专题02 “十字架”模型（几何模型讲义）数学新教材湘教版八年级下册

专题02 “十字架”模型 在四边形中互有垂直的线段，且端点在图形的 边上，看起来像“十字架”的模型成为“十字架”模型。 2 模型趣事 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 3 模型1.“十字架”模型 3 5 一、模型背景：几何与符号的交织 这个由四个全等正方形组成的十字架模型，最初源于数学课上的拓扑学实验——如何用最少切割将立方体展开为十字形。其对称性让人联想到基督教十字架、医院标志甚至俄罗斯方块，意外成为连接理性与感性的桥梁。 二、制作趣事：胶水危机与彩虹方案 材料选择：使用5mm椴木板激光切割时，因计算误差导致接缝处多出2mm缝隙，临时改用彩色亚克力片填补，反而诞生了"彩虹十字架"的创意版本； 组装乌龙：深夜拼装时误将两臂反向粘合，发现可变形为立体风车结构，该"错误版"后来成为数学社的互动教具； 灯光改造：嵌入LED灯带后，模型在校园科技展上投影出分形光影，观众戏称它为"赛博圣物"。 三、趣味应用：从教具到艺术 数学课堂：演示体积守恒时，将十字架重组为立方体的过程让学生惊呼"魔术"； 文创设计：3D打印的迷你版本成为毕业季"几何祝福"礼物，刻有"人生总有第四个展开面"的寄语； 社区装置：放大20倍的钢架结构被涂鸦团队改造成互动艺术墙，转动部件会组合出不同文明符号。 （2025·山东东营·中考真题）如图，四边形是正方形，E为上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G．若，，则的长为 ． 模型1.“十字架”模型 例1（2026·广东深圳·一模）如图，在正方形中，点在上，连接，作于点，交于点，作于点，交于点．若，则等于（　　） A． B． C． D． 例2（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，正方形中，点为边上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连接，点为的中点，的延长线与交于点，若，则的长为 ． 例3（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图所示，在正方形ABCD中，点E在边CD上，，垂足为，连接． （1） ； （2）的面积为 ． 例4（25-26九年级下·甘肃武威·开学考试）在正方形中，E是边上一点（点E不与点C，D重合），连接． (1)如图1，过点A作交于点F．求证：． (2)如图2，取的中点M，过点M作交于点F，交于点G． ①求证：． ②连接，若，求的长． 例5（25-26九年级上·辽宁丹东·月考）如图，正方形中，点E是边上的一点，点F在边的延长线上，且，连接，交边于点G．点H为的中点，连接并延长交于点K．若时，则的长度为（　　） A． B． C． D． 1.（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，点分别是正方形四条边上的点，相交于点，且，，，，则四边形与四边形的面积之和为（    ）    A．4 B． C．8 D．16 2．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，在中，，，是高，是中线，AH交BM于点N、于点E，交于点D，连接，则下列结论：①；②；③；④．其中，正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 3．（25-26九年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一点，连接，过点作，交延长线于点，以、为邻边作矩形，连接．在下列结论中：矩形是正方形；；平分；．其中正确的结论有（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·重庆荣昌·期中）如图，在正方形中，，分别为，边上的点，与交于点，为的中点，连接，若，，，则的长度为 ． 5．（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）如图，在正方形中．点E，F，G分别在边，，上，．若，，则的度数为 （用含的式子表示）． 6．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，P是正方形对角线上的一点，直线m，n经过点P且，若四边形与四边形的面积分别是，，那么四边形与四边形的面积之和是 ． 7．（25-26九年级上·天津滨海新区·月考）【模型建立】如图1，正方形中，点E，F分别在边，上，，与相交于点P．，有什么数量关系？请说明理由． 【迁移应用】如图2，请仅用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹，不用证明） （1）以为边画正方形； （2）取中点E，连接； （3）在上找点G，连接，使． 【拓展提升】如图3，正方形中，点E，F分别在边，上，将正方形沿折叠，点A，D的对应点分别为，，使得点始终落在边上，与相交于点G． （1）若，，求的长度； （2）点E，F在边，上运动时，连接，则的大小是否发生改变，若不变，求出大小，若改变，请说明理由． 8．（2026八年级下·全国·专题练习）【问题解决】 （1）如图，在矩形中，点，分别在边上，，垂足为点．求证：． 【拓展提升】 （2）如图，在正方形中，点，分别在边上，，延长到点，使，连接，求证：． 【类比迁移】 （3）如图，在菱形中，点，分别在边上，，，，求的长． 9．（25-26七年级上·河南·期末）在正方形学习过程中，我们发现下面的结论：如图，正方形中，点为线段上一个动点，若线段垂直于点，交线段于点，交线段于点，则． (1)如图，将边长为的正方形折叠，使得点落在上的点处．若折痕，则的长度为_____． (2)如图，正方形中，点为线段上一动点，若垂直平分线段，分别交，，，于点，，，，连接，． 判断的形状，并说明理由； 求证：． (3)如图，在正方形中，、分别为，上的点，作于，在上截取，连接，为中点，连接，．请依题意补全图形，若，则_____．（直接写出答案） 10.（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，正方形中，是上的一点，连接，过点作，垂足为点，延长交于点，连接．若正方形边长是5，，求的长． 11.（24-25九年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图1，正方形中，，点为边上的点，为的垂直平分线，垂足为，交边于点，交边于点，将绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)四边形的形状为___________； (2)若四边形为菱形时，求的长； 12.（25-26九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在正方形中，G、E、F是正方形边上的点，连接、，与交于点M，，． (1)求证：； (2)连接、、、的中点P、Q、R、S，试说明四边形是什么特殊的四边形． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 “十字架”模型 在四边形中互有垂直的线段，且端点在图形的 边上，看起来像“十字架”的模型成为“十字架”模型。 2 模型趣事 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.“十字架”模型 5 11 一、模型背景：几何与符号的交织 这个由四个全等正方形组成的十字架模型，最初源于数学课上的拓扑学实验——如何用最少切割将立方体展开为十字形。其对称性让人联想到基督教十字架、医院标志甚至俄罗斯方块，意外成为连接理性与感性的桥梁。 二、制作趣事：胶水危机与彩虹方案 材料选择：使用5mm椴木板激光切割时，因计算误差导致接缝处多出2mm缝隙，临时改用彩色亚克力片填补，反而诞生了"彩虹十字架"的创意版本； 组装乌龙：深夜拼装时误将两臂反向粘合，发现可变形为立体风车结构，该"错误版"后来成为数学社的互动教具； 灯光改造：嵌入LED灯带后，模型在校园科技展上投影出分形光影，观众戏称它为"赛博圣物"。 三、趣味应用：从教具到艺术 数学课堂：演示体积守恒时，将十字架重组为立方体的过程让学生惊呼"魔术"； 文创设计：3D打印的迷你版本成为毕业季"几何祝福"礼物，刻有"人生总有第四个展开面"的寄语； 社区装置：放大20倍的钢架结构被涂鸦团队改造成互动艺术墙，转动部件会组合出不同文明符号。 （2025·山东东营·中考真题）如图，四边形是正方形，E为上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，根据旋转知，则和，可知垂直平分，有，设，则和，利用勾股定理列出代入求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由旋转可知， ∴，，， ∴点F、B、C三点共线， ∵ ， ∴ H为的中点， ∴垂直平分， ∴， 设， ∵，， ∴正方形的边长为3， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的长为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、中垂线的判定和性质以及勾股定理的应用，解题的关键是熟悉旋转的性质和利用勾股定理列方程． 模型1.“十字架”模型 例1（2026·广东深圳·一模）如图，在正方形中，点在上，连接，作于点，交于点，作于点，交于点．若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角度，涉及正方形性质、全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 由，四边形是正方形，可证明，得，故，同理可得，可证明，即得，得，从而求出，而，得，即得． 【详解】解：， ， ， ， ∴， ， 在正方形中，， ，即， 同理可得， ， ，即， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ∴， 故选：B． 例2（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，正方形中，点为边上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连接，点为的中点，的延长线与交于点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形． 连接，先证明，设，则，再证明，则，最后对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：连接， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则 ∵点为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 例3（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图所示，在正方形ABCD中，点E在边CD上，，垂足为，连接． （1） ； （2）的面积为 ． 【答案】 2 6 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质解答即可； （2）过点F分别作，垂足为M，N，连接，则，先根据平行线间的距离处处相等得出，继而得出，通过解直角三角形得出，即可求解． 【详解】解：（1）在正方形ABCD中，，， ， ∴， ∵， ∴； 故答案为：2 （2）过点F分别作，垂足为M，N，连接，则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 例4（25-26九年级下·甘肃武威·开学考试）在正方形中，E是边上一点（点E不与点C，D重合），连接． (1)如图1，过点A作交于点F．求证：． (2)如图2，取的中点M，过点M作交于点F，交于点G． ①求证：． ②连接，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析； 的长为2 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质． （1）由正方形的性质可得，，再由，利用同角的余角相等判断出，即可证明； （2）同（1）的方法判断出，即可得出结论；②利用直角三角形的斜边的中线是斜边的一半，可得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴． （2）证明：如图，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵，M是的中点， ∴， 由可知， ∴，即的长为2． 例5（25-26九年级上·辽宁丹东·月考）如图，正方形中，点E是边上的一点，点F在边的延长线上，且，连接，交边于点G．点H为的中点，连接并延长交于点K．若时，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明，得出相等的边，判定直线是线段的垂直平分线，设，利用勾股定理进行求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 设， ∵，， ∴，， 在中，根据勾股定理，得， 解得， ∴， ∴． 【点睛】注意辅助线的构造，证明全等三角形和线段的垂直平分线，假设未知数，利用勾股定理列方程求解． 1.（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，点分别是正方形四条边上的点，相交于点，且，，，，则四边形与四边形的面积之和为（    ）    A．4 B． C．8 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理，证明出四边形、是正方形，再结合勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵，， ∴，，， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴四边形、、均为矩形， ∴，， ∵， ∴四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴四边形与四边形的面积之和为， 故选：D． 2．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，在中，，，是高，是中线，AH交BM于点N、于点E，交于点D，连接，则下列结论：①；②；③；④．其中，正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 如图，作CG⊥CA,BG⊥BA，延长AD交CG于点K．通过“十字架模型”可知△ABM≌△CAK，AM=CK；通过角的等量代换，得出，再通过证明，最后证明，即可解决问题； 【详解】解：如图，作CG⊥CA,BG⊥BA，延长AD交CG于点K． ，， ∴是等腰直角三角形， ∵是高，是中线， ∴平分，，， ， ， ， ， ∴ ， ∵， ， ，，，故②③正确， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ，， ，，故①④正确， 故选：D． 3．（25-26九年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一点，连接，过点作，交延长线于点，以、为邻边作矩形，连接．在下列结论中：矩形是正方形；；平分；．其中正确的结论有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，过作于点, 过作于点，根据正方形的性质得到，，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，推出矩形为正方形；故正确；根据正方形的性质得到，，推出，得到，求得，故错误；当时，点与点重合，所以不一定等于，故错误；掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点, 过作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形，故正确； ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴平分，故正确； ∴，故错误； 当时，点与点重合， ∴不一定等于，故错误； 综上可得：正确； 故选：． 4．（24-25九年级上·重庆荣昌·期中）如图，在正方形中，，分别为，边上的点，与交于点，为的中点，连接，若，，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质．证明后可得，，由已知及正方形的性质可求，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半可得结果． 【详解】解：正方形， ，， ，分别为，边上的点，， ，， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， 为的中点， ， 故答案为：． 5．（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）如图，在正方形中．点E，F，G分别在边，，上，．若，，则的度数为 （用含的式子表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，过点G作于点H，证明，得出，根据三角形外角的性质，即可求出结果． 【详解】解：过点G作于点H，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 6．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，P是正方形对角线上的一点，直线m，n经过点P且，若四边形与四边形的面积分别是，，那么四边形与四边形的面积之和是 ． 【答案】 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，过点P作于点M，的延长线与相交于点R，过点P作于点N，的延长线与相交于点S，证明四边形的面积正方形的面积，，得到，四边形的面积正方形的面积，，则，则四边形与四边形的面积之和矩形和矩形的面积之和，即可得到答案． 【详解】解：过点P作于点M，的延长线与相交于点R，过点P作于点N，的延长线与相交于点S， ∵P是正方形对角线上的一点， ∴，， ∴四边形、都是矩形，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴ ∵直线m，n经过点P且， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴四边形的面积正方形的面积 ∴， 同理可证，是正方形，， 则四边形的面积正方形的面积，， ∴四边形与四边形的面积之和矩形和矩形的面积之和，即四边形与四边形的面积之和 故答案为： 7．（25-26九年级上·天津滨海新区·月考）【模型建立】如图1，正方形中，点E，F分别在边，上，，与相交于点P．，有什么数量关系？请说明理由． 【迁移应用】如图2，请仅用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹，不用证明） （1）以为边画正方形； （2）取中点E，连接； （3）在上找点G，连接，使． 【拓展提升】如图3，正方形中，点E，F分别在边，上，将正方形沿折叠，点A，D的对应点分别为，，使得点始终落在边上，与相交于点G． （1）若，，求的长度； （2）点E，F在边，上运动时，连接，则的大小是否发生改变，若不变，求出大小，若改变，请说明理由． 【答案】模型建立：．理由见解析； 迁移应用：见解析； 拓展提升：（1）；（2）的大小不变， 【分析】模型建立：根据正方形的性质，根据，可得，根据全等三角形的性质，可得答案； 迁移应用：根据题意画图即可； 拓展提升：（1）过点D作，交于H，可证得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得出，设，利用勾股定理可得，解方程即可求得答案； （2）作于H．利用全等三角形的性质证明，，即可解决问题． 【详解】模型建立： 解：结论：．理由如下： 如图1，四边形是正方形， ，， ， ， ， 又 ， ， 在 和 中， ， （）， ； 迁移应用： 解：所画图形如图所示： 拓展提升： 解：（1）过点D作，交于H， 四边形是正方形，   ，   四边形是平行四边形，   ，   将正方形沿折叠，点的对应点分别为，使得点始终落在边上，   ，，，，，   由（1）可知 ，   ，   设 ，   ，，   ，，   在 中，   ，   ，   解得：，   ；   （2） 的大小不变．   如图4中，作 于 ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ()， ， 同法可证：， ， ． 【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、折叠变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 8．（2026八年级下·全国·专题练习）【问题解决】 （1）如图，在矩形中，点，分别在边上，，垂足为点．求证：． 【拓展提升】 （2）如图，在正方形中，点，分别在边上，，延长到点，使，连接，求证：． 【类比迁移】 （3）如图，在菱形中，点，分别在边上，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由矩形的性质可得则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可； （2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证； （3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又 ， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ， ∴； （3）解：如图，延长到点，使，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键． 9．（25-26七年级上·河南·期末）在正方形学习过程中，我们发现下面的结论：如图，正方形中，点为线段上一个动点，若线段垂直于点，交线段于点，交线段于点，则． (1)如图，将边长为的正方形折叠，使得点落在上的点处．若折痕，则的长度为_____． (2)如图，正方形中，点为线段上一动点，若垂直平分线段，分别交，，，于点，，，，连接，． 判断的形状，并说明理由； 求证：． (3)如图，在正方形中，、分别为，上的点，作于，在上截取，连接，为中点，连接，．请依题意补全图形，若，则_____．（直接写出答案） 【答案】(1)； (2) 是等腰三角形，理由见解析；见解析； (3)． 【分析】（）利用“”证明得，再利用勾股定理可得答案； （）连接，由正方形性质可得，又垂直平分，则，从而得，所以是等腰三角形； 证出，由题意知，则可得出结论； （）连接并延长使得利用“”可证，再结合全等三角形的性质和正方形的性质证明，进而可证明，是等腰直角三角形，最后通过勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）解: ∵四边形是正方形， ∴，， 作于连接， 则四边形是矩形， ∴， 由翻折知， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：； （2）解：如图，连接， ∵正方形是轴对称图形，为对角线上一点， ∴， 又∵垂直平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， （3）解：根据题意补全图形如图所示： 连接并延长使得， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由正方形的性质可知，， ∴， ∴，，， 则， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴ 也是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10.（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，正方形中，是上的一点，连接，过点作，垂足为点，延长交于点，连接．若正方形边长是5，，求的长． 【答案】 【分析】先证明，得到，于是，利用勾股定理解答即可． 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形，正方形边长是5， ∴， ∵， ∴ 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11.（24-25九年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图1，正方形中，，点为边上的点，为的垂直平分线，垂足为，交边于点，交边于点，将绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)四边形的形状为___________； (2)若四边形为菱形时，求的长； 【答案】(1)平行四边形； (2)； 【分析】（1）先证明，则，由旋转得，，故，由得到，即可证明； （2）连接，证明，则，设，则，在中，，在中，，即可建立方程求解； 【详解】（1）解：过点F作于点T，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解：连接， 为的垂直平分线， ， 又四边形为菱形， ， ， 又四边形为正方形， ， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， （舍）， ； 12.（25-26九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在正方形中，G、E、F是正方形边上的点，连接、，与交于点M，，． (1)求证：； (2)连接、、、的中点P、Q、R、S，试说明四边形是什么特殊的四边形． 【答案】(1)见解析 (2)正方形，说明见解析 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题关键． （1）过点作于点，根据正方形的性质得到，，再结合已知条件得到，即可利用“”证明全等； （2）由（1）可知，，从而得出，，再根据三角形中位线定理，先证明四边形是平行四边形，再证明正方形即可． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点，则， 四边形是正方形， ，，， ，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）可知，， ，， ， ， ， ， 如图，连接、、、的中点P、Q、R、S， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是正方形． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $