专题06 费马点模型（几何模型讲义）数学新教材湘教版八年级下册

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理费马点模型的知识体系，涵盖定义（含两种位置情况）、核心方法（旋转60°构造全等与等边三角形）、特殊平行四边形应用及作图关键，并用思维导图呈现“化折为直”的转化逻辑，明确三角形与四边形问题的区别等重难点。 讲义以“真题+分层例题”为特色，如2025年湖南邵阳一模题结合正方形对角线动点，菱形中求距离和最小值等例题，通过模型趣事（配送中心选址）渗透“数学眼光”，引导学生用几何直观发现旋转转化的本质，培养推理能力与模型意识，基础题巩固定义应用，综合题提升空间观念，为教师提供精准分层教学素材。

专题06 费马点模型 费马点模型是解决“三角形内一点到三顶点距离之和最小”的经典最值模型，常通过旋转变换（如构造等边三角形）将折线路径拉直，利用“两点之间线段最短”求解；在特殊平行四边形（如正方形、菱形、矩形）中，通常需先构造含120°夹角的三角形，再应用该模型。 费马点定义：三角形内到三个顶点距离之和最小的点。若三角形最大角 <120°，则费马点在形内，且与三顶点连线夹角均为 120°；若最大角 ≥120°，则费马点即为该钝角顶点（中考/模考中多为锐角情形）。 核心方法：以三角形一边（如 AB）向外作等边三角形 ABE，连接 CE，则 CE 长即为 PA+PB+PC 的最小值（P 为费马点），依据是旋转 60° 构造全等与等边三角形，使折线 PA+PB+PC 转化为直线 CE。 在特殊平行四边形中的应用：如菱形 ABCD（∠ABC=60°）、正方形 ABCD 内求点 P 使 PA+PB+PC 最小，常取三点（如 A、B、C）构成三角形，再对 △ABC 作费马点构造；若题设含动点或附加约束（如 P 在对角线上），需结合对称性或限定条件调整构造。 作图关键：分别以 AB、AC 为边向外作等边 △ABE、△ACF，连接 CE 与 BF，其交点即为费马点 M；此时 AM+BM+CM = CE（或 BF）。 注意前提：模型默认目标为 三个定点 的距离和最小；若题中涉及四个点（如正方形四顶点）或边上的动点（如“P 在 BC 上，求 PA+PB+PD”），需拆解为子问题或改用其他模型（如将军饮马），严格费马点仅针对三角形三顶点。 该模型本质是旋转变换下的路径拉直（手拉手全等+等边三角形性质），不适用于任意四边形整体，但可嵌入由平行四边形截取的三角形中使用。实际解题时，先识别所涉三角形（常为平行四边形的三个顶点），验证角度条件（通常题设隐含 <120°），再旋转构造。 2 模型趣事 2 真题现模型 3 模型运用 4 模型.费马点模型 4 10 寻找最完美的交汇点：费马点 在几何学的奇妙世界里，有一个关于“距离”与“最优解”的经典问题，它源于17世纪一位“不务正业”的法国律师——皮埃尔·德·费马。1643年，费马向好友托里拆利抛出了一个看似简单却极具挑战的难题：假设平面上有三个村庄（即三角形的三个顶点），现在要修一个物流中心，修三条路分别通往这三个村庄，那么这个中心建在哪里，才能让三条路的总长度最短？ 这个神奇的交汇点，就是后来闻名于世的“费马点”。 费马点究竟在哪里？ 费马点的落点其实非常讲究，它根据三角形的形状分为两种情况： · 情况一： 如果三角形中有一个内角大于或等于120°，那么费马点就在这个最大角的顶点上。 · 情况二： 如果三角形的三个内角都小于120°，费马点就在三角形内部。它有一个非常浪漫的特征：从这个点向三个顶点连线，这三条连线之间的夹角恰好都是120°。因此，费马点也被称为三角形的“等角中心”。 背后的数学魔法：旋转 面对三条互不相连的线段求和，我们该如何证明它是最短的呢？费马点模型教给了我们一个绝妙的“化折为直”思想。 只要将图形中的某一部分绕着顶点向外旋转60°，就能巧妙地构造出等边三角形和全等三角形。原本散落在各处的三条线段，瞬间被“搬运”并首尾相连，变成了一条连接两个定点的折线。根据“两点之间线段最短”的公理，当这条折线被拉直成一条线段时，距离之和就达到了最小值。 生活中的费马点 费马点绝不仅仅停留在纸面上，它在现实生活中有着广泛的应用。比如在城市规划中，如果要建立一个配送中心为三个大型社区供货，利用费马点模型就能找到运输成本最低的最佳位置。在通信基站选址、交通路网设计等领域，这种追求“总距离最短”的思维都发挥着巨大的作用。 费马点不仅告诉了我们哪里是距离之和最小的“最佳位置”，更教会了我们一种“化繁为简、化折为直”的顶级思维。这种在旋转中寻找最优解的智慧，正是数学给予我们应对复杂世界最浪漫的启示。 （2025·湖南邵阳·一模）如图，是等边三角形，是正方形对角线（不含点）上任意一点，，（点在的左侧），当的最小值为时，正方形的边长为　　． 【分析】作辅助线，过点作交的延长线于，连接，由题意求出，设正方形的边长为，在中，根据勾股定理求得正方形的边长为． 【解答】解：过点作交的延长线于，连接， ， 设正方形的边长为，则，， 在中， ， ． 解得（舍去负值）． 正方形的边长为． 故答案为：． 结论：如图1，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。 图1 图2 图3 注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常只考查三角形的最大顶角小于120°） 模型.费马点模型 例1四个村庄坐落在矩形的四个顶点上，公里，公里，在新农村建设中，要设立两个车站，则的最小值为 　　公里． 【分析】这是“费马点”原理，将绕顺时针旋转得，连接、，将绕点逆时针旋转得到△，连接、、，如图2，此时、、共线，是最小值，利用旋转的性质和等边三角形的性质，相加即可得出结论． 【解答】解：如图1，将绕顺时针旋转得，连接、，将绕点逆时针旋转得到△，连接、， 由旋转得：，，，， 和是等边三角形， ， 同理得：和是等边三角形，，， 当、、、、、在同一条直线上时，有最小值，如图2， ，， 是和的垂直平分线， ，， ， 的高， ， 则的最小值是公里． 故答案为：． 例2已知菱形的边长为2，且，M是对角线上一动点，的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，交于点，如图，过点作的垂线，垂足为，连接，求得，，推出，当共线时，最小，然后用勾股定理算得即可． 【详解】解：连接，交于点，如图，过点作的垂线，垂足为，连接， ∵菱形的边长为2， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是对角线上一动点，，， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴当共线时，最小，最小值为， 此时， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 例3如图，在矩形中，，，是边的中点，以为边在右侧作等边，为矩形内部一动点，连接、、，则的最小值是________． 【答案】 【分析】先将绕点逆时针旋转得到（点、的对应点分别是点、），连接、、，作于点，于点，交的延长线于点，延长交于点，可证明和均为等边三角形，当四点依次共线时，取得最小值，即为，再结合矩形和等边三角形的性质，运用勾股定理，求出的值，再证明四边形、为矩形，运用性质求出的值，最后运用勾股定理即可求解出的值． 【详解】如图，将绕点逆时针旋转得到（点、的对应点分别是点、），连接、、，作于点，于点，交的延长线于点，延长交于点， ∴，，，， ∴和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴当四点依次共线时，取得最小值，即为， ∵在矩形中， ∴，，， ∵是边的中点， ∴， ∵为等边三角形，， ∴，， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理，， ∵为等边三角形，， ∴，， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理，． 例4（1）【问题发现】如图①，在△中，若将△绕点逆时针旋转得到△，连接；求 ； （2）【问题探究】如图②，已知△是边长为的等边三角形，以为边向外作等边三角形，为△内一点，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为点． ①求证：△△； ②求的最小值； （3）【实际应用】如图③，在矩形中，，，是矩形内一动点，为△内任意一点，是否存在点和点，使得有最小值？若存在求其值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①见解析；②12； （3）存在，． 【分析】（1）根据旋转的性质得出，，根据等腰三角形的性质求出结果即可； （2）①根据等边三角形的性质证明全等即可； ②连接，得到△是等边三角形，由两点之间线段最短得，求出即可得解； （3）过点作交于点，交于点，将△绕点逆时针旋转得△，连接，，，设交于点，由可得，进而求得，当时，有最小值，运用勾股定理可求解． 【解答】（1）解：将△绕点逆时针旋转得到△， ，， ， 故答案为：； （2）①证明：△是等边三角形， ，， 将线段绕点逆时针旋转， ，， ， 在△和△中， ， △△； ②连接， ，， △是等边三角形， ， △△， ， ， 由两点之间线段最短得， ， 当点、、、在同一条直线上时，取最小值，为的值， 延长，作，交的延长线于点， △是边长为的等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， 即取最小值为12． （3）存在一点和一点，使得有最小值，理由如下： 过点作交于点，交于点，将△绕点逆时针旋转得△，连接，，，设交于点，如图所示： 由（2）知，当，，，在同一直线上时，有最小值，最小值为， 在矩形中，，， ，，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 点在上， 当时，有最小值， ， ， △是等边三角形， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 的最小值为． 1．如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接，则四边形周长的最小值为（　　） A． B． C．10 D．12 【答案】D 【分析】如图：延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图：延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N， ∵四边形是正方形， ∴， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴四边形周长， 根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值． ∵E为边长是4的正方形的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形周长的最小值为． 2．如图，点E、G、H分别为矩形的边、、的中点，连接、、，点M为上的动点，过M作于P，于Q，点F为边上一动点，连接，已知，，则的最小值为_________． 【答案】/15.6 【分析】利用矩形的性质结合中点的性质得出，，利用勾股定理求得的长度，从而求得的面积，再利用求得，从而得出的最小值为的最小值，当最小时，最小，而最小值为，并最终求得结果． 【详解】解：∵点E，G，H分别为矩形的边，，的中点， ∴，， ∴， ∴， 如图，连接， ∵， ∴， ∴的最小值为的最小值， 即当最小时，最小， ∵最小值为， ∴的最小值为． 3．如图，在矩形中，，，点、分别在、边上，则的最小值为______． 【答案】 【分析】先作点A关于的对称点E，作点C关于的对称点F，根据对称性可得，所以，再根据两点之间线段最短可得最小值为，然后过点E作的平行线，交的延长线于点I，最后根据勾股定理得出答案． 【详解】解：如图所示，作点A关于的对称点E，作点C关于的对称点F， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，可知点E，M，N，F共线时最小，所以最小，即． 过点E作的平行线，交的延长线于点I， 根据题意可知四边形是矩形， ∴， 根据勾股定理，得， 所以最小值是． 4．如图，已知长方形中，，点为上的一点，且，点为上的动点，将沿折叠得到，点为的中点，点，点分别为上两个动点，且，连接，则的最小值是__________ ． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，过点作，使，过作于点，连接，则，四边形是平行四边形，四边形是矩形，，由勾股定理得，根据，得的最小值为，即得的最小值是． 【详解】解：长方形中，， ，点为的中点， ∴， 作点关于的对称点，过点作，使，过作于点，连接，则， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵，由折叠知，， ∴的最小值为， ∴的最小值是． 5．如图，在菱形中，，点为对角线上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N．连接，在点P运动过程中，的最小值等于_____． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理、最小值问题以及三角形面积等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 连接，由三角形面积关系求出，得当最短时，有最小值，则当时，最短，即可得出答案． 【详解】解：在菱形中，， ，， ， 如图，连接，如图所示： ， ， 即， ， 当最短时，有最小值， 由垂线段最短可知：当时，最短， 当点与点重合时，有最小值，最小值， 故答案为：． 6．如图，在矩形中，，，，分别是和上的两个动点，为的中点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，根据题意找到使所求线段的和最小时点的位置是解题的关键． 作点的对称点，作点关于的对称点，连接，，，过点作的垂线，交的延长线于点，推得当，，，在同一条直线上时，所求的最小，最小值即为的长，根据矩形的性质可得，求得，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，， 则， ∴当，，，在同一条直线上时，所求的最小，最小值即为的长． 过点作的垂线，交的延长线于点， ∴， ∵为的中点，， ∴，， ∴， ∴． ∴的最小值是． 故答案为：． 7．如图，在长方形中，是的中点，是上任意一点．若，，则的最小值为________，最大值为________． 【答案】 / 【分析】本题主要考查线段的和差，线段最短，最长的计算方法，掌握两点之间线段最短，勾股定理的运用是解题的关键． 根据题意，当时，线段的值最小；当点与点（或点）重合时，线段的值最大，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴当的值最小时，的值最小； 当的值最大时，的值最大； ∴①如图所示，当时，的值最小， ∵四边形是长方形，点是的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最小值为：， 故答案为：； ②如图所示，当点与点（或点）重合时，线段的值最大， ∵四边形是长方形， ∴，，且， ∴， ∴， ∴的最大值为：， 故答案为：． 8．如图，在平行四边形中，，，连接，且，平分交与于点．点在边上，，若线段（点在点的左侧）在线段上运动，，连接，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】在上截取，连接，过点作，使，连接交于点，连接，过点作于点，过点作于点，连接，由平行四边形的性质和含直角三角形三边关系可得：，利用勾股定理可得，再利用含直角三角形三边关系可得：，，进而可得，求得：，再证四边形是平行四边形，得出，再证明，得出，根据，可得出：当点在线段上时，的最小值为，即的最小值为，即可求得的最小值． 【详解】解：在上截取，连接，过点作，使，连接交于点，连接，过点作于点，过点作于点，连接， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵线段（点在点的左侧）在线段上运动， ∴， ∴当点在线段上时，的最小值为， ∴的最小值为， ∵，， ∴最小值为：， 即最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造平行四边形和全等三角形是解题的关键． 9．如图，在直角坐标系中，A（﹣4，0），B（0，4），C是OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形，P是CD上一个动点，过点P作PH⊥OA于H，Q是点B关于点A的对称点，则BP+PH+HQ的最小值为_____． 【答案】 【分析】根据C是OB的中点，求出点的坐标，结合矩形性质得出，两点对称公式得出点；利用平行四边形的性质构造等量关系，则，由三点之间直线最短可知的值最小时，即，可得出结论． 【详解】解：连接， ∵，,为的中点， 点． ∴, ∵四边形AOCD为矩形, ∴, PH⊥OA于H， ∴， ∴， ∴四边形为矩形, ，， ∴, ∴四边形是平行四边形， ∴, ∵Q是点B关于点A的对称点， A（﹣4，0），B（0，4）， ∴点． ∴． 当点，，三点共线，的值最小， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查四边形中的线段最短问题，恰当利用四边形（平行四边形）的性质定性构造等量关系，理解并掌握三角形三边关系定理（三点共线时取得最值）是解本题的关键． 10．如图1，正方形中，E，F分别为，上的点，，垂足为H． (1)求证：； (2)如图2，连接，交于点M，O为的中点，交于点N，连接．求证：； (3)如图3，若正方形的边长为10，P，Q是上两动点，且，请直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，利用全等三角形的对应边相等可证得结论； （2）过点作交于点， 可证出，得，，利用勾股定理得到，进而可证得结论； （3）过点B作的平行线，过点P作的平行线，两线交于点G，过点G作于点H，交于点K，连接，则四边形为平行四边形，可以得到，当G、P、D三点共线时，最小，最小值为长，然后根据等腰直角三角形的判定与性质及勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点作交于点，则， ∵四边形是正方形，O为的中点， ∴，，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：过点B作的平行线，过点P作的平行线，两线交于点G，过点G作于点H，交于点K，则四边形为平行四边形， ∴，， ∴，即当G、P、D三点共线时，最小，最小值为的长， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴最小值为． 11．平行四边形中，，连接，点G为延长线上一点，连接，． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，过点C作，交延长线于点E，过点G作，交延长线于点F，以为斜边构造等腰直角三角形，过点H作交于点K，交于点I．猜想线段、、的关系，并证明； (3)如图3，若、，点M、N、K分别是、、上的动点，请直接写出长度的最小值． 【答案】(1)7 (2)，证明见详解 (3) 【分析】（1）过点A作交于点Q，利用等腰三角形三线合一的性质和平行四边形的性质得到相关线段的长度，再利用等腰直角三角形的性质可求得的长度，从而利用三角形面积即可得出结果； （2）连接，，先证明，设，则，利用等腰直角三角形的性质证得，从而证得，和是等腰直角三角形，进而证得结论； （3）利用轴对称的性质，解的直角三角形的性质，勾股定理及三角形面积公式即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，过点A作交于点Q， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． （2）解：， 证明：如图，连接，， ∵，四边形为平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 同理，，是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴和是等腰直角三角形， ∴，， ∴． （3）解：如图，过点A作交于点S， ∵，，， ∴， 又∵，， ∴， 在中，， 过点G作交延长线于点R， ∵， ∴， ∴， ∵点M、N分别是、上的动点， 作点C关于的对称点，连接交于点L，连接，过点作交于点N，交于， ∴，即的最小值为， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 将绕点G顺时针旋转得射线，过点N作交于点P，与交点K， 在中，， ∴， ∴， 当点N，K，P三点共线时，有最小值，即， 过点N作于点T， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴在中，，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴ ． 12．平行四边形中，点在边上，连接，点在线段上，连接，． (1)如图1，已知，点为中点，．若，，求的长度． (2)如图2，已知，，将射线沿翻折交于，过点作交延长线于点．若，请写出线段，，的数量关系并说明理由． (3)如图3，已知，若，，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据“直角三角形的中线等于斜边长一半”，可以得到，再在直角中，利用勾股定理求出，则，即可求解； （2）由题意可得，是的角平分线，且，故延长交于点M，可证，要证，而，即证明即可，延长交于N，过E作于P，先证明，可以得到，再证明四边形是正方形，得到，接着证明即可解决； （3）如图3，分别以和为边构造等边三角形，构造“手拉手”模型，即可得到，所以，则，当B，F，M，N四点共线时，所求线段和的值最小，利用，解即可解决． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵E为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴； （2）证明：，理由如下： 如图2，设射线与射线交于点M， 由题可设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 延长交于N， ∴， 过E作于P， 则， 在与中，   ， ∴， ∴， 过E作于Q， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴， ∴矩形为正方形， ∴， ∴， 在与中， ，   ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3，把绕点A逆时针旋转得到，得到等边，同理以为边构造等边， ∴，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴ ， ∴， ∴， 当B，F，M，N四点共线时，最小， 即为线段的长度，如图4， 过N作交其延长线于T， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题是一道四边形综合题，考查了线段的“截长补短”在证明三角形全等中的应用，同时要注意基本辅助线构造方法，比如第（2）问中的线段既是角平分线，又是垂线段，延长相交构等腰就是本题的突破口，再结合线段的截长补短来构造全等，还考查了多条线段和的最值问题，利用旋转变换来转化线段是解决此问的关键． 13．课本再现： （1）把两个全等的矩形和矩形拼成如图1的图案，则的度数为 　　； 迁移应用： （2）如图2，在正方形中，是边上一点（不与点、重合），连接，将绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点，求证：； 拓展延伸： （3）如图3，在菱形中，，是边上一点（不与点、重合），连接，将绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点． ①线段与的数量关系是 　　 ②连接，点为内一点，连接，，．若，则的最小值为 　　． 【答案】（1）90； （2）见解析； （3）①； ②． 【分析】（1）先证明，可得，从而得到，由此可得答案； （2）过点作交延长线于点，结合正方形的性质和旋转的性质证明，可得，，从而得到，进而得到是等腰直角三角形，即可证明结论； （3）①过点作，与的延长线交于点，可证得，从而得到，，，进而得到，，继而得到； ②把绕点逆时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，过点作的垂线交的延长线于点，得为等边三角形，求出，当点，，，四点共线时，的值最小，即的长，可得的最小值为的长，根据勾股定理可求解 【解答】解：（1）矩形和矩形是全等矩形， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， ； 故答案为：90； （2）如图，过点作交延长线于点， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ； （3）①过点作，与的延长线交于点， 四边形是菱形， ，， 由旋转得，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ， 故答案为：； ②如图，把绕点逆时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，过点作的垂线交的延长线于点，则，，， 是等边三角形， ， ， 当点，，，四点共线时，的值最小，最小值为线段的长， 四边形是菱形，且， ，， ， ， ， ， 又， ， ， 故答案为：． 14．在中，，连接，已知，点在线段上，将线段绕点顺时针旋转为线段． （1）如图1，线段与线段的交点和点重合，连接，求线段的长度； （2）如图2，点为延长线上一点，使得，连接交于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，平面内一点，当最小时，求的面积． 【答案】（1）的长为； （2）证明祥见解答； （3）的面积为． 【分析】（1）作，根据等腰直角三角形的性质与判定，得到，，在中，应用勾股定理，求出的长，根据平行四边形的性质得到的长，根据等腰直角三角形的性质与判定，即可求解； （2）连接，，根据全等三角形的性质与判定得到，，，结合旋转的性质得到，，根据平行四边形的判定得到，，根据平行四边形的性质得到的长度，即可求解； （3）将绕点顺时针旋转90，得到△，由旋转的性质可得，根据两点之间线段最短，得到，在线段上时取得最小值，作，根据等腰直角三角形的判定与性质，得到，在△中，应用勾股定理得到，，，，由△，得到，在中，得到，在中，得到，，根据，即可作答． 【解答】（1）解：过点作，交延长线于点， ，， ，， ， ， ，，， ， ， 在中，，， ， 由旋转的性质可得：，， 是等腰直角三角形， ， 的长为； （2）证明：连接，， ，， ，， 又，， ， ，， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ； （3）解：将绕点顺时针旋转，得到△，连接， 由旋转的性质可得，，，， ， ，当在线段上时取得最小值， 延长与延长线交于点，过点作于点，连接， 由旋转的性质可得，，， ， ，， ， 在△中，， ， ， △， 即△， ， 在中， ， 在中， ， ， ， 的面积为． 15．如图（1），为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点． 如图（2），在锐角外侧作等边连接． 求证：过的费马点，且． 【分析】根据费马点的定义，在上取点，使，再在上取，然后连接，根据等边三角形的判定可以证明是等边三角形，从而得到，，根据角的关系可以推出，再利用边角边证明与△全等，根据全等三角形对应边相等可得，，从而可得点为的费马点，并且． 【解答】证明：在上取点，使， 连接，再在上截取，连接， ， ， 为正三角形， ，，， 为正三角形， ，， ， ， △， ，， ， 为的费马点， 过的费马点，且． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 费马点模型 费马点模型是解决“三角形内一点到三顶点距离之和最小”的经典最值模型，常通过旋转变换（如构造等边三角形）将折线路径拉直，利用“两点之间线段最短”求解；在特殊平行四边形（如正方形、菱形、矩形）中，通常需先构造含120°夹角的三角形，再应用该模型。 费马点定义：三角形内到三个顶点距离之和最小的点。若三角形最大角 <120°，则费马点在形内，且与三顶点连线夹角均为 120°；若最大角 ≥120°，则费马点即为该钝角顶点（中考/模考中多为锐角情形）。 核心方法：以三角形一边（如 AB）向外作等边三角形 ABE，连接 CE，则 CE 长即为 PA+PB+PC 的最小值（P 为费马点），依据是旋转 60° 构造全等与等边三角形，使折线 PA+PB+PC 转化为直线 CE。 在特殊平行四边形中的应用：如菱形 ABCD（∠ABC=60°）、正方形 ABCD 内求点 P 使 PA+PB+PC 最小，常取三点（如 A、B、C）构成三角形，再对 △ABC 作费马点构造；若题设含动点或附加约束（如 P 在对角线上），需结合对称性或限定条件调整构造。 作图关键：分别以 AB、AC 为边向外作等边 △ABE、△ACF，连接 CE 与 BF，其交点即为费马点 M；此时 AM+BM+CM = CE（或 BF）。 注意前提：模型默认目标为 三个定点 的距离和最小；若题中涉及四个点（如正方形四顶点）或边上的动点（如“P 在 BC 上，求 PA+PB+PD”），需拆解为子问题或改用其他模型（如将军饮马），严格费马点仅针对三角形三顶点。 该模型本质是旋转变换下的路径拉直（手拉手全等+等边三角形性质），不适用于任意四边形整体，但可嵌入由平行四边形截取的三角形中使用。实际解题时，先识别所涉三角形（常为平行四边形的三个顶点），验证角度条件（通常题设隐含 <120°），再旋转构造。 2 模型趣事 2 真题现模型 2 模型运用 3 模型.费马点模型 3 4 寻找最完美的交汇点：费马点 在几何学的奇妙世界里，有一个关于“距离”与“最优解”的经典问题，它源于17世纪一位“不务正业”的法国律师——皮埃尔·德·费马。1643年，费马向好友托里拆利抛出了一个看似简单却极具挑战的难题：假设平面上有三个村庄（即三角形的三个顶点），现在要修一个物流中心，修三条路分别通往这三个村庄，那么这个中心建在哪里，才能让三条路的总长度最短？ 这个神奇的交汇点，就是后来闻名于世的“费马点”。 费马点究竟在哪里？ 费马点的落点其实非常讲究，它根据三角形的形状分为两种情况： · 情况一： 如果三角形中有一个内角大于或等于120°，那么费马点就在这个最大角的顶点上。 · 情况二： 如果三角形的三个内角都小于120°，费马点就在三角形内部。它有一个非常浪漫的特征：从这个点向三个顶点连线，这三条连线之间的夹角恰好都是120°。因此，费马点也被称为三角形的“等角中心”。 背后的数学魔法：旋转 面对三条互不相连的线段求和，我们该如何证明它是最短的呢？费马点模型教给了我们一个绝妙的“化折为直”思想。 只要将图形中的某一部分绕着顶点向外旋转60°，就能巧妙地构造出等边三角形和全等三角形。原本散落在各处的三条线段，瞬间被“搬运”并首尾相连，变成了一条连接两个定点的折线。根据“两点之间线段最短”的公理，当这条折线被拉直成一条线段时，距离之和就达到了最小值。 生活中的费马点 费马点绝不仅仅停留在纸面上，它在现实生活中有着广泛的应用。比如在城市规划中，如果要建立一个配送中心为三个大型社区供货，利用费马点模型就能找到运输成本最低的最佳位置。在通信基站选址、交通路网设计等领域，这种追求“总距离最短”的思维都发挥着巨大的作用。 费马点不仅告诉了我们哪里是距离之和最小的“最佳位置”，更教会了我们一种“化繁为简、化折为直”的顶级思维。这种在旋转中寻找最优解的智慧，正是数学给予我们应对复杂世界最浪漫的启示。 （2025·湖南邵阳·一模）如图，是等边三角形，是正方形对角线（不含点）上任意一点，，（点在的左侧），当的最小值为时，正方形的边长为　　． 结论：如图1，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。 图1 图2 图3 注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常只考查三角形的最大顶角小于120°） 模型.费马点模型 例1四个村庄坐落在矩形的四个顶点上，公里，公里，在新农村建设中，要设立两个车站，则的最小值为 　　公里． 例2已知菱形的边长为2，且，M是对角线上一动点，的最小值为______． 例3如图，在矩形中，，，是边的中点，以为边在右侧作等边，为矩形内部一动点，连接、、，则的最小值是________． 例4（1）【问题发现】如图①，在△中，若将△绕点逆时针旋转得到△，连接；求 ； （2）【问题探究】如图②，已知△是边长为的等边三角形，以为边向外作等边三角形，为△内一点，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为点． ①求证：△△； ②求的最小值； （3）【实际应用】如图③，在矩形中，，，是矩形内一动点，为△内任意一点，是否存在点和点，使得有最小值？若存在求其值；若不存在，请说明理由． 1．如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接，则四边形周长的最小值为（　　） A． B． C．10 D．12 2．如图，点E、G、H分别为矩形的边、、的中点，连接、、，点M为上的动点，过M作于P，于Q，点F为边上一动点，连接，已知，，则的最小值为_________． 3．如图，在矩形中，，，点、分别在、边上，则的最小值为______． 4．如图，已知长方形中，，点为上的一点，且，点为上的动点，将沿折叠得到，点为的中点，点，点分别为上两个动点，且，连接，则的最小值是__________ ． 5．如图，在菱形中，，点为对角线上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N．连接，在点P运动过程中，的最小值等于_____． 6．如图，在矩形中，，，，分别是和上的两个动点，为的中点，则的最小值是______． 7．如图，在长方形中，是的中点，是上任意一点．若，，则的最小值为________，最大值为________． 8．如图，在平行四边形中，，，连接，且，平分交与于点．点在边上，，若线段（点在点的左侧）在线段上运动，，连接，，则的最小值为______． 9．如图，在直角坐标系中，A（﹣4，0），B（0，4），C是OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形，P是CD上一个动点，过点P作PH⊥OA于H，Q是点B关于点A的对称点，则BP+PH+HQ的最小值为_____． 10．如图1，正方形中，E，F分别为，上的点，，垂足为H． (1)求证：； (2)如图2，连接，交于点M，O为的中点，交于点N，连接．求证：； (3)如图3，若正方形的边长为10，P，Q是上两动点，且，请直接写出的最小值． 11．平行四边形中，，连接，点G为延长线上一点，连接，． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，过点C作，交延长线于点E，过点G作，交延长线于点F，以为斜边构造等腰直角三角形，过点H作交于点K，交于点I．猜想线段、、的关系，并证明； (3)如图3，若、，点M、N、K分别是、、上的动点，请直接写出长度的最小值． 12．平行四边形中，点在边上，连接，点在线段上，连接，． (1)如图1，已知，点为中点，．若，，求的长度． (2)如图2，已知，，将射线沿翻折交于，过点作交延长线于点．若，请写出线段，，的数量关系并说明理由． (3)如图3，已知，若，，请直接写出的最小值． 13．课本再现： （1）把两个全等的矩形和矩形拼成如图1的图案，则的度数为 　　； 迁移应用： （2）如图2，在正方形中，是边上一点（不与点、重合），连接，将绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点，求证：； 拓展延伸： （3）如图3，在菱形中，，是边上一点（不与点、重合），连接，将绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点． ①线段与的数量关系是 　　 ②连接，点为内一点，连接，，．若，则的最小值为 　　． 14．在中，，连接，已知，点在线段上，将线段绕点顺时针旋转为线段． （1）如图1，线段与线段的交点和点重合，连接，求线段的长度； （2）如图2，点为延长线上一点，使得，连接交于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，平面内一点，当最小时，求的面积． 15．如图（1），为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点． 如图（2），在锐角外侧作等边连接． 求证：过的费马点，且． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $