专题07 概率·随机·互斥·独立事件（十大高频考点）（期末复习专项训练）数学苏教版高一必修第二册

**基本信息** 该专项以概率核心概念为逻辑主线，构建从基础性质到综合应用的递进训练体系，突出互斥、独立事件等重点题型的关联与辨析。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概率的基本性质|4题|多选与填空结合，考查概念辨析|从概率公理出发，奠定理论基础| |互斥与对立事件|4题|结合掷骰子等情境，强化关系判断|通过具体情境构建事件关系认知| |古典概率|4题|含解答题，涉及样本空间构建|连接计数原理与概率计算的桥梁| |有无放回区别|4题|对比两种抽样模型的概率差异|体现随机抽样中顺序与放回的影响| |综合考察|4题|多考点融合，需综合运用概念|整合概率知识解决复杂问题|

专题07 概率·随机·互斥·独立事件 题型1 概率的基本性质 题型6 利用对立求概率（难点） 题型2 互斥与对立事件 题型7 独立事件的考察（重点） 题型3 计算古典概率（重点） 题型8 样本空间的计算（常考点） 题型4有无放回的区别（重点） 题型9 频率与概率的区别与联系（常考点） 题型5 利用互斥求概率（常考点） 题型10 随机事件的综合考察 题型1 概率的基本性质（共4小题） 1．（多选）下列说法中正确的是（    ） A．数据、、、、、、、、、的下四分位数为 B．若、为互斥事件，则的对立事件与的对立事件一定互斥 C．设样本数据、、、、、的平均数和方差分别为和，若，则、、、、、 的平均数和方差分别为和 D．已知，，且，则 【答案】AC 【分析】利用百分位数的定义可判断A选项；利用韦恩图法可判断B选项；利用平均数和方差的性质可判断C选项；利用事件的关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，，故数据、、、、、、、、、的下四分位数为，A对； 对于B选项，若事件、互斥且不对立，如下图所示： 则，即的对立事件与的对立事件不一定互斥，B错； 对于C选项，设样本数据、、、、、的平均数和方差分别为和， 若，则、、、、、 的平均数为，方差为，C对； 对于D选项，若，则，故，D错. 故选：AC. 2．已知在一次随机试验中，定义两个随机事件，，若，，，则______. 【答案】/ 【分析】利用概率的基本性质及事件的运算求概率即可. 【详解】因为，，， 所以. 故答案为：. 3．已知，，且，则（   ） A．0.5 B．0.4 C．0.9 D．0.2 【答案】B 【分析】由A与B之间的包含关系可直接得到答案. 【详解】因为，所以, 故选：B. 4．已知随机事件A，B满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质列式计算即得. 【详解】依题意，. 故选：D 题型2 互斥与对立事件（共4小题） 5．掷两枚骰子，设事件两骰子出现点数之和为奇数，两骰子出现点数之和为偶数，则（   ） A．事件和事件是互斥但不对立事件 B． C．事件和事件是对立事件 D．以上均不对 【答案】C 【详解】由互斥事件和对立事件的定义知，事件和事件互斥且对立，所以A错误，C正确， 又（必然事件），所以B错误. 6．（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于2”；“点数大于2”；“点数大于5”；“点数为奇数”.则下列说法正确的有（    ） A． B．，为对立事件 C．与互斥 D． 【答案】BD 【分析】根据对立事件、互斥事件，并事件，积事件的概念及事件之间的关系，逐项判断即可. 【详解】对于A，“点数大于2”“点数大于5”“点数大于2”，故A错误； 对于B，点数大于2与点数不大于2不可能同时发生，且必有一个发生，即为对立事件，故B正确； 对于C，点数为奇数与点数大于2可能同时发生，即与不是互斥事件，故C错误； 对于D，点数为奇数与点数大于5不可能同时发生，故，故D正确. 故选：BD. 7．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（   ） A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件 【答案】D 【分析】写出基本事件和样本空间，得到；B，C包含共同的基本事件；C，D包含共同的基本事件；，且，从而判断出结论. 【详解】A选项，设抛掷一颗质地均匀的骰子，向上的点数为基本事件， 则样本空间为， 事件包含的基本事件有点数为1，点数为2，点数为3， 事件包含的基本事件有点数为3，点数为4，点数为5，点数为6， 由于有共同的基本事件，即点数为3，，故A，B不为互斥事件，A错误； B选项，事件C包含的基本事件有点数为5，点数为6， 结合A选项，显然B，C包含共同的基本事件，不互斥，不对立，B错误； C选项，事件包含的基本事件有点数为1，点数为3，点数为5， 结合B选项，可知C，D包含共同的基本事件，不互斥，C错误； D选项，事件包含的基本事件有点数为2，点数为4，点数为6， 结合C选项，，且， 所以D，E为对立事件，D正确. 故选：D 8．（多选）袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球、2个黄球，从中不放回依次摸出2个球，记“恰有一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到黄球”，“至少有一次摸到红球”，“至多一次摸到红球”．则下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件B是互斥事件 B．事件B与事件C是对立事件 C．事件C与事件D是对立事件 D．事件D与事件E是互斥事件 【答案】AC 【分析】根据互斥事件以及对立事件的概念，一一判断各选项，即可得答案. 【详解】对于A，由于事件A与事件B不可能同时发生，故二者是互斥事件，A正确； 对于B，，但，故二者为互斥事件，不是对立事件，B错误；， 对于C，至少有一次摸到红球包括有一次摸到红球一次摸到黄球和两次都摸到红球， 其对立事件为没有一次摸到红球，即两次都摸到黄球，故事件C与事件D是对立事件，C正确； 对于D，{有一次摸到红球，另一次摸到黄球}，故二者不互斥，D错误， 故选：AC 题型3 计算古典概率（共4小题）（重点） 9．在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学名（记为），女同学名（记为），现从中随机选出名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序）. (1)写出这个随机试验的样本空间； (2)设事件为“参赛的名同学都是女同学”，写出事件所对应的子集，并求出事件发生的概率； (3)求事件“参赛的名同学中恰好名男同学和名女同学”发生的概率. 【答案】(1) (2)，； (3) 【分析】（1）列举法写出样本空间； （2）由题意写出，根据古典概型求概率； （3）根据题意写出，根据古典概型求概率. 【详解】（1）从名同学中选取名同学参赛，这个随机试验的样本空间为 . （2）由事件为“参赛的2名同学都是女同学”知，共1个样本点， 由（1）知样本点个数为，所以. （3）设 “参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”， 则，共个样本点. 所以. 10．（多选）某高级中学为了解学生每天的睡眠情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从高一､高二､高三三个年级中共抽取87名学生，其中从高三年级抽取的学生人数为28，已知该校高一､高二､高三年级学生人数分别为，则（    ） A． B．从高一年级中抽取的学生人数为30 C．从高二年级中抽取的学生人数为27 D．从全校学生中任选一人，此人是高三学生的概率是 【答案】AB 【详解】A选项，根据分层抽样，，解得，正确； B选项，从高一年级中抽取的学生人数为，正确； C选项，从高二年级中抽取的学生人数为，错误； D选项，从全校中任选一人，此人是高三学生的概率，错误． 11．（多选）重庆市第二外国语学校开展“科技文化节”知识竞赛，甲组有8名选手，其中5名男生，3名女生；乙组有8名选手，其中4名男生，4名女生.现从甲组随机抽取1人加入乙组，再从乙组随机抽取1人，表示事件“从甲组抽取的是男生”，表示事件“从甲组抽取的是女生”，表示事件“从乙组抽取1名女生”，则（    ） A．，不是对立事件 B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据对立事件的定义判断A，然后分析分别发生的情况下，乙组中男女生的人数，从而求出各概率判断BCD. 【详解】对A，从甲组随机抽取1人抽取的不是男生就是女生，二者不可能同时发生，，是对立事件，A错； 对B，由题意，，所以，B正确； 对C，发生的条件下，乙组中有5名男生，4名女生，则，C正确； 对D，发生的条件下，乙组中有4名男生，5名女生，则，D错； 12．为优化假期安排，调整学生学习节奏，提升综合素养，贵州省九个市州于2026年4月1号至3号首次实施春假制度.某中学为了解春假期间学生外出体验的情况，随机选取了该校高一及高二共100名同学并对其进行了问卷调查，将外出时间（单位：小时）数据按照，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图算出的值并估计该校学生春假外出时间的平均数（每组数据取区间的中点值作代表）、众数与中位数； (2)若外出时间在内的男女比例为3∶2，现利用分层随机抽样的方法选取5名同学进行访谈，然后再从这5名同学中随机选取2人在访谈会中发言，求发言的同学为一男一女的概率. 【答案】(1)，平均数为，众数为8，中位数为 (2) 【分析】（1）根据频率和为1，可求，结合频率分布直方图可求平均数，众数和中位数； （2）先确定抽取的男生女生人数，列出总的选法，结合古典概率可求答案. 【详解】（1）频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为 1，组距都是 2， ，解得； 平均数：； 众数是频率分布直方图中最高矩形的中点，故众数为8； 前两组的频率和， 前三组的频率和， 因此中位数在内，设中位数为， 则，解得，即中位数为； （2）在内的男女比例为3∶2，人数，其中男生18人，女生12人； 利用分层随机抽样的方法选取5名同学中，男生3人，女生2人， 记男生为，女生为，从5人中选2人的总选法为： 共10种； 其中“一男一女” 的选法为：共6种； 设事件“发言的同学为一男一女”，则. 故所求概率为. 题型4有无放回的区别（共4小题）（重点） 13．一个袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球1个黄球，从中不放回地依次随机摸出3个球. (1)写出这个试验的样本空间并求第一次摸到红球的概率； (2)分别求第二次，第三次摸到红球的概率； (3)从求解的结果可以得出一个什么基本事实. 【答案】(1)样本空间见解析；； (2)第二次，第三次摸到红球的概率均为； (3)抽签中签的概率与抽签顺序无关 【分析】（1）依据古典概型写出基本事件空间，再写出“第一次摸到红球”中包含的基本事件，从而求出概率； （2）由古典概型求得概率； （3）依据概率相同得到结论. 【详解】（1）将三个红球记为，一个黄球记为， 从中不放回地依次随机摸出个球，该实验的基本事件空间为： 共有个基本事件， 设“第一次摸到红球”为事件，则 共有个基本事件， 所以，即第一次摸到红球的概率为. （2）设“第二次摸到红球”为事件，则 共有个基本事件， 所以，即第二次摸到红球的概率为. 设“第三次摸到红球”为事件，则 共有个基本事件， 所以，即第三次摸到红球的概率为. （3）因为，即第一、二、三次抽到红球的概率相同， 所以，抽签中签的概率与抽签顺序无关. 14．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签并求标签上的数字之和．记不放回地选取且和为6的概率为，有放回地选取且和为6的概率为，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据古典概型概率公式，求出事件概率，计算结果. 【详解】由题意知， 不放回地选取共有20个样本点，标签上的数字之和为6有4个样本点，分别为，所以， 有放回地选取共有25个样本点，标签上的数字之和为6有5个样本点，分别为，所以， 则． 故选：B. 15．袋中装有除颜色外其他完全相同的红、黄球各1个，现从中随机取1个球，记录球的颜色后放回，并且往袋中放入2个与取出的球颜色相同的球，以此规则取球，则第三次取到红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记取到红球为事件，取到黄球为事件，则第三次取到红球的情况有四种情况，分别计算概率求和即可. 【详解】记取到红球为事件，取到黄球为事件，则第三次取到红球的概率 . 故选：B. 16．某商场举行抽奖活动，从装有编号0，1，2，3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取2次，取出的2个小球号码之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．那么中奖的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析出总的基本事件数和中奖的基本事件数，再结合古典概型的概率公式求解即可. 【详解】从装有编号0，1，2，3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回， 连续取2次的基本事件共有种， 取出的2个小球号码之和等于5的基本事件有：，共2种， 取出的2个小球号码之和等于4的基本事件有：，共3种， 取出的2个小球号码之和等于3的基本事件有：，共4种， 所以中奖的概率是. 故选：C. 题型5 利用互斥求概率（共4小题）（常考点） 17．已知，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则_____. 【答案】0.4/ 【分析】根据概率的加法公式计算即可. 【详解】因为，，， ， 解得. 故答案为：0.4. 18．已知随机事件满足，则____________． 【答案】 【分析】根据随机事件的和事件的概率计算公式，即可求得答案. 【详解】由题意可知， 故, 则， 故答案为： 19．一个袋中有6个大小和质地相同的球，其中红球4个，黑球2个，现从中不放回地依次随机摸取2次，每次摸出1个球，则第二次摸出的球是红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】第二次摸出的球是红球有两种情况，利用古典概率公式分类列式计算即得. 【详解】第二次摸出的球是红球的事件有两种情况： 第一次摸到黑球，第二次摸到红球的概率为， 第一次摸到红球，第二次摸到红球的概率为， 所以第二次摸出的球是红球的概率为. 故选：A. 20．已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据互斥事件，对立事件的概率关系即可计算求解. 【详解】由题可知，， 又，所以，解得， 所以. 故选：D. 题型6 利用对立求概率（共4小题）（难点） 21．已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用古典概型概率计算公式分别计算出相应事件的概率即可作出判断. 【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，所以，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：D. 22．下列说法正确的是（    ） A．若，为两个事件，则 B．若事件，，两两互斥，则 C．若事件，满足，则与相互对立 D．若，为相互对立事件，则与一定互斥 【答案】D 【分析】根据对立事件和互斥事件的定义，结合对立事件和互斥事件的概率公式进行逐一判断即可. 【详解】对A：只有事件互斥时，才有，故A错误； 对B：当事件两两互斥，则，故B错误； 对C：若且事件互斥时，才有与相互对立，故C错误； 对D： 对立事件一定互斥，故D正确. 故选：D 23．（多选）已知事件A，B发生的概率分别为，，则（ ） A． B． C．若A与B互斥，则 D．一定有 【答案】ABC 【分析】对于A，利用对立事件的概率公式即可判断；对于BC，利用和事件与交事件的概率公式，结合互斥事件的定义计算判断即可；对于D，举反例即可判断. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为， 又且，则， 所以，即，故B正确； 对于C，因为A与B互斥，所以， 则，故C正确； 对于D，记事件“抛掷一枚骰子，向上的点数小于3”，事件“抛掷一枚骰子，向上的点数为4”， 则满足，，但不成立，故D错误； 故选：ABC. 24．设是一个随机试验中的两个事件，且，则________ 【答案】 【分析】根据对立事件的概率与互斥事件的概率计算公式求解即可. 【详解】因为， 因为互斥， 所以 ， 解得，所以 故答案为：. 题型7 独立事件的考察（共4小题）（重点） 25．已知随机事件，相互独立，且，则__________． 【答案】0.64 【详解】由题意得. 26．甲、乙、丙三人轮流独立射击一个目标，三人的命中率分别为，射击顺序为甲、乙、丙，则目标在三次射击中恰好被击中两次的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先明确甲、乙、丙的命中率与不命中率，再利用独立事件乘法公式，分别计算 “恰好击中两次” 的三种互斥情况的概率； 最后通过互斥事件加法原理，将三种情况的概率相加，最终得到总概率即可. 【详解】设甲击中为事件A，乙击中为事件B，丙击中为事件C， 甲、乙、丙三人轮流独立射击，命中率分别为： 甲：，不命中 ， 乙：，不命中 ， 丙：，不命中 ， 所以共有3种可能的情况： 甲、乙击中，丙未击中概率为： ， 甲、丙击中，乙未击中概率为： ， 乙、丙击中，甲未击中概率为： ， 将三种情况的概率相加： . 27．甲、乙两人进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（当一人赢得两局胜利时，该人获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为0.6（没有平局），且每局比赛结果相互独立，则两人进行第三局比赛的概率为（    ） A．0.16 B．0.36 C．0.48 D．0.52 【答案】C 【分析】根据相互独立事件同时发生的概率公式及互斥事件的概率求解. 【详解】只进行两局比赛结束的概率为， 则两人进行第三局比赛的概率为． 28．甲､乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响.两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击，若约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论满足“前4次中甲恰好射击3次”的所有三种不同射击顺序，利用相互独立事件的乘法公式分别计算出每种情况的概率，最后相加求和. 【详解】设前4次中甲射击3次的概率为，共有三种情况： 甲中-乙中-甲没中-甲，概率为； 甲没中-甲没中-甲中-乙：； 甲没中-甲中-乙中-甲：， 所以. 题型8 样本空间的计算（共4小题）（常考点） 29．柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出两只，则取出的鞋成双的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按古典概型的概率公式进行计算. 【详解】设鞋柜中的两双鞋子分别为为, 则取出鞋子的所有可能为：， 取出的鞋成双的概率. 故选：B 30．在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学3名（记为，，），女同学2名（记为，）、现从中随机选出2名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同）. (1)写出这个随机试验的样本空间，并写出样本点的个数； (2)设事件为“参赛的2名同学都是女同学”，写出事件所对应的子集，并求出事件发生的概率； (3)求事件“参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”发生的概率. 【答案】(1)答案见解析 (2)， (3) 【分析】（1）列举法写出样本空间，得到样本点个数； （2）由题意写出，根据古典概型求概率； （3）根据题意写出，根据古典概型求概率. 【详解】（1）从名同学中选取名同学参赛，这个随机试验的样本空间 ，共个样本点. （2）由事件为“参赛的2名同学都是女同学”知，，共1个样本点， 所以. （3）设 “参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”， 则，共个样本点. 所以. 31．某市举办法制知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分．现从中随机抽取了100名学生的成绩，并以，，，，为分组，制成了如下图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计这100名学生成绩的第25百分位数； (3)现从样本成绩在与两个分数段内，按分层随机抽样的方法选取5人，再从这5人中随机选取2人．写出试验的样本空间，并求这2人中恰有1人的成绩落在内的概率． 【答案】(1) (2)分 (3)样本空间见解析； 【分析】 （1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值； （2）根据百分位数的定义计算； （3）列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】（1）由已知可得，解得； （2）由于第一组的频率为，前两组的频率之和为， 所以第25百分位数， 则，得， 故这100名学生成绩的第25百分位数为分； （3）由（1）可知，与这两组人数之比为， 故这两组中所抽取的人数分别为， 记成绩在这组的名学生分别为， 成绩在这组的名学生分别为， 则从中任取人的所有可能结果为、、、、、、、、、，共种. 其中恰有人成绩在为、、、、、，共种. 故所求概率为. 32．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”． (1)写出该试验的基本事件，并求事件B发生的概率； (2)事件与事件至少有一个发生的概率． 【答案】(1)答案见解析； (2) 【分析】（1）用列举法列举出所有的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件B发生的概率. （2）根据（1）列举的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件与事件至少有一个发生的概率. 【详解】（1）所有可能的基本事件为： , 其中“两数之和是3的倍数”的有共12种， 故. （2）“两数之和为”的有共种 “两个数均为偶数”的有共9种， 其中重复的有共3种， 则事件与事件至少有一个发生共有种，概率为. 题型9 频率与概率的区别与联系（共4小题）（常考点） 33．某校对2024年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，绘制成如下图所示的频率分布直方图： (1)求频率分布直方图中的值： (2)估计该校高一上学期期末数学考试成绩的平均数： (3)为了进一步了解学生数学学科学习的情况，在成绩位于的学生中用分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概率． 【答案】(1)(2)93分(3) 【详解】（1）由题， 解得：． （2）由（1）可知，数学成绩在： 频率， 频率， 频率， 频率， 频率， 频率， 样本平均值为：， 可以估计样本数据中数学成绩均值为93分， 据此可以估计该校高一上学期期中数学考试成绩的平均分是93分； （3）由题意可知，分数段的人数为（人）， 分数段的人数为（人）． 用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，则需在［50，70）分数段内抽2人，分别记为，需在分数段内抽3人，分别记为，，， 设“从样本中任取2人，抽取的这2名学生的分数不在同一组内”为事件， 则样本空间共包含10个样本点， 所以事件的对立事件为包含4个样本点 所以， 所以， 即抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概率为． 34．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2026次，那么第2027次出现正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用概率的性质求解即可. 【详解】由概率的性质得无论试验多少次，概率始终不变， 故第2027次出现正面朝上的概率是，故C正确. 35．地铁某换乘站设有编号为1，2，3，4，5的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 1，2 2，3 3，4 4，5 1，5 疏散乘客时间（） 120 220 160 140 200 则疏散乘客效率最高的一个安全出口的编号是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】同时开放1、2两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为， 同时开放2、 3两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为， 所以1疏散乘客比3快； 同理可得4疏散乘客比2快，5疏散乘客比3快，4疏散乘客比1快， 2疏散乘客比5快，所以疏散乘客最快的一个安全出口的编号是4． 36．某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有130人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（   ） A．0.15 B．0.2 C．0.25 D．0.3 【答案】A 【分析】先确定回答“是”的130人中，吸烟的人数，再利用古典概型估计吸烟的比例. 【详解】因为摸到白球和红球的概率均为， 回答A问题“是”的学生人数为， 所以回答B问题“是”的学生人数为， 所以男大学生吸烟人数的比例约为． 故选：A 题型10 随机事件的综合考察（共4小题） 37．（多选）某公益组织为了更好地安排志愿服务工作，抽取了位志愿者作为样本，并统计了其年龄的数据，按区间，，，，，分组，制成了如下图所示的频率分布直方图，则（   ） A．样本数据的众数估计为岁 B．样本中年龄在的人数为 C．估计志愿者年龄的中位数为岁 D．若从所有志愿者中任选两人，则其年龄均介于的概率为 【答案】ABC 【分析】直接由频率直方图可得中位数，众数及频数，因此可判断ABC，再由相互独立事件的概率可得D选项错误. 【详解】对于A，观察图可知，样本数据的频率最大的一组为， 所以样本数据的众数估计为，因此A选项正确； 对于B，样本中年龄在的频率为， 所以样本中年龄在的人数为，B选项正确； 对于C，前三组的频率为，所以中位数在第三组中， 因此志愿者年龄的中位数为，C选项正确； 对于D，设任意一个人的年龄为，则， 所以从所有志愿者中任选两人且两人年龄均介于的概率为，故D选项错误． 38．（多选）一个正四面体的四个面上分别标以数字1，2，3，4，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件：“”，事件：“”，事件：“”，事件：“”，则（    ） A．与互斥 B． C． D．与相互独立 【答案】BD 【详解】由题意可知：，， ，， 对于选项A：因为，所以与不互斥，故A错误； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：因为，故C错误； 对于选项D：因为， 设样本空间为，则，，， 可得，，， 因为，所以与相互独立，故D正确. 39．（多选）从1，2，3，4，5，6中随机有放回地抽取两个数，每次抽取一个，记第一次抽到的数为，第二次抽到的数为，定义事件：“是3的整数倍”，“是偶数”，“”，“能被4整除”，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．事件与事件相互独立 D．事件与事件相互不独立 【答案】ACD 【分析】基于古典概型，通过列举法找出各个事件对应的具体样本点，进而计算概率并利用公式验证事件间的独立性. 【详解】对于A，3和6满足条件，故，答案A正确； 对于B，所有可能出现的样本点有，，…， ，共个， 其中的有， 共10个，故，答案B错误； 对于C，，易得， 满足事件的有共6个，故， 则，答案C正确； 对于D，， 满足事件D的有共9个， 故，，则，故答案D正确． 40．“本福特定律”又称“首位数字定律”，是一条关于自然界和人类社会中大量数据的首位数字分布概率的统计规律：一个数的首位数字是的概率为，据此可知，一个数的首位数字是3的概率与首位数字是5的概率之差约为（参考数据：）（    ） A．0.046 B．0.023 C．0.262 D．0.131 【答案】A 【详解】一个数的首位数字是的概率为， 一个数的首位数字是3的概率为， 首位数字是5的概率为 ， 一个数的首位数字是3的概率与首位数字是5的概率之差约为 ， 故选项A正确. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 概率·随机·互斥·独立事件 题型1 概率的基本性质 题型6 利用对立求概率（难点） 题型2 互斥与对立事件 题型7 独立事件的考察（重点） 题型3 计算古典概率（重点） 题型8 样本空间的计算（常考点） 题型4有无放回的区别（重点） 题型9 频率与概率的区别与联系（常考点） 题型5 利用互斥求概率（常考点） 题型10 随机事件的综合考察 题型1 概率的基本性质（共4小题） 1．（多选）下列说法中正确的是（    ） A．数据、、、、、、、、、的下四分位数为 B．若、为互斥事件，则的对立事件与的对立事件一定互斥 C．设样本数据、、、、、的平均数和方差分别为和，若，则、、、、、 的平均数和方差分别为和 D．已知，，且，则 2．已知在一次随机试验中，定义两个随机事件，，若，，，则______. 3．已知，，且，则（   ） A．0.5 B．0.4 C．0.9 D．0.2 4．已知随机事件A，B满足，，，则（    ） A． B． C． D． 题型2 互斥与对立事件（共4小题） 5．掷两枚骰子，设事件两骰子出现点数之和为奇数，两骰子出现点数之和为偶数，则（   ） A．事件和事件是互斥但不对立事件 B． C．事件和事件是对立事件 D．以上均不对 6．（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于2”；“点数大于2”；“点数大于5”；“点数为奇数”.则下列说法正确的有（    ） A． B．，为对立事件 C．与互斥 D． 7．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（   ） A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件 8．（多选）袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球、2个黄球，从中不放回依次摸出2个球，记“恰有一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到黄球”，“至少有一次摸到红球”，“至多一次摸到红球”．则下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件B是互斥事件 B．事件B与事件C是对立事件 C．事件C与事件D是对立事件 D．事件D与事件E是互斥事件 题型3 计算古典概率（共4小题）（重点） 9．在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学名（记为），女同学名（记为），现从中随机选出名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序）. (1)写出这个随机试验的样本空间； (2)设事件为“参赛的名同学都是女同学”，写出事件所对应的子集，并求出事件发生的概率； (3)求事件“参赛的名同学中恰好名男同学和名女同学”发生的概率. 10．（多选）某高级中学为了解学生每天的睡眠情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从高一､高二､高三三个年级中共抽取87名学生，其中从高三年级抽取的学生人数为28，已知该校高一､高二､高三年级学生人数分别为，则（    ） A． B．从高一年级中抽取的学生人数为30 C．从高二年级中抽取的学生人数为27 D．从全校学生中任选一人，此人是高三学生的概率是 11．（多选）重庆市第二外国语学校开展“科技文化节”知识竞赛，甲组有8名选手，其中5名男生，3名女生；乙组有8名选手，其中4名男生，4名女生.现从甲组随机抽取1人加入乙组，再从乙组随机抽取1人，表示事件“从甲组抽取的是男生”，表示事件“从甲组抽取的是女生”，表示事件“从乙组抽取1名女生”，则（    ） A．，不是对立事件 B． C． D． 12．为优化假期安排，调整学生学习节奏，提升综合素养，贵州省九个市州于2026年4月1号至3号首次实施春假制度.某中学为了解春假期间学生外出体验的情况，随机选取了该校高一及高二共100名同学并对其进行了问卷调查，将外出时间（单位：小时）数据按照，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图算出的值并估计该校学生春假外出时间的平均数（每组数据取区间的中点值作代表）、众数与中位数； (2)若外出时间在内的男女比例为3∶2，现利用分层随机抽样的方法选取5名同学进行访谈，然后再从这5名同学中随机选取2人在访谈会中发言，求发言的同学为一男一女的概率. 题型4有无放回的区别（共4小题）（重点） 13．一个袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球1个黄球，从中不放回地依次随机摸出3个球. (1)写出这个试验的样本空间并求第一次摸到红球的概率； (2)分别求第二次，第三次摸到红球的概率； (3)从求解的结果可以得出一个什么基本事实. 14．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签并求标签上的数字之和．记不放回地选取且和为6的概率为，有放回地选取且和为6的概率为，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 15．袋中装有除颜色外其他完全相同的红、黄球各1个，现从中随机取1个球，记录球的颜色后放回，并且往袋中放入2个与取出的球颜色相同的球，以此规则取球，则第三次取到红球的概率为（    ） A． B． C． D． 16．某商场举行抽奖活动，从装有编号0，1，2，3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取2次，取出的2个小球号码之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．那么中奖的概率是（    ） A． B． C． D． 题型5 利用互斥求概率（共4小题）（常考点） 17．已知，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则_____. 18．已知随机事件满足，则____________． 19．一个袋中有6个大小和质地相同的球，其中红球4个，黑球2个，现从中不放回地依次随机摸取2次，每次摸出1个球，则第二次摸出的球是红球的概率为（   ） A． B． C． D． 20．已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且，则（    ） A． B． C． D． 题型6 利用对立求概率（共4小题）（难点） 21．已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 22．下列说法正确的是（    ） A．若，为两个事件，则 B．若事件，，两两互斥，则 C．若事件，满足，则与相互对立 D．若，为相互对立事件，则与一定互斥 23．（多选）已知事件A，B发生的概率分别为，，则（ ） A． B． C．若A与B互斥，则 D．一定有 24．设是一个随机试验中的两个事件，且，则________ 题型7 独立事件的考察（共4小题）（重点） 25．已知随机事件，相互独立，且，则__________． 26．甲、乙、丙三人轮流独立射击一个目标，三人的命中率分别为，射击顺序为甲、乙、丙，则目标在三次射击中恰好被击中两次的概率为（   ） A． B． C． D． 27．甲、乙两人进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（当一人赢得两局胜利时，该人获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为0.6（没有平局），且每局比赛结果相互独立，则两人进行第三局比赛的概率为（    ） A．0.16 B．0.36 C．0.48 D．0.52 28．甲､乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响.两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击，若约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（    ） A． B． C． D． 题型8 样本空间的计算（共4小题）（常考点） 29．柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出两只，则取出的鞋成双的概率为（    ） A． B． C． D． 30．在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学3名（记为，，），女同学2名（记为，）、现从中随机选出2名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同）. (1)写出这个随机试验的样本空间，并写出样本点的个数； (2)设事件为“参赛的2名同学都是女同学”，写出事件所对应的子集，并求出事件发生的概率； (3)求事件“参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”发生的概率. 31．某市举办法制知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分．现从中随机抽取了100名学生的成绩，并以，，，，为分组，制成了如下图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计这100名学生成绩的第25百分位数； (3)现从样本成绩在与两个分数段内，按分层随机抽样的方法选取5人，再从这5人中随机选取2人．写出试验的样本空间，并求这2人中恰有1人的成绩落在内的概率． 32．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”． (1)写出该试验的基本事件，并求事件B发生的概率； (2)事件与事件至少有一个发生的概率． 题型9 频率与概率的区别与联系（共4小题）（常考点） 33．某校对2024年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，绘制成如下图所示的频率分布直方图： (1)求频率分布直方图中的值： (2)估计该校高一上学期期末数学考试成绩的平均数： (3)为了进一步了解学生数学学科学习的情况，在成绩位于的学生中用分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概率． 34．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2026次，那么第2027次出现正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 35．地铁某换乘站设有编号为1，2，3，4，5的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 1，2 2，3 3，4 4，5 1，5 疏散乘客时间（） 120 220 160 140 200 则疏散乘客效率最高的一个安全出口的编号是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 36．某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有130人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（   ） A．0.15 B．0.2 C．0.25 D．0.3 题型10 随机事件的综合考察（共4小题） 37．（多选）某公益组织为了更好地安排志愿服务工作，抽取了位志愿者作为样本，并统计了其年龄的数据，按区间，，，，，分组，制成了如下图所示的频率分布直方图，则（   ） A．样本数据的众数估计为岁 B．样本中年龄在的人数为 C．估计志愿者年龄的中位数为岁 D．若从所有志愿者中任选两人，则其年龄均介于的概率为 38．（多选）一个正四面体的四个面上分别标以数字1，2，3，4，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件：“”，事件：“”，事件：“”，事件：“”，则（    ） A．与互斥 B． C． D．与相互独立 39．（多选）从1，2，3，4，5，6中随机有放回地抽取两个数，每次抽取一个，记第一次抽到的数为，第二次抽到的数为，定义事件：“是3的整数倍”，“是偶数”，“”，“能被4整除”，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．事件与事件相互独立 D．事件与事件相互不独立 40．“本福特定律”又称“首位数字定律”，是一条关于自然界和人类社会中大量数据的首位数字分布概率的统计规律：一个数的首位数字是的概率为，据此可知，一个数的首位数字是3的概率与首位数字是5的概率之差约为（参考数据：）（    ） A．0.046 B．0.023 C．0.262 D．0.131 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $