专题04 线性回归·分析·方程·独立性检验·统计（十六大高频考点）（期末复习专项训练）数学苏教版高二选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦统计与概率核心模块，以线性回归与独立性检验为双主线，通过16类题型构建"概念识别-模型构建-应用拓展"的三阶训练体系，强化数据观念与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线性回归分析|8题型32题|涵盖相关关系判断、回归方程构建及残差分析，重点突出样本中心与决定系数计算|从变量相关性判断到线性模型构建，再到非线性回归转化，形成完整建模链条| |独立性检验|5题型20题|包含列联表完善、卡方计算及等高条形图分析，难点突破数据补全与关联性判断|遵循"数据整理-图表呈现-统计推断"逻辑，培养统计论证能力| |非线性回归|3题型12题|聚焦对勾、根式、指对三类转化，强调变量代换思想|通过线性化处理实现知识迁移，深化数学建模思维|

专题04 线性回归·分析·方程·独立性检验·统计 题型1 判断两个变量的相关关系 题型9 完善列联表（难点） 题型2 相关系数的计算 题型10 列联表分析（重点） 题型3 用回归直线方程对总体进行估计（重点） 题型11 等高条形图（常考点） 题型4计算样本的中心点（重点） 题型12 卡方的计算（常考点） 题型5 根据回归方程进行数据估计（常考点） 题型13 非线性类对勾系列 题型6 求回归直线方程 题型14 非线性类根式系列（重点） 题型7 残差的计算 题型15 非线性类指对系列（难点） 题型8 决定系数的计算（重点） 题型16 独立性检验应用 题型1 判断两个变量的相关关系（共4小题） 1．在下列两个量之间的关系中，属于相关关系的是（    ） A．匀速直线运动中时间与位移的关系 B．学生的成绩和身高 C．一块农田的小麦产量与施肥量 D．正n边形的边数与内角度数之和 2．某校随机抽取50名学生的身高与体重的散点图如下所示，则下列说法错误的是（   ） A．身高越高，体重越重； B．身高与体重同向变动的倾向； C．身高与体重之间有明显的相关性； D．身高与体重成正相关 3．下列变量之间的关系不是相关关系的是（   ） A．已知二次函数，其中是常数，取为自变量，因变量为这个函数对应方程的判别式 B．光照时间和果树产量 C．降雪量和交通事故的发生率 D．土地施用肥料量和粮食产量 4．（多选）（多选）在下列各变量之间的关系中，属于相关关系的是（    ） A．汽车的重量和百公里耗油量 B．正n边形的边数与内角度数之和 C．一块农田的小麦产量与施肥量 D．家庭的经济条件与学生的学习成绩 题型2 相关系数的计算（共4小题） 5．某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积/亩 1 2 3 4 5 管理时间/月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示： 单位：人 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 150 50 女性村民 50 50 (1)求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； (2)以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列． 参考公式：；参考数据：． 0 1 2 3 6．具有相关关系的变量x与y的一组样本数据如下，若已求得线性回归方程为，则去掉其中某对样本数据，样本相关系数r不会发生改变的是（   ） （参考公式：相关系数 x 1 2 3 4 5 y 6 10 11 12 16 A． B． C． D． 7．某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积/亩 1 2 3 4 5 管理时间月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示： 单位：人 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 150 50 女性村民 50 50 (1)求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； (2)以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列及数学期望． 参考公式：；参考数据：． 8．粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展.我国于2020年打赢了脱贫攻坚战，其中小麦发挥了重大作用.以2020年为第1年，我国连续5年小麦产量如下： 年份 1 2 3 4 5 产量/千万吨 13.4 13.7 13.8 13.6 14.0 现规定表示第i年的年份，表示第i年的产量，经计算得，，. (1)求样本（，2，…，5）的相关系数（精确到0.01）； (2)现从这5年中随机抽取2年，记这2年中共有X年的小麦产量不低于13.7千万吨，求X的分布列与期望. 附：样本相关系数，. 题型3 用回归直线方程对总体进行估计（共4小题）（重点） 9．（多选）某公司统计了去年1月份到5月份某种产品的销售额如下表： 月份 1 2 3 4 5 销售额万元 1.8 2.2 2.8 3.1 根据表中数据，通过最小二乘法求得的经验回归方程为，则（   ） A．变量与正相关 B． C．样本数据的下四分位数为1.8 D．当时，的预测值为4.1万元 10．某种产品的广告费用支出万元与销售额万元之间有如下的对应数据： 1 3 5 7 9 3 10 16 21 45 (1)根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程； (2)据此估计广告费用为17万元时，所得的销售收入． （参考数值：） 11．某乡村合作社优化农产品种植结构，持续扩大蔬菜种植面积，统计该合作社近5年的蔬菜种植面积（单位：亩）依次为8，10，13，16，20，且这5年的总利润为142.5万元，由这5年的数据求得年利润（单位：万元）与满足线性回归方程，则当蔬菜种植面积增加到30亩时年利润的预测值为（    ） A．60万元 B．65万元 C．70万元 D．75万元 12．某公司于2025年1月推出了一款产品，现对产品上市后经过的时间（单位：月）和市场占有率进行统计分析，得到如下表数据： 1 2 3 4 5 0.004 0.007 0.012 0.017 0.020 由表中数据求得经验回归方程为，则当时，市场占有率约为（    ） A．0.029 B．0.031 C．0.033 D．0.035 题型4计算样本的中心点（共4小题）（重点） 13．为了更好地适应市场需求，某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 参考公式：，．则下列选项不正确的是（ ） A． B．由散点图知变量和正相关 C．用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 D．如果研发投入亿元，估计产品收益为亿元 14．（多选）下列命题中，真命题的是（   ） A．一个样本的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方差变小 B．数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点 C．若随机变量服从正态分布，，则 D．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； 15．某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数（人）的关系，该同学记录了5天的数据： 5 6 8 9 12 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列选项错误的是（   ） A．样本中心点为 B． C．时，残差为 D．相关系数 16．（多选）已知某软件公司开发了一款新型智能解题软件，现将该软件上市后的月份以及当月获得的利润（单位：万元）统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则（     ） 月份 1 2 3 4 5 利润 6 7 9 A． B．可以估计每增加1个月份，月利润平均提高万元 C．可以估计上市后的第7个月的利润为万元 D．上市后的第4个月的利润的残差为万元 题型5 根据回归方程进行数据估计（共4小题）（常考点） 17．近年来，我国电动汽车产业发展迅猛，某品牌汽车市场也异常火爆，销售量逐年上升．现统计某汽车专卖店5月份前5天每天电动汽车的实际销量，结果如下表所示． 日期编号 1 2 3 4 5 销量部 10 15 20 30 35 与有较强的线性相关关系，且线性回归方程为，预测当时，（    ） A．67.5 B．68 C．78.5 D．69 18．2026年春节期间，电影《飞驰人生3》、《镖人》持续火爆，现对电影《镖人》从正月初一到正月初六的单日票房统计如下表：（由于统计原因，本题的数据与实际情形可能存在误差，以题目给出的数据为准）． 日期 初一 初二 初三 初四 初五 初六 上映第天 1 2 3 4 5 6 票房（单位：亿元） 0.9 1.2 1.3 1.5 1.3 1.6 (1)根据数据建立单日票房关于上映天数的线性回归方程，并预测第七日的票房收入（计算结果均保留一位小数）； (2)在某天放映结束后，随机抽取6名观众，发现其中有4人看过《镖人》，3人看过《飞驰人生3》，只有1人两部电影均没看过．现从这6人中随机抽取3人，记为抽取的3人中两部电影都看过的人数，求的分布列及数学期望． 参考数据：，公式： 19．某模具厂新接一批新模型制作的订单，为给订购方回复出货时间，需确定制作该批模型所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下： 制作模型数（个） 10 20 30 40 50 花费时间（分钟） 64 69 75 82 90 （注：回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，参考数据：，）. (1)请根据以上数据，求关于的线性回归方程； (2)若要制作60个这样的模型，请根据（1）中所求的回归方程预测所花费的时间. 20．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表，根据表中数据，利用最小二乘法得到经验回归方程，据此模型预测当x=20时，y的估计值为（     ） x 7 9 11 13 y 2 3 5 6 A．10 B．11 C．12 D．13 题型6 求回归直线方程（共4小题） 21．某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，天的人园游客量统计数据如下： 活动开展第天 人园游客量（百人） (1)由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数（保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱； (2)求经验回归方程以及表中第个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差） (3)该景区在活动期间设置个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客人园时选择通道①、②、③的概率依次为、、；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率. 附：参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，； 参考数据：，，，. 22．高尔顿在研究人类身高遗传问题时，首次引入“回归”一词．现随机调查了5对父子的身高，统计数据如下表所示． 编号 父亲身高（） 174 170 172 168 176 儿子成年后身高（） 176 172 174 170 173 (1)已知变量与线性相关，求出关于的回归直线方程； (2)现从这5名儿子中随机抽取2名对其身高进行分析，求抽到的2个数据的残差之和恰好为0的概率． 参考公式：回归直线；，． 23．已知，，则___________． 24．某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表： 价格（元） 日需求量（） (1)求关于的线性回归方程； (2)利用（1）中的回归方程，当价格元时，日需求量的预测值为多少？ 参考公式：线性回归方程，其中， 题型7 残差的计算（共4小题） 25．为了解高三年级学生参与“人工智能辅助学习”的频次（次/周）与数学模拟测试成绩（分）之间的关系，学校收集了一组成对数据，计算可得样本平均数，，通过数据分析求得经验回归方程为，下列关于这组数据的统计分析中，说法错误的是（     ） A．变量与呈正相关关系 B．经验回归直线必过样本中心点，且 C．若某学生每周参与辅助学习6次，其测试成绩为110分，则该样本点的残差为 D．若这组数据的残差平方和越小，则决定系数越小，说明经验回归模型的拟合效果越好 26．根据生物实验中的一组数据作出如图所示的散点图，并对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点，增加点后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比（    ） A．决定系数变小 B．残差平方和变小 C．相关系数变大 D．不变 27．（多选）关于线性回归的描述，下列表述正确的是（     ） A．回归直线一定经过样本中心点 B．相关系数越大，线性相关性越强 C．残差图的带状区域越窄，拟合效果越好 D．决定系数越接近，拟合效果越好 28．为调查某企业年利润Y（单位：万元）和它的年研究费用x（单位：万元）的相关性，收集了5组成对数据（x，y），如表所示： x 1 2 3 4 5 Y 50 60 70 80 100 由上表中数据求得Y关于x的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差为（ ） A．4 B．5 C．-4 D．-5 题型8 决定系数的计算（共4小题）（重点） 29．（多选）下列说法正确的是（ ） A．若随机变量，则 B．若事件，相互独立，则 C．若样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为5 D．用相关指数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 30．（多选）下列命题正确的是（   ） A．线性回归直线必然过样本中心点 B．在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数的值越大，说明拟合的效果越好 C．已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数r越接近于1 D．正态曲线当一定时，越小，这条曲线越“瘦高”；越大，正态曲线越“矮胖” 31．（多选）为研究某城市二手房销售价格与建筑面积的关系，甲房产研究机构随机调查了80套该城市二手房的建筑面积（单位：平方米）和销售价格y（单位：万元）的数据，已知其中有一套房源的数据为点，且，根据数据求得的线性经验回归方程为，该线性回归方程对应的相关系数为r，对应的决定系数，则下列结论正确的是（    ） A． B．数据点P对应的残差的绝对值为5 C．该样本中二手房的平均建筑面积为95平方米 D．乙房产研究机构也对这组数据进行处理，得到非线性经验回归方程，其决定系数为，则甲机构选取的模型拟合效果更好 32．已知下列四个命题：①残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高；②甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好；③回归直线恒过点，且至少过一个样本点；④在线性回归分析中，样本相关系数r的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强.其中真命题的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型9 完善列联表（共4小题）（难点） 33．某学校开展阅读兴趣调查，随机采访男生、女生各人，每人从文学类书籍和科普类书籍中选择最喜欢的一类，喜欢文学类书籍的归为甲组，喜欢科普类书籍的归为乙组.调查发现：甲组成员共人，其中男生人. (1)根据以上数据，填空下述列联表： 甲组 乙组 合计 男生 女生 合计 (2)依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢文学类还是科普类书籍是否与性别有关； (3)现从调查的女生中，按分层抽样选出人，再从这人中随机抽取人赠送书签，记赠送书签的人在甲组中的人数为，求的分布列及数学期望. 参考公式：，. 参考数据： 34．某学校开展阅读兴趣调查，随机采访男生、女生各100人，得到下面列联表： 喜欢文学类书籍 喜欢科普类书籍 男生 30 70 女生 50 50 (1)估计该校男生和女生喜欢科普类书籍的概率分别是多少； (2)能否有的把握认为学生喜欢文学类书籍还是科普类书籍与性别有关？ 附：． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 35．某工厂为了提高产品的合格率，采取，两种制造工艺制造了一批产品，现对该种产品进行随机抽查，得到的2×2列联表如下表所示： 种制造工艺 种制造工艺 合计 合格 450 不合格 30 合计 500 500 (1)补全2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为产品是否合格与制造工艺有关？ (2)在不合格的样本产品中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8件，从这8件产品中随机抽取3件产品进行不合格原因检查，设这3件产品中来自A种制造工艺的有件，求的分布列及期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 36．长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，某校从高三年级选取了200名学生进行问卷调查，得到如下的列联表．已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步学生的概率为0.6． 性别 跑步 喜欢跑步 不喜欢跑步 总计 男生 80 女生 20 总计 (1)完成上面表格，判断能否有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关并说明理由？ (2)从上述不喜欢跑步的学生中用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8名学生，再从这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布列及数学期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 题型10 列联表分析（共4小题）（重点） 37．某新能源汽车厂商为对比两条生产线（A线：传统人工组装；B线：智能机器人组装）的整车质量情况，从两条生产线随机抽取400辆成品车进行质量检测，得到如下列联表： 整车质量情况 生产线 合格 不合格 合计 A线 20 200 B线 198 200 合计 378 22 400 (1)求a，d的值，并根据上表分别估计A线、B线生产的汽车为“合格”的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，分析整车质量是否与生产线类型有关? 附：. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 38．一次校内常规体检后，数学建模活动小组学生随机抽取了10名学生体重数据（单位：kg）：55，58，62，74，88，68，54，52，56，86. (1)求该组数据的极差和第25百分位数； (2)依据体检数据，求得这10名学生体重（单位：kg）关于身高（单位：cm）的回归方程为，已知这10名学生身高（单位：cm）的平均数为176.3，求的值（精确到0.1） (3)体重（kg）与身高（m）平方的比称为体重指标，体重指标不低于28.0称为肥胖，为了解该校学生肥胖是否与性别有关，从已获得数据中随机抽样得到了如下列联表. 男生 女生 总计 观察值 预期值 观察值 预期值 不肥胖 99 168 肥胖 总计 120 200 求表中的值.已知零假设为：肥胖与性别无关，计算男生肥胖人数的预期值（精确到0.1）. 39．某学校对高三学生作了一项调查发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张． (1)根据以上数据，作出考前心情与性格的列联表，并求性格外向的学生中考前心情紧张的概率． (2)作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类型是否有关系． 40．工信部发布：2026年1月1日起，购买新能源车需缴纳一半的购置税.某车辆爱好协会为了了解协会成员的购车意愿与减免购置税是否相关，从协会中随机抽取100名成员进行调查，得到如下列联表： 减免购置税 不减免购置税 总计 购车意愿较强 75 购车意愿较弱 5 总计 40 100 (1)补全表中数据； (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为协会成员的购车意愿与减免购置税有关联？ 附：，其中. 0.010 0.001 6.635 10.828 题型11 等高条形图（共4小题）（常考点） 41．某中学的两位学生A与B为研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，对该中学的高三学生进行了调查．A同学调查了所有高三学生，并整理得到等高堆积条形图，如图（一）；B同学从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，也整理得到列联表，如表（一）. 表（一）单位：人 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 14 7 21 男 8 11 19 合计 22 18 40 (1)请根据A同学的等高堆积条形图，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，如果结论是有关联，解释它们之间如何相互影响； (2)根据B同学的列联表，依据的独立性检验，该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，并解释所得结论的实际含义； （参考公式及数据：，临界值） (3)请比较（1）和（2）的统计结论是否一致，说明原因. 42．近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌汽车商随机调查了甲､乙两地各200名消费者，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如下图所示，经计算得到. 车型与地区 下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 下列说法正确的是（    ） A．在所调查的甲地购车者中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则新能源车主有8人 B．在所调查的乙地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 C．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 D．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域无关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 43．石墨烯发热膜在生产生活中应用广泛.从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有A材料、B材料可供选择，研究人员对附着在A材料、B材料上的石墨各做了100次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图. (1)根据等高堆积条形图，填写如下列联表，并依据的独立性检验，分析试验结果与材料是否有关； （单位：次） A材料 B材料 合计 试验成功 试验失败 合计 (2)制作1吨石墨烯发热膜有甲、乙两个环节，其中甲环节生产合格的概率为，乙环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立.若生产不合格还需进行修复，甲环节的修复费用为3万元，乙环节修复费用均为2万元.设随机变量为制作石墨烯发热膜所产生的修复费用，求的分布列及数学期望. 附：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 44．为考查、两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（    ） A．药物的预防效果优于药物的预防效果 B．药物的预防效果优于药物的预防效果 C．药物、对该疾病均有显著的预防效果 D．药物、对该疾病均没有预防效果 题型12 卡方的计算（共4小题）（常考点） 45．中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体系，涵盖运载火箭､载人航天､深空探测等多个领域.为了了解不同学历人群对航天工程的关注情况，某社区随机调查了200位社区居民，得到如下数据（单位：人）： 学历 关注 不关注 合计 本科及以上 80 20 100 本科以下 60 40 100 合计 140 60 200 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为对航天工程的关注情况与学历有关？ (2)现为了激发社区居民对航天工程的关注，该社区举办了一次航天知识闯关比赛，规则如下： 第一关：设置3道必答题，参与者需至少答对2道才能参与下一关答题，否则淘汰； 第二关：设置3道题，前2道题每答对1道奖励200元，答错即结束答题，奖励清零，2道题都答对可选择放弃答题，领取奖励，也可以选择继续答题（等可能的选择），第3道题答对奖励400元，答错前2道奖励减半，答题结束.已知甲参与闯关比赛，第一关答题的3道题每道题答对的概率均为，第二关答题的前2道题每道题答对的概率均为，第3道题答对的概率为，各题答对与否相互独立. （i）求甲能进入第二关答题的概率； （ii）已知甲进入第二关答题，从期望的角度，帮助甲分析是否挑战第3道题，使获取的奖金更多. 参考公式及参考数据：. 0.05 0.01 3.841 6.635 46．某商场为了解顾客购买手机的意愿，随机调查了位顾客购买手机的情况，得到数据如下表． 购买手机 购买无技术的手机 总计 男性顾客 女性顾客 总计 (1)根据表中数据，判断是否有的把握认为购买手机与顾客的性别有关？并说明理由； (2)从这位男性顾客中随机挑选位，求其中至少有位购买手机的概率（精确到）； (3)为促进手机的销量，该商场为购买手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励元、元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖．每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立．记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望． 参考公式及数据：①，其中． ②，，，． 47．近几年来，人工智能（简称）逐渐兴起，并在各行各业中都得到较广泛的应用，某校随机抽查了100名教师，调查他们使用技术与年龄的情况，收集整理数据后得到如右列联表． 年级 使用技术情况 合计 经常使用 不经常使用 超过40周岁 20 30 50 不超过40周岁 40 10 50 合计 60 40 100 (1)依据小概率值的独立性检验，分析是否经常使用技术与年龄有无关联？ (2)现从样本中经常使用技术的教师中，按是否超过40岁分层，利用分层随机抽样的方法抽取6人进行调查，并从被抽取的6人中随机抽取3人进行长期跟踪研究，记这3人中年龄不超过40周岁的教师人数为，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 48．我国清洁能源产业领跑全球，风电、光伏等发电规模稳居世界首位．如今我国率先开辟全新发展赛道，依托本土充沛低价绿电搭建智算中心，将电能转化为算力进而生成AI Token完成对外输出．我国自主生成的AI Token综合成本仅为欧美市场的，国产自研AI模型在全球算力服务时长中占比超，行业优势十分突出．为研究AI技术普及前后，电力企业依托Token出海模式的收益变化是否存在关联，调研人员抽取家电力企业开展统计，得到如下列联表： 收益显著提升 收益未明显提升 合计 AI技术推出前 AI技术推出后 合计 (1)根据小概率值的独立性检验，分析电力企业收益提升情况与AI技术推出是否有关联； (2)利用分层抽样从全部家企业中抽取家企业，再从抽取到的企业里随机选取家，设这家企业中收益显著提升的企业数量为，求的分布列与数学期望． 附，其中， 题型13 非线性类对勾系列（共4小题） 49．现有抽球游戏规则如下：盒子中初始装有2个白球和1个黑球，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球的颜色相同．则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止游戏.否则，在盒子中再放入一个白球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． 1 2 3 4 5 516 209 127 98 50 (1)某人进行该抽球游戏时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止游戏，记其进行抽球游戏的轮数为随机变量，求的分布列和期望； (2)有数学爱好者统计了近1000名玩家进行该抽球游戏的数据，记表示成功时抽球游戏的轮数，表示对应的人数，部分统计数据如表，经计算发现，非线性回归模型的拟合效果优于线性回归模型，求出关于的非线性回归方程（结果保留整数）． 附：回归方程系数：，． 参考数据：设，，，，，，． 50．某农业技术站研究化肥施用量对大棚青菜产量的影响.在一定范围内，施肥量（单位kg/亩）越大，青菜产量（单位kg/亩）越高.实验测得具体数据如下表： 施肥量 2 3 4 5 6 青菜产量 4200 4300 4350 4380 4400 根据散点数据特征，研究人员分析得出产量与施肥量近似满足的关系，取，经计算可知，，，， (1)请根据上述数据，计算得出产量y关于施肥量x的回归方程，并结合常识描述的实际意义，为简化计算，计算过程中、均精确到个位数. (2)若青菜的收购价格为2元/kg，化肥的采购价格为12元/kg，请从利润最大的角度给出大棚的最优施肥量. 参考公式：，. 51．为了促进锂电产业发展，市创新研究院课题组对企业研发经费的投入和企业当年的销售收入的关系进行了研究，他们收集了上一年不同企业销售收入y（单位：10万元）与一定范围内的研发经费x（单位：10万元）的数据，根据收集的13组观测数据，得到如下的散点图，分别利用或建立y关于x的回归方程，令，得到如下数据，且与的相关系数分别为，，且. 10.15 108.40 3.04 0.16 14.00 11.67 0.21 21.22 (1)用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适； (2)根据（1）的结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； (3)已知企业的利润z满足，试根据回归方程求出企业利润的最大值. 参考数据和公式：，，，对于一组数据（，2，3，…，n），其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，相关系数. 52．为研究某种图书每册的成本费元与印刷数册的关系，收集了一些数据并作了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值． 表中，． (1)根据散点图判断：与哪一个更适宜作为每册成本费元与印刷数册的回归方程类型？只要求给出判断，不必说明理由 (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； (3)若每册书定价为元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于元？假设能够全部售出 （附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，） 题型14 非线性类根式系列（共4小题）（重点） 53．已知与及与的成对数据如下表，且关于的回归直线方程为． 0.1 0.4 0.9 1.6 2.5 3.6 4.9 1 4 6 8 9 10 1 4 9 16 25 36 49 0 4 7 9 11 12 13 (1)求关于的回归直线方程； (2)由散点图发现可以用函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（的值精确到0.01）； (3)又得到一组新数据，根据这对数据残差的绝对值的大小判断（1）（2）两个方程哪个拟合效果更好． 参考数据：． 参考公式：对于一组数据，其回归直线方程为，其中． 54．若需要刻画预报变量和解释变量的相关关系，且从已知数据中知道预报变量随着解释变量的增大而减小，并且随着解释变量的增大，预报变量大致趋于一个确定的值，为拟合和之间的关系，应使用以下回归方程中的（为自然对数的底数）（   ） A． B． C． D． 55．统计显示，我国在线直播生活购物用户规模近几年保持高速增长态势，下表为年—年我国在线直播生活购物用户规模（单位：亿人），其中年—年对应的代码依次为—. 年份代码 市场规模 ，，，其中 参考公式：对于一组数据、、、，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. (1)由上表数据可知，若用函数模型拟合与的关系，请估计年我国在线直播生活购物用户的规模（结果精确到）； (2)已知我国在线直播生活购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率，现从我国在线直播购物用户中随机抽取人，记这人中选择在品牌官方直播间购物的人数为，若，求的数学期望和方差. 56．人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策，某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如下表. 月份 1 2 3 4 5 销售量（万件） 4.9 5.8 6.8 8.3 10.2 该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了关于的回归模型：. (1)根据所给数据与回归模型，求关于的回归方程（的值精确到0.1）； (2)已知该公司的月利润（单位：万元）与，的关系为，根据（1）的结果，问该公司哪一个月的月利润预报值最大？ 题型15 非线性类指对系列（共4小题）（难点） 57．已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关，为了确定下一个时段鸡舍的控制温度，某企业需要了解鸡舍的温度（单位），对某种鸡的时段产蛋量（单位： ）和时段投入成本（单位：万元）的影响，为此，该企业收集了7个鸡舍的时段控制温度和产蛋量的数据，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．    17.40 82.30 3.6 140 9.7 2935.1 35.0 其中， ． (1)根据散点图判断， 与哪一个更适宜作为该种鸡的时段产蛋量关于鸡舍时段控制温度的回归方程类型？（给判断即可，不必说明理由） (2)若用作为回归方程模型，根据表中数据，建立关于的回归方程； (3)已知时段投入成本与的关系为，当时段控制温度为时，鸡的时段产蛋量及时段投入成本的预报值分别是多少？ 附：①对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， ② 0.08 0.47 2.72 20.09 1096.63 58．肥胖不仅影响形体美，而且给生活带来不便，此外还有关节软组织损伤､心脏病､糖尿病､脂肪肝､痛风等危害.小王通过运动和节食进行减肥，并将时间x（单位：周）和体重（单位：）记录制作如下统计表： 1 2 3 4 6 8 90.1 87.6 87.2 86.2 84.2 84.3 (1)若和满足经验回归模型，求； (2)求该模型的决定系数，并判断该经验回归方程是否有价值（认为有价值）； (3)当某组数据残差的绝对值不超过0.3时，称该组数据为“身材有效管理数据”，现从这六组数据中任意抽取两组，设抽取的“身材有效管理数据”的个数为，求的分布列和期望. 附：经验回归方程中，， 参考数据：. 59．2024海峡两岸各民族欢度“三月三”暨福籽同心爱中华·福建省第十一届“三月三”畲族文化节活动在宁德隆重开幕．海峡两岸各民族同胞齐聚于此，与当地群众共同欢庆“三月三”，畅叙两岸情．在活动现场，为了解不同时段的入口游客人流量，从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，以后每过一个小时反馈一次．指挥中心统计了前5次的数据，其中，为第次入口人流量数据（单位：百人），由此得到关于的回归方程，，已知，根据回归方程（参考数据：，），可预测下午4点时入口游客的人流量为（    ） A．9.6 B．11.0 C．11.4 D．12.0 60．放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数与该机场飞往A地航班放行准点率（）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值. 2017.5 80.4 1.5 40703145.0 1621254.2 27.7 1226.8 其中，. (1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率； (2)已知2023年该机场飞往A地､B地和其他地区的航班比例分别为0.2､0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含A､B两地）航班放行准点率的估计值分别为和，试解决以下问题： （i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； （ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地的概率.（保留3位小数） 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 参考数据：，，. 题型16 独立性检验应用（共4小题） 61．为了比较甲，乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取了100名学生，通过测验得到了如下数据：甲校50名学生中有10名数学成绩优秀，乙校50名学生中有15名数学成绩优秀． (1)请将列联表补充完整； 学校 数学成绩 合计 优秀 不优秀 甲校 10 乙校 15 合计 100 (2)依据小概率值的独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异． (3)用甲校数学成绩样本的优秀率作为甲校数学成绩总体的优秀率，估计甲校的3名学生中恰好有两名学生数学成绩优秀的概率． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 62．为推动农村可持续生态农业的发展，广东某农场用五年的时间按照有机标准新改良了100亩土地，预计在改良后的土地上种植有机水果和其他作物，并根据市场需求确定有机水果的种植面积．农场经营采用的是CSA农业经营模式即社区支持农业，农场从CSA会员中随机抽取了南方、北方会员共200人，调查数据如下． 喜欢有机水果 不喜欢有机水果 南方会员 80 40 北方会员 40 40 (1)视频率为概率，分别估计南方、北方会员中喜欢有机水果的概率； (2)（ⅰ）判断是否有的把握认为是否喜欢有机水果与会员的区域有关？ （ⅱ）已知农场CSA会员有2000人，其中南方会员有1200人，若喜欢有机水果的人不低于1100人，则可种植50亩左右的有机水果，否则只能种植30亩左右，试问该农场应怎样安排有机水果的种植面积． 附：，． 0.05 0.025 0.005 3.841 5.024 7.879 63．文旅部门统计了某网红景点在2025年3月至7月的旅游收入（单位：万），得到以下数据： 月份 3 4 5 6 7 旅游收入 10 12 11 12 20 (1)根据表中所给数据，用相关系数加以判断，是否可用线性回归模型拟合与的关系？若可以，求出关于之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由； (2)为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了200名游客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，能否在犯错误的概率不超过0.001的情况下认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”． 喜欢 不喜欢 总计 男 100 女 60 总计 110 参考公式：相关系数， 参考数据：．线性回归方程：，其中，． ． 临界值表： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 64．为了研究性别与对乡村音乐态度（喜欢和不喜欢两种态度）的关系，运用列联表进行独立性检验，经计算，则所得到的统计学结论是认为性别与喜欢乡村音乐有关系的把握至少为（   ） 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 A． B． C． D． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 线性回归·分析·方程·独立性检验·统计 题型1 判断两个变量的相关关系 题型9 完善列联表（难点） 题型2 相关系数的计算 题型10 列联表分析（重点） 题型3 用回归直线方程对总体进行估计（重点） 题型11 等高条形图（常考点） 题型4计算样本的中心点（重点） 题型12 卡方的计算（常考点） 题型5 根据回归方程进行数据估计（常考点） 题型13 非线性类对勾系列 题型6 求回归直线方程 题型14 非线性类根式系列（重点） 题型7 残差的计算 题型15 非线性类指对系列（难点） 题型8 决定系数的计算（重点） 题型16 独立性检验应用 题型1 判断两个变量的相关关系（共4小题） 1．在下列两个量之间的关系中，属于相关关系的是（    ） A．匀速直线运动中时间与位移的关系 B．学生的成绩和身高 C．一块农田的小麦产量与施肥量 D．正n边形的边数与内角度数之和 【答案】C 【详解】A、D是函数关系；B是不相关关系，也不是函数关系； C是相关关系，一般来说，农田的施肥量越大，小麦产量一般会越多. 2．某校随机抽取50名学生的身高与体重的散点图如下所示，则下列说法错误的是（   ） A．身高越高，体重越重； B．身高与体重同向变动的倾向； C．身高与体重之间有明显的相关性； D．身高与体重成正相关 【答案】A 【详解】对于A，由于身高比较高的人，其体重可能大，也可能小，则选项A不正确； 对于B，由散点图知，身高增加时，体重也呈现增加的趋势，有同向变动的倾向，B正确； 对于C，身高和体重有明显的相关性，C正确； 对于D，身高增加时，体重也呈现增加的趋势，所以身高与体重呈正相关，D正确. 3．下列变量之间的关系不是相关关系的是（   ） A．已知二次函数，其中是常数，取为自变量，因变量为这个函数对应方程的判别式 B．光照时间和果树产量 C．降雪量和交通事故的发生率 D．土地施用肥料量和粮食产量 【答案】A 【分析】根据相关关系的定义可得. 【详解】选项B，C，D中的两个变量都具有相关性，且都是一种不确定的关系，是相关关系. 而A中判别式和变量是一种确定的表达式，是一种函数关系，即一种确定的关系，所以不是相关关系. 故选：A 4．（多选）（多选）在下列各变量之间的关系中，属于相关关系的是（    ） A．汽车的重量和百公里耗油量 B．正n边形的边数与内角度数之和 C．一块农田的小麦产量与施肥量 D．家庭的经济条件与学生的学习成绩 【答案】AC 【分析】根据相关关系与函数关系的概念，可得答案. 【详解】汽车的重量越大，百公里耗油量会越多．一般来说，农田的施肥量越大，小麦产量一般会越多． 可得A、C是相关关系．B是函数关系．D中家庭的经济条件与学生的学习成绩之间不是相关关系，也不是函数关系． 故选：AC. 题型2 相关系数的计算（共4小题） 5．某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积/亩 1 2 3 4 5 管理时间/月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示： 单位：人 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 150 50 女性村民 50 50 (1)求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； (2)以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列． 参考公式：；参考数据：． 【答案】(1)0.93，管理时间与土地使用面积线性相关 (2)分布列见解析 【分析】（1）根据表格中的数据，结合相关系数的计算公式，求得的值，即可得出结论； （2）根据题意，得到变量的所有可能取值，利用重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解． 【详解】（1）由题意得，，， 所以， 可得，， 则， 所以管理时间与土地使用面积线性相关． （2）由题意，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为， 故，， ，． 故的分布列为 0 1 2 3 6．具有相关关系的变量x与y的一组样本数据如下，若已求得线性回归方程为，则去掉其中某对样本数据，样本相关系数r不会发生改变的是（   ） （参考公式：相关系数 x 1 2 3 4 5 y 6 10 11 12 16 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得样本中心点，再结合相关系数公式判断即可. 【详解】由题知，， 所以数据的样本中心点为 所以去掉其中样本数据，样本相关系数r不会发生改变. 7．某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积/亩 1 2 3 4 5 管理时间月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示： 单位：人 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 150 50 女性村民 50 50 (1)求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； (2)以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列及数学期望． 参考公式：；参考数据：． 【答案】(1)，管理时间与土地使用面积线性相关 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据表格中的数据，结合相关系数的计算公式，求得的值，即可得出结论； （2）根据题意，得到变量的所有可能取值，利用重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【详解】（1）由题意得，， 所以， 可得， 则， 所以管理时间与土地使用面积线性相关. （2）由题意，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为， 故， 故的分布列为 0 1 2 3 所以数学期望. 8．粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展.我国于2020年打赢了脱贫攻坚战，其中小麦发挥了重大作用.以2020年为第1年，我国连续5年小麦产量如下： 年份 1 2 3 4 5 产量/千万吨 13.4 13.7 13.8 13.6 14.0 现规定表示第i年的年份，表示第i年的产量，经计算得，，. (1)求样本（，2，…，5）的相关系数（精确到0.01）； (2)现从这5年中随机抽取2年，记这2年中共有X年的小麦产量不低于13.7千万吨，求X的分布列与期望. 附：样本相关系数，. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）先求出平均值，再应用已知数据结合相关系数公式计算求解； （2）根据超几何分布求出概率，再写出分布列应用数学期望公式计算即可. 【详解】（1），， 故样本相关系数. （2）X的取值可以为0，1，2， 则， ， ， 于是X的分布列为 X 0 1 2 P 故. 题型3 用回归直线方程对总体进行估计（共4小题）（重点） 9．（多选）某公司统计了去年1月份到5月份某种产品的销售额如下表： 月份 1 2 3 4 5 销售额万元 1.8 2.2 2.8 3.1 根据表中数据，通过最小二乘法求得的经验回归方程为，则（   ） A．变量与正相关 B． C．样本数据的下四分位数为1.8 D．当时，的预测值为4.1万元 【答案】ABD 【分析】根据回归系数，可判定A正确；根据回归直线方程经过样本中心，列出方程，求得的值，可判定B正确；根据百分位数的计算方法，可判定C错误；根据回归直线方程，求得预测值，可判定D正确. 【详解】对于A，由回归直线方程，可得， 所以变量与正相关，所以A正确； 对于B，因为回归直线方程经过样本中心， 因为，所以， 又由，解得，所以B正确； 对于C，将样本数据的数据排序为：， 由，则样本数据的下四分位数为第个数据，所以C不正确； 对于D，当时，，所以的预测值为万元，所以D正确. 10．某种产品的广告费用支出万元与销售额万元之间有如下的对应数据： 1 3 5 7 9 3 10 16 21 45 (1)根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程； (2)据此估计广告费用为17万元时，所得的销售收入． （参考数值：） 【答案】(1) (2)76万元 【分析】（1）由表格中的统计数据，结合最小二乘法，即可求得回归直线方程； （2）由（1）知：回归直线方程为，令，求得的预报值，即可得到答案. 【详解】（1）由表格中的统计数据可得， 因为，所以， 则， 所以关于的回归直线方程为． （2）由（1）知回归直线方程为， 当时，预报的值为， 所以当广告费用为万元时，所得的销售收入约为万元． 11．某乡村合作社优化农产品种植结构，持续扩大蔬菜种植面积，统计该合作社近5年的蔬菜种植面积（单位：亩）依次为8，10，13，16，20，且这5年的总利润为142.5万元，由这5年的数据求得年利润（单位：万元）与满足线性回归方程，则当蔬菜种植面积增加到30亩时年利润的预测值为（    ） A．60万元 B．65万元 C．70万元 D．75万元 【答案】C 【详解】由已知得，， 因为点在回归直线上，所以，得， 即, 所以当蔬菜种植面积增加到30亩时年利润的预测值为万元． 12．某公司于2025年1月推出了一款产品，现对产品上市后经过的时间（单位：月）和市场占有率进行统计分析，得到如下表数据： 1 2 3 4 5 0.004 0.007 0.012 0.017 0.020 由表中数据求得经验回归方程为，则当时，市场占有率约为（    ） A．0.029 B．0.031 C．0.033 D．0.035 【答案】C 【分析】由给定的数据求出样本点的中心，进而求出，即可作答. 【详解】依题意：， 回归直线过样本点的中心， 所以，解得，即经验回归方程为， 当时，， 所以当时，市场占有率约为0.033. 题型4计算样本的中心点（共4小题）（重点） 13．为了更好地适应市场需求，某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 参考公式：，．则下列选项不正确的是（ ） A． B．由散点图知变量和正相关 C．用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 D．如果研发投入亿元，估计产品收益为亿元 【答案】C 【分析】根据条件求出，，即可求解判断选项A；画出散点图即可判断选项B；根据公式求出回归方程即可判断选项C；结合选项C，将代入计算即可判断选项D． 【详解】对于A，依题意得，，故A正确； 对于B，由图表可得散点图如下，由散点图知变量和正相关，故B正确；    对于C，由，，，，所以，故C错误； 对于D，结合选项C，当时，，故D正确． 14．（多选）下列命题中，真命题的是（   ） A．一个样本的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方差变小 B．数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点 C．若随机变量服从正态分布，，则 D．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； 【答案】BD 【分析】选项A：利用平均数公式计算新样本平均数，再利用方差公式分析方差变化；选项B：结合回归直线必过样本中心点，先计算原样本的中心点，再去除异常点后计算新的样本中心点，验证是否为给定的点；选项C：结合正态分布关于均值对称，利用对称性求出和，再计算；选项D：将数据排序，再根据百分位数的计算规则确定位置，进而找到对应数值. 【详解】选项A，设原样本有个数据，原平均数，总和为； 添加数据后，新总和为，新平均数，平均数不变. 当原方差为0时，每个数据为3，由新增数据也为3， 可知新方差； 当原方差不为0时，原方差， 新方差，方差变小，错误. 选项B，原回归直线必过原样本中心点，代入， 得原. 原10个点总，总；去掉异常点后， 新样本中心点：，，即新中心点为， 回归直线必过样本中心点，正确. 选项C，，正态曲线对称轴为，， 则，由对称性得， 因此： ，错误. 选项D，将数据从小到大排序：，共个数据， 计算，不是整数，根据百分位数计算规则， 向上取整得第个数据为第70百分位数，第6个数据，正确. 15．某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数（人）的关系，该同学记录了5天的数据： 5 6 8 9 12 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列选项错误的是（   ） A．样本中心点为 B． C．时，残差为 D．相关系数 【答案】B 【分析】由回归直线必过样本中心可判断A项，代入样本中心点即可判断B，由残差公式可判断C项，由线性回归方程的斜率即可相关系数正负可判断D项. 【详解】对于A项，因为，， 所以样本中心点为，故A项正确； 对于B项，由回归直线必过样本中心可得：，解得：，故B项不正确； 对于C项，由B项知，，令，则， 所以残差为，故C项正确； 对于D项，经验回归方程中，斜率，说明与正相关， 故相关系数，故D项正确. 16．（多选）已知某软件公司开发了一款新型智能解题软件，现将该软件上市后的月份以及当月获得的利润（单位：万元）统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则（     ） 月份 1 2 3 4 5 利润 6 7 9 A． B．可以估计每增加1个月份，月利润平均提高万元 C．可以估计上市后的第7个月的利润为万元 D．上市后的第4个月的利润的残差为万元 【答案】AC 【详解】由统计表可知： ，， 则回归直线过样本中心点，代入回归方程得， ，解得，故A正确； 回归方程为，斜率为，则每增加1个月份，月利润平均提高万元， 故B错误； 时，万元，故C正确； 由统计表知，第4个月，预测值， 残差万元，故D错误． 题型5 根据回归方程进行数据估计（共4小题）（常考点） 17．近年来，我国电动汽车产业发展迅猛，某品牌汽车市场也异常火爆，销售量逐年上升．现统计某汽车专卖店5月份前5天每天电动汽车的实际销量，结果如下表所示． 日期编号 1 2 3 4 5 销量部 10 15 20 30 35 与有较强的线性相关关系，且线性回归方程为，预测当时，（    ） A．67.5 B．68 C．78.5 D．69 【答案】A 【分析】求出，根据回归直线方程必过样本中心点求出参数，最后代入计算可得. 【详解】依题意，又回归直线方程过点， 所以，解得. 所以预测当时，. 18．2026年春节期间，电影《飞驰人生3》、《镖人》持续火爆，现对电影《镖人》从正月初一到正月初六的单日票房统计如下表：（由于统计原因，本题的数据与实际情形可能存在误差，以题目给出的数据为准）． 日期 初一 初二 初三 初四 初五 初六 上映第天 1 2 3 4 5 6 票房（单位：亿元） 0.9 1.2 1.3 1.5 1.3 1.6 (1)根据数据建立单日票房关于上映天数的线性回归方程，并预测第七日的票房收入（计算结果均保留一位小数）； (2)在某天放映结束后，随机抽取6名观众，发现其中有4人看过《镖人》，3人看过《飞驰人生3》，只有1人两部电影均没看过．现从这6人中随机抽取3人，记为抽取的3人中两部电影都看过的人数，求的分布列及数学期望． 参考数据：，公式： 【答案】(1)，亿元 (2) 0 1 2 【分析】（1）先计算样本中心点，再用公式求出回归系数、截距，得到线性回归方程后代入预测票房； （2）先算出同时看过两部电影的人数，确定的所有可能取值，再用超几何分布公式计算各取值的概率，列出分布列后按定义求数学期望. 【详解】（1）因为，， ， 所以， ， 所以线性回归方程为. 当时，亿元，因此预测第七日的票房收入为1.6亿元. （2）由题意可知，6人中同时看过两部电影的只有 人， 所以的可能取值为，，，则，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 则． 19．某模具厂新接一批新模型制作的订单，为给订购方回复出货时间，需确定制作该批模型所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下： 制作模型数（个） 10 20 30 40 50 花费时间（分钟） 64 69 75 82 90 （注：回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，参考数据：，）. (1)请根据以上数据，求关于的线性回归方程； (2)若要制作60个这样的模型，请根据（1）中所求的回归方程预测所花费的时间. 【答案】(1) (2)95.5分钟 【分析】（1）计算平均值，再利用回归方程公式计算得到答案. （2）将代入回归方程计算得到答案. 【详解】（1）由数据得，， 因为，，所以， ，所以关于的线性回归方程为. （2）当时，（分钟）， 因此可以预测制作60个这种模型需要花费95.5分钟. 20．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表，根据表中数据，利用最小二乘法得到经验回归方程，据此模型预测当x=20时，y的估计值为（     ） x 7 9 11 13 y 2 3 5 6 A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【详解】由题意可得：， 因经验回归方程经过样本中心点,故，解得， 所以经验回归方程为， 当时，． 题型6 求回归直线方程（共4小题） 21．某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，天的人园游客量统计数据如下： 活动开展第天 人园游客量（百人） (1)由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数（保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱； (2)求经验回归方程以及表中第个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差） (3)该景区在活动期间设置个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客人园时选择通道①、②、③的概率依次为、、；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率. 附：参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，； 参考数据：，，，. 【答案】(1)，相关程度很强 (2)，残差为百人 (3) 【分析】（1）求出、的值，利用公式求出相关系数的值，即可得出结论； （2）利用最小二乘法公式求出、的值，可得出回归直线方程，将代入回归直线方程，结合残差的概念求解即可； （3）记从通道入园的事件为，从通道离园的事件为，结合全概率公式求解即可. 【详解】（1）由表格中的数据可得，， 则， 由相关系数，可以推断入园游客量与活动开展第天相关程度很强. （2），， 故经验回归方程为. 对于表中第个观测，入园游客量为（百人）， 预测值为（百人），残差为（百人） （3）记从通道入园的事件为，从通道离园的事件为， 由题意可得，，，， . 22．高尔顿在研究人类身高遗传问题时，首次引入“回归”一词．现随机调查了5对父子的身高，统计数据如下表所示． 编号 父亲身高（） 174 170 172 168 176 儿子成年后身高（） 176 172 174 170 173 (1)已知变量与线性相关，求出关于的回归直线方程； (2)现从这5名儿子中随机抽取2名对其身高进行分析，求抽到的2个数据的残差之和恰好为0的概率． 参考公式：回归直线；，． 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)根据表中数据，利用最小二乘法求回归直线方程. (2)先计算出每个数据的残差，再利用古典概型求解. 【详解】（1）, , , 所以关于的回归直线方程为. （2）先计算每个数据的残差： ，； ，； ，； ，； ，； 从5名儿子中随机抽取2名有种， 残差之和为0的事件有共2种， 所以抽到的2个数据的残差之和恰好为0的概率. 23．已知，，则___________． 【答案】 【分析】本题考查线性回归方程，代入公式即可求解. 【详解】由于， 所以 所以， 又 所以 ,故. 24．某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表： 价格（元） 日需求量（） (1)求关于的线性回归方程； (2)利用（1）中的回归方程，当价格元时，日需求量的预测值为多少？ 参考公式：线性回归方程，其中， 【答案】(1) (2)预测值为 【分析】（1）求出、的值，利用最小二乘法公式求出、的值，即可得出回归直线方程； （2）将代入回归直线方程即可得解. 【详解】（1）由表格中的数据可得，， 由题意得， 且， 所以，， 故回归直线方程为. （2）将代入回归直线方程得， 当价格元时，日需求量的预测值为. 题型7 残差的计算（共4小题） 25．为了解高三年级学生参与“人工智能辅助学习”的频次（次/周）与数学模拟测试成绩（分）之间的关系，学校收集了一组成对数据，计算可得样本平均数，，通过数据分析求得经验回归方程为，下列关于这组数据的统计分析中，说法错误的是（     ） A．变量与呈正相关关系 B．经验回归直线必过样本中心点，且 C．若某学生每周参与辅助学习6次，其测试成绩为110分，则该样本点的残差为 D．若这组数据的残差平方和越小，则决定系数越小，说明经验回归模型的拟合效果越好 【答案】D 【详解】选项 A：回归方程中的系数为 ，所以变量与呈正相关关系，A正确. 选项 B：经验回归直线必过样本中心点 ， 将样本中心代入回归方程 进行验证， 可得 ，满足回归直线性质，B正确. 选项 C：当时，预测值 ， 残差 ，C 正确. 选项 D：残差平方和越小，决定系数越大，说明模型拟合效果越好，D 错误. 26．根据生物实验中的一组数据作出如图所示的散点图，并对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点，增加点后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比（    ） A．决定系数变小 B．残差平方和变小 C．相关系数变大 D．不变 【答案】A 【详解】增加点，从散点图中可以看出拟合效果变差； 决定系数越接近1，拟合效果越好，所以拟合效果变差后决定系数变小，故A正确； 残差平方和越小，拟合效果越好，所以残差平方和变大，故B错误； 越接近1，相关程度越强，拟合效果越好，由于两个变量成正相关，所以相关系数变小，故C错误； 增加点前的的平均数为，增加点后的的平均数为， 所以变大，故D错误. 27．（多选）关于线性回归的描述，下列表述正确的是（     ） A．回归直线一定经过样本中心点 B．相关系数越大，线性相关性越强 C．残差图的带状区域越窄，拟合效果越好 D．决定系数越接近，拟合效果越好 【答案】AC 【分析】根据回归直线的特点可判断A选项；根据相关系数与线性相关性的关系可判断B选项；根据残差与拟合效果的关系可判断C选项；根据决定系数与拟合效果的关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，回归直线一定经过样本中心点，故A正确； 对于B选项，相关系数越大，相关性越强，故B错误； 对于C选项，残差图的带状区域越窄，拟合效果越好，故C正确； 对于D选项，决定系数越接近，拟合效果越差，故D错误. 28．为调查某企业年利润Y（单位：万元）和它的年研究费用x（单位：万元）的相关性，收集了5组成对数据（x，y），如表所示： x 1 2 3 4 5 Y 50 60 70 80 100 由上表中数据求得Y关于x的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差为（ ） A．4 B．5 C．-4 D．-5 【答案】C 【详解】依题意，，， 由回归方程必过样本中心，得，解得， 所以在样本点处的残差为. 题型8 决定系数的计算（共4小题）（重点） 29．（多选）下列说法正确的是（ ） A．若随机变量，则 B．若事件，相互独立，则 C．若样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为5 D．用相关指数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 【答案】AD 【分析】利用正态曲线的对称性即可判断A，根据随机事件的概率加法公式与互斥事件的概率公式即可判断B；利用方差的性质即可判断C；根据相关指数与残差平方和之间的关系即可判断D. 【详解】对于A：因随机变量，则， 由正态曲线的对称性可得，故A正确； 对于B：由事件，相互独立，可知，对于随机事件，， 都有， 故仅当，互斥时，才有，故该结论不成立，即B错误； 对于C，由题意，，， 对于数据，，，， 其均值为， 其方差为，故C错误； 对于D，相关指数越接近1，值越大，残差平方和接近0，值越小， 则该回归模型的拟合效果越好，故D正确. 30．（多选）下列命题正确的是（   ） A．线性回归直线必然过样本中心点 B．在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数的值越大，说明拟合的效果越好 C．已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数r越接近于1 D．正态曲线当一定时，越小，这条曲线越“瘦高”；越大，正态曲线越“矮胖” 【答案】ABD 【分析】直接利用线性回归直线以及决定系数、相关系数、正态分布曲线的特点，对选项逐一判断即可. 【详解】对于A，线性回归直线必然经过样本中心点，这是线性回归的基本性质，故A正确； 对于B，决定系数是衡量回归模型拟合效果的重要指标，其值越大（越接近），说明模型解释因变量变异的能力越强，即拟合效果越好，故B正确； 对于C，相关系数的绝对值越接近，表示两个变量的线性相关性越强，故C错误； 对于D，正态分布中，当固定时，越小，曲线越“瘦高”，数据越集中；越大，曲线越“矮胖”，数据越分散；故D正确. 31．（多选）为研究某城市二手房销售价格与建筑面积的关系，甲房产研究机构随机调查了80套该城市二手房的建筑面积（单位：平方米）和销售价格y（单位：万元）的数据，已知其中有一套房源的数据为点，且，根据数据求得的线性经验回归方程为，该线性回归方程对应的相关系数为r，对应的决定系数，则下列结论正确的是（    ） A． B．数据点P对应的残差的绝对值为5 C．该样本中二手房的平均建筑面积为95平方米 D．乙房产研究机构也对这组数据进行处理，得到非线性经验回归方程，其决定系数为，则甲机构选取的模型拟合效果更好 【答案】BCD 【分析】A选项，相关系数的正负决定正负相关，可根据线性回归方程的正负进行判断； B选项，根据数据点与预测值的差判断残差； C选项，可利用计算，代入线性回归方程计算平均建筑面积； D选项，决定系数越接近1，拟合效果越好，比较两个决定系数大小判断拟合效果即可． 【详解】A选项，因为，故房屋的建筑面积和销售价格y呈正相关，相关系数为，A错误； B选项，代入，可得的预测值：，残差为：，故B正确； C选项，，因为线性回归方程恒过点，故， 解得：，C正确； D选项，决定系数越接近1，拟合效果越好，因为，故甲机构选取的模型拟合效果更好，D正确． 32．已知下列四个命题：①残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高；②甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好；③回归直线恒过点，且至少过一个样本点；④在线性回归分析中，样本相关系数r的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强.其中真命题的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】对于①，残差图中，残差点所在水平带状区域越窄，说明残差波动越小， 即回归方程的预报精确度越高，残差点所在水平带状区域越宽，说明残差波动越大， 即回归方程的预报精确度越低，错误； 对于②，决定系数越接近1，说明模型对数据的拟合效果越好，故模型甲的拟合效果更好，错误； 对于③，回归直线过样本数据，，，的中心点， 并不一定过样本数据中的某一个点，错误； 对于④，在线性回归分析中，样本相关系数r的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，正确. 题型9 完善列联表（共4小题）（难点） 33．某学校开展阅读兴趣调查，随机采访男生、女生各人，每人从文学类书籍和科普类书籍中选择最喜欢的一类，喜欢文学类书籍的归为甲组，喜欢科普类书籍的归为乙组.调查发现：甲组成员共人，其中男生人. (1)根据以上数据，填空下述列联表： 甲组 乙组 合计 男生 女生 合计 (2)依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢文学类还是科普类书籍是否与性别有关； (3)现从调查的女生中，按分层抽样选出人，再从这人中随机抽取人赠送书签，记赠送书签的人在甲组中的人数为，求的分布列及数学期望. 参考公式：，. 参考数据： 【答案】(1)答案见解析 (2)认为学生喜欢文学类还是科普类书籍与性别有关. (3) . 【详解】【小题1】根据题中数据可得列联表如下： 甲组 乙组 合计 男生 女生 合计 【小题2】零假设学生喜欢文学类还是科普类书籍与性别无关， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生喜欢文学类还是科普类书籍与性别有关. 【小题3】从调查的女生中，按分层抽样选出人，再从这人中随机抽取人赠送书签， 这人中，甲组的人数为人，乙组的人数为人， 由题意可知，随机变量的可能取值有、、， ，，， 所以随机变量的分布列如下表所示： 所以. 34．某学校开展阅读兴趣调查，随机采访男生、女生各100人，得到下面列联表： 喜欢文学类书籍 喜欢科普类书籍 男生 30 70 女生 50 50 (1)估计该校男生和女生喜欢科普类书籍的概率分别是多少； (2)能否有的把握认为学生喜欢文学类书籍还是科普类书籍与性别有关？ 附：． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)该校男生喜欢科普类书籍的概率为， 该校女生喜欢科普类书籍的概率为． (2)有的把握认为学生喜欢文学类书籍还是科普类书籍与性别有关． 【分析】（1）根据列联表，计算该校男生和女生喜欢科普类书籍的比例，依频率估计概率即可； （2）根据独立性检验思想，先计算出，再根据的概率判断、分析即可. 【详解】（1）该校男生喜欢科普类书籍的概率为， 该校女生喜欢科普类书籍的概率为． （2）将列联表补充完整，得 喜欢文学类书籍 喜欢科普类书籍 合计 男生 30 70 100 女生 50 50 100 合计 80 120 200 零假设：学生喜欢文学类书籍还是科普类书籍与性别无关 ， 所以根据小概率值判断，不成立，即有的把握认为学生喜欢文学类书籍还是科普类书籍与性别有关． 35．某工厂为了提高产品的合格率，采取，两种制造工艺制造了一批产品，现对该种产品进行随机抽查，得到的2×2列联表如下表所示： 种制造工艺 种制造工艺 合计 合格 450 不合格 30 合计 500 500 (1)补全2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为产品是否合格与制造工艺有关？ (2)在不合格的样本产品中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8件，从这8件产品中随机抽取3件产品进行不合格原因检查，设这3件产品中来自A种制造工艺的有件，求的分布列及期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) 种制造工艺 种制造工艺 合计 合格 470 450 920 不合格 30 50 80 合计 500 500 1000 认为产品是否合格与制造工艺有关． (2) 0 1 2 3 ． 【分析】（1）零假设为：产品是否合格与制造工艺无关，计算出，结合小概率值的独立性检验判断即可. （2）根据分层抽样确定的取值，求出对应的概率，结合分布列及期望计算即可. 【详解】（1）2×2列联表如下： 种制造工艺 种制造工艺 合计 合格 470 450 920 不合格 30 50 80 合计 500 500 1000 零假设为：产品是否合格与制造工艺无关， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为产品是否合格与制造工艺有关． （2）在不合格的样本产品中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8件， 其中种制造工艺有（件），种制造工艺有（件）． 由题意，得X的取值可以是0，1，2，3， 则，，，． 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以． 36．长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，某校从高三年级选取了200名学生进行问卷调查，得到如下的列联表．已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步学生的概率为0.6． 性别 跑步 喜欢跑步 不喜欢跑步 总计 男生 80 女生 20 总计 (1)完成上面表格，判断能否有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关并说明理由？ (2)从上述不喜欢跑步的学生中用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8名学生，再从这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布列及数学期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) 补全列联表见解析，没有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关 (2) 分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）先根据抽取到喜欢跑步学生的概率求出对应总人数，补全2×2列联表，计算卡方统计量与临界值比较判断相关性； （2）先按分层抽样比例计算抽取的8人中男女生人数，再依据超几何分布求解X的分布列和数学期望. 【详解】（1）由题意得，200名学生中喜欢跑步的总人数为， 不喜欢跑步的总人数为， 补全2×2列联表如下： 性别 喜欢跑步 不喜欢跑步 总计 男生 80 60 140 女生 40 20 60 总计 120 80 200 计算卡方： ， 因为 （90%把握对应的临界值）， 因此没有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关. （2）不喜欢跑步的学生中，男生60人、女生20人，比例为， 按比例分层抽取8人，因此抽取男生6人、女生2人， 表示抽取3人中女生的人数，则的可能取值为， ，，， 因此的分布列为： 数学期望： . 题型10 列联表分析（共4小题）（重点） 37．某新能源汽车厂商为对比两条生产线（A线：传统人工组装；B线：智能机器人组装）的整车质量情况，从两条生产线随机抽取400辆成品车进行质量检测，得到如下列联表： 整车质量情况 生产线 合格 不合格 合计 A线 20 200 B线 198 200 合计 378 22 400 (1)求a，d的值，并根据上表分别估计A线、B线生产的汽车为“合格”的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，分析整车质量是否与生产线类型有关? 附：. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1).A线生产的汽车为“合格”的概率约为，B线生产的汽车为“合格”的概率约为. (2)有关 【分析】（1）由列联表计算可得；由合格品所占的比例，可估计A线、B线生产的汽车为“合格”的概率； （2）根据独立性检验的基本思想，求出的观测值，再与临界值比较可得结论. 【详解】（1）由列联表可得：，解得. 所以A线生产的汽车为“合格”的概率约为，B线生产的汽车为“合格”的概率约为. （2）零假设：整车质量与生产线类型没有关系. 因为. 所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即整车质量与生产线类型有关. 38．一次校内常规体检后，数学建模活动小组学生随机抽取了10名学生体重数据（单位：kg）：55，58，62，74，88，68，54，52，56，86. (1)求该组数据的极差和第25百分位数； (2)依据体检数据，求得这10名学生体重（单位：kg）关于身高（单位：cm）的回归方程为，已知这10名学生身高（单位：cm）的平均数为176.3，求的值（精确到0.1） (3)体重（kg）与身高（m）平方的比称为体重指标，体重指标不低于28.0称为肥胖，为了解该校学生肥胖是否与性别有关，从已获得数据中随机抽样得到了如下列联表. 男生 女生 总计 观察值 预期值 观察值 预期值 不肥胖 99 168 肥胖 总计 120 200 求表中的值.已知零假设为：肥胖与性别无关，计算男生肥胖人数的预期值（精确到0.1）. 【答案】(1)36；55 (2) (3)； 【分析】（1）先将数据从小到大排列，进而最大值减最小值可得极差，利用求百分位数步骤可得第25百分位数； （2）先求，将代入回归方程可求； （3）根据列联表的性质可得，因肥胖与性别无关，故. 【详解】（1）将数据从小到大排列：52，54，55，56，58，62，68，74，86，88， 故极差， 因不为整数，故第25百分位数是第三个数为55. （2）， 因回归方程为过样本中心点，故， 得 （3）由列联表的性质，女生不肥胖人数为，女生人数总计， 所以， 男生肥胖的预期值. 39．某学校对高三学生作了一项调查发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张． (1)根据以上数据，作出考前心情与性格的列联表，并求性格外向的学生中考前心情紧张的概率． (2)作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类型是否有关系． 【答案】(1)答案见解析， (2)答案见解析，有关 【分析】（1）古典概型即可求解； （2）由图即可求解. 【详解】（1）作列联表如下： 心情 性格 合计 性格内向 性格外向 考前心情紧张 332 213 545 考前心情不紧张 94 381 475 合计 426 594 1020 由列联表中数据可得，性格外向的学生中考前心情紧张的概率为 （2）相应的等高条形图如图所示． 图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的人数所占的比例，从图中可以看出考前心情紧张的样本中性格内向的人数占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向的人数占的比例高，可以认为考前紧张与性格类型有关． 40．工信部发布：2026年1月1日起，购买新能源车需缴纳一半的购置税.某车辆爱好协会为了了解协会成员的购车意愿与减免购置税是否相关，从协会中随机抽取100名成员进行调查，得到如下列联表： 减免购置税 不减免购置税 总计 购车意愿较强 75 购车意愿较弱 5 总计 40 100 (1)补全表中数据； (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为协会成员的购车意愿与减免购置税有关联？ 附：，其中. 0.010 0.001 6.635 10.828 【答案】(1)答案见解析 (2)能认为协会成员的购车意愿与减免购置税有关联． 【分析】（1）根据已知条件完善列联表即可. （2）先根据公式求出，再根据临界值表可得相应的判断. 【详解】（1）列联表如下： 减免购置税 不减免购置税 总计 购车意愿较强 55 20 75 购车意愿较弱 5 20 25 总计 60 40 100 （2）零假设：协会成员的购车意愿与减免购置税无关联， 因为，依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即能认为协会成员的购车意愿与减免购置税有关联． 题型11 等高条形图（共4小题）（常考点） 41．某中学的两位学生A与B为研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，对该中学的高三学生进行了调查．A同学调查了所有高三学生，并整理得到等高堆积条形图，如图（一）；B同学从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，也整理得到列联表，如表（一）. 表（一）单位：人 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 14 7 21 男 8 11 19 合计 22 18 40 (1)请根据A同学的等高堆积条形图，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，如果结论是有关联，解释它们之间如何相互影响； (2)根据B同学的列联表，依据的独立性检验，该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，并解释所得结论的实际含义； （参考公式及数据：，临界值） (3)请比较（1）和（2）的统计结论是否一致，说明原因. 【答案】(1)有关联，女生更倾向于身高低于170 cm，男生更倾向于身高不低于170 cm． (2)无关联，实际含义见解析 (3)不一致，原因见解析 【分析】（1）通过观察等高堆积条形图中男女身高分布的差异，若男生中不低于170cm的比例明显高于女生，则判断两者有关联； （2）通过计算样本列联表的卡方统计量，与临界值比较，从而判断是否拒绝“性别与身高无关联”的原假设； （3）通过对比基于总体的描述性分析与基于样本的推断性检验的结论，指出因样本容量较小产生的抽样误差可能导致两种结论不一致. 【详解】（1）有关联，根据等高堆积条形图可知，女生中身高低于170 cm的比例明显高于男生， 而男生中身高不低于170 cm的比例明显高于女生， 故该中学高三年级学生的性别与身高有关联．具体表现为女生更倾向于身高低于170 cm，男生更倾向于身高不低于170 cm． （2）由题意得，零假设：该中学高三年级学生的性别与身高无关联， 由列联表可得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为该中学高三年级学生的性别和身高没有关联， 实际意义是根据该样本数据，不能认为性别对身高是否大于170cm有显著影响，二者可视为相互独立. （3）（1）与（2）的结论不一致， A同学调查了所有高三学生，能真实反映总体状况， 若总体中确实存在关联，则其结论可靠； B同学仅从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本， 样本量较少，并且抽样具有随机性，而独立性检验受样本容量影响较大， 当样本量较少时，独立性检验可能导致检验功效不足，未能检测出总体中实际存在的关联性. 42．近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌汽车商随机调查了甲､乙两地各200名消费者，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如下图所示，经计算得到. 车型与地区 下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 下列说法正确的是（    ） A．在所调查的甲地购车者中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则新能源车主有8人 B．在所调查的乙地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 C．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 D．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域无关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 【答案】C 【分析】借助分层随机抽样定义计算可得A；分别计算出购买燃油车的人数与购买新能源车的人数可得B；利用独立性检验定义可得C、D. 【详解】对A：，故新能源车主有人，故A错误； 对B：购买燃油车的人数为， 购买新能源车的人数为， 则购买燃油车的人数比新能源车的多人，故B错误； 对C、D：依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联， 由，故此推断犯错误的概率不大于，故C正确、D错误. 43．石墨烯发热膜在生产生活中应用广泛.从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有A材料、B材料可供选择，研究人员对附着在A材料、B材料上的石墨各做了100次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图. (1)根据等高堆积条形图，填写如下列联表，并依据的独立性检验，分析试验结果与材料是否有关； （单位：次） A材料 B材料 合计 试验成功 试验失败 合计 (2)制作1吨石墨烯发热膜有甲、乙两个环节，其中甲环节生产合格的概率为，乙环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立.若生产不合格还需进行修复，甲环节的修复费用为3万元，乙环节修复费用均为2万元.设随机变量为制作石墨烯发热膜所产生的修复费用，求的分布列及数学期望. 附：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】(1)列联表见解析，试验结果与材料有关 (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用等高堆积条形图作出列联表，根据卡方公式及独立性检验思想计算即可； （2）利用条件列出分布列计算期望即可. 【详解】（1）根据题中所给等高堆积条形图，得列联表如下： 单位：次 A材料 B材料 合计 试验成功 90 60 150 试验失败 10 40 50 合计 100 100 200 零假设为：试验结果与材料无关. 计算可得， 依据的独立性检验，推断不成立，即认为试验结果与材料有关. （2）的可能取值为0，2，3，5. ，，，， 则的分布列为 0 3 5 数学期望. 44．为考查、两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（    ） A．药物的预防效果优于药物的预防效果 B．药物的预防效果优于药物的预防效果 C．药物、对该疾病均有显著的预防效果 D．药物、对该疾病均没有预防效果 【答案】B 【分析】根据等高条形图中的数据即可得出选项. 【详解】根据两个表中的等高条形图知，药物实验显示不服药与服药时患病差异较药物实验显示明显大， 所以药物的预防效果优于药物的预防效果， 故选：B. 题型12 卡方的计算（共4小题）（常考点） 45．中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体系，涵盖运载火箭､载人航天､深空探测等多个领域.为了了解不同学历人群对航天工程的关注情况，某社区随机调查了200位社区居民，得到如下数据（单位：人）： 学历 关注 不关注 合计 本科及以上 80 20 100 本科以下 60 40 100 合计 140 60 200 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为对航天工程的关注情况与学历有关？ (2)现为了激发社区居民对航天工程的关注，该社区举办了一次航天知识闯关比赛，规则如下： 第一关：设置3道必答题，参与者需至少答对2道才能参与下一关答题，否则淘汰； 第二关：设置3道题，前2道题每答对1道奖励200元，答错即结束答题，奖励清零，2道题都答对可选择放弃答题，领取奖励，也可以选择继续答题（等可能的选择），第3道题答对奖励400元，答错前2道奖励减半，答题结束.已知甲参与闯关比赛，第一关答题的3道题每道题答对的概率均为，第二关答题的前2道题每道题答对的概率均为，第3道题答对的概率为，各题答对与否相互独立. （i）求甲能进入第二关答题的概率； （ii）已知甲进入第二关答题，从期望的角度，帮助甲分析是否挑战第3道题，使获取的奖金更多. 参考公式及参考数据：. 0.05 0.01 3.841 6.635 【答案】(1)能 (2)（i）；（ii）当时，建议挑战第3道题；当时，挑战和不挑战第3道题都可以；当时，建议不挑战第3道题. 【分析】（1）求，并与临界值对比分析，结合独立性检验思想分析判断； （2）（i）可知3道题至少答对2道题，结合独立重复事件概率公式运算求解； （ii）分别求不挑战第3道题与挑战第3道题的期望，利用作差法比较大小，即可判断. 【详解】（1）零假设为：对航天工程的关注情况与学历无关， 因为， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 所以可以认为对航天工程的关注情况与学历有关. （2）（i）记甲能进入第二关答题为事件，即3道题至少答对2道题， 所以； （ii）若确定不挑战第3道题，获得奖金为，的可能取值为0，400， 则，， 可知的分布列为： 0 400 所以； 若确定挑战第3道题，获得奖金为，的可能取值为0，200，800， 则，，， 可知的分布列为 0 200 800 所以. 令， 当时，，建议挑战第3道题； 当时，，挑战和不挑战第3道题都可以； 当时，，建议不挑战第3道题. 46．某商场为了解顾客购买手机的意愿，随机调查了位顾客购买手机的情况，得到数据如下表． 购买手机 购买无技术的手机 总计 男性顾客 女性顾客 总计 (1)根据表中数据，判断是否有的把握认为购买手机与顾客的性别有关？并说明理由； (2)从这位男性顾客中随机挑选位，求其中至少有位购买手机的概率（精确到）； (3)为促进手机的销量，该商场为购买手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励元、元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖．每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立．记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望． 参考公式及数据：①，其中． ②，，，． 【答案】(1)有的把握认为购买手机与顾客的性别有关，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题设中的数据计算，结合临界值表可判断的把握认为购买手机与顾客的性别有关； （2）利用对立事件可求至少有位购买手机的概率； （3）先求出的分布列，再根据期望公式可求，或者利用独立事件的期望公式求出. 【详解】（1）作原假设：购买手机与顾客的性别无关，取， 根据题意，代入数据，得 ， 因为，所以否定原假设，即有的把握认为购买手机与顾客的性别有关． （2）由题意得. （3）解法一：由题意得，随机变量的可能取值为 ， 而，， ，， ，， 故的分布列为 期望． 解法二：设第次抽中奖金为（），则， 由题设可得（）的分布列为 从而，而，相互独立， 故． 47．近几年来，人工智能（简称）逐渐兴起，并在各行各业中都得到较广泛的应用，某校随机抽查了100名教师，调查他们使用技术与年龄的情况，收集整理数据后得到如右列联表． 年级 使用技术情况 合计 经常使用 不经常使用 超过40周岁 20 30 50 不超过40周岁 40 10 50 合计 60 40 100 (1)依据小概率值的独立性检验，分析是否经常使用技术与年龄有无关联？ (2)现从样本中经常使用技术的教师中，按是否超过40岁分层，利用分层随机抽样的方法抽取6人进行调查，并从被抽取的6人中随机抽取3人进行长期跟踪研究，记这3人中年龄不超过40周岁的教师人数为，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)依据小概率值的独立性检验，认为经常使用AI技术与年龄有关联； (2)的分布列为： 1 2 3 数学期望； 【分析】（1）利用公式计算的值进行分析即可； （2）根据题意先利用分层抽样的方法抽取超过40岁、不超过40岁人数，找出随机变量的值，计算出各值对应的概率，计算出数学期望值即可. 【详解】（1）零假设为：是否经常使用AI技术与年龄无关联． 根据表中数据，得: ， 根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即是否经常使用AI技术与年龄有关联，这种推断犯错误的概率不超过0.001． （2）采用按比例分配的分层随机抽样， 超过40岁抽取人数为，不超过40岁抽取人数为， 所以随机变量的可能取值为， ， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 所以. 48．我国清洁能源产业领跑全球，风电、光伏等发电规模稳居世界首位．如今我国率先开辟全新发展赛道，依托本土充沛低价绿电搭建智算中心，将电能转化为算力进而生成AI Token完成对外输出．我国自主生成的AI Token综合成本仅为欧美市场的，国产自研AI模型在全球算力服务时长中占比超，行业优势十分突出．为研究AI技术普及前后，电力企业依托Token出海模式的收益变化是否存在关联，调研人员抽取家电力企业开展统计，得到如下列联表： 收益显著提升 收益未明显提升 合计 AI技术推出前 AI技术推出后 合计 (1)根据小概率值的独立性检验，分析电力企业收益提升情况与AI技术推出是否有关联； (2)利用分层抽样从全部家企业中抽取家企业，再从抽取到的企业里随机选取家，设这家企业中收益显著提升的企业数量为，求的分布列与数学期望． 附，其中， 【答案】(1)根据小概率值的独立性检验，认为电力企业收益提升情况与AI技术推出有关联 (2)的分布列为 ． 【分析】（1）先设零假设：收益提升与AI技术无关，再用卡方公式代入列联表数据计算统计量，与对应的临界值比较，判断是否拒绝，得出关联结论； （2）先按抽样比分层抽取家企业，得到家收益显著提升、家未明显提升；再根据超几何分布定义，写出的可能取值，计算对应概率并列出分布列，最后用超几何分布期望公式或分布列直接计算． 【详解】（1）零假设：电力企业收益提升情况与AI技术推出无关联， 根据表中数据可得，， 因为，所以零假设不成立， 根据小概率值的独立性检验，认为电力企业收益提升情况与AI技术推出有关联． （2）抽样比：，收益显著提升的企业共家，抽取数量：家， 收益未明显提升的企业共家，抽取数量：家，       抽取的家企业中，家 “收益显著提升”，家 “收益未明显提升”， 由题意，服从超几何分布：的可能取值为， ，，， ，， 所以的分布列为 ． 题型13 非线性类对勾系列（共4小题） 49．现有抽球游戏规则如下：盒子中初始装有2个白球和1个黑球，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球的颜色相同．则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止游戏.否则，在盒子中再放入一个白球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． 1 2 3 4 5 516 209 127 98 50 (1)某人进行该抽球游戏时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止游戏，记其进行抽球游戏的轮数为随机变量，求的分布列和期望； (2)有数学爱好者统计了近1000名玩家进行该抽球游戏的数据，记表示成功时抽球游戏的轮数，表示对应的人数，部分统计数据如表，经计算发现，非线性回归模型的拟合效果优于线性回归模型，求出关于的非线性回归方程（结果保留整数）． 附：回归方程系数：，． 参考数据：设，，，，，，． 【答案】(1)分布列见解析，； (2). 【分析】（1）先求出每一轮成功和失败的概率，再由条件概率公式求解即可； （2）设，则回归方程为，根据所给数据和公式，求出的值，再代回，即可得答案. 【详解】（1）由题意可知： 第1轮：盒子中共有3个小球（2白1黑）， 所以成功的概率为，所以失败的概率为； 第2轮：盒子中共有4个小球（3白1黑）， 所以成功的概率为，所以失败的概率为； 第3轮：是否成功都会停止，且只有前两轮失败，就会进行第3轮； 所以，，， 所以的分布列如下： 所以 （2）设，则回归方程为， 因为，，，，， 且， 所以， 所以． 所以回归方程为， 又因为， 所以回归方程为. 50．某农业技术站研究化肥施用量对大棚青菜产量的影响.在一定范围内，施肥量（单位kg/亩）越大，青菜产量（单位kg/亩）越高.实验测得具体数据如下表： 施肥量 2 3 4 5 6 青菜产量 4200 4300 4350 4380 4400 根据散点数据特征，研究人员分析得出产量与施肥量近似满足的关系，取，经计算可知，，，， (1)请根据上述数据，计算得出产量y关于施肥量x的回归方程，并结合常识描述的实际意义，为简化计算，计算过程中、均精确到个位数. (2)若青菜的收购价格为2元/kg，化肥的采购价格为12元/kg，请从利润最大的角度给出大棚的最优施肥量. 参考公式：，. 【答案】(1)，实际意义是当化肥使用量无限增加时，青菜产量的理论上限为/亩 (2)当施肥量为10kg/亩时利润最大 【分析】（1）根据题意，利用回归系数的公式，求得，进而得出回归直线方程，结合的值，得出的实际意义； （2）由利润为，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）根据题意，可得， 又由， 所以产量y关于施肥量x的回归方程为， 其中的实际意义是当化肥使用量无限增加时，青菜产量的理论上限为/亩. （2）设利润为元/亩， 当且仅当kg/亩时取等，即当施肥量为10kg/亩时利润最大. 51．为了促进锂电产业发展，市创新研究院课题组对企业研发经费的投入和企业当年的销售收入的关系进行了研究，他们收集了上一年不同企业销售收入y（单位：10万元）与一定范围内的研发经费x（单位：10万元）的数据，根据收集的13组观测数据，得到如下的散点图，分别利用或建立y关于x的回归方程，令，得到如下数据，且与的相关系数分别为，，且. 10.15 108.40 3.04 0.16 14.00 11.67 0.21 21.22 (1)用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适； (2)根据（1）的结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； (3)已知企业的利润z满足，试根据回归方程求出企业利润的最大值. 参考数据和公式：，，，对于一组数据（，2，3，…，n），其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，相关系数. 【答案】(1)模型建立y与x的回归方程更合适； (2)； (3)960万元. 【分析】（1）利用非线性转化为线性，再求相关系数即可得到判断； （2）利用非线性转化为线性，再求线性回归方程系数即可得解； （3）利用基本不等式求最大值即可. 【详解】（1）由题意知，， 因为，所以用模型建立y与x的回归方程更合适. （2）令，回归方程为，因为，， 所以关于x的回归方程为，即. （3）由题意知， 当且仅当，即时取等号， 则，所以. 所以当研发经费投入为60万元时企业生产的利润最大，最大利润为960万元. 52．为研究某种图书每册的成本费元与印刷数册的关系，收集了一些数据并作了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值． 表中，． (1)根据散点图判断：与哪一个更适宜作为每册成本费元与印刷数册的回归方程类型？只要求给出判断，不必说明理由 (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； (3)若每册书定价为元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于元？假设能够全部售出 （附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，） 【答案】(1) (2)． (3)册 【分析】（1）因为散点图呈现的是非线性趋势，所以选择更合适； （2）令，将转化为线性回归方程，利用最小二乘估计公式计算和，进而得到关于的回归方程； （3）根据利润公式，结合回归方程列出不等式，求解不等式得到印刷数的取值范围，确定至少印刷的册数. 【详解】（1）由散点图的分布是非线性的，故适宜作为每册成本费与印刷册数的回归方程； （2）令，先建立关于的线性回归方程， 由于， ， 关于的线性回归方程为， 从而关于的回归方程为； （3）假设印刷册，依题意，， ， 至少印刷册． 题型14 非线性类根式系列（共4小题）（重点） 53．已知与及与的成对数据如下表，且关于的回归直线方程为． 0.1 0.4 0.9 1.6 2.5 3.6 4.9 1 4 6 8 9 10 1 4 9 16 25 36 49 0 4 7 9 11 12 13 (1)求关于的回归直线方程； (2)由散点图发现可以用函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（的值精确到0.01）； (3)又得到一组新数据，根据这对数据残差的绝对值的大小判断（1）（2）两个方程哪个拟合效果更好． 参考数据：． 参考公式：对于一组数据，其回归直线方程为，其中． 【答案】(1) (2) (3)（2）中方程的拟合效果更好． 【分析】（1）由表中数据得出，，代入已知回归方程可得； （2）令，利用已知数据求得回归方程，即得； （3）把代入两个回归方程求得模拟值，计算残差后比较可得. 【详解】（1）由表中数据得，则，， 又关于的回归直线方程为，则， 即关于的回归直线方程为． （2）若用函数模型拟合与的关系，则令，此时， 则，即， 又，所以关于的回归方程为． （3）（1）中关于的回归直线方程为， 所以当时，，残差为， （2）中关于的回归方程为，所以当时，， 残差为， 因为，所以（2）中方程的拟合效果更好． 54．若需要刻画预报变量和解释变量的相关关系，且从已知数据中知道预报变量随着解释变量的增大而减小，并且随着解释变量的增大，预报变量大致趋于一个确定的值，为拟合和之间的关系，应使用以下回归方程中的（为自然对数的底数）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解析  对于A：因为在定义域内单调递增且，所以随着的增大而增大，不合题意，故A错误； 对于B：因为在定义域内单调递增且，所以随着的增大而减小，当解释变量，，不合题意，故B错误； 对于C：因为在定义域内单调递增且，所以随着的增大而减小，当解释变量，，不合题意，故C错误； 对于D：因为在定义域内单调递减且，所以随着的增大而减小，当解释变量，，故D正确；故选D. 55．统计显示，我国在线直播生活购物用户规模近几年保持高速增长态势，下表为年—年我国在线直播生活购物用户规模（单位：亿人），其中年—年对应的代码依次为—. 年份代码 市场规模 ，，，其中 参考公式：对于一组数据、、、，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. (1)由上表数据可知，若用函数模型拟合与的关系，请估计年我国在线直播生活购物用户的规模（结果精确到）； (2)已知我国在线直播生活购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率，现从我国在线直播购物用户中随机抽取人，记这人中选择在品牌官方直播间购物的人数为，若，求的数学期望和方差. 【答案】(1)亿人 (2)， 【分析】（1）将题中数据代入最小二乘法公式，求出的值，即可得出与的拟合函数关系式，再将代入函数关系式，即可得出结论； （2）由题意可知，，由结合独立重复试验的概率公式可求得的值，然后利用二项分布的期望和方差公式可求得结果. 【详解】（1）设，则， 因为，，， 所以，， 所以，与的拟合函数关系式为 当时，， 则估计年我国在线直播生活购物用户的规模为亿人. （2）由题意知，所以，， ， 由，可得， 因为，解得， 所以，，. 56．人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策，某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如下表. 月份 1 2 3 4 5 销售量（万件） 4.9 5.8 6.8 8.3 10.2 该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了关于的回归模型：. (1)根据所给数据与回归模型，求关于的回归方程（的值精确到0.1）； (2)已知该公司的月利润（单位：万元）与，的关系为，根据（1）的结果，问该公司哪一个月的月利润预报值最大？ 【答案】(1) (2)第9个月的月利润预报值最大. 【分析】（1）将非线性回归方程问题转化线性回归方程问题，根据最小二乘法求解即可. （2）先求得的表达式，然后利用导数来求得最值问题. 【详解】（1）令，则， ， ，， 所以关于的回归方程为. （2）由（1）知， ， 令（）， （）， 令，得，单调递增， 令，得，单调递减， 令，得， 所以（）在处取得极大值，也是最大值， 所以， 所以第9个月的月利润预报值最大. 题型15 非线性类指对系列（共4小题）（难点） 57．已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关，为了确定下一个时段鸡舍的控制温度，某企业需要了解鸡舍的温度（单位），对某种鸡的时段产蛋量（单位： ）和时段投入成本（单位：万元）的影响，为此，该企业收集了7个鸡舍的时段控制温度和产蛋量的数据，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．    17.40 82.30 3.6 140 9.7 2935.1 35.0 其中， ． (1)根据散点图判断， 与哪一个更适宜作为该种鸡的时段产蛋量关于鸡舍时段控制温度的回归方程类型？（给判断即可，不必说明理由） (2)若用作为回归方程模型，根据表中数据，建立关于的回归方程； (3)已知时段投入成本与的关系为，当时段控制温度为时，鸡的时段产蛋量及时段投入成本的预报值分别是多少？ 附：①对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， ② 0.08 0.47 2.72 20.09 1096.63 【答案】(1)适宜 (2) (3) 【分析】(1)散点图的变化趋势不是线性的，所以更适宜； (2)对函数两边取对数得，再根据数据可得，即可得到答案； (3) 将代入回归方程即可求鸡的时段产蛋量，继而求出时段投入成本的预报值. 【详解】（1）适宜； （2）由得， 令， ， ， 由图表中的数据可知， ， 所以， 则关于的回归方程为； （3）时，由回归方程，， 即鸡舍的温度为时，即的时段产量的预报值为，投入的陈本预报值为. 58．肥胖不仅影响形体美，而且给生活带来不便，此外还有关节软组织损伤､心脏病､糖尿病､脂肪肝､痛风等危害.小王通过运动和节食进行减肥，并将时间x（单位：周）和体重（单位：）记录制作如下统计表： 1 2 3 4 6 8 90.1 87.6 87.2 86.2 84.2 84.3 (1)若和满足经验回归模型，求； (2)求该模型的决定系数，并判断该经验回归方程是否有价值（认为有价值）； (3)当某组数据残差的绝对值不超过0.3时，称该组数据为“身材有效管理数据”，现从这六组数据中任意抽取两组，设抽取的“身材有效管理数据”的个数为，求的分布列和期望. 附：经验回归方程中，， 参考数据：. 【答案】(1)；. (2)；该经验回归方程有价值. (3)分布列见解析；数学期望是1. 【分析】（1）设得，计算，继而得到和； （2）分别计算和，计算出，即得结论； （3）依题意，残差的绝对值不超过0.3的有三组，由此确定的可能值有，利用超几何分布计算概率，写出分布列，计算出数学期望即可. 【详解】（1）设则， 因 ， 则 又且经验回归直线过点， 故得，， （2）由（1）， 1 2 3 4 6 8 90.1 87.6 87.2 86.2 84.2 84.3 90 88 86.8 86 84.8 84 0.01 0.16 0.16 0.04 0.36 0.09 12.25 1 0.36 0.16 5.76 5.29 则，因,则该经验回归方程有价值； （3）经计算，这六组数据中，残差的绝对值不超过0.3的有三组，分别是第一组、第四组和第八组， 故从这六组数据中任意抽取两组,的可能值有， 于是，, 则的分布列为： 0 1 2 故数学期望为. 59．2024海峡两岸各民族欢度“三月三”暨福籽同心爱中华·福建省第十一届“三月三”畲族文化节活动在宁德隆重开幕．海峡两岸各民族同胞齐聚于此，与当地群众共同欢庆“三月三”，畅叙两岸情．在活动现场，为了解不同时段的入口游客人流量，从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，以后每过一个小时反馈一次．指挥中心统计了前5次的数据，其中，为第次入口人流量数据（单位：百人），由此得到关于的回归方程，，已知，根据回归方程（参考数据：，），可预测下午4点时入口游客的人流量为（    ） A．9.6 B．11.0 C．11.4 D．12.0 【答案】B 【分析】令，由，得，因为，所以 则，即可求解． 【详解】令，则， 又，由，得， 因为，所以 则， 下午4点时对应的是， 可得， 故选：B 60．放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数与该机场飞往A地航班放行准点率（）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值. 2017.5 80.4 1.5 40703145.0 1621254.2 27.7 1226.8 其中，. (1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率； (2)已知2023年该机场飞往A地､B地和其他地区的航班比例分别为0.2､0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含A､B两地）航班放行准点率的估计值分别为和，试解决以下问题： （i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； （ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地的概率.（保留3位小数） 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 参考数据：，，. 【答案】(1)适宜，， (2)（i）0.778；（ii） 【分析】（1）根据散点图可判断适宜作为该机场飞往地航班放行准点率关于年份数的经验回归方程类型，再根据所给数据求出关于的线性回归方程，即求出，，从而得到关于的回归方程，再代入计算可得； （2）（i）根据全概率公式计算可得；（ii）根据条件概率公式计算可得. 【详解】（1）由散点图判断适宜作为该机场飞往地航班放行准点率关于年份数的经验回归方程类型. 令，先建立关于的线性回归方程， 由于， ， 该机场飞往地航班放行准点率关于的线性回归方程为， 因此关于年份数的回归方程为， 所以当时，该机场飞往地航班放行准点率y的预报值为 ， 所以2023年该机场飞往地航班放行准点率的预报值为. （2）设“该航班飞往地”，“该航班飞往地”，“该航班飞往其他地区”，“该航班准点放行”， 则，，， ，，. （i）由全概率公式得， ， 所以该航班准点放行的概率为. （ii）该航班飞往地的概率为 ， 即若年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往地的概率约为. 题型16 独立性检验应用（共4小题） 61．为了比较甲，乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取了100名学生，通过测验得到了如下数据：甲校50名学生中有10名数学成绩优秀，乙校50名学生中有15名数学成绩优秀． (1)请将列联表补充完整； 学校 数学成绩 合计 优秀 不优秀 甲校 10 乙校 15 合计 100 (2)依据小概率值的独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异． (3)用甲校数学成绩样本的优秀率作为甲校数学成绩总体的优秀率，估计甲校的3名学生中恰好有两名学生数学成绩优秀的概率． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) 学校 数学成绩 合计 优秀 不优秀 甲校 10 40 50 乙校 15 35 50 合计 25 75 100 (2)不能据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异 (3) 【分析】（1）根据题意完成列联表， （2）结合零假设、卡方公式进行运算求解判断即可； （3）利用二项分布求解即可. 【详解】（1）由已知，列联表如下： 单位：人 学校 数学成绩 合计 优秀 不优秀 甲校 10 40 50 乙校 15 35 50 合计 25 75 100 （2）零假设为：两校学生的数学成绩优秀率无差异. 根据列联表数据，计算得到 . 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此不拒绝原假设，即不能认为两校学生的数学成绩优秀率有差异. （3）甲校数学成绩样本的优秀率为，作为甲校数学成绩总体的优秀率， 设甲校的3名学生中成绩优秀的人数为，则， 所求概率为. 62．为推动农村可持续生态农业的发展，广东某农场用五年的时间按照有机标准新改良了100亩土地，预计在改良后的土地上种植有机水果和其他作物，并根据市场需求确定有机水果的种植面积．农场经营采用的是CSA农业经营模式即社区支持农业，农场从CSA会员中随机抽取了南方、北方会员共200人，调查数据如下． 喜欢有机水果 不喜欢有机水果 南方会员 80 40 北方会员 40 40 (1)视频率为概率，分别估计南方、北方会员中喜欢有机水果的概率； (2)（ⅰ）判断是否有的把握认为是否喜欢有机水果与会员的区域有关？ （ⅱ）已知农场CSA会员有2000人，其中南方会员有1200人，若喜欢有机水果的人不低于1100人，则可种植50亩左右的有机水果，否则只能种植30亩左右，试问该农场应怎样安排有机水果的种植面积． 附：，． 0.05 0.025 0.005 3.841 5.024 7.879 【答案】(1)，． (2)（ⅰ）有的把握认为是否喜欢有机水果与会员的区域有关；（ⅱ）农场可以种植50亩左右的有机水果． 【分析】（1）利用频率估计概率求南方、北方会员中喜欢有机水果A的概率； （2）（i）根据列联表及卡方公式求出卡方值，结合独立检验基本思想即可得结论； （ii）估计农场会员中喜欢有机水果的总人数，与1100比较大小，即可得结论. 【详解】（1）由题得南方会员中喜欢有机水果的概率； 北方会员中喜欢有机水果的概率为， 所以南方、北方会员中喜欢有机水果的概率分别为，． （2）（ⅰ） ， 所以有的把握认为是否喜欢有机水果与会员的区域有关 （ⅱ）由题可估计农场的CSA会员中喜欢有机水果的人数为， 所以农场可以种植50亩左右的有机水果． 63．文旅部门统计了某网红景点在2025年3月至7月的旅游收入（单位：万），得到以下数据： 月份 3 4 5 6 7 旅游收入 10 12 11 12 20 (1)根据表中所给数据，用相关系数加以判断，是否可用线性回归模型拟合与的关系？若可以，求出关于之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由； (2)为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了200名游客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，能否在犯错误的概率不超过0.001的情况下认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”． 喜欢 不喜欢 总计 男 100 女 60 总计 110 参考公式：相关系数， 参考数据：．线性回归方程：，其中，． ． 临界值表： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)可用线性回归模型拟合与的关系，． (2)能够在犯错误的概率不超过0.001的情况下认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联” 【分析】（1）计算，从而得出可用线性回归模型拟合与的关系，再根据最小二乘法求出即可得解. （2）补全列联表，计算卡方的值，进而判断即可. 【详解】（1）由已知得： ，，，，， ，因为 ， 说明与的线性相关关系很强． 可用线性回归模型拟合与的关系， ， 则关于的线性回归方程为：． （2）列联表如下所示： 喜欢 不喜欢 总计 男 70 30 100 女 40 60 100 总计 110 90 200 根据列联表中数据，， 所以能够在犯错误的概率不超过0.001的情况下认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”． 64．为了研究性别与对乡村音乐态度（喜欢和不喜欢两种态度）的关系，运用列联表进行独立性检验，经计算，则所得到的统计学结论是认为性别与喜欢乡村音乐有关系的把握至少为（   ） 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据观测值 ，对照临界值表即可得出结论. 【详解】因为，所以有的把握认为“性别与喜欢乡村音乐有关系”． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $