专题02 三角恒等变换·和差·倍角·辅助角公式（十六大高频考点）（期末复习专项训练）数学苏教版高一必修第二册

**基本信息** 以三角恒等变换公式为核心，构建从基础公式应用到综合问题解决的递进训练体系，强化运算能力与推理意识，覆盖高频考点与重难点。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础公式应用|题型1-8（32题）|含特殊角求值、和差倍角公式直接应用，标注重点题型|从特殊角到一般角，从单一公式到公式联用，构建“概念-推导-应用”链条| |进阶公式应用|题型9-10（8题）|降幂公式（难点）、辅助角公式（重点），结合函数性质|衔接倍角公式与函数化简，体现公式转化的逻辑关联| |综合应用|题型11-16（24题）|含化简、给角/值求值求角、三角形形状判断、积化和差（难点）|整合公式体系解决复杂问题，培养数学思维与应用意识|

专题02 三角恒等变换·和差·倍角·辅助角公式 题型1 求15。等特殊角的正余弦 题型9 降幂公式及应用（难点） 题型2 用和、差角的余弦公式化简求值 题型10 辅助角公式（重点） 题型3 已知两角的正余弦，求和差角的正弦（重点） 题型11 三角恒等变换的化简问题（常考点） 题型4已知两角的正余弦，求和差角的余弦（重点） 题型12 给角求值问题（常考点） 题型5 用和、差角的正弦公式化简求值（常考点） 题型13 给值求值问题 题型6 用和、差角的正切公式化简求值 题型14 给值求角问题 题型7 已知两角的正余弦，求和差角的正切 题型15 判断三角形形状（重点） 题型8 二倍角的三角函数（重点） 题型16 积化和差、和差化积（难点） 题型1 求15。等特殊角的正余弦（共4小题） 1．利用两角差的余弦公式求的值. 2．（   ） A． B． C． D． 3．已知函数（，）两个相邻的零点为，，距离y轴最近的对称轴为，则（    ）. A． B． C． D． 4．若表示不超过的最大整数，如．若函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． 题型2 用和、差角的余弦公式化简求值（共4小题） 5．（多选）下列各式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，D，E为线段上两点，且平分，（在的左侧）. (1)若，，求的面积； (2)若，，求的值. 7．已知，且，则（     ）． A． B． C．1 D．5 8．已知，，则（   ） A． B． C． D． 题型3 已知两角的正余弦，求和差角的正弦（共4小题）（重点） 9．若，且，则等于（ ） A． B． C． D． 10．已知，，，（   ） A． B． C． D． 11．已知，且满足，则（   ） A． B． C． D． 12．已知 (1)求 的值; (2)求的值. 题型4已知两角的正余弦，求和差角的余弦（共4小题）（重点） 13．已知，，若，，则（   ） A． B． C． D． 14．已知，，则（    ） A． B． C． D． 15．已知是第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 16．已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型5 用和、差角的正弦公式化简求值（共4小题）（常考点） 17．已知中，，则（   ） A． B． C． D． 18．（多选）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 19．的值为（   ） A． B． C． D． 20．已知为锐角，，，则=（    ） A． B． C． D．或 题型6 用和、差角的正切公式化简求值（共4小题） 21．设，且，，则（   ） A． B． C． D． 22．已知，，且，，则为（    ） A． B． C． D．或 23．计算：__________． 24．（多选）下列结论正确的是（    ） A．若为第一象限角，则 B．若，则 C． D． 题型7 已知两角的正余弦，求和差角的正切（共4小题） 25．已知为第二象限角，，则__________. 26．（1）求值：. （2）在中，已知，且，求角. 27．已知，且． (1)求； (2)若，且，求． 28．已知，，，则等于（   ） A． B． C． D． 题型8 二倍角的三角函数（共4小题）（重点） 29．已知，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 30．（多选）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则（    ） A． B．直线是曲线的对称轴 C．在区间单调递增 D．函数是奇函数 31．（多选）在中，下列说法正确的是（   ） A． B． C．可能为0 D． 32．若，，则（   ） A． B．2 C． D． 题型9 降幂公式及应用（共4小题）（难点） 33．（多选）下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 34．已知，，则____. 35．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 36．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数在区间上是减函数 C．函数图象关于对称 D．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位得到 题型10 辅助角公式（共4小题）（重点） 37．若函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 38．（多选）已知函数的一个零点是，函数，则（     ） A．在区间上的值域为 B． C．若方程的相邻的两根分别为，，则 D．函数的最大值为 39．已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)若函数在内存在两个零点，求实数的取值范围． 40．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A．1 B． C． D． 题型11 三角恒等变换的化简问题（共4小题）（常考点） 41．若函数图象的一条对称轴是，且在上有唯一零点，则的最小值为（     ） A． B．4 C．5 D． 42．已知函数，． (1)求在的单调递减区间； (2)当时，求的最大值和最小值； (3)若，，求的值． 43．已知函数. (1)求的最小正周期和对称中心； (2)求在区间内的单调递增区间. 44．设函数，若，则函数的值域为（     ） A． B． C． D． 题型12 给角求值问题（共4小题）（常考点） 45．（1）求值； （2）已知，都是锐角，，，求的值. 46．三倍角公式：，，则方程的所有实根的乘积为__________ 47．（1）已知，，其中，.求角的值. （2）化简：. 48．求值：． 题型13 给值求值问题（共4小题） 49．已知，则（   ） A．1 B． C． D． 50．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 51．已知，则（   ） A． B． C． D． 52．已知均为锐角，且，，则________. 题型14 给值求角问题（共4小题） 53．已知为锐角，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 54．若，并且均为锐角，且，则________． 55．已知函数． (1)求； (2)若，，求角． 56．已知，，，，则的值为_____________． 题型15 判断三角形形状（共4小题）（重点） 57．在中，内角、满足，则为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 58．若中，，则此三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 59．在中，已知，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．没有符合条件的三角形 60．在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 题型16 积化和差、和差化积（共4小题）（难点） 61．已知，且，，是在内的三个不同零点，则______. 62．学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式： ， ， ， ． (1)证明：． (2)运用上面的公式解决下列问题： （i）已知，求的值； （ii）若，求的最大值． 63．（多选）已知是方程的根，且，则（ ） A． B． C． D． 64．已知函数，则在上共有________个零点. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角恒等变换·和差·倍角·辅助角公式 题型1 求15。等特殊角的正余弦 题型9 降幂公式及应用（难点） 题型2 用和、差角的余弦公式化简求值 题型10 辅助角公式（重点） 题型3 已知两角的正余弦，求和差角的正弦（重点） 题型11 三角恒等变换的化简问题（常考点） 题型4已知两角的正余弦，求和差角的余弦（重点） 题型12 给角求值问题（常考点） 题型5 用和、差角的正弦公式化简求值（常考点） 题型13 给值求值问题 题型6 用和、差角的正切公式化简求值 题型14 给值求角问题 题型7 已知两角的正余弦，求和差角的正切 题型15 判断三角形形状（重点） 题型8 二倍角的三角函数（重点） 题型16 积化和差、和差化积（难点） 题型1 求15。等特殊角的正余弦（共4小题） 1．利用两角差的余弦公式求的值. 【答案】 【分析】结合两角差的余弦公式和特殊角的函数值运算求解． 【详解】法一：； 法二：. 2．（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，再根据两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为. 故选：C 3．已知函数（，）两个相邻的零点为，，距离y轴最近的对称轴为，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知求得解析式，根据两角和的余弦公式计算即可． 【详解】由题意，知，又，所以； 又距离轴最近的对称轴为， 所以，即， 因为，所以， 所以， 所以， 故选：A． 4．若表示不超过的最大整数，如．若函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对分情况讨论，结合诱导公式、两角和与差的余弦公式及的定义求解即可. 【详解】当时， . 当时， . 所以的值域为. 题型2 用和、差角的余弦公式化简求值（共4小题） 5．（多选）下列各式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】选项A： ，故A正确； 选项B： ，故B正确； 选项C： 原式整理为，故C正确； 选项D： 原式展开得， 和题干给出的结果不符，故D错误. 6．如图，在中，，D，E为线段上两点，且平分，（在的左侧）. (1)若，，求的面积； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由角平分线性质，结合三角形面积公式即可求解； （2）由角平分线的性质，结合两角和差的余弦公式化简可得的值，再根据正切的诱导公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以在中，. 又 ，即 ，所以. 因为，所以，即，解得. 因为平分，所以， 解得， 所以 所以. （2）设， 则， 即， 整理得， 又， 故，即，解得. 7．已知，且，则（     ）． A． B． C．1 D．5 【答案】D 【分析】将条件变形为，根据两角和差的余弦公式，结合同角三角函数的关系，即可求得答案. 【详解】由，得， 所以， 则， 所以，因为， 所以. 8．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，， 所以， 所以. 题型3 已知两角的正余弦，求和差角的正弦（共4小题）（重点） 9．若，且，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的关系，可得的值，根据两角和的正弦公式，整理计算，即可得答案. 【详解】由，，得， 所以. 10．已知，，，（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数值的关系求，，再结合两角和差公式运算求解. 【详解】因为，，， 则，， 所以. 11．已知，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式以及两角差的正弦公式可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可求出的值，再利用同角三角函数的基本关系以及两角和的正弦公式可求得的值. 【详解】因为，且满足， 由于， 故有①， 由②， 联立①②可得，， 因此 ， 因为，则，故， 所以， 因此 . 12．已知 (1)求 的值; (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的基本关系求出和的值，然后利用两角差的正弦公式可求出的值； （2）利用两角和的余弦公式求出的值，并求出角的取值范围，即可求出的值. 【详解】（1）且，. 且， 因此，； （2）由（1）知，，，， ， 、，， 因此，. 题型4已知两角的正余弦，求和差角的余弦（共4小题）（重点） 13．已知，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，利用同角关系式和两角差的余弦公式求解. 【详解】因为，，所以， 已知 ，所以， 因此， 已知，，所以， 则 . 14．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 15．已知是第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式得出的值，再利用同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式求解即可. 【详解】因为是第二象限角，且， 所以， 故. 16．已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 两边同除以，得， 所以，因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以最大值为． 题型5 用和、差角的正弦公式化简求值（共4小题）（常考点） 17．已知中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知结合同角三角函数的基本关系求出，，然后结合诱导公式以及和差角公式进行化简即可求解. 【详解】因为在中，，， 所以，， 因为，为锐角，所以， 若，则为钝角，又可知，，此时，矛盾， 故，则. 18．（多选）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】，所以A错误； ，所以B正确； ，所以C正确； ，所以D正确. 19．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角和的正弦公式求得正确答案. 【详解】. 20．已知为锐角，，，则=（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】因为为锐角，，所以. 因为，所以，且， 所以， 所以 . 题型6 用和、差角的正切公式化简求值（共4小题） 21．设，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， ，， ， ， ． 22．已知，，且，，则为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】因为，，所以， 由同角三角函数的基本关系得， 由两角和的正切公式得， 而，，可得， 故，因此． 23．计算：__________． 【答案】1 【详解】， 又， 即， 故． 24．（多选）下列结论正确的是（    ） A．若为第一象限角，则 B．若，则 C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，虽然是第一象限角，但，故A错误； 对于B，由，得，所以，所以，故B正确； 对于C，由，得， 所以，即，故C正确； 对于D，因为，故D错误． 题型7 已知两角的正余弦，求和差角的正切（共4小题） 25．已知为第二象限角，，则__________. 【答案】 【详解】因为为第二象限角，由可得， 所以，则. 26．（1）求值：. （2）在中，已知，且，求角. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用两角和的正弦公式分析求解即可 （2）利用两角和的正弦公式、两角和的正切公式，以及同角三角函数关系式求解即可. 【详解】（1）原式 . （2）因为，所以， 又，所以，① 因为可知， 所以①式两边同时除以，得， 又， 所以，又，所以. 27．已知，且． (1)求； (2)若，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角关系解方程可得，结合符号性取舍即可； （2）根据两角和差的余弦公式可得，进而可求，结合两角和差的正切公式运算求解即可. 【详解】（1）因为，即， 联立方程，解得或， 又因为，则，， 所以，. （2）因为， 即，且， 可得，， 所以. 28．已知，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角三角函数的平方关系及商数关系得出，再根据两角差的正切公式得出． 【详解】因为，， 所以，所以， 又， 所以， 故选：B． 题型8 二倍角的三角函数（共4小题）（重点） 29．已知，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件结合两角差的正弦公式可得，根据平方关系求，再根据二倍角余弦公式及两角和余弦公式求结论. 【详解】因为，又， 所以，即， 又， 所以， 因为，所以，， 所以， 所以. 30．（多选）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则（    ） A． B．直线是曲线的对称轴 C．在区间单调递增 D．函数是奇函数 【答案】BCD 【分析】利用图象的平移可得，结合三角函数的图象与性质依次判断选项即可. 【详解】由函数的图象向左平移个单位长度得到，故A不正确， 的对称轴满足，即，当时，，即直线是曲线的对称轴，故B正确； 令，解得：， 当时，，所以在区间单调递增，故C正确； ， 所以函数是奇函数，故D正确. 31．（多选）在中，下列说法正确的是（   ） A． B． C．可能为0 D． 【答案】ABD 【分析】利用可判断A；利用三角恒等变换可得可判断B；利用三角恒等变换可得可判断C；利用三角恒等变换可得，进而利用均值不等式可判断D. 【详解】对于A，因为，，，所以， 所以，故A正确； 对于B，因为 . 因为，，，所以，，， 所以，所以，故B正确； 因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以， 又因为，所以不可能为0，故C错误； 因为，所以， 所以，所以， 所以. 又，，，所以， 所以 ， 所以， 所以，所以， 当且仅当，即时取等号，故D正确. 32．若，，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】由可得， 因，则，可得. 题型9 降幂公式及应用（共4小题）（难点） 33．（多选）下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】逆用和差角公式及二倍角公式逐项化简判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 34．已知，，则____. 【答案】 【详解】由，，得， 所以. 35．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用降幂公式整理可得，结合图象变换运算求解. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度， 得到函数的图象. 结合选项可知A正确. 故选：A. 36．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数在区间上是减函数 C．函数图象关于对称 D．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位得到 【答案】ABC 【分析】利用降幂公式及辅助公式化简函数，再结合正弦函数的性质逐项判断即可. 【详解】函数， 对于A，函数的最小正周期是，A正确； 对于B，当时，，而正弦函数在上单调递减， 因此函数在区间上是减函数，B正确； 对于C，，函数图象关于对称，C正确； 对于D，函数的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位， 得，D错误. 故选：ABC 题型10 辅助角公式（共4小题）（重点） 37．若函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用奇函数求解参数，化简函数后通过奇偶性定义验证，再代入自变量计算函数值. 【详解】由为定义在上的奇函数，得， 即，，. 结合，得. 所以. 验证奇偶性：，满足奇函数定义. 因此，. 38．（多选）已知函数的一个零点是，函数，则（     ） A．在区间上的值域为 B． C．若方程的相邻的两根分别为，，则 D．函数的最大值为 【答案】BCD 【分析】对于A，先根据函数的零点与和差的正弦公式求出，然后根据换元法和正弦函数的性质求出值域；对于B，利用诱导公式进行化简即可；对于C，先化简的表达式，然后令其为0，求出零点，进而验证；对于D，先根据诱导公式和二倍角的余弦公式化简，然后结合二次函数的性质求出最大值. 【详解】因为函数的一个零点是，所以. 即，展开化简得， 即，所以，即. 由于，所以. 所以. 当时，，所以，A错误； ，B正确； 所以. 因为，所以令，即， 所以，即， 因为方程的相邻的两根分别为，，则，C正确； ，由于， 所以，所以，所以. 所以当时，，此时取最大值为1， 所以的最大值为，D正确. 39．已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)若函数在内存在两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）根据题意应用三角恒等变换化简结合正弦函数求得的最小正周期和利用整体代入法求得的单调递增区间； （2）由，转化为求三角函数的值域来求得的取值范围. 【详解】（1） ， 所以函数的最小正周期为， 令，，解得，， 所以函数的单调递增区间为，． （2）令，则， 原题意等价于方程在上有两个解， 当时，， 当时满足方程在上有两个解， 所以，解得， 故实数的取值范围为． 40．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得， 所以， 可得. 题型11 三角恒等变换的化简问题（共4小题）（常考点） 41．若函数图象的一条对称轴是，且在上有唯一零点，则的最小值为（     ） A． B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】整理可得，根据对称性可得，，结合正弦函数零点可得，进而运算求解. 【详解】由题意可得：， 因为函数图象的一条对称轴是， 则，，解得，， 又因为，，则， 若函数在上有唯一零点，则，解得， 即，可得， 所以的最小值为. 42．已知函数，． (1)求在的单调递减区间； (2)当时，求的最大值和最小值； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）根据降幂公式，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质即可求解； （2）根据三角函数的性质即可求解最值； （3）由已知得出，结合及同角三角函数的平方关系得出，由两角和的正弦公式即可求解． 【详解】（1）， 由，解得， 又，所以的单调递减区间为． （2）因为，所以，则， 所以， 所以的最大值为，最小值为． （3）由，所以，所以， 又，所以， 所以， 所以 ． 43．已知函数. (1)求的最小正周期和对称中心； (2)求在区间内的单调递增区间. 【答案】(1)最小正周期，对称中心为； (2)和. 【分析】利用三角恒等变换将函数化为一个正弦型函数，根据周期公式得到最小正周期；令正弦函数内部的相位等于，解出即为对称中心的横坐标； （2）令正弦函数内部的相位落在正弦函数的单调递增区间内，解出的范围，得到单调递增区间的通式，再与给定区间取交集，即得所求的单调递增区间. 【详解】（1）函数 ， 所以的最小正周期， 令，解得：，此时， 的对称中心为； （2）令， 解得， 的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为； 在区间内单调递增区间和. 44．设函数，若，则函数的值域为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】利用降幂公式，代入原函数得 ， 再用辅助角公式整理得 . 已知，则 ， 正弦函数，的取值范围是，故， 则， 因此函数的值域为. 题型12 给角求值问题（共4小题）（常考点） 45．（1）求值； （2）已知，都是锐角，，，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先进行切化弦，再结合辅助角公式及诱导公式可得； （2）先由同角三角函数基本关系式可得正弦值，再通过变角，再用两角差的余弦公式可得. 【详解】（1）原式 . （2）解：由，是锐角，得 因为，是锐角，所以 又因为，所以 ∴. 46．三倍角公式：，，则方程的所有实根的乘积为__________ 【答案】/ 【分析】根据已知，设且，将方程化为，进而求对应，从而得到方程的根，最后应用三角恒等变换求根的乘积. 【详解】由，则，即， 令且，则， 所以，即， 所以，，可得，， 或，，可得，， 综上，或或，即原方程对应的三个根为， 所以. 47．（1）已知，，其中，.求角的值. （2）化简：. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先利用同角三角函数的基本关系求出的余弦和的正弦，再利用两角差的正弦求出的值，从而可求的值； （2）利用同角三角函数基本关系式可得，再利用辅助角公式和两角差的正弦可求三角函数的值. 【详解】（1）因为，且，，可得， 所以， 则. 因为，，可得， 又因为，， 所以，，可得， 所以，所以. （2）原式 . 48．求值：． 【答案】 【分析】根据二倍角公式及和差角公式，并结合三角变换公式可得. 【详解】原式 题型13 给值求值问题（共4小题） 49．已知，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 又，所以． 50．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由两角和的正切公式得，再通过二倍角公式及齐次式计算可得. 【详解】由三角恒等变换可知，解得， 原式. 51．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定角的范围，求出 值，利用正弦和余弦的差角公式求出 和 ，最后用半角公式即可求解. 【详解】已知 ，因此 ， 所以， 所以， 化简得①； 而， 化简得②； 联立①②，相加得： 相减得： ， 由 ，得 ， 根据半角公式 ，代入 得. 52．已知均为锐角，且，，则________. 【答案】/0.6 【分析】求出的值，再利用两角和差公式展开，联立方程求出与的关系，即可得到的值. 【详解】因为均为锐角，即，，所以，. ，故，则：， 即， 已知，则， 所以，即， ，即， 所以. 题型14 给值求角问题（共4小题） 53．已知为锐角，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由齐次式及同角三角函数的商数关系即可求解； （2）由同角三角函数的平方关系及二倍角公式即可求解； （3）由两角差的正弦公式及各象限三角函数的符号即可求解． 【详解】（1）. （2）因为为锐角，所以， 由，设， 由得，（舍去负值）， 所以，则． （3）为锐角，则，所以， 又，所以，则， 由，又，所以， 所以， 则 ， 因为，所以， 所以． 54．若，并且均为锐角，且，则________． 【答案】/ 【分析】由题意知，，，进而得，，再根据，结合余弦差角公式求得，最后根据余弦函数性质即可求得答案. 【详解】因为均为锐角，且，即， 所以，，， 所以 因为， 所以， ， 所以， 因为， 所以 55．已知函数． (1)求； (2)若，，求角． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）化简，再代入求解即可； （2）根据列出关于的等式求解即可． 【详解】（1） ， 所以． （2）由，得，整理得， 由，得， 所以，即． 56．已知，，，，则的值为_____________． 【答案】/ 【分析】根据角的范围，以及同角三角函数关系，求出和，进而根据两角差的正弦公式，求出结果. 【详解】因为，，所以． 因为，，所以， 又因为，所以， 于是， 即，由于，故． 答案：. 题型15 判断三角形形状（共4小题）（重点） 57．在中，内角、满足，则为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】分析可知、都为锐角，再利用两角和的正切公式推导出，由此可得出结论. 【详解】在中，内角、满足， 由于中至少有两个锐角，则、中至少有一个锐角， 不妨设为锐角，则，从而，故为锐角， ， 故角为锐角，从而可知为锐角三角形， 故选：A. 58．若中，，则此三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据三角函数和与差的正弦公式，即可判断三角形的形状. 【详解】中，， 已知等式变形得， ， 即， 整理得，即， 或（不合题意，舍去）． ，， 则此三角形形状为直角三角形． 故选：A 59．在中，已知，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．没有符合条件的三角形 【答案】C 【分析】根据三角变换可得，故可得正确的选项. 【详解】因为，故， 故，故， 而，故即，故三角形为等腰三角形， 故选：C. 60．在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据已知，诱导公式与和、差角的余弦公式化简得到，从而得到，进而即可得出结论． 【详解】在△ABC中，由，得 ， 则， 所以，即，则， 又，，则，所以，即， 所以△ABC为等腰三角形，但无法判断C是不是直角． 故选：A． 题型16 积化和差、和差化积（共4小题）（难点） 61．已知，且，，是在内的三个不同零点，则______. 【答案】 【分析】根据方程，，求出，，，再利用诱导公式和积化和差求值. 【详解】由题意：，， 得：， 所以或，， 又，所以，，， . 62．学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式： ， ， ， ． (1)证明：． (2)运用上面的公式解决下列问题： （i）已知，求的值； （ii）若，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）结合两角和与差的余弦公式即可证明； （2）（i）结合（1）所证式子，再利用倍角公式即可求解；（ii）利用三角恒等变换将原式变为，再结合及将原式放缩为只含的式子，研究其最值并验证等号成立条件即可． 【详解】（1）由于， 且， 将两式相加，得， 两边同时除以2，得． （2）（i）由（1）可知 ， 结合已知条件可得． （ii） 由于，， 所以，原式 ， 当且时取到最大值，最大值为． 63．（多选）已知是方程的根，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】， 所以或， 所以或， 解得：或， 又，所以， 所以A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，， 所以， 即， 所以， 所以，故C错误； 对于D， ，故D正确. 64．已知函数，则在上共有________个零点. 【答案】2 【分析】把用积化和差公式变形后再由和差化积公式变形，然后结合正弦函数性质可得所求零点个数． 【详解】由于 ， 因此， 令，得或， 因为，所以解得，解得， 所以在共有2个零点和. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $