专题02 图形与坐标（期末复习讲义）八年级数学下学期新教材湘教版

专题02 图形与坐标（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 根据点到坐标轴的距离求坐标（含多解问题） 题型02 轴对称与平移的坐标变化（含折叠问题） 题型03 特殊四边形与坐标的综合（存在性问题） 题型04 图形变换与坐标规律探究（新定义/压轴倾向） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平面直角坐标系 知识掌握：准确记忆平面直角坐标系的构成要素（横轴、纵轴、原点、正方向），深刻理解“平面上的点与有序实数对一一对应”这一核心思想。 技能应用：能熟练根据点的位置求其坐标，反之亦然。掌握建立恰当平面直角坐标系的三种常用方法（以特殊线段所在直线为轴、以对称轴为轴、以已知点为原点），并能根据问题背景选择最简方案，使点的坐标表达简明。 思想渗透：初步体会数形结合思想，通过坐标建立几何图形与代数表达式之间的联系。 命题点： 常考“根据距离求坐标”（易漏解）、“建立坐标系求点坐标”。陷阱： 忽略“距离”是绝对值，导致符号错误；未分类讨论导致漏解。趋势： 结合网格图，考察点的坐标特征。 简单图形的坐标表示 知识体系：熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、性质定理与判定定理，清晰理解它们之间的包含与递进关系（如正方形兼具矩形和菱形的所有性质）。 坐标关联：能将特殊四边形的几何性质（如对边平行且相等、对角线互相平分等）转化为其顶点坐标之间的数量关系（如利用中点坐标公式、向量相等）。 综合能力：能够处理“特殊四边形的判定与性质综合题”，运用坐标法结合几何推理进行证明或计算。 命题点： “三定一动” 构成平行四边形。难点： 分类讨论（以哪条边为对角线/边）。技巧： 利用“中点坐标公式”或“向量相等”来简化计算，避免繁琐的几何证明。 轴对称和平移的坐标表示 规律记忆：准确记忆点关于x轴、y轴对称的坐标变化规律，以及点沿坐标轴方向平移后的坐标变化规律。 图形应用：能描述一个简单图形经过轴对称或平移变换后，其各顶点坐标的变化情况。能将坐标变化与几何变换的直观理解相结合。 综合联系：在“四边形中的折叠问题”中，能识别折叠本质是轴对称，并利用坐标变化规律（或全等性质）寻找等量关系。 命题点： 纯坐标变换计算、矩形/三角形折叠问题（求折痕或落点坐标）。易错： 混淆“关于x轴对称”与“关于y轴对称”的变号规则。压轴： 折叠问题中，利用勾股定理列方程求解线段 知识点01 求平面直角坐标系内点的坐标 (1)平面直角坐标系的定义:在平面内画两条互相垂直的数轴,其中一条叫横轴(x轴),另一条叫纵轴(y轴),它们的交点O是这两条数轴的原点.通常,横轴向右为正方向,纵轴向上为正方向,这样建立的两条数轴构成了平面直角坐标系. (2)建立了平面直角坐标系后,平面上的点与有序实数对一一对应. 示例： 在平面直角坐标系中，已知点A在第二象限，且到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点A的坐标为 (-4, 3)。 解析：第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正。“到x轴的距离”等于纵坐标的绝对值，“到y轴的距离”等于横坐标的绝对值。故由题意得 |x|=4， |y|=3，结合第二象限符号特征，得 x=-4， y=3。 易错点： 1. 忽略象限符号：最容易将第二象限的点错误写成(4,3)或(4,-3)等。必须牢记各象限内点的坐标符号特征（一象限(+,+)；二象限(-,+)；三象限(-,-)；四象限(+,-)）。 2. 距离与坐标关系混淆：“到x轴的距离”对应|纵坐标|，“到y轴的距离”对应|横坐标|，两者切勿颠倒。 3. 漏解：如果题目未明确指定象限，仅给出点到坐标轴的距离，则可能存在多个解（四个象限各一个）。例如，到x轴距离为2，到y轴距离为3的点有四个：(3,2)， (-3,2)， (-3,-2)， (3,-2)。 知识点02 建立恰当的平面直角坐标系确定点的坐标 构建的平面直角坐标系不同,则点的坐标也不同,在建立平面直角坐标系时,应使点的坐标简明. 方法技巧：建立平面直角坐标系的常见方法 (1)以某些特殊的线段所在的直线为x轴或y轴(如高线、中线等). (2)把对称图形的对称轴作为工轴或y轴. (3)以某个已知点为原点建立平面直角坐标系。 易错点： 坐标系建立不当导致计算复杂：例如在上述示例中，若以点A为原点，AB为x轴建立坐标系，则B点坐标简单为(, 0)，但C点坐标需要通过勾股定理和几何关系求解，表达式复杂（如(, )），增加了后续运算的难度和出错概率。应养成优先选择“让最多点落在坐标轴上或使图形关于坐标轴对称”的建系习惯。 忽略单位长度或方向：在建立坐标系时，必须明确标注x轴、y轴及正方向。在网格题或无网格题中，需根据已知线段长度合理确定单位长度，否则坐标数值会出错。 几何关系转化错误：在建系后，将几何条件（如等腰、直角、中点等）转化为坐标间的等量关系时出错。 知识点03 轴对称与坐标变化 一般地,在平面直角坐标系中,点(a,b)关于x轴的对称点的坐标为(a.-b),关于y轴的对称点的坐标为(-a,b). 示例： 已知点P(2, -3)关于x轴的对称点是点P₁，关于y轴的对称点是点P₂，则点P₁的坐标是 (2, 3)，点P₂的坐标是 (-2, -3)。线段PP₂的长度为 4。 解析：直接套用规律：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变号；关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变号。P(2,-3) → P₁(2,3)；P(2,-3) → P₂(-2,-3)。线段PP₂的长度即横坐标之差的绝对值 |2 - (-2)| = 4。 易错点： 坐标变化规律记忆混淆：最常见的错误是将“关于y轴对称，横坐标变号”记成“纵坐标变号”。可以借助直观想象：关于y轴（竖直的线）对称，左右（横坐标）相反；关于x轴（水平的线）对称，上下（纵坐标）相反。 与平移规律混淆：轴对称是“关于某条线翻折”，坐标是“某不变，某变号”；平移是“沿着某个方向移动”，坐标是“某加减一个数”。两者原理不同，切勿混淆。 在折叠（轴对称）问题中找错对应点：在复杂的图形折叠问题中，必须仔细识别哪两个点折叠后重合，错误的对应对会导致后续列出的等量关系全部错误。 知识点04 平移与坐标变化 一般地,在平面直角坐标系中,将点(a,b)向右(或向左)平移k个单位长度,其像的坐标为(a+k,b)(或(a-k,b));将点(a,6)向上(或向下)平移k个单位长度,其像的坐标为(a,b+k)(或(a,b-k)). 示例： 将点A(-1, 5)先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点A‘；将点B(4, -2)先向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到点B‘。则点A‘的坐标为 (-4, 3)，点B‘的坐标为 (9, -1)，线段A‘B‘的中点坐标为 (2.5, 1)。 解析：左右平移改变横坐标，左减右加；上下平移改变纵坐标，下减上加。 A(-1,5) → 左移3：(-1-3,5)=(-4,5) → 下移2：(-4,5-2)=(-4,3)。 B(4,-2) → 上移1：(4,-2+1)=(4,-1) → 右移5：(4+5,-1)=(9,-1)。 中点坐标公式：((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) = ((-4+9)/2, (3+(-1))/2) = (5/2, 1)。 易错点： 1. 平移方向与坐标运算对应错误：“左移”是横坐标“减”，“右移”是“加”；“下移”是纵坐标“减”，“上移”是“加”。口诀：“左减右加，下减上加”。 2. 连续平移时顺序出错：点的连续平移与顺序无关，结果相同。但图形（或函数）的平移有时与顺序有关，需注意题目语境。对于点的平移，可以分步计算，也可以合成一步：A(x,y) 向左平移a个单位，再向下平移b个单位，则 A‘(x-a, y-b)。 3. 与轴对称变化混淆：同知识点03易错点2。平移是整体移动，所有点按相同规则变化；轴对称是每个点单独关于对称轴作对称变换。 题型一 根据点到坐标轴的距离求坐标（含多解问题） 解｜题｜技｜巧 题型特征：已知点P到x轴、y轴的距离，求点P的坐标。常因忽略象限符号或漏解而失分。 · 怎么想（破题思路）： 1. 核心转化：牢记“距离”是绝对值。到x轴的距离 = |纵坐标|；到y轴的距离 = |横坐标|。 2. 分类讨论：题目未明确象限时，必须根据横、纵坐标的正负性，考虑四个象限的所有可能。 · 怎么做（步骤技巧）： 1. 设坐标：设点P的坐标为 (x, y)。 2. 列方程：根据题意列出 |x| = a， |y| = b。 3. 求所有解：解出 x = ±a, y = ±b。 4. 组合配对：将所有可能的x、y值进行组合，得到 (±a, ±b) 共四组解。 5. 结合限制：若题目限定了象限（如“第二象限”），则根据象限符号特征（一(+,+)、二(-,+)、三(-,-)、四(+,-)）筛选出唯一解。 易｜错｜点｜拨 1. 坑1（符号错误）：直接将距离当作坐标，忽略象限符号。对策：距离是绝对值，坐标有正负，必须结合象限判断符号。 2. 坑2（漏解）：当题目只说“到x轴距离为m，到y轴距离为n”而未指定象限时，只写出一个解。对策：养成“距离→绝对值→分类讨论”的思维习惯，系统写出四组解。 3. 坑3（关系混淆）：将“到x轴的距离”错误对应为横坐标。口诀：“到谁轴的距离，看谁坐标的绝对值”。 【典例1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴，轴距离的较小值称为点的“短距”，点到轴，轴的距离相等时，称点为“等距点”． (1)求点的“短距”． (2)若点是“等距点”，求的值． 【答案】(1)1 (2)或 【分析】（1）根据新定义，进行判断即可； （2）根据新定义，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：点到轴的距离为，到轴的距离为1，， ∴点的“短距”为1； （2）解：由题意，， 即：或， 解得或． 【变式1】（25-26七年级上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为． (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点P到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据x轴上点的坐标特点求出a的值即可； （2）根据点P到两坐标轴的距离相等列出关于a的方程，求出a的值即可． 本题主要考查了点的坐标，熟知坐标轴上点的坐标特点是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意，得． 解得． 当时，． 所以，点P的坐标为． （2）解：当时， 解得． 则． 此时，点P的坐标为． 当时， 解得． 则，． 此时，点P的坐标为． 所以，点P的坐标为或． 【变式2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）已知在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上，求点的坐标． (2)若点到轴，轴的距离相等，求的值． 【答案】(1)； (2)或； 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，结合点的位置特征列方程求解即可． （1）考查轴上点的纵坐标为0的核心性质，关键是利用该性质列方程求出的值，再代入横坐标表达式得到点的坐标 （2）考查点到坐标轴距离的定义，点到轴的距离为纵坐标的绝对值，到轴的距离为横坐标的绝对值，根据距离相等可列出绝对值方程，再结合绝对值的性质分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴点的纵坐标为0，即，解得， 将代入，， ∴点的坐标为； （2）解：∵点到轴、轴的距离相等， ∴， 根据绝对值的性质，分两种情况讨论： 情况一：，解得； 情况二：，解得； 综上，的值为1或9； 故答案为：或． 【变式3】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）已知在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点的坐标为且轴，求点的坐标； (2)若点到两坐标轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，涉及平行于坐标轴的直线上点的坐标规律，以及点到坐标轴距离的含义． （1）关键是掌握平行于轴的直线上所有点的横坐标相等，据此列出关于的一元一次方程，求解后代入点的纵坐标表达式，即可得到点的坐标； （2）理解“点到两坐标轴的距离相等”等价于“横坐标的绝对值等于纵坐标的绝对值”，即，分两种情况去掉绝对值符号，解一元一次方程得到的值，再代入计算点的坐标． 【详解】（1）解：轴， 点与点的横坐标相等， 即，解得， 将代入得， 点的坐标为； （2）解：点到两坐标轴的距离相等， ， 分两种情况讨论： ①当时，解得， 将代入点的坐标表达式得； ②当时，解得， 将代入点的坐标表达式得； 综上，点的坐标为或． 题型二 轴对称与平移的坐标变化（含折叠问题） 解｜题｜技｜巧 题型特征：求点关于坐标轴对称或平移后的坐标；在矩形折叠问题中，利用轴对称性质求长度。常因记忆混淆或找错对应点而失分。 怎么想（破题思路）： 本质理解：轴对称是翻折，对应点连线被对称轴垂直平分；平移是整体移动，所有点变化规则一致。 折叠核心：图形折叠本质是轴对称变换。折叠前后对应部分全等（对应边相等、对应角相等）。 怎么做（步骤技巧）： 轴对称：关于x轴对称：(x, y) → (x, -y)（横不变，纵变号）。关于y轴对称：(x, y) → (-x, y)（纵不变，横变号）。口诀：“关于谁对称，谁不变，另一个变号”。 平移：左减右加（横坐标），下减上加（纵坐标）。口诀：“左减右加，下减上加”。 折叠问题解题三步法： 标等量：在图上标出所有由折叠产生的等边、等角。 设未知：将所求线段长度设为x。 构勾股：寻找或构造一个包含x的直角三角形，利用勾股定理列方程求解。 易｜错｜点｜拨 坑1（规律混淆）：将轴对称与平移规律记混，或将关于x轴、y轴的规律记反。对策：结合图形直观记忆口诀，并理解其几何意义。 坑2（折叠对应点找错）：这是折叠题最致命的错误。对策：在折叠前的图形和折叠后的图形上，用相同的符号（如A和A‘）明确标出相互重合的点。 坑3（忽略隐藏等腰）：在矩形折叠中，由折叠等角结合平行线内错角相等，常形成等腰三角形。对策：有平行线背景时，多观察角的关系，发现等腰三角形能极大简化计算。 【典例1】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，点，，若点关于y轴的对称点的坐标为 (1)求的面积． (2)如图，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且，试探究线段、、之间的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)2 (2)，证明见解析 【分析】（1）由关于y轴的对称点的坐标为，得，，则，，由，，求得 （2）作交的延长线于点F，则，由，，，可证明，得，，由，，得，而，可证明，得，所以，则． 【详解】（1）解： 关于y轴的对称点的坐标为， ，， ，， ，， ，， ， 的面积为． （2）， 证明：作交的延长线于点F，则， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【变式1】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）平面直角坐标系中，点，，且a，b满足：，点A，C关于y轴对称，点F为x轴上的一个动点． (1)求点A，B两点的坐标； (2)如图1，若，，且，连接交x轴于点M，求证：； (3)如图2，若，且，直线上存在某点，使为等腰直角三角形（点D，F，G按逆时针方向的顺序排列），请直接写出点F的坐标______． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)或或 【分析】（1）由，可得，再由非负数的性质列出方程求出a、b的值即可； （2）作，交x轴于点N，先证明，再证明，即可证明； （3）过点D作轴于点L，先证明为等腰直角三角形，再证明，则，，再按点F与点C重合、且、且三种情况，分别求出相应的m的值，然后确定点F的坐标即可． 【详解】（1）解：由，可得， ，， ，， 解得，， ，； （2）证明：如图3，作，交x轴于点N，则， ，， ， 点A、C关于y轴对称， 点，y轴是线段的垂直平分线， ， ， ， ； ，，且， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图4， ， ， ， 为等腰直角三角形， 当点F与点C重合、点G与点B重合时，则为等腰直角三角形， ， 过点D作轴于点L，则， ，， ， ，， ， ，， 如图5，若，， 过点G作轴交y轴于点K，作于点R，于点Q， 则， ， ， ∵， ， ， 由可得，， 解得，， ，， ， ， ； 如图6，若，，作轴，作轴于点P，交于点H， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，点F的坐标为或或． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）劳动课上同学们制作传统玩具——风筝，小宇利用计算机网格绘制风筝骨架（四边形）的左半部分（如图），点A，B，C的坐标分别为，，，风筝骨架整体关于轴对称． (1)补全四边形，并写出点的对称点的坐标． (2)如图，为的中点，在轴上找一点，沿着和安装支撑木条，当支撑木条最短时，求的值． 【答案】(1)见解析，点的坐标为 (2) 【分析】（1）根据B点的坐标为，可得点的坐标为，描出D点，再补全图形即可； （2）由于点和点关于轴对称，连接，交轴于点，此时的值最小，最小值为的长，根据勾股定理求出的长即可． 本题主要考查了平面直角坐标系中的轴对称变换，以及轴对称的性质，勾股定理．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：补全图形如下： 点的坐标为． （2）解：如图，点和点关于轴对称，连接，交轴于点，此时的值最小，最小值为的长， ， 即的最小值为． 题型三 特殊四边形与坐标的综合（存在性问题） 解｜题｜技｜巧 题型特征：在平面直角坐标系中，给定部分点，探究能否构成平行四边形、矩形、菱形、正方形，并求未知点坐标。综合性强，是典型拉分题。 · 怎么想（破题思路）： 1. 代数化思想：将几何图形的判定条件（如平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分）转化为点坐标之间的方程。 2. 分类讨论思想：关键是确定分类标准。通常以已知线段作为平行四边形的“边”或“对角线”来分类，确保不重不漏。 · 怎么做（步骤技巧）： · 平行四边形存在性（已知三点A、B、C）： · 设元：设未知点D坐标为 (x, y)。 · 分类列方程： · 以AB为边：则向量AB = 向量DC 或 向量AB = 向量CD。（利用对边平行且相等） · 以AB为对角线：则线段AB的中点坐标 = 线段CD的中点坐标。（利用对角线互相平分） · 同理，需考虑以AC、BC为边或对角线的情况。通常有三种可能。 · 特殊四边形判定：在平行四边形基础上，增加条件。 · 矩形：在平行四边形基础上，增加“一个角为直角”（邻边垂直，斜率乘积为-1）或“对角线相等”（距离公式）。 · 菱形：在平行四边形基础上，增加“一组邻边相等”（距离公式）或“对角线垂直”（斜率乘积为-1）。 · 正方形：同时满足矩形和菱形的条件。 易｜错｜点｜拨 · 坑1（漏解）：未考虑所有分类情况。对策：系统讨论以每一条已知线段为边或对角线的所有情形。 · 坑2（代数转化错误）：在利用向量相等或中点公式时，点坐标的对应关系写错。对策：画出示意图，按平行四边形顶点的顺序（如ABCD）对应列式。 · 坑3（计算与检验：此类题计算复杂，且求出坐标后需检验是否满足构成四边形的条件（如四点不共线）。对策：草稿清晰，步步为营，最后务必代入验证。 【典例1】（23-24八年级下·天津南开·期末）在平面直角坐标系中，为原点，平行四边形的顶点，，，矩形的顶点． (1)如图1，与，交于点，． ①直接写出直线的解析式和点的坐标； ②求证：四边形为菱形； (2)如图2，将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形．点，，，的对应点分别为，，，．设，矩形与平行四边形重合部分图形的周长为． ①在平移过程中，当矩形与平行四边形重合部分为四边形时，直接用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②如图3，若的中点为，矩形对角线的交点为，连接，．在平移过程中，当最小时，直接写出此时的值． 【答案】(1)①；②见解析 (2)①当时，重叠部分是菱形，此时； 当时，此时； ② 【分析】（1）①根据，，计算；结合平行四边形，得到，结合，得到点C与点D的纵坐标相同即，设直线的解析式为，代入解答即可；根据，得到点，代入解析式解答即可． ②过点H作于点Q，根据平行四边形，得到，根据矩形得到，得证四边形为平行四边形．根据坐标 ，得到，据勾股定理，得，结合，得到，得证四边形为菱形； （2）①设直线的解析式为，确定解析式，过点G作于点P， 则，当时，重叠部分是菱形，此时；过点H作于点N，当时，重叠部分是四边形，此时； ②过点N作，交于点Q，则四边形是平行四边形，，当E，N，Q三点共线时，取得最小值，解答即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ∵平行四边形，得到， ， ∴点C与点D的纵坐标相同即， 设直线的解析式为， 解得， 故的解析式为． ∵矩形的顶点， 设点，代入解析式，得， 解得， 故点． ②过点H作于点Q， ∵平行四边形， ∴， ∵矩形 ∴， ∴四边形为平行四边形． ∵ ， ∴，据勾股定理，得， ∵， ∴, ∴四边形为菱形． （2）①∵，， 设直线的解析式为， 解得， 故的解析式为． ∵矩形的顶点， 设点，代入解析式，得， 解得， 故点． 过点G作于点P， 则， 当时，重叠部分是菱形，此时； 过点H作于点N， ∵，， 当时，重叠部分是四边形，此时，， ；此时； ②根据题意，得的中点为，矩形对角线的交点为，则直线是矩形的对称轴， ∴， ∵， ∴； ∴； ∴，， 过点N作，交于点Q， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当E，N，Q三点共线时，取得最小值， 设与的交点为R， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 过点H作于点P， 则四边形是矩形， ∴；， ∵，， ∴， ∴， ∴， 此时的值为：． 【点睛】本题考查了待定系数法，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形不等式的应用，等腰直角三角形的判定和性质，菱形的判定，三角形中位线定理的判定和性质，熟练掌握待定系数法，三角形不等式的应用，等腰直角三角形的判定和性质，菱形的判定是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图（1），点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，点F运动时，的面积随时间的变化关系图象如图（2），则菱形的面积为________．      （1）                   （2） 【答案】 【分析】本题主要考查了四边形的动点问题，菱形的性质，勾股定理等知识，设点A到的距离为h，根据动点函数图像求出h， 过点D作交的延长线与点E，则， 利用勾股定理求出，由菱形的性质得出，利用勾股定理求出，最后计算菱形的面积即可． 【详解】解：设点A到的距离为h， 由点F的运动轨迹和速度可知，，且， 解得：， 过点D作交的延长线与点E， 则， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴， 故答案为： 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在直角坐标系中摆成如图所示的图案，5个大小形状完全相同的长方形纸片，已知，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了直角坐标系中的几何图形问题，特别是如何利用给定的点坐标来推导图形的尺寸以及未知点的坐标．解题的关键在于运用方程的思想，通过建立并求解二元一次方程组来确定长方形的长和宽．设长方形纸片的长为x，宽为y，利用点B的坐标所反映的水平与垂直方向的长度关系，建立二元一次方程组，求解出长和宽后，再根据点A的位置确定其横、纵坐标． 【详解】解：如图，设未知数 设长方形纸片的长为x，宽为y， ， , 解得，， ，， 点在第二象限， 点A的坐标为， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）如图1，在平面直角坐标系中，，且，将线段向右平移5个单位长度得到线段，动点P以每秒1个单位长度的速度匀速从点C出发，沿着的路线向终点B运动，设运动时间为t秒． (1)直接写出A，B，C，D的坐标； (2)是否存在点P使得三角形的面积是四边形面积的，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由； (3)如图2，当点P运动到上，且时，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)．理由见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，平移的性质，坐标与图形，非负数的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质可求出a、b的值，进而得到点A和点B的坐标，再根据平移方式可得点C和点D的坐标； （2）根据可得到四边形的面积，进而得到的面积，再分点P在上和点P在上，两种情况讨论求解即可； （3）过点P作交x轴于点M．则．由平移的性质可得，则．可得，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将线段向右平移5个单位长度得到线段， ∴ （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 如图1，当点P在上时，， 由题意得，，则， ∴ 解得， ∴， ∴点P的坐标为 如图2，当点P在上时，，，， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； 综上可知，存在符合条件的点P的坐标为或． （3）解：，理由如下： 如图3，过点P作交x轴于点M． ∴． 由平移的性质可得， ∴． ∴． ∴． 题型四 图形变换与坐标规律探究（新定义/压轴倾向） 解｜题｜技｜巧 题型特征：涉及图形的连续平移、对称、旋转，或在坐标系中寻找点、图形的变化规律。要求有较强的观察、归纳和代数推理能力。 · 怎么想（破题思路）： 1. 化动为静：对于动点、连续变换问题，先写出前几步变换后的具体坐标，寻找循环周期或变化规律。 2. 从特殊到一般：通过计算前几个点（图形）的坐标，归纳出第n个点（图形）的坐标通项公式。 · 怎么做（步骤技巧）： · 周期变换：计算点经过数次变换后的坐标，观察是否回到原点或出现循环。用总变换次数除以周期，看余数，余数对应周期内的第几个位置。 · 规律探究：仔细分析横坐标、纵坐标分别与序号n之间的数量关系。可能是等差数列、等比数列，或与n的奇偶性有关。 易｜错｜点｜拨 坑1（规律找错）：未计算足够多的项就匆忙下结论。对策：至少计算并验证3-4项，确保规律可靠。 坑2（忽略起始项：规律公式中的n是从0还是1开始？对策：明确序号n的实际意义，代入初始值进行检验。 坑3（新定义理解偏差）：对新公式一知半解就套用。对策：回归题目给出的素材和示例，理解公式的推导过程和应用场景。 【典例1】（25-26九年级上·江西宜春·期末）如图，边长为2的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2026次旋转后，顶点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了正六边形的性质、平面直角坐标系中图形规律问题、全等三角形的判定与性质等知识点，正确分析出点D坐标的规律是解题的关键． 如图：连接，由勾股定理可得，求出，得到的值，进而求得的值，得到点D的坐标，由题意可得8次一个循环，即顶点D的坐标与旋转2次得到的点的坐标相同；如图：连接，将绕O旋转得到，过作轴于G，过D作于H，则，，，易证，再根据全等三角形的性质以及坐标与图形求得的坐标即可解答． 【详解】解：如图，连接， 在正六边形中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转， ∴8次一个循环， ∵， ∴经过第2026次旋转后，顶点D的坐标与旋转2次得到的点的坐标相同， 如图：连接，将绕O旋转得到，过作轴于G，过D作于H，则，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·广西来宾·期末）在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为．每一次将绕着点O逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，以此类推，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到每旋转6次是一个循环，点落在x轴负半轴，且，即可得到答案． 【详解】解：第一次旋转后，在第一象限，， 第二次旋转后，在第二象限，， 第三次旋转后，在x轴负半轴，， 第四次旋转后，在第三象限，, 第五次旋转后，在第四象限，， 第六次旋转后，在x轴正半轴，， ……， 每旋转6次，A的对应点回到x轴正半轴， 而， 在x轴负半轴上，且， ∴点的坐标为． 【变式2】（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，经过2026次变换后所得的点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2026除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可． 【详解】解：点A第一次关于y轴对称后在第一象限，所得A点的坐标是； 点A第二次关于x轴对称后在第四象限，所得A点的坐标是； 点A第三次关于y轴对称后在第三象限，所得A点的坐标是； 点A第四次关于x轴对称后在第二象限，即点A回到原始位置，所得A点的坐标是； 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， ∵， ∴经过第2026次变换后所得的A点与第二次变换的位置相同，在第四象限，坐标为． 【变式3】（24-25八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交点于D，且，，以为边长作等边三角形，过点作平行于x轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于x轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，．…，按此规律进行下去，则点的横坐标是______． 【答案】 【分析】过作于A，过作于B，过作于C，根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质，可得的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，进而可得的横坐标为，由此可解． 【详解】解：如图所示，过作于A，      ∵，为等边三角形， ∴，， 即的横坐标为， ∵， ∴， ∵ 轴， ∴，， ∴， ∴， 过作于B， 同理可得， 即的横坐标为， 过作于C， 同理可得，，， 即的横坐标为， 同理可得，的横坐标为， 由此可得的横坐标为， ∴点的横坐标是． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知点与，下列说法不正确的是（     ） A．、都在第二象限 B．轴 C． D．轴 【答案】D 【分析】根据坐标系中，各象限内点的坐标特征，平行于坐标轴的直线的点的坐标特点，逐一判断即可得到结论． 【详解】解：∵点，，两点横坐标均为负，纵坐标均为正， ∴，都在第二象限，A选项说法正确， ∵和的横坐标相等， ∴轴，故B选项说法正确，D选项说法错误， ，故C选项说法正确， ∴D选项符合题意． 2．如图，已知棋子“车”的坐标为，棋子“马”的坐标为，则棋子“炮”的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由棋子“车”的坐标为，棋子“马”的坐标为，可建立平面直角坐标系如下： ∴棋子“炮”的坐标为． 3．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是_____． 【答案】 【分析】关于轴对称的两个点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴． 4．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征，以及第三象限内点的坐标符号特征，根据关于原点对称的点横纵坐标互为相反数得到点的坐标，再结合第三象限内点的坐标符号列出不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解： 点 与点关于原点对称， 点的坐标为， 点在第三象限，第三象限内点的横坐标小于，纵坐标小于， ， 解得：． 5．已知平面直角坐标系内有一点． (1)若点的横、纵坐标之和为，请通过计算确定点所在的象限． (2)点的坐标为，若轴，求的长． 【答案】(1)第四象限 (2) 【分析】（1）根据已知条件求解出的值，得到点的坐标，由此判断象限即可． （2）根据垂直关系得到点与点的横坐标相同，从而求解点的坐标，由此求解的长即可． 【详解】（1）解：由题意，得，解得， 点的坐标为， 点在第四象限． （2）解：轴， 点与点的横坐标相同， ，解得， ， 点的坐标为， ． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则点所在象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据象限内点的坐标符号特征，先由点A的位置得到m和n的符号，再判断点B横纵坐标的符号，即可确定点B所在象限. 【详解】解：∵点在第二象限， ∴根据第二象限点的坐标特征可得 ，， ∵，∴与同号， 又∵，∴，， 对于点， ∵，，∴ ， ∵，∴； ∴点的横坐标为负，纵坐标为正，符合第二象限点的符号特征，因此点在第二象限. 2．盐城是长三角地区首个“千万千瓦级”新能源基地，广袤的黄海滩涂上遍布着巨大的风力发电机．某风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片．如图以三个叶片的重合点为原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，点A的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第2026秒时，点A的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质画出图形，找到规律，进而得出第2026秒时，点的对应点的坐标即可． 【详解】解：如图， 叶片每秒绕原点顺时针转动， ， ∴， 在第一象限的角平分线上， ，，，，，，， 叶片每秒绕原点顺时针转动， 点的坐标以每8秒为一个周期依次循环， ， 第2026秒时，点A的对应点的坐标与相同，为． 3．如图，点A、C的坐标分别为、，将沿x轴向右平移，得到，点O的对应点D在线段上，若，则点A的对应点B的坐标为 ________． 【答案】 【分析】由题意可得，从而得出，即，进而得出平移方式，由此即可得出结果． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， ∵点O的对应点D在线段上，且， ∴， ∴， ∴将沿x轴向右平移个单位长度，得到， ∵点A的坐标为， ∴点B的坐标为，即． 4．如图是棋盘中的3枚棋子，若两枚黑棋的坐标分别是，，则白棋的坐标为___________． 【答案】 【分析】根据，的位置，得到平面直角坐标系，再根据白棋的位置解答． 【详解】解：如图， ∴白棋的坐标为． 5．如图是某游乐园部分区域的平面示意图，以1个单位长度代表，建立平面直角坐标系． (1)如果用表示跳跳床的坐标，那么跷跷板的坐标是______，碰碰车的坐标是______，摩天轮的坐标是______； (2)在图中标出秋千的位置，秋千在大门以东，再往北处； (3)跷跷板与摩天轮相距______． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3)300 【分析】（1）根据图象读出点的坐标即可； （2）根据题意得：秋千的坐标为，在图中标出即可； （3）结合题意及网格即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得跷跷板的坐标是，碰碰车的坐标是，摩天轮的坐标是； （2）根据题意得：秋千的坐标为，与跳跳床在同一位置， 如图所示： （3）根据图象得：跷跷板与摩天轮相距． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．对于平面直角坐标系中的任意线段，给出如下定义：线段上各点到x轴距离的最大值，叫做线段的“x轴距”，记作．如图，点，点，则线段的“x轴距”为4，记作，已知点，点，若，则m的值为（   ） A．1 B．或1 C．或1 D．或 【答案】C 【分析】分情况讨论：时，；时，或，再分别验证即可． 【详解】解：∵，且点，点， ∴当时，， 时，点，点，符合题意； 时，点，点，符合题意； 当时，或， 时，点，点，符合题意； 时，点，点，不符合题意， 综上所述，的值为或． 2．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中所示方向运动，第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，第五次运动到点，第六次运动到点，按这样的运动规律，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形中点的坐标变化规律，发现横坐标等于点的下标，纵坐标每7次运动为一个循环周期，根据除以的余数确定的纵坐标即可得到答案． 【详解】解：由图及题意可知，，，，，，； ，，； 点的横坐标等于运动次数，纵坐标每次循环一次，循环序列为； ， 点的纵坐标与点的纵坐标相同，为， 点的坐标是． 3．如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，⋯，则正方形铁片连续旋转20次后，点的坐标为______ 【答案】 【分析】首先求出～的坐标，探究总结规律后，利用规律求解． 【详解】解：如图，作轴于，作轴于， 由题意，得，，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 同理：第二次，第三次，第四次，第五次， … 发现点P的位置4次一个循环， ∵， 的纵坐标与相同为3，横坐标为， ∴正方形铁片连续旋转20次后，点的坐标为. 4．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，沿折叠正方形，点的对应点为，若，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】连接、，过点作轴于点，交于点，根据正方形性质及点坐标得出边长，利用等腰三角形三线合一的性质确定点横坐标，由折叠性质得，在中利用勾股定理求，进而求得及点坐标． 【详解】解：连接、，过点作轴于点，交于点， ∵四边形是正方形， ， ，轴， ，， ， ， ，， ，， ∵沿折叠正方形，点的对应点为， ， 在中，， ， ． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 图形与坐标（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 根据点到坐标轴的距离求坐标（含多解问题） 题型02 轴对称与平移的坐标变化（含折叠问题） 题型03 特殊四边形与坐标的综合（存在性问题） 题型04 图形变换与坐标规律探究（新定义/压轴倾向） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平面直角坐标系 知识掌握：准确记忆平面直角坐标系的构成要素（横轴、纵轴、原点、正方向），深刻理解“平面上的点与有序实数对一一对应”这一核心思想。 技能应用：能熟练根据点的位置求其坐标，反之亦然。掌握建立恰当平面直角坐标系的三种常用方法（以特殊线段所在直线为轴、以对称轴为轴、以已知点为原点），并能根据问题背景选择最简方案，使点的坐标表达简明。 思想渗透：初步体会数形结合思想，通过坐标建立几何图形与代数表达式之间的联系。 命题点： 常考“根据距离求坐标”（易漏解）、“建立坐标系求点坐标”。陷阱： 忽略“距离”是绝对值，导致符号错误；未分类讨论导致漏解。趋势： 结合网格图，考察点的坐标特征。 简单图形的坐标表示 知识体系：熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、性质定理与判定定理，清晰理解它们之间的包含与递进关系（如正方形兼具矩形和菱形的所有性质）。 坐标关联：能将特殊四边形的几何性质（如对边平行且相等、对角线互相平分等）转化为其顶点坐标之间的数量关系（如利用中点坐标公式、向量相等）。 综合能力：能够处理“特殊四边形的判定与性质综合题”，运用坐标法结合几何推理进行证明或计算。 命题点： “三定一动” 构成平行四边形。难点： 分类讨论（以哪条边为对角线/边）。技巧： 利用“中点坐标公式”或“向量相等”来简化计算，避免繁琐的几何证明。 轴对称和平移的坐标表示 规律记忆：准确记忆点关于x轴、y轴对称的坐标变化规律，以及点沿坐标轴方向平移后的坐标变化规律。 图形应用：能描述一个简单图形经过轴对称或平移变换后，其各顶点坐标的变化情况。能将坐标变化与几何变换的直观理解相结合。 综合联系：在“四边形中的折叠问题”中，能识别折叠本质是轴对称，并利用坐标变化规律（或全等性质）寻找等量关系。 命题点： 纯坐标变换计算、矩形/三角形折叠问题（求折痕或落点坐标）。易错： 混淆“关于x轴对称”与“关于y轴对称”的变号规则。压轴： 折叠问题中，利用勾股定理列方程求解线段 知识点01 求平面直角坐标系内点的坐标 (1)平面直角坐标系的定义:在平面内画两条互相垂直的数轴,其中一条叫横轴(x轴),另一条叫纵轴(y轴),它们的交点O是这两条数轴的原点.通常,横轴向右为正方向,纵轴向上为正方向,这样建立的两条数轴构成了平面直角坐标系. (2)建立了平面直角坐标系后,平面上的点与有序实数对一一对应. 示例： 在平面直角坐标系中，已知点A在第二象限，且到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点A的坐标为 (-4, 3)。 解析：第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正。“到x轴的距离”等于纵坐标的绝对值，“到y轴的距离”等于横坐标的绝对值。故由题意得 |x|=4， |y|=3，结合第二象限符号特征，得 x=-4， y=3。 易错点： 1. 忽略象限符号：最容易将第二象限的点错误写成(4,3)或(4,-3)等。必须牢记各象限内点的坐标符号特征（一象限(+,+)；二象限(-,+)；三象限(-,-)；四象限(+,-)）。 2. 距离与坐标关系混淆：“到x轴的距离”对应|纵坐标|，“到y轴的距离”对应|横坐标|，两者切勿颠倒。 3. 漏解：如果题目未明确指定象限，仅给出点到坐标轴的距离，则可能存在多个解（四个象限各一个）。例如，到x轴距离为2，到y轴距离为3的点有四个：(3,2)， (-3,2)， (-3,-2)， (3,-2)。 知识点02 建立恰当的平面直角坐标系确定点的坐标 构建的平面直角坐标系不同,则点的坐标也不同,在建立平面直角坐标系时,应使点的坐标简明. 方法技巧：建立平面直角坐标系的常见方法 (1)以某些特殊的线段所在的直线为x轴或y轴(如高线、中线等). (2)把对称图形的对称轴作为工轴或y轴. (3)以某个已知点为原点建立平面直角坐标系。 易错点： 坐标系建立不当导致计算复杂：例如在上述示例中，若以点A为原点，AB为x轴建立坐标系，则B点坐标简单为(, 0)，但C点坐标需要通过勾股定理和几何关系求解，表达式复杂（如(, )），增加了后续运算的难度和出错概率。应养成优先选择“让最多点落在坐标轴上或使图形关于坐标轴对称”的建系习惯。 忽略单位长度或方向：在建立坐标系时，必须明确标注x轴、y轴及正方向。在网格题或无网格题中，需根据已知线段长度合理确定单位长度，否则坐标数值会出错。 几何关系转化错误：在建系后，将几何条件（如等腰、直角、中点等）转化为坐标间的等量关系时出错。 知识点03 轴对称与坐标变化 一般地,在平面直角坐标系中,点(a,b)关于x轴的对称点的坐标为(a.-b),关于y轴的对称点的坐标为(-a,b). 示例： 已知点P(2, -3)关于x轴的对称点是点P₁，关于y轴的对称点是点P₂，则点P₁的坐标是 (2, 3)，点P₂的坐标是 (-2, -3)。线段PP₂的长度为 4。 解析：直接套用规律：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变号；关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变号。P(2,-3) → P₁(2,3)；P(2,-3) → P₂(-2,-3)。线段PP₂的长度即横坐标之差的绝对值 |2 - (-2)| = 4。 易错点： 坐标变化规律记忆混淆：最常见的错误是将“关于y轴对称，横坐标变号”记成“纵坐标变号”。可以借助直观想象：关于y轴（竖直的线）对称，左右（横坐标）相反；关于x轴（水平的线）对称，上下（纵坐标）相反。 与平移规律混淆：轴对称是“关于某条线翻折”，坐标是“某不变，某变号”；平移是“沿着某个方向移动”，坐标是“某加减一个数”。两者原理不同，切勿混淆。 在折叠（轴对称）问题中找错对应点：在复杂的图形折叠问题中，必须仔细识别哪两个点折叠后重合，错误的对应对会导致后续列出的等量关系全部错误。 知识点04 平移与坐标变化 一般地,在平面直角坐标系中,将点(a,b)向右(或向左)平移k个单位长度,其像的坐标为(a+k,b)(或(a-k,b));将点(a,6)向上(或向下)平移k个单位长度,其像的坐标为(a,b+k)(或(a,b-k)). 示例： 将点A(-1, 5)先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点A‘；将点B(4, -2)先向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到点B‘。则点A‘的坐标为 (-4, 3)，点B‘的坐标为 (9, -1)，线段A‘B‘的中点坐标为 (2.5, 1)。 解析：左右平移改变横坐标，左减右加；上下平移改变纵坐标，下减上加。 A(-1,5) → 左移3：(-1-3,5)=(-4,5) → 下移2：(-4,5-2)=(-4,3)。 B(4,-2) → 上移1：(4,-2+1)=(4,-1) → 右移5：(4+5,-1)=(9,-1)。 中点坐标公式：((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) = ((-4+9)/2, (3+(-1))/2) = (5/2, 1)。 易错点： 1. 平移方向与坐标运算对应错误：“左移”是横坐标“减”，“右移”是“加”；“下移”是纵坐标“减”，“上移”是“加”。口诀：“左减右加，下减上加”。 2. 连续平移时顺序出错：点的连续平移与顺序无关，结果相同。但图形（或函数）的平移有时与顺序有关，需注意题目语境。对于点的平移，可以分步计算，也可以合成一步：A(x,y) 向左平移a个单位，再向下平移b个单位，则 A‘(x-a, y-b)。 3. 与轴对称变化混淆：同知识点03易错点2。平移是整体移动，所有点按相同规则变化；轴对称是每个点单独关于对称轴作对称变换。 题型一 根据点到坐标轴的距离求坐标（含多解问题） 解｜题｜技｜巧 题型特征：已知点P到x轴、y轴的距离，求点P的坐标。常因忽略象限符号或漏解而失分。 · 怎么想（破题思路）： 1. 核心转化：牢记“距离”是绝对值。到x轴的距离 = |纵坐标|；到y轴的距离 = |横坐标|。 2. 分类讨论：题目未明确象限时，必须根据横、纵坐标的正负性，考虑四个象限的所有可能。 · 怎么做（步骤技巧）： 1. 设坐标：设点P的坐标为 (x, y)。 2. 列方程：根据题意列出 |x| = a， |y| = b。 3. 求所有解：解出 x = ±a, y = ±b。 4. 组合配对：将所有可能的x、y值进行组合，得到 (±a, ±b) 共四组解。 5. 结合限制：若题目限定了象限（如“第二象限”），则根据象限符号特征（一(+,+)、二(-,+)、三(-,-)、四(+,-)）筛选出唯一解。 易｜错｜点｜拨 1. 坑1（符号错误）：直接将距离当作坐标，忽略象限符号。对策：距离是绝对值，坐标有正负，必须结合象限判断符号。 2. 坑2（漏解）：当题目只说“到x轴距离为m，到y轴距离为n”而未指定象限时，只写出一个解。对策：养成“距离→绝对值→分类讨论”的思维习惯，系统写出四组解。 3. 坑3（关系混淆）：将“到x轴的距离”错误对应为横坐标。口诀：“到谁轴的距离，看谁坐标的绝对值”。 【典例1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴，轴距离的较小值称为点的“短距”，点到轴，轴的距离相等时，称点为“等距点”． (1)求点的“短距”． (2)若点是“等距点”，求的值． 【变式1】（25-26七年级上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为． (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点P到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标． 【变式2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）已知在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上，求点的坐标． (2)若点到轴，轴的距离相等，求的值． 【变式3】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）已知在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点的坐标为且轴，求点的坐标； (2)若点到两坐标轴的距离相等，求点的坐标． 题型二 轴对称与平移的坐标变化（含折叠问题） 解｜题｜技｜巧 题型特征：求点关于坐标轴对称或平移后的坐标；在矩形折叠问题中，利用轴对称性质求长度。常因记忆混淆或找错对应点而失分。 怎么想（破题思路）： 本质理解：轴对称是翻折，对应点连线被对称轴垂直平分；平移是整体移动，所有点变化规则一致。 折叠核心：图形折叠本质是轴对称变换。折叠前后对应部分全等（对应边相等、对应角相等）。 怎么做（步骤技巧）： 轴对称：关于x轴对称：(x, y) → (x, -y)（横不变，纵变号）。关于y轴对称：(x, y) → (-x, y)（纵不变，横变号）。口诀：“关于谁对称，谁不变，另一个变号”。 平移：左减右加（横坐标），下减上加（纵坐标）。口诀：“左减右加，下减上加”。 折叠问题解题三步法： 标等量：在图上标出所有由折叠产生的等边、等角。 设未知：将所求线段长度设为x。 构勾股：寻找或构造一个包含x的直角三角形，利用勾股定理列方程求解。 易｜错｜点｜拨 坑1（规律混淆）：将轴对称与平移规律记混，或将关于x轴、y轴的规律记反。对策：结合图形直观记忆口诀，并理解其几何意义。 坑2（折叠对应点找错）：这是折叠题最致命的错误。对策：在折叠前的图形和折叠后的图形上，用相同的符号（如A和A‘）明确标出相互重合的点。 坑3（忽略隐藏等腰）：在矩形折叠中，由折叠等角结合平行线内错角相等，常形成等腰三角形。对策：有平行线背景时，多观察角的关系，发现等腰三角形能极大简化计算。 【典例1】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，点，，若点关于y轴的对称点的坐标为 (1)求的面积． (2)如图，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且，试探究线段、、之间的数量关系，并给出证明． 【变式1】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）平面直角坐标系中，点，，且a，b满足：，点A，C关于y轴对称，点F为x轴上的一个动点． (1)求点A，B两点的坐标； (2)如图1，若，，且，连接交x轴于点M，求证：； (3)如图2，若，且，直线上存在某点，使为等腰直角三角形（点D，F，G按逆时针方向的顺序排列），请直接写出点F的坐标______． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）劳动课上同学们制作传统玩具——风筝，小宇利用计算机网格绘制风筝骨架（四边形）的左半部分（如图），点A，B，C的坐标分别为，，，风筝骨架整体关于轴对称． (1)补全四边形，并写出点的对称点的坐标． (2)如图，为的中点，在轴上找一点，沿着和安装支撑木条，当支撑木条最短时，求的值． 题型三 特殊四边形与坐标的综合（存在性问题） 解｜题｜技｜巧 题型特征：在平面直角坐标系中，给定部分点，探究能否构成平行四边形、矩形、菱形、正方形，并求未知点坐标。综合性强，是典型拉分题。 · 怎么想（破题思路）： 1. 代数化思想：将几何图形的判定条件（如平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分）转化为点坐标之间的方程。 2. 分类讨论思想：关键是确定分类标准。通常以已知线段作为平行四边形的“边”或“对角线”来分类，确保不重不漏。 · 怎么做（步骤技巧）： · 平行四边形存在性（已知三点A、B、C）： · 设元：设未知点D坐标为 (x, y)。 · 分类列方程： · 以AB为边：则向量AB = 向量DC 或 向量AB = 向量CD。（利用对边平行且相等） · 以AB为对角线：则线段AB的中点坐标 = 线段CD的中点坐标。（利用对角线互相平分） · 同理，需考虑以AC、BC为边或对角线的情况。通常有三种可能。 · 特殊四边形判定：在平行四边形基础上，增加条件。 · 矩形：在平行四边形基础上，增加“一个角为直角”（邻边垂直，斜率乘积为-1）或“对角线相等”（距离公式）。 · 菱形：在平行四边形基础上，增加“一组邻边相等”（距离公式）或“对角线垂直”（斜率乘积为-1）。 · 正方形：同时满足矩形和菱形的条件。 易｜错｜点｜拨 · 坑1（漏解）：未考虑所有分类情况。对策：系统讨论以每一条已知线段为边或对角线的所有情形。 · 坑2（代数转化错误）：在利用向量相等或中点公式时，点坐标的对应关系写错。对策：画出示意图，按平行四边形顶点的顺序（如ABCD）对应列式。 · 坑3（计算与检验：此类题计算复杂，且求出坐标后需检验是否满足构成四边形的条件（如四点不共线）。对策：草稿清晰，步步为营，最后务必代入验证。 【典例1】（23-24八年级下·天津南开·期末）在平面直角坐标系中，为原点，平行四边形的顶点，，，矩形的顶点． (1)如图1，与，交于点，． ①直接写出直线的解析式和点的坐标； ②求证：四边形为菱形； (2)如图2，将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形．点，，，的对应点分别为，，，．设，矩形与平行四边形重合部分图形的周长为． ①在平移过程中，当矩形与平行四边形重合部分为四边形时，直接用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②如图3，若的中点为，矩形对角线的交点为，连接，．在平移过程中，当最小时，直接写出此时的值． 【变式1】（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图（1），点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，点F运动时，的面积随时间的变化关系图象如图（2），则菱形的面积为________．      （1）                   （2） 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在直角坐标系中摆成如图所示的图案，5个大小形状完全相同的长方形纸片，已知，则点的坐标是______． 【变式3】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）如图1，在平面直角坐标系中，，且，将线段向右平移5个单位长度得到线段，动点P以每秒1个单位长度的速度匀速从点C出发，沿着的路线向终点B运动，设运动时间为t秒． (1)直接写出A，B，C，D的坐标； (2)是否存在点P使得三角形的面积是四边形面积的，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由； (3)如图2，当点P运动到上，且时，判断与的数量关系，并说明理由． 题型四 图形变换与坐标规律探究（新定义/压轴倾向） 解｜题｜技｜巧 题型特征：涉及图形的连续平移、对称、旋转，或在坐标系中寻找点、图形的变化规律。要求有较强的观察、归纳和代数推理能力。 · 怎么想（破题思路）： 1. 化动为静：对于动点、连续变换问题，先写出前几步变换后的具体坐标，寻找循环周期或变化规律。 2. 从特殊到一般：通过计算前几个点（图形）的坐标，归纳出第n个点（图形）的坐标通项公式。 · 怎么做（步骤技巧）： · 周期变换：计算点经过数次变换后的坐标，观察是否回到原点或出现循环。用总变换次数除以周期，看余数，余数对应周期内的第几个位置。 · 规律探究：仔细分析横坐标、纵坐标分别与序号n之间的数量关系。可能是等差数列、等比数列，或与n的奇偶性有关。 易｜错｜点｜拨 坑1（规律找错）：未计算足够多的项就匆忙下结论。对策：至少计算并验证3-4项，确保规律可靠。 坑2（忽略起始项：规律公式中的n是从0还是1开始？对策：明确序号n的实际意义，代入初始值进行检验。 坑3（新定义理解偏差）：对新公式一知半解就套用。对策：回归题目给出的素材和示例，理解公式的推导过程和应用场景。 【典例1】（25-26九年级上·江西宜春·期末）如图，边长为2的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2026次旋转后，顶点的坐标为___________． 【变式1】（25-26九年级上·广西来宾·期末）在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为．每一次将绕着点O逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，以此类推，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，经过2026次变换后所得的点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交点于D，且，，以为边长作等边三角形，过点作平行于x轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于x轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，．…，按此规律进行下去，则点的横坐标是______． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知点与，下列说法不正确的是（     ） A．、都在第二象限 B．轴 C． D．轴 2．如图，已知棋子“车”的坐标为，棋子“马”的坐标为，则棋子“炮”的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是_____． 4．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，则的取值范围是_______． 5．已知平面直角坐标系内有一点． (1)若点的横、纵坐标之和为，请通过计算确定点所在的象限． (2)点的坐标为，若轴，求的长． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则点所在象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．盐城是长三角地区首个“千万千瓦级”新能源基地，广袤的黄海滩涂上遍布着巨大的风力发电机．某风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片．如图以三个叶片的重合点为原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，点A的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第2026秒时，点A的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．如图，点A、C的坐标分别为、，将沿x轴向右平移，得到，点O的对应点D在线段上，若，则点A的对应点B的坐标为 ________． 4．如图是棋盘中的3枚棋子，若两枚黑棋的坐标分别是，，则白棋的坐标为___________． 5．如图是某游乐园部分区域的平面示意图，以1个单位长度代表，建立平面直角坐标系． (1)如果用表示跳跳床的坐标，那么跷跷板的坐标是______，碰碰车的坐标是______，摩天轮的坐标是______； (2)在图中标出秋千的位置，秋千在大门以东，再往北处； (3)跷跷板与摩天轮相距______． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．对于平面直角坐标系中的任意线段，给出如下定义：线段上各点到x轴距离的最大值，叫做线段的“x轴距”，记作．如图，点，点，则线段的“x轴距”为4，记作，已知点，点，若，则m的值为（   ） A．1 B．或1 C．或1 D．或 2．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中所示方向运动，第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，第五次运动到点，第六次运动到点，按这样的运动规律，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，⋯，则正方形铁片连续旋转20次后，点的坐标为______ 4．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，沿折叠正方形，点的对应点为，若，则点的坐标是______． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $