专题04 复数·运算·几何意义（十六大高频考点）（期末复习专项训练）数学苏教版高一必修第二册

**基本信息** 聚焦复数核心概念与运算，以16类题型系统覆盖实部虚部、模、几何意义等考点，突出重点与难点分层突破，培养运算能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本概念|3题型（实部虚部、复数相等、共轭复数）|概念辨析与基础应用|从复数定义出发，构建实部虚部、相等条件等核心概念| |运算体系|4题型（四则运算、乘方、混合运算、方程根）|运算技能与法则应用|以代数运算为核心，延伸至乘方及方程求解，强化运算能力| |几何意义|3题型（象限判断、模、轨迹问题）|几何直观与数形结合|将复数与复平面对应，通过模与轨迹体现几何属性，发展空间观念| |参数应用|4题型（求参数、分解因式、对应点）|推理应用与综合分析|结合概念与运算求参数，体现数学思维的逻辑性与严谨性| |三角表示|2题型（乘除运算、三角表示）|抽象转化与难点突破|从代数形式拓展至三角表示，提升数学抽象与转化能力|

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04复数·运算·几何意义 题型归纳·内容导航 题型1求复数的实部与虚部 、 题型9共轭复数的考察（难点） 题型2有关复数相等的求算 题型10已知复数的类型求参数（重点） 题型3判断复数对应点所在象限（重点） 题型11根据复数的混合运算求参数（常考点） 题型4有关复数模的考察（重点） 题型12复数范围内分解因式（常考点） 题型5与复数模相关的轨迹问题（常考点） 题型13根据复数对应点求参数 题型6复数加减乘除混合运算 题型14由复数的模求参数 题型7复数范围内方程的根 题型15复数乘除运算的三角表示（重点) 题型8复数的乘方（重点） 题型16复数的三角表示（难点） 题型通关·靶向提分 题型1求复数的实部与虚部（共4小题） 1.复数z=1-2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数z的虚部是( A.2i B.2 C.-2 D.-2i 2.复数？=1-2i(i为虚数单位)的虚部为() A.2 B.-2 C.2i D.-2i 3.复数3+2i的虚部是() A.3 B.-2i C.-2 D.2 4.己知复数z满足z=2-3i,则z的虚部是() A.-3 B.-3i C.3 D.3i 题型2有关复数相等的求算（共4小题） 5.己知i为虚数单位，若4-3a-ai=a2+4ai,则实数a的值为() A.1 B.1或-4 C.-4 D.0或-4 6.若(x+y-2)+x-y-4)i=0(x,yeR,则x+2y= 7.（x-3y)+(2x+3yi=5+i;求满足上述条件的实数x,y的值； 8.己知i为虚数单位，x,y为实数，若x+yi+2=(3-4i)+2yi,则x+y=() A.2 B.3 C.4 D.5 题型3判断复数对应点所在象限（共4小题）（重点） Q(多选)已知复数戏，其中心4R,且0<m≤6，设z在夏平面内对应的点为P,则下列说法正确的 1/7 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 有() A.2的虚部为 B.点P在第二象限 10 C.点P在直线y=-3x上 D.的最大值为2V 10.设复数：=1-3i,≥是z的共轭复数，则复平面内2对应的点位于() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 11.(多选)若复数z满足-1=2i,则下列说法正确的有() BH号 C.iz在复平面内对应的点位于第二象限 D.复数z是关于x的方程5x2-2x+1=0的一个复数根 12.(多选)已知复数z满足zi=7-i,则下列说法正确的是() A.共轭复数z=1-7i B.模长z=5V2 C.复数z在复平面内对应的点位于第三象限D.z-z=14i 题型4有关复数模的考察（共4小题）（重点） 13.若复数z满足(2-i)?=5i（其中i为虚数单位)，则川z=（) A.10 B.√10 C.5 D.5 14,若复数z满足z-1+i,则：=（) A.1-i B.1+i C.-1-i D.-1+i 15.已知复数z=2+ai(aeR)满足(1-i)z为纯虚数，则z+i=() A.13 B.5 C.13 D.5 16.复数z=i(2+31),则z=（) A.-3 B.2 C.13 D.4 题型5与复数模相关的轨迹问题（共4小题）（常考点） 17.(多选)已知i为虚数单位，z为复数，则下列命题中正确的是() A.i+i2+i3+i=0 B.若z=a+bi(a、b∈R),则z=Vb是z为纯虚数的充要条件 C.z.2=22 D.若z=2,则z+i的最大值为3 18.(多选)已知复数z=-1-2i,则下列结论正确的是() 2/7 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.z=1+2i B.复数z在复平面内对应的向量a与向量b=(2,-1)垂直 C.若复数z是关于x的方程x2+ax+b=0(其中a,b∈R)的一个根，则a+b=7 D.若复数o满足o-z=1,则o的最小值为√5-1 19.(多选)关于x的方程x2+x+1=0的复数解为名，2，则() A.222=-1 B.名与2互为共轭复数 C.设0=z,⊙在复平面内对应的点在实轴上 D.若复数z满足z=4,则z+z22的最小值是3 20.(多选)下列说法正确的是() A.4-2i>3-2i B.若-4+3i是关于x的方程x2+px+q=0p,q∈R)的根，则p=8 C.若复数z满足|z-1+i=1,则z的最大值和最小值的和为2√2 D.若z=3i2025+6i2026,则z2=45 题型6复数加减乘除混合运算（共4小题） 21.设复数z满足z-3-41≤1，求： (1)2的取值范围； (2)2+1-i的最大值 22.已知复数乙，22满足z1=iz2且zz=1,则对于任意的复数z,2:-+:-,++,的最小值为 23.（多选)已知z为复数，下列说法正确的是() A.z2=22 B.22=22 C.z-z2z D.|z+z22|z 24.已知复数1，满足互=i,云+，=1-i,则=() 22 A.② B.1 2 C.2 D.2 题型7复数范围内方程的根（共4小题） 25.在复数集C中，解方程x2+x+1=0 26.已知复数z=a+bi(a,beR)满足3z+2z=15-4i. (1)求复数z: 3/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若复数z是关于x的方程x2+Px+q=0(p,q∈R)的一个根，求p+9的值. 27.在复数范围内解方程x2+4x+5=0,解得x= 28.已知关于x的方程x2+mx+4=0的两个根分别为，B,若a-=3,则实数m= 题型8复数的乘方（共4小题）（重点） 29.（多选)复数，，已知=-，+，1， i,22=z1,下列说法正确的是() A.复平面内与z1对应的点在第三象限B.z2=1 C.z2=1 D.z3=1 80.已知复数z满足2长则z的虚部为( A. B.1 C.-1 D为 31.已知i为虚数单位，若z=1-2i),则z的虚部为 32. V22 (1-1+207（） A.1 B.-1 C.i D.-i 题型9共轭复数的考察（共4小题）（难点） B3.已知复数z=仁+1+ (1)求z: (2)若az+z=3+(b-2)i(a,b∈R),求|a+bi. 34.已知1是虚数单位，复数1=2-i,则zz= 35.已知复数z满足z·z+2z=8+6i,则z= 36,(多选》已知复数：名，则下列结论正的有() A.z的虚部是i B.z的共轭复数是1-i C.z在复平面内对应的点在第二象限D.=2 题型10已知复数的类型求参数（共4小题）（重点） 37.已知复数z=(3m+n)+m-2nim,neR. (1)若z=5-3i,求m,n的值： (2)若z是方程x2+4x+8=0的一个复数根，求m,n的值. 4/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 38.若复数z= (行2ia-3刘aeR)为纯定数，则a=() A.2 B.-12 C.0 D.10 39.若复数z=m2-m+(m2-3m+2)i是纯虚数，则实数n= 40.己知复数z=(m2-2m-3)+(m2-3m-4)i:分别求出z符合下列条件的实数m的值 (1)实数： (2)纯虚数； (3)零 题型11根据复数的混合运算求参数（共4小题）（常考点） 41.已知复数z=2+i,z2=a-i〔a∈R),i为虚数单位，若复数-z2为纯虚数，则实数a的值为 42.己知复数z,w是方程x2-2x+2=0的两个不同的根，且z在复平面内对应的点在第一象限. (1)求复数z; (2)求复数z-2w的实部： (3)设3=三，求s25在复平面内对应的点的坐标」 43.已知实系数二次函数∫(x=x2+bx+c满足1+i是方程∫(x=0的一个根， (1)求实数的b,c的值； (2)计算 结果写成代数形式， 44.已知复数z1=1+i,22=x+yi,其中x,y为非零实数 0)若，是实数，求的值； (2)若z2=3,复数z= +(m2-m-2+mi为纯虚数，求实数m的值 Z, 题型12复数范围内分解因式（共4小题）（常考点） 45.（多选)（多选)已知复数z满足方程z2-4)z2-4z+5)=0,则() A.z可能为纯虚数 B.方程各根之和为4 C.z可能为2-i D.方程各根之积为-20 46.在复数范围内分解因式： (1)x23+1: (2)3x2-6x+4 47.在复数范围内分解因式： (1)x2-x+2; (2)2x2+2x+3 5/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 48.(1)已知复数z满足z1+i=3+i,求z; (2)在复数范围内因式分解：z2-2z+2 题型13根据复数对应点求参数（共4小题） 49.己知复数z=m2+8m+12+m2-m-6)i,其中i为虚数单位，meR. (1)若z是纯虚数，求实数m的值： (2)当m=-3时，复数z是关于x的方程x2+px+q=0的一个根P,9∈R,求3p-9的值； (3)当m=-1时，复数z所对应的平面向量为ā；当m=-3时，复数z所对应的平面向量为五，若向量ā+2b 与ta-b的夹角为钝角，求实数t的取值范围， 50.已知复数z,=1-2m+(m-2)i,z2=1+2sin0-(2-cos0)i（m,eR). (1)若z,在复平面内对应的点在第三象限的角平分线上，求实数的值； (2)若31=2z2,求实数1的最值. 51.已知复数z=lg(m+1)+m2-5m-14)i.若在复平面内，复数z表示的点在第四象限，则实数m的取值 范围为() A.{m0<m<2}B.{m-19m<7}C.{m-1日m<2} D.{m0<h<7} 52.(多选)已知复数z=m2-5m+6)+m2-3mi(m∈R),z是z的共轭复数，则下列说法正确的是() A.当m=0时，z=z B.若z是纯虚数，则m=2或m=3 C.若z在复平面内对应的点在第四象限，则0<m<2 D.若z是关于x的方程x2-4x+8=0的一个根，则m=1 题型14由复数的模求参数（共4小题） 53.已知复数z=i,若复数满足2，-z=1,则z-2的最大值为 54.棣莫弗公式(cos0+isin0)”=cosn0+isinm0n∈N)是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数 0=cos2+isin,则a':() A.-1+ iB.-51 +-1 c.1+5 D.51. -+-i 22 22 22 22 55.任何一个复数z=a+bi(其中a,b∈R,i为虚数单位)都可以表示成三角形式z=r(cos0+isin0)(其中 r≥0,0eR),数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：[r(cos0+isin0)]=r"(cosn0+isinne0)(n∈N).己 知复数z=+51,则的虚部为（) 2+2 A.-5 B.、3 C. 2 2 D. 6/7 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 56.已知复数z,=√3+i,z2=1+mi(meR) (①)若复数三为纯虚数，求m的值： 2 ②设0,8分别为的一个辐角，若0+0，=子，求m的值 题型15复数乘除运算的三角表示（共4小题）（重点） 57.（多滤)设=5cos经isin》,=1+i,马-2co号 2+isin 4 3 3则() A.2=2 B.至=1 C.223=-2+25i D.z,10=32i 58.已知复数石=cos3+isin 5 4=心号+m骨州子在复平面内对的点位于《） 5 A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 59.已知i为虚数单位，复数z=(cos75°+isin75)(cosl5°+isinl5),则z=() A.1 B.2 C.2 D.6 60.计算4cos元+isin )「1/ 12 2儿2s1 3 的结果是() 6 5π A.2cos 5π 5π B.2 sin +icos 12 12 12 12 C.2cos+isin D.8cos+isin π 4 4 4 4 题型16复数的三角表示（共4小题）（难点） 61.eos经+ism 62.已知复数2=c0s石+isim4=cos+isin,其中i为虚数单位，则：3，=（) 6 6 3 A.1 B.-1 C.i D.-i 63.计算： 010co号+ism}(-25+2刘： 2 @5+ 1+V3i a:owg+m)om号n别 7/7 专题04 复数·运算·几何意义 题型1 求复数的实部与虚部 题型9 共轭复数的考察（难点） 题型2 有关复数相等的求算 题型10 已知复数的类型求参数（重点） 题型3 判断复数对应点所在象限（重点） 题型11 根据复数的混合运算求参数（常考点） 题型4有关复数模的考察（重点） 题型12 复数范围内分解因式（常考点） 题型5 与复数模相关的轨迹问题（常考点） 题型13 根据复数对应点求参数 题型6 复数加减乘除混合运算 题型14 由复数的模求参数 题型7 复数范围内方程的根 题型15 复数乘除运算的三角表示（重点） 题型8 复数的乘方（重点） 题型16 复数的三角表示（难点） 题型1 求复数的实部与虚部（共4小题） 1．复数（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得：的共轭复数 ， 所以的虚部为. 2．复数（为虚数单位）的虚部为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的定义判断． 【详解】由题意虚部为． 3．复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由虚部的概念可知复数的虚部是. 4．已知复数满足，则的虚部是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的虚部为. 题型2 有关复数相等的求算（共4小题） 5．已知i为虚数单位，若，则实数a的值为（    ） A．1 B．1或-4 C． D．0或 【答案】C 【分析】根据复数相等公式，列式求解. 【详解】由条件可知，，解得. 6．若，则________． 【答案】1 【详解】由题意得：，解得：，所以. 7．；求满足上述条件的实数x，y的值； 【答案】 【分析】利用复数相等的条件得到方程组，即可求解. 【详解】，故，解得. 8．已知为虚数单位，为实数，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由复数相等可列出方程组求解. 【详解】由题意， 所以，解得，所以. 故选：D. 题型3 判断复数对应点所在象限（共4小题）（重点） 9．（多选）已知复数，其中，且，设在复平面内对应的点为，则下列说法正确的有（ ） A．的虚部为 B．点在第二象限 C．点在直线上 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】对复数 进行分母实数化、逐步化简，结合选项一一求解. 【详解】， 选项A，的虚部是实数，不是 ，所以A错误. 选项B，对应点的坐标为 ，因为，所以 ， ，点在第二象限，B 正确. 选项C，点的坐标 ，满足，所以点在直线上，C正确. 选项D，， 当时，，D错误. 10．设复数，是的共轭复数，则复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】直接由共轭复数的定义及复数的几何意义可得. 【详解】因为复数，是的共轭复数，所以， 所以复平面内对应的点为，位于第一象限. 11．（多选）若复数满足，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．复数是关于的方程的一个复数根 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，整理得，即，故A正确. 对于B，，故B错误. 对于C，，其对应的点坐标为，属于第二象限，故C正确. 对于D，因为， 所以复数是关于的方程的一个复数根，故D正确. 12．（多选）已知复数满足，则下列说法正确的是（    ） A．共轭复数 B．模长 C．复数在复平面内对应的点位于第三象限 D． 【答案】BC 【详解】由，得，所以，故A错误； ，故B正确； 在复平面内对应的点坐标为，位于第三象限，故C正确； ，故D错误. 题型4有关复数模的考察（共4小题）（重点） 13．若复数满足（其中为虚数单位），则（   ） A．10 B． C．5 D． 【答案】D 【详解】由，得 因此，所以. 14．若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，两边取模可得， 所以，故. 15．已知复数满足为纯虚数，则（    ） A．13 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】利用复数运算法则化简，再结合复数的模求解. 【详解】因为， 又为纯虚数，所以且，解得， 所以． 16．复数，则（ ） A．-3 B．2 C． D．4 【答案】C 【详解】因为， 所以. 题型5 与复数模相关的轨迹问题（共4小题）（常考点） 17．（多选）已知为虚数单位，为复数，则下列命题中正确的是（    ） A． B．若，则是为纯虚数的充要条件 C． D．若，则的最大值为3 【答案】AD 【分析】对于A，利用复数的乘方运算即可； 对于B，利用纯虚数的概念即可判断； 对于C，利用复数的乘法运算可求解； 对于D，根据题意可得的轨迹是以为圆心，2为半径的圆；将问题转化为圆上的点到的距离的最大值. 【详解】对于A，，故A正确; 对于B，若，则， 若，则，取，则不是纯虚数； 若为纯虚数，则，，则， 综上是为纯虚数的必要不充分条件； 对于C，取，则，故C错误； 对于D，设 ，，即的轨迹是以为圆心，2为半径的圆； ，其几何意义是圆上的点到的距离. 圆心到点的距离为1，圆的半径为2， 圆上的点到点的最大距离为，即的最大值为3，故D正确; 18．（多选）已知复数，则下列结论正确的是（   ） A． B．复数在复平面内对应的向量与向量垂直 C．若复数是关于的方程（其中，）的一个根，则 D．若复数满足，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】对于A，根据复数的模计算即可；对于B，根据复数的向量表示及垂直关系的向量表示判断即可；对于C，将复数代入方程，结合复数的四则运算及复数相等求解即可；对于D，根据复数的几何意义得到复数对应点在圆心为，半径为1的圆上，进而求出最小值. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，复数在复平面内对应的向量，则， 所以向量与向量垂直，故B正确； 对于C，将代入方程，得， 整理得，所以，解得， 所以，故C正确； 对于D，设复数对应向量为，复数对应的向量为， 由得，，则复数对应点在圆心为，半径为1的圆上， 所以，即，故D正确． 19．（多选）关于的方程的复数解为，，则（     ） A． B．与互为共轭复数 C．设，在复平面内对应的点在实轴上 D．若复数满足，则的最小值是3 【答案】BCD 【分析】借助韦达定理与求根公式得到复数根，结合共轭复数定义、复数幂运算、复数模的几何意义逐一检验选项. 【详解】对于方程，由韦达定理得，， 由求根公式得，. 对于选项A：，故A错误. 对于选项B：与实部相等、虚部互为相反数，因此二者互为共轭复数，故B正确. 对于选项C：由 ， 得 ， 在复平面内对应点，在实轴上，故C正确. 对于选项D：由，得 ， 表示复平面内以原点为圆心、为半径的圆， 表示圆上点到的距离， 因此最小值为，故D正确. 20．（多选）下列说法正确的是（    ） A． B．若是关于的方程的根，则 C．若复数满足，则的最大值和最小值的和为 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据复数定义，可以判断A选项；根据复数范围内二次方程的解互为共轭复数且满足根与系数关系，可以判断B选项；根据复数的几何意义可以判断对应的图形为圆，根据点到圆的距离可以判断C选项；根据复数的乘法运算可判断D选项. 【详解】对于A，复数包括实数和虚数，实数可以比较大小，虚数不可以比较大小，故A错误. 对于B，若是关于的方程的一个根，则也是关于的方程的一个根， 所以，因此,故B正确. 对于C，设，若复数满足，则有， 所以在复平面内对应点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 的几何意义为圆上点到原点的距离，，， 所以，故C正确. 对于D，由可得，，则， 因此，故D正确. 题型6 复数加减乘除混合运算（共4小题） 21．设复数满足，求： (1)的取值范围； (2)的最大值. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）满足不等式的复数所对应的点在以为圆心，1为半径的圆上及圆内，利用几何图形求解该圆上点到原点距离的范围即为的取值范围； （2）代表满足已知圆及圆内点到的距离，利用几何图形求解即可. 【详解】（1）满足不等式的复数所对应的点在以为圆心，1为半径的圆上及圆内，如图所示. （1）解法代表满足已知圆及圆内点到原点的距离，因此距离最大值为圆心到原点的距离5加半径1，最小值为圆心到原点的距离5减半径1，即. 解法2：由不等式，得，即，解得. （2）（2）代表满足已知圆及圆内点到的距离，所以点到点的距离为，所以，即最大值为6. 22．已知复数，满足且，则对于任意的复数， 的最小值为______． 【答案】 【分析】根据题意可得，简化运算，不妨设，利用复数的几何意义转化为，根据加权费马定理求最小值即可. 【详解】设，因为， 所以，， 根据对称性，不妨取， 则，，的几何意义为复平面中到点的距离， ， 如图，将顺时针旋转得到，， 则，所以， 又，所以， 所以. 故答案为：. 23．（多选）已知z为复数，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】结合共轭复数的概念及复数的乘法运算，根据模的运算求解判断AB，根据复数模长的性质分析判断CD. 【详解】对于A，，则，， 所以，所以A正确， 对于B，结合A，，，显然，所以B错误， 对于C，因为，所以，所以C正确， 对于D，因为，所以，所以D错误. 故选：AC 24．已知复数，满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的四则运算和复数的模即可求解. 【详解】由复数满足，可得，代入方程，则， 所以，则，因此，故B正确. 题型7 复数范围内方程的根（共4小题） 25．在复数集中，解方程 【答案】， 【详解】， 所以在复数集中，方程有两个解，依次为，. 26．已知复数满足． (1)求复数； (2)若复数是关于的方程的一个根，求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设，代入方程并整理，根据复数相等的条件列方程组求解； （2）将第（1）问求出的复数根代入方程，利用复数相等的条件求解. 【详解】（1）已知， ，化简可得， 所以，解得，因此，复数； （2）把代入方程中，得到， 整理得， 所以，解得， 所以． 27．在复数范围内解方程，解得_______． 【答案】或 【详解】因为， 所以或， 所以或. 28．已知关于x的方程的两个根分别为，，若，则实数__________. 【答案】或 【分析】根据一元二次方程是否有根，结合一元二次方程的判别式、根与系数的关系分类讨论进行求解即可. 【详解】关于x的方程的两个根分别为，， 当时，即当时，方程有两个实数根分别为，， 有， 由 ，显然满足，因此. 当时，即当时，方程有两个虚数根分别为，， 根据一元二次方程虚数根的特点，设，则， 由， 由， 由，显然满足， 综上所述：实数，或. 题型8 复数的乘方（共4小题）（重点） 29．（多选）复数，，已知，，下列说法正确的是（   ） A．复平面内与对应的点在第三象限 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】求出，利用复数的运算逐一分析每个选项即可. 【详解】对于A项，对应的点为在第二象限，故A错误； 对于B项，，则，故B正确； 对于C项，，故C正确； 对于D项，，故D正确. 30．已知复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，所以的虚部为. 31．已知为虚数单位，若，则的虚部为_____. 【答案】 【分析】利用复数的乘法化简复数，结合复数的概念可得结果. 【详解】因为，故的虚部为. 32．（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】 题型9 共轭复数的考察（共4小题）（难点） 33．已知复数． (1)求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数乘法运算化简，结合共轭复数即可求出； （2）通过复数相等求出的值，再利用模长公式即可求出. 【详解】（1）， 所以． （2）由，得，     即， 所以  ，解得，，  故． 34．已知 是虚数单位，复数 ，则 _____. 【答案】/0.2 【分析】由复数的乘法、除法运算和共轭复数的概念即可求解. 【详解】由题意 ，可得， 则 ， 则z的共轭复数为 ， 因此： . 35．已知复数满足，则___________． 【答案】 【详解】设，则， ， 代入原式得， ，即，解得， ． 36．（多选）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A．的虚部是 B．的共轭复数是 C．在复平面内对应的点在第二象限 D． 【答案】BD 【详解】， 的虚部是1，故A错误； ，故B正确； 在复平面内对应的点为，位于第一象限，故C错误； ，故D正确． 题型10 已知复数的类型求参数（共4小题）（重点） 37．已知复数． (1)若，求m，n的值； (2)若z是方程的一个复数根，求m，n的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据复数相等的条件，列出关于的二元一次方程组求解； （2）解一元二次方程求出复数根，分两个根分别讨论，分别利用复数相等构造方程组求解． 【详解】（1）已知复数，则 ，解得． （2）,解得， 若，则，解得； 若，则，解得． 38．若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C．0 D．10 【答案】B 【详解】， 因为复数为纯虚数，所以，解得. 39．若复数是纯虚数，则实数__________. 【答案】0 【详解】因为为实数，且复数是纯虚数， 所以，且，解得（舍去）. 40．已知复数：分别求出符合下列条件的实数的值. (1)实数； (2)纯虚数； (3)零. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据复数为实数的定义可得； （2）根据复数为纯虚数的定义可得； （3）根据复数为零的定义可得. 【详解】（1）因为，所以复数的实部为，虚部为， 若复数为实数， 则，解得或. 因此，或时，复数为实数. （2）若复数为纯虚数， 则，解得； 因此，时，复数为纯虚数. （3）若复数为零， 则，解得； 因此，时，复数为零. 题型11 根据复数的混合运算求参数（共4小题）（常考点） 41．已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为_____． 【答案】2 【分析】利用复数的减法结合复数的概念可得出关于实数的等式，解之即可． 【详解】由复数，， 可得为纯虚数， 则，解得． 故答案为：2． 42．已知复数z，w是方程的两个不同的根，且z在复平面内对应的点在第一象限． (1)求复数z； (2)求复数的实部； (3)设，求在复平面内对应的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一元二次方程求根公式即可得出两个根，由于z在复平面内对应的点在第一象限确定根. （2）将（1）中得到的根代入进行复数运算. （3）先对分母实数化算出来，再利用幂次的周期性，由2025除以4的余数确定的值，最后得出对应点坐标. 【详解】（1）因为复数z，w是方程的两根， 由求根公式可得，， 因为z在复平面内对应的点在第一象限，故． （2）由（1）可得，，故，其实部为． （3）， 因为， 所以的幂次是以4为周期循环的，，其中1是余数， 所以，， 所以在复平面内对应的点的坐标为． 43．已知实系数二次函数满足是方程的一个根， (1)求实数的的值； (2)计算，结果写成代数形式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，化简得到，列出方程组，即可求解； （2）由（1）知：函数，结合复数的运算法则，即可求得的代数式. 【详解】（1）因为是方程的一个根， 所以，即， 可得，解得. （2）由（1）知：函数， 可得. 44．已知复数，，其中为非零实数. (1)若是实数，求的值； (2)若，复数为纯虚数，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，求得，结合是实数，得到，即可求解； （2）根据题意，得到，结合复数为纯虚数，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：由复数，可得， 因为是实数，可得，即， ∵为非零实数.所以. （2）解：由，可得，所以， 则， 因为复数为纯虚数，可得， 解得或. 题型12 复数范围内分解因式（共4小题）（常考点） 45．（多选）（多选）已知复数满足方程，则（   ） A．可能为纯虚数 B．方程各根之和为4 C．可能为 D．方程各根之积为 【答案】BCD 【分析】解方程，求出或，从而判断四个选项的正误即可. 【详解】由， 得或， 即或， 解得或，显然A错误，C正确； 各根之和为，B正确； 各根之积为，D正确， 故选：BCD． 46．在复数范围内分解因式： (1)； (2). 【答案】(1)； (2). 【分析】将原式配成完全平方式，再根据，即可得解； 【详解】（1） . （2）. 47．在复数范围内分解因式： (1)； (2). 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先应用求根公式再写成两个因式相乘； （2）先应用求根公式再写成两个因式相乘. 【详解】（1）由方程可知， 所以方程有两个共轭虚根为， 故. （2）由方程可知， 所以方程有两个共轭虚根为， 48．（1）已知复数满足，求； （2）在复数范围内因式分解：. 【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）根据复数的运算法则，准确运算，即可求解； （2）利用求根公式求得方程的根，进而得到的因式分解. 【详解】解：（1）由复数满足， 可得. （2）由判别式， 所以方程的两个根为， 则. 题型13 根据复数对应点求参数（共4小题） 49．已知复数，其中为虚数单位，． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求的值； (3)当时，复数所对应的平面向量为；当时，复数所对应的平面向量为，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用纯虚数的概念即可求解； （2）实系数一元二次方程虚根的共轭性结合韦达定理即可求解； （3）根据向量夹角为钝角进而得，且与不共线，解出即可. 【详解】（1）由题意得：，所以； （2）当时，，由复数是关于的方程的一个根， 所以是方程的另一个根， 所以， 所以； （3）当时，，所以复数所对应的平面向量为， 当时，，所以复数所对应的平面向量为， 所以，， 因为向量与的夹角为钝角， 所以，且与不共线， 所以， 所以. 50．已知复数 ， . (1)若在复平面内对应的点在第三象限的角平分线上，求实数的值； (2)若，求实数的最值. 【答案】(1)1 (2)， 【分析】（1）利用复平面第三象限角平分线上点的实部、虚部均为负数且相等的性质，列不等式与方程求解参数； （2）根据复数相等条件建立方程组，消元后将表示为的三角函数，再利用辅助角公式结合正弦函数的值域求的最值. 【详解】（1）若z1在复平面内对应的点在第三象限的角平分线上，则且， 且 ，解得. （2）若，则，由①得 ③， 将③代入②中，得 ， 故， 因为 ，所以当 时，， 当 时，. 51．已知复数．若在复平面内，复数z表示的点在第四象限，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】复数表示的点在第四象限，且，且，解得. 52．（多选）已知复数，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．若z是纯虚数，则或 C．若z在复平面内对应的点在第四象限，则 D．若z是关于x的方程的一个根，则 【答案】ACD 【分析】利用共轭复数的意义判断A；利用纯虚数的定义列式求解判断B；利用复数对应点的位置求出范围判断C；求出方程的根，再利用复数相等求解判断D. 【详解】对于A，当时，，则，A正确； 对于B，由z是纯虚数，得，解得，B错误； 对于C，由z在复平面内对应的点在第四象限，得，解得，C正确； 对于D，，解得 因此或，而方程组无解， 解方程组，得，所以，D正确． 题型14 由复数的模求参数（共4小题） 53．已知复数，若复数满足，则的最大值为______. 【答案】 【分析】由题意可设，根据辅助角公式及正弦函数性质计算求解即可. 【详解】若复数满足，可设， 则， 所以 ，其中， 由正弦函数性质可知，当时，， 此时有最大值为. 54．棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由棣莫弗公式，. 55．任何一个复数（其中为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的三角形式表示，再应用复数的乘方计算结合诱导公式及特殊角三角函数求解. 【详解】由题意可得， 故 ， 即的虚部为. 56．已知复数，（）. (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)设，分别为的一个辐角，若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ， 为纯虚数，故，解得； （2），， 则，，， 若，则，即 题型15 复数乘除运算的三角表示（共4小题）（重点） 57．（多选）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】，，， A选项，，所以A选项正确； B选项，，所以B选项错误； C选项，，所以C选项正确； D选项，，所以D选项正确. 58．已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】因为复数， 所以， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为， 又，， 所以在复平面内对应的点位于第一象限. 59．已知为虚数单位，复数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用复数的三角形式的乘法公式计算即得. 【详解】因， 则. 60．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数乘法的三角表示公式计算即可. 【详解】因为，所以 . 故选：C. 题型16 复数的三角表示（共4小题）（难点） 61．_________． 【答案】 【详解】 ． 62．已知复数，其中为虚数单位，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数三角形式的乘法法则可得. 【详解】由题可知. 故选：C. 63．计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一将复数都化为三角形式再进行运算，方法二将复数都化为一般形式再运算即可. （2）将复数都化为三角形式再进行运算即可. 【详解】（1）方法一：原式 . 方法二：原式. （2）原式. 64．计算：. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用复数三角形式的除法运算求解. 【详解】 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $