专题01 四边形（期末复习讲义）八年级数学下学期新教材湘教版

专题01 四边形（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 特殊四边形的动点问题 题型02 特殊四边形的判定与性质综合题 题型03 四边形中的折叠问题 题型04 四边形中的线段最值问题 题型05 四边形与坐标的综合题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 多边形 掌握多边形内角和公式 (n-2)×180° 与外角和恒等于360°；理解正多边形的概念及性质。 考查形式：常以填空题或选择题出现。命题点：已知边数求内角和/外角和；已知内角/外角求边数（列方程思想）。易错点：混淆内角和与外角和公式；忘记正多边形“各边相等、各角相等”的前提。 平行四边形的性质与判定 熟练掌握平行四边形的定义，及其对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分的性质；掌握平行四边形的五种判定方法（边、角、对角线）。 考查形式：基础题（填空/选择）考查性质；解答题（中档题）考查判定与性质的综合证明。热点：利用“对角线互相平分”证明平行四边形；平行四边形与坐标系结合求点坐标（中点公式）。 中心对称和中心对称图形 理解中心对称和中心对称图形的概念，掌握其性质（对称点连线经过对称中心，且被对称中心平分）；能识别常见中心对称图形（如平行四边形、圆等）。 考查形式：选择题或作图题。命题点：判断常见图形（平行四边形、矩形、菱形、圆）是否为中心对称图形；利用中心对称性质求线段长或角度。注意：区别于轴对称。 三角形的中位线定理 掌握三角形中位线的定义，并熟记定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 考查形式：高频考点，常出现在解答题或压轴题中。命题点：直接利用中位线求线段长；构造中位线解决线段倍分问题；顺次连接四边形各边中点所得图形的形状判断（必为平行四边形）。 矩形的性质与判定 掌握矩形的定义（有一个角是直角的平行四边形），及其特有性质（四个角都是直角、对角线相等）；掌握矩形的三种判定方法（定义法、对角线相等的平行四边形、有三个角是直角的四边形）。 考查形式：中档解答题。热点：矩形折叠问题（勾股定理列方程）；证明一个四边形是矩形（先证平行四边形再证直角/对角线相等）。易错：直接由“对角线相等”判定矩形（漏证平行四边形）。 菱形的性质与判定 掌握菱形的定义（有一组邻边相等的平行四边形），及其特有性质（四边相等、对角线互相垂直且平分对角）；掌握菱形的三种判定方法（定义法、四边相等的四边形、对角线互相垂直的平行四边形）。 考查形式：计算题与证明题。命题点：利用对角线求菱形面积（ ）；利用“对角线互相垂直平分”计算边长（勾股定理）；判定菱形时漏掉“平行四边形”前提。 正方形的性质与判定 掌握正方形的定义（既是矩形又是菱形），理解其集所有平行四边形、矩形、菱形性质于一身的特性（四边相等、四角直角、对角线垂直相等且平分对角）；掌握正方形的判定思路（先证菱形再证矩形，或先证矩形再证菱形）。 考查形式：压轴题或综合题。命题点：正方形背景下的旋转模型（手拉手全等）；动点问题（分类讨论）；折叠问题。难点：灵活运用“四边相等+四角直角+对角线垂直平分且相等”的多重属性。 四边形综合 综合运用上述知识解决动点、折叠、坐标系等问题。 考查形式：试卷最后两道大题。趋势：动点存在性问题（讨论构成平行四边形/特殊四边形）；折叠问题（轴对称性质+勾股定理）；新定义题型（如自定义“双直四边形”等）。 知识点01 多边形 知识点梳理： 内角和公式：n边形内角和 = (n-2)×180°。 外角和定理：任意多边形的外角和恒等于360°。 正多边形：各边相等，各内角也相等的多边形。 典型示例： 示例1（求内角和）：一个八边形的内角和是 (8-2)×180° = 1080°。 示例2（求边数）：已知一个多边形的内角和为1260°，求边数。解：设边数为n，则 (n-2)×180° = 1260°，解得 n=9。 示例3（正多边形）：一个正多边形的每个外角为45°，则它的边数为 360°÷45° = 8。 易错点辨析： 公式混淆：误将内角和公式 (n-2)×180° 用于计算外角和。 边数条件：求解边数n时，忘记n必须是大于等于3的整数，导致出现非整数或小于3的解。 概念不清：求正多边形内角时，误用外角公式（如正n边形每个内角 = 180° - 360°/n，而非直接用360°/n）。 知识点02 平行四边形的性质与判定 性质： 边：对边平行且相等。 角：对角相等，邻角互补。 对角线：互相平分。 判定（五种常见方法）： 定义法：两组对边分别平行。 边：两组对边分别相等；一组对边平行且相等。 角：两组对角分别相等。 对角线：对角线互相平分。 示例：（性质应用）：在▱ABCD中，AB=5，∠A=60°，则CD=5，∠C=60°。 （判定应用）：在四边形ABCD中，AB//CD，且AB=CD。求证：四边形ABCD是平行四边形。 证明：∵ AB//CD 且 AB=CD，∴ 四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。 （动点问题）：在平面直角坐标系中，A(0,0)，B(3,0)，C(4,2)，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标。（需分类讨论，有三种可能情况） 易错点：判定条件不充分：仅凭“一组对边平行，另一组对边相等”就判定为平行四边形，这是错误的（可能是等腰梯形）。 性质与判定混淆：在证明题中，将需要证明的结论（如对边相等）当作已知条件（性质）直接使用。 动点问题漏解：在平行四边形存在性问题中，只考虑一种相对位置关系，遗漏其他构成情况。 知识点03 中心对称和中心对称图形 中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。 中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。 性质：对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。 示例：（直接应用）：在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，DE=4cm，则BC=8cm，且DE//BC。 （梯形应用）：在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是AB、DC的中点，则EF是梯形的中位线，EF = (AD+BC)/2。 易错点： 概念混淆：将三角形的中位线与中线混淆。中线连接顶点与对边中点，不一定平行于第三边，长度也不等于第三边的一半。 前提条件忽略：应用定理时，未确认所给线段确实是连接“两边中点”的线段。 复杂图形中识别困难：在具有多个中点的复杂图形中，无法正确识别或构造出有效的中位线来转化问题。 知识点04 三角形的中位线 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形共有三条中位线。 定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 几何语言：在△ABC中，∵ D、E分别是AB、AC的中点，∴ DE∥BC，且 DE = ½ BC。 重要推论： 三角形三条中位线所截得的三角形与原三角形相似，相似比为1:2，面积比为1:4。 三条中位线将原三角形分割成四个全等的小三角形。 中点四边形：顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，其周长等于原四边形对角线之和，面积等于原四边形面积的一半。 示例： 题目：在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点。若AC=10cm，BC=12cm，AB=8cm，求△DEF的周长。 解析：根据三角形中位线定理，DE = ½ AC = 5cm，EF = ½ AB = 4cm，FD = ½ BC = 6cm。因此，△DEF的周长 = DE + EF + FD = 5 + 4 + 6 = 15cm。 易错点： 概念混淆：将“三角形的中位线”与“三角形的中线”混淆。中线是连接一个顶点和它对边中点的线段，它不一定平行于第三边，且长度不一定等于第三边的一半。中位线是连接两边中点的线段。 定理应用条件不清晰：在应用“DE = ½ BC”时，必须确保D、E分别是AB、AC的中点，即DE是△ABC的中位线。不能看到一条线段平行于另一边且长度是另一边的一半，就反推它是中位线（还需要满足端点是对应边的中点）。 在复杂图形中识别或构造中位线困难：当图形中出现多个中点时，学生往往无法准确判断哪条线段是哪个三角形的中位线，或者不知道通过添加辅助线（如连接两点创造三角形）来构造出可用的中位线。 忽视中点四边形的结论：在解决顺次连接四边形各边中点构成的新四边形问题时，容易忘记“中点四边形恒为平行四边形”这一重要结论，以及其周长、面积与原四边形对角线的关系，导致需要重新证明，浪费时间。 面积关系运用错误：知道中位线截得的小三角形面积是原三角形的1/4，但在求由中位线分割形成的复杂图形面积时，容易直接加减导致错误，必须明确每个部分面积与原三角形的比例关系。 知识点05 矩形的性质与判定 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 性质（在平行四边形基础上增加）： 四个角都是直角（∠A=∠B=∠C=∠D=90°）。 对角线相等（AC=BD）。 判定： 定义法：有一个角是直角的平行四边形。 对角线相等的平行四边形。 有三个角是直角的四边形。 示例：（性质应用）：在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB=6，BC=8，则AC=BD=10。 （判定应用）：在▱ABCD中，对角线AC=BD。求证：▱ABCD是矩形。 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD=BC。又∵ AC=BD，AB=BA，∴ △ABC≌△BAD (SSS)。∴ ∠ABC=∠BAD。又∵ AD//BC，∴ ∠ABC+∠BAD=180°。∴ ∠ABC=∠BAD=90°。∴ ▱ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。 （折叠问题）：将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点C‘处，若AB=3，BC=4，求C’到AD的距离。（利用勾股定理和方程思想） 易错点：判定跳步：直接由“对角线相等”判定一个四边形是矩形，忽略了必须先证明它是平行四边形。 折叠问题对应关系不清：在矩形折叠问题中，找不准折叠前后的对应边、对应角，导致无法正确建立等量关系（方程）。 性质使用不当：误认为矩形的对角线只相等不互相平分（实际上作为平行四边形，其对角线依然互相平分）。 知识点06 菱形的性质与判定 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 性质（在平行四边形基础上增加）： 四条边都相等（AB=BC=CD=DA）。 对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC）。 判定： 定义法：有一组邻边相等的平行四边形。 四边都相等的四边形。 对角线互相垂直的平行四边形。 示例：（性质应用）：已知菱形ABCD的边长为5，一条对角线AC=6，求另一条对角线BD的长及菱形的面积。 解：∵ 菱形对角线互相垂直平分，∴ AO=OC=3。在Rt△AOB中，OB=√(AB²-AO²)=√(25-9)=4。∴ BD=2OB=8。面积S = (1/2)×AC×BD = (1/2)×6×8 = 24。 （判定应用）：在▱ABCD中，对角线AC⊥BD。求证：▱ABCD是菱形。 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=OC。又∵ AC⊥BD，∴ BD是AC的垂直平分线。∴ BA=BC。∴ ▱ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）。 易错点： 判定跳步：直接由“对角线互相垂直”判定一个四边形是菱形，忽略了必须先证明它是平行四边形。 面积公式混淆：记混菱形面积公式，除了底乘高，还有对角线乘积的一半（S = (1/2) * d1 * d2）。 性质应用不全：只记得四边相等，忽略了对角线垂直平分且平分对角的重要性质，在计算和证明中未能充分利用。 知识点07 正方形的性质与判定 定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。它既是矩形又是菱形。 性质（集矩形和菱形性质于一身）： 边：四条边都相等。 角：四个角都是直角。 对角线：对角线相等、互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角。 判定思路：通常先证明四边形是平行四边形，再证明它既是矩形又是菱形；或直接证明它满足正方形的定义。 示例： （性质应用）：正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，则AC=BD，AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，△AOB是等腰直角三角形。 （判定应用）：已知：在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF//CE，CF//BE。求证：四边形BECF是正方形。 证明思路：先由两组对边平行证BECF是平行四边形；再由角平分线和平行关系证出∠EBC=∠ECB=45°，从而EB=EC，得菱形；再证∠BEC=90°，得正方形。 （综合模型）：在正方形ABCD外侧作等边△ADE，连接BE、CE。求∠BEC的度数。（“手拉手”或共顶点旋转模型） 易错点： 判定逻辑混乱：判定正方形时，条件罗列不全或顺序混乱，未能清晰证明其同时满足矩形和菱形的所有特征（或满足定义）。 性质应用单一：在复杂图形中，只用到正方形的部分性质（如只用到四边相等），未能综合运用其全部特性（特别是对角线的特性）来简化问题。 模型识别不清：在正方形背景的综合题中，无法识别出内含的等腰直角三角形、全等三角形等基本模型，导致解题思路受阻。 题型一 特殊四边形的动点问题 解｜题｜技｜巧 明确分类依据：以已知线段作为平行四边形的边或对角线，进行分类讨论。通常有三种情况。 掌握坐标算法： 已知线段AB为边：利用平行四边形对边平行且相等，设未知点D(x, y)，根据向量AB=DC或AB=CD列方程组求解。 已知线段AB为对角线：利用平行四边形对角线互相平分，即AB的中点与CD的中点重合，列方程求解。 几何法辅助：在纯几何图形中，可结合平行线的性质与全等三角形进行推理。 易｜错｜点｜拨 致命错误：只想到一种情况，导致漏解。必须系统考虑以每一条已知线段为边或为对角线的所有可能。 计算错误：在利用中点坐标公式或向量相等列方程时，点坐标对应关系弄错。 忽略前提：求出点坐标后，需验证四点是否共线（若共线则构不成四边形）。 【典例1】（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，在矩形纸片中，，，点E，F分别在边上．将矩形纸片沿直线折叠，使点B落在边上，记为点M，点C落在点N处，连接交于点P，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点M与点D重合时，；③面积的最小值是；④中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】证明，，可判断①；点M与点D重合时，设，则，在中，根据勾股定理可得，再根据勾股定理以及菱形的性质可得的长，可判断②；根据题意可得当经过点时，最短，此时四边形的面积最小，四边形为正方形，可判断③；无法判断和全等，故无法判断与相等，可判断④． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， 有折叠的性质得：，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故①正确； 点M与点D重合时，如图： 设，则， 在中，， ∴，解得：， ∴， ∵，四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，故②正确； 如图，当经过点时，最短，此时四边形的面积最小，四边形为正方形， 此时，故③正确； 在和中，， 根据题意找不到其他的条件相等，则无法判断和全等，故无法判断与相等，所以④错误； 故选：A 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【变式1】（2025·浙江绍兴·三模）如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】过点G作于H，过点G作，由“”可证，可得，可得点G在平行且到距离为1的直线上运动，则当F与D重合时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点G作于H，过点G作， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点G在平行且到距离为1的直线上运动， ∴当F与D重合时，有最小值，此时， ∴的最小值， 故选：B． 【点睛】本题考查了（特殊）平行四边形的动点问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是解题关键． 【变式2】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形． (1)______； (2)求证：； (3)当四边形的面积为20时，求出此时的长． (4)在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值． 【答案】(1)5 (2)证明见解析 (3)或 (4)或 【分析】（1）根据矩形的性质以及勾股定理即可求解； （2）根据题意可得垂直平分，从而得到，即可求证； （3）分两种情况：点P在边上或点P在边上，结合勾股定理以及等腰三角形的性质解答即可； （4）设，点P在边上或点P在边上，结合勾股定理以及菱形的性质解答即可． 【详解】（1）解：在矩形中，， ∴，， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴， 故答案为：5 （2）证明：∵点P关于的对称点为点E， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴ ∵四边形的面积为20， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴，， 当点P在边上时，过点O作，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 当点P在边上时，过点O作于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； （4）解：设， 如图，当点P在边上时，设交于点N， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 当点P在边上时，延长交于点M， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 【变式3】（24-25八年级下·福建厦门·期末）在正方形中，点是边上任意一点，连接，过点作于，交于． (1)如图，过点作于，求证：； (2)如图，点E为的中点，连接，求证：； (3)如图，，连接，点为的中点，在点从点运动到点的过程中，点随之运动，请直接写出点运动的路径长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】根据正方形的性质可得：，，根据同角的余角相等可得，利用可证； 利用可证，根据全等三角形的性质可证，过点作，交的延长线于点，可证，根据全等三角形的性质可证：，利用勾股定理可证结论成立； 作的中点，的中点，连接，因为点在边上运动，点在上运动，点是的中点，可知点的运动轨迹是连接、中点的线段，利用勾股定理求出的长度即为点运动的路径长． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点为的中点， ， ， 如下图所示，过点作，交的延长线于点， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， ； （3）解：如下图所示，作的中点，的中点，连接， 当点与点重合时，点与点重合，则线段与重合， 点在的中点的位置， 当点与点重合时，点与点重合，则线段与重合， 点在的中点的位置， 随着点、的运动，点在线段上运动， ， ， 在中， 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、动点问题．解决本题的关键是根据点、的运动路径找到点的运动轨迹，根据点的运动轨迹求出点运动的路径长度． 题型二 特殊四边形的判定与性质综合题 解｜题｜技｜巧 判定思路清晰化： 矩形：路径一：先证平行四边形，再证有一个直角或对角线相等。路径二：直接证三个角是直角。 菱形：路径一：先证平行四边形，再证一组邻边相等或对角线垂直。路径二：直接证四边相等。 正方形：“先路后高”或“先高后路”。即先证明四边形是菱形，再证明有一个角是直角（或对角线相等）；或先证明是矩形，再证明有一组邻边相等（或对角线垂直）。 性质应用网络化：熟记特殊四边形是“属性叠加”的结果。正方形拥有矩形、菱形、平行四边形的所有性质。解题时根据需求，灵活提取所需性质（如正方形中隐含大量等腰直角三角形）。 善用基本图形：例如，菱形对角线产生垂直和全等的直角三角形；矩形对角线产生相等的线段和等腰三角形。 易｜错｜点｜拨 判定跳步：最典型的错误是直接由“对角线相等”推出矩形，或由“对角线垂直”推出菱形，必须确保前提是“平行四边形”。 性质与判定混淆：在证明题中，将需要证明的结论（如“边相等”）当作已知条件使用。 模型识别不清：在复杂图形中，无法识别出正方形背景下的“手拉手”全等模型、或矩形折叠中的对称全等模型，导致解题困难。 【典例1】（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)是定值，6 (3) 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （）过作于点，过作于点，可证四边形是正方形，得，进而证明，得到，即可求证； （）证明，可得，即得，即可求解； （3）由矩形为正方形，得到，根据垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为，此时，有最小值，即可解答． 【详解】（1）证明：如图，过作于点，过作于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是正方形对角线的一点， ∴， ， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：是定值，定值为，理由如下： ∵矩形为正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴是定值，定值为． （3）解：∵矩形为正方形， ∴， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为， 此时，有最小值， 由（2）知， ∴的最小值为． 【典例2】（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如图，在平行四边形中，点分别在边上，，与相交于点． (1)求证：． (2)如果．求证：四边形是一个菱形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】利用平行四边形的性质得出 ，，，，证明 得到 ，从而，结合 证得四边形是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分即可证得 ． (2) 由可得，根据 推出，得到 ，从而证得四边形是菱形． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵ ， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形 是平行四边形， ∴四边形 是菱形． 【变式1】（24-25九年级下·北京·阶段检测）如图，在中，点为线段的中点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明，证明四边形是平行四边形，再根据得到结论即可； （2）过点作于点，由矩形的性质得到，证明为的中位线，求出，再根据勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）证明：为的中点， ， 四边形是平行四边形， ， 又， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：如图，过点作于点， 四边形是矩形， ， ， ， ， 为的中位线， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即的长为． 【变式2】（25-26九年级上·河南开封·期末）如图，在中，平分交于点，连接． (1)过点作，垂足为（用没有刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若． ①求证：四边形是矩形； ②若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图—过一点作垂线，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据作垂线的步骤进行作图即可； （2）①根据平行四边形的性质得出平行的边和相等的边，根据线段的和差得出，证明四边形是平行四边形，根据垂直得出直角，即可得出结论； ②根据含角的直角三角形的性质得出，然后利用勾股定理得出，最后利用矩形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：①∵四边形为平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； ②∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， 由①得，四边形是矩形， ∴． 题型三 四边形中的折叠问题 解｜题｜技｜巧 紧扣核心：折叠即轴对称。折叠前后的图形全等，对应边相等，对应角相等。 解题步骤： Step1: 标出图中所有已知等长线段和等角。 Step2: 将所求线段（如折痕长、重叠部分边长）设为未知数。 Step3: 寻找一个直角三角形（通常由折叠后的对应点、原顶点等构成），利用勾股定理建立方程。 Step4: 解方程，得到答案。 常用辅助线：连接对应点，这条线段会被折痕垂直平分。 易｜错｜点｜拨 对应关系找错：这是最常出错的地方，必须仔细对照图形，明确哪两个点折叠后重合。 忽略隐藏的等腰三角形：由折叠产生的等角，结合平行线内错角相等，常会形成等腰三角形，可简化计算。 方程列立错误：在利用勾股定理时，直角三角形的三条边表达错误。 【典例1】（24-25八年级下·江西南昌·期末）四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 【探究发现】 （1）如图1，小明将沿翻折得到，点B的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边于点F，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为 ； 【类比探究】 （2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点A的对应点为点，点B的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点F，请你猜想线段之间的数量关系并证明； 【拓展延伸】 （3）在（2）的翻折过程中，正方形的边长为9． ①如图3，若线段恰好经过点D，，求的长； ②如图4，若F为中点，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1）；（2）；证明见解析；（3）①2；② 【分析】（1）由“十字架”模型可证，进而得解； （2）先证，再利用“十字架”模型构造全等，过点G作，可证，进而得解； （3）①过点D作，先证四边形是平行四边形，得，再分别利用勾股定理表示出，从而建立方程求解即可．②构造平行四边形，可得，可证，可得，再利用逆等线模型，过K作于点K，且，证明，得到，所以，当且仅当H、E、F依次共线时，取等，据此求解即可． 【详解】解：（1）如图， 根据题意得：垂直平分， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． （2）；证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 过点G作，垂足为点N， ∴， ， ∴， ， ∴四边形是矩形， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴． （3）①设， ∵正方形的边长为9，， ∴， 过点D作，垂足为H，交线段于点P，连接． 由折叠的性质得：D，P关于直线对称，， ∴垂直平分， ∴， ∵由（2）得， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，， 根据勾股定理，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即的长为2． ②如图，过A作交于点K， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 过K作于点K，且， ∴， ∴， ∴， ∴，当且仅当H、E、F依次共线时，取等， 过H作，交延长线于点H，则四边形是矩形， ∴， ∵F是中点， ∴， ∴， 同理（2）证明， ∴， ∴， 在中， ， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点，，． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用折叠的性质和平行线的性质证得，得到，设，则，，在中，由勾股定理求出的值，再由三角形的面积公式求出面积的值； （2）根据勾股定理和三角形面积公式可求的边上的高，再乘以2即可得到的长． 【详解】（1）解：由折叠可知，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：即， 解得：， ； （2）解：在中，， 连接，交于， ，关于对称， ，， ， 故的长为． 【变式2】（25-26八年级上·山西晋中·期末）如图，点是长方形纸片的边上一点，将纸片的一角沿折叠，使点的折叠点落在长方形外侧，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了长方形的性质，翻折的性质，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据长方形的性质以及翻折的性质求出相关角的度数，然后根据直角三角形的性质得出相关角的度数，得出，即可得出两直线平行． 【详解】证明：由长方形的性质以及翻折的性质，得， ，， 又， ． ， ． 【变式3】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图1，点E、F分别在正方形边、上，沿直线将正方形折叠．使点B的对应点G落在边上（点G不与点A、D重合），点C落在点H处，与交于点M，分别连接， (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若，点M为的中点，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据折叠的性质及角的等量代换，得到，根据正方形的性质即可得证； （2）过点B作于K，根据题意及正方形的性质，证明，，求出，即可解答； （3）根据题意及正方形的性质，求得，过点B作于K，设，则，根据勾股定理，列方程求出x，进而求出HF，设，，列方程求出y，即可解答． 【详解】（1）证明：沿直线将正方形折叠， ，， ， ， 即， 正方形， ， ， ． （2）解：如图，过点B作于K， 则， 正方形ABCD， ，， ，， 由（1）得， 又， ， ，， ， 又，， ， ， ， ， ； （3）解：正方形， ， 点M为的中点， ， 如图，过点B作于K， 由(2)可知， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， ， 设，， 在中，， 即， 解得， ． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 题型四 四边形中的线段最值问题 解｜题｜技｜巧 解决线段最值问题，核心思想是 “化折为直” 和 “化动为静” 。 “将军饮马”模型（对称法） 这是最基础的模型，适用于求 的最小值。 模型特征：在直线 上找一点 ，使得 到直线同侧两点 的距离之和最小。 解题策略： 作点 关于直线 的对称点 。 连接 ，与直线 的交点即为所求点 。 最小值即为线段 的长度。 四边形中的应用：常见于菱形、正方形背景。例如，在菱形 的对角线 上找一点 ，使 最小。由于菱形关于对角线对称，点 的对称点就是点 ，连接 即可。 旋转变换模型（手拉手模型） 适用于求 的最小值（费马点问题）或线段分散无法直接连接的情况。 模型特征：共顶点的等线段（如正方形、等边三角形）。 解题策略： 将 绕点 旋转 或 ，将分散的线段 转化到一条折线上，最后利用“两点之间线段最短”求解。 四边形中的应用：正方形背景下的费马点问题，求 的最小值。 易｜错｜点｜拨 混淆“垂线段最短”与“两点之间线段最短” 错误表现：求 最小值时，误作垂线；或者求点 到直线距离最小时，误连连线。 点拨： 求点到直线距离 垂线段最短。 求两线段之和 ( ) 两点之间线段最短（将军饮马）。 求两线段之差 ( ) 三角形三边关系（两边之差小于第三边，最大值为第三边，需三点共线）。 【典例1】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，，为边的中点，为矩形外一动点．且，则线段的最大值为 ________ ． 【答案】 【分析】连接，取的中点，连结，，通过矩形的性质结合勾股定理求出，再运用中位线定理求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，最后根据三角形的三边关系得三点共线时最大即可求解． 【详解】如图，连接，取的中点，连接，， ∵矩形中，，，， ∴，， ∴根据勾股定理，， ∵为的中点，为的中点， ∴， ∵， ∴， 由三角形的三边关系得三点共线时最大， 此时． 【变式1】（25-26九年级上·陕西铜川·期末）如图，在面积为12的正方形中，以为一边向正方形内作等边，点是对角线上的动点，连接、，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称，最短路线问题，根据正方形的性质得出A关于的对称点是C是解题的关键． 由四边形是正方形，可得、关于对称，则当、、共线时，的最小值为的长． 【详解】解：∵正方形的面积为12， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴、关于对称， ∴， ∴， ∴当、、共线时，的最小值为的长， ∴的最小值为． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·山东威海·期末）数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作某种变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决． (1)如图1，已知菱形，，，点E是边中点，点F是对角线边上的动点．连接，，则的最小值为________； (2)如图2，已知矩形，，．点E是上的点，且，点F，G是上的动点，且，连接．则的最小值为________； (3)如图3，已知正方形，，E是上的动点，F是上的动点，且．连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）取中点记作点，连接，，，记与的交点为点，连接，，先根据三角形的中位线性质和菱形性质证明点是点E关于的对称点，则，当点F运动到点时，的最小值，即的长， 证明为等边三角形和为等腰三角形，利用等边三角形的性质和勾股定理求解即可求解； （2）在上取点H，使得，连接，证明四边形是平行四边形，得到，在延长线上取点，使得，连接，则，进而利用两点之间线段最短得到的最小值为，然后利用勾股定理求得即可求解； （3）在下方，过C作，且，连接，，证明得到，由，当A、F、P共线时取等号，可得的最小值为的长；过P作于H，延长线于Q，由等腰直角三角形的判定与性质求得，再证明四边形是矩形，得到，，在中利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）解：取中点记作点，连接，，， 记与的交点为点，连接，， ∵点E，点分别是，边中点， ∴，，， 在菱形中，，, ∴，， ∴点是点E关于的对称点， ∴， ∴当点F运动到点时，的最小值，即的长， 在菱形中，，， ∴，则为等边三角形， ∴， ∴，则为等腰三角形， ∵点是边中点， ∴，，即， 又，， ∴，则， 在中，， 又∵，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 在上取点H，使得，连接，则 ∴四边形是平行四边形， ∴， 在延长线上取点，使得，连接，则， ∴，当H、F、共线时取等号， ∴的最小值为， ∵，． ∴中，，， ∴， ∴的最小值为； （3）解：在下方，过C作，且，连接，， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴，， ∴，又， ∴， ∴， ∴，当A、F、P共线时取等号， ∴的最小值为的长； 过P作于H，延长线于Q，则， 在中，，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、最短路径问题等知识，熟练掌握特殊四边形的性质，添加辅助线得到最小值时动点的位置是解答的关键． 【变式3】（25-26九年级上·新疆昌吉·期末）矩形中，，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值．            【答案】（）详见解析；（）． 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）连接，证明，即可求证； （2）根据题意得点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，当点在线段上时，有最小值．根据勾股定理求出，即可求解； 【详解】（1）证明：连接，   由折叠可得，． ∵四边形为矩形，． ∵为的中点，， ∴． 在与中， ∵，， ∴， ∴ （2）解：，点在移动过程中，不变． ∴点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，，    ∴， 当点在线段上时，有最小值． ∵，，， ∴． ∴， ∴的最小值为． 题型五 四边形与坐标的综合题（压轴题倾向） 解｜题｜技｜巧 1. 代数法为主：将几何条件（如平行四边形对边平行且相等、菱形四边相等、矩形对角线相等）转化为点的坐标之间的方程或方程组。 2. 分类讨论思想：与动点问题结合时，必须根据四边形不同类型（平行四边形、菱形、矩形、正方形）的判定条件，进行分类求解。 3. 几何性质辅助：在计算时，结合图形特点（如利用菱形对角线垂直平分求斜率）可简化计算。 易｜错｜点｜拨 思路单一：仅从几何或代数一个角度思考，陷入困境。应数形结合，先用几何图形分析关系，再用代数工具计算。 计算量大且易错：此类题计算复杂，需步步为营，仔细检验。 忽略实际意义：求出的坐标可能使线段长度为负或点不在指定象限，需舍去。 【典例1】（23-24八年级下·天津南开·期末）在平面直角坐标系中，为原点，平行四边形的顶点，，，矩形的顶点． (1)如图1，与，交于点，． ①直接写出直线的解析式和点的坐标； ②求证：四边形为菱形； (2)如图2，将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形．点，，，的对应点分别为，，，．设，矩形与平行四边形重合部分图形的周长为． ①在平移过程中，当矩形与平行四边形重合部分为四边形时，直接用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②如图3，若的中点为，矩形对角线的交点为，连接，．在平移过程中，当最小时，直接写出此时的值． 【答案】(1)①；②见解析 (2)①当时，重叠部分是菱形，此时； 当时，此时； ② 【分析】（1）①根据，，计算；结合平行四边形，得到，结合，得到点C与点D的纵坐标相同即，设直线的解析式为，代入解答即可；根据，得到点，代入解析式解答即可． ②过点H作于点Q，根据平行四边形，得到，根据矩形得到，得证四边形为平行四边形．根据坐标 ，得到，据勾股定理，得，结合，得到，得证四边形为菱形； （2）①设直线的解析式为，确定解析式，过点G作于点P， 则，当时，重叠部分是菱形，此时；过点H作于点N，当时，重叠部分是四边形，此时； ②过点N作，交于点Q，则四边形是平行四边形，，当E，N，Q三点共线时，取得最小值，解答即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ∵平行四边形，得到， ， ∴点C与点D的纵坐标相同即， 设直线的解析式为， 解得， 故的解析式为． ∵矩形的顶点， 设点，代入解析式，得， 解得， 故点． ②过点H作于点Q， ∵平行四边形， ∴， ∵矩形 ∴， ∴四边形为平行四边形． ∵ ， ∴，据勾股定理，得， ∵， ∴, ∴四边形为菱形． （2）①∵，， 设直线的解析式为， 解得， 故的解析式为． ∵矩形的顶点， 设点，代入解析式，得， 解得， 故点． 过点G作于点P， 则， 当时，重叠部分是菱形，此时； 过点H作于点N， ∵，， 当时，重叠部分是四边形，此时，， ；此时； ②根据题意，得的中点为，矩形对角线的交点为，则直线是矩形的对称轴， ∴， ∵， ∴； ∴； ∴，， 过点N作，交于点Q， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当E，N，Q三点共线时，取得最小值， 设与的交点为R， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 过点H作于点P， 则四边形是矩形， ∴；， ∵，， ∴， ∴， ∴， 此时的值为：． 【点睛】本题考查了待定系数法，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形不等式的应用，等腰直角三角形的判定和性质，菱形的判定，三角形中位线定理的判定和性质，熟练掌握待定系数法，三角形不等式的应用，等腰直角三角形的判定和性质，菱形的判定是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴正半轴上，，两点在第一象限，在下方以为斜边作等腰直角．连接．若，则的最大值是__________． 【答案】/ 【分析】取中点，连接、，过点作的垂线，交的延长线于点，由正方形的性质可得，．由等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，进而计算出，．利用直角三角形的性质求得，当、、三点共线时，取得最大值． 【详解】解：如图，取中点，连接、，过点作的垂线，交的延长线于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵以为斜边的等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在直角中，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在直角中，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 在直角中，， 在直角中，为斜边上的中线， ∴， 由线段公理可得， ∴当、、三点共线时，取得最大值． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，线段公理，熟练掌握相关知识是关键． 【变式2】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、、A、、B、、C、…，都是平行四边形的顶点，点A、B、C、…在x轴正半轴上，，，，，，，，平行四边形按照此规律依次排列，则第7个平行四边形的对称中心的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中平行四边形的规律探究与对称中心的计算，解题的关键是根据已知条件推导各平行四边形顶点的坐标规律，进而求出对称中心坐标． 先根据和确定第一个平行四边形的顶点坐标；再依次推导后续平行四边形的顶点坐标，结合对称中心为对角线中点的性质，计算各平行四边形的对称中心坐标，最后总结出第个平行四边形对称中心的坐标公式． 【详解】解：第1个平行四边形： 过作x轴的垂线，垂足为， ∵， ∴为等腰直角三角形．又， ∴由勾股定理得， 已知，因此与重合，且． ∴坐标为， ∵， ∴对称中心为的中点，即． 第2个平行四边形： 同理可推得，又， ∴顶点，， ∴对称中心为的中点，即． 第3个平行四边形： 同理可推得，又， ∴顶点，， ∴对称中心为的中点，即． 推导规律： 观察可得，第个平行四边形的对称中心横坐标为，纵坐标为． 将代入规律公式：横坐标，纵坐标． 故对称中心坐标为． 故答案为：． 【变式3】物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要．一般匀质薄板形状的重心就是其对应平面图形的重心． 素材1：简单平面图形的重心举例 ①如图1，线段的重心是线段的中点O； ②如图2，的重心是三条中线的交点G； ③如图3，长方形（也叫矩形）的重心是其对角线的交点O． 素材2：组合平面图形重心举例 对于平面组合图形的重心位置，可以由被分成的平面图形的重心位置和各部分的面积来确定，为此可以建立平面直角坐标系，用坐标表示重心的位置． 如图4，在正方形和正方形中，点，点，点，点，点，点，这两个正方形的重心分别是，，由于，，则 若设两个正方形的组合图形的重心为， ， ， 即 解答问题 （1）如图5，矩形中，点，点，点，点，点，其中矩形的重心为， 矩形的重心为，则矩形的重心G的坐标为________； （2）如图6，在矩形和矩形中，点，点，点，点，点，点，矩形的重心，矩形的重心，则该组合图形的重心G的坐标为________． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了坐标与图形，长方形的面积计算，组合图形的重心，理解组合图形重心坐标公式是解决问题的关键； （1）先求出，，，设矩形的重心G的坐标为，然后根据组合图形的重心公式即可得出矩形的重心G的坐标； （2）先求出，，，设组合图形的重心G的坐标为，然后根据组合图形的重心公式即可得出该组合图形的重心G的坐标. 【详解】解：（1）∵四边形、四边形、四边形都是矩形， 又∵点，点，点，点，点， ∴，，，， ∴，，， 设矩形的重心G的坐标为， 又∵矩形的重心为，矩形的重心为， ∴，， ∴矩形的重心G的坐标为. 故答案为：. （2）∵四边形、四边形都是矩形， 又∵点，点，点，点，点，点， ∴，，，， ∴，， ∴， 设组合图形的重心G的坐标为， 又∵矩形的重心，矩形的重心， ∴，， ∴该组合图形的重心G的坐标为． 故答案为：． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．若正多边形的内角和是，则该正多边形的一个外角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据多边形内角和公式求出正多边形的边数，再利用任意多边形外角和为，正多边形每个外角相等，即可计算出一个外角的度数． 【详解】解：设该正多边形的边数为， 正多边形的内角和是，多边形内角和公式为， ， 解得， 又任意多边形的外角和为，正多边形的每个外角相等， 该正多边形的一个外角为． 2．如图，已知四边形是平行四边形，对角线，相交于点，则下列结论中错误的是（    ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是正方形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是菱形 【答案】B 【详解】解：A、当时，四边形是菱形，正确； B、当时，四边形是矩形，不是正方形，故错误； C、当时，四边形是矩形，正确； D、当时，四边形是菱形，正确． 3．如图，要测算池塘两端，之间的距离，先在地面上取一点，然后通过测量分别找到和的中点，，并测得的长，就可测算池塘两端，之间的距离．若的长为10米，则池塘两端，之间的距离是________米． 【答案】20 【详解】解：∵和的中点分别为点，， ∴是的中位线 ∴（米）． 4．在中，若，则的度数是____． 【答案】 【分析】根据平行四边形的相等的性质可得，结合已知即可求解的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 5．如图，的对角线，为的中点，连接，并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由得，，由E为的中点得，故； （2）由（1）得，，又，故四边形是平行四边形，由，点F在的延长线上得，故四边形是矩形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，， E为的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）得，， 又， 四边形是平行四边形， ，点F在的延长线上， ， 四边形是矩形． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，菱形的对角线，相交于点O，E是边的中点，若，则的长为（    ） A．3 B．6 C．12 D． 【答案】C 【分析】由菱形的性质得O是边的中点，推出是的中位线，根据三角形中位线的性质和菱形的性质即可求解． 【详解】解：菱形的对角线，相交于点O， O是边的中点， E是边的中点， 是的中位线， ， 四边形是菱形， ． 2．如图，长方形纸片沿对折后，点B、C的对应点分别为点．与交于点M．若 ，则 为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方形的性质得出平行线，根据平行线的性质得出，再根据翻折的性质得出相等的角，最后利用平行线的性质求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 根据翻折的性质可得， ∵， ∴． 3．如图是的正方形网格，其中已有个小方格涂成了黑色．现在要从其余个白色的小方格中选出一个也涂成黑色，使形成的图形成为中心对称图形，这样的白色小方格有___________个． 【答案】 【分析】根据中心对称的定义，逐个验证剩余白色方格，填入后旋转可以使图形重合的即为所求． 【详解】解：如图，只有将方格涂黑可以使形成的图形成为中心对称图形， 故这样的小方格有个． 4．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，分别为，的中点，若，则的长为___________． 【答案】2 【分析】根据矩形的性质可求出，然后根据三角形的中位线定理求解即可. 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 又， ∴， ∵点，分别为，的中点， ∴. 5．如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，再由可推出，根据四边形的对边平行且相等即可得出结论； （2）根据平分，得，由得，则，，即可求解． 【详解】（1）证明：在中，，， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 的周长． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，用边长相等的3个正五边形和中间的正三角形密铺成了如图所示的花瓣形图案，每个正五边形均与三角形有一组公共边，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正五边形和正三角形的内角，以及周角，求出的度数． 【详解】解：3个正五边形的边长相等， 所以3个正五边形的每个内角都相等， 正五边形的内角和为， 每个内角度数为，正三角形的每个内角度数为，周角为，． 2．如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接．过点E作，交于点F，以，作矩形，连接．现有下列结论： ①矩形是正方形；②；③；④当时，矩形的面积为60 ．其中结论正确的序号是（     ） A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】过点分别作，垂足分别为，延长交于点，证明，得到，再证明四边形是正方形，得到，进而证明，得到，即可判断四边形是正方形；由，易证，即可证明；根据，，可得，即可证明；证明是等腰直角三角形，得到，结合，得到，求出，进而得到，在求出，即可得到矩形的面积为． 【详解】解：过点分别作，垂足分别为，延长交于点， 在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴，故②正确； ∴， ∵， ∴，即，故③正确； ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的面积为，即矩形的面积为，故④错误； 综上，结论正确的序号是①②③． 3．如图，在菱形中，，点是边上的一点，将沿翻折得，与相交于点，点恰好是的中点，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，含30°直角三角形的性质，能够根据含30°的直角三角形的性质构造合适的辅助线是解题的关键． 连接，根据菱形的性质可得是等边三角形，从而得到，进一步推得，根据折叠的特点可得，过点作交于，利用勾股定理可得，设菱形的边长为，,根据即可求解． 【详解】解：过点作交于，连接， 设菱形的边长为， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵点是的中点， ∴，， 则在中，， ∵， ∴ ∵将沿翻折得， ∴，，，， ∴在中，，， 在中，，即，解得， 则． 4．如图，在矩形中，点E在边上，沿折叠矩形，使点B落在边上点F处，若，则的长为_______． 【答案】 【分析】由折叠性质可得，由矩形性质有，所以．设，则，在直角三角形中，建立勾股定理方程，得，故即可求． 【详解】解：由折叠性质可得：， ∵四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，，即 解得：， ∴． 5．小新学习了特殊的四边形——平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形——垂美四边形，如图1，两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)【概念理解】在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，一定是垂美四边形的是________．（填写相应的序号） (2)【类比学习】如图1，若，，则________； (3)【性质探究】写出垂美四边形的四条边，，，之间的数量关系，并加以证明． (4)【问题解决】如图2，在中，点，分别是边，的中点，且，垂足为．若，，求的长． 【答案】(1)③④ (2) (3)，证明见解析 (4) 【分析】（1）回忆平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线性质，根据垂美四边形对角线互相垂直的定义，逐一判断各图形是否符合要求． （2）因为垂美四边形对角线互相垂直，所以可将四边形拆分为两个以为公共底的三角形，面积和即为四边形面积，代入对角线长度用公式计算． （3）因为对角线互相垂直，所以四个三角形均为直角三角形，利用勾股定理分别表示四条边的平方，再整理得出数量关系． （4）因为D、E是中点，所以是中位线，可得到与的数量关系；再由得四边形是垂美四边形，利用第三问得出的垂美四边形边长性质，结合已知的、长度求出、长度，代入式子计算． 【详解】（1）解： ①平行四边形对角线互相平分但不一定垂直；②矩形对角线相等但不一定垂直；③菱形、④正方形的对角线一定互相垂直，因此一定是垂美四边形． （2）解： ； （3）解：数量关系：，证明如下： 设对角线、交于点， 由勾股定理： ，， ∴； 同理，，， ∴， ∴． （4）解： ∵，分别是，的中点， ∴，，，且． 又∵，四边形是垂美四边形， 由（3）的结论得： ， 代入，，，得 ， 整理得， 解得（边长为正，舍去负根）． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 四边形（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 特殊四边形的动点问题 题型02 特殊四边形的判定与性质综合题 题型03 四边形中的折叠问题 题型04 四边形中的线段最值问题 题型05 四边形与坐标的综合题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 多边形 掌握多边形内角和公式 (n-2)×180° 与外角和恒等于360°；理解正多边形的概念及性质。 考查形式：常以填空题或选择题出现。命题点：已知边数求内角和/外角和；已知内角/外角求边数（列方程思想）。易错点：混淆内角和与外角和公式；忘记正多边形“各边相等、各角相等”的前提。 平行四边形的性质与判定 熟练掌握平行四边形的定义，及其对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分的性质；掌握平行四边形的五种判定方法（边、角、对角线）。 考查形式：基础题（填空/选择）考查性质；解答题（中档题）考查判定与性质的综合证明。热点：利用“对角线互相平分”证明平行四边形；平行四边形与坐标系结合求点坐标（中点公式）。 中心对称和中心对称图形 理解中心对称和中心对称图形的概念，掌握其性质（对称点连线经过对称中心，且被对称中心平分）；能识别常见中心对称图形（如平行四边形、圆等）。 考查形式：选择题或作图题。命题点：判断常见图形（平行四边形、矩形、菱形、圆）是否为中心对称图形；利用中心对称性质求线段长或角度。注意：区别于轴对称。 三角形的中位线定理 掌握三角形中位线的定义，并熟记定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 考查形式：高频考点，常出现在解答题或压轴题中。命题点：直接利用中位线求线段长；构造中位线解决线段倍分问题；顺次连接四边形各边中点所得图形的形状判断（必为平行四边形）。 矩形的性质与判定 掌握矩形的定义（有一个角是直角的平行四边形），及其特有性质（四个角都是直角、对角线相等）；掌握矩形的三种判定方法（定义法、对角线相等的平行四边形、有三个角是直角的四边形）。 考查形式：中档解答题。热点：矩形折叠问题（勾股定理列方程）；证明一个四边形是矩形（先证平行四边形再证直角/对角线相等）。易错：直接由“对角线相等”判定矩形（漏证平行四边形）。 菱形的性质与判定 掌握菱形的定义（有一组邻边相等的平行四边形），及其特有性质（四边相等、对角线互相垂直且平分对角）；掌握菱形的三种判定方法（定义法、四边相等的四边形、对角线互相垂直的平行四边形）。 考查形式：计算题与证明题。命题点：利用对角线求菱形面积（ ）；利用“对角线互相垂直平分”计算边长（勾股定理）；判定菱形时漏掉“平行四边形”前提。 正方形的性质与判定 掌握正方形的定义（既是矩形又是菱形），理解其集所有平行四边形、矩形、菱形性质于一身的特性（四边相等、四角直角、对角线垂直相等且平分对角）；掌握正方形的判定思路（先证菱形再证矩形，或先证矩形再证菱形）。 考查形式：压轴题或综合题。命题点：正方形背景下的旋转模型（手拉手全等）；动点问题（分类讨论）；折叠问题。难点：灵活运用“四边相等+四角直角+对角线垂直平分且相等”的多重属性。 四边形综合 综合运用上述知识解决动点、折叠、坐标系等问题。 考查形式：试卷最后两道大题。趋势：动点存在性问题（讨论构成平行四边形/特殊四边形）；折叠问题（轴对称性质+勾股定理）；新定义题型（如自定义“双直四边形”等）。 知识点01 多边形 知识点梳理： 内角和公式：n边形内角和 = (n-2)×180°。 外角和定理：任意多边形的外角和恒等于360°。 正多边形：各边相等，各内角也相等的多边形。 典型示例： 示例1（求内角和）：一个八边形的内角和是 (8-2)×180° = 1080°。 示例2（求边数）：已知一个多边形的内角和为1260°，求边数。解：设边数为n，则 (n-2)×180° = 1260°，解得 n=9。 示例3（正多边形）：一个正多边形的每个外角为45°，则它的边数为 360°÷45° = 8。 易错点辨析： 公式混淆：误将内角和公式 (n-2)×180° 用于计算外角和。 边数条件：求解边数n时，忘记n必须是大于等于3的整数，导致出现非整数或小于3的解。 概念不清：求正多边形内角时，误用外角公式（如正n边形每个内角 = 180° - 360°/n，而非直接用360°/n）。 知识点02 平行四边形的性质与判定 性质： 边：对边平行且相等。 角：对角相等，邻角互补。 对角线：互相平分。 判定（五种常见方法）： 定义法：两组对边分别平行。 边：两组对边分别相等；一组对边平行且相等。 角：两组对角分别相等。 对角线：对角线互相平分。 示例：（性质应用）：在▱ABCD中，AB=5，∠A=60°，则CD=5，∠C=60°。 （判定应用）：在四边形ABCD中，AB//CD，且AB=CD。求证：四边形ABCD是平行四边形。 证明：∵ AB//CD 且 AB=CD，∴ 四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。 （动点问题）：在平面直角坐标系中，A(0,0)，B(3,0)，C(4,2)，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标。（需分类讨论，有三种可能情况） 易错点：判定条件不充分：仅凭“一组对边平行，另一组对边相等”就判定为平行四边形，这是错误的（可能是等腰梯形）。 性质与判定混淆：在证明题中，将需要证明的结论（如对边相等）当作已知条件（性质）直接使用。 动点问题漏解：在平行四边形存在性问题中，只考虑一种相对位置关系，遗漏其他构成情况。 知识点03 中心对称和中心对称图形 中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。 中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。 性质：对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。 示例：（直接应用）：在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，DE=4cm，则BC=8cm，且DE//BC。 （梯形应用）：在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是AB、DC的中点，则EF是梯形的中位线，EF = (AD+BC)/2。 易错点： 概念混淆：将三角形的中位线与中线混淆。中线连接顶点与对边中点，不一定平行于第三边，长度也不等于第三边的一半。 前提条件忽略：应用定理时，未确认所给线段确实是连接“两边中点”的线段。 复杂图形中识别困难：在具有多个中点的复杂图形中，无法正确识别或构造出有效的中位线来转化问题。 知识点04 三角形的中位线 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形共有三条中位线。 定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 几何语言：在△ABC中，∵ D、E分别是AB、AC的中点，∴ DE∥BC，且 DE = ½ BC。 重要推论： 三角形三条中位线所截得的三角形与原三角形相似，相似比为1:2，面积比为1:4。 三条中位线将原三角形分割成四个全等的小三角形。 中点四边形：顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，其周长等于原四边形对角线之和，面积等于原四边形面积的一半。 示例： 题目：在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点。若AC=10cm，BC=12cm，AB=8cm，求△DEF的周长。 解析：根据三角形中位线定理，DE = ½ AC = 5cm，EF = ½ AB = 4cm，FD = ½ BC = 6cm。因此，△DEF的周长 = DE + EF + FD = 5 + 4 + 6 = 15cm。 易错点： 概念混淆：将“三角形的中位线”与“三角形的中线”混淆。中线是连接一个顶点和它对边中点的线段，它不一定平行于第三边，且长度不一定等于第三边的一半。中位线是连接两边中点的线段。 定理应用条件不清晰：在应用“DE = ½ BC”时，必须确保D、E分别是AB、AC的中点，即DE是△ABC的中位线。不能看到一条线段平行于另一边且长度是另一边的一半，就反推它是中位线（还需要满足端点是对应边的中点）。 在复杂图形中识别或构造中位线困难：当图形中出现多个中点时，学生往往无法准确判断哪条线段是哪个三角形的中位线，或者不知道通过添加辅助线（如连接两点创造三角形）来构造出可用的中位线。 忽视中点四边形的结论：在解决顺次连接四边形各边中点构成的新四边形问题时，容易忘记“中点四边形恒为平行四边形”这一重要结论，以及其周长、面积与原四边形对角线的关系，导致需要重新证明，浪费时间。 面积关系运用错误：知道中位线截得的小三角形面积是原三角形的1/4，但在求由中位线分割形成的复杂图形面积时，容易直接加减导致错误，必须明确每个部分面积与原三角形的比例关系。 知识点05 矩形的性质与判定 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 性质（在平行四边形基础上增加）： 四个角都是直角（∠A=∠B=∠C=∠D=90°）。 对角线相等（AC=BD）。 判定： 定义法：有一个角是直角的平行四边形。 对角线相等的平行四边形。 有三个角是直角的四边形。 示例：（性质应用）：在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB=6，BC=8，则AC=BD=10。 （判定应用）：在▱ABCD中，对角线AC=BD。求证：▱ABCD是矩形。 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD=BC。又∵ AC=BD，AB=BA，∴ △ABC≌△BAD (SSS)。∴ ∠ABC=∠BAD。又∵ AD//BC，∴ ∠ABC+∠BAD=180°。∴ ∠ABC=∠BAD=90°。∴ ▱ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。 （折叠问题）：将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点C‘处，若AB=3，BC=4，求C’到AD的距离。（利用勾股定理和方程思想） 易错点：判定跳步：直接由“对角线相等”判定一个四边形是矩形，忽略了必须先证明它是平行四边形。 折叠问题对应关系不清：在矩形折叠问题中，找不准折叠前后的对应边、对应角，导致无法正确建立等量关系（方程）。 性质使用不当：误认为矩形的对角线只相等不互相平分（实际上作为平行四边形，其对角线依然互相平分）。 知识点06 菱形的性质与判定 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 性质（在平行四边形基础上增加）： 四条边都相等（AB=BC=CD=DA）。 对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC）。 判定： 定义法：有一组邻边相等的平行四边形。 四边都相等的四边形。 对角线互相垂直的平行四边形。 示例：（性质应用）：已知菱形ABCD的边长为5，一条对角线AC=6，求另一条对角线BD的长及菱形的面积。 解：∵ 菱形对角线互相垂直平分，∴ AO=OC=3。在Rt△AOB中，OB=√(AB²-AO²)=√(25-9)=4。∴ BD=2OB=8。面积S = (1/2)×AC×BD = (1/2)×6×8 = 24。 （判定应用）：在▱ABCD中，对角线AC⊥BD。求证：▱ABCD是菱形。 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=OC。又∵ AC⊥BD，∴ BD是AC的垂直平分线。∴ BA=BC。∴ ▱ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）。 易错点： 判定跳步：直接由“对角线互相垂直”判定一个四边形是菱形，忽略了必须先证明它是平行四边形。 面积公式混淆：记混菱形面积公式，除了底乘高，还有对角线乘积的一半（S = (1/2) * d1 * d2）。 性质应用不全：只记得四边相等，忽略了对角线垂直平分且平分对角的重要性质，在计算和证明中未能充分利用。 知识点07 正方形的性质与判定 定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。它既是矩形又是菱形。 性质（集矩形和菱形性质于一身）： 边：四条边都相等。 角：四个角都是直角。 对角线：对角线相等、互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角。 判定思路：通常先证明四边形是平行四边形，再证明它既是矩形又是菱形；或直接证明它满足正方形的定义。 示例： （性质应用）：正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，则AC=BD，AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，△AOB是等腰直角三角形。 （判定应用）：已知：在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF//CE，CF//BE。求证：四边形BECF是正方形。 证明思路：先由两组对边平行证BECF是平行四边形；再由角平分线和平行关系证出∠EBC=∠ECB=45°，从而EB=EC，得菱形；再证∠BEC=90°，得正方形。 （综合模型）：在正方形ABCD外侧作等边△ADE，连接BE、CE。求∠BEC的度数。（“手拉手”或共顶点旋转模型） 易错点： 判定逻辑混乱：判定正方形时，条件罗列不全或顺序混乱，未能清晰证明其同时满足矩形和菱形的所有特征（或满足定义）。 性质应用单一：在复杂图形中，只用到正方形的部分性质（如只用到四边相等），未能综合运用其全部特性（特别是对角线的特性）来简化问题。 模型识别不清：在正方形背景的综合题中，无法识别出内含的等腰直角三角形、全等三角形等基本模型，导致解题思路受阻。 题型一 特殊四边形的动点问题 解｜题｜技｜巧 明确分类依据：以已知线段作为平行四边形的边或对角线，进行分类讨论。通常有三种情况。 掌握坐标算法： 已知线段AB为边：利用平行四边形对边平行且相等，设未知点D(x, y)，根据向量AB=DC或AB=CD列方程组求解。 已知线段AB为对角线：利用平行四边形对角线互相平分，即AB的中点与CD的中点重合，列方程求解。 几何法辅助：在纯几何图形中，可结合平行线的性质与全等三角形进行推理。 易｜错｜点｜拨 致命错误：只想到一种情况，导致漏解。必须系统考虑以每一条已知线段为边或为对角线的所有可能。 计算错误：在利用中点坐标公式或向量相等列方程时，点坐标对应关系弄错。 忽略前提：求出点坐标后，需验证四点是否共线（若共线则构不成四边形）。 【典例1】（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，在矩形纸片中，，，点E，F分别在边上．将矩形纸片沿直线折叠，使点B落在边上，记为点M，点C落在点N处，连接交于点P，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点M与点D重合时，；③面积的最小值是；④中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式1】（2025·浙江绍兴·三模）如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【变式2】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形． (1)______； (2)求证：； (3)当四边形的面积为20时，求出此时的长． (4)在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值． 【变式3】（24-25八年级下·福建厦门·期末）在正方形中，点是边上任意一点，连接，过点作于，交于． (1)如图，过点作于，求证：； (2)如图，点E为的中点，连接，求证：； (3)如图，，连接，点为的中点，在点从点运动到点的过程中，点随之运动，请直接写出点运动的路径长． 题型二 特殊四边形的判定与性质综合题 解｜题｜技｜巧 判定思路清晰化： 矩形：路径一：先证平行四边形，再证有一个直角或对角线相等。路径二：直接证三个角是直角。 菱形：路径一：先证平行四边形，再证一组邻边相等或对角线垂直。路径二：直接证四边相等。 正方形：“先路后高”或“先高后路”。即先证明四边形是菱形，再证明有一个角是直角（或对角线相等）；或先证明是矩形，再证明有一组邻边相等（或对角线垂直）。 性质应用网络化：熟记特殊四边形是“属性叠加”的结果。正方形拥有矩形、菱形、平行四边形的所有性质。解题时根据需求，灵活提取所需性质（如正方形中隐含大量等腰直角三角形）。 善用基本图形：例如，菱形对角线产生垂直和全等的直角三角形；矩形对角线产生相等的线段和等腰三角形。 易｜错｜点｜拨 判定跳步：最典型的错误是直接由“对角线相等”推出矩形，或由“对角线垂直”推出菱形，必须确保前提是“平行四边形”。 性质与判定混淆：在证明题中，将需要证明的结论（如“边相等”）当作已知条件使用。 模型识别不清：在复杂图形中，无法识别出正方形背景下的“手拉手”全等模型、或矩形折叠中的对称全等模型，导致解题困难。 【典例1】（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值． 【典例2】（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如图，在平行四边形中，点分别在边上，，与相交于点． (1)求证：． (2)如果．求证：四边形是一个菱形． 【变式1】（24-25九年级下·北京·阶段检测）如图，在中，点为线段的中点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，求的长． 【变式2】（25-26九年级上·河南开封·期末）如图，在中，平分交于点，连接． (1)过点作，垂足为（用没有刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若． ①求证：四边形是矩形； ②若，求的长度． 题型三 四边形中的折叠问题 解｜题｜技｜巧 紧扣核心：折叠即轴对称。折叠前后的图形全等，对应边相等，对应角相等。 解题步骤： Step1: 标出图中所有已知等长线段和等角。 Step2: 将所求线段（如折痕长、重叠部分边长）设为未知数。 Step3: 寻找一个直角三角形（通常由折叠后的对应点、原顶点等构成），利用勾股定理建立方程。 Step4: 解方程，得到答案。 常用辅助线：连接对应点，这条线段会被折痕垂直平分。 易｜错｜点｜拨 对应关系找错：这是最常出错的地方，必须仔细对照图形，明确哪两个点折叠后重合。 忽略隐藏的等腰三角形：由折叠产生的等角，结合平行线内错角相等，常会形成等腰三角形，可简化计算。 方程列立错误：在利用勾股定理时，直角三角形的三条边表达错误。 【典例1】（24-25八年级下·江西南昌·期末）四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 【探究发现】 （1）如图1，小明将沿翻折得到，点B的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边于点F，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为 ； 【类比探究】 （2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点A的对应点为点，点B的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点F，请你猜想线段之间的数量关系并证明； 【拓展延伸】 （3）在（2）的翻折过程中，正方形的边长为9． ①如图3，若线段恰好经过点D，，求的长； ②如图4，若F为中点，连接，直接写出的最小值． 【变式1】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点，，． (1)求的面积； (2)求的长． 【变式2】（25-26八年级上·山西晋中·期末）如图，点是长方形纸片的边上一点，将纸片的一角沿折叠，使点的折叠点落在长方形外侧，．求证：． 【变式3】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图1，点E、F分别在正方形边、上，沿直线将正方形折叠．使点B的对应点G落在边上（点G不与点A、D重合），点C落在点H处，与交于点M，分别连接， (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若，点M为的中点，求的长． 题型四 四边形中的线段最值问题 解｜题｜技｜巧 解决线段最值问题，核心思想是 “化折为直” 和 “化动为静” 。 “将军饮马”模型（对称法） 这是最基础的模型，适用于求 的最小值。 模型特征：在直线 上找一点 ，使得 到直线同侧两点 的距离之和最小。 解题策略： 作点 关于直线 的对称点 。 连接 ，与直线 的交点即为所求点 。 最小值即为线段 的长度。 四边形中的应用：常见于菱形、正方形背景。例如，在菱形 的对角线 上找一点 ，使 最小。由于菱形关于对角线对称，点 的对称点就是点 ，连接 即可。 旋转变换模型（手拉手模型） 适用于求 的最小值（费马点问题）或线段分散无法直接连接的情况。 模型特征：共顶点的等线段（如正方形、等边三角形）。 解题策略： 将 绕点 旋转 或 ，将分散的线段 转化到一条折线上，最后利用“两点之间线段最短”求解。 四边形中的应用：正方形背景下的费马点问题，求 的最小值。 易｜错｜点｜拨 混淆“垂线段最短”与“两点之间线段最短” 错误表现：求 最小值时，误作垂线；或者求点 到直线距离最小时，误连连线。 点拨： 求点到直线距离 垂线段最短。 求两线段之和 ( ) 两点之间线段最短（将军饮马）。 求两线段之差 ( ) 三角形三边关系（两边之差小于第三边，最大值为第三边，需三点共线）。 【典例1】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，，为边的中点，为矩形外一动点．且，则线段的最大值为 ________ ． 【变式1】（25-26九年级上·陕西铜川·期末）如图，在面积为12的正方形中，以为一边向正方形内作等边，点是对角线上的动点，连接、，则的最小值为_________． 【变式2】（24-25八年级下·山东威海·期末）数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作某种变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决． (1)如图1，已知菱形，，，点E是边中点，点F是对角线边上的动点．连接，，则的最小值为________； (2)如图2，已知矩形，，．点E是上的点，且，点F，G是上的动点，且，连接．则的最小值为________； (3)如图3，已知正方形，，E是上的动点，F是上的动点，且．连接，，求的最小值． 【变式3】（25-26九年级上·新疆昌吉·期末）矩形中，，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值．            题型五 四边形与坐标的综合题（压轴题倾向） 解｜题｜技｜巧 1. 代数法为主：将几何条件（如平行四边形对边平行且相等、菱形四边相等、矩形对角线相等）转化为点的坐标之间的方程或方程组。 2. 分类讨论思想：与动点问题结合时，必须根据四边形不同类型（平行四边形、菱形、矩形、正方形）的判定条件，进行分类求解。 3. 几何性质辅助：在计算时，结合图形特点（如利用菱形对角线垂直平分求斜率）可简化计算。 易｜错｜点｜拨 思路单一：仅从几何或代数一个角度思考，陷入困境。应数形结合，先用几何图形分析关系，再用代数工具计算。 计算量大且易错：此类题计算复杂，需步步为营，仔细检验。 忽略实际意义：求出的坐标可能使线段长度为负或点不在指定象限，需舍去。 【典例1】（23-24八年级下·天津南开·期末）在平面直角坐标系中，为原点，平行四边形的顶点，，，矩形的顶点． (1)如图1，与，交于点，． ①直接写出直线的解析式和点的坐标； ②求证：四边形为菱形； (2)如图2，将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形．点，，，的对应点分别为，，，．设，矩形与平行四边形重合部分图形的周长为． ①在平移过程中，当矩形与平行四边形重合部分为四边形时，直接用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②如图3，若的中点为，矩形对角线的交点为，连接，．在平移过程中，当最小时，直接写出此时的值． 【变式1】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴正半轴上，，两点在第一象限，在下方以为斜边作等腰直角．连接．若，则的最大值是__________． 【变式2】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、、A、、B、、C、…，都是平行四边形的顶点，点A、B、C、…在x轴正半轴上，，，，，，，，平行四边形按照此规律依次排列，则第7个平行四边形的对称中心的坐标是______． 【变式3】物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要．一般匀质薄板形状的重心就是其对应平面图形的重心． 素材1：简单平面图形的重心举例 ①如图1，线段的重心是线段的中点O； ②如图2，的重心是三条中线的交点G； ③如图3，长方形（也叫矩形）的重心是其对角线的交点O． 素材2：组合平面图形重心举例 对于平面组合图形的重心位置，可以由被分成的平面图形的重心位置和各部分的面积来确定，为此可以建立平面直角坐标系，用坐标表示重心的位置． 如图4，在正方形和正方形中，点，点，点，点，点，点，这两个正方形的重心分别是，，由于，，则 若设两个正方形的组合图形的重心为， ， ， 即 解答问题 （1）如图5，矩形中，点，点，点，点，点，其中矩形的重心为， 矩形的重心为，则矩形的重心G的坐标为________； （2）如图6，在矩形和矩形中，点，点，点，点，点，点，矩形的重心，矩形的重心，则该组合图形的重心G的坐标为________． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．若正多边形的内角和是，则该正多边形的一个外角为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知四边形是平行四边形，对角线，相交于点，则下列结论中错误的是（    ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是正方形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是菱形 3．如图，要测算池塘两端，之间的距离，先在地面上取一点，然后通过测量分别找到和的中点，，并测得的长，就可测算池塘两端，之间的距离．若的长为10米，则池塘两端，之间的距离是________米． 4．在中，若，则的度数是____． 5．如图，的对角线，为的中点，连接，并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，菱形的对角线，相交于点O，E是边的中点，若，则的长为（    ） A．3 B．6 C．12 D． 2．如图，长方形纸片沿对折后，点B、C的对应点分别为点．与交于点M．若 ，则 为（    ） A． B． C． D． 3．如图是的正方形网格，其中已有个小方格涂成了黑色．现在要从其余个白色的小方格中选出一个也涂成黑色，使形成的图形成为中心对称图形，这样的白色小方格有___________个． 4．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，分别为，的中点，若，则的长为___________． 5．如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的周长． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，用边长相等的3个正五边形和中间的正三角形密铺成了如图所示的花瓣形图案，每个正五边形均与三角形有一组公共边，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接．过点E作，交于点F，以，作矩形，连接．现有下列结论： ①矩形是正方形；②；③；④当时，矩形的面积为60 ．其中结论正确的序号是（     ） A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 3．如图，在菱形中，，点是边上的一点，将沿翻折得，与相交于点，点恰好是的中点，若，则______． 4．如图，在矩形中，点E在边上，沿折叠矩形，使点B落在边上点F处，若，则的长为_______． 5．小新学习了特殊的四边形——平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形——垂美四边形，如图1，两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)【概念理解】在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，一定是垂美四边形的是________．（填写相应的序号） (2)【类比学习】如图1，若，，则________； (3)【性质探究】写出垂美四边形的四条边，，，之间的数量关系，并加以证明． (4)【问题解决】如图2，在中，点，分别是边，的中点，且，垂足为．若，，求的长． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $