专题05 胡不归模型（几何模型讲义）数学新教材湘教版八年级下册

该初中数学讲义以胡不归模型为核心，通过逻辑框架系统梳理知识体系，涵盖模型原理、构造方法及关键步骤，用知识框架图呈现“问题转化—构造射线—垂线段最短”的解题脉络，突出转化与化归思想及垂线段最短原理的重难点联系。 讲义亮点在于真题与模拟题结合的练习设计，如2024郾城区一模矩形动点问题、2025黑龙江佳木斯一模平行四边形最值题，例题覆盖正方形、菱形等场景。方法指导强调“构造含k值正弦角转化线段”，培养推理意识与模型观念，基础学生可掌握转化方法，优秀学生能深化思想，助力教师实施分层精准教学。

专题05 胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是:点到线的距离垂线段最短。 1 模型趣事 1 真题现模型 1 模型运用 4 模型.胡不归模型 4 11 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 1.（2024•郾城区一模）如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 　　． 【答案】4． 【分析】过点作于点，过点作于点，首先根据题意将用表示，再将的最小值用表示，进而求出的长即可解决问题． 【解答】解：过点作于点，过点作于点，如图， 四边形是矩形，，， ，，， ， ， ， ， ， ， 的最小值为的长， ， ， ，， ， 的最小值为4， 故答案为：4． 2．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，平行四边形中，，，，为边上的一动点，则最小值等于__________. 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，锐角三角形函数的应用，垂线段最短等知识，根据题意添加合适的辅助线是解题的关键． 过点作，交的延长线于点，由锐角三角函数可得，即，则当点，点，点三点共线，且时，有最小值，即最小值为． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴当点，点，点三点共线，且时，有最小值，即最小值为， ∵， ∴， 故答案为：． 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 【常用特殊角匹配】 · →构造角（）； · →构造角（）； · →构造角（）。 模型.胡不归模型 例1（2025春•新吴区校级月考）如图，在边长为3的正方形中，点，分别是边，上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】 【分析】先证明△△得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明△△，则，可得当、、三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在△中，由勾股定理得，则的最小值为2.5． 【解答】解：四边形是正方形， ，， ， △△， ， ， 点是的中点， ， 如图所示，在延长线上截取，连接， ，，， △△， ， ， 当、、三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ，， ， ， 在△中， 由勾股定理得， 的最小值为2.5， 故选：． 例2（25-26八年级下湖南邵阳·期中）如图，ABCD中，∠DAB=30°，AB=8，BC=3，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于__________.    【答案】4 【分析】过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，由锐角三角函数可得EP＝，即PB+=PB+PE，则当点B,点P,点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE． 【详解】解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E， ∵AB∥CD ∴∠EDP＝∠DAB＝30°， ∴sin∠EDP＝ ∴EP＝ ∴PB＋＝PB＋PE ∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB＋PE有最小值，即最小值为BE， ∵sin∠DAB＝ ∴BE＝=4 故答案为:4 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，锐角三角函数的性质，作出适当的辅助线是解题的关键． 例3（2026·黑龙江佳木斯·一模）如图，在菱形中，对角线，， 点E、F 分别是边、的中点， 点P在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是________ 【答案】 【分析】设交于O，作E关于的对称点N，连接，交于P，则此时的值最小，根据菱形的性质推出N是中点，P与O重合，推出，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：设交于O，作E关于的对称点N，连接，交于P，则此时的值最小， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵E为的中点， ∴N在上，且N为的中点， ∵， ∴， ∵，N为中点，F为中点， ∴， ∴， ∴， 即P为中点， ∵O为中点， ∴P、O重合， 即过O点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， 由勾股定理得：， 所以，的最小值为． 例4（25-26九年级下·吉林长春·阶段检测）【模型认知】 如图①，，，D为上动点，求的最小值． 第一步：如图②，由于，在直线异于点一侧构造； 第二步：如图③，过点作于，得，即，连接，则（ ▲ ）； 第三步：如图④，过点作于，（ ☆ ）； 第四步：，最小值为． (1)“▲”处应填写的推理依据为_________，“☆”处应填写的推理依据为_________． 【模型探究】 如图⑤，中，，，为上一点，求的最小值． 解：过点作交的延长线于点E， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时有最小值，此时、、三点在同一条直线上……， (2)用圆规和无刻度的直尺在图⑤中作出符合条件的点的位置； (3)的最小值为_____________． 【模型应用】 (4)如图⑥，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为________． 【答案】(1)三角形，两边之和大于第三边；垂线段最短 (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据三角形三边关系及垂线段最短解答即可； （2）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （3）先得出点、的位置与（2）中图的、重合，的最小值为，利用三角函数求出的长，进而可得答案； （4）作，过点作于，则，根据一次函数解析式得出，，，根据特殊角的三角函数值可得，，根据得出、、在同一条直线上时，有最小值，最小值为，利用的三角函数得出的值，根据即可得答案． 【详解】（1）解：第二步：如图③，过点作于，得，即，连接，则（三角形两边之和大于第三边）； 第三步：如图④，过点作于，（垂线段最短）； （2）解：如图所示，点即为所求； （3）过点作交的延长线于点E， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时有最小值，此时、、三点在同一条直线上， ∴点、的位置与（2）中图的、重合，的最小值为， ∵，， ∴，， ∴的最小值为． （4）解：如图，作，过点作于，则， ∵一次函数分别交轴、轴于、两点， ∴当时，，当时，， 解得，， ∴，， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴当、、在同一条直线上时，有最小值，最小值为， ∵， ∴有最小值为， ∴， ∴的最小值为． 1．如图，平行四边形中，，，，P为边CD上的一动点，则的最小值等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长，过点B作交于点P，根据平行四边形的性质得出，结合勾股定理可得，，最后根据即可求解． 【详解】解：延长，过点B作交于点P， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 则，则， 同理可得：， ∴， ∴当点E、P、B在同一条直线上时，的值最小， ∵， ∴． 故选：A．    【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握平行四边形对边互相平行，以及垂线段最短． 2．如图，在中，，，，于点，点在上，且，点是线段上的动点，连接，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是含30度角的直角三角形性质，解直角三角形，垂线段最短的性质及轴对称的性质，先证出点，关于对称，作于，交于，根据垂线段最短求出即可． 【详解】解：，， ， ， ，， ， ，关于对称， 作于，交于， ， ，， 的最小值， 又， 的最小值为． 故选D． 3．如图，平行四边形中，，，P为边上的一动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、解直角三角形等知识点，灵活利用三角函数化曲为直求最值是解题的关键． 如图：过P作交延长线于E，连接，由平行四边形的性质可得，则，再根据正弦的定义可得；则要求的最小值，只需求得的最小值，如图：过作，由垂线段最短可知的最小值为，再结合三角形的三边关系以及垂线段最短可知最小值为，然后再解直角三角形即可解答． 【详解】解：如图：过P作交延长线于E，连接， ∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴要求的最小值，只需求得的最小值， 如图：过作，由垂线段最短可知的最小值为， ∵， ∴只需求得的最小值即可， ∵，，， ∴，解得：， ∴的最小值为． 故答案为． 4．如图，中，，，，P为边上一动点，则的最小值等于__________． 【答案】 【分析】过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，由锐角三角函数可得，即，则当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，再利用解直角三角形，即可求得． 【详解】解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E， ∵， ∴∠EDP=∠DAB=45°， ∴， ∴， ∴， ∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 5．如图，在菱形中，两条对角线，，点是对角线上一点（不与端点重合），则的最小值为　　 ． 【答案】． 【分析】过点作于点，过点作于点，设交于点，根据菱形的性质得，证明△为等边三角形，得，继而得到，，进一步得，则当点、、三点共线且垂直时，的值最小，即可得解． 【解答】解：如图，过点作于点，过点作于点，设交于点， 四边形是菱形，，， ，，，，， ， △为等边三角形， ， ， ，， ，， ， ， 当点、、三点共线且垂直时，的值最小，最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 6.如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是　． 【答案】． 【分析】过点作于，过点作于，如图，根据菱形的性质得到，平分，，再判断为等边三角形得到，则，所以，则，所以的最小值为的长，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求出即可． 【解答】解：过点作于，过点作于，如图， 四边形为菱形， ，平分，， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 当、、共线时，的值最小， 即的最小值为的长， ， ， 在中，， ， ， 即的最小值为． 故答案为：． 7．在矩形中，，，点从点运动到点，运动速度为5个单位长度每秒，同时点从出发向点运动，运动速度为3个单位长度每秒，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，则的最小值 　　． 【答案】． 【分析】以为一边构造相似比为的相似三角形，得到，再利用两点之间线段最短，勾股定理解决问题． 【解答】解：延长到，使，连接，， ， ， 设点，点运动时间为秒， 由题意，得，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 而， ， 故答案为：． 8．如图，在矩形中，对角线，交于点，，点在线段上，且．点为线段上的一个动点． （1）　 　； （2）的最小值为 　　． 【答案】（1）30； （2）2． 【分析】（1）利用矩形性质，等边三角形的判定和性质就可解决问题； （2）过点作的垂线，将转化为一条等线段，再利用垂线段最短和勾股定理即可求得最小值． 【解答】解：（1）四边形是矩形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， 故答案为：30． （2）过点作于点，过点作于点， 在中， 由（1）知：， ， ， 在矩形中， ， ， ， 在中， ， ， 的最小值为2， 故答案为：2． 9．如图，在平行四边形中，，，，在线段上取一点，使，连接，点，分别是线段，上的动点，连接，则的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】过点作于点，连接，过点作于点，推出，进一步得到的最小值为，再求出的长即可解决问题． 【解答】解：过点作于点，连接，过点作于点， 四边形是平行四边形，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为， 在中， ，， ， 由勾股定理，得， 的最小值为， 故答案为：． 10．如图，在菱形中，，，是上的动点，求的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】过点作，则，可知，的最小值就是点到线段的垂线段长． 【解答】解：过点作，垂足为点， 是菱形，且， ， ， ， 是上的动点， 的最小值就是点到线段的垂线段长． 过点作，在中，，， ． 11．如图，在△中，，，，△为等边三角形，点为△围成的区域（包括各边）的一点，过点作，交直线于点，作交直线于点，则的最大值为　 　． 【分析】作辅助线，构建30度的直角三角形，即可得到结论． 【解答】解：过作交的延长线于点， ，， 四边形是平行四边形，， 设，， △中，， ， ， 当在点时，的值最大是：， 的最大值为7.5， 故答案为：7.5． 12．如图，矩形两边与坐标轴正半轴重合，是边上的一个动点，是经过，两点的直线上的一个动点，则的最小值是 　 　． 【答案】8． 【分析】，再考虑胡不归． 【解答】解：过作，垂足为，过作，垂足为， 当时，， ， 令得， ， ， ， ， 故答案为：8． 13．在矩形中，，，为边中点，连接，点为直线上的动点，为中点，则的最小值为________ ． 【答案】． 【分析】由题可识别胡不归问题，所以将，构造直角三角形，转化，由点在直线运动，点随动而动可识别为瓜豆模型，进而可知点在线段上运动，过作直线交于，使，作于，则，所以，过作于，则，最后解△即可得解． 【解答】解：如图，取的中点，连，， 是中点， ，即， 为中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，，三点共线， 点在线段上运动， ，， ，即△为等腰直角三角形， 过作直线交于，使，作于，则， ，当且仅当、、三点共线时取等， 过作于，则， 在△中，，， ， 即， ， 故答案为：． 14．已知，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴和轴的正半轴上，顶点的坐标为，且，满足：，点为边上的一个动点，将△沿翻折，得到△． （1）求出，的值； （2）如图1，若点为中点，延长交于点，求的长； （3）如图2，若，点为线段上的动点，求的最小值． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【分析】（1）由绝对值和二次根式的非负性即可得解； （2）先证，设参，在△中利用勾股定理求解即可； （3）根据结合胡不归可知，将转化为，进而利用，求出即可． 【解答】解：（1），，且， ，； （2）连接， 在正方形中，，， 根据折叠可得，，， ，， 在△和△中， ， △△， 设， 由（1）知正方形边长为4， ， 是中点， ， ， 在△中，， ， 解得， ； （3）过作于点， 由折叠可知，， 在△中，， ， 当且仅当、、依次共线时取等，即此时， 连接， ，， △是等边三角形， ， ， ， ， ， 即， 的最小值为． 15．如图，在菱形中，，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，连接、． （1）求证：； （2）求的最小值． 【答案】（1）见解答； （2）． 【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质和菱形的性质即可证明出结论； （2）过点作于点，连接，，过点作于点，证明出的最小值为，再求出即可解决问题． 【解答】解：（1）连接，如图， 四边形是菱形， 点，点关于直线轴对称， ， 的垂直平分线交于点，交于点， ， ； （2）过点作于点，连接，，过点作于点， 四边形是菱形，， ， ， 的垂直平分线交于点，交于点， ， ， 的最小值为， ，， ， 的最小值为． 16．如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、． （1）证明：． （2）当点在何处时，的值最小，并说明理由． （3）当的值最小值为时，则正方形的边长为 　 　． 【分析】（1）由题意得，，所以，容易证出； （2）根据“两点之间线段最短”，当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长； （3）过点作交的延长线于，由题意求出，设正方形的边长为，在中，根据勾股定理求得正方形的边长为． 【解答】解：（1）是等边三角形， ，， ， ， 即 又， ； （2）如图，连接，当点位于与的交点处时，的值最小． 理由如下：连接， 由（1）知，， ， ，， 是等边三角形， ， ， 根据“两点之间线段最短”，得最短 当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长． （3）正方形的边长为． 如图，过点作交的延长线于， ， 设正方形的边长为，则，， 在中，， ， 解得，（舍去负值） 正方形的边长为． 故答案为：． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是:点到线的距离垂线段最短。 1 模型趣事 1 真题现模型 1 模型运用 3 模型.胡不归模型 3 5 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 1.（2024•郾城区一模）如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 　　． 2．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，平行四边形中，，，，为边上的一动点，则最小值等于__________. 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 【常用特殊角匹配】 · →构造角（）； · →构造角（）； · →构造角（）。 模型.胡不归模型 例1（2025春•新吴区校级月考）如图，在边长为3的正方形中，点，分别是边，上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 例2（25-26八年级下湖南邵阳·期中）如图，ABCD中，∠DAB=30°，AB=8，BC=3，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于__________.    例3如图，在矩形中，，，点为边上一点，则的最小值等于 　　． 例4（25-26九年级下·吉林长春·阶段检测）【模型认知】 如图①，，，D为上动点，求的最小值． 第一步：如图②，由于，在直线异于点一侧构造； 第二步：如图③，过点作于，得，即，连接，则（ ▲ ）； 第三步：如图④，过点作于，（ ☆ ）； 第四步：，最小值为． (1)“▲”处应填写的推理依据为_________，“☆”处应填写的推理依据为_________． 【模型探究】 如图⑤，中，，，为上一点，求的最小值． 解：过点作交的延长线于点E， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时有最小值，此时、、三点在同一条直线上……， (2)用圆规和无刻度的直尺在图⑤中作出符合条件的点的位置； (3)的最小值为_____________． 【模型应用】 (4)如图⑥，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为________． 1．如图，平行四边形中，，，，P为边CD上的一动点，则的最小值等于（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，于点，点在上，且，点是线段上的动点，连接，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 3．如图，平行四边形中，，，P为边上的一动点，则的最小值为________． 4．如图，中，，，，P为边上一动点，则的最小值等于__________． 5．如图，在菱形中，两条对角线，，点是对角线上一点（不与端点重合），则的最小值为　　 ． 6.如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是　． 7．在矩形中，，，点从点运动到点，运动速度为5个单位长度每秒，同时点从出发向点运动，运动速度为3个单位长度每秒，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，则的最小值 　　． 8．如图，在矩形中，对角线，交于点，，点在线段上，且．点为线段上的一个动点． （1）　 　； （2）的最小值为 　　． 9．如图，在平行四边形中，，，，在线段上取一点，使，连接，点，分别是线段，上的动点，连接，则的最小值为 　　． 10．如图，在菱形中，，，是上的动点，求的最小值为 　　． 11．如图，在△中，，，，△为等边三角形，点为△围成的区域（包括各边）的一点，过点作，交直线于点，作交直线于点，则的最大值为　 　． 12．如图，矩形两边与坐标轴正半轴重合，是边上的一个动点，是经过，两点的直线上的一个动点，则的最小值是 　 　． 13．在矩形中，，，为边中点，连接，点为直线上的动点，为中点，则的最小值为________ ． 14．已知，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴和轴的正半轴上，顶点的坐标为，且，满足：，点为边上的一个动点，将△沿翻折，得到△． （1）求出，的值； （2）如图1，若点为中点，延长交于点，求的长； （3）如图2，若，点为线段上的动点，求的最小值． 15．如图，在菱形中，，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，连接、． （1）求证：； （2）求的最小值． 16．如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、． （1）证明：． （2）当点在何处时，的值最小，并说明理由． （3）当的值最小值为时，则正方形的边长为 　 　． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $