专题01 中点四边形模型（几何模型讲义）数学新教材湘教版八年级下册

该初中数学讲义以“中点四边形模型”为核心，通过“模型提炼-真题探究-结论归纳”的逻辑构建知识体系，用对比表格清晰呈现原四边形对角线关系与中点四边形形状的对应关系，结合框架图梳理从基础结论到特殊情况的递进脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于情境化引入与分层练习设计，“模型趣事”通过魔术师地毯、埃菲尔铁塔结构等案例引导学生用数学眼光观察现实，中考真题和例题通过证明与探究题培养推理思维，分层习题覆盖选择、填空及综合题，帮助不同层次学生掌握模型应用，支持教师实施精准教学，提升学生的应用意识与创新意识。

专题01 中点四边形模型 在任意一个四边形里，把四条边的中点依次连接，得到的这个新四边形被称为中点四边形，也常被称作 Varignon 四边形。最核心的结论是：不论原四边形怎样，连接这四个中点得到的中点四边形始终是一个平行四边形。这个定理在几何里非常经典，常用于化简题型、理解对称与面积关系等方面。 2 模型趣事 2 真题现模型 2 提炼模型 6 模型运用 7 模型1.中点四边形模型 7 14 魔术师的地毯把戏 某次数学魔术表演中，魔术师让观众任意画凸四边形，标记各边中点并连线。当剪下这个中点四边形时，剩余部分总能拼成原四边形——无论初始形状多不规则。秘密在于：所有中点四边形都是平行四边形，且面积恒等于原图形的一半（原理：中点连线平行于对角线，且长度为对角线一半）。 埃菲尔铁塔的隐形结构 巴黎的钢结构工人发现，用四根钢梁首尾相接构成四边形时，其中点连接形成的菱形结构能自动保持稳定。工程师们由此发展出"中点加固法"：在四边形建筑框架中添加中点连杆，可使承重能力提升40%。这源于中点四边形具有最小周长的特性（根据施瓦茨定理）。 蜂巢的几何优化 生物学家观察到，野生蜂群建造不规则六边形巢室时，工蜂会先用触须定位四边形区域的中点，再分泌蜂蜡连接。这种本能行为使得巢室结构达到最佳材料利用率——因为中点四边形继承了原四边形的对称中心，符合蜜蜂"最小能耗"的进化策略。 数学实验室的发现 当学生用橡皮筋在钉板上随机拉伸四边形时，有个永恒规律：用彩色笔描摹其中点四边形，所有颜色最终都会形成完美的平行四边形。这个现象被称为"几何熨斗效应"，证明中点四边形会过滤掉原四边形的所有不规则性（向量中点公式的直观体现）。 （2024·青海·中考真题）综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 【探究一】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点． 求证：中点四边形是平行四边形． 证明：∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴、分别是和的中位线， ∴，（____①____） ∴． 同理可得：． ∴中点四边形是平行四边形． 结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形． （1）请你补全上述过程中的证明依据①________ 【探究二】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 菱形 从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形． （2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【探究三】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 ②________ （3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②________． （4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【归纳总结】 （5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 ③________ ④________ 结论：原四边形对角线③________时，中点四边形是④________． 【答案】（1）①中位线定理 （2）证明见解析 （3）②矩形 （4）证明见解析 （5）补图见解析；③且；④正方形 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识 （1）利用三角形中位线定理即可解决问题； （2）根据三角形中位线定理，菱形判定定理即可解决问题； （3）根据三角形中位线定理，矩形判定定理即可解决问题； （4）根据三角形中位线定理，矩形判定定理即可解决问题； （5）根据三角形中位线定理，正方形判定定理即可解决问题. 【详解】（1）①证明依据是：中位线定理； （2）证明：∵分别是的中点， ∴分别是和的中位线， ∴， ∴． 同理可得：． ∵ ∴ ∴中点四边形是菱形． （3）②矩形； 故答案为：矩形 （4）证明∵分别是的中点， ∴分别是和的中位线， ∴，， ∴． 同理可得：． ∵ ∴， ∴ ∴中点四边形是矩形． （5）证明：如图4，∵分别是的中点， ∴分别是和的中位线， ∴， ∴． 同理可得：． ∵ ∴ ∴中点四边形是菱形． ∵ 由（4）可知 ∴菱形是正方形． 故答案为：③且；④正方形    中点四边形模型 归纳结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形；若四边形的对角线相等，则它的中点四边形是菱形；若四边形的对角线垂直，则它的中点四边形是矩形；若四边形的对角线垂直且相等，则它的中点四边形是正方形。 模型1.中点四边形模型 例1（22-23八年级下·河北保定·期末）我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．下列说法正确的个数为（    ） ①任意四边形的中点四边形是平行四边形 ②平行四边形的中点四边形是菱形 ③矩形的中点四边形是菱形 ④菱形的中点四边形是正方形 ⑤正方形的中点四边形是正方形 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】结合中位线定理及特殊四边形的判定方法即可逐一判断． 【详解】任意四边形的中点四边形是平行四边形，①正确； 平行四边形的中点四边形仍然是平行四边形，②错误； 矩形的中点四边形是菱形，③正确； 菱形的中点四边形是矩形，④错误； 正方形的中点四边形仍然是正方形，⑤正确． 正确的个数是3个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的性质和判定，熟练掌握相关知识是解题的关键． 例2（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形． 下列四个叙述： ①中点四边形一定是平行四边形； ②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形； ③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形； ④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形． 其中正确的结论是（    ） A．②③ B．①④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】此题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定与正方形的判定．熟练掌握中位线定理是解题的关键；连接，，根据三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，再根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ，，，分别是四边形各边的中点， ， 四边形是平行四边形；（①正确） 若四边形是矩形， ＝， ＝ ，＝ ， ＝， 四边形是菱形；（②错误） 若四边形是菱形， ， ∵， ， 四边形是矩形，不一定是菱形；（③错误） 四边形是正方形， ＝，， ＝ ，＝ ， ＝， 四边形是菱形； ，， ， ， 四边形是正方形．（④正确） 正确的是①④． 故选：B． 例3（22-23八年级下·辽宁大连·期末）我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．小明在研究中点四边形时，得到下面三个结论：①对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；②对角线互相垂直的四边形的中点四边形是菱形；③矩形的中点四边形是正方形．其中正确的是 （填序号，填写一个即可）． 【答案】① 【分析】当原来四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形；当原来四边形的对角线互相垂直时，中点四边形是矩形；当原来四边形的对角线垂直且相等时，中点四边形是正方形，据此逐一判断即可． 【详解】解：①对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，原说法正确，故①符合题意； ②对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形，原说法错误，故②不符合题意； ③矩形的中点四边形是菱形，原说法错误，故③不符合题意； 综上所述，正确的是①， 故答案为：①． 【点睛】本题考查判断一个四边形的中点四边形的形状，熟练掌握：中点四边形一定是平行四边形；当原来四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形；当原来四边形的对角线互相垂直时，中点四边形是矩形；当原来四边形的对角线垂直且相等时，中点四边形是正方形，是解题的关键． 例4（24-25八年级下·安徽淮北·期末）【主题学习】定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫作中点四边形．为了探索中点四边形，某校八年级数学兴趣小组开展一次主题学习活动． 【成果展示】经过合作探究，相互交流，各小组将他们的成果进行汇报，部分信息汇总如下： 原四边形 任意四边形 矩形 菱形 图形 中点四边形 平行四边形 菱形 矩形 发现 任意四边形的中点四边形一定是平行四边形． 对角线 ① 的四边形，它的中点四边形是菱形． 对角线 ② 的四边形，它的中点四边形是矩形． （1）填写上表中的空格①______；②______； 【逆向探究】在探究过程中，有小组提出“正方形的中点四边形是正方形”． （2）判断命题“正方形的中点四边形是正方形”的逆命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明，如果是假命题，请画图说明． 【拓展延伸】如图，四边形中，，，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，……，如此进行下去，得到四边形． （3）设，，则：四边形的面积等于______，四边形的周长等于______． 【答案】（1）①相等；②相互垂直；（2）命题“正方形的中点四边形是正方形”的逆命题是假命题，理由见解析；（3）； 【分析】（1）由三角形中线的性质结合四边形的中点四边形一定是平行四边形，即可得出结论； （2）先写出逆命题，再画出示意图，结合（1）中所得结论即可说明； （3）先证明，进而证明，推出；结合（1）中所得结论，得到当为奇数时，四边形是矩形，四边形的面积是；当为偶数时，四边形是菱形，四边形的周长是；即可解答． 【详解】（1）解：如图：矩形中，分别是的中点，连接， ∵分别是的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形，即对角线相等的四边形，它的中点四边形是菱形； 同理，菱形的中点四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，即对角线互相垂直的四边形，它的中点四边形是矩形， 故答案为：相等，互相垂直； （2）解：命题“正方形的中点四边形是正方形”的逆命题是“中点四边形是正方形的四边形是正方形”是假命题，理由如下： 如图：四边形中，且，分别是的中点， 由题意知任意四边形的中点四边形一定是平行四边形，则四边形是平行四边形， ∵， 由（1）对角线互相垂直的四边形，它的中点四边形是矩形，则四边形是矩形， ∵， 由（1）对角线相等的四边形，它的中点四边形是菱形，则四边形是菱形， ∴四边形是正方形， ∴只需满足对角线相等且互相垂直的四边形，它的中点四边形是正方形， ∴命题“正方形的中点四边形是正方形”的逆命题是“中点四边形是正方形的四边形是正方形”是假命题； （3）解：设交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵在四边形中，顺次连接四边形各边中点，得到四边形， 由（1）知对角线互相垂直的四边形，它的中点四边形是矩形； ∴四边形是矩形； 根据中位线的性质知，， 四边形的面积周长为； 连接， ∴， ∵四边形是矩形各边中点得到的四边形， 由（1）知对角线相等的四边形，它的中点四边形是菱形； ∴四边形是菱形， 根据中位线的性质知，， ∴四边形的周长为； ∵四边形是菱形各边中点得到的四边形， 由（1）知对角线互相垂直的四边形，它的中点四边形是矩形； ∴四边形是矩形， ∵， ∴根据中位线的性质知，， ∴四边形的面积为； 同理，四边形是菱形，周长为； 同理，四边形是矩形，四边形的面积是； ； ∴当为奇数时，四边形是矩形，四边形的面积是； 当为偶数时，四边形是菱形，四边形的周长是； ∴四边形的面积等于，四边形的周长等于． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了中点四边形，菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、正方形的判定及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系． 1．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）顺次连结原四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．如果顺次连结原四边形各边中点得到中点四边形是矩形，那么原四边形一定是（   ） A．等腰梯形 B．菱形 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定，中点四边形，画出图形进而应用平行四边形的判定以及矩形判定是解决问题的关键． 由于顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，再由矩形的判定可知，依次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点所得四边形是矩形． 【详解】解：如图，与的位置关系是互相垂直． 证明：点、、、分别是、、、的中点， 连接，，，，与交于点， 四边形是矩形， ， 、、分别是、的中点， ， ， 、、分别是、的中点， ， 又点、分别是、各边的中点， ， 即． A、B、C选项不符合题意，D选项符合题意， 故选：D． 2．（2023八年级下·全国·专题练习）如图，四边形中，，，且，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，如此进行下去，得到四边形．下列结论正确的是（   ）． ①四边形是菱形； ②四边形是矩形； ③四边形周长为； ④四边形面积为． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形中各边长的长度关系规律，然后对选项作出分析判断：①②根据三角形的中位线定理、平行四边形的判定定理、菱形和矩形的判定与性质作出判断；③根据三角形的中位线定理和四边形周长公式作出判断；④找到每得到的四边形与原四边形面积关系规律，即可求得四边形的面积． 【详解】解：①连接，， ∵在四边形中，顺次连接四边形各边中点，得到四边形， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴（矩形的两条对角线相等）； ∴（三角形的中位线定理）， ∴四边形是菱形； ∴四边形是矩形； ∴根据中位线定理知，四边形是菱形； 故①②正确； ③根据中位线的性质易知，， ， ∴四边形的周长是，故③正确； ④∵四边形中，，，且， ∴； 由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半， 四边形的面积是，故④错误； 综上所述，①②③正确． 故选A． 【点睛】本题是一道规律题，考查了中点四边形、平行四边形的判定、三角形的中位线定理、菱形和矩形的判定与性质，解题的关键是理清题意，熟练并灵活运用所学知识点解题． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形……如此进行下去，得到四边形．给出下列结论：①四边形是矩形；②四边形是菱形；③四边形的周长是；④四边形的面积是．其中，正确的结论有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形中各边长的长度关系规律，然后对选项作出分析判断： 【详解】解：①连接，， ∵在四边形中，顺次连接四边形各边中点，得到四边形， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴（矩形的两条对角线相等）； ∴（三角形的中位线定理）， ∴四边形是菱形； 同理继续连接，四边形是矩形； 故①②正确； ③每次连接新四边形，其边长是上一个四边形对应边长的一半, 经过次连接得到四边形 ，根据中位线的性质得， ， ， ∴四边形的周长是，故③正确； ④∵四边形中，，，且， ∴； 由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半， 四边形的面积是，故④正确； 综上所述，①②③④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了中点四边形、平行四边形的判定、三角形的中位线定理、菱形和矩形的判定与性质，解题的关键是理清题意，熟练并灵活运用所学知识点解题． 4．（24-25八年级下·山东德州·期中）顺次连接四边形各边中点得到的四边形是矩形，则原四边形一定满足（    ）． A． B．正方形 C．菱形 D． 【答案】A 【分析】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，矩形的判定定理根据三角形中位线定理得到，，，，，得到，，得到四边形为平行四边形，再根据矩形的判定解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵分别为的中点， ∴分别为 的中位线， ∴，，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 当时， ∵，， ∴ ∴平行四边形为矩形， 故选：． 5．（22-23八年级下·四川广安·月考）如图，在菱形中，边长为1，，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；按此规律继续下去，…，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】根据菱形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，依次求出四边形的面积，得出规律，即可解答． 【详解】解：菱形，， ，为等边三角形， ， 等边的高为， ， 顺次连接菱形各边中点，可得四边形， 四边形为矩形， , 同理可得， ， …… ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形以及中点四边形的性质，找到中点四边形的面积与原四边形的面积之间的关系是解题的关键． 6．（22-23八年级下·河北张家口·期末）连接任意四边形各边中点得到的四边形是 ．对角线，满足条件 时，连接四边形各边中点得到的四边形是菱形． 【答案】 平行四边形 【分析】根据三角形中位线定理得到，，，，根据菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：如图，   、、、分别为、、、的中点， ，，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当时，则有， ∴四边形是菱形， 故答案为平行四边形， 【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握菱形的判定定理、三角形中位线定理是解题的关键． 7．（2024·四川达州·一模）数学活动：某数学兴趣小组想探究任意四边形的中点四边形的形状与原四边形的边、对角线的关系； 定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形． [操作]如图1，点E，F，G，H分别是四边形各边的中点，顺次连接点E，F，G，H得到中点四边形． [猜想]（1）填空：任意一个四边形的中点四边形是___________________； [证明]（2）请补全以下求证内容，并完善证明过程； 已知：点E，F，G，H分别是四边形各边的中点，顺次连接点E，F， G， H 得到中点四边形． 求证：______________________． 证明： [应用]（3）如图2，在四边形中，，，，的中点分别为P， Q，M，N，在上取一点E，连接，，和恰好是等边三角形，当点A到点C的距离为2时，求四边形的周长． 【答案】（1）平行四边形； （2）求证：四边形是平行四边形．证明见解析； （3）４. 【分析】此题考查了三角形的中位线定理及平行四边形的判定，等边三角形的性质，三角形的全等以及菱形的判定，熟练掌握它们的性质和判定是解决问题的关键 ． （1）根据图形，猜想任意一个四边形的中点四边形是平行四边形； （2）连接，利用三角形中位线的性质，即可判定四边形是平行四边形． （3）连接，，利用等边三角形，证明，得到，从而证明四边形为菱形，且边长为1，即得解． 【详解】（1）猜想：根据题意，猜想任意任意一个四边形的中点四边形是平行四边形； （2）求证：四边形是平行四边形． 证明：连接，如图所示， 是的中点，是的中点， ，， 同理，， ，， 四边形是平行四边形． （3）连接，，如图所示， 和是等边三角形， ，，， ， ， ， ， 第（2）问已证明四边形是平行四边形． 且，， ， 四边形是边长为１的菱形． 四边形的周长为４. 8．（2024·广东韶关·模拟预测）我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，如图，E、F、G、H分别是四边形各边的中点，可证中点四边形是平行四边形，如果我们对四边形的对角线与添加一定的条件，则可使中点四边形成为特殊的平行四边形，请你经过探究后回答下面问题？ (1)当______时，四边形为菱形； (2)当______时，四边形为矩形； (3)当和满足什么条件时，四边形为正方形？请回答并证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定，熟练的掌握三角形的中位线定理并在推理论证中正确的运用是解题的关键． （1）根据三角形得中位线定理， ，结合题意，则可得到四边形是菱形； （2）根据三角形的中位线定理，可得，，，结合题意四边形是矩形，可得； （3）结合（1）（2）易得四边形为正方形． 【详解】（1）解：∵、、、分别是四边形各边的中点， ∴、分别是和的中位线； ∴， ； 当时， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； 故答案为： （2）∵四边形是矩形， ∴， ∵、、、分别是四边形各边的中点， ∴、分别是和的中位线； ∴，， ∴， 即：， ∴当时，四边形为矩形． （3）当时，由（1）得四边形是菱形； 当时，由（2）四边形是矩形； ∴四边形是正方形； 故当且时，四边形是正方形． 9．（22-23九年级上·山东青岛·期末）小彬数学成绩优秀，他平时善于总结，例如，学习了三角形的中位线的和特殊四边形的知识后，他总结出“依次连接任意一个四边形各边中点所得四边形一定是平行四边形”后，他想到曾经做过的这样一道题：如图1，点是线段的中点，分别以和为边在线段的同侧作等边三角形和等边三角形，连接、和，他想到了连接四边形的各边中点得到的四边形一定是菱形、于是，他又进一步探究：如图2，若是线段上任一点，在的同侧作和，使，，，连接，设点，，，分别是，，，的中点，依次连接，，，．请你接着往下解决三个问题： (1)猜想四边形的形状，（直接给出答案，不必说明理由）； (2)当点在线段的上方时，如图3，在的外部作和，其它条件不变，试判断四边形的形状？并说明理由． (3)如果（2）中，，其它条件不变，试判断四边形的形状（直接给出答案，不必说明理由）． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 (3)四边形是正方形 【分析】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，三角形中位线定理，菱形和正方形的判定，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）连接，证明，可得，由点E，F，G，H分别是的中点，知，故，从而四边形是菱形； （2）同（1）可证四边形是菱形； （3）连接交于O，交于N，交于M，同（1）可证四边形是菱形；由，知，而，，即得，故四边形是正方形． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 连接，如图： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点E，F，G，H分别是的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形，理由如下： 连接，如图： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点E，F，G，H分别是的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （3）解：四边形是正方形；理由如下： 连接交于O，交于N，交于M，如图： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点E，F，G，H分别是的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是是菱形； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形； ∴四边形是正方形． 10．（24-25九年级上·福建三明·月考）定义：顺次连结四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形． 如图，在四边形中，顺次连结各边中点E、F、G、H得到的四边形叫做四边形的中点四边形． 利用三角形中位线的相关知识解决下列问题： (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当对角线满足下列条件时，请你探究中点四边形的形状：(写出结果并证明)当时， 四边形是 ． 【答案】(1)见解析 (2)矩形 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，中点四边形，矩形的判定，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． （1）连接，根据中位线定理，得出 进而得出，，即可求证； （2）根据三角形的中位线定理得出 ，结合推出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵点E、F、G、H是四边形各边中点， ∴ ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵点E、F、G、H是四边形各边中点， ∴ ， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 故答案为：矩形． 11．（22-23八年级下·山西吕梁·期中）如图，在四边形中，对角线，，且，垂足为O，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；再顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，…如此下去得到四边形． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)求四边形的面积． (3)直接写出四边形的面积（用含n的式子表示）． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据中位线的性质可得，，，，，，，；即有，，证得四边形是平行四边形，结合，问题得解； （2）由（1）得四边形是矩形，，是的中位线，可得，从而得到，，再由矩形的面积公式计算，即可． （3）由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下： 在四边形中，顺次连接四边形各边中点，得到四边形， ∴、分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理可得：，，，，，； ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行多边形是矩形， （2）解：由（1）得四边形是矩形，，是的中位线， ∴． 又∵，， ∴，， ∴． （3）解：∵四边形中，，，且， ∴； 由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半， 即四边形的面积是． 【点睛】本题考查三角形的中位线的性质，中点四边形，矩形的判定与性质，解题的关键是学会从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题． 12．（24-25八年级下·山东滨州·期末）求证：顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查中位线的性质，菱形的判定．先把文字语言转化为几何语言，根据三角形中位线定理得到，，即可得到，进而证明结论即可． 【详解】已知：在四边形中，，点E，F，G，H是，，，的中点， 求证：四边形是菱形． 证明：∵E，F，G，H是，，，的中点． ∴、分别是、的中位线，、分别是、的中位线， ∴，． ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 13．（23-24八年级下·广东惠州·期末）我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形，如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形，连接，证明：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了中位线的性质，平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握中位线性质，平行四边形的判定方法． 因为， 分别是边， 的中点，根据中位线的性质得出，得出， ，同理得出， ，从而得出，由平行公理的推论得出，即可得出结论． 【详解】解：， 分别是边， 的中点， ∴， ， ∵，分别是边，的中点， ∴， ， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 中点四边形模型 在任意一个四边形里，把四条边的中点依次连接，得到的这个新四边形被称为中点四边形，也常被称作 Varignon 四边形。最核心的结论是：不论原四边形怎样，连接这四个中点得到的中点四边形始终是一个平行四边形。这个定理在几何里非常经典，常用于化简题型、理解对称与面积关系等方面。 2 模型趣事 2 真题现模型 2 提炼模型 6 模型运用 7 模型1.中点四边形模型 7 14 魔术师的地毯把戏 某次数学魔术表演中，魔术师让观众任意画凸四边形，标记各边中点并连线。当剪下这个中点四边形时，剩余部分总能拼成原四边形——无论初始形状多不规则。秘密在于：所有中点四边形都是平行四边形，且面积恒等于原图形的一半（原理：中点连线平行于对角线，且长度为对角线一半）。 埃菲尔铁塔的隐形结构 巴黎的钢结构工人发现，用四根钢梁首尾相接构成四边形时，其中点连接形成的菱形结构能自动保持稳定。工程师们由此发展出"中点加固法"：在四边形建筑框架中添加中点连杆，可使承重能力提升40%。这源于中点四边形具有最小周长的特性（根据施瓦茨定理）。 蜂巢的几何优化 生物学家观察到，野生蜂群建造不规则六边形巢室时，工蜂会先用触须定位四边形区域的中点，再分泌蜂蜡连接。这种本能行为使得巢室结构达到最佳材料利用率——因为中点四边形继承了原四边形的对称中心，符合蜜蜂"最小能耗"的进化策略。 数学实验室的发现 当学生用橡皮筋在钉板上随机拉伸四边形时，有个永恒规律：用彩色笔描摹其中点四边形，所有颜色最终都会形成完美的平行四边形。这个现象被称为"几何熨斗效应"，证明中点四边形会过滤掉原四边形的所有不规则性（向量中点公式的直观体现）。 （2024·青海·中考真题）综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 【探究一】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点． 求证：中点四边形是平行四边形． 证明：∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴、分别是和的中位线， ∴，（____①____） ∴． 同理可得：． ∴中点四边形是平行四边形． 结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形． （1）请你补全上述过程中的证明依据①________ 【探究二】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 菱形 从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形． （2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【探究三】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 ②________ （3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②________． （4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【归纳总结】 （5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 ③________ ④________ 结论：原四边形对角线③________时，中点四边形是④________． 中点四边形模型 归纳结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形；若四边形的对角线相等，则它的中点四边形是菱形；若四边形的对角线垂直，则它的中点四边形是矩形；若四边形的对角线垂直且相等，则它的中点四边形是正方形。 模型1.中点四边形模型 例1（22-23八年级下·河北保定·期末）我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．下列说法正确的个数为（    ） ①任意四边形的中点四边形是平行四边形 ②平行四边形的中点四边形是菱形 ③矩形的中点四边形是菱形 ④菱形的中点四边形是正方形 ⑤正方形的中点四边形是正方形 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例2（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形． 下列四个叙述： ①中点四边形一定是平行四边形； ②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形； ③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形； ④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形． 其中正确的结论是（    ） A．②③ B．①④ C．①②③ D．①②③④ 例3（22-23八年级下·辽宁大连·期末）我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．小明在研究中点四边形时，得到下面三个结论：①对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；②对角线互相垂直的四边形的中点四边形是菱形；③矩形的中点四边形是正方形．其中正确的是 （填序号，填写一个即可）． 例4（24-25八年级下·安徽淮北·期末）【主题学习】定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫作中点四边形．为了探索中点四边形，某校八年级数学兴趣小组开展一次主题学习活动． 【成果展示】经过合作探究，相互交流，各小组将他们的成果进行汇报，部分信息汇总如下： 原四边形 任意四边形 矩形 菱形 图形 中点四边形 平行四边形 菱形 矩形 发现 任意四边形的中点四边形一定是平行四边形． 对角线 ① 的四边形，它的中点四边形是菱形． 对角线 ② 的四边形，它的中点四边形是矩形． （1）填写上表中的空格①______；②______； 【逆向探究】在探究过程中，有小组提出“正方形的中点四边形是正方形”． （2）判断命题“正方形的中点四边形是正方形”的逆命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明，如果是假命题，请画图说明． 【拓展延伸】如图，四边形中，，，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，……，如此进行下去，得到四边形． （3）设，，则：四边形的面积等于______，四边形的周长等于______． 1．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）顺次连结原四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．如果顺次连结原四边形各边中点得到中点四边形是矩形，那么原四边形一定是（   ） A．等腰梯形 B．菱形 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 2．（2023八年级下·全国·专题练习）如图，四边形中，，，且，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，如此进行下去，得到四边形．下列结论正确的是（   ）． ①四边形是菱形； ②四边形是矩形； ③四边形周长为； ④四边形面积为． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形……如此进行下去，得到四边形．给出下列结论：①四边形是矩形；②四边形是菱形；③四边形的周长是；④四边形的面积是．其中，正确的结论有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25八年级下·山东德州·期中）顺次连接四边形各边中点得到的四边形是矩形，则原四边形一定满足（    ）． A． B．正方形 C．菱形 D． 5．（22-23八年级下·四川广安·月考）如图，在菱形中，边长为1，，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；按此规律继续下去，…，则四边形的面积是 ． 6．（22-23八年级下·河北张家口·期末）连接任意四边形各边中点得到的四边形是 ．对角线，满足条件 时，连接四边形各边中点得到的四边形是菱形． 7．（2024·四川达州·一模）数学活动：某数学兴趣小组想探究任意四边形的中点四边形的形状与原四边形的边、对角线的关系； 定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形． [操作]如图1，点E，F，G，H分别是四边形各边的中点，顺次连接点E，F，G，H得到中点四边形． [猜想]（1）填空：任意一个四边形的中点四边形是___________________； [证明]（2）请补全以下求证内容，并完善证明过程； 已知：点E，F，G，H分别是四边形各边的中点，顺次连接点E，F， G， H 得到中点四边形． 求证：______________________． 证明： [应用]（3）如图2，在四边形中，，，，的中点分别为P， Q，M，N，在上取一点E，连接，，和恰好是等边三角形，当点A到点C的距离为2时，求四边形的周长． 8．（2024·广东韶关·模拟预测）我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，如图，E、F、G、H分别是四边形各边的中点，可证中点四边形是平行四边形，如果我们对四边形的对角线与添加一定的条件，则可使中点四边形成为特殊的平行四边形，请你经过探究后回答下面问题？ (1)当______时，四边形为菱形； (2)当______时，四边形为矩形； (3)当和满足什么条件时，四边形为正方形？请回答并证明你的结论． 9．（22-23九年级上·山东青岛·期末）小彬数学成绩优秀，他平时善于总结，例如，学习了三角形的中位线的和特殊四边形的知识后，他总结出“依次连接任意一个四边形各边中点所得四边形一定是平行四边形”后，他想到曾经做过的这样一道题：如图1，点是线段的中点，分别以和为边在线段的同侧作等边三角形和等边三角形，连接、和，他想到了连接四边形的各边中点得到的四边形一定是菱形、于是，他又进一步探究：如图2，若是线段上任一点，在的同侧作和，使，，，连接，设点，，，分别是，，，的中点，依次连接，，，．请你接着往下解决三个问题： (1)猜想四边形的形状，（直接给出答案，不必说明理由）； (2)当点在线段的上方时，如图3，在的外部作和，其它条件不变，试判断四边形的形状？并说明理由． (3)如果（2）中，，其它条件不变，试判断四边形的形状（直接给出答案，不必说明理由）． 10．（24-25九年级上·福建三明·月考）定义：顺次连结四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形． 如图，在四边形中，顺次连结各边中点E、F、G、H得到的四边形叫做四边形的中点四边形． 利用三角形中位线的相关知识解决下列问题： (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当对角线满足下列条件时，请你探究中点四边形的形状：(写出结果并证明)当时， 四边形是 ． 11．（22-23八年级下·山西吕梁·期中）如图，在四边形中，对角线，，且，垂足为O，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；再顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，…如此下去得到四边形． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)求四边形的面积． (3)直接写出四边形的面积（用含n的式子表示）． 12．（24-25八年级下·山东滨州·期末）求证：顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是菱形． 13．（23-24八年级下·广东惠州·期末）我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形，如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形，连接，证明：四边形是平行四边形． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $