解】（1）证明：如图所示，过点作，取的中点，连接， 在矩形中，因为为的中点，可得， 因为平面，平面，所以平面， 在中，因为分别为的中点，可得， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，且平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）解：以为原点，以所在直线为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为底面是半径为2，母线长为4，是的中点，为的中点， 可得， 则， 设平面的法向量为，则 ， 令，可得，所以 设平面的法向量为，则 ， 令，可得，所以， 设平面与平面所成的角为， 则，所以. （3）解：若是弧上的动点，是弧上的动点，且， 设，则，其中 则，即， 又由，所以，， 可得，，且， 设异面直线与所成的角为， 则， 设，且， 则 令，其中， 可得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，所以， 所以线与直线PQ所成角余弦值的最大值为. 6．(24-25高二下·江苏淮安·期末)如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，．平面，点为棱上的点，点为棱上的点，点为棱上的点． (1)若、分别为棱，的中点，证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)若，当取何值时，三棱锥体积取得最大． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取的中点，连接，利用线面平行的判定定理证明平面，平面，进而利用面面平行的判定定理证明平面平面，最后利用面面平行的性质定理证明线面平行. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解线面角的正弦值. （3）法一：设点到平面的距离为，三棱锥体积为，利用向量法求得点到平面距离，即得点到平面距离，利用等面积法求得点到棱的距离，进而求出的面积及，利用导数法求得其最大值； 法二：由等积法可知，设，利用导数法求得其最大值． 【详解】（1）取的中点，连接， 因为、分别为棱，的中点， 所以， 因为平面平面， 所以平面，同理平面， 因为平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面. （2）由题意中平面得两两垂直， 以为正交基底建立空间直角坐标系， 则因为， 所以， 所以． 设平面的一个法向量， 则， 不妨设，则，即：， 设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为． （3）法一：设点到平面（也即平面）的距离为， 三棱锥体积为，则， 由（2）可知平面的一个法向量， 点到平面距离， 因为，所以点到平面距离． ， 所以，即为直角三角形，所以， 所以点到棱的距离为， 又因为，所以，且点到边的距离为， 所以的面积为． 所以，其中． 所以，所以， 令可得，列表如下： + 0 － 递增 极大值（最大值） 递减 答：当取何值时，三棱锥体积取得最大． 法二：三棱锥体积为，则， 因为，所以，， 所以， 所以， 则， 令可得，列表如下： + 0 － 递增 极大值（最大值） 递减 答：当取何值时，三棱锥体积取得最大． 7．(24-25高二下·江苏镇江中学·期末)（多选）在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（    ）    A．若，则面 B．若，则 C．若，则到平面的距离为 D．若时，直线与平面所成角为，则 【答案】ACD 【分析】利用面面平行判断线面平行，即可判断A，建系后写出相关点的坐标，对于B，利用向量的数量积的坐标公式计算即可判断；对于C，利用空间中点到平面的距离公式计算即可：对于D，由条件求得，利用线面角的向量求法得到，借助于函数的单调性即可求得的范围. 【详解】连结，由可知，点在线段上， 因为，平面，平面，所以平面， 同理平面，且，且平面， 所以平面平面，平面，所以平面，故A正确；      如图以为原点建立空间直角坐标系，则 ，， 对于A，， 则，得，则， ，A正确： 对于B，由A分析可得， 故不与垂直，故B错误； 对于C，时，，又， 设平面的法向量为，则， 故可取，又， 则到平面的距离为，故C正确： 对于D，当时，，则， 又由C已得平面的法向量为， 则 当， 当， 因在上单调递减，则，则有， 则，则当时，，故D正确. 故选：ACD. 8．(24-25高二下·江苏扬州·期末)如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱上一点，且． (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）方法一：根据线面平行的判定定理证明即可；方法二：建立空间直角坐标系，由空间向量法证明线面平行； （2）方法一：由线面角向量法计算即可；方法二：作出二面角的平面角，计算即可求解. 【详解】（1）方法一：如图，连接交与点，连接， 因为，所以， 又，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 方法二：（1）在中，过点作，因为平面， 所以，， 如图，以点为坐标原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，． 则，，． 设平面的法向量，则， 令得 此时，又平面，所以平面． （2）方法一：由（1）知平面的法向量 设平面的法向量为，则， 令得 设二面角的大小为，则 所以二面角的正弦值为． 方法二：因为平面，平面，所以平面平面， 所以二面角大小与二面角大小互余， 所以二面角的正弦值就等于二面角的余弦值， 如图，在中，过点作，过点作，连接， 则，所以即为二面角的平面角 ，在中，， 所以，所以， 所以二面角的正弦值为． 9．(24-25高二下·江苏扬州·期末)（多选）如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段上（含端点）运动，下列选项中正确的有（    ） A．线段长度的最大值是 B．点P到平面的距离是定值 C．直线与BD所成角的最小值是 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，设，且，利用空间两点间的距离通过求函数最大值即可判断A；由∥平面得到点P到平面的距离即为点到平面的距离，并通过等体积法求得距离可判断B；利用空间向量表示线线角、线面角并利用函数单调性求得最值或范围，从而判断CD. 【详解】如图，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 设，且. 对于A，， 当时，.故A正确； 对于B，正方体中，∥，平面，平面， 所以∥平面，因为，所以点P到平面的距离是等于点到平面的距离, 设到平面的距离为，由得，，得，故B不正确； 设，且. 对于C，，， 设直线与BD的所成角为， 则 令，则， 函数，在上单调递减，在上单调递增，所以 ，所以，故C正确； 对于D，设平面的法向量，则 取，得， 所以直线与平面所成角的正弦值为： 因为在上单调递增 ，故D正确 故选：ACD 10．(24-25高二下·江苏镇江第一中学·期末)已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．． (1)证明：平面 (2)证明： (3)当为何值时，面与面DFE所成的二面角的正弦值最小，并求此最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)，最小值为 【分析】（1）根据空间中点线面的位置关系，通过直三棱柱的性质得线面垂直，证明线线垂直，再根据线面垂直判定定理，证明线面垂直. （2）建立空间直角坐标系，根据向量法证明线线垂直的方法，求出直线的方向向量，证明线线垂直. （3）根据向量法求二面角的方法，设出点的坐标，求出法向量，根据法向量求出二面角的正弦值，根据函数最值，求出何时正弦值最小，求出结果. 【详解】（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以底面ABC，所以， 因为，，所以， 又，平面，平面， 所以平面． （2） 由（1）知BA，BC，两两垂直．如图所示， 以B为坐标原点，分别以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，，，，，，，．设． 因为，， 所以，所以． （3）设平面DFE的法向量为，因为，， 所以，即．令，则 且平面的法向量为， 设平面与平面DEF的二面角的平面角为， 则． 根据同角三角函数可知，所以当取最大值时，取得最小值, 可知，当时，取最小值为， 此时取最大值为，则， 此时． 题型2 空间向量及其运算（共10小题） 11．(24-25高二下·江苏镇江第一中学·期末)在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的线性运算可得结果. 【详解】. 故选：A. 12．(24-25高二下·江苏南通·期末)已知向量，，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用空间向量共线的坐标公式列式求解. 【详解】因为向量，，且，所以，解得. 故选：A 13．(24-25高二下·江苏淮安·期末)已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为_____． 【答案】4 【分析】由空间四点构成梯形，则四点首先共面，利用空间向量基本定理可求，再代入验证即可. 【详解】因为空间四点构成梯形，所以四点首先共面， 则，即， ， 当时，，所以， 即，且，此时为梯形， 所以. 故答案为：4. 14．(24-25高二下·江苏淮安·期末)如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为的中点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】因为点分别为的中点，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 又，则，所以. 故选：D. 15．(24-25高二下·江苏扬州·期末)在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用、、表示出，再应用空间向量数量积的运算律求的模长，从而得解． 【详解】如下图所示： 因为，，，， 由空间向量数量积的定义可得，， 同理可得， 由题意可知，四边形是平行四边形， ， ， ， 故，则线段的长度为． 故选：C． 16．(24-25高二下·江苏宿迁·期末)在空间直角坐标系中，向量（）在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D．与t有关 【答案】A 【分析】首先求出的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出其夹角即可. 【详解】因为向量在面上的投影向量为， 则. 因为在向量上的投影向量为， 则. 所以. 所以向量的夹角为. 故选：A. 17．(24-25高二下·江苏连云港·期末)（多选）在长方体中，，底面是边长为的正方形，，则下列选项正确的有（    ） A．，三棱锥的体积是定值 B．当时，存在唯一的使得平面 C．为棱的中点，当时，的周长取最小值 D．当直线与所成角的余弦值为时，的值为 【答案】ACD 【分析】利用锥体体积公式可判断A选项；以点为坐标原点，、、建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断BD选项；将平面、延展为同一个平面，分析可知当、、三点共线，取最小值，可得出的周长取最小值，可判断C选项. 【详解】对于A选项，因为，即点在棱，则点到平面的距离等于， 因为四边形为矩形，所以， 故，A对； 对于B选项，以点为坐标原点，、、建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 则，， 因为，则，所以， 当时，， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 则， 因为，解得或，所以，存在两个，使得， 因此当时，存在两个使得平面，B错； 对于C选项，将平面、延展为同一个平面，如下图所示：    由题意可知，当、、三点共线时， 取最小值， 因为，所以，故，故， 在长方体中，当时，取最小值，而的长为定值， 此时的周长取最小值，C对； 对于D选项，由题意得、、、， ，，      所以， 因为，解得，D对. 故选：ACD. 18．(24-25高二下·江苏连云港·期末)在正方体中，为棱的中点，点、分别在线段、上，且，，则与（    ） A．平行 B．垂直 C．所成的角的余弦值为 D．所成的角的余弦值为 【答案】A 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，结合空间向量法可得出结果. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为，则、、、， ，，故，结合图形可知， 故选：A. 19．(24-25高二下·江苏宿迁·期末)（多选）在平行六面体中，各棱长均为6．，则下列结论正确的有（    ） A． B．四边形为正方形 C．与平面所成角的余弦值为 D．四边形内存在点P，使得直线与所成角为 【答案】BC 【分析】对于选项A，用向量的线性定理将向量表示出来，然后求向量的模即可；对于选项B，可计算是否为0来验证四边形是否为矩形，然后结合线段长度验证其是否为正方形；对于选项C，求出平面的法向量后可求与平面所成角的正弦值，故可求其余弦值，对于D，设，根据线线角可得的方程，结合判别式可判断其正误. 【详解】对于选项A： 因为， 所以 , 因为， 而， 同理，， 所以， 所以，A错误；    对于选项B： 因为，所以， 又，故为等边三角形，故. 因为， 所以平行四边形为正方形，B正确； 对于选项C：设平面的法向量为且， 则，故， 取，故， 结合A中计算可得： ， 设与平面所成角的为， 故， 故，故C正确； 对于选项D：因为在四边形内的动点，故可设， 其中，故， 故， ， 而 ， 故， 整理得， 整理得， 此时，故方程无解， 故四边形内不存在点P，使得直线与所成角为，故D错误， 故选：BC. 20．(24-25高二下·江苏镇江实验高级中学·调研)（多选）在棱长为的正方体中，点在底面内运动（含边界），点是棱的中点，则（   ） A．若是棱的中点，则平面 B．若平面，则是上靠近的四等分点 C．点到平面的距离为 D．若在棱上运动，则点到直线的距离最小值为 【答案】ABD 【分析】利用面面平行证明线面平行，判断A.；建立空间直角坐标系，利用向量法判断线面垂直判断B，利用等体积法求得点到直线的距离C，利用向量法求得点到直线的距离判断D. 【详解】对于A，如图，取的中点，连接、， 因为点、是、的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理，且，所以， 因为平面，平面，所以平面， 且，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，A对； 对于B，若是上靠近的四等分点， 以为坐标原点，、、所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， ，， 所以，，且，、平面， 所以平面，且过点只有条直线和平面垂直， 则点是唯一的，点是上靠近的四等分点，故B正确； 对于C，因为是棱的中点，所以点到平面的距离为点到平面的距离的， 由题意可得是等边三角形，且，设点到平面的距离为， 由，所以， 所以，解得， 所以点到平面的距离为，C错； 对于D，若点在棱上运动，设，， ，， 则点到的距离， 当时，的最小值为，D对. 故选：ABD 题型3 直线与平面垂直判定（共10小题） 21．(24-25高二下·江苏南通·期末)已知m，n，l表示三条不同的直线，，，表示三个不同的平面，则（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，，，则 【答案】D 【分析】利用线线、线面、面面之间的基本关系，结合选项依次判断即可. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，则或，故B错误； 对于C，若，，，，且直线相交于一点，则，故C错误； 对于D，若，，，则，且， 又，则，故D正确. 故选：D. 22．(24-25高二下·江苏常州·期末)在四棱锥中，已知，是等边三角形，点在棱上. (1)当时，求证：平面； (2)求点到底面的距离； (3)当时，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接AC与BD交于点E，连接ME，证明即可. （2）取的中点，连接，可证底面，计算求得长即可； （3）以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据已知求得，进而得出的坐标，求平面与平面的法向量，用空间向量公式即可求解. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为，，所以，所以． 因为，所以， 所以，则在中，， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）取的中点，连接，因为是等边三角形，所以， 因为，所以面，且面， 所以面底面，侧面底面， 所以底面，则点到底面的距离为， ，则，. 所以到底面的距离为. （3）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ， ，所以， 所以，所以， 则，则. 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为，. 23．(24-25高二下·江苏连云港·期末)已知四面体ABCD中，，，，且DA与平面ABC所成角的余弦值为，则该四面体外接球的半径为________． 【答案】 【分析】由题意证明出两两互相垂直，由题意可知四面体ABCD的外接球即为正方体的外接球，求解外接球的半径即可. 【详解】因为，，，所以， 如图所示： 取的中点，连接，则，，， 所以平面，作于，又平面， 平面，则，， 所以 平面，则是直线与平面所成角， 即，在直角三角形中， . 则 ，，则，故. 所以两两互相垂直，四面体的外接球的半径. 故答案为： 24．(24-25高二下·江苏连云港·期末)（多选）设、、表示三个不同的平面，、表示两条不同的直线，则下列结论正确的有（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】BCD 【分析】利用线面、线线的位置关系可判断A选项；利用线面平行的性质定理可判断B选项；利用线面平行和线面垂直的性质定理可判断C选项；利用线面垂直和面面垂直的性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，若若，，则、平行、相交或异面，A错； 对于B选项，若，过直线作平面，使得， 由线面平行的性质定理可知，因为，，则，故，B对； 对于C选项，若，，，设， 在平面内作直线，由面面垂直的性质定理可得， 因为，故，因为，，故，C对； 对于D选项，如下图所示： 因为，，， 设，在平面内作异于直线的直线，使得， 由面面垂直的性质定理得，由C选项可知， 因为，，则，故，D对. 故选：BCD. 25．(24-25高二下·江苏宿迁·期末)如图，在长方体中，点E，F分别是棱，上的动点，且，， (1)求证：平面； (2)若，． ①求平面与平面夹角的余弦值的最大值； ②若平面截长方体的截面为五边形，求平面与平面夹角的余弦值的范围． 【答案】(1)证明见详解 (2)①，② 【分析】（1）在长方体中,平面，可得，结合，可证平面，得到，同理可证，进而证得平面； （2）①以为原点建立空间直角坐标系，设，分别得出两个平面的法向量，即可得到夹角的余弦值，再根据函数性质可求最值； ②根据截面可确定在棱（不包含端点），然后可得的范围即可得到余弦值的范围. 【详解】（1）在长方体中,平面， 又平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以，同理可证， 又平面， 所以平面. （2）①以为原点建立空间直角坐标系，设， 则， ， 设平面的一个法向量， 则，不妨取，， 由（1）知为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则 ， 又，当，即时取等， 又点E，F分别是棱，上的动点，且，， 所以，则， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值的最大值为. ②在平面中，过作， 同（1）的证明理由可得，即平面， 所以当在棱时，截面为四边形， 当在棱（不包含端点）时，且不在棱端点时，截面为五边形， ，， 又，， 又在棱（不包含端点），所以，解得， 又不在棱端点，所以， 由①知，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值的范围为. 26．(24-25高二下·江苏宿迁·期末)如图，是圆柱的母线，是底面圆的直径，点B，D在底面圆周上（异于A，C），平面⊥平面． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面垂直可得线面垂直，可证明底面为矩形，利用线面平行的判定定理得证； （2）利用等体积法可求出点到平面的距离. 【详解】（1）因为平面⊥平面，为交线，,平面， 所以平面，又平面， 所以，即， 又是底面圆的直径，所以， 所以四边形为矩形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）设点到平面的距离为， 由可知，, 由， 可得， ，， 又平面, 所以平面，又平面， 所以， 故，， 所以，解得， 即点到平面的距离为. 27．(24-25高二下·江苏盐城·期末)如图，已知正三棱柱的体积为，且，点E，F，G分别为棱，，的中点． (1)求证：平面平面； (2)求锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行、面面平行的判定推理得证. （2）由柱体体积公式求出，取中点，作出二面角的平面角，利用几何法求出余弦值. 【详解】（1）在正三棱柱中，分别为中点， 则，四边形为平行四边形，于是， 而平面，平面，则平面，同理平面， 又平面，所以平面平面. （2）由，得正三角形面积，由正三棱柱的体积为， 得，解得，取中点，连接，则， 由平面，平面，得，而平面， 因此平面，又平面，则，为二面角的平面角， 在中，，，， 所以锐二面角的余弦值为. 28．(24-25高二下·江苏南京江宁区·期末)（多选）在直四棱柱中，底面是菱形，，，为的中点，点满足，，，下列结论正确的是（   ）    A．若，则 B．若，则四面体的体积是定值 C．若，，则存在点，使得的最小值为 D．若，则点F的轨迹长为 【答案】ABD 【分析】若，则在上，利用线面垂直的判定定理、性质定理可判断A；若，则三点共线，利用线面平行的判定定理得出平面，得上的点到平面的距离都相等，再由，可判断B；若，，则点与点重合，把沿着进行翻折，使得四点共面，此时有最小值，由余弦定理可判断C；取的中点，以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，设利用 可判断D正确. 【详解】对于A，若，则，即在上， 连接，因为底面是菱形，所以， 因为底面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 平面，所以，故A正确；    对于B，若，则三点共线，连接， 因为，所以四边形是平行四边形，， 因为平面，平面，所以平面， 可得上的点到平面的距离都相等， 可得，取的中点，连接， 可得是边长为2的等边三角形，， 又平面，平面，所以，又， 平面，可得平面， 平面，因为， ，可得，故B正确；    对于C，若，，则，即， 即点与点重合，把沿着进行翻折，使得四点共面， 此时有最小值，在中，， 所以，所以，所以， 在中，由余弦定理得， 解得，故C错误；    对于D，取的中点，连接，， 由余弦定理得，则，以为原点，分别以所在 的直线为轴建立空间直角坐标系，设，， ， 因为，所以， 即，可得点F的轨迹是在平面内，以为圆心， 为半径的半圆，且，所以点F的轨迹长为，故D正确.    故选：ABD. 29．(24-25高二下·江苏南师附中、天一中学、海门中学、海安中学·)如图，四棱锥的底面是矩形，平面，，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形相似证得，结合线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用向量法求解夹角余弦值即可. 【详解】（1）因为，为的中点，所以， 因为四棱锥的底面是矩形，所以， 所以与相似，故， 因为，所以，故， 因为底面，底面，所以， 因为，平面，所以平面. （2）因为平面，平面，所以，， 因为四棱锥的底面是矩形，所以.    以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 所以，，. 因为平面，所以平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则即 令，则，，此时， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 30．(24-25高二下·江苏南京文枢高级中学·期末)如图，四棱锥中，平面，，，是平面内以为直径的半圆的三等分点． (1)证明：平面平面； (2)求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）先应用线面垂直判定定理得出平面，再应用面面垂直判定定理证明即可； （2）先建立空间直角坐标系，先求平面的一个法向量，再应用线面角正弦公式计算即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为是平面内以为直径的半圆的三等分点， 所以，所以，所以， 因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面PBC． （2）以为坐标原点，垂直于的方向为轴正方向，的方向分别为轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 故，，， 设平面的一个法向量为， 则，可以取， 设直线与平面所成角为， 所以， 故与平面所成角的正弦值为． 题型4 直线与平面平行判定（共6小题） 31．(24-25高二下·江苏常州·期末)（多选）已知棱长为1的正方体的所有顶点都在以为球心的球面上，点是棱的中点，点是棱上的动点.则下列说法正确的有（    ） A．若是棱的中点，则平面 B．点到直线的距离的最小值为 C．棱上存在点，使得 D．若是棱的三等分点，则过的平面截球所得的截面面积最小为 【答案】ACD 【分析】对于A，设的中点为，通过证明四边形为平行四边形，可证得平面；对于B，通过建系设点，利用空间点到线的距离公式可求最小值；对于C，利用向量的坐标表示出夹角，计算出当时，，即可判断；对于D，由题意可求，再利用球的截面问题可直接求截面面积的最小值. 【详解】如图，设的中点为，连接，   是中点，，且， 对于A，若是中点，，且， ，且，所以四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面，故A正确； 根据题意，以为原点，以直线所在方向分别为轴建立空间直角坐标系， 设，，，， 所以点到直线的距离， 即点到直线的距离的最小值为，故B错误； 对于C，，所以， 则，当时，，即， 所以棱上存在点，使得，故C正确； 对于D，当是棱的三等分点时，点或，球心， 所以，又正方体外接球半径， 所以截面所得圆的最小半径，其面积为，故D正确. 故选：ACD. 32．(24-25高二下·江苏宿迁·期末)已知为两条不同直线，为三个不同平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据线面平行、面面平行的性质对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 若，所以可能平行也可能异面，所以A错误； 对于选项B： 若，所以可能与平面平行，也可能在平面内，所以B错误； 对于选项C： 若，那么，也可能平面相交，所以C错误； 对于选项D： 根据平行平面的传递性，若，则.所以D正确. 故选：D. 33．(24-25高二下·江苏扬州新华中学·期末)如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). (3). 【分析】（1）只需证明，然后结合线面平行的判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，由公式即可求解； （3）容易知道是平面的一个法向量，由公式结合二面角是钝角即可求解. 【详解】（1）连接，设，连接. 因为在三棱柱中，四边形是平行四边形， 所以为的中点. 因为为的中点， 所以. 又因为平面，平面，所以平面. （2）因为，，平面， 所以平面，平面，所以. 又，所以，，两两相互垂直. 如图建立空间直角坐标系. 则，，，，. 所以，. 设平面的法向量为，则即 令，则，.于是. 因为 所以. 直线与平面所成角的正弦值为. （3）因为平面， 所以是平面的一个法向量. 所以. 由题设，二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为. 34．(24-25高二下·江苏苏州常熟梅李高级中学·调研)如图，四棱柱的底面是边长为2的正方形，，侧面底面，E是棱BC上一点，平面. (1)求证：是的中点； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个条件作为已知，使四棱柱唯一确定， （i）求二面角的余弦值； （ii）设直线与平面的交点为P，求的值. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）连接交于，连接，利用线面平行的判定定理找到可证； （2）（i）选①：说明条件不能确定棱柱特点即可求解；选②③：证明平面，建立空间坐标系，求得二面角； （ii）设，可得，根据，可求得的值. 【详解】（1）连接交于，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以，又因为四边形是平行四边形，所以是的中点， 所以是的中点； （2）（i） 选择条件①： 因为底面是正方形，所以， 侧面平面，且侧面平面，平面， 故平面，又平面，则， 即四边形为矩形，因为，则， 与选择条件①：等价，故条件不能进一步确定的夹角大小，故二面角不能确定； 选择条件②： 连结，因为底面是正方形，所以， 又因为侧面平面，且侧面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 在中，因为，，所以， 在中，因为，，所以， 又平面，所以平面，又， 所以如图建立空间直角坐标系，其中，，，， 且，，易知为平面的一个法向量， 设为平面面的一个法向量，则，即. 不妨设，则，可得， 所以， 因为二面角的平面角是钝角，设为 ，故， 所以二面角的余弦值为. 选择条件③： 因为底面是正方形，所以， 因为，且平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为侧面平面，且侧面平面，平面， 所以平面，又， 所以如图建立空间直角坐标系，（下面同选择条件②）. （ii）设，又，， 则，所以， 所以，因为平面， 所以，所以，解得， 所以. 35．(24-25高二下·江苏南京南京航空航天大学附属高级中学·期末)如图，在四棱锥中，平面，，，，．点在棱上且与，不重合，平面交棱于点． (1)求证：； (2)若为棱的中点，求二面角的正弦值； (3)记点，到平面的距离分别为，，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证平面，在根据线面平行的性质定理可得. （2）先证，，两两垂直，再以为原点，建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，用向量法求二面角的三角函数值. （3）设，求平面的法向量，利用点到平面的距离的向量求法表示出，再结合不等式求它的最小值. 【详解】（1）因为，平面，平面， 所以平面. 又平面，平面平面. 所以. （2）如图： 取中点，连接. 因为平面，平面，所以. 在四边形中，，且， 所以四边形为矩形.所以平面. 又在和中，，，. 所以（）. 所以，. 故，，两两垂直，所以以为原点，建立如图空间直角坐标系. 当为中点时，，，，，. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，取. 设平面的法向量为， 则，取. 所以. 所以二面角的正弦值为：. （3）设，（） ，则，，. 设平面的法向量为，则 ，取. 则到平面的距离为：， 到平面的距离为：， 所以 设，则 那么（当且仅当即时取“”） 所以. 【点睛】结论点睛：点为平面外一点，点为平面内一点，平面的法向量为，则点到平面的距离为：. 36．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期末)如图，在四棱锥中，平面，，，，，点，分别是棱，上的动点. (1)若是棱的中点，求二面角的大小； (2)请判断下列条件：①直线与平面所成角的正切值为；②中哪一个条件可以推断出平面（无需说明理由），并用你的选择证明该结论. 【答案】(1)； (2)条件②，证明见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量解决二面角的大小； （2）若选择①，过作的垂线，垂足为，易得是直线与平面所成角，得到是的中点，利用空间向量证明与平面不平行；若选择②，通过线面平行的判定定理即可证明 【详解】（1）以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立如图所示坐标系， 则，，，，，， 则，，，， 设平面的法向量，平面的法向量， 由，得，当时，， 则， 由，得，当时，， 则， 因为， 故二面角的大小为； （2）条件②可以推断平面； 以下证明条件①不可以，条件②可以， 若选择条件①， 因为在线段上，所以，所以， 过作的垂线，垂足为，易得是直线与平面所成角， 所以，解得， 所以 由（1）可得，， 设平面的法向量， 由，得，当时，， 则， 所以，则与不垂直，即与平面不平行; 若选择条件②， 如图，连接，相交于点，连结， 在梯形中，有，， 根据三角形的相似得， 又因为，故， 又平面，平面， 所以平面 题型5 空间几何体表面积与体积（共8小题） 37．(24-25高二下·江苏南通·期末)底面边长为2，高为的正四棱锥的侧面积为____________． 【答案】8 【分析】利用正四棱锥的性质，结合勾股定理即可求出侧面积. 【详解】 如图，由底面边长为2，高为的正四棱锥可得:, 由勾股定理得：斜高， 所以正四棱锥的侧面积为， 故答案为：8 38．(24-25高二下·江苏南通·期末)平面四边形中，，，．现将沿翻折至，使得，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据球的性质找出球心平面，进一步确定其具体位置为的交点，其中的外心为，进而在直角三角形中解决即可. 【详解】设， 因，，则是等边三角形， 因，，则， 因，则与全等，则， 则，为中点（三线合一），则，， 在中利用余弦定理得 因平面，则平面， 因为线段的中点，则三棱锥的外接球球心平面， 设的外心为，则为线段上靠近点的三等分点， 因的外心为，则平面，平面， 因平面，平面，则， 因，则， 因，则在中，， 则在中，， 三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C 39．(24-25高二下·江苏常州·期末)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，且侧面积之比为2，则母线长之比为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】利用圆柱的侧面积公式和圆锥的侧面积公式可求母线长之比. 【详解】设圆柱的母线长为，圆锥的母线长为，它们底面半径为， 由题意得，，故. 故选：B. 40．(24-25高二下·江苏连云港·期末)如图，几何体是圆柱的四分之一部分，其中底面是半径为的扇形，母线长为，是的中点，为的中点，是上的动点（不与、重合），是圆柱的母线． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积的最大值； (3)求二面角余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； （2）设点，其中，利用空间向量法求出点到平面的距离，再利用锥体的体积公式以及三角函数的有界性可求得三棱锥的体积的最大值； （3）利用空间向量法可求得二面角余弦值的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，，平面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，所以， 易知平面的一个法向量为，则，即， 又因为平面，所以平面. （2）不妨设点，其中， 则、、， ，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 所以点到平面的距离为， 因为为是圆柱的一条母线，故平面， 因为平面，故，则， 所以 ， 因为，则，故，所以， 则， 即三棱锥的体积的最大值为. （3）设平面的一个法向量为， ，，则， 取，则， 所以 ， 因为，则，故. 结合图形可知，二面角的平面角为锐角， 因此，二面角余弦值的取值范围为. 41．(24-25高二下·江苏连云港·期末)在直三棱柱中，为的中点，点在棱上，且，点A，M，N所确定的平面把三棱柱切割成体积不同的两部分，则较小部分的体积与较大部分的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，得到四边形为截面，连接，小部分几何体可看作三棱锥和四棱锥的组合，根据全等和相似关系得到四边形的面积，从而得到四棱锥的体积为，进而得到，小部分几何体的体积等于，求出大部分几何体体积，求出体积之比. 【详解】延长与于点，连接交于点，连接，则四边形为截面， 连接，小部分几何体可看作三棱锥和四棱锥的组合， 因为，，故，所以， 又为的中点，故，故，相似比为1:4， 故，， 故四边形的面积， 故四棱锥的体积为， 设矩形的面积为， 故， 故， 又，故， 故， 故小部分几何体的体积等于， 故大部分几何体的体积等于， 故小部分的体积和大部分的体积比为. 故选：A 42．(24-25高二下·江苏宿迁·期末)我国南北朝时期伟大的数学家、天文学家祖暅，首次发现“幂势既同，则积不容异”的结论，被称为“祖暅原理”，并用其推导出球的体积公式（示意如图），比西方早一千一百多年，显示出我国古代在数学研究上的辉煌成就．半球台的定义：用一个平行于半球大圆面的平面去截半球，截面圆和大圆面之间的部分叫半球台，大圆面叫下底面，截面叫上底面，则一个下底面半径为5，上底面半径为4的半球台的体积为______． 【答案】 【分析】根据祖暅原理可知所求半球台体积等于圆柱与圆锥体积差，由此求解即可. 【详解】因为半球台下底面半径，上底面半径， 所以半球台高度. 由祖暅原理得，半球台的体积等于底面半径为、高为的圆柱的体积减去底面半径为、高为的圆锥的体积， 所以半球台的体积. 故答案为：. 43．(24-25高二下·江苏宿迁·期末)已知正四棱锥的侧棱长为4，其顶点均在同一个球面上，若球的表面积为，则该正四棱锥的体积为（    ） A．16 B．24 C．32 D．36 【答案】A 【分析】首先根据外接球的表面积求出外接球半径，然后根据勾股定理求出底面正方形的边长和正四棱锥的高，最后根据棱锥的体积公式求出体积. 【详解】因为球的表面积为，所以，解得. 所以正四棱锥外接球的半径为4. 为正四棱锥的球心，则平面，因为正四棱锥侧棱长为4， 所以①. 根据勾股定理②. ②-①解得，. 则根据勾股定理可求得底面正方形的边长为. 所以. 所以正四棱锥的体积为. 故选：A. 44．(24-25高二下·江苏南京南京航空航天大学附属高级中学·期末)（多选）已知正方体的棱长为1，为平面内一动点，则下列结论正确的有（    ） A．平面 B．若直线与平面所成角为，则点的轨迹是椭圆 C．存在点，使得 D．正方体的外接球被平面所截得的截面面积为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，， ，，，， 所以，，， 所以，，所以，， 即，，又，平面， 所以平面，故A正确； 设，则，又平面的法向量可以为， 依题意，所以， 所以直线与平面所成角为，则点的轨迹是圆，故B错误； 因为， ，所以当时满足，故C正确； 正方体的外接球的直径为正方体的体对角线， 则外接球的半径，球心为的中点，设为，则， 由平面，所以平面的一个法向量为， 又， 所以点到平面的距离， 设平面被外接球所截的截面圆的半径为， 则， 所以截面圆的面积，故D正确. 故选：ACD 1．如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，为中点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求到平面的距离； (3)若三棱锥外接球半径为2，求直线和平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）设，先证明，再根据线面平行的判定定理，即可证明平面； （2）方法一，以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及点D到平面的距离，利用平面，将到平面的距离转化为点D到平面的距离，即可得解； 方法二，利用平面，将到平面的距离转化为点到平面的距离，进而转化为点B到平面的距离，再利用等体积法计算即可； （3）设，利用正得到其外接圆圆心的坐标及半径，进而设出球心的坐标，根据球的性质求出点坐标，进而求出平面的法向量，即可根据向量法求出直线和平面所成角的正弦值，即可得解. 【详解】（1） 设，连接． 因为四边形为菱形，所以 为的中点． 在中，因为 为的中点，所以 OM为的中位线，故， 又因为平面，平面， 所以 平面； （2）方法一：向量法 以A为原点，以所在直线为轴，在平面内过作与垂直的直线为轴， 过作与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，. 在平面内过作，交的延长线于，连接. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以. 因为，所以， 因为，，所以， 所以，，即，所以. 在中，，所以，， 则，因为为中点，所以， 则，. 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，则. 设点D到平面的距离为， 则． 由（1）知平面， 所以到平面的距离即为点D到平面的距离， 所以到平面的距离为； 方法二：等体积法 由（1）知平面， 所以到平面的距离等于点到平面的距离，设为． 因为为中点，所以点到平面的距离等于点B到平面的距离， 即， 在平面内作交直线的延长线于，取中点， 连接，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以平面， 又平面，所以. 在中，，所以，， 所以到平面的距离为. 因为，所以． 在中，， 由余弦定理可得， 在中，． 在中，，为中点，则， 由余弦定理可得， 所以，所以． 在中，，底边上的高为， 所以. 又因为. 由可得，解得， 所以到平面的距离为； （3） 在（2）所建的坐标系中，设，则， 因为，所以． 由，可得， 解得，故. 在正中，外接圆圆心为，外接圆半径． 设三棱锥外接球的半径为，球心为． 由球的性质可得，解得，则， 所以，因为点在外接球上，则， 所以， 即，即． 解得，所以， 所以，. 设平面的法向量为． 则，即. 令，则，即． 设直线和平面所成角为， 则 因为，所以． 所以直线和平面所成角的余弦值为． 2．如图，在四边形中，，，，，，点H满足.将沿翻折至，使得，E为的中点，M是上的一点. (1)证明：平面； (2)若，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）逐步求证、平面、平面即可； （2）以为原点建系，设，根据求出，再分别计算两个平面的法向量即可. 【详解】（1）因为，，故，， 因为，，所以， 所以，， 因为，所以，又，所以， 在直角梯形中， 则，则， 因为，，所以， 则，则， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，所以平面； （2）以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 则，，， 设，则， 则， 则，得，则， 分别设平面和平面的法向量为， 则，， 令，则， 则， 则二面角的正弦值为. 3．如图，已知是边长为的等边三角形，分别是的中点，将沿着翻折，使点到点处，得到四棱锥． (1)设平面平面，证明：平面； (2)当时，求平面与平面的夹角的余弦值； (3)若点在平面的射影在四边形的内部，四棱锥的体积，求直线被四棱锥外接球球截得的弦长的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据条件，利用线面平行的判定，得到平面，再由线面平行的性质得，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面平面与平面的法向量，利用面面角的向量法，即可求解； （3）根据条件可设设球的半径为，球心，再利用，进而得到，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面平面平面，所以， 又平面，平面，所以平面． （2）取中点，连，则为的中点， 在平面内，过作， 在等边中，由，得， 又，所以， 所以，所以平面， 又平面，所以， 所以两两垂直，以为坐标原点， 直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 则， 则， 又，则，所以，解得， 则，所以， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 设平面的法向量为，则， 令，得， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）因为点在平面内的射影在四边形内部， 所以，由，得到， 因为，所以， 则，又， 所以，则，所以， 在等腰梯形中，，则， 则为等腰梯形外接圆圆心，设球的半径为，球心， 则，又， 则，整理得到， 又因为， 所以， 因为，且，得到， 又，令，易知在区间上单调递增， 当时，，所以，则． 4．如图，在平行四边形ABCD中，．现将沿着AC翻折，使点到达点的位置，形成三棱锥．线段PB上有两点M，N，满足平面平面ACM且平面平面ACN． (1)当平面平面ACP时，求三棱锥外接球的表面积； (2)在翻折过程中，当点为线段PB上靠近点的三等分点时，求点到平面ACP的距离； (3)在翻折过程中，是否存在，若存在，求平面ACP与平面ABC所成角的余弦值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用外心性质确定三棱锥外接球球心位置与半径，再代入球的表面积公式计算； （2）通过建立空间直角坐标系，用二面角参数表示点坐标，利用法向量垂直条件求解二面角，再用向量投影公式求点到平面的距离； （3）用参数表示线段上的点，结合法向量垂直条件确定，再根据向量关系列方程求解二面角的余弦值. 【详解】（1）的外心为AB中点的外心为CP中点， 取线段AC中点，则 设三棱锥外接球的球心为点，则平面平面ACP，． （2）以点为原点，的方向为x，y轴正方向，建立空间直角坐标系． ，设二面角的平面角为，则． 设平面ACP的法向量为，平面ACN的法向量为， 由， 解得． 由平面平面ACN，可得，解得． 点为线段PB上靠近点的三等分点，可得 由，解得 即二面角的平面角为 此时 点到平面ACP的距离 （3）已知，点横坐标为1． 点在yoz平面上，所以点横坐标为0． 可得． 设， 由（2）得平面ACN的法向量． 由，解得 即． 根据条件，得，解得 在翻折过程中，存在，此时平面ACP与平面ABC所成角的余弦值为 5．正方体中，是棱的中点，是棱上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，若三棱锥的外接球球心落在平面内，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意建立空间直角坐标系，设，求解的坐标，由三棱锥的外接球即为，，为棱的长方体的外接球，求解三棱锥的外接球的半径为，求解平面的法向量，再由求解即可. 【详解】设正方体棱长为1，以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 可得，，，，， 因为点为中点，可得，又设，， 则得，解得，即， 由三棱锥的外接球即为，，为棱的长方体的外接球， 由，，，得长方体的体对角线长为， 所以三棱锥的外接球的半径为，即球心为该长方体体对角线的中点，所以， 设平面的法向量为，，， 由，故可取， 因为，所以与平面的法向量为垂直， 则，即，解得，所以. 6．如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，三棱柱的外接球为球，则过的平面截球所得截面面积的最小值为___________． 【答案】/ 【分析】将三棱柱补成正方体，建立空间直角坐标系，可求出外接球的半径为，利用空间向量求出点到直线的距离，进而求解截面面积的最小值. 【详解】根据题意，将该三棱柱补成正方体，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 由正方体的性质可得该正方体的外接球球心为，即为点， 则，外接球半径为， 点到直线的距离， 该截面面积最小时，点到该截面的距离为， 则截面面积的最小值为． 7．三棱柱中，，在底面ABC内的射影为AC中点，，，若为底面内一动点（不含边界），则三棱锥的外接球表面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间坐标系将几何关系转化为代数运算，通过变量范围求表面积极值. 【详解】设底面直角三角形的斜边中点为，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，则，，设满足， ，所以， 在底面射影为，故，由，得. ，所以， 则，， 设动点在内，设其坐标为， 所以其在底面的投影为，到的距离平方为. 三棱锥的外接球心在过且垂直于底面的直线上，设. 球半径满足：； 球心到的距离等于半径：. 联立得： 代入半径公式： 在圆上， 故的坐标满足： 因(不在线上)，故. 在内，故的取值范围为. 将代入：当时，， ，表面积， 当时，，，表面积 所以三棱锥的外接球表面积取值范围为. 8．（多选）在直四棱柱中，底面为菱形，，，侧棱，为底面对角线的交点，点是侧面内的动点（含边界），且满足平面，则（    ） A．动点的轨迹是一条线段，且长度为 B．过，，三点的平面截该直四棱柱所得截面可能为平行四边形 C．直线与平面所成角的正切值的取值范围为 D．三棱柱的外接球球心与动点距离的最小值为 【答案】ABC 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，令轴沿方向，轴在底面内且与垂直，轴沿方向．由点在侧面内设出其坐标，再利用平面求出点的轨迹，从而判断A；取特殊位置说明截面可能为平行四边形，从而判断B；利用直线方向向量的竖直分量与水平投影长度之比求线面角正切值的范围，从而判断C；求出三棱柱外接球球心坐标，并计算它到点的距离最小值，从而判断D． 【详解】以为坐标原点，取所在直线为轴，建立空间直角坐标系． 因为底面为菱形，，，， 所以 又为底面对角线的交点，所以． 设点在侧面内，则可设 由，，，得 设平面的一个法向量为，则 取，，，则平面的一个法向量可取 因为平面，所以． 又所以 化简得，于是 又，因此点在线段上运动． 又 所以A正确． 对于B，取，则此时为线段的中点． 又点，，，共面，且四边形中，，，所以四边形为平行四边形． 由于线段的中点也在平面内，所以过，，三点的平面就是平面． 此时截面为平行四边形，所以B正确． 对于C，由上可知 平面与底面平行，其法向方向为竖直方向． 设直线与平面所成角为，则等于的竖直分量长度与其在平面内的投影长度之比． 所以 令 则 所以在上单调递增，在上也单调递增． 当时，；当时，．故的取值范围为，C正确． 对于D，因为为边长为的正三角形，所以其外心为 三棱柱为直三棱柱，其外接球球心在过且垂直于底面的直线上，并位于高的一半处，所以 由，得 化简得 因为，所以当时，取得最小值，即的最小值为，不是．D错误． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴01 期末真题·空间向量·百练通关（44题5大压轴题型） 题型1 空间向量的应用 题型4 直线与平面平行判定 题型2 空间向量及其运算 题型5 空间几何体表面积与体积 题型3 直线与平面垂直判定 题型1 空间向量的应用（共10小题） 1．(24-25高二下·江苏·期末)如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，BC的中点. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 2．(24-25高二下·江苏南通·期末)如图，已知圆台的上、下底面半径分别为3和6，母线与下底面所成的角为． (1)求圆台的体积； (2)设，分别是圆台的两条母线． （ⅰ）求证：； （ⅱ）若，P是圆上的动点，求直线与平面所成角正弦值的最大值． 3．(24-25高二下·江苏南通·期末)如图，正三棱柱中，，，D是中点，E是棱上一点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求的长． 4．(24-25高二下·江苏南通·期末)（多选）已知正方体的棱长为2，点P在棱上，点Q在面内，则（   ） A． B．点P到平面的距离为 C．二面角的正切值为1 D．的最小值为 5．(24-25高二下·江苏南京第一中学·)如图，几何体是圆柱的四分之一部分，其中底面OAB是半径为2的扇形，母线长为4，C是的中点，M为的中点． (1)证明：面OAB； (2)若P在弧中点，求平面ACM与平面PCM所成角的正弦值； (3)若P是弧上的动点，Q是弧上的动点，且，求直线与直线PQ所成角余弦值的最大值． 6．(24-25高二下·江苏淮安·期末)如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，．平面，点为棱上的点，点为棱上的点，点为棱上的点． (1)若、分别为棱，的中点，证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)若，当取何值时，三棱锥体积取得最大． 7．(24-25高二下·江苏镇江中学·期末)（多选）在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（    ）    A．若，则面 B．若，则 C．若，则到平面的距离为 D．若时，直线与平面所成角为，则 8．(24-25高二下·江苏扬州·期末)如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱上一点，且． (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值． 9．(24-25高二下·江苏扬州·期末)（多选）如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段上（含端点）运动，下列选项中正确的有（    ） A．线段长度的最大值是 B．点P到平面的距离是定值 C．直线与BD所成角的最小值是 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 10．(24-25高二下·江苏镇江第一中学·期末)已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．． (1)证明：平面 (2)证明： (3)当为何值时，面与面DFE所成的二面角的正弦值最小，并求此最小值． 题型2 空间向量及其运算（共10小题） 11．(24-25高二下·江苏镇江第一中学·期末)在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 12．(24-25高二下·江苏南通·期末)已知向量，，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 13．(24-25高二下·江苏淮安·期末)已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为_____． 14．(24-25高二下·江苏淮安·期末)如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为的中点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 15．(24-25高二下·江苏扬州·期末)在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 16．(24-25高二下·江苏宿迁·期末)在空间直角坐标系中，向量（）在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D．与t有关 17．(24-25高二下·江苏连云港·期末)（多选）在长方体中，，底面是边长为的正方形，，则下列选项正确的有（    ） A．，三棱锥的体积是定值 B．当时，存在唯一的使得平面 C．为棱的中点，当时，的周长取最小值 D．当直线与所成角的余弦值为时，的值为 18．(24-25高二下·江苏连云港·期末)在正方体中，为棱的中点，点、分别在线段、上，且，，则与（    ） A．平行 B．垂直 C．所成的角的余弦值为 D．所成的角的余弦值为 19．(24-25高二下·江苏宿迁·期末)（多选）在平行六面体中，各棱长均为6．，则下列结论正确的有（    ） A． B．四边形为正方形 C．与平面所成角的余弦值为 D．四边形内存在点P，使得直线与所成角为 20．(24-25高二下·江苏镇江实验高级中学·调研)（多选）在棱长为的正方体中，点在底面内运动（含边界），点是棱的中点，则（   ） A．若是棱的中点，则平面 B．若平面，则是上靠近的四等分点 C．点到平面的距离为 D．若在棱上运动，则点到直线的距离最小值为 题型3 直线与平面垂直判定（共10小题） 21．(24-25高二下·江苏南通·期末)已知m，n，l表示三条不同的直线，，，表示三个不同的平面，则（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，，，则 22．(24-25高二下·江苏常州·期末)在四棱锥中，已知，是等边三角形，点在棱上. (1)当时，求证：平面； (2)求点到底面的距离； (3)当时，求平面与平面所成角的余弦值. 23．(24-25高二下·江苏连云港·期末)已知四面体ABCD中，，，，且DA与平面ABC所成角的余弦值为，则该四面体外接球的半径为________． 24．(24-25高二下·江苏连云港·期末)（多选）设、、表示三个不同的平面，、表示两条不同的直线，则下列结论正确的有（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 25．(24-25高二下·江苏宿迁·期末)如图，在长方体中，点E，F分别是棱，上的动点，且，， (1)求证：平面； (2)若，． ①求平面与平面夹角的余弦值的最大值； ②若平面截长方体的截面为五边形，求平面与平面夹角的余弦值的范围． 26．(24-25高二下·江苏宿迁·期末)如图，是圆柱的母线，是底面圆的直径，点B，D在底面圆周上（异于A，C），平面⊥平面． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 27．(24-25高二下·江苏盐城·期末)如图，已知正三棱柱的体积为，且，点E，F，G分别为棱，，的中点． (1)求证：平面平面； (2)求锐二面角的余弦值． 28．(24-25高二下·江苏南京江宁区·期末)（多选）在直四棱柱中，底面是菱形，，，为的中点，点满足，，，下列结论正确的是（   ）    A．若，则 B．若，则四面体的体积是定值 C．若，，则存在点，使得的最小值为 D．若，则点F的轨迹长为 29．(24-25高二下·江苏南师附中、天一中学、海门中学、海安中学·)如图，四棱锥的底面是矩形，平面，，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 30．(24-25高二下·江苏南京文枢高级中学·期末)如图，四棱锥中，平面，，，是平面内以为直径的半圆的三等分点． (1)证明：平面平面； (2)求与平面所成角的正弦值． 题型4 直线与平面平行判定（共6小题） 31．(24-25高二下·江苏常州·期末)（多选）已知棱长为1的正方体的所有顶点都在以为球心的球面上，点是棱的中点，点是棱上的动点.则下列说法正确的有（    ） A．若是棱的中点，则平面 B．点到直线的距离的最小值为 C．棱上存在点，使得 D．若是棱的三等分点，则过的平面截球所得的截面面积最小为 32．(24-25高二下·江苏宿迁·期末)已知为两条不同直线，为三个不同平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 33．(24-25高二下·江苏扬州新华中学·期末)如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求二面角的余弦值. 34．(24-25高二下·江苏苏州常熟梅李高级中学·调研)如图，四棱柱的底面是边长为2的正方形，，侧面底面，E是棱BC上一点，平面. (1)求证：是的中点； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个条件作为已知，使四棱柱唯一确定， （i）求二面角的余弦值； （ii）设直线与平面的交点为P，求的值. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 35．(24-25高二下·江苏南京南京航空航天大学附属高级中学·期末)如图，在四棱锥中，平面，，，，．点在棱上且与，不重合，平面交棱于点． (1)求证：； (2)若为棱的中点，求二面角的正弦值； (3)记点，到平面的距离分别为，，求的最小值． 36．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期末)如图，在四棱锥中，平面，，，，，点，分别是棱，上的动点. (1)若是棱的中点，求二面角的大小； (2)请判断下列条件：①直线与平面所成角的正切值为；②中哪一个条件可以推断出平面（无需说明理由），并用你的选择证明该结论. 题型5 空间几何体表面积与体积（共8小题） 37．(24-25高二下·江苏南通·期末)底面边长为2，高为的正四棱锥的侧面积为____________． 38．(24-25高二下·江苏南通·期末)平面四边形中，，，．现将沿翻折至，使得，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 39．(24-25高二下·江苏常州·期末)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，且侧面积之比为2，则母线长之比为（    ） A． B．1 C．2 D． 40．(24-25高二下·江苏连云港·期末)如图，几何体是圆柱的四分之一部分，其中底面是半径为的扇形，母线长为，是的中点，为的中点，是上的动点（不与、重合），是圆柱的母线． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积的最大值； (3)求二面角余弦值的取值范围． 41．(24-25高二下·江苏连云港·期末)在直三棱柱中，为的中点，点在棱上，且，点A，M，N所确定的平面把三棱柱切割成体积不同的两部分，则较小部分的体积与较大部分的体积之比为（    ） A． B． C． D． 42．(24-25高二下·江苏宿迁·期末)我国南北朝时期伟大的数学家、天文学家祖暅，首次发现“幂势既同，则积不容异”的结论，被称为“祖暅原理”，并用其推导出球的体积公式（示意如图），比西方早一千一百多年，显示出我国古代在数学研究上的辉煌成就．半球台的定义：用一个平行于半球大圆面的平面去截半球，截面圆和大圆面之间的部分叫半球台，大圆面叫下底面，截面叫上底面，则一个下底面半径为5，上底面半径为4的半球台的体积为______． 43．(24-25高二下·江苏宿迁·期末)已知正四棱锥的侧棱长为4，其顶点均在同一个球面上，若球的表面积为，则该正四棱锥的体积为（    ） A．16 B．24 C．32 D．36 44．(24-25高二下·江苏南京南京航空航天大学附属高级中学·期末)（多选）已知正方体的棱长为1，为平面内一动点，则下列结论正确的有（    ） A．平面 B．若直线与平面所成角为，则点的轨迹是椭圆 C．存在点，使得 D．正方体的外接球被平面所截得的截面面积为 1．如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，为中点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求到平面的距离； (3)若三棱锥外接球半径为2，求直线和平面所成角的余弦值． 2．如图，在四边形中，，，，，，点H满足.将沿翻折至，使得，E为的中点，M是上的一点. (1)证明：平面； (2)若，求二面角的正弦值. 3．如图，已知是边长为的等边三角形，分别是的中点，将沿着翻折，使点到点处，得到四棱锥． (1)设平面平面，证明：平面； (2)当时，求平面与平面的夹角的余弦值； (3)若点在平面的射影在四边形的内部，四棱锥的体积，求直线被四棱锥外接球球截得的弦长的取值范围． 4．如图，在平行四边形ABCD中，．现将沿着AC翻折，使点到达点的位置，形成三棱锥．线段PB上有两点M，N，满足平面平面ACM且平面平面ACN． (1)当平面平面ACP时，求三棱锥外接球的表面积； (2)在翻折过程中，当点为线段PB上靠近点的三等分点时，求点到平面ACP的距离； (3)在翻折过程中，是否存在，若存在，求平面ACP与平面ABC所成角的余弦值；若不存在，请说明理由． 5．正方体中，是棱的中点，是棱上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，若三棱锥的外接球球心落在平面内，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，三棱柱的外接球为球，则过的平面截球所得截面面积的最小值为___________． 7．三棱柱中，，在底面ABC内的射影为AC中点，，，若为底面内一动点（不含边界），则三棱锥的外接球表面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（多选）在直四棱柱中，底面为菱形，，，侧棱，为底面对角线的交点，点是侧面内的动点（含边界），且满足平面，则（    ） A．动点的轨迹是一条线段，且长度为 B．过，，三点的平面截该直四棱柱所得截面可能为平行四边形 C．直线与平面所成角的正切值的取值范围为 D．三棱柱的外接球球心与动点距离的最小值为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $